008-009 Théorème de Thalès (révisions Pythagore) I. Théorème de Thalès 1/ Rappels Produit en croix a, b, c et d représentent quatre nombres non nuls. a c Si alors a d b c. b d onséquences (calcul de la 4ème proportionnelle) Par ailleurs, on a aussi les égalités suivantes : a bc ad ad bc ; b ; c ; d. d c b a éthode Si on place les quatre nombres dans un tableau, on peut exprimer un nombre en fonction des autres en «faisant le produit des deux nombres en diagonal et en divisant par le nombre restant». c? b d / ctivité Fiche J. 1 ou partir de l'énoncé donné en 4ème pour généraliser à toutes les configurations. 3/ Énoncé du théorème onfigurations géométriques de Thalès «Deux parallèles sur deux sécantes» ()//() ()//() (configurations triangles) (configuration papillon)
008-009 Théorème de Thalès Si est parallèle à,, et,, sont alignés sur deux droites sécantes en et si. alors Remarque Dans le premier quotient, les lettres, et correspondent à des points d'une même sécante ; dans le deuxième quotient, les lettres, et correspondent aux points de la deuxième sécante ; et dans le dernier quotient, on retrouve les lettres qui correspondent aux deux parallèles. R W Exemple Repérer les différentes configuration de Thalès et donner les égalités de quotients. X U V T S (VS)//(U) et (U)//(WX) (UT)//(RS) 4/ Exemple à savoir refaire D Énoncé? Les droites DJ et K sont sécantes en. Les droites KJ et D sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès : Remarque On pourra aussi prendre exemple sur l'exercice résolu 1 page 6. 6 5, 4 Une solution possible 3, (KJ)// (D) D D on donne les quotients J K KL 3,6 D on remplace par les valeurs numériques 5,4 7, 3,6 7, D on exprime l ' inconnue en fonction des nombres 5,4 D 4,8 on n ' oublie pas l ' unité Dans le figure ci-contre, calcule la longueur D. K 7, 3 c m J
008-009 II. Réciproque du théorème de Thalès 1/ ctivité Voir fiche J / L'énoncé Réciproque du théorème de Thalès et si les points,, et,, sont alignés dans le même ordre sur deux droites sécantes en Si alors les droites et sont parallèles. Remarque L'ordre des lettres se déduit des quotients ; il doit y avoir un cohérence entre cet ordre et l'emplacement des points sur la figure. 3/ savoir refaire K J 3,6 Énoncé Démontre que les droites (J) et (K) sont parallèles. 1, I alculons séparément : On remarque que ordre. 0,8 c m H,4 c m Réponse IJ 1, 1 1 IK 3,6 36 3 G IH 0,8 8 1 IG,4 4 3 IJ IH et que les points I, J, K d'une part et I, H,G sont alignés dans le même IK IG D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (HJ) et (GK) sont parallèles.
008-009 III. Rappels sur le théorème de Pythagore et sa réciproque 1/ Théorème de Pythagore Quelques rappels Le côté en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse : c'est le côté [ ]. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit : [ ] et [ ]. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : + 90 Théorème Si est rectangle en alors. utrement dit : «Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit». Exemples IJH rectangle en H : IJ HI HJ VE rectangle en V : E V VE Exemple type On considère un triangle rectangle en tel que : 10 et 5. Fais une figure à main levée et trouve la valeur manquante. est rectangle, on peut donc appliquer le théorème de Pythagore : 10 5 10 5 75 75 8,7 (arrondi au millimètre) / Réciproque du théorème de Pythagore Si EFG est un triangle tel que est rectangle ou non. EF 4,5 ; EG 7,5 et FG6, on peut essayer de voir s'il On calcule séparément EG²7,5²56,5 EF²+FG²4,5²+6²56,5 On remarque que... EG²EF²+FG² On conclut en citant la bonne propriété D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F. E EG 7, 5 4, 5 F 6 G
008-009 IV. Pythagore, Thalès : lequel choisir? Pythagore permet de faire le lien entre la perpendicularité (propriété géométrique) et une égalité de carrés de longueur (propriété numérique). Thalès permet de faire le lien entre le parallélisme (propriété géométrique) et des égalités de quotients de longueurs (propriété numérique). Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Deux perpendiculaires et une sécante Deux parallèles et deux sécantes ou bien ou bien un triangle rectangle un petit et un grand triangle calculer une longueur si on en calculer une longueur si on en connaît au connaît au moins deux moins trois onfigurations Figures associées quoi ça sert Points important de la rédaction Triangle rectangle Théorème Pythagore Égalité de Pythagore alculs Résultat avec l'unité Deux sécantes et deux parallèles Théorème de Thalès Quotients de longueurs alculs Résultat avec l'unité Réciproque du théorème Réciproque du théorème de de Pythagore Thalès Un triangle à priori quelconque onfiguration ou bien Deux sécantes et deux autres droites trois sécantes démontrer que deux droites sont quoi ça sert perpendiculaire ou qu'un triangle est démontrer que deux droites sont parallèles rectangle ombien de Trois longueur, en général, les côté d'un Quatre longueurs, en général sur les deux longueur faut-il? triangle sécantes Points important de la rédaction alculer séparément On remarque une égalité de carrés de longueur Réciproque de Pythagore Triangle rectangle en... alculer séparément On remarque une égalité de quotients de longueur ; des points alignés dans un même ordre Réciproque de Thalès Droites parallèles
V. Démonstration Voici la démonstration d'euclide : 008-009