I - NOTION DE CORRECTION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Présentaton. Présentaton Nous avons vus dans les chaptres précédants que les systèmes pouvaent présenter des défauts, une précson nsuffsante, une stablté trop relatve (vore une nstablté), un temps de réacton trop lent, une dépassement trop mportant, au regard d un caher des charges. Il est donc souvent nécessare d ntégrer dans le système un réseau correcteur dont l objectf est d amélorer ces un ou pluseurs de ces dfférents paramètres sans ben sur le fare au détrment des autres. Sot un système défn par le schéma bloc c-contre. E(p) ε(p) S(p) + T(p) - S l on souhate amélorer les caractérstques de précson stablté, rapdté du système l est nécessare d ntrodure dans la boucle de commande un correcteur. E(p) ε(p) U(p) + C(p) - T(p) S(p) Les correcteurs dovent permettre de réalser le melleur comproms entre précson, stablté et rapdté du système étudé. B. Prncpaux réseaux correcteurs. Correcteur Proportonnel, P a) Prncpe Ce correcteur élémentare est le correcteur de base, l agt prncpalement sur le gan du système asserv, l permet donc amélorer notablement la précson. Dans le cas d un correcteur proportonnel, la lo de commande corrgée u(t) est proportonnelle à l écart ε(t): ut = K ε t. () () p La foncton de transfert du correcteur est donc : Cp ( ) ( ) ( p) U p = = ε Pour les partes commande électronques, la réalsaton de ce type de correcteur à base d amplfcateurs opératonnels est smple (attenton à la saturaton des ampls). b) Effet Nous avons vus (Cf. stablté et précson des S.A) que l effet d une augmentaton du gan entraîne un dmnuton de l erreur statque, rend le système plus rapde mas augmente l nstablté du système. 2. Correcteur Proportonnel - Intégrateur, P.I. a) Intégrateur pur t Pour un ntégrateur pur la lo de commande u(t) est de la forme : ut ( ) = ( u) du T ε la foncton de transfert d un correcteur pur est Cp ( ) = T Ce type de correcteur n est pas réalsable avec un réseau passf (crcut RC) mas une bonne approxmaton peut être réalsée avec un montage ntégrateur à base d amplfcateurs opératonnels. p K p 28//3 Systèmes page /6
module 3 2 () Dagrammes de Bode phase - -9-2 -3 - Log Pulsaton (rad/s) Log Pulsaton (rad/s) (2) Effet L ntérêt prncpal de ce correcteur est d ajouter dans la chaîne de commande une ntégraton, nous avons que la présence d une ntégraton dans la FTBO, annuler l erreur statque pour une entrée en échelon. L ntérêt prncpal de ce type de correcteur est donc d amélorer la précson, l ntrodut malheureusement un déphasage de -9 et rsque de rendre le système nstable(dmnuton de la marge de phase). b) Correcteur P.I. Le correcteur Intégrateur est en général assocé au correcteur proportonnel et la lo de commande corrgée est t de la forme : ut () = Kp ε() t + ( udu ) T ε. La foncton de transfert du correcteur est donc : + T p Cp ( ) = Kp T p () Dagrammes de Bode d un correcteur P.I 28//3 Systèmes page 2/6
(2) Effet Effet statque (régme permanent): annule l erreur statque (cf. précson des systèmes effet d une ntégraton) Effet dynamque (régme transtore) : augmente le temps de réponse (système mons rapde), et augmente l nstablté (ntrodut un déphasage supplémentare de -9 ). (3) Réglage du correcteur Prncpe : on place le correcteur de telle sorte que le déphasage postf sot effectf avant la pulsaton de résonance du système non corrgé de manère à ne pas rendre le système nstable, Une autre soluton consste à smplfer «mathématquement» le pole domnant par le numérateur du correcteur P.I. 3. Correcteur Proportonnel Dérvateur, PD a) Dérvateur pur ε ( ) La lo de commande est de la forme ut () = T d t d, la foncton de transfert est donc Cp ( ) = Td p. dt Ce type de correcteur est purement théorque, un système physque ne peut pas avor un numérateur de degré supéreur au dénomnateur. Le correcteur approchant permettant d avor un effet dérvé est un correcteur de la forme Td p Cp ( ) = avec τ = T d et N enter> + τ p N b) Correcteur P.D Cp K T p d = p + τ p La lo du correcteur PD est donc ( ) () effet Effet statque :(entrée en échelon ou évoluton constante) le système n ntervenant que sur la dérvée de l erreur, en régme permanent s l erreur est constante, le dérvateur n a aucun effet. Effet dynamque: l ntérêt prncpal de la correcton dérvée est sont effet stablsant, elle s oppose aux grandes varatons de l erreur (donc aux oscllatons), elle permet donc de stablser le système et d amélorer le temps de réponse. (2) Réglage : La constante de dérvaton dot permettre d agr (apporter une phase postve) avant la résonance du système non corrgé. 4. Correcteur proportonnel Intégrateur Dérvateur PID a) Prncpe L ntérêt du correcteur PID est d ntégrer les effets postfs des tros correcteurs précédents. la détermnaton des coeffcents Kp, T, Td du correcteur PID permet d amélorer à la fos la précson (Td et Kp) la stablté (Td) et la rapdté (Td, Kp). Le réglage d un PID est en général assez complexe, des méthodes pratques de réglages permettent d obtenr des bons résultats. () Structure d un correcteur PID Correcteur E(p) ε(p) Cd(p)=Tdp Cp(p)=Kp + - + + U(p) T(p) S(p) C( p) = T p (2) Dagramme de Bode 28//3 Systèmes page 3/6
dagramme d ampltude dagramme des phases AdB Φ( ) Intégraton dérvaton Log(ω) Log(ω) (3) Effet On vot sur les dagrammes de Bode que le correcteur P.I.D se comporte pour le basses fréquences comme un ntégrateur donc le système sera précs d un pont de vue statque, aux hautes fréquences l avance de phase est de +9 donc une améloraton de la stablté (4) Réglage du correcteur P.I.D L objectf du réglage est de placer le correcteur de telle sorte que, autour de la pulsaton de résonance du système non corrgé, l avance de phase sot postve et suffsante pour ne pas rendre le système nstable. Il n y a pas de réelle méthode analytque permettant de calculer les composantes du correcteur, par contre des méthodes pratques permettent une évaluaton correcte des coeffcents du correcteur. 5. Correcteur à avance de phase a) prncpe Un correcteur à avance de phase est e la forme a p Cp ( ) = + τ avec a> + τ p L ntérêt de ce type de correcteur est de peu modfer le comportement du système aux basses et hautes fréquences mas de rajouter une phase postve autour du pont crtque de fonctonnement.(résonance) Ce type de correcteur se comporte autour du pont crtque comme un correcteur dérvé. Il permet d amélorer la stablté sans changer les autres paramètres. () Dagrammes de Bode 28//3 Systèmes page 4/6
Le déphasage maxmal est obtenue pour la pulsaton : ωm =. τ a a Le déphasage maxmal correspond à : snϕ m = a + 6. Méthode pratque de réglage d un correcteur P, P.I ou P.I.D - Méthode de Zegler Nchols () Prncpe Les correcteurs PI et P.I.D sont parm les correcteurs analogques les plus utlsés. Le problème prncpal résde dans la détermnaton des coeffcents Kp, T, Td du correcteur. Pluseurs méthodes expérmentales ont été développées pour détermner ces coeffcents La méthode développée par Zegler et Nchols n est utlsable que s le système étudé supporte les dépassements. La méthode consste à augmenter progressvement le gan d un correcteur proportonnel pur jusqu'à la juste oscllaton. On relève alors le gan lmte (Klm) correspondant et la pulsaton des oscllatons ω osc. À partr des ces valeurs Zegler et Nchols propose nt des valeurs permettant le réglage des correcteurs P, P.I et P.I.D Correcteur P P.I P.I.D Kp 5. Klm 45. Klm 6. K lm T 83. T osc 5. T osc Td 25. T osc. 28//3 Systèmes page 5/6
Correcteur à avance de phase, 5 Correcteur P.D, 3 Correcteur P.I., 2 correcteur PID, 4 Correcteur Proportonnel, Correcteur Proportonnel - Intégrateur, Correcteur Proportonnel Dérvateur, 3 Correcteur proportonnel Intégrateur Dérvateur, 4 Noton de correcton, Zegler Nchols, 5 28//3 Systèmes page 6/6