Licence de Sciences et Technologies EM - Anlyse Primitives et intégrles Fiche de cours 5 - Clcul intégrl. Définition : soit deu fonctions f, F, définies sur un intervlle I non réduit à un point. L fonction F est une primitive de f sur I si elle et dérivble et qu on F = f. Remrque : l fonction F est lors obligtoirement continue, comme on l déjà signlé dns le chpitre sur l dérivtion. Propriété : si f dmet une primitive F sur I, elle dmet pour primitive les fonctions F + C où C R est une constnte. Propriété : si f dmet des primitives sur I, et si, b I, le nombre F (b) F () ne dépend ps de l primitive choisie. Définition : si f est une fonction qui dmet des primitives sur I, et si, b I, le réel F (b) F (), clculé vec n importe quelle primitive de f sur I, s ppelle intégrle de à b de f et se note : b f()d, nottion dns lquelle le n est qu une vrible muette et peut être remplcé pr n importe quelle lettre (suf bien sûr, dns ce cs,, b, f). Propriétés des intégrles - : Soient f, g deu fonctions dmettnt des primitives sur I, et, b, c I. () Reltion de Chsles : b f()d + c b f()d = 0, f()d = (b) Linérité de l intégrtion : si λ, µ R, on : b (λ.f() + µ.g())d = λ. b c f()d. On ussi : f()d = b b f()d + µ. f()d. b g()d. (c) Positivité de l intégrtion : si f() 0 (resp. f() > 0) sur I et que b (resp. < b), on : b f()d 0 (resp. b f()d > 0). Plus générlement si m.g() f() M.g() (resp. m.g() < f() < M.g()) sur I et que b (resp. < b), on : b b b m g()d f()d M. g()d (resp. m g()d < f()d < M. g()d). b (d) Formule de l moyenne : si m f() M sur I, et si b, on : m f()d M, et de plus il b eiste ξ I, situé entre et b, tel que : b f()d = f(ξ). b Preuve () Ces formules s écrivent [F (b) F ()] + [F (c) F (b)] = [F (c) F ()], F () F () = 0, F (b) F () = [F () F (b)] et sont donc évidentes. (b) L dérivtion étnt linéire, si F et G sont des primitives de f et g, λ.f + µ.g est une primitive de λ.f + µ.g, et on bien : (λ.f + µ.g)(b) (λ.f + µ.g)() = λ.(f (b) F ()) + µ.(g(b) G()). (c) Si f 0 (resp. f > 0), une primitive F de f est croissnte (resp. strictement croissnte) puisqu elle pour dérivée l fonction positive (resp. strictement positive) f. Si b (resp. < b) on ur lors F () F (b) c est-à-dire F (b) F () 0 (resp. F () < F (b) et F (b) F () > 0). L propriété plus générle en découle, en remrqunt pr eemple que f() M.g() si et seulement si l fonction M.g() f() est positive. (d) L inéglité est conséquence du (c) (prendre g()=), mis on peut ussi l fire découler de l eistence de ξ, et donc du théorème des ccroissements finis : ξ, f(ξ) = F F (b) F () (ξ) =. b b b b
Propriété (intégrles, primitives et ires) : Soit f une fonction dmettnt une primitive sur I, soit I, et F () = f(t)dt sur I : () l fonction F est l unique primitive de f qui s nnule en. (b) pr illeurs, si f est continue, et qu on peut simplement définir l ire comprise entre l e horizontl et un rc de l courbe y = f(), lors pour tout b, b f(t)dt est l ire lgébrique comprise entre l courbe de f, l e horizontl, et les verticles = et = b (ire lgébrique = on compte négtivement qund > b ou qund l rc de courbe est sous l e horizontl, c est-à-dire qund f() < 0). Preuves : () Soit G n importe qu elle primitive de f. Comme F () = G() G() est de l forme G+ une constnte, c est une primitive de f. Une utre primitive s écrit forcément G() + C, et si elle s nnule en = cel veut dire que : G() + C = 0 C = G(), G() + C = G() G() = F (). (b) Supposons qu on it pu définir l fonction A(u), ire lgébrique entre l courbe, les droites = et = u, et l e horizontl. Si u est fié, et h est petit, de telle sorte que f(u + h) est voisin de f(u), on peut considérer l courbe de f comme loclement égle à f(u), uquel cs l ire comprise entre l courbe de f, l e horizontle et les droites = u et = u + h, serit l ire d un rectngle de côté verticle f(u) et de côté horizontl (u + h) u = h. Cette ire doit ussi vloir A(u + h) A(u). On obtient donc : A(u + h) A(u) A(u + h) A(u) h.f(u) f(u). h A(u + h) A(u) Ainsi, qund h 0, cel donnerit lim = f(u), ou encore A (u) = f(u). h 0 h Autrement dit, si l fonction A eiste, c est une primitive de f. Dns ce semblnt de clcul, on surtout utilisé l continuité de f en u. À quelles fonctions ppliquer ces clculs? Les fonctions pour lesquelles on peut définir une fonction A comme dns l propriété ci-dessus sont les fonctions intégrbles. On peut définir directement les vleurs de l fonction A comme limites de sommes de Riemnn, qui sont obtenues comme pproimtions de l ire sous l courbe pr l ire d une réunion de rectngles : h.f(u ) + h.f(u ) +... + h n.f(u n ), vec [, b] décomposé en n intervlles de longueurs h i contennt chcun u i. On ne fer ps cette construction ici. Mlheureusement, on peut être intégrble sns voir de primitive, et voir une primitive sns qu on puisse définir simplement une intégrle. Eemple : Posons f() = si 0, f() = si < 0. Le domine entre l courbe et l e horizontl est une somme d u plus rectngle, on peut donc définie l ire A. Si on l prend à prtir de = 0, on obtient A() =, fonction qui n est ps dérivble en 0. Le résultt n est donc ps vriment une primitive de f, lors que cette fonction est une des plus simples imginbles pour définir l intégrle. Eemple : Posons F () = sin( ) si 0, et F (0) = 0. On voit fcilement que : F () F (0) 0 = F () = sin( ) tend vers 0 si 0, et si 0, F () = sin( ) + ( 3 ) cos( ). Autrement dit F est l primitive de l fonction f telle que f(0) = 0 et f() = sin( ) cos( ). Cette fonction n étnt ps bornée u voisinge de 0, les sommes de Riemnn n pprochent sûrement ucune ire pr eemple sur [0, ]. Si on considère une telle somme h f(u ) +... vec h petit et u [0, h ], on peut prendre u prmi les termes ssez petit de l suite n =, on obtient f( n ) nπ + π + et nπ + π donc des petits rectngles d ire h f(u ) qui prennent des vleurs ussi grndes qu on veut! Embêtés pr ces eemples, on ne sit que décider, Le plus risonnble semble, de nous-même limiter Les fonctions vec lesquelles, fire du clcul intégrl, Et les prendre régulières, sns ecès dns l norml... Définition : Soit I un intervlle. Une fonction f, définie sur I, ser dite continue pr morceu, si on peut trouver une suite finie de points de I : < <... < n, telle que :
() f est continue sur chque intervlle ], [, ], 3 [,..., ] n, n [, insi que sur l portion de I située vnt et sur celle située près n, si ces portions constituent des intervlles de longueurs non nulles. (b) f dmet une limite finie en +,, +, 3,..., n, insi qu en et + n si cel un sens. Théorème (dmis) : Si f est une fonction continue pr morceu sur un intervlle I, continue suf peut-être en < <... < n, on peut définir une fonction A telle que : () A est continue sur I ; (b) A est dérivble en tout point de I différent des k, et dmet en k des dérivées à guche et à droites égles u limites correspondntes de f. Définition : On dit qu une telle f est intégrble sur I, on ppelle encore A une primitive de f, et l continuité de A ssure que toutes les formules et propriétés vues précédemment, à l eception de l formule de l moyenne (eistence de ξ...), restent vries pour les intégrles Ainsi qu on l vu, le clcul d une intégrle b f()d = A(b) A(). Clcul de primitives et intégrle indéfinie f(t)dt dont l borne peut vrier, revient à l recherche d une primitive de f (celle qui s nnule en ). On introduit l convention de nottion suivnte, d usge cournt : Défintion-nottion : Si f est intégrble sur I, on noter F () = f()d, une primitive quelconque de f sur I. Dns cette écriture, le est bien l vrible considérée, et n est donc plus une vrible muette. On verr dns les formules de clcul comment utiliser cette nottion, dite d intégrle indéfinie. Méthode de clculs usuelles et quelques primitives clssiques. Pour clculer des intégrles et des primitives, on dispose des primitives connues de fonctions simples, et de deu formules pour se rmener à de telles fonctions : l intégrtion pr prtie et l formule de chngement de vrible. Propriété - intégrtion pr prtie : Soient u, v deu fonctions définies et continûment dérivbles sur un intervlle I. Alors : () b, b I, u(t)v (t)dt = u(b)v(b) u()v() + u (t)v(t)dt. (b) Pour le clcul des primitives (intégrle indéfinie) cel donne : u()v ()d = u()v() u ()v()d. b Preuves : () On (u(t)v(t)) = u (t)v(t) + u(t)v (t), et comme ces fonctions sont continues et donc intégrbles, on on peut intégrer membre à membre, en remrqunt que t u(t)v(t) est une primitive de t (u(t)v(t)). (b) Qund b = est vrible, l formule donne : u(t)v (t)dt = u()v() u()v() + u (t)v(t)dt. L formule écrite est identique, en enlevnt le terme u()v() constnt pr rpport à. Propriété - chngement de vrible : Soit f une fonction intégrble sur un intervlle I, et u : J R une fonction dérivble sur un intervlle J, telle que J, u() I. Alors : () L fonction f(u())u () est intégrble sur J, et : β u(β) α, β J, f[u()]u ()d = f(t)dt. α u(α) (b) Pour les intégrles indéfinies, cel donne : f[u()]u ()d = f(u)du vec u = u(). Preuves : 3
() Si F est une primitive de f sur I, on ur : [(F ou)()] = F [u()]u () = f[u()]u (). Ainsi (F ou)() est une primitive de f[u()]u () sur J, et on bien : β u(β) α, β J, f[u()]u ()d = (F ou)(β) (F ou)(α) = F [u(β)] F [u(α)] = f(t)dt. α u(α) (b) Qund β = est vrible, l formule donne : α, β J, f[u(ξ)]u (ξ)dξ = (F ou)() (F ou)(α) = F [u()]+ constnte. α Autrement dit l fonction u F (u) = f[u()]u (). f(u)du, prise en u = u(), est bien une primitive f(u())u ()d de l fonction Remrques : (i) Pour utiliser un chngement de vrible, on peut prtir d une fonction g(), considérer une epression u() fcile à isoler dns g, pour lquelle g s écrivent f(u())u (). Reste à clculer l imge des bornes pr u et on se rmène insi à intégrer f. (ii) Si u () ne s isole ps bien dns g, on peut chercher à l introduire (g() = g() u () u ()) puis à isoler u() dns l epression g() u ; de toute fçon une nottion commode est d écrire qu on doit mettre du à l plce de () u ()d : du = u ()d. (iii) Si on veut prtir de b f(u)du pour se rmener à une composition fou() = f[u()], on peut ppliquer l formule dns l utre sens. On remplce lors l fonction u f(u) à intégrer pr f[u()]u (), ou l intégrnde f(u)du pr l intégrnde f(u())u ()d. Mis il fut pouvoir trouver α, β tels que u(α) =, u(β) = b. C est pourquoi cette formule est plus prtique, plus fcile à ppliquer - et justifie mieu son nom de chngement de vrible -, qund u est une bijection de J sur I. (iv) Dns le même ordre d idée il est plus fcile d écrire g() = g[u (u())] u [u (u())] u () et de remplcer g() pr l fonction t g[u (t)] u [u (t)] qund u est une bijection et f = gou. Après, pour clculer des intégrles, l seule ressource qu on est de se rmener à des fonctions connues. Des fonctions ussi simples que e ou sin() n ont ps de primitives simples qu on puisse eprimer vec les fonctions usuelles. Et pourtnt ce sont des fonctions qu on rencontre fréquemment en probbilité ou en ppliction des mthémtiques (physique, biologie, économie). Autnt dire que le clcul d intégrles se borne en générl à deu pproches : () Fonctions issues de mesures empiriques, dont on pourr estimer les intégrles pr des vleurs pprochées (ce cs ne se présenter ps en nlyse L) ; () Intégrles qu on nous donner en eercice et pour lequel le bienveillnt enseignnt ur choisi des intégrles qui se rmènent plus ou moins fcilement à des primitives connues rppelées dns le tbleu cidessous. On l en remercier, ou, s il s vère près de longs clculs qu il fit une erreur, on ser en droit de le vouer u gémonies. Liste de primitives usuelles : α d = α + α+, vlble si > 0,α (ou α N, quelconque, ou α Z, < 0 ou > 0). d = ln(), vlble si > 0,( sur R on ur d = ln( ) = ln ). e d = e, vlble sur R,(et ussi si > 0, : d = ln() ). ( n n + n n +... + + 0 )d = n n+ cos()d = sin(), n + + n n n +... + + 0, vlble sur R. sin()d = cos(), vlbles sur R. 4
On retiendr ussi les formules suivntes, qui epriment des eemples cournts et simples de chngements de vribles : u ().u n ()d = un+ (), et plus générlement si u() > 0 (et α ) : u ().u α ()d = uα+ () n + α +. u () d = ln( u() ), vlble sur tout intervlle où u() ne s nnule ps. u() u ().u()d = u (), u () u() d = u(), cs prticuliers de l première formule. u ()e u() d = e u(), u () cos(u())d = sin(u()), u () sin(u())d = cos(u()). À utiliser ussi sns erreur : ou, plus précisément : b f()d = λ f()d = λ. b µ λ µ λ On noter ussi que les dérivées : Arcsin () = primitives. f(λ.t + µ)dt vec t = µ λ, f(λ.t + µ)dt, vlble pour tout µ R, et tout λ 0., Arctn () =, donnent des formules de + u () d = Arctn(), et + + u d = Arctn[u()]. () d = Arcsin(), et u () d = Arcsin[u()]. u () Bien sûr, une telleintégrle se présente déjà sous une forme biscornue, et on est plus souvent confrontés à : d = + Arcsin(), comme on le voit en dérivnt. On retiendr ussi l intégrtion pr prties suivnte, d usge cournt : f()d =.f().f ()d, qu on obtient en considérnt que = (). C est cette stuce quipermet de mener à bien de nombreu clculs usuels : ln()d =. ln() d =. ln().d =. ln() ; C est ussi insi qu on peut clculer : F () = d = [ ] d = d = + d = + + d = + d + d = d + Arcsin() = d + Arcsin() = F () + Arcsin(), ce qui nous donne bien : F () = + Arcsin() F () = [ + Arcsin()]. 5
Frctions rtionnelles. Pour clculer des primitives des fonctions rtionnelles, c est-à-dire des quotients de polynômes, f : P () Q(), on commence pr décomposer f en somme de fonctions plus simples à intégrer. On ppelle cel l décomposition en éléments simples de f. Notons qu il est ussi plus simple de dériver une somme de fonctions simples qu un grnd quotient, et que cette décomposition peut être utile même pour simplement dériver. Propriété de décomposition - prtie entière d une frction rtionnelle : Si f() = P () est une Q() frction rtionnelle, il eiste un unique couple (E, R) de polynômes tels que : () f() = E() + R() Q() ; (b) deg(r) < deg(q). Preuve : L églité équivut à P () = E()Q() + R() vec deg(r) < deg(q), utrement dit on fit l division euclidienne de P pr Q, et cel donne bien un reste (= R()=) et un quotient (= E()) uniques. Propriété de décomposition - décomposition en éléments simples d une frction rtionnelle : Si f() = P () est une frction rtionnelle, vec deg(p ) < deg(q), et si : Q() Q() = ( ) p...( n ) pn.( + b. + c ) q...( + b m. + c m ) qm est l décomposition de Q en fcteurs irréductibles dns R[], lors on peut, d une mnière unique, décomposer f() en somme d éléments simples de deu types : A (*) des quotients ( i ) p vec p p i ; B + C (*) des quotients ( + b j. + c j ) q vec q q j ; De plus, si l frction est non simplifible, les termes de puissnces mimles : sont non nuls. A ( i ) p, B + C i ( + b j. + c j ) q, j Preuve : Si Q est fié, l ensemble des frctions P (), vec deg(p ) < deg(q), est un espce vectoriel, isomorphe à l espce des Q() polynômes de degrés < deg(q). C est donc un espce vectoriel de dimension deg(q). On deg(q) = p +... + p n + (q +... + q m ), et les frctions correspondnt u éléments simples proposés sont u nombre de : (*) p +... + p n pour l première forme, à svoir :, ( ),..., ( ) p, ( ),...,...,,..., n ( n ) p. n (*) (q +... + q m) pour l deuième forme, à svoir :, + b. + c ( + b. + c ),..., ( + b m. + c et m) qm, + b. + c ( + b. + c ),..., ( + b m. + c. m) qm Il suffit donc de prouver que ces frctions sont libres pour qu elles forment une bse de l espce considéré, et pour pouvoir conclure que l décomposition eiste et est unique. On v prouver ceci pr récurrence sur N = deg(q) = p +... + p n + (q +... + q m ). est non nul. Etpe : Si N =, Q() = X et le seul élément simple est qui lui tout seul est une fmille libre puisqu il X Etpe : Supposons l propriété vrie pour toute fmille d u plus N éléments simples correspondnt à un polynôme Q de degré N. Montrons qu lors elle reste vrie pour un Q de degré N. Il fut montrer que si une somme A i,p ( i ) p + B j,q + C j,q ( + b j. + c j ) q est nulle, lors tous les A i,p, les B j,q et les C j,q sont nuls. i j Deu cs se présentent : (*) Supposons que Q() = ( ) p... it u moins un fcteur irréductible d ordre. L somme s écrit donc : A ( ) p +... = 0 ce qui entrîne, en multiplint les membres de cette églité pr ( ) p : A + ( ) p [...] = 0 l produit vec le terme entre crochet regroupe des produits en ( ) p ( ) p = ( ) p p vec p > p, ou des produits ( ) p g() vec des frctions qui n ont rien à voir vec. On donc une églité entre frctions définies en, et presque toutes nulles si =. On peut fire =, on obtient : A + 0 + 0 +... = 0 A = 0 6
Dns ce cs on prouvé qu un des coefficients correspondnt à une puissnce mimle d un des éléments simples est nul, on est donc rmené à un Q() de degré N, et l hypothèse de récurrence permet de conclure que tous les utres coefficients sont nuls. (*) Supposons que Q() = ( + b. + c ) q... n it que des fcteurs irréductibles d ordre. L somme s écrit donc : B. + C ( + b. + c ) q +... = 0 ce qui entrîne, en multiplint les membres de cette églité pr ( + b. + c ) q : B + C + ( + b. + c ) q [...] = 0 l produit vec le terme entre crochet regroupe des produits en ( + b. + c ) q ( + b. + c ) q = ( + b. + c ) q q vec q > q, ou des produits ( + b. + c ) q g() vec des frctions qui n ont rien à voir vec le fcteur irréductible + b. + c. On donc une églité entre frctions définies, y compris sur les rcines complees non réelles conjuguées de + b. + c, pusique ce dernier n est plus un dénominteur. Notons ces rcines ζ, ζ. On peut fire = ζ, et = ζ, on obtient : Bζ + C + 0 + 0 +... = 0 Bζ + C = 0 les utres frctions sont bien clculbles puisqu on sit que ζ n est rcine d ucun utre polynôme irréductible d ordre sur R. En outre Im(ζ) 0, donc : Bζ + C = 0 et B, C R B = C = 0. On encore prouvé qu un des termes correspondnt à une puissnce mimle d un des éléments simples est nul, on est donc rmené à un Q() de degré N, et l hypothèse de récurrence permet de conclure que tous les utres termes sont nuls. L récurrence est donc chevée, et l décomposition eiste et est unique dns tous les cs. Mintennt, si un des termes de dénominteurs de puissnces mimles disprît, en fctorisnt, on trouver un dénominteur de degré plus petit que Q. Pr eemple si le terme ( ) p disprît, en refctorisnt l décomposition, on trouve comme dénominteur un produit ( ) p (...) vec p < p, et donc une églité du type : P () ( ) p (...) = (...) ( ) p (...) qui prouve que l frction de déprt f() étit, en fit, simplifible. Donc, si on suppose l frction non simplifible, les termes de degrés mimu sont non nuls. Pr ce théorème, on peut clculer les primitives de n importe quelles frction rtionnelle si on sit clculer celle des éléments simples. Primitives des éléments simples, cs les plus cournts : (*) Première forme : d = ln( ), d = ( ) p p ( ) p. (*) Deuième forme : d = Arctn(), + + d = ln( + ). (*) Dénominteur en + b. + c = ( + b ) + 4c b 4 = K(u + ) vec K = 4c b = 4 4, u = + b K : on se rmène u précédentes pr ce chngement de vrible u. Pour le reste, les intégrles ( d se tritent directement en remrqunt (comme ci-dessus pour q = ) + ) q u que ( +) () =, et que u p () d = p u p, qunt u intégrles () ( d, on peut les clculer + ) q de proche en proche depuis q = pr des intégrtions pr prties, et on lisser le lecteur s y entrîner. De toute fçon, il fut un dénominteur u minimum de degré 4, morceu de choi que l on ne rencontre que pour les grndes occsions : réveillons, mriges, eceptionnellement emen terminl du L. De toute fçon, pour s imprégner convenblement de ces outils de clculs, il fut surtout les utiliser dns de nombreu eercices, ussi, comme on dit : Y plus qu à... 7
Appendice : fonctions hyperboliques. On introduit les fonctions suivntes ch() = e + e, sh() = e e, th() = sh(), ppelées respectivement cosinus, sinus et tngente hyperboliques. Ce sont des outils de clcul importnt, et il convient de les ch() connître, même si les ssertions suivntes ne seront ps justifiées, les clculs étnt lissés u lecteur. Propriété des fonctions hyperboliques : Les fonctions hyperboliques sont définies sur R. Le cosinus hyperbolique est une fonction pire, croissnte strictement sur R +, décroissnte sur R, les fonctions tngente et sinus hyperboliques sont des bijections impires strictement croissntes de R sur ], [ et R respectivement. On peut écrire pour tout R: ch() + sh() = e, ch() sh() = e, th() = e e e + e = e e + = e + e. ch () sh () =, ch() vec églitée ssi = 0, sh(), th() et sont de même signe. On en outre les formules de trigonométrie hyperbolique : th() + th(y), y R, ch( + y) = ch()ch(y) + sh()sh(y), sh( + y) = sh()ch(y) + sh(y)ch(), th( + y) = + th()th(y). R, ch() = ch () + sh () = + sh () = ch (), sh() = sh()ch(), th() = Ces fonctions sont indéfiniment dérivbles sur R, vec : R, ch () = sh(), sh () = ch(), th () = ch () = th (), et : n N, R, ch (n) () = sh (n+) () = ch(), ch (n+) () = sh (n) () = sh(). Ce qui donne les polynôme de Tylor suivnt en 0 : C() = + + 4 n +... + 4! (n)! S() = + 3 6 + 5 n+ +... + 5! (n + )! à l ordre n pour le cosinus hyperbolique, à l ordre n + pour le sinus hyperbolique. th() + th (). Ces trois fonctions étnt des bijections de R sur R et ], [ pour sh et th, et étnt une bijection de R + sur [, + [ pour l restriction du ch u 0, ont des bijections réciproques, nommées rgument sinus hyperbolique, rgument tngente hyperbolique, et rgument cosinus hyperbolique, et notées Argsh, Argth et Argch respectivement. Ce sont des fonctions strictement croissntes et indéfiniment dérivbles, impires, et bijectives : sur R pour Argsh, sur ], [ pour Argth, sur [, + [ pour Argch. On : y R, Argsh (y) =, y ], [, + y Argth (y) = y, y >, Argch (y) = y. En rélité, contrirement à ce qui se psse pour les fonctions circulires, on peut trouver une formule eplicite pour ces fonctions : y R, Argsh(y) = ln(y + y + ) ; y, Argch(y) = ln(y + y ) = ln(y y ) ; y ], [, Argth(y) = [ln( + y) ln( y)] = ln( + y y ). On voit donc comment enrichir notre bibliothèque de primitives vec ces nouvelles fonctions : y + dy = Argsh(y) = ln(y + y + ), et donc : + y dy = [Argsh(y) + y + y ] = [ln(y + y + ) + y + y ], et : Si y, y dy = Argch(y) = ln(y + y ), et donc : y dy = [ Argch(y) + y y ] = [ln(y y ) + y y ]. 8