Master Igéierie mathématique, Uiv. Nates Optio Mathématiques et applicatios, ECN Statistique Iféretielle. Ae Philippe Uiversité de Nates, LMJL Adresses email : Ae.Philippe@uiv-ates.fr Pages web : Iformatio sur le cours / doées / exercices http://www.math.scieces.uiv-ates.fr/~philippe/master_1.html http://www.math.scieces.uiv-ates.fr/~philippe/r_freeware.html Fiche 1. Itroductio à l estimatio Exercice 1. O relève pedat jours le ombre d itervetios effectuées par u poste de secours etre 12h et 14h. O modélise le ombre d itervetios par (X 1,..., X ) u échatillo suivat la loi de Poisso de paramètre θ icou. O pose = 1 X i. 1) Motrer que est u estimateur sas biais de θ. Calculer la variace de. 2) E déduire que coverge vers θ au ses L 2. 3) L estimateur est il u estimateur faiblemet cosistat de θ? 4) L estimateur est il u estimateur fortemet cosistat de θ? 5) Motrer qu il existe ue suite réelle α telle que soit α cosistat. 1
2 Ae PHILIPPE, Uiversité de Nates 6) Calculer η la probabilité qu il y ait pas d itervetio etre 12h et 14h u jour doé. O pose ˆη = e. 7) L estimateur ˆη est il u estimateur fortemet cosistat de η? 8) Motrer que ˆη est pas u estimateur sas biais de η. 9) Motrer que l estimateur ˆη est u estimateur asymptotiquemet sas biais de η. 10) L estimateur ˆη est-il u estimateur cosistat de η? Si oui préciser la loi limite de (ˆη η). Exercice 2. O veut estimer la proportio p ]0, 1[ de pièces défectueuses à la sortie d ue chaîe de productio. O dispose des doées suivates : le ombre de pièces testées est égal à = 52, le ombre de pièces défectueuses parmi les pièces testées est égal à x = 4. O e sait pas commet les doées ot été collectées et o evisage deux possibilités : Stratégie- A - Stratégie- B - Pour chaque stratégie : O prélève au hasard et de faço idépedate 52 pièces, puis o compte le ombre de pièces défectueuses parmi les 52 pièces. O prélève des pièces de faço idépedate jusqu à obteir la 4 ème pièce défectueuse. 1) Quelle valeur observée x ou peut être iterprétée comme la réalisatio d ue variable aléatoire? 2) Quelle est la loi de cette variable aléatoire? so espérace? 3) Proposer u estimateur de p, puis doer ue estimatio de p. 4) L estimateur est il u estimateur fortemet cosistat? Exercice 3. La loi multiomiale Das u bassi, o a observé la présece de quatre espèces de poissos. O souhaite estimer les proportios p 1,..., p 4 de chacue de ces espèces. L expériece suivate a été réalisée : o capture u poisso, o ote so espèce, puis o le relâche das le bassi. O recommece fois cette expériece. O a doc observé ( 1,..., 4 ) où i est le ombre de poissos de la i ème espèce parmi les poissos capturés. O iterprète ( 1..., 4 ) comme ue réalisatio d u vecteur aléatoire (N 1,..., N 4 ). 1) Quelle est la loi du vecteur (N 1,..., N 4 )? 2) Calculer les expressios de E(N i ), Var(N i ) et Cov(N i, N j ) (i j)?
Ae PHILIPPE, Uiversité de Nates 3 3) Proposer des estimateurs sas biais des proportios (p 1,..., p 4 ). O va faire ue hypothèse paramétrique sur la forme des probabilités p 1,..., p 4. O suppose qu il existe des réels positifs (ν, θ) tels que p 1 = θ + ν, p 2 = θ ν, p 3 = ν et p 4 = 1 2θ ν. O veut maiteat estimer les paramètres ν et θ. 4) Costruire u estimateur sas biais de ν. (1) 5) Costruire u estimateur sas biais de θ à partir des variables (N 1, N 3 ). (2) 6) Costruire u estimateur sas biais de θ à partir des (N 2, N 3 ). 7) Soit (U, V ) u couple de variables aléatoires. Motrer que pour tout (a, b) R 2 o a Var(aU + bv ) = a 2 Var(U) + b 2 Var(V ) + 2abCov(U, V ) 8) Calculer la variace des estimateurs (1) et (2). 9) Comparer les variaces de ces deux estimateurs. Peut o coclure qu u des deux estimateurs est meilleur? Exercice 4. Rappel sur les covergeces O cosidère deux suites de variables aléatoires (X ) 1 et (Y ) 1 qui vérifiet les propriétés suivates : les suites (X ) 1 et (Y ) 1 sot idépedates, (X ) 1 est ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi expoetielle de paramètre 1, 2 (Y ) 1 est ue suite de variables aléatoires, idépedates et de même loi uiforme sur [0, 1]. O pose S = 1 X i et T = 1 Y i 1) Motrer qu il existe u réel a tel que (S a) coverge e loi. Préciser la limite. 2) Motrer que S a S coverge e loi vers ue variable gaussiee dot vous préciserez les paramètres. 3) La suite (l(s ) l(a)) coverge-t-elle e loi? si oui préciser la limite. ( ) b1 4) Motrer qu il existe u vecteur b = R b 2 tel que (( ) ) S b coverge e 2 T loi vers u vecteur gaussie dot vous préciserez les paramètres.
4 Ae PHILIPPE, Uiversité de Nates Exercice 5. Méthode des momets pour la loi Gamma O cosidère u échatillo (X 1,..., X ) de variables aléatoires IID suivat ue loi gamma Γ(a, b). O pose θ = (a, b) R 2 +. 1) Doer l expressio du momet d ordre p de X 1. 2) O suppose que le paramètre b est cou. Costruire u estimateur des momets â pour le paramètre a. Motrer que cet estimateur coverge presque suremet vers a. Motrer que cet estimateur est cosistat. 3) O suppose que le paramètre a est cou. Costruire u estimateur des momets ˆb pour le paramètre b. Motrer que cet estimateur coverge presque suremet vers b. Motrer que cet estimateur est cosistat. 4) O suppose que les deux paramètres sot icous. Costruire u estimateur des momets pour le paramètre θ. Motrer que cet estimateur coverge presque suremet vers θ. Motrer que cet estimateur est cosistat. Exercice 6. Modèle uiforme Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi uiforme sur l itervalle [0, θ]. La desité s écrit 1) Calculer E(X 1 ) et Var(X 1 ). f(x) = 1 θ I [0,θ](x) 2) Trouver u réel c R pour que l estimateur = 1 c soit u estimateur sas biais du paramètre θ 3) Quelle est la variace de l estimateur? 4) Motrer que l estimateur est cosistat. O ote M = max(x 1,..., X ). Exprimer l évèemet (M x) à partir des évèemets (X i x) pour i = 1,...,. 5) M est il u estimateur sas biais de θ? asymptotiquemet sas biais? 6) Motrer que M coverge das L 2 vers θ 7) Motrer que (M ) est ue suite croissate et majorée presque suremet 8) Déduire des deux questios précédetes que M coverge presque suremet vers θ. 9) Motrer que M est cosistat. X i
Ae PHILIPPE, Uiversité de Nates 5 10) Costruire u estimateur sas biais de θ à partir de M. O le ote θ 11) Quelle est la variace de θ? 12) Comparer les estimateurs et θ.