Physque Générale MAGNETISME TRAN Mnh Tâm Table des matères 171 Défnton du champ (d nducton) magnétque............ 171 Mouvement dans un champ magnétque............... 172 Acton d un champ magnétque sur un fl parcouru par un courant. 178 Acton d un champ magnétque sur une boucle de courant..... 179 Calcul des champs magnétques produts par des courants : la lo d Ampère........................... 181 Applcatons de la lo d Ampère.................... 182 Défnton légale de l ampère..................... 186 Ce qu n a pas été traté........................ 189
Défnton du champ (d nducton) magnétque Nous avons vu que la charge électrque créé un champ électrque autour d elle, champ qu nflue sur les autres charges. On peut ans penser qu l exste des charges magnétques qu, de la même manère créerat un champ magnétque ; ben que ces charges magnétques, auss appelées monopôles magnétques, soent prédts par certanes théores, on n en a jamas détecté! Il y a deux moyens de produre un champ magnétque : 1. lasser crculer des charges et créer ans un courant, 2. certanes partcules comme les électrons, les protons, certans atomes (en partculer les Terres rares), ont un champ magnétque autour d eux ; un effet du à la Physque Quantque, permet à ces champs magnétques de s addtonner, donnant leu à un champ net autour de la matère : c est le cas des amants permanents ; pour les autres matéraux, les champs des électrons s annulent et aucun champ net n en résulte. Expérmentalement, nous observons qu une partcules chargée en mouvement dans un champ magnétque en subssat une force. Nous pouvons fare varer la vtesse de la partcule, en drecton et en module. Nous observons que, pour une drecton partculère de la vtesse, la force sur la partcule est nulle. Pour toutes les autres drectons, nous observons que la force F L est toujours proportonnelle à v snθ, θ étant l angle entre la drecton présente de la vtesse et celle pour laquelle la force est nulle. Par alleurs, la drecton de la force est toujours perpendculare à celle de la vtesse. Cec rappelle le produt vectorel. Défnssons la drecton du champ magnétque par la drecton de la vtesse pour laquelle la force est toujours nulle et le module de par = F L quand v est perpendculare à la drecton de que nous venons de q v défnr. -171-
F L = q v (Force de Lorentz) Unté de : L unté de est le Tesla (T) : 1 Tesla = 1 Newton (Coulomb) (mètre /seconde) = 1 pusque un Coulomb par seconde est égal à un Ampère. N C m /s = 1 N A m Mouvement dans un champ magnétque Etudons le mouvement d une partcule de charge q et de masse m entrant dans une régon où règne un champ magnétque unforme. z v v v θ + q x F L y Chosssons la drecton de l axe z selon le champ et les axes x et y d une manère telle que nous ayons un trèdre drot. La 2ème lo de Newton, applquée à ce problème, donne F L = q v = q v = m d v dt [S nous décomposons la vtesse en une composante parallèle au champ et une composante perpendculare, seule cette dernère contrbue à cause des proprétés du produt vectorel.] La force de Lorentz est donc perpendculare à la fos à v et à : elle est donc dans le plan xy. 1. Selon l axe z, aucune force ne s exerce sur la partcule : cette dernère aura selon z un mouvement rectlgne unforme de vtesse v. -172-
2. Dans le plan xy (qu content la composante v ), F L est perpendculare à v F v dt = F d r = 0 [nous avons noté par r la composante dans le plan xy du vecteur poston de la partcule] F d r = 0 E cn = 0 v = cst nous avons un mouvement crculare unforme dans le plan xy [dt autrement : la projecton dans le plan perpendculare à du mouvement de la partcule est un mouvement crculare unforme]. L accélératon, dans le plan xy est radale et vaut a r = v2 r. En utlsant la 2ème lo de Newton, nous avons q v = m v2 r Nous en dédusons encore La pérode T = 2πr v = 2πm q r = m v q (rayon) et la fréquence de révoluton f = 1 T = q 2πm 3. Le mouvement total de la partcule se compose donc d un mouvement rectlgne unforme dans la drecton de et d un mouvement crculare unforme dans le plan perpendculare à : le mouvement est hélcoïdal et la trajectore une hélce (cf. fgure de gauche c-après). Partcule F L Trajectore en sprale F L h F L v v θ v r Dans un champ magnétque unforme Dans un champ magnétque non-unforme (remarquez la drecton de la force aux extrémtés du dessn) -173-
La fgure de drote montre la trajectore d une partcule chargée dans un champ magnétque non-unforme. Le resserrement des lgnes de champ aux extrémtés montre que le champ y devent ntense. S le module du champ est suffsamment ntense, les partcules peuvent être pégées dans cette boutelle magnétque et revenr des extrémtés de la zone du champ. Des électrons et protons sont ans pégés dans le champ magnétque non unforme de la Terre et forme la centure de van Allen : les partcules vont d un pôle magnétque à l autre en spralant autour des lgnes de champ du champ magnétque terrestre. De temps en temps, lors des pérodes d actvté solare ntense, des partcules de plus haute énerge sont éjectés du Solel, sont capturées par le champ de la Terre, suvent en spralant les lgnes de champ et descendent dans la onosphère (elles le peuvent car elles sont d énerge plus élevée que celles qu sont d ordnare dans la centure de van Allen) en onsant les atomes d oxygène et d azote de la haute atmosphère, créant ans les aurores boréales. Pont de contrôle La fgure donne 3 stuatons dans lesquelles une partcule chargée de vtesse v se déplace dans un champ magnétque unforme. Dans chacune des stuatons, donnez la drecton de la force de Lorentz F L y y y v z + - - x z v x z v x Traval de la force de Lorentz La force de Lorentz F L = q v est perpendculare à la vtesse v de la partcule, par conséquent : W 12 = 2 1 F L d r = 2 1 F L v dt }{{} = 0 F L v Par le Théorème de l énerge cnétque, l énerge cnétque d une partcule chargée soumse à la force de Lorentz demeure constante, le module de sa vtesse est auss constant. -174-
La force de Lorentz ne travalle pas! (elle ne fat pas varer l énerge cnétque des partcules). Applcaton : le spectromètre de masse Le spectromètre de masse est utlsé pour détermner la masse m d un on s on connaît sa charge q. Le schéma de prncpe d un spectromètre de masse est montré sur la fgure qu sut : un on postf, après avor été accéléré de la source par une dfférence de potentel V, entre dans une chambre où règne un champ magnétque unforme. La drecton ntale de sa vtesse est perpendculare à celle du champ magnétque : dans la chambre, sa trajectore est ans un dem-cercle de rayon r et l frappe une plaque photographque à une dstance d de son pont d entrée. Nous recherchons la relaton entre la masse de l on et la dstance d, les autres paramètres de l expérence (les valeurs des champs E (ou de la dfférence de potentel V) et étant connus, comme l est la charge q de l on). r V + - + q source d plaque photographque Idée prncpale : Nous pouvons reler le rayon de la trajectrore de la partcule à sa masse, sa charge et à la valeur du champ magnétque, à condton de connaître sa vtesse. Cette dernère peut être connue par le théorème de conservaton de l énerge mécanque. En effet, les ons quttent la source -175-
à vtesse pratquement nulle. A la fn de l accélératon, ls ont acqus une énerge cnétque de 1 2 m v2. Leur changement d énerge potentel est de U = q ( V ). Donc U = E cn 1 2 mv2 = qv v = 2qV m L expresson du rayon de la trajectore est donnée 2 pages avant, par conséquent : r = d 2 = mv q = m 2qV q m = 1 2mV q Applcaton : le cyclotron Le cyclotron est un accélérateur de partcules, en général des protons. Ces accélérateurs de basse énerge (une cnquantare de méga-électronvolts (MeV = 10 6 ev) sont essentellement utlsés de nos jours pour la productons de sources radoactves utlsées en Médecne et en ologe ans que pour le tratement de certanes tumeurs malgnes. Zone où règne le champ E Fasceau extrat Source Plaque de déflexon Oscllateur Comme nous l avons vu dans les paragraphes précédents, le passage des partcules dans un champ magnétque ne change pas leur énerge cnétque, la force de Lorentz étant perpendculare à leur vtesse, contrarement au passage à travers un champ -176-
électrque ; l dée est donc de s arranger pour que les partcules passent de nombreuses fos au travers d un champ E où elles gagnent de l énerge en leur fasant fare un mouvement crculare dans un champ magnétque. La fgure précédente montre les éléments d un cyclotron : un champ magnétque unforme sort de la feulle ; les protons sont éms de la source S et gagnent de l énerge chaque fos qu ls traversent la zone du champ E créé par une dfférence de potentel. Supposons qu un proton fasse un premer dem-cercle et arrve dans la zone du champ E ; ce derner dot être nversé pour pouvor accélérer à nouveau le proton (snon, ce serat une décélératon qu aurat leu). Le pont essentel du fonctonnement du cyclotron est donc que la fréquence d nverson du champ E dot être accordé à la fréquence de rotaton des protons dans le champ, laquelle est ndépendante de la vtesse des partcules (cf. 3 pages avant). f champ E = q 2πm. Pont de contrôle La fgure c-dessous montre deux orbtes crculares de 2 partcules de vtesses égales dans un champ magnétque unforme pontant vers la feulle. L une des partcules est un proton, l autre un électron (de masse plus fable). Quelle est la partcule dont la trajectore est le pett cercle? Cette partcule parcourtelle sa trjactore dans le sens horare ou dans le sens ant-horare? -177-
Acton d un champ magnétque sur un fl parcouru par un courant Un conducteur est caractérsé par l exstence en son sen d électrons non lés à un atome partculer ; ce sont ces électrons, les électrons de conducton, qu sont à l orgne du courant électrque. L ntensté d un courant est ans la charge dq passant par unté de temps à travers la secton du conducteur : = dq dt q = dq = t L unté de l ntensté du courant est l Ampère (A) : 0 dt 1 Ampère = 1 A = 1 Coulomb par seconde = 1 C/s Comme ce sont les électrons qu sont à l orgne du courant, le sens du courant est opposé à celu de la vtesse des électrons. Consdérons un fl conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétque unforme a v e L F L a Les électrons qu sont dans la secton L du conducteur ont passé par la secton aa pendant un ntervalle de temps t = L /v e, v e étant la vtesse des électrons ; la charge dans la secton L est ans : q = t = L v e. La force de Lorentz s exerçant sur cette charge est de F L = q v e = L ou F L = L Force de Laplace -178-
Pont de contrôle La fgure montre un conducteur parcouru par un courant. Ce conducteur est dans un champ magnétque unforme. Le sens de la force de Laplace est donnée sur la fgure. Le champ est orenté d une manère telle que la force sot maxmale. Quelle est donc la drecton de ce champ? y z F L x Acton d un champ magnétque sur une boucle de courant C est le prncpe des moteurs électrques que nous examnons c ; le dessn c-après en donne le prncpe : une boucle parcourue par un courant est mmergée dans un champ magnétque, les forces de Laplace qu en résultent créent un couple qu fat tourner la boucle autour de son axe. Un commutateur (non dessné) nverse le courant à chaque dem-révoluton afn que le couple s exerce toujours dans la même drecton. Examnons plus en détal ce phénomène. N F 1 S F 1 côté 1 sens de rotaton b n θ côté 2 côté 3 F 3 F 3 La boucle est rectangulare et de côtés a et b. La fgure de gauche montre la stuaton où la boucle est parallèle au champ et la fgure de drote celle où la normale au plan de la la boucle fat un angle θ avec. La boucle défnt une surface ; de plus, le sens du courant qu la parcourt défnt un sens à cette surface. Notons par n le vecteur unté perpendculare à la boucle et dont le sens est donné par la règle du tre-bouchon -179-
(ou des 3 dogts de la man drote) : n est drgé dans le sens entrant d un tre-bouchon drot ou dans le sens du majeur s le courant passe dans le sens pouce ndex. Sur le côté 2 de longueur b : la force de Laplace F 2 est drgée vers le lecteur (elle sort vers vous) et vaut : F 2 = b sn(90 θ) = b cos θ Sur le côté 4, la force F 4 a le même module, mas est drgée dans le sens opposé à F 2. Ces deux forces s annulent ; par aleurs, elles s exercent selon l axe de rotaton de la boucle et n ont pas d effet. Sur les côtés 1 et 3 de longueur a, les fls sont perpendculares à, les forces ont un même module, a mas ont des sens opposés et leurs drectons ne coïncdent pas : ls donnent leu à un couple τ τ = 2 ( a b2 ) snθ = a b snθ Vectorellement, nous vérfons que τ = a b n = S n Ce couple tend à fare tourner la boucle de manère à ce que la drecton de n sot parallèle à celu du champ (vor fgure précédente). Dans les moteurs, pour augmenter le couple, on a un bobnage de N spres, au leu d une seule boucle, et le courant dans le bobnage est nversé lorsque n commence à s algner avec la drecton du champ afn que le couple contnue à s exercer. Ce renversement du courant se fat automatquement. Défnton du moment dpolare magnétque On peut défnr le moment dpolare magnétque par un vecteur µ dont la drecton est normale à la surface de la boucle, dont le sens est, pour un sens de crculaton du courant, donné par la règle du tre-bouchon (ou celle des 2 dogts de la man drote) et dont le module est µ = S. µ = S n [La sgnfcaton de l appellaton moment dpolare magnétque sera explctée au paragraphe prochan.] Nous pouvons dès lors écrre : τ = µ. -180-
Cette stuaton est dentque à celle rencontrée pour le dpôle électrque où nous avons vu que, dans un champ E, un couple τ = p E s exerçat sur un dpôle électrque p et tendat à l algner dans la drecton de E. Ic, le couple τ = µ tend auss à algner µ dans la drecton de. Le développement que nous venons de fare sera utle pour comprendre, dans d autres cours, les prncpes du magnétsme de la matère et, comme applcaton, les technques de résonances magnétques. Pont de contrôle La fgure c-après montre 4 4 orentatons d un moment dpolare magnétque µ dans un champ magnétque. Ordonnez ces 4 stuatons selon le module du couple agssant sur le dpôle. 1 2 4 µ µ θ θ θ θ µ µ 3 Calcul des champs magnétques produts par des courants : la lo d Ampère Nous avons vu qu l état dffcle de calculer le champ électrque E dès que le nombre de charges devenat mportant et que, dans ces cas, le Théorème de Gauss nous adat à trouver E avec une certane faclté. Nous avons vu en ntroducton à ce chaptre sur le magnétsme que l on pouvat produre un champ magnétque par le mouvement des charges, c.à.d. par des courants. La lo d Ampère permet de caculer le champ en un pont de l espace connassant les courants : C d r = µ 0 enl. enl. est la somme algébrque des courants enlacés par le chemn d ntégraton C. Le sgne que l on dot assgner aux courants est donné -181-
par le sens d ntégraton chos (vor c-après). µ 0 est la perméablté du vde et vaut µ 0 = 4π 10 7 T m/a 1, 256 10 6 T m/a. Pour utlser la lo d Ampère, nous n avons pas beson de connaître a pror la drecton de. Nous pouvons le prendre dans le sens de l ntégraton, qu, lu, est donné par la règle du tre-bouchon : en suvant le sens d ntégraton, un sgne + est assgné aux courants qu suvent le sens d ntégraton suv et un sgne - dans le cas contrare. Le sens de dépendra du sgne du résultat obtenu. 3 Chemn d'ntégraton C d r = + 1-2 Sens d'ntégraton : vers le haut! C dr θ cosθ dr = µ 0 ( 1 2 ) Remarque : Le courant 3 de la fgure, ben que contrbuant certanement au champ, n apparaît pas dans le membre de drote de l équaton précédente. Cec est du au fat que la contrbuton de 3 à s annule du fat que nous fasons l ntégraton sur un chemn fermé : nous nous ntéressons pas à sa contrbuton, pusque nous avons chos explctement un chemn d ntégraton ne l enlaçant pas! La contrbuton des courants enlacés à ne s annule pas. Nous ne pouvons pas effectuer l ntégraton pour l exemple présenté à la fgure précédente, par manque de données. Nous pouvons par contre le fare dans les cas smples suvants. Applcatons de la lo d Ampère Cas d un conducteur rectlgne Dans le cas d un conducteur rectlgne nfnment long parcouru par un courant, nous voyons tout de sute qu l exste une symétre : le champ dot avor une symétre axale autour du conducteur, l dot avor la même -182-
valeur pour une même dstance r au fl. Le courant n étant pas nul, nous avons, en prenant comme chemn d ntégraton un cercle de rayon r centré sur le conducteur : d r = dr = dr = µ 0 Cercle Cercle Cercle Le courant entre dans le dessn lgnes de champ lgne de champ Vu depus en haut (2 π r) = µ 0 = µ 0 2πr Le sens de est celu ndqué sur la fgure : en effet, s nous prenons un sens d ntégraton drgé dans la feulle, le courant sera postf, d r sera dans le sens des agulles d une montre dans le dessn de gauche c-dessus : ne peut être que dans le même sens que d r pusque est postf. Pont de contrôle La fgure montre 3 conducteurs parallèles parcourus par un courant, dans les sens ndqués ans que 4 contours d ntégraton. Le contour a) entourre les 3 conducteurs, la boucle b) entourre les conducteurs à gauche et à drote, le countour c) celu de gauche et le contour d) les deux conducteurs de drote. Ordonnez les contours selon l mportance de d r. a b c d -183-
Champ dans un solénoïde Un solénoïde est une bobnage serré d un fl conducteur. Dans ce cas, l utlsaton de la lo d Ampère est partculèrement adapté pour trouver la valeur du champ magnétque dans le bobnage. Le champ magnétque créé par le solénoïde est la somme vectorelle des champ créés par chacune des spres, comme la montre la fgure c-dessous : A l ntéreur du solénoïde, le champ est presque unforme et le devent P (Le courant rentre par en bas et sort des spsres par en haut) s on resserre le bobnage et augmente le nombre de spres ; à l extéreur, le champ décroît, et est plus fable qu à l ntéreur, pusque, au pont P, la contrbuton à de la nappe supéreure tend à annuler celle de la nappe nféreure. Dans le cas d un solénoïde déal nfnment long, le champ à l extéreur est nul. La fgure c-dessous montre le champ d un solénoïde réel : le champ à l ntéreur est plutôt fort et fable à l extéreur. Calculons le champ à l ntéreur d un solénoïde déal en utlsant la lo d Ampère sur le chemn abcd dessné sur la fgure. b c d a µ 0 enl. = d r = d r + d r + d r + d r abcd a La premère ntégrale du membre de drote est égal à h, alors que less 3 autres sont nulle, la trosème parce que le champ est nul sur cd et les deux autres parce que le champ et perpendculare à d r. b c d -184-
P 2 P 1 Champ dans un solénoïde réel d h c a b Calcul du champ dans un solénoïde déal Donc : h = µ 0 enl.. S n est le nombre de tours par unté de longueur du bobnage, enl. = (n h), étant le courant passant dans le conducteur. Par conséquent : = µ 0 n en que nous ayons prs un solénoïde déal, avec un nombre mportant de spres et une longueur nfne, le résultat rest valable pour un solénoïde, à condton que nous restregnons au champ ben à l ntéreur de la bobne (c.à.d. lon des extrémtés). Champ magnétque créé par une boucle de courant Nous donnons seulement les lgnes de champ de pour le cas d une boucle parcourue par un courant [le calcul explcte du champ est fastdeux et n apporte ren]. Dsons seulement que le champ créé par la boucle est proportonnelle au moment dpolare magnétque µ et que les lgnes de champ ont la forme représentée sur la fgure c-après. Le champ et les lgnes de champ sont semblables à celles que produsent les -185-
N ds S S Surface de Gauss barreaux amantés ; dans ces derners, nous avons l habtude de défnr un pôle Nord et un pôle Sud. C est pour cette rason que nous avons appelé µ le moment dpolare magnétque de la boucle. Le fat qu l n exste pas de monopôle magnétque fat que les lgnes de champ du champ sont des lgnes fermées, partant du pôle nord et revenant au pôle sud. Le flux du champ au travers d une surface fermée est par conséquent nul (vor la fgure de drote c-dessus). Φ = ds = 0 S Défnton légale de l ampère Deux fls conducteurs rectlgnes parallèles et nfnments longs sont parcourus par les courants a et b. Ces deux conducteurs, dstants d une dstance d, exercent une force l un sur l autre. Examnons d abord la force exercée sur le conducteur b par le courant crculant dans a. Ce courant produt un champ magnétque a = µ 0 a à l endrot du conducteur b. 2π d (La règle du tre-bouchon nous permet d affrmer que, dans la confguraton dessnée sur la fgure, le champ a est drgé vers le bas) La force de Laplace sur une porton L du conducteur b, plongé dans le -186-
d a b F ba L a (du à a ) a b champ a est de : Fba = b L a ou : F ba = a b µ 0 L 2π d La règle des tros dogts montre que F ba est drgé du conducteur b vers le conducteur a. Nous aurons pu auss calculer la force exercée sur le conducteur a par le champ produt par le courant crculant dans le conducteur b en procédant de la même manère : calcul du champ, pus de la force de Laplace. Nous aurons trouvé que la force F ab état drgée vers le conducteur b. Deux conducteurs parcourus par des courants parallèles s attrent; deux conducteurs parcourus par des courants antparallèles se repoussent. Défnton de légale de l Ampère Deux conducteurs rectlgnes nfnments longs placés à un mètre l un de l autre et parcourus par un courant contnu de 1 ampère exercent l un sur l autre une force de 2 10 7 Newton par mètre de longueur. -187-
Une comparason entre électrostatque et magnétostatque Electrostatque Magnétostatque Force de Coulomb Force de Lorentz F élect 1 2 = q 2 E FL = q v Orgne du champ E : Orgne du champ : la charge électrque les charges en mouvement c.à.d. les courants ; l n y a pas de charge (monopôle) magnétque Lo de Gauss pour le champ : ds = 0 Lo permettant de calculer E : Lo permettant de calculer : Lo de Gauss Lo d Ampère ɛ 0 E ds = q renfermée d r = µ 0 enl. S C S -188-
Ce qu n a pas été traté Nous n avons pas traté des crcuts, en partculer des los de Krchhoff qu permettent de calculer dfférences de potentels et courants dans les crcuts. Nous n avons pas traté non plus des condensateurs et des bobnes d autonducton. Les phénomènes d nducton, non plus, n ont pas été abordés ; ceux-c lent a) la varaton temporelle du flux du champ magnétque au champ électrque ndut : c est la lo de Faraday-Lenz, b) la varaton temporelle du flux du champ électrque au champ magnétque ndut : c est la lo d Ampère-Maxwell. Ces deux los, avec les los de Gauss pour le champ électrque et pour le champ magnétque, consttuent les 4 équatons de Maxwell. Ces équatons montrent qu électrcté et magnétsme sont deux faces d un même phénomène et sont à la base de la propagaton des ondes électromagnétques. -189-