La théorie de la production La production d une entreprise, d une branche ou d une nation est souvent exprimée par une fonction de production S il y a un seul output on peut écrire: q = f(x, x,, x r ) où q est le bien produit et x i ; i =,, r les facteurs de production Si l entreprise produit plusieurs biens, il faut utiliser une forme implicite et écrire: Φ(q,, q m ; x,, x r ) = 0 Rendement marginal et rendement d échelle Les marginalistes ont étudié la variation de la production lorsqu on augmente l utilisation d un facteur de production On obtient la productivité marginale qui est donnée par la dérivée partielle q x i = f i Les marginalistes ont observé que le rendement marginal (ou la productivité marginale) diminue lorsqu on augmente l utilisation du facteur En d autres termes, la dérivée deuxième est négative [ q = f x ii < 0] Cette constatation est générale i et on parle alors de la loi des rendements marginaux décroissants Par conséquent, il faut utiliser une fonction strictement concave pour représenter la production En effet, une matrice hessienne définie négative a des valeurs négatives sur la diagonale [f ii < 0] et elle implique une fonction strictement concave Lorsque tous les facteurs varient on parle de rendement d échelle Supposons que tous les facteurs soient multipliés par γ On aura alors: f(γx, γx,, γx m ) = α(γq) γ > Si α > le rendement d échelle est croissant, si α = le rendement est constant et si α < il est décroissant Le rendement d échelle peut varier selon la valeur de la production et la valeur de γ Par exemple, si la fonction de production est: q = 3x x x 3 x 3 /8 et x = x =, alors α = 3 lorsque γ = mais α = 066 lorsque γ = 4 Si la fonction de production est homogène, alors le rendement restera toujours le même car α = γ s où s est le degré d homogénéité de la fonction Si s > alors le rendement d échelle est toujours croissant, s il est égal à il sera toujours constant et s il est inférieur à il sera toujours décroissant Au niveau d une nation le rendement d échelle est approximativement constant Les estimations de la fonction Cobb-Douglas généralisée: q = AK a L b A, a, b > 0 où K est le capital, L le travail et A, a, b des coefficients, donnent des valeurs de s = a + b proches de l unité Un rendement d échelle constant n est pas incompatible avec un rendement marginal décroissant Par exemple, les rendements marginaux de la fonction ci-dessus sont: f KK = a(a )AK a L b < 0 si a < f LL = b(b )AK a L b < 0 si b < Lorsque s = a + b =, le rendement d échelle est constant mais les rendements marginaux sont décroissants La fonction est concave si s = et strictement concave si s < Si la fonction de production est de type Cobb-Douglas généralisé, alors le rendement marginal est proportionnel au rendement moyen En effet: f K = a q K ; f L = b q L
D autre part, le taux de substitution technique (T ST ), c est-à-dire le rapport des rendements marginaux (pente de l isoquante) dépend uniquement du rapport des facteurs Ceci est le cas pour toute fonction homogène On a ici: T ST = dk dl = f L fk = baka L b aak a L b = b a K L L élasticité de substitution L utilisation des facteurs dépend des techniques de production La fonction de production exprime ces relations techniques A court terme, les proportions sont souvent fixes mais à plus ou moins long terme il est possible de changer de technique Par exemple, la fabrication de voitures devient de plus en plus robotisées: plus de capital et moins de travail Le taux de substitution technique indique les facilités ou les difficultés de remplacement d un facteur par un autre Il a toutefois un inconvénient majeur: il dépend des unités de mesure des facteurs On a alors proposé une mesure indépendante des unités Il s agit de l élasticité de substitution Comme toute élasticité, elle est le rapport de deux variations en pourcentage On prend ici les pourcentages de variation du rapport des facteurs [d ln( K L )] et du taux de substitution technique [d ln T ST = d ln(f L /f K )]: σ = d ln( K L ) d ln f L = L K d( K L ) f K fk fl d( f L fk ) Si la fonction est homogène de degré s, cette expression devient: σ = f L f K sqf LK +f L f K ( s) La fonction Cobb-Douglas généralisée a une élasticité de substitution égale à l unité Si l on veut estimer l élasticité de substitution, il faut choisir une fonction plus générale On a alors proposé une fonction qui a une élasticité de substitution constante Cette fonction, appelée CES (constant elasticity of substitution) est donnée par l expression suivante: q = A[aK ρ + ( a)l ρ ] s/ρ avec T ST = a a ( K L )+ρ ; σ = +ρ Si ρ = 0 (σ = ), on obtient la fonction Cobb-Douglas généralisée Si ρ = (σ = 0) les deux facteurs doivent être utilisés dans des proportions fixes et la fonction de production est q = min(ak, bl) On l appelle aussi la fonction de production de Leontief Si ρ = (σ = ) on peut substituer un facteur par l autre sans aucune difficulté La fonction de production est q = ak + bl et l isoquante est une droite La fonction CES peut même donner des isoquantes concaves Il suffit de prendre ρ < Choix des facteurs et du niveau de production Le choix des facteurs dépend du prix Supposons que l entreprise doit produire une certaine quantité (q o ) d output Les prix des facteurs sont p K pour le capital et p L pour le travail Ils sont fixes L entreprise veut minimiser les coûts de production On aura alors: min C = p K K + p L L SC q o = f(k, L) Le lagrangien est: L = p K K + p L L + λ[q o f(k, L)] où λ représente ici le coût marginal Les conditions de premier ordre sont: L K = p K λf K = 0 L L = p L λf L = 0 L λ = q o f(k, L) = 0
En éliminant le multiplicateur de Lagrange on trouve l égalité entre le taux de substitution technique et le rapport des prix des facteurs: T ST = f L fk = p L pk La condition de deuxième ordre implique que les isoquantes soient strictement convexes et ceci est le cas si la fonction de production est strictement quasi-concave Si l on change la quantité produite, on aura de nouvelles quantités qui minimisent le coût de production En reliant les points de tangence entre l isocoût et l isoquante on obtient le chemin d expansion de la production de l entreprise Ce chemin est une droite lorsque la fonction de production est homogène (ou homothétique) Choix du niveau de production Les entreprises qui travaillent sur commande ne sont pas très nombreuses En général, l entreprise propose différentes quantités selon le prix du produit Cette fonction d offre est obtenue en faisant l hypothèse que l entreprise maximise son profit: Π = pq (p K K + p L L) = pf(k, L) p K K p L L Si le prix de vente est fixe (hypothèse de concurrence parfaite), alors les conditions de premier ordre sont: { Π K = pf K p K = 0 Π L = pf L p L = 0 L entreprise produit jusqu au point où la productivité marginale en valeur est égale au prix du facteur: pf K = p K ; pf L = p L La condition de deuxième ordre est: pf KK < 0 pf KK pf LK pf KL pf LL = f KK p f LK f KL f LL > 0 et ceci implique pf LL < 0 La fonction de production doit être strictement concave, au moins au point d équilibre On peut aussi remarquer que la loi des rendements marginaux décroissants est impliquée par cette condition Fonctions de demande et d offre de l entreprise En résolvant les conditions de premier ordre par rapport à K et à L on obtient les fonctions de demande (d inputs) de l entreprise: K = ϕ (p K, p L, p) L = ϕ (p K, p L, p) La demande d un facteur dépend des prix des facteurs utilisés et du prix du produit Il s agit d une fonction homogène de degré zéro par rapport aux prix, comme on peut le constater en prenant les conditions de premier ordre Si l on change d unité monétaire, la demande de l entreprise, comme celle des consommateurs, reste la même En introduisant ces valeurs de K et de L dans la fonction de production on obtient: q = f[ϕ (p K, p L, p), ϕ (p K, p L, p)] = ψ(p K, p L, p) qui est la fonction d offre (de l output) de l entreprise Aussi cette fonction est homogène de degré zéro par rapport aux prix Il est intéressant d analyser les effets, sur la demande d inputs et sur l offre de l output, d une variation des prix des facteurs et du prix de l output Comme dans la théorie du 3
consommateur, on fait varier le prix et on compare les quantités d équilibre avant et après le changement () Effets d une variation du prix de l output Prenons tout d abord le cas d une variation du prix du produit vendu par l entreprise En différenciant les conditions de premier ordre par rapport à p on obtient: { K fk + pf KK + pf KL L = 0 K f L + pf LK + pf LL L = 0 L effet sur l offre peut être obtenu en différenciant la fonction de production: q = f K K + f L L En utilisant les matrices, on peut écrire tous ces effets de la manière suivante: pf KK pf KL 0 pf LK pf LL 0 K L q = f K f L f K f L 0 [ ] [ ph 0 x ] [ ] fx = fx T q 0 où H est la matrice hessienne des dérivées deuxièmes de la fonction de production et x le vecteur des inputs On a alors les vecteurs et la matrice suivants: [ K ] [ ] [ ] x = fk fkk f KL f x = ; H = L f L f LK f LL L inverse de la matrice à gauche ci-dessus est: [ ] [ ph 0 ] p = H 0 fx T p f x T H Les effets d une variation du prix de l output sont alors: { x = p H f x q = p f x T H f x La condition de deuxième ordre implique que H est une matrice définie négative Par conséquent, l expression fx T H f x est négative et alors q/ sera positif L augmentation du prix de l output conduit nécessairement à un accroissement de la production et de l offre de l entreprise La courbe d offre a une pente positive: Il n est pas possible de déterminer l effet sur la quantité demandée des facteurs Toutefois, on peut dire que l entreprise va accroître l utilisation d au moins un facteur Si l entreprise utilise de moins en moins un facteur lorsque le prix de vente (et la production) augmente, on dit que ce facteur est un input inférieur Dans ce cas, le chemin d expansion aura une pente négative () Effets d une variation du prix des inputs Supposons maintenant que le prix du capital se modifie En différenciant les conditions de premier ordre on obtient: { K L pfkk K + pf KL K = K L pf LK K + pf LL K = 0 L effet sur l offre de l entreprise peut être déterminé en différenciant la fonction de production: q K K L = f K K + f L K En mettant ces expressions sous la forme matricielle suivante: 4
[ ph 0 où f T x x K = [ K K ] [ x k q k L K ] = 0 ] T on obtient: [ x ] [ ] K p = H 0 q K p f x T H 0 0 et alors: [ ] [ ] x K = p H q ; 0 K = p f x T H 0 L inverse de la matrice hessienne est: [ ] fll f H KL = (/D) f LK 0 f KK où D = f KK f LL f KL f LK Nous savons que cette matrice doit être définie négative (condition de deuxième ordre) On a alors: K K = D p f L LL < 0 ; K = D p f LK Si le prix du capital augmente, l entreprise va diminuer la quantité utilisée de ce facteur Le même raisonnement est valable pour une augmentation du prix du travail La demande d input a une pente négative Il n y a pas ici le cas des biens Giffen Si le prix d un facteur augmente, l entreprise va diminuer l utilisation de ce facteur Il y a une relation intéressante entre l effet d une variation du prix du produit sur la demande d un facteur et l effet d une variation du prix d un facteur sur la production de l entreprise En utilisant l équation ci-dessus, on peut écrire: [ ] K = p [ 0]H f x = p f x T H = q 0 K Une hausse du prix du produit augmente la demande de capital si une hausse du prix du capital conduit à une diminution de la production de l entreprise Si le capital n est pas un input inférieur, la demande de ce facteur augmente lorsque la production augmente (à la suite d une hausse du prix de l output) Dans ce cas, la production doit diminuer lorsque le prix du capital augmente Par contre, la hausse du prix d un input inférieur conduit à un accroissement de la production On ne peut pas déterminer l effet d une hausse du prix du capital sur la demande de travail Deux inputs sont appelés complémentaires si la hausse du prix d un facteur conduit aussi à une baisse de l autre facteur Deux inputs sont substituables lorsque la hausse du prix d un facteur fait augmenter l utilisation de l autre input Dans la production, le cas le plus courant est celui de deux inputs complémentaires Par exemple, si la fonction de production est de type Cobb-Douglas généralisée, la dérivée croisée f LK est positive et alors les deux inputs sont complémentaires Dans ce cas, la production diminue si le prix d un facteur augmente et par conséquent les deux inputs ne sont pas inférieurs Si les deux inputs sont substituables, on pourrait avoir un input inférieur rentable de l autre facteur implique alors un accroissement de la production 5 L utilisation
On peut réunir les effets d une variation du prix du produit et ceux d une variation du prix des facteurs et former l équation matricielle fondamentale de la théorie de l entreprise Les deux facteurs seront désignés par x et x plutôt que K et L et leurs prix w et w au lieu de p K et p L On a alors: [ ] [ ] [ ] ph O Xw x p I fx = 0 0 où f T x X w = q w = q T w [ x x w w x x w w [ q ] w q w q p ] ; f x = ; x p = [ q x q x ] [ x x q p = q En prémultipliant par l inverse de la matrice à gauche, on obtient: X w = (/p)h q w = (/p)h f x = x p q p = ( /p)f T x H f x Comme la matrice des dérivées deuxièmes (H) est symétrique, on a: x i w j = x j w i ] L effet d une variation du prix du facteur j sur la demande d input du facteur i est égal à celui d une variation du prix du facteur i sur la demande d input du facteur j Lorsqu il y a plusieurs produits et plusieurs facteurs, il faut utiliser la fonction de production sou forme implicite: Φ(y, y,, y m ) = 0 où y i (i =,,, m) sera un output s il est positif et un input s il est négatif Le profit de l entreprise est: Π = m i= p iy i Afin de maximiser le profit, sous la contrainte donnée par la fonction de production implicite, écrivons le lagrangien suivant: L = m i= p iy i + λφ(y, y,, y m ) Les conditions de premier ordre sont: { L y i = p i + λφ i = 0 (i =,,, m) L λ = Φ(y, y,, y m ) = 0 En prenant deux équations (i et j) quelconques parmi les conditions ci-dessus, on obtient les relations suivantes: p i p j = Φ i Φ j = y j y i (Φ i = Φ/ y i ) qui sont une généralisation des résultats obtenus précédemment En effet: (a) Si y i et y j représentent des inputs alors l équation ci-dessus indique que le taux de substitution technique doit être égal au rapport des prix: p i p j = x j x i = T ST (b) Si y i est un input et y j un output, on peut écrire: p i = y j y i p j = p j q j x i 6
et on retrouve l égalité entre la productivité marginale en valeur et le prix du facteur (c) Si y i et y j sont deux outputs i et j on trouve l égalité entre le rapport des prix et le taux de transformation des produits: p i p j = q j q i = T T P (d) Si y i est un output et y j un input, on peut écrire: p i = y j y i p j = p j x j q i et on trouve les conditions de premier ordre pour les productions jointes On peut montrer que les dérivées partielles de la fonction de production implicite sont positives Ceci implique que le taux marginal de substitution, le taux de transformation des produits et les productivités marginales sont positifs La condition de deuxième ordre est satisfaite si la forme quadratique dy T (λh) dy est définie négative pour tout vecteur dy tel que dy T Φ y = 0 où H = [Φ ij ] est la matrice des dérivées deuxièmes de la fonction de production implicite (dy et Φ y sont les deux vecteurs-colonne [dy i ] et [Φ i ]) Les effets d une variation des prix (des inputs ou des outputs) sur les fonctions de demande des inputs et sur celles d offre des outputs peuvent être obtenus en prenant la différentielle des conditions de premier ordre On obtient: { λ Φij + Φ i dλ + dp i = 0 Φi dy i = 0 et ceci peut être mis sous la forme matricielle suivante: [ ] [ ] [ ] λh Φy dy dp = Φ T y 0 dλ 0 En utilisant les conditions de premier ordre on a: [ λh λ p ] [ ] [ ] dy dp = λ pt 0 dλ 0 L inverse de la matrice à gauche peut être écrit de la manière suivante: [ λh λ p ] [ ] A b = λ pt 0 b T c Cette matrice est similaire à celle obtenue dans la théorie du consommateur En effectuant le même raisonnement, on obtient: y i i = A ii où A ii est l élément sur la diagonale principale de la matrice A ci-dessus Nous avons vu que cet élément est négatif Par conséquent, si y i est un output, l accroissement de son prix fait augmenter la production de ce bien Si y i = x i est un input, l augmentation du prix de ce facteur conduit à une baisse de son utilisation D autre part, A est une matrice symétrique et alors: y i j = y j i et, si y i est un input et y j un output, on retrouve la relation ( x i / j = q j / i ) entre l effet d une variation du prix d un output sur la demande d input et celui d une variation du prix du même input sur l output correspondant En définitive, les résultats obtenus dans le cas de deux facteurs et un output restent valables lorsqu on a m biens L égalité entre le prix de vente et le coût marginal reste aussi valable dans le cas général de m biens En effet, le profit peut être écrit de la manière suivante: π = p i q i C(q, q,, q m ) 7
et les conditions de premier ordre pour la maximisation du profit impliquent l égalité entre les prix et les coûts marginaux: π q i = p i Cm i = 0 = p i = Cm i (i =,,, m)) La fonction de coût On présentait autrefois la théorie de l entreprise en commençant directement par les coûts, sans faire le lien avec la fonction de production La fonction (classique) de coût exprime la relation existant entre l output et les coûts de production Comme la recette dépend elle aussi de la quantité vendue, on peut ainsi présenter la théorie de l entreprise en utilisant un nombre restreint de variables Le profit de l entreprise dépend des quantités produites et vendues: Π(q) = R(q) C(q) où R est la recette totale et C le coût total Le maximum de cette fonction est obtenu lorsque la dérivée est égale à zéro: dπ dq = dr dq dc dq = Rm Cm = 0 où Rm désigne la recette marginale et Cm le coût marginal Il y a donc égalité entre recette marginale et coût marginal La recette marginale est ici égale au prix puisque toutes les unités sont vendues au même prix (R = pq = Rm = p) Par conséquent, le profit maximum est obtenu lorsque le prix est égal au coût marginal Si le coût marginal est croissant, la condition de deuxième ordre est satisfaite L égalité entre prix et coût marginal permet de relier les conditions de minimisation des coûts, sous une contrainte de production, et celles de maximisation du profit exprimées avec les productivités marginales Etant donné que le multiplicateur de Lagrange est égal au coût marginal, les deux conditions sont identiques Si l on veut maximiser le profit, il faut minimiser les coûts de la production que l on désire vendre La fonction classique des coûts peut être obtenue en résolvant le système suivant: q = f(k, L) C = p K K + p L L ξ(k, L) = 0 où la dernière équation est la fonction implicite du chemin d expansion En prenant les deux dernières équations, on peut exprimer K et L en fonction de C Si l on introduit ces valeurs dans la première équation, on peut obtenir C en fonction de q et ceci est la fonction de coût traditionnelle ou classique Si la fonction de production est homogène de degré s, on peut obtenir facilement la fonction classique de coût en partant du coût d une unité d output Soit K o et L o les quantités des inputs nécessaires pour produire une unité d output Le coût est alors: p K K o + p L L o = k Par la définition d une fonction homogène de degré s, on a: q = f(k, L) = f(γk o, γl o ) = γ s f(k o, L o ) = γ s D autre part: C = p K K + p L L = p K γk o + p L γl o = γ(p K K o + p L L o ) = γk En réunissant ces deux résultats on obtient: C = kq /s 8
Le coût marginal et sa dérivée seront alors: Cm = s kq/s dcm ; dq = s s kq /s Si le rendement d échelle est décroissant (s < ), le coût marginal sera toujours croissant Un rendement d échelle constant donne un coût marginal constant (Cm = k) et égal au coût unitaire ou moyen Si le rendement d échelle est croissant (s > ) le coût marginal sera toujours décroissant Dans ce cas, l entreprise peut accroître son profit en augmentant la production et elle devient de plus en plus grande L hypothèse de prix de vente fixe ne serait alors plus acceptable Si le rendement d échelle est constant, il y a trois possibilités: (a) Le coût marginal est inférieur au prix: le profit augmente sans limite On retrouve le cas ci-dessus (b) Le coût marginal est égal au prix: le profit est nul pour toute production La dimension de l entreprise est indéterminée (c) Le coût marginal est supérieur au prix: il vaut mieux ne rien produire On fait souvent la distinction entre fonction de coût de courte période et fonction de coût de longue période Comme on l a indiqué au début de ce chapitre, le nombre de facteurs variables augmente avec la longueur de la période On peut alors dire qu en longue période tous les facteurs sont variables L entreprise peut considérer librement toutes ses options Elle peut choisir la meilleure méthode de production et les quantités des facteurs qu elle désire En courte période on dispose souvent d une seule méthode de production et certains facteurs sont fixes La courte et la longue période n indiquent pas un nombre précis d années Dans les services (les coiffeurs par exemple) on a le long terme déjà après quelques mois ou années Par contre, dans certaines branches comme la sidérurgie ou l électricité il faut plusieurs années avant de pouvoir changer de méthode de production (une centrale nucléaire fonctionne pendant des dizaines d années) Le théorème d Euler et la théorie de la distribution du revenu Comme nous l avons indiqué au début de ce chapitre, l homogénéité de la fonction de production avait une conséquence très importante pour la théorie de la distribution basée sur la productivité marginale des facteurs Selon JB Clark, la distribution du revenu obéit à une loi naturelle qui attribue à chaque agent la quantité de richesse qu il a créé Cette quantité correspond à la productivité marginale de chaque facteur Il était alors nécessaire de montrer que tout le produit était distribué aux facteurs de production Or, si la fonction de production est homogène on peut utiliser le théorème d Euler qui établit le lien suivant entre la fonction homogène q = f(k, L) et ses dérivées partielles: Kf K + Lf L = sq Lorsque le rendement d échelle est constant (s = ), toute la production est distribuée aux deux facteurs Si l on prend la fonction de production Cobb-Douglas généralisée, on a: K(αq/K) + L(βq/L) = (α + β)q αq + βq = (α + β)q Les estimations empiriques donnent des valeurs de α d environ /3 et de β d environ /3 et ceci correspond aussi à la part du produit national distribué à ces deux facteurs Toutefois, nous avons vu que l équilibre de l entreprise implique des rendements d échelle décroissants (s < ) Il resterait donc une partie non distribuée (le profit) On suggère alors que le rendement d échelle est constant au niveau d une branche économique ou d une nation plutôt qu au niveau de l entreprise 9
Par ailleurs, il n est pas nécessaire que la fonction de production soit homogène de degré (rendement d échelle constant) pour montrer que tout le produit est distribué aux facteurs Il suffit de faire l hypothèse qu à long terme le profit est égal à zéro (voir chapitre suivant) et ceci a aussi l avantage de montrer le lien avec la théorie des marchés En effet, si le profit est égal à zéro on a: pq = p K K + p L L En introduisant les conditions de premier ordre pour la maximisation du profit on obtient: pq = pf K K + pf L L et, après avoir divisé par p, on retrouve le même résultat que ci-dessus mais sans supposer que la fonction de production soit homogène de degré Dans ce cas, la distribution du revenu n est pas exclusivement un problème technique, lié au rendement d échelle, mais le résultat d hypothèses concernant les marchés L évolution de la distribution du revenu dépend de l élasticité de substitution Supposons que la fonction de production soit homogène de degré Soit ω K = f K K/q la part relative du capital Lorsque ce facteur augmente, la variation de sa part relative est: ω K K = q [f KK Kq + f K q fk K] En utilisant le théorème d Euler on peut écrire: q = f K K + f L L f K = f KK K + f K + f KL L Ces deux relations peuvent être introduites dans la dérivée ci-dessus On obtient alors: ω K K = Lf K f L q σ σ Par conséquent, la part relative du capital ne varie pas si l élasticité de substitution est égale à l unité Le même résultat est valable pour l autre facteur D autre part, la part relative dépend uniquement du rapport des facteurs Soit r = K/L, on a alors: ω K r = L ω K K = L σ q f K f L σ Si r augmente, la part relative du capital diminue lorsque l élasticité de substitution est inférieure à l unité et augmente lorsque celle-ci est supérieure à l unité Dans les pays développés, le capital augmente plus fortement que le travail Si le rendement d échelle est constant, la stabilité de la part relative des facteurs implique une élasticité de substitution égale à l unité et ceci explique les bonnes estimations obtenues avec la fonction de production Cobb-Douglas L analyse duale Comme dans la théorie du consommateur, l approche duale est basée sur la minimisation des coûts pour obtenir une production donnée En résolvant les conditions de premier ordre de la minimisation des coûts, on obtient les demandes conditionnelles des inputs: K = h (p K, p L, q o ) L = h (p K, p L, q o ) La fonction de coût de l analyse duale est définie de la manière suivante: C(w, w, q o ) = min (w x + w x ) SC q o = f(x, x ) où w et w sont les prix des facteurs x et x La fonction de coût est une fonction concave et homogène de degré par rapport aux prix des facteurs D autre part, la dérivée de la fonction de coût par rapport au prix d un facteur donne la demande conditionnelle de ce facteur Les démonstrations de ces résultats sont 0
identiques à celles données dans la théorie du consommateur Il suffit de remplacer u par q o, p par w et q par x Exemples La fonction de production Cobb-Douglas généralisée donne les demandes conditionnelles suivantes: x = A /s α β/s β β/s w β/s w β/s q /s x = A /s α α/s β α/s w α/s w α/s q /s où s = α + β La fonction de coût est alors: C = sa /s α α/s β β/s w α/s w β/s q /s et ceci correspond à la fonction obtenue ci-dessus en prenant le chemin d expansion La fonction de production CES généralisée donne les demandes conditionnelles suivantes: x = k σ A (σ )/s a σ w σ q /s x = k σ A (σ )/s ( a) σ w σ q /s où k = A /s [a σ w σ + ( a) σ w σ ] /( σ) et la fonction de coût est alors: C = kq /s La fonction de coût dépend des prix des facteurs et de la quantité produite Il est souvent plus facile d obtenir les données des coûts de production et des prix que celles relatives à la fonction de production Si l on estime directement la fonction de coût, on peut obtenir la fonction de demande conditionnelle en dérivant cette fonction par rapport au prix du facteur Par ailleurs, il est aussi possible de remonter à la fonction de production Les fonctions de demande (non conditionnelle) des inputs et la fonction d offre d output peuvent être obtenues en utilisant la fonction de profit: π(p, w, w ) = Max [pf(x, x ) (w x + w x )] En effet, on a les relations suivantes, appelées le lemme d Hotelling: π = ψ(p, w, w ) π w i = ϕ i (p, w, w ) où ψ(p, w, w ) est la fonction d offre et ϕ i (p, w, w ) est la fonction de demande du facteur i (i=,) Soient x = ϕ (p, w, w ) et x = ϕ (p, w, w ) les quantités des deux facteurs qui maximisent le profit On a alors: π(p, w, w ) = pf(x, x ) (w x + w x ) La dérivée par rapport à w i donne: π x w i = pf x x w i + pf x x w i w x w i w w i x i = (pf x w ) x w i + (pf x w ) x w i x i = x i = ϕ i(p, w, w ) en utilisant les conditions de premier ordre On obtient la première relation en prenant la dérivée par rapport au prix du produit: π = q + pf x x + pf x x w x w x = q + (pf x w ) x + (pf x w ) x = q = ψ(p, w, w ) Exemples
La fonction de production Cobb-Douglas généralisée conduit à la fonction de profit suivante: π = A θ α αθ β βθ w αθ w βθ p θ /θ où θ = /( α β) La fonction d offre est alors: π/ = q = A θ α αθ β βθ w αθ w βθ p θ et les fonctions de demande des facteurs: π w = x = A θ α ( β)θ β βθ w (β )θ w βθ p θ π w = x = A θ α αθ β ( α)θ w αθ w (α )θ p θ La fonction de production CES généralisée donne la fonction de profit suivante: π = k sθ s sθ p θ /θ où θ = /( s) et k = A /s [a σ w σ + ( a) σ w σ ] /( σ) On a alors: q = k sθ s sθ p sθ x = k σ θ A (σ )/s s θ a σ p θ w σ x = k σ θ A (σ )/s s θ ( a) σ p θ w σ Comme dans le cas de la fonction de coût, il est souvent plus facile de trouver des données concernant le profit et les prix que celles relatives à la fonction de production Si l on estime directement la fonction de profit, on peut obtenir la fonction d offre de l entreprise et les fonctions de demande des inputs utilisés en dérivant cette fonction par rapport aux prix appropriés La fonction de production linéaire Dans les sections précédentes, on a supposé qu une substitution continue entre les inputs était possible Cette hypothèse est très plausible à plus ou moins long terme ou au niveau d une branche économique Par contre, pour une entreprise et dans le court terme, il existe souvent des procédés de production qui impliquent l utilisation des inputs dans des proportions fixes La substitution d un input par un autre peut souvent avoir lieu mais elle est discontinue et n intervient qu à la suite d un changement du procédé de production Cette section sera consacrée à l examen de ce cas Supposons tout d abord qu il existe un seul procédé de production L entreprise utilise deux inputs dans des proportions fixes Soient x, x les deux inputs et a, a les coefficients de production respectifs (quantité d input pour obtenir une unité d output) La fonction de production est alors: q = min ( x a, x ) a et, comme on l a vu ci-dessus, elle implique une élasticité de substitution égale à zéro La complémentarité entre les deux inputs est totale D autre part, si l on double les inputs, la production double Le rendement d échelle est alors constant L entreprise peut souvent choisir un autre procédé et dans ce cas la production est: q II = min ( x a, x ) a où II indique le deuxième procédé et a ij est la quantité de l input i nécessaire pour une production d une unité d output en utilisant le procédé j La production obtenue avec le premier procédé est alors: q I = min ( ) x a, x a
Les procédés qui utilisent des quantités plus importantes de tous les inputs sont inefficaces et ne seront jamais employés Il faut alors supposer qu on a a > a et a < a ou le contraire Supposons qu il soit possible d utiliser des combinaisons quelconque des deux procédés La production totale sera alors: q = q I + q II Dans ce cas, les isoquantes auront la forme représentée sur le graphique PL Il a suffit d ajouter un deuxième procédé pour retrouver des isoquantes ayant une forme convexe Un procédé exige des coefficients de production fixes La substitution d un input par l autre est toutefois possible En effet, l entreprise peut choisir le procédé II qui utilise une quantité inférieure de x et une plus grande quantité de x et, d autre part, on peut choisir une combinaison quelconque des deux procédés et ainsi les possibilités de substitution sont plus grandes La pente de la droite O-I est a /a et celle de la droite O-II a /a Il faut noter que tout point C sur la droite AB représente effectivement la même production que celle obtenue en A ou en B (Voir graphique PL) Soit CD une droite parallèle à OB et passant par le point C De même, soit CE une droite parallèle à OA et passant par C En utilisant la propriété des triangles semblables, on peut écrire: AB OB = AC CD = AC OE = OE OB = AC AB OE/OB = AC/AB est la fraction d output produite avec le deuxième procédé La fraction produite avec le premier procédé peut être obtenue de la même manière: AB OA = CB CE = CB OD = OD OA = CB AB OD/OA = CB/AB est la fraction d output produite avec le premier procédé Le premier procédé utilise la quantité OF de x et le deuxième OG Le total est: OG + OF = OG + GH = OH puisque OD/OF = EC/GH et OD = EC Le premier procédé utilise la quantité OL de x et le deuxième OK Le total est: OL + OK = OL + LM = OM puisque OE/OK = DC/LM et OE = DC D autre part, la somme des deux productions (CB/AB + AC/AB) donne une production égale à l unité Par conséquent, le point C se trouve sur l isoquante correspondant à une production unitaire () Maximisation de la production Supposons que l entreprise dispose d une quantité limitée des deux inputs (x o et x o ) et elle désire maximiser la production Le problème à résoudre est alors le suivant: max q = q I + q II SC a q I + a q II x o a q I + a q II x o Graphiquement, il faut chercher l isoquante la plus haute possible, compte tenu des contraintes concernant les inputs (surface hachurée) (Voir graphique PL3) 3
La solution est donnée par le point C où deux unités d output seront produites en utilisant une combinaison de deux procédés Comme les deux inputs sont entièrement employés, ces productions sont obtenues en résolvant le système des contraintes ci-dessus On trouve: q I = (/D)(a x o a x o ) q II = (/D)(a x o a x o ) q = (/D)[(a a )x o + (a a )x o ] où D = a a a a Il est intéressant d examiner l évolution de la production lorsqu un input augmente Supposons que x est fixe et x varie de 0 à x (Voir graphique PL4) Si x x o on emploie uniquement le deuxième procédé qui utilise peu d unités de x La quantité produite sera alors: q = x /a Si x est compris entre x o et x, on utilise une combinaison des deux procédés La quantité produite sera: q = (/D)(a a )x + (/D)(a a )x o En x on utilise uniquement le premier procédé et la production sera q = x o /a L évolution de la production totale et marginale peut être représentée de la manière suivante: (Voir graphique PL5) La productivité marginale diminue mais la baisse se fait par paliers plutôt que continuellement comme dans les sections précédentes (Voir graphique PL6) () Minimisation du coût Examinons maintenant le problème dual consistant à minimiser les coûts pour une production donnée La droite d isocoût est: x = C w w w x où w et w sont les prix des facteurs: (Voir graphique PL7) Trois possibilités sont à considérer: (a) Si la droite d isocoût a une pente correspondant à la courbe (a), il faut utiliser le procédé I (le prix de x est élevé, il convient alors d employer le procédé I qui utilise peu de x ) Le coût total est: C = (a w + a w )q (b) si la droite d isocoût a une pente correspondant à la courbe (b) (c est-à-dire (a a )/(a a )), l entreprise peut utiliser une combinaison quelconque des deux procédés Le coût total est: C = {[αa + ( α)a ]w + [αa + ( α)a ]w }q où α est la partie de l output obtenue avec le premier procédé (α = q I /q) (c) Si le prix de x continue à baisser et on a une pente correspondant à la courbe (c), l entreprise emploie uniquement le deuxième procédé qui utilise peu de x (un input qui est devenu cher par rapport à x ) Le coût total est: C = (a w + a w )q 4
L entreprise remplace l input x par l input x mais cette substitution n est pas continue Il faut que la modification des prix soit importante pour qu elle décide de changer de procédé de fabrication Si le prix du pétrole augmente légèrement, une entreprise ne change pas de procédé de production Toutefois, le quadruplement du prix du pétrole a conduit plusieurs entreprises à employer d autres méthodes de production utilisant le charbon, le gaz ou l électricité Il arrive parfois que l entreprise dispose d une quantité donnée des deux inputs Dans ce cas, si l on veut augmenter la production au-delà d une certaine limite, on est obligé de tenir compte de ces contraintes et ceci a un effet sur les coûts Supposons que l entreprise dispose des quantités x o et x o des deux inputs et le rapport des prix des facteurs correspond à la pente de la droite (a) ci-dessus La contrainte est représentée par la quantité de x disponible L entreprise peut produire q = x o /a unités d output Le coût est donné par l équation ci-dessus Pour produire davantage il faut utiliser une combinaison des deux procédés tout en produisant le maximum possible avec le premier procédé qui est meilleur marché La production est obtenue en résolvant le système: { a q I + a q II = x o q I + q II La solution est: = q q I = xo a a a a a q q II = a a a q xo a a α = qi q = x o (a a )q a a a En introduisant cette dernière valeur dans l équation ci-dessus on obtient la fonction de coût Exemple Les coefficients de production sont a = et a = pour le procédé I et a = 3, a = pour le deuxième procédé L entreprise dispose de 4 unités de x et de 3 unités de x Les prix sont w =, w = Le coût moyen du premier procédé est: CM = a w + a w = 3 F r tandis que celui du deuxième est: CM = a w + a w = 4 F r Si la quantité d input n était pas limitée, l entreprise utiliserait uniquement le premier procédé qui est meilleur marché Le coût de production est C = 3q et ceci correspond à la fonction de coût associée à une fonction de production ayant un rendement d échelle constant Avec le premier procédé, on peut produire au maximum q = 3/ = 5 unités d output Pour produire davantage, il faut utiliser une combinaison des deux procédés Dans ce cas, la fonction de coût est: C = 5q 3 Comme on peut le constater, le coût marginal passe de 3 Fr à 5 Fr Graphiquement on a: (Voir graphiques PL8 et PL9) Ici aussi, l accroissement se fait par paliers 5
(3) Maximisation du profit Le rendement d échelle est constant et il faut alors introduire des contraintes si l on veut obtenir un niveau de production fini Les contraintes considérées ici concernent les inputs disponibles On suppose que l entreprise dispose des quantités x o et x o des deux inputs Le profit unitaire obtenu avec le premier procédé est π = p CM et celui du deuxième π = p CM Le problème est alors: max π = π q I + π q II SC a q I + a q II x o a q I + a q II x o La solution graphique de ce problème peut être obtenue en utilisant des courbes d isoprofit La solution est donnée par le point qui satisfait les contraintes et se trouve sur la courbe d isoprofit la plus élevée Exemple Reprenons l exemple considéré ci-dessus et supposons que w = 40 ; w = 60 et le prix de vente est de 60 Fr Les profits unitaires sont alors 60-60 = 00 Fr avec le premier procédé et 60-80 = 80 Fr avec le deuxième On a alors: max π = 00q I + 80q II SC q I + 3q II 4 q I + q II 3 En traçant la droite d isoprofit π = 80 (on obtient ce profit avec unité produite avec le premier procédé et unité produite avec le deuxième), on voit que la solution se trouve au point C (Voir graphique PL0) Ce point correspond à une production maximale, compte tenu des ressources disponibles On trouve alors: q I = ; q II = ; π = 80 Si le prix de vente est de 90 Fr, l entreprise utilise uniquement le premier procédé Dans ce cas la production sera q= 5 et le profit 45 Fr Enfin, si les prix des facteurs sont w = 0, w = 80 on a la fonction de profit π = 0q I + 50q II et on utilise uniquement le deuxième procédé La production est q = 4/3 et le profit 66 / 3 Fr (4) Généralisation au cas de v variables et h contraintes Nous avons examiné ci-dessus le cas de deux variables et deux contraintes afin de pouvoir présenter une solution graphique qui souligne les similitudes avec les résultats obtenus dans les sections précédentes Si l on augmente le nombre de procédés, les isoquantes ressemblent de plus en plus à celles d une fonction de production avec substitution continue Le même résultat est obtenu avec les courbes de productivités marginales et celles de coût marginal On peut alors considérer la fonction de production avec substitution continue comme le cas limite lorsque le nombre de procédés tend vers l infini S il y a h inputs et v procédés, le problème de maximisation du profit devient: max π = π q + π q + + π v q v SC a q + a q + + a v q v x o a q + a q + + a v q v x o 6
a h q + a h q + + a hv q v x o h q, q,, q v 0 où q i désigne l output (q) obtenu avec le procédé i Il s agit d un problème de programmation linéaire et nous verrons ci-dessous la méthode utilisée pour trouver une solution Jusqu à présent, nous avons considéré que l entreprise disposait de différents procédés pour produire le même output (q) Il faut maintenant examiner le cas plus général où les procédés sont utilisés pour produire plusieurs biens On parle alors d activité plutôt que de procédé et l étude de ces questions est appelée l analyse des activités Soit b ij la quantité du i-ième output produite en utilisant une unité de l activité (ou procédé) j Si v est le nombre d activités, la quantité totale de l output i est: q i = v j= b ijz j où z j est le nombre d unités de l activité j Soit a ij la quantité du i-ième input nécessaire pour obtenir une unité de l activité j La quantité totale de l input i utilisée est: x i = v j= a ijz j Le profit total sera alors: π = R C = n i= p iq i h i= w ix i où n est le nombre d outputs et h le nombre d inputs En utilisant les expressions pour q i et x i données ci-dessus, on a: π = n i= p i Le profit de l activité j est: v j= b ijz j h i= w i v j= a ijz j π j z j = n i= p ib ij z j h i= w ia ij z j où π j désigne le profit d une unité de cette activité Le profit total est alors: π = v j= π jz j L entreprise dispose d une quantité donnée d inputs La maximisation du profit doit satisfaire les contraintes suivantes: a z + a z + + a v z v x o a z + a z + + a v z v x o a h z + a h z + + a hv z v x o h On peut alors écrire: max π = v j= π jz j SC v j= a sjz j x o s (s =,,, h) z j 0 (j =,,, v) Nous avons ici le cas des productions jointes D autre part, l entreprise peut substituer une activité à une autre et ceci conduit à une substitution indirecte d un input à un autre (5) La programmation linéaire La programmation linéaire est une méthode mathématique qui permet de résoudre des problèmes de maximisation (ou minimisation) d une fonction linéaire (appelée fonction objectif) sous une série de contraintes linéaires Elle peut donc être utilisée pour les problèmes examinés dans cette section Nous avons résolu les problèmes en utilisant un graphique avec les inputs sur les deux axes Cette solution par l espace des demandes d inputs ne correspond pas au graphique utilisé 7
habituellement pour présenter la programmation linéaire En effet, on préfère mettre les deux variables sur les axes plutôt que les contraintes Dans ce cas, le problème suivant: max π = π q I + π q II SC a q I + a q II x o a q I + a q II x o est résolu en utilisant un graphique ayant les procédés sur les deux axes Tout d abord, on considère les contraintes: q II xo a a a q I q II xo a a a q I La droite représente les points où q II est égal à x o /a (a /a )q I Par conséquent, la première contrainte est satisfaite lorsqu on se trouve sur cette droite ou en dessous La droite définit une contrainte similaire: (Voir graphique PL) La surface doublement hachurée représente la région où les deux contraintes sont satisfaites La droite d isoprofit est: q II = πo π π π q I Il faut alors chercher le point, dans la région doublement hachurée, qui se trouve sur la droite d isoprofit la plus élevée Suivant la pente de cette droite, la solution peut être le point C (comme dans le graphique ci-dessus) où les deux contraintes sont saturées (les deux inputs sont entièrement utilisés); A où x n est pas entièrement utilisé; B où la deuxième contrainte n est pas saturée ou enfin 0 si aucun procédé n est rentable Si le nombre de variables est supérieur à deux, il n est pas possible de résoudre graphiquement un problème de programmation linéaire Dans l Appendice on présente les principaux résultats de cette technique et l algorithme du simplexe qui permet de résoudre algébriquement ce type de problèmes On donne ici l interprétation économique des résultats de la programmation linéaire L une des plus intéressantes caractéristiques de la programmation linéaire est l existence d un problème dual qui peut être formulé en partant du problème de départ, appelé problème primal Si le problème primal est: max F = c T q SC Aq b ; q 0 où c est un vecteur de coefficients (de la fonction objectif), q le vecteur des variables, A la matrice h x v des coefficients des contraintes, b un vecteur de constantes (tous les vecteurs sont des vecteurs-colonne); alors le problème dual sera: min G = b T y SC A T y c ; y 0 où y est un vecteur-colonne de variables (à préciser) D autre part, F* = G* où l astérisque indique qu il s agit de la valeur de la fonction objectif respective correspondant à la solution du problème Il convient enfin de mentionner le théorème des écarts complémentaires qui exprime des conditions conformes à la logique économique En termes algébriques, ces conditions sont: (c j h i= a ijyi )q j = 0 j =,,, v (b i v j= a ijqj )y i = 0 i =,,, h où v est le nombre de variable, h le nombre de contraintes (du problème primal) et l astérisque indique qu il s agit de variables représentant la solution du problème respectif De ces conditions on tire: 8
(a) qj > 0 = c j h i= a ijyi = 0 (b) yi > 0 = b i v j= a ijqj = 0 h (c) i= a ijyi > c j = qj = 0 v (d) j= a ijqj < b i = yi = 0 La condition (a) dit qu un procédé (ou une activité) utilisé implique une contrainte saturée (il y a égalité plutôt qu inégalité) dans le dual La condition (b) indique qu une variable positive dans le dual implique une contrainte saturée dans le primal La condition (c) dit qu une contrainte non saturée dans le dual implique que le procédé n est pas utilisé Enfin, la condition (d) indique qu une contrainte non saturée dans le primal implique une variable égale à zéro dans le dual Le problème dual a toujours une interprétation économique intéressante et ceci peut être illustré en prenant les problèmes examinés ci-dessus Le problème dual de la maximisation du profit est: min G = x o y + x o y SC a y + a y π a y + a y π Comme G = F = π est exprimé en francs et x o, x o sont des quantités, les variables y et y correspondent à des prix On les appelle des prix implicites Supposons que l entreprise désire connaître la partie du profit due aux différents inputs Elle cherche des prix comptables (ou prix implicites) de telle sorte que tout le profit soit imputé aux inputs Comme le profit unitaire du premier procédé est π et les quantités des inputs utilisés pour une unité de ce procédé sont a et a, la première contrainte du problème dual exprime le lien entre les prix comptables et le profit du premier procédé En effet, si ce procédé est utilisé, la condition (a) indique que le profit calculé avec les prix comptables correspond au profit effectif du procédé D autre part, si le coût d un procédé, exprimé en utilisant les prix implicites des ressources utilisées, est supérieur au profit, le procédé n est pas employé (condition (c)) Les mêmes relations sont valables pour la deuxième contrainte L égalité entre F et G assure que tout le profit a été imputé aux inputs Enfin, la condition (d) indique qu une quantité inutilisée de l input implique que le prix implicite est nul Comme on peut le constater, tous ces résultats sont conformes aux principes économiques Un procédé non employé n implique pas que son profit soit nul mais uniquement que les inputs (qui sont rares) peuvent être utilisés de manière plus rentable avec un autre procédé Ceci correspond à la notion de coût d opportunité, ou produit de l emploi alternatif, que les économistes utilisaient bien avant la découverte de la programmation linéaire Le problème dual, obtenu avec des techniques exclusivement mathématiques, révèlent l existence de critères économiques très importants et qui doivent être satisfaits Exemple On a présenté ci-dessus l exemple suivant de maximisation du profit: max π = 00q I + 80q II SC q I + 3q II 4 q I + q II 3 Le graphique utilisé pour trouver la solution avait les deux inputs sur les axes Si l on prend un graphique avec les deux quantités, on a le graphique PL et la solution est q I =, 9
q II =, π = 80 Avec la fonction de profit π = 30q I + 0q II la solution est au point A (q I = 5, q II = 0, π = 45) Enfin, la fonction π = 0q I + 50q II donne la solution au point B (q I = 0, q II = 4/3, π = 66 / 3 ) Examinons le dual du cas A On a: min G = 4y + 3y SC y + y 30 3y + y 0 (Voir graphique PL) L équation représentant la fonction objectif est: y = G o /3 (4/3)y Il faut chercher ici la droite la plus proche de l origine, compte tenu des deux contraintes à satisfaire (région doublement hachurée) La solution est: y = 0 ; y = 5 ; G = 45 Comme la première contrainte du primal n est pas saturée, le prix implicite du premier input est égal à zéro D autre part, le coût du deuxième procédé, calculé en prenant les prix implicites, est supérieur à son profit et alors ce procédé n est pas utilisé Le dual du problème de la maximisation de la production est: min G = x o y + x o y SC a y + a y a y + a y On peut interpréter ce problème de la manière suivante L entreprise désire vendre les inputs et obtenir en paiement des unités d output La quantité minimale qu elle exige correspond à l output qu elle peut obtenir elle-même Les deux contraintes expriment cette condition Les prix calculés (prix en termes d unités d output) donnent une quantité d output totale qui sera égale à celle que l entreprise peut produire (puisque G = F = q ) Par ailleurs, si l entreprise emploie un procédé, il y aura égalité entre sa production et l output obtenu en vendant les inputs utilisés par ce procédé (condition (a)) Les autres conditions sont similaires à celles examinées ci-dessus dans le problème dual de la maximisation du profit Une autre interprétation, qui montre le lien avec la productivité marginale, peut être donnée De la relation: q = x o y + x o y on tire dq = y dx o + x o dy + y dx o + x o dy Prenons maintenant une petite variation de x et supposons que la solution du dual reste la même Comme les autres variations sont nulles, on a: q x o = y et ceci correspond à la productivité marginale de l input x La variable y représente le prix à payer (en termes d unités d output) pour une unité supplémentaire de l input x La même condition est valable pour l autre input Par conséquent, le rapport des prix implicites est égal au taux marginal de substitution: T S = q x q x = y y 0