Exercices de colles - CPES provenant du site de la classe préparatoire MPSI Dupuy de Lome. BOULJIHAD Mohamed ENS Lyon 2012-2013

Exercices de colles - CPES provenant du site de la classe préparatoire MPSI Dupuy de Lome BOULJIHAD Mohamed ENS Lyon 2012-2013

Table des matières 1 Logique - Calcul de sommes - Géométrie dans le plan 2 1.1 Logique................................. 2 1.2 Calcul de sommes............................ 2 1.3 Géométrie dans le plan......................... 3 2 Géométrie dans l espace 4 3 Nombres complexes 6 4 Utilisation des nombres complexes en géométrie - Ensembles et applications 8 4.1 Nombres complexes et géométrie.................... 8 4.2 Ensembles et applications....................... 8 5 Ensembles et applications - Images directes et réciproques 10 6 Fonctions usuelles 11 7 Equations différentielles linéaires 13 8 Courbes paramètrées en coordonnées cartésiennes 15 9 Courbes paramètrées en coordonnées polaire 18 10 Nombres réels 19 11 Nombres réels (fin), Suites réels (début) 21 12 Suites (fin) 23 13 Relations de comparaison sur les suites 25 14 Arithmétique dans Z 27 15 Groupes, anneaux, corps 28 16 Limites, continuité 30 17 Continuité (fin), Espaces vectoriels 32 18 Sous-espaces vectoriels, transformations vectorielles 34 1

19 Dérivabilité 36 20 Pôlynomes 38 21 Polynômes (suite) 40 22 Espaces vectoriels de dimension finie 42 23 Espaces vectoriels de dimension fini (suite) 44 24 Matrices 46 25 Matrices (fin) 47 26 Développements limités 48 27 Intégrales 50 28 Déterminant 52 2

1 Logique - Calcul de sommes - Géométrie dans le plan 1.1 Logique Exercice 1 Vérifier que les assertions suivantes sont équivalentes : a) P ou (Q et R) (P ou Q) et (P ou R) b) non(p Q) P et non(q) Exercice 2 Soit f : I R. Exprimer à l aide de quantificateurs les assertions suivantes : a)f s annule b)f est la fonction nulle c)f n est pas constante d)f ne prend jamais deux fois la même valeur e)f présente un maximum f)f présente des valeurs arbitrairement grandes Exercice 3 Soit a R. Montrer que ( ǫ > 0, a ǫ) a = 0. Exercice 4 Soit f : I R. Donner la négation des assertions suivantes : a) x I, f(x) 0 b) y R, il existe x I tel que f(x) = y c) x, y I x y f(x) f(y) d) x I f(x) > 0 x 0 Exercice 5 On dit que la fonction f : I R admet la limite l en a si : ǫ > 0, il existe η > 0 tel que x ]a η, a + η[, f(x) l ǫ Montrer l unicité de la limite. 1.2 Calcul de sommes Exercice 1 Calculer les sommes suivantes : n ln(1 + 1 k=1 k ), n k=1 ( 1 k 1 n + 1 k ), 2n k=0 min(k, n), 2n k= max(k, n) Exercice 2 Calculer les sommes : n Cn k 2k, k=0 2n k=1 C k 2n ( 1)k 2 k 1, 3 n Cn k k k=1

Exercice 3 Calculer les sommes n k=1 1 k(k + 1), n k=1 k k!, n k=1 k (k + 1)! Exercice 4 Calculer (k + 1) 3 k 3. En déduire n k 2. 1.3 Géométrie dans le plan Exercice 1 Déterminer des équations cartésiennes et paramétriques de la droite passant pas les points A(1, 2) et B( 2, 1). k=1 Exercice 2 Soient A, B, C trois points du plan. Etablir det( AB, AC) = det( BC, BA) = det( CA, CB) Exercice 3 Soient A(a, 0), B(0, b), C(a, b) trois points du plan. Déterminer une équation de la droite passant pas C et parallèle à (AB). Même question avec la normale à (AB) passant par C. Exercice 4 Soient A, B deux points du plan et u un vecteur non nul. a) Déterminer le lieu des points M tels que AM. u + BM. u = 0. b) Déterminer le lieu des points M tels que det( u, AM + det( u, BM) = 0. Exercice 5 Soient A(2, 1), B( 1, 2), M(3, 4) trois points du plan. a)déterminer d(m, (AB)). b)déterminer une équation de la perpendiculaire à (AB) passant par M. 4

2 Géométrie dans l espace Exercice 1 Soient u, v, w trois vecteurs du plan. Montrer que u ( v w) = ( u. v) v ( u. v) w Exercice 2 Déterminer des équations cartésiennes et paramétriques du plan contenant les points A(1, 2, 3), B(0, 1, 0), (0, 0, 1). Exercice 3 Soit D la droite passant par A(0, 1, 1) et dirigée par le vecteur u(2, 1, 0). Soit B(1, 1, 2). Déterminer d(b, D). Exercice 4 Soient A(1, 1, 1), B(1, 1, 0), C(1, 0, 0) trois points du plan. - Déterminer une équation du plan (ABC). - Déterminer l équation de la droite passant par A et perpendiculaire au plan (ABC). Exercice 5 Soient A, B, C trois points de l espace. Déterminer l ensemble des points M vérifiant AM ( BC CM) = 0 Exercice 6 Montrer que ( u v) ( w x) = [ u, v, x]. w [ u, v, w]. x Exercice 7 Soient a, b, c, d trois vecteurs de l espace. Montrer que det( a b, a c, a d) = 0 Exercice 8 Soient u, v deux vecteurs de l espace tels que u. v = 0. Simplifier l expression ( u v) u. Exercice 9 Soient a, b deux vecteurs de l espace tels que a 0. L objectif de cet exercice est de déterminer l ensemble { x R 3 / a x = b}. a) Montrer que si a. b 0, il n y a pas de solution. On supposera a. b = 0. b) Déterminer λ R tel que x 0 = λ a b soit solution. c) En déduire toutes les solutions. Exercice 10 Soient a, b deux vecteurs de l espace. Considérons l équation x + a x = b, d inconnue x. a) Soit x une solution. Montrer que a. x = a. b. En déduire une expression de x. b) Conclure. 5

Exercice 11 Montrer que les droites D{x = 2z + 1, y = z 1}, et D {x = z + 2, y = 3z 3} sont coplanaires et former une équation de leur plan commun. Exercice 12 Calculer d(a, P) avec A(1, 2, 1) et P : x y + z = 2. d(b, D) avec B(1, 0, 1) et D : x = 1 + t, y = 1 t, z = 2t, t R. d(c, ) avec C(0, 1, 2) et : x + y z = 1, x y + z = 3. Exercice 13 Soient A, B, C trois points de l espcae. Déterminer l ensemble des points M tels que ( MA MB) ( MC MB) = 0 6

3 Nombres complexes Exercice 1 Soit z U {1}. Montrer que z + i z i ir. Exercice 2 Pour quels a R l équation x 3 + 2x 2 + 2ax a 2 = 0 possède x = 1 pour solution? Quelles sont alors les autres solutions de l équation? Exercice 3 Soit z C, z 1. 1) Calculer z k. 2) Montrer que n N on a n k=1 ki k 1 = i nin (n+1)i n+1. 2 3) En déduire que p N S I = 1 3 + 5 7 +... + ( 1) p (2p + 1), et S P = 2 4 + 6 8 +... + ( 1) p+1 2p. Exercice 4 Calculer les sommes suivantes : 1) n Cn(1 k + i) k k=0 2) n Cn k sin kθ k=0 3) n Cn k cos kθ k=0 4) n k=0 Cn k cos kθ cos k θ Exercice 5 Calculer n N, S n = n sin( kπ), et T n n = n k=1 k=1 sin( kπ 2n ). Exercice 6 Montrer que cos(3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ) et sin(3θ) = 3 sin(θ) 4 sin 3 (θ). Exercice 7 Soit u C {1}, z C R. Montrer que z uz 1 u R u = 1 Exercice 8 a R, n N, résoudre ( ) 1 + iz n = 1 + ia 1 iz 1 ia Exercice 9 Soit n N {0}. Posons ζ = e 2ikπ n. Montrer que z C n (z + ζ k ) n = n(z n + 1) k=1 7

Exercice 10 Simplifier eiθ 1, θ ] π, π[. e iθ +1 Exercice 11 Soient (x, y, z) R 3 tels que e ix + e iy + e iz = 0. Montrer que e i2x + e i2y + e i2z = 0 Exercice 12 Calculer le produit des racines n ème de l unité. Exercice 13 Résoudre dans C les équations suivantes : 1) z 2 2iz 1 + 2i = 0 2) z n + 1 = 0 3) (z + 1) n = (z 1) n Exercice 14 Soit n N {0}. Calculer z 1. z U n Exercice 15 Soit ω une racine n ème de l unité, différente de 1. On pose n 1 S = (k + 1)ω k k=0 En calculant (1 ω)s, déterminer la valeur de S. 8

4 Utilisation des nombres complexes en géométrie - Ensembles et applications 4.1 Nombres complexes et géométrie Exercice 1 Ecrire l affixe z du point M image du point M d affixe z par : 1. la rotation de centre (0, 1) et d angle 2π/3. 2. l homothétie de centre (1, 1) et de rapport 4. 3. la similitude directe de centre (1, 0), de rapport 2 et d angle π/4. Exercice 2 Soient trois points A, B et C d affixes respectives a, b, c C. Déterminer l affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABC en fonction de a, b, c. Exercice 3 Reconnaître la transformation du plan complexe z ( 3 i)z 2 + 2i(1 3) Exercice 4 Considérons φ : C C définie par φ(z) = 1 4 z + 1 4 1. Montrer qu il existe un unique point fixe pour φ, que l on notera z 0. 2. Montrer que, pour tout complexe z z 0, les points d affixe z 0, z et φ(z) sont alignés. Exercice 5 On suppose le plan muni d un repère orthonormé direct. Soit A, B, C trois points du plan d affixes respectives a, b, c. Etablir : a) (ABC) est un triangle équilatéral direct si, et seulement si, a + bj + cj 2 = 0. b) (ABC) est un triangle équilatéral si, et seulement si, a 2 +b 2 +c 2 = ab+bc+ca. 4.2 Ensembles et applications Exercice 1 Soient x et y deux éléments distincts. Donner la liste des éléments de P(P({x, y})). Exercice 2 Soient A et B deux ensembles. Montrer que A B = A B si et seulement si A = B. 9

Exercice 3 Soient trois ensembles A, B et C tels que A B = A C et A B = A C. Etablir B = C. Exercice 4 Soient A et B deux parties de E. Définissons φ : P(E) P(A) P(B) par φ(x) = (A X, B X) 1. Montrer que φ est injective si et seulement si A B = E 2. Trouver une CNS pour que φ soit surjective. 3. On suppose que φ est bijective. Calculer φ 1. Exercice 5 Soit E un ensemble. 1. Montrer qu il existe une injection de E dans P(E). 2. Montrer par l absurde qu il n existe par de surjection f : E P(E) en étudiant les antécédents de la partie X = {x E/ x / f(x)}. 3. Conclure qu il n existe pas d ensemble contenant tous les ensembles. Exercice 6 Soient E, F, G trois ensembles, f 1, f 2 : E F et g : F G. On suppose g f 1 = g f 2 et g injective. Montrer que f 1 = f 2. Exercice 7 Soient E, F, G trois ensembles, f : E F, g : F G et h : G E. Etablir que si h g f est injective et que g f h et f h g sont surjectives alors f, g et h sont bijectives. Exercice 8 Soient E un ensemble et f : E E telle que f f f = f. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. 10

5 Ensembles et applications - Images directes et réciproques à venir 11

6 Fonctions usuelles Exercice 1 1- Justifier x > 0, ln x x 1 2- Soient (p 1,..., p n ) et (q 1,..., q n ) des n uplets formés de réels strictement positifs vérifiant Etablir n n p k = q k = 1 k=1 k=1 n n p i ln q i p i ln p i i=1 i=1 Dans quel(s) cas y a-t-il égalité? Exercice 2 Montrer x ]0, 1[, x x (1 x) 1 x 1 2 Exercice 3 Simplifier les expressions suivantes : a) cos(2 arccos x) b) cos(2 arcsin x) c) sin(2 arccos x) d) cos(2 arctan x) e) sin(2 arctan x) f) tan(2 arcsin x). Exercice 4 Soit p N. Calculer arctan(p + 1) arctan(p). Etudier la limite de la suite (S n ) de terme général n 1 S n = arctan p=0 p 2 + p + 1. Exercice 5 Etablir que pour tout x R +, on a shx x et pour tout x R, chx 1 + x 2. Exercice 6 Etablir : 12

x R, arctan(shx) = arccos( 1 chx ) Exercice 7 n Calculer Cnch(kx) k et ncnsh(kx). k k=0 k=0 Exercice 8 Pour n N et a, b R, calculer n ch(a + kb) et k=0 n sh(a + kb) k=0 Exercice 9 Soient p et q deux entiers tels que 0 < p < q. 1- Calculer arctan( p q p ) + arctan( ) q q+p 2- Calculer 4 arctan 1 5 3- Déduire des questions précédentes la formule de Machin Exercice 10 Simplifier les expressions suivantes : a) ch(argsh(x)) b) th(argsh(x)) c) sh(2argsh(x)) d) sh(argch(x)) e) th(argch(x)) f) ch(argthx). Exercice 11 Résoudre l équation π 4 = 4 arctan 1 5 arctan 1 239 argsh(x) + argch(x) = 1 13

7 Equations différentielles linéaires Exercice 1 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : a)y + 2y = x 2 b)y + y = 2sin(x) c)y y = (x + 1)e x d)y + y = x e x + cos(x). Exercice 2 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : a)y + 2y + 2y = 2x b) y + y = x 2 + 1 c) y 3y + 2y = 2x 2 Exercice 3 Former une équation différentielle linéaire d ordre 1 dont les fonctions seraient les solutions. f(x) = C + x 1 + x 2 Exercice 4 Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés a) 1 + x 2 y y = 1 sur R b) 1 x 2 y + y = 1 sur] 1, 1[ c) x 2 1y + y = 1 sur ]1, + [. Exercice 5 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes : a) y + y = shx b) y 3y + 2y = xchx c) y 2y + y = 2chx Exercice 6 Déterminer les couples (a, b) R 2 tels que toute solution de soit bornée sur R +. y + ay + by = 0 Exercice 7 Soit p : R R + une fonction continue non nulle. On se propose de montrer que les solutions sur R de l équation y + p(x)y = 0 s annulent. Pour cela, on raisonne par l absurde et on suppose que f est une solution ne s annulant pas. a) Justifier que f est de signe constant. Quitte à considérer f au lieu de f, on peut supposer x R, f(x) > 0. 14

b) Etudier le signe de f. c) Soit a R quelconque. Quelle est l équation de la tangente à f en a? d) Montrer que le graphe de f est en dessous de sa tangente en a. e) En déduire que f (a) = 0 et conclure. Exercice 8 Déterminer toutes les fonctions f : R C dérivables telles que s, t R, f(s + t) = f(s)f(t) Exercice 9 Soient a C et f une fonction continue et T-périodique. Déterminer selon la valeur de a le nombre de solutions T-périodiques de l équation différentielle y ay = f. Exercice 10 Soit f une fonction continue. Considérons l équation y = f(x)y. 1. Montrer que la fonction identiquement nulle est solution de cette équation. 2. Montrer que toute autre solution ne s annule pas. Exercice 11 Soit y solution de y = sin(y) telle que y(t) = y(0) pour une constante T 0. Montrer que y est T-périodique. Indication : on pourra introduire la fonction z définie par z(x) = y(x + T). Exercice 12 Soient ω et ω 0 deux réels strictement positifs et distincts. Trouver les solutions de l équation différentielle y + ω 2 y = cos(ω 0 x) vérifiant les conditions initiales y(0) = 1 et y (0) = 0. Exercice 13 Déterminer les fonctions f : [0, 1]ßR dérivables telles que f (x) + f(x) = f(0) + f(1) Exercice 14 Déterminer f dérivable sur R telle que f(x) = f(2 x) 15

8 Courbes paramètrées en coordonnées cartésiennes Exercice 1 1. Etudier la courbe paramétrée par t R (3 cos t + 2 cos 3t, 3 sin t 2 sin 3t) Donner les équations des tangentes en t 0 = 0, π 2, et π 3. 2. Etudier la courbe paramétrée par t 3 t R {0, 1, 1} ( t 2 1, 1 t 3 t ). Donner l équation de sa tangente en t 0 = 2. 3. Etudier la courbe paramétrée par t R (t 1)2 (t 1)3 (, ). t t 2 Donner l équation de sa tangente en t 0 = 1. 4. Etudier la courbe paramétrée par t R ( 3t 5 + 6t 4 + 5t 3 12t 2, 1 t 4 ). Exercice 2 Soit l arc paramétré défini par t R (sin(π sin t), cos(π cos t)). 1. Etudier sa périodicité et ses symétries éventuelles de façon à déterminer un domaine d étude le plus petit possible. 2. Etudier la courbe obtenue. Donner l équation de sa tangente en t 0 = 1. Exercice 3 (Spirale logarithmique) Etudier la courbe paramétrée par t R (e t cos t, e t sin t), et donner l équation de sa tangente en t 0 = 3π 4. Indication : on pourra, dans un premier temps, limiter l étude à [0, π]. Exercice 4 On considère le mouvement d une échelle de longueur l > 0, qui à l instant t = 0 est adossée à un mur vertical, et qui se met à glisser. On note H(t), B(t) et M(t) les positions respectives à l instant t du haut, du bas et du milieu de l échelle. On suppose que B(t) se déplace à vitesse constante v > 0 le long de l axe (0x). 1. Donner un paramétrage des mouvements de H(t), B(t) et M(t) au cours du temps t. 2. Quelles sont leurs trajectoires? Exercice 5 Etudier la courbe paramétrée définie par 16

t (cos 3t, sin 2t) Exercice 6 Etudier la courbe paramétrée définie par t (2 cos 2t, sin 3t) Exercice 7 Etudier la courbe paramétrée définie par t ( 1 t2 1 + t 2, t 3 1 + t 2 ) Exercice 8 Etudier la courbe paramétrée définie par t (e t, t 2 ) Exercice 9 (Astroïde) 1. Etudier la courbe paramétrée définie par t (cos 3 t, sin 3 t) 2. On note A et B les points d intersection des axes (Ox) et (Oy) avec la tangente au point de paramètre t 0[π/2] de la courbe précédente. Calculer la distance A(t)B(t). Exercice 10 (Cycloïde) Etudier la courbe paramétrée définie par t (t sin t, 1 cos t) Exercice 11 (Lemniscate de Bernoulli) 1. Etudier la courbe paramétrée définie par sin t sin t cos t t (, 1 + cos 2 t 1 + cos 2 t ) 2. On introduit les points F( 1 2, 0) et F ( 1 2, 0). Montrer que pour tout point M de la courbe ci-dessus MF MF = 1 2 17

Exercice 12 (Cardioïde) Etudier la courbe paramétrée définie par t (2 cos t + cos 2t, 2 sin t + sin 2t) 18

9 Courbes paramètrées en coordonnées polaire Exercice 1 19

10 Nombres réels Exercice 1 Montrer que 2 n est pas un nombre rationnel. Exercice 2 Si n est un entier 2, le rationnel H n = n 1 k k=1 Exercice 3 Soient n N et x 1,..., x n R. On suppose n n x k = x 2 k = n k=1 k=1 Montrer que pour tout k {1,..., n}, x k = 1. Exercoce 4 Soient x, y [0, 1]. Montrer x 2 + y 2 xy 1 Exercice 5 Soit n N et x R. Montrer que E ( ) E(nx) n = E(x). Exercice 6 Montrer que x R, n N n 1 k=0 E(x + k n ) = E(nx) peut-il être entier? Exercice 7 Soit a b R. Etablir Card([a, b] Z) = E(b) + E(1 a). Exercice 8 Soit { A = ( 1) n + 1 } n + 1 /n N Montrer que A est bornée, déterminer infa et supa. Exercice 9 Soient A et B deux parties de R non vides et majorées. Montrer que supa, supb et sup(a B) existent et sup(a B) = max(supa, supb) Exercice 10 Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. On forme A + B = {a + b/(a, b) A B} Montrer que A + B est majorée et sup(a + B) = supa + supb 20

Exercice 11 Soit f : R 2 R. Etablir sup inff(x, y) inf supf(x, y) Exercice 12 1- Soient A et B deux parties non vides de R telles que (a, b) A B a b Montrer que supa et infb existent les comparer. 2- Exhiber un exemple de parties A et B telles que sup A=inf B et (a, b) A B a < b Exercice 13 Soit A une partie bornée non vide de R. Montrer que sup (x,y) A 2 x y = supa infa 21

11 Nombres réels (fin), Suites réels (début) Exercice 1 Montre que u n Z N converge si, et seulement si, u n est stationnaire. Exercice 2 Soient u n et v n deux suites telles que Que dire de ces suites? 0 u n 1, 0 v n 1 et u n v n 0 Exercice 3 Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites u n suivantes 1- u n = 3n ( 2) n 3 n +( 2) n 2- u n = n 2 + n + 1 n 2 n + 1 3- u n = n n 2 +1 n+ n 2 1 4- u n = 1 n k n 2 k=1 Exercice 4 Déterminer par comparaison les limites des suites suivantes : 1- u n = sin n n+( ) n+1 2- u n = n! n n 3- u n = n ( 1)n n+( 1) n 4- S n = n k k=1 5- S n = n k=1 6- S n = n k=1 7- S n = 2n 8-S n = n 1 k k=n+1 k=1 9- S n = n k=1 1 n 2 +k 2 1 k 2 n n 2 +k 1 n 2 +k 10- S n = n ( 1) n k k! k=0 Exercice 5 Soit u n une suite de réels strictement positifs. On suppose u n+1 u n l. a) Montrer que si l < 1 alors u n 0. b) Montrer que si l > 1 alors u n. c) Montrer que dans le cas l = 1 on ne peut rien conclure. Exercice 6 Soit u n une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite v n = sup u p. p n 22

Exercice 7 Soit u n une suite croissante de limite l. On pose v n = u 1 +... u n n 1- Montrer que v n est croissante. 2- Etablir que v 2n un+vn 2 3- En déduire que v n l. Exercie 8 Pour tout n N, on pose Montrer que H n = n k=1 1 k En déduire que lim n H n =. n N, H 2n H n 1 2 Exercice 9 Pour tout n N, on pose H n = 1- Montrer que lim n H n =. Indication : on pourra commencer par montrer que ln(1 + x) x, x > 1. 2- Soit u n une suite telle que n(u n+1 u n ) 1. Montrer que u n. n k=1 1 k 23

12 Suites (fin) Exercice 1 Soit θ ]0, π [, u 2 n = 2 n sin θ, v 2 n n = 2 n tan θ. 2 n Montrer que les suite u n et v n sont adjacentes. Quelle est leur limite commune? Exercice 2 Soit u n une suite de réels décroissante et de limite nulle. Pour tout n N, on pose S n = n ( 1) n u k. k=0 Montrer que les suites extraites S 2n et S 2n+1 sont adjacentes et en déduire que S n converge. Exercie 3 Soient a n = n k=0 1 k!, et b n = n k=0 1 k! + 1 n.n! = a n + 1 n.n! a) Montrer que a n et b n sont strictement monotones et adjacentes. On admet que leur limite commune est e. On désire montrer que e/ Q et pour cela on raisonne par l absurde en supposant e = p q avec p Z, q N. b) Montrer que a q <e< b q puis obtenir une absurdité. Exercice 4 a) Pour (a, b) R +2, établir : 2 ab a + b b) On considère les suites de réels positifs u n et v n définies par u 0 = a, v 0 = b et n N, u n+1 = u n v n, v n+1 = u n + v n 2 Montrer que, pour tout n 1, u n v n, u n u n+1 et v n+1 v n. c) Etablir que u n et v n convergent vers une même limite. Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et est notée M(a, b). d) Calculer M(a, a) et M(a, 0) pour a R +. e) Exprimer M(λa, λb) en fonction de M(a, b) pour λ R +. Exercice 5 On suppose que u n est une suite réelle croissante telle que u 2n converge. Montrer que u n converge. Exercice 6 Soit u n une suite complexe telle que u 2n, u 2n+1 et u 3n convergent. Montrer que u n converge. Exercice 7 Montrer que la suite de terme général sin n diverge. 24

Exercice 8 Soit u n une suite réelle telle que n, p N, 0 u n+p n+p np. Montrer que u n 0. Exercice 9 Soit n un entier naturel et E n l équation x + tan x = n d inconnue x ] π, π[. 2 2 a) Montrer que l équation E n possède une solution unique notée x n. b) Montrer que la suite (x n ) converge et déterminer sa limite. Exercice 10 Montrer que l équation xe x = n possède pour tout n N, une unique solution x n dans R +. Etudier la limite de (x n ). 25

13 Relations de comparaison sur les suites Exercice 1 On pose u n = n k=1 1 k 2 n et v n = n k=1 Montrer que les suite u n et v n sont adjacentes. En déduire un équivalent de n k=1 1 k 1 k 2 n + 1 Exercice 2 Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de négligeabilité : a) 1, 1, ln n, ln n 1, n n 2 n n 2 n ln n b) n, n 2, n ln n, n ln n, n2 ln n. Exercice 3 Trouver un équivalent simple aux suite u n suivantes et donner leur limite : a) u n = (n + 3 ln n)e (n+1) b) u n = ln(n2 +1) n+1 c) u n = n 2 +n+1. n 2 n+1 Exercice 4 Trouver un équivalent simple aux suites u n suivantes : a) u n = 1 1 n 1 n+1 b) u n = n + 1 n 1 c) u n = ln(n + 1) ln(n) d) u n = sin 1 n+1 e) u n = 1 cos 1 n Exercice 5 Pour n N, on pose Montrer que u n n!. n u n = k! k=0 Exercice 6 Soit u n une suite décroissante de réels telle que u n + u n+1 1 n. a) Montrer que u n converge vers 0 +. b) donner un équivalent simple de u n. Exercice 7 On pose 26

a) Justifier que S n = n k=1 1 k 1 n + 1 2( n + 1 n) 1 n b) Déterminer la limite de S n. c) On pose u n = S n 2 n. On montre que u n converge. d) Donner un équivalent simple de S n. Exercice 8 On étudie ici la suite S n de terme général S n = n k=1 a) Etablir que pour tout t > 1, ln(1 + t) t et en déduire 1 n b) Observer que ln(1 + t) t t + 1 ln(n + 1) S n ln(n + 1) et en déduire un équivalent simple de S n. c) Montrer que la suite u n = S n ln n est convergente. Sa limite est appelée constante d Euler et est usuellement notée γ. Exercice 9 Soit n un entier naturel et E n l équation x + ln x = n d inconnue x R +. a) Montrer que l équation E n possède une solution unique notée x n. b) Montrer que la suite (x n ) diverge vers +. c) Donner un équivalent simple de la suite (x n ). 27

14 Arithmétique dans Z Exercice 1 Soient a Zet b N, on note q le quotient de la division euclidienne de a 1 par b. Déterminer pour tout n N, le quotient de la division euclidienne de (ab n 1) par b n+1. Exercice 2 Montrer que 11 divise 2 123 + 3 121. Exercice 3 Quel est le reste de la division euclidienne de 1234 4321 + 4321 1234 par 7. Exercice 4 Trouver les entiers n Z tel que 10 divise n 2 + (n + 1) 2 + (n + 3) 3. Exercice 5 Montrer que (7 divise x et 7 divise y) si et seulement si 7 divise x 2 + y 2. Exercice 6 Montrer que le pgcd de 2n + 4 et 3n + 3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6. Exercice 7 a) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a N par b N alors 2 r 1 est le reste de la division euclidienne de 2 a 1 par 2 b 1. b) Montrer que pgcd(2 a 1, 2 b 1)=2 pgcd(a,b) 1. Exercice 8 Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si a p 1 est premier alors a = 2 et p est premier. Exercice 9 Soit p > 3 un nombre premier. Montrer que 24 divise p 2 1. Exercice 10 Soit x un nombre à (au plus) deux chiffres. Montrer que le nombre à (au plus) six chiffres obtenu en juxtaposant trois fois x est divisible par 37. Exercice 11 Montrer que 2009 divise 2008 k=1 k 2009. Exercice 12 Soit p un nombre premier. 1. Montrer que pour tout k = 1... p 1, p divise C k p. 2. Montrer que pour tout entier n non-multiple de p, p divise n p n puis que p divise n p 1 1. 28

15 Groupes, anneaux, corps Exercice 1 Soit (G,.) un groupe tel que Montrer que G est commutatif. x G, x 2 = e Exercice 2 Soit G = R R et. la loi de composition interne définie sur G par (x, y).(x, y ) = (xx, xy + y) a) Montrer que (G,.) est un groupe non commutatif. b) Montrer que R + R est un sous-groupe de (G,.). Exercice 3 Soit G =] 1, 1[, on définit une loi. par x, y G, x.y = x + y 1 + xy Montrer que (G,.) est un groupe abélien. Exercice 4 Soit ω C et H = {a + ωb/a, b Z}. Montrer que H est un sous-groupe de (C, +). Exercice 5 Soit a C et H = {a n /n Z}. Montrer que H est un sous-groupe de (C, ). Exercice 6 Soit (G, ) un groupe, et H un sous-groupe de (G, ) et a G. a) Montrer que aha 1 = {axa 1 /x H} est un sous-groupe de (G, ). b) A quelle condition simple ah = {ax/x H} est un sous-groupe de (G, )? Exercice 7 Soit f a,b : C C définie par f a,b (z) = az + b avec a C, b C. Montrer que ({f a,b /a C, b C}, ) est un groupe. Exercice 8 Soit H et K deux sous-groupes d un groupe (G,.) tels que H K en soit aussi un sous-groupe. 29

Montrer que H K ou K H. Exercice 9 Pour n N, on note U n l ensemble des racines n-ème de l unité : Montrer que est un groupe multiplicatif. U n = {z C/z n = 1} V = n N U n Exercice 10 Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a G, on note τ a l application de G vers G définie par τ a (x) = axa 1. a) Montrer que τ a est un endomorphisme du groupe (G, ). b) Vérifier que a, b G, τ a τ b = τ ab c) Montrer que τ a est bijective et déterminer son application réciproque. d) En déduire que T = {τ a /a G} muni du produit de composition est un groupe. Exercice 11 Soit x et y deux éléments d un anneau (A, +, ). a) Montrer que si x est nilpotent et que x et y commutent, alors xy est nilpotent. b) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors x+y est nilpotent. c) Montrer que si xy est nilpotent, alors yx l est aussi. d) Montrer que si x est nilpotent alors 1 x est inversible. Préciser (1 x) 1. Exercice 12 Soit d N,on note Z[ d] = {a + b d/(a, b) Z 2 }. Montrer que Z[ d] est un sous-anneau de (R, +, ). Exercice 13 Soit d N, tel que d / Q, on note Q[ d] = {a + b d/(a, b) Q 2 }. Montrer que (Q[ d], +, ) est un corps. 30

16 Limites, continuité Exercice 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x 0 + E( 1 x ) 2. lim x 0 xe( 1 x ) 3. lim x 0 x 2 E( 1 x ) Exercice 2 1. Soit g : R R une fonction périodique convergeant vers +. Montrer que g est constante. 2. Soient f, g : R R telles que f converge en +, g périodique et f + g croissante. Montrer que g est constante. Exercice 3 Etudier la continuité sur R de l application f : x E(x) + x E(x). Exercice 4 Soit f : R R définie par f(x) = 0 si x Q et f(x) = 0 sinon. Montrer que f est totalement discontinue. Exercice 5 Soit f : R f(x) + R une fonction croissante telle que x x Montrer que f est continue. est décroissante. Exercice 6 Soit f : R R une fonction continue en 0 et en 1 telle que x R, f(x) = f(x 2 ). Montrer que f est constante. Exercice 7 Soit f : R R continue telle que x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y). 1. Calculer f(0) et montrer que x R, f( x) = f(x). 2. Justifier que pour tout n Z et tout x R, f(nx) = nf(x). 3. Etablir que pour tout r Q, f(r) = ar avec a = f(1). 4. Conclure que pour tout x R, f(x) = ax. Exercice 8 Soit f : [0, 1] [0, 1] continue. Montrer que f admet un point fixe. Exercice 9 Montrer que les seules applications continues de R vers Z sont les fonctions constantes. 31

Exercice 10 f(x) Soit f : [0, + [ R continue, positive et telle que lim x + = l < 1. x Montrer qu il existe α [0, + [ tel que f(α) = α. Exercice 11 Montrer qu une fonction continue et périodique définie sur R est bornée. Exercice 12 Soient f : R R bornée et g : R R continue. Montrer que g f et f g sont bornées. 32

17 Continuité (fin), Espaces vectoriels x 1+ x. Exerice 1 Soit f : R R définie par f(x) = 1. Montrer que f réalise une bijection de R vers ] 1, 1[. 2. Déterminer, pour y ] 1, 1[ une expression de f 1 (y) analogue à celle de f(x). Exercice 2 Soient a < b R et f :]a, b[ R une fonction strictement croissante. Montrer que f est continue si, et seulement si, f(]a, b[) =] lim a f, lim b f[. Exercice 3 Montrer que x x est uniformément continue sur R +. Exercice 4 Montrer que x ln(x) n est pas uniformément continue sur R +. Exercice 5 Soit f : R + R continue et tendant vers 0 à l infini. Montrer que f est uniformément continue. Exercice 6 Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E E de l addition usuelle et de la multiplication externe pas les complexes définie par : (a + ib).( x, y) = (a. x b. y, a. y + b. x). Montrer que E E est alors un C-espace vectoriel. Exercice 7 Soient F = {(x, y, z) R 3 /x+y z = 0} et G = {(a b, a+b, a 3b)/a, b R}. 1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R 3. 2. Déterminer F G. Exercice 8 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si, F G ou G F. Exercice 9 Soient A et B deux parties d un K-espace vectoriel E. Montrer que Vect(A B) = Vect(A)+ Vec(B). Exercice 10 33

Soit f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = (x + y, x y). Montrer que f est un automorphisme de R 2 et déterminer son automorphisme réciproque. Exercice 11 Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E. Montrer que g f = 0 si, et seulement si, Imf Kerg. Exercice 12 Soit E le R-espace vectoriel des applications indéfiniment dérivables sur R. Soient ϕ : E E et ψ : E E les applications définies par : ϕ(f) = f et ψ(f) est donnée par : x R, ψ(f)(x) = x 0 f(t)dt 1. Montrer que ϕ et ψ sont des endomorphismes de E. 2. Exprimer ϕ ψ et ψ ϕ. 3. Déterminer images et noyaux de ϕ et ψ. 34

18 Sous-espaces vectoriels, transformations vectorielles Exercice 1 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si, F G ou G F. Exercice 2 Soient A et B deux parties d un K-espace vectoriel E. Montrer que Vect(A B) = Vect(A)+ Vec(B). Exercice 3 Soient H = {(x 1,..., x n ) K n /x 1 + + x 2 = 0} et u = (1,..., 1) K n. Montrer que H et Vect( u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de K n. Exercice 4 Soit F = {f F(R,R)/f(0) + f(1) = 0}. 1. Montrer que F est une sous-espace vectoriel. 2. Déterminer un supplémentaire de F dans F(R,R). Exercice 5 Soient f, g, h L(E) tels que f g = h, g h = f, h f = g 1. Montrer que f, g, h ont même noyau et même image. 2. Montrer f 5 = f. 3. En déduire que l image et le noyau de f sont supplémentaires dans E. Exercice 6 Soient f et g deux endomorphismes d un K-espace vectoriel E vérifiant f g = Id. 1. Montrer que ker(g f) = ker(f) et Im(g f) = Im(g). 2. Montrer que ker(f) et Im(g) sont supplémentaires dans E. 3. Dans quel cas peut-on conclure g = f 1? 4. Calculer (g g) (g f) et caractériser g f. Exercice 7 Soient E un K-espace vectoriel et p L(E). 1. Montrer que p est un projecteur si, et seulement si, Id p l est. 2. Exprimer alors Im(Id p) et Ker(Id p) en fonction de Im(p) et Ker(p). Exercice 8 35

Soient p, q L(E). Montrer l équivalence entre les assertions (i) p q = p et q p = q ; (ii) p et q sont des projecteurs de même noyau. Exercice 9 Soient E un K-espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E qui commutent. 1. Montrer que ker(f) et Im(f) sont stables par g. 2. En déduire que, si p est un projecteur de E, on a : p et f commutent si, et seulement si, Im(p) et Ker(p) sont stables par f. Exercice 10 Soit f L(E) tel que f 2 4f + 3Id = 0. Montrer que Ker(f Id) Ker(f 3Id) = E. Quelle transformation vectorielle réalise f. 36

19 Dérivabilité Exercice 1 Pour λ R, on considère les fonctions f λ : x x + λ x 2 + 1 1. Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions f λ sont parallèles. 2. Observer que les tangentes en 1 sont concourantes. Exercice 2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n en soit pas une extrémité. Si le rapport 1 (f(a + h) f(a h)) 2h admet une limite finie quand h tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique de f en a. 1. Montrer que, si f est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée symétrique en a. 2. Que dire de la réciproque? Exercice 3 Calculer de deux façons la dérivée n-ième de x x 2n. En déduire une expression de Exercice 4 Calculer la dérivée n-ème de 1. x sin x exp(x). 2. x (x 2 + 1) exp(x). Exercice 5 Calculer la dérivée n-ème de Exercice 6 n (C k n )2 k=0 x 1 1 x, x 1 1 + x puis x 1 1 x 2 37

Soit p ]0, 1]. 1. Etablir que pour tout t 0, on a (1 + t) p 1 + t p 2. En déduire que pour tout x, y 0, (x + y) p x p + y p Exercice 7 Soit f : [0, + [ R de classe C 1 telle que f(0) = 1et lim + f = + Montrer que si f s annule au moins deux fois alors f aussi. Exercice 8 Soit f : R R dérivable. On suppose que f ne s annule pas. Montrer que f ne peut être périodique. Exercice 9 Soit a, b, c R. Montrer qu il existe x ]0, 1[ tel que 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx = a + b + c Exercice 10 Soit n N et f : I R une application de classe C n s annulant en n+1 points distincts de I. 1. Montrer que la dérivée n-ème de f s annule au moins une fois sur I. 2. Soit α un réel. Montrer que la dérivée (n 1)-ème de f + αf s annule au moins une fois sur I. (indic : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) Exercice 11 Soit a > 0 et f une fonction réelle continue sur [0, a] et dérivable sur ]0, a]. On suppose f(0) = 0 et f(a)f (a) < 0 Montrer qu il existe c ]0, a[ tel que f (c) = 0. 38

20 Pôlynomes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : 1. Q 2 = XP 2 d inconnues P, Q K[X]. 2. P P = P d inconnue P K[X]. Exercice 2 Trouver les P R[X] tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X). Exercice 3 Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme P n R[X] tel que P n P n = Xn. Exprimer les coefficients de P n à l aide de nombres factoriels. Exercice 4 Soient n, m N. 1. De la division euclidienne de n par m, déduire celle de X n 1 par X m 1. 2. Etablir que pgcd(x n 1, X m 1) = X pgcd(n,m) 1. 3. Montrer que m n si et seulement si X m 1 X n 1. Exercice 5 Pour k {0,..., n}, on pose P k = (X + 1) k+1 X k+1. Montrer que la famille (P 0,..., P n ) est une base de K n [X]. Exercice 6 Soit a 0, a 1,..., a n des éléments deux à deux distincts de K. Montrer que l application φ : K n [X] K n+1 définie par φ(p ) = (P (a 0 ),..., P (a n )) est une isomorphisme de K-espace vectoriel. Exercice 7 Soit P C[X] un polynôme non nul tel que P (X 2 ) + P (X)P (X + 1) = 0. 1. Montrer que si a est racine de P alors a 2 l est aussi. 2. En déduire que a = 0 ou bien a est racine de l unité. Exercice 8 Soit P (X) = X n + a n 1 X n 1 + + a 0 C[X]. Montrer que si x est racine de P alors x 1 + max a k Exercice 9 Soit P R[X] un polynôme scindé de degré supérieur à 2. Montrer que P est scindé. 39

Exercice 10 Soit P (X) = n k=0 a k X k un polynôme de degré n tel que : k [0, n], a n k = a k Montrer que z est racine non nulle de P si et seulement si, 1 z P ( 1 ). X est une racine de 40

21 Polynômes (suite) Exercice 1 Soit A, B K[X] non nuls. Montrer que A et B sont premiers entre eux si, et seulement si, A + B et AB le sont. Exercice 2 Soit A, B, C K[X] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer que pgcd(a, BC) =pgcd(a, C). Exercice 3 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ, µ) K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λx 2 + µx + 2. Exercice 4 Soit t R et n N. Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X] de (X cos t + sin t) n. Exercice 5 1. Soit P = a n X n + + a 1 X + a 0, un polynôme à coefficients entiers tel que a n 0 et a 0 0. On suppose que P admet une racine rationnelle r = p q exprimée sous forme irréductible. Montrer que p a 0 et q a n. 2. Factoriser P = 2X 3 X 2 13X + 5. 3. Le polynôme P = X 3 + 3X 1 est-il irréductible dans Q[X]? Exercice 6 Soit P R[X] scindé à racines simples dans R. Montrer que pour tout α R les racines de P 2 + α 2 dans C sont toutes simples. Exercice 7 Soit P R[X] un polynôme scindé de degré supérieur à 2. Montrer que P est scindé. Exercice 8 Donner une CNS sur n N pour que X 2 + X + 1 X 2n + X n + 1. Exercice 9 Factoriser le polynômee (X + i) n (X i) n pour n N. Exercice 10 Trouver les racines dans C du polynôme X 4 + 12X 5 sachant qu il possède deux racines dont la somme est 2. 41

Exerice 11 Soit P C[X] non nul et n =degp. Montrer que les sommes des zéros de P, P,..., P (n 1) sont en progression arithmétique. 42

22 Espaces vectoriels de dimension finie Exercice 1 Pour tout entier 0 k n, on pose f k : R R la fonction définie par f k (x) = exp(k.x). Montrer que la famille (f k ) 0 k n est une famille libre de F(R,R). Exercice 2 Soit E l ensemble des fonctions f : R R telles qu il existe a, b, c R pour lesquels : x R, f(x) = (ax 2 + bx + c) cos(x). 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F(R,R). 1. Déterminer une base de E et sa dimension. Exercice 3 Soit E un K-espace vectoriel muni d une base B = (e 1,..., e n ). Pour tout i {1,..., n}, on pose ǫ i = e 1 + + e i. 1. Montrer que B = (ǫ 1,..., ǫ n ) est une base de E. 2. Exprimer les composantes dans B d un vecteur en fonction de ses composantes dans B. Exercice 4 Déterminer la dimension de l intersection de deux hyperplans d un K-espace vectoriel de dimension 2. exercice 5 Soient H un hyperplan et F un sous-espace vectoriel non inclus dans H. Montrer que dim F H = dim F 1. Exercice 6 Soit F un sous-espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que F peut s écrire comme une intersection d un nombre fini d hyperplans. Quel est le nombre minimum d hyperplans nécessaire? Exercice 7 Soient D une droite vectorielle et H un hyperplan d un K-espace vectoriel E de dimension n N. Montrer que si D n est pas inclus dans H alors D et H sont supplémentaires dans E. Exercice 8 Pour tout entier k, on définit f k (x) = cos(kx) et g k (x) = cos k (x). 1. Montrer que, pour tout n N, il existe un polynôme T n tel que x R, cos(nx) = T n (cos(x)). Déterminer le degré de T n. 2. En déduire que Vect(f k ) 0 k n =Vect(g k ) 0 k n. 43

Exercice 9 Soient E n = R n [X] et la famille (P k ) 0 k n de E n définie par P 0 (X) = 1 et pour tout k 1 : X(X 1)(X 2)... (X k + 1) P k (X) = k! 1. Montrer que, si n = 3, (P k ) 0 k n est une famille libre de E n. 2. Montrer que ce résultat reste vrai pour n quelconque. 3. On dit qu une famille de polynômes (P k ) 0 k n de E = R[X] est échelonnée en degré si k [0, n], degp k+1 > degp k. Montrer que toute famille échelonnée en degré de E, ne contenant pas le polynôme nul, est libre dans E. 44

23 Espaces vectoriels de dimension fini (suite) Exercice 1 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1 et f un endomorphisme nilpotent non nul de E. Soit p le plus petit entier tel que f p = 0. 1. Soit x / merf p 1. Montrer que la famille (x, f(x),..., f p 1 (x)) est libre. 2. En déduire que f n = 0. Exercice 2 Soit E un K-espace vectoriel et f L(E) tel que les vecteurs x et f(x) sont colinéaires et ce pour tout x E. 1. Justifier que pour tout x E, il existe λ x K tel que f(x) = λ x x. 2. Montrer que pour tout couple de vecteurs non nuls x et y, on a λ x = λ y. (indication : distinguer les cas (x,y) liée ou libre) 3. Conclure que f est une homothétie. Exercice 3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soient f, g L(E) tels que f 2 + f g = Id. Montrer que f et g commutent. Exercice 4 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g L(E). Montrer que puis que rg(f + g) rg(f) + rg(g) rg(f) rg(g) rg(f g) Exercice 5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. Montrer l équivalence : kerf = Imf f 2 = 0 et n = 2rg(f). Exercice 6 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f L(E) tel que rg(f 2 ) = rg(f). 1. Etablir Imf 2 = Imf et kerf 2 = kerf. 2. Montrer que Imf et kerf sont supplémentaires dans E. Exercice 7 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n 1 et f un endomorphisme de E. Pour tout p N, on pose I p = Imf p et N p = kerf p. 45

1. Montrer que la suite des I p est décroissante tandis que celle des N p est croissante. 2. Montrer qu il existe s N tel que I s+1 = I s et N s+1 = N s. 3. Soit r le plus petit des entiers s ci-dessus considérés. Montrer que s r, I s = I r et N s = N r 4. Montrer que I r et N r sont supplémentaires dans E. Exercice 8 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et (f 1, f 2,..., f n ) une famille de formes linéaires sur E. On suppose qu il existe un vecteur x E non nul tel que pour tout i {1,..., n}, f i (x) = 0. Montrer que la famille (f 1,..., f n ) est liée dans Eĺ. Exercice 9 Soit f un endomorphisme de R 3 et φ (R 3 ) tels que pour tout x R 3 on a f(x) = φ(x).a. Exercice 10 Donner l expression du terme général de la suite récurrente complexe (u n ) n 0 définie par : u 0 = 0, u 1 = 1 + 4i et n N, u n+2 = (3 2i)u n+1 (5 5i)u n Exercice 11 Donner l expression du terme général de la suite récurrente (u n ) n 0 définie par : u 0 = 1, u 1 = 0 et n N, u n+2 = 4u n+1 4u n Exercice 12 Donner l expression du terme général de la suite récurrente (u n ) n 0 définie par : u 0 = 1, u 1 = 1 et n N, 2u n+2 = 3u n+1 u n 46

24 Matrices 47

25 Matrices (fin) 48

26 Développements limités Exercice 1 Déterminer les développements limités suivants : 1. DL 3 (0) de ln(1 + sin(x)) 2. DL 4 (0) de ln( sin(x) x ) 3. DL 3 (0) de ln(1 + 1 + x) 4. DL 4 (1) de ln(x) x 5. DL 3 (1) de cos(ln(x)) Exercice 2 Montrer que l application f : R R définie par f(x) = x exp(x 2 ) admet une application réciproque définie sur R et former le DL 5 (0) de f 1. Exercice 3 Calculer les limites suivantes : cos(x)+ch(x) 2 1. lim x 0 x 4 1 2. lim 1 x 0 sin 2 (x) sh 2 x 3. lim (tan(x)) tan(2x) x π 4 Exercice 4 En calculant de deux façons le développement limité à l ordre n de (exp(x) 1) n, établir que pour tout 0 l n n k=0 Cn k ( 1) n k k l l! = { 0 si l < n 1 si l = n Exercice 5 Soient a un réel non nul et f la fonction définie au voisinage de 0 par ln(1 + ax) f(x) = 1 + x Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles f présente un point d inflexion en 0. Exercice 6 Déterminer les limites suivantes : 1. lim n sin( 1) n n 2. lim (n sin( 1 n n ( ))n2 ) 3. n lim a 1/n +b 1/n n 2 49

4. lim n (3.2 1/n 2.3 1/n ) n Exercice 7 Soit f :] 1, 0[ ]0, + [ R définie par ln(1 + x) x f(x) = x 2 Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en 0. Quelle est alors la position relative de la courbe de f par rapport à sa tangente en ce point? 50

27 Intégrales Exercice 1. Calcul Déterminer les primitives suivantes : 1. te t2 dt 2. lnt t dt 3. dt tlnt 4. cos 3 tdt 5. t 1+t 4 dt 6. t sin te t dt Exercice 2. IPP Déterminer les primitives suivantes : 1. t ln tdt 2. t sin 3 tdt 3. (t 1) sin tdt 4. (t + 1)chtdt Exercice 3. Changement de variables Déterminer les primitives suivantes : 1. dt t+ t 3 2. e 2t e t +1 dt 3. dt t t 2 1 4. Calculer 1 0 dt e t +1 Exercice 4 Soit f : R R continue et T > 0. On suppose que Montrer que f est périodique. x+t x f(t)dt = C te Exercice 5 Soit f : [a, b] R continue. Montrer que b a f(t)dt = b a f(t) dt si, et seulement si, f reste de signe constant. Exercice 6 Soit f : [0, 1] R continue telle que 1 0 f(t)dt = 1 2 51

Montrer que f admet un point fixe. Exercice 7 Soit f : [0, 1] R continue. Montrer que f possède une unique primitive F telle que 1 Exercice 8 Soit f : [0, 1] R continue telle que 0 1 0 F(t)dt = 0 f(t)dt = 0 m le minimum de f et M son maximum. Prouver 1 0 f 2 (t)dt mm Exercice 9 Soient f et g deux fonctions croissantes et continues sur [0, 1]. Comparer 1 0 f(t)g(t)dt et ( 1 0 ) ( 1 ) f(t)dt g(t)dt 0 52

28 Déterminant Exercice 1 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id p sa projection complémentaire. Montrer que l application ϕ : E E K définie par ϕ(x, y) = f(p(x))f(q(y)) f(p(y))f((q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Exercice 2 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = Id. Montrer que m espace E est de dimension paire. Exercice 3 Soit V = {x e x P (x) P R n [X]}. 1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F(R,R) dont on déterminera la dimension. 2. Montrer que l application D : f f est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant. Exercice 4 Soit A M n (C) telle que t A = A. Montrer que det A R. Exercice 5 Soit A une matrice antisymétrique d ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d ordre pair? Exercice 6 Soit A M n (R) vérifiant Montrer i, j {1,..., n}, a i,j { 1, 1} 2 n 1 det A Exercice 7 Soient a 1,..., a n C. Calculer det(a max(i,j) ). En déduire en particulier det(max(i, j)) et det(min(i, j)). 53

Exercice 8 Soit A = (a i,j ) une matrice carrée d ordre n à coefficients dans Z. 1. Justifier que det A Z. 2. Montrer que l inverse de A existe et est à coefficients entiers si, et seulement si, det A = ±1. Exercice 9 Soient E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e 1, e 2, e 3 ) une base de E. Soit f l endomorphisme de E dont la matrice dans B est 3 2 3 A = 2 6 6 2 2 2 1. Pour quelles valeurs de λ, a-t-on det(a λi 3 ) = 0? 2. Déterminer une base C = (f 1, f 2, f 3 ) de E telle que 1 0 0 Mat C f = 0 2 0 0 0 4 54