Algèbre lére Chp 04 : cours complet Espces vectorels réels ou complexes Défto : K-espce vectorel Défto 2 : (hors progrmme) K-lgèbre Théorème : exemples Défto 3 : combso lére de vecteurs Défto 4 : sous-espce vectorel d u espce vectorel Théorème 2 : crctérsto d u sous-espce vectorel Théorème 3 et défto 5 : espce vectorel produt 2 Combsos léres et fmlles Défto 2 : Défto 22 : Théorème 2 : Théorème 22 : Théorème 23 : Défto 23 : Défto 24 : Théorème 24 : Défto 25 : fmlle lbre de vecteurs fmlle lée de vecteurs crctérsto des fmlles lées cs où l u des vecteurs de l fmlle est ul fmlle de polyômes de degrés écheloés rg d ue fmlle de vecteurs sous-espce vectorel egedré pr ue fmlle de vecteurs crctérsto d u sous-espce vectorel egedré bse d u K-espce vectorel 3 Espces vectorels de dmeso fe Défto 3 : Théorème 3 : Théorème 32 : Défto 32 : Théorème 33 : Théorème 34 : Théorème 35 : Théorème 36 : Théorème 37 : espce vectorel de dmeso fe de l échge exstece de bses ds u espce vectorel de dmeso fe dmeso d u K-espce vectorel crdl des fmlles lbres ou géértrces ds u espce vectorel de dmeso fe de l bse complète dmeso d u sous-espce vectorel ds u espce vectorel de dmeso fe crctérsto du rg d ue fmlle de vecteurs églté de sous-espces vectorels ds u espce vectorel de dmeso fe 4 Applctos léres Défto 4 : Théorème 4 : Défto 42 : Défto 43 : Défto 44 : Théorème 42 : Théorème 43 : Théorème 44 : Théorème 45 : pplcto lére etre K-espces vectorels, (E,F) structure de K-espce vectorel de (E,F) (hors progrmme) le groupe lére d u espce vectorel morphsme, edomorphsme, somorphsme, utomorphsme mge et oyu d ue pplcto lére mge et oyu d u morphsme sot des sous-espces vectorels crctérsto de l ectvté et de l surectvté crctérsto d ue pplcto lére pr so cto sur ue somme drecte somorphsme etre l mge d u morphsme et u supplémetre de so oyu 5 Applctos léres e dmeso fe Théorème 5 : Théorème 52 : Défto 5 : Théorème 53 : Théorème 54 : Théorème 55 : Théorème 56 : fmlle géértrce de l mge d u morphsme e dmeso fe crctérsto d ue pplcto lére pr les mges des vecteurs d ue bse rg d ue pplcto lére e dmeso fe du rg crctérsto des somorphsmes etre espces de dmeso fe coservto du rg pr somorphsme dmeso de (E,F) 6 trces Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - -
Défto 6 et théorème 6 : les espces vectorels de mtrces Défto 62 : produt de mtrces Théorème 62 : structure de groupe et d lgèbre pour (K) Défto 63 : mtrce trsposée d ue mtrce Défto 64 : mtrce symétrque, tsymétrque Théorème 63 : dmeso et supplémetrté de S (K) et A (K) Défto 65 : mtrce défe pr blocs Défto 66 : mtrces trgulres ou dgoles pr blocs Théorème 64 : somme et produt de mtrces pr blocs 7 trce des coordoées d u vecteur ds ue bse, mtrce de chgemet de bse Défto 7 : Défto 72 : Théorème 7 : mtrce des coordoées d u vecteur ds ue bse mtrce de chgemet de bse (mtrce de pssge) le etre les coordoées d u même vecteur ds dfféretes bses 8 trce représettve d ue pplcto lére ds des bses Défto 8 : Théorème 8 : Théorème 82 : Défto 82 : Théorème 83 : Théorème 84 : Théorème 85 : mtrce représettve d ue pplcto lére ds des bses somorphsme etre,p (K) et (E,F) trducto mtrcelle du le etre u vecteur et so mge pr u morphsme pplcto lére ou edomorphsme coquemet ssocé à ue mtrce mtrce d ue composée les etre les mtrces de pssge pour tros bses de l espce le etre les mtrces d u même edomorphsme ds dfféretes bses 9 Somme de sous-espces vectorels, sommes drectes, sous-espces vectorels supplémetres Théorème 9 et défto 9 : somme de sous-espces vectorels Théorème 92 : utre défto d ue somme de sous-espces vectorels Défto 92 : somme drecte de deux ou de pluseurs sous-espces vectorels Défto 93 : sous-espces supplémetres Théorème 93 : exstece d u supplémetre e dmeso fe Théorème 94 : des qutre dmesos ou formule de Grssm Défto 94 : décomposto e somme drecte Théorème 95 : proprété récursve des sommes drectes Théorème 96 : défto équvlete d ue somme drecte, d ue décomposto e somme drecte Théorème 97 : crctérsto e dmeso fe d ue décomposto e somme drecte Défto 95 : bse d u espce vectorel dptée à u sous-espce vectorel, à ue somme drecte de sous-espces vectorels 0 Proecteurs Défto 0 : proecteurs ssocés à deux sous-espces vectorels supplémetres Théorème 0 : proprétés pour des proecteurs ssocés Théorème 02 : crctérsto des sous-espces vectorels défsst u proecteur Défto 02 : fmlle de proecteurs ssocée à ue décomposto e somme drecte Théorème 03 : géérlsto du théorème 0 Polyômes d terpolto de grge (hors progrmme) Défto : polyômes de grge Théorème : exstece et ucté des bses de grge 2 Trce d ue mtrce crrée, d u edomorphsme Défto 2 et théorème 2 : trce d ue mtrce crrée Théorème 22 : proprétés bsques de l trce des mtrces Théorème 23 et défto 22 : trce d u edomorphsme Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 2 -
Théorème 24 : trce d u proecteur 3 Dul d u espce vectorel Défto 3 : dul d u espce Théorème 3 : dmeso du dul pour u espce de dmeso fe Défto 32 : hyperpl (e dmeso fe) Théorème 32 : oyu des formes léres o ulles Théorème 33 et défto 33 : (hors progrmme) bse dule d ue bse e dmeso fe Théorème 34 et défto 34 : (hors progrmme) bse prédule (ou té-dule) d ue bse de E* Théorème 35 : équtos d u hyperpl 4 Groupe symétrque (hors progrmme) Défto 4 : S Théorème 4 : le groupe symétrque (S,o) Défto 42 : orbte d u élémet sous l cto d u cycle Théorème 42 : descrpto des orbtes d ue permutto Théorème 43 : prtto de à l de d ue permutto Défto 43 : p-cycle, trsposto Défto 44 : sgture d ue permutto Théorème 44 : décomposto d ue permutto e produt de trspostos Théorème 45 : proprété de commutto des cycles à supports dsots Théorème 46 : décomposto d ue permutto e produt de cycles à supports dsots Théorème 47 : l sgture est u morphsme de groupes 5 Détermt d ue fmlle fe de vecteurs ds ue bse e dmeso fe (hors progrmme) Défto 5 : forme -lére lterée e dmeso Défto 52 : forme tsymétrque Théorème 5 : équvlece lterée tsymétrque Théorème 52 : proprétés et écrture d ue forme -lére lterée ds ue bse Théorème 53 et défto 53 : détermt de vecteurs ds ue bse Théorème 54 : expresso du détermt de vecteurs ds ue bse Théorème 55 : crctérsto des bses Théorème 56 et défto 54 : oretto d u espce vectorel de dmeso fe 6 Proprétés et clcul des détermts Défto 6 : détermt d ue mtrce crrée Théorème 6 : églté etre détermt de vecteurs et celu de leur mtrce représettve Théorème 62 : détermt de l detté Théorème 63 : coséqueces de l -lérté sur les détermts de mtrces Théorème 64 : détermt d ue trsposée Défto 62 : (hors progrmme) cofcteurs d ue mtrce crrée Théorème 65 : développemet d u détermt suvt ue coloe Théorème 66 : développemet d u détermt suvt ue lge Théorème 67 : détermt d ue mtrce crrée dgole, ou trgulre Théorème 68 : détermt pr blocs 7 Détermt d u edomorphsme e dmeso fe, d ue mtrce crrée Théorème 7 et défto 7 : (hors progrmme) détermt d u edomorphsme e dmeso fe Théorème 72 : églté etre détermt d u edomorphsme et celu de s mtrce représettve Théorème 73 : détermt d ue composée d edomorphsmes Théorème 74 : détermt d u produt de mtrces Théorème 75 : crctérsto des utomorphsmes Théorème 76 : crctérsto des mtrces crrées versbles 8 Comtrce d ue mtrce crrée (hors progrmme) Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 3 -
Défto 8 : comtrce d ue mtrce crrée Théorème 8 : le etre mtrce et comtrce Théorème 82 : expresso de l verse d ue mtrce crrée versble 9 Applctos Défto 9 : (hors progrmme) système de Crmer Théorème 9 : (hors progrmme) résoluto d u système de Crmer Défto 92 : rg d ue mtrce Théorème 92 : le etre rg d ue mtrce et rg de ses vecteurs coloes Défto 93 : mtrce extrte d ue mtrce Théorème 93 : crctérsto du rg pr des détermts extrts o uls Théorème 94 : rg d ue trsposée 20 Exemple des détermts trdgoux : sutes récurretes léres à deux termes Défto 20 : sute récurrete lére à deux termes, réelle ou complexe Défto 202 : équto crctérstque ssocée à ue sute récurrete lére à deux termes Théorème 20 : structure de K-espce vectorel des sutes récurretes léres à deux termes Théorème 202 : expresso des sutes récurretes léres à deux termes Défto 203 : détermt trdgol Théorème 203 : clcul d u détermt trdgol Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 4 -
Algèbre lére Chp 04 : cours complet Espces vectorels réels ou complexes Défto : K-espce vectorel Sot E u esemble, K u corps (égl e géérl à ou ) O dt que (E,,) est u K-espce vectorel ou espce vectorel sur K s et seulemet s : est ue lo de composto tere sur E : (x,y) E 2, xy exste et : xy E, est ssoctve : (x,y,z) E 3, (x y) z = x (y z), possède u élémet eutre ds E, e géérl oté 0 : x E, x 0 = 0 x = x, tout élémet de E dmet u symétrque pour l lo ppelé opposé de x : x E, x E, (x = -x), tel que : x x = x x = 0, ce qu ft lors de (E,) u groupe, est commuttve : (x,y) E 2, x y = y x, ce qu red le groupe (E,) commuttf ou béle, l lo yt de plus les proprétés suvtes : c est ue lo de composto extere sur E : x E, λ K, λx exste et : λx E, (x,y) E 2, λ K, λ(x y) = λx λy, x E, (λ,µ) K 2, (λ µ)x = λx µx, x E, (λ,µ) K 2, (λµ)x = λ(µx), x E, x = x es élémets de E sot ppelés «vecteurs» et ceux de K «sclres» Défto 2 : (hors progrmme) K-lgèbre U esemble (E,,,) est ue K-lgèbre s et seulemet s : (E,,) est u K-espce vectorel, est dstrbutve pr rpport à, (x,y) E, λ K, λ(x y) = x (λy) = (λx) y S l lo est ssoctve, commuttve ou utre, o dt de même que l lgèbre est ssoctve, commuttve, utre Théorème : exemples es esembles suvts sot des - ou -espces vectorels (suvt les cs), dts espces vectorels de référece les esembles de -uplets de réels ou de complexes : et, les esembles de foctos défes sur I (évetuellemet ), à vleurs ds, ou u K-espce vectorel (E,,) : F(I,), F(I,) et F(I,E), les esembles de polyômes à coeffcets réels ou complexes : [X], [X], [X] et [X], les esembles de sutes réelles ou complexes : et, les esembles de mtrces crrées ou rectgles à coeffcets réels ou complexes : (), (),,p (),,p () es esembles suvts sot des K-lgèbres : F(I,), F(I,), [X], [X], (), () Démostrto : Ue fos défes les los ds ces esembles, l démostrto du ft que ce sot be des K-espces vectorels ou des K-lgèbres est mmédte O précse doc les los : ds et : (x,, x ) K, (y,, y ) K, λ K, (x,, x ) (y,, y ) = (x y,, x y ), λ(x,, x ) = (λx,, λx ) ds F(I,), F(I,) et F(I,E) : (f,g) F(I, ou ou E), λ K, (f g) est l focto de I ds, ou E, telle que : x I, (f g)(x) = f(x) g(x), λf est l focto de I ds, ou E, telle que : x I, (λf)(x) = λf(x), Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 5 -
et pour F(I,K), (f g) est l focto de I ds K, telle que : x I, (f g)(x) = f(x)g(x), l élémet uté pour l lo étt lors l focto telle que : x I, (x) = C est lors ue K-lgèbre commuttve (l lo est commuttve) ds K[X] ou K [X] : P = p X p 0, Q = b q X q b 0, λ K, pour : N = mx(p,q), P Q = ( N b N )X N ( 0 b 0 ), λp = (λ p )X p (λ 0 ), p q k k et pour K[X], le produt est déf pr : (PQ) = bk X, k = 0 = 0 l élémet uté étt le polyôme costt égl à C est lors ue K-lgèbre commuttve ds K : ( ) K, (b ) K, λ K, ( ) (b ) = ( b ), λ( ) = (λ ) ds (), (),,p (),,p () : (A,B) (,p (K)) 2, λ K, A B = λ λa = λ,,,, b b,, λ λ,,,,, b b,,, et pour (K), le produt est déf pr : A B = C, vec :,, c, =, k bk,, l élémet uté étt l mtrce I C est lors ue K-lgèbre commuttve pour : =, o commuttve pour : 2 Défto 3 : combso lére de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel Sot (x ) I ue fmlle (évetuellemet fe) de vecteurs de E Ue combso lére des vecteurs de cette fmlle est u vecteur de E qu s écrt : I sot des sclres qu sot tous uls, suf u plus u ombre f d etre eux k= λ x, où les λ E prtculer, s (x ) est ue fmlle fe de vecteurs de E, ue combso lére de ces vecteurs est u vecteur de E qu s écrt : λ = x, où les λ sot sclres Défto 4 : sous-espce vectorel d u espce vectorel Sot (E,,) u K-espce vectorel, et F u sous-esemble de E O dt que F est u sous-espce vectorel de E s et seulemet s (F,,) est u K-espce vectorel (doc pour les mêmes los que celles de E, ou plus précsémet pour les los dutes ds F pr celles de E) Théorème 2 : crctérsto d u sous-espce vectorel Sot (E,,) u K-espce vectorel et F u esemble F est u sous-espce vectorel de E s et seulemet s : F est clus ds E, F est o vde, F est stble pr combso lére : (x,y) F 2, (λ,µ) K 2, (λx µy) F Démostrto : S F est u sous-espce vectorel de E, lors F est be clus ds E, l cotet l élémet eutre pour l ddto (pusque (F,) est u groupe), c est-à-dre le vecteur ul, et F est o vde Ef, les los et sot respectvemet des los de composto tere et extere, dot l stblté de F pr combso lére e découle Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 6 -
Récproquemet, s F vérfe les codtos proposées, lors : l lo est tere ds F : (x,y) F 2, pour : λ = µ =, x y = x y F, l lo étt ssoctve et commuttve ds E, elle le reste ds F, F cotet 0, pusque, étt o vde : x F, et : x x = 0 F, tout élémet de F so symétrque ds F cr : x F, 00 (-)x = -x F, l lo est ue lo de composto extere ds F pusque : x F, λ K, 00 λx = λx F, les qutre derères proprétés étt vres ds E, elles restet vres ds F Théorème 3 et défto 5 : espce vectorel produt Soet (E,) et (F,,) deux K-espces vectorels (où l o ote de l même fço ds E et F les los de composto teres et exteres) Alors les los et défes pr : ((x,y), (x,y )) (E F) 2, (x,y) (x,y ) = (xx,yy ), (x,y) E F, λ K, λ(x,y) = (λx,λy), fot de E F u K-espce vectorel, ppelé espce vectorel produt de E et de F Démostrto : Avec les los s défes, o vérfe que les résultts vrs ds E et ds F etrîet les mêmes pour les ouvelles los ds E F E prtculer, l élémet ul ds E F est (0,0) et l opposé d u élémet (x,y) de E F est (-x,-y) 2 Combsos léres et fmlles Défto 2 : fmlle lbre de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E O dt que (x ) est ue fmlle lbre s et seulemet s toute combso lére ulle de ces vecteurs est écessremet à coeffcets uls E prtculer, s l fmlle (x ) est fe de l forme (x ), l fmlle est lbre s et seulemet s : (λ,, λ ) K, (λ x λ x = 0) (λ = = λ = 0) Défto 22 : fmlle lée de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E fmlle (x ) est dte lée s et seulemet s elle est ps lbre E prtculer, s l fmlle (x ) est fe de l forme (x ), l fmlle est lée s et seulemet s : (λ,, λ ) K, (λ,, λ ) (0,,0), (λ x λ x = 0) Théorème 2 : crctérsto des fmlles lées Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E fmlle est lée s et seulemet s l u des vecteurs de cette fmlle (o e st ps pror lequel) peut s écrre comme combso lére des utres vecteurs de l fmlle Démostrto : S l fmlle est lée, l exste ue combso lére fst terver u ombre f de vecteurs de l fmlle, ulle et à coeffcets o tous uls, sot : (λ,, λ ) K, λ x λ x = 0 λk Pusque l u des coeffcet est o ul, o peut supposer que c est λ et lors : x = xk, et o k = 2 λ be u des vecteurs de l fmlle s écrvt comme combso lére des utres S mtet, l u d etre eux s écrt comme combso lére des utres, pr exemple : x = µ 2 x 2 µ x, lors : x µ 2 x 2 µ x = 0 O vet be d obter ue combso lére des vecteurs de l fmlle, ulle et à coeffcets o tous uls (à cuse du coeffcet ) Théorème 22 : cs où l u des vecteurs de l fmlle est ul Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E S l fmlle comporte le vecteur ul ou deux fos le même vecteur, l fmlle est lée Démostrto : S l fmlle comporte le vecteur ul : x = 0, pr exemple, lors : x = 0, sot ue combso lére ulle à coeffcets o tous uls de vecteurs de l fmlle : l fmlle est lée Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 7 -
S l fmlle comporte deux fos le même vecteur, pr exemple : x = x k, vec : k, lors o à ouveu ue combso lére ulle à coeffcets o tous uls de vecteurs de l fmlle vec : x x k = 0 Théorème 23 : fmlle fe de polyômes de degrés écheloés Sot (P 0,, P ) ue fmlle de polyômes o uls de K[X] de degrés écheloés, sot tels que : deg(p 0 ) < < deg(p ) Alors cette fmlle est lbre ds K[X] Démostrto : démostrto se ft pr récurrece sur Pour : = 0, P 0 étt u polyôme o ul, l costtue ue fmlle lbre ds K[X] Sot :, pour lequel o suppose le résultt vr Sot (P 0,, P ) ue fmlle de polyômes o uls de degrés écheloés, et sot ue combso k= 0 lére ulle de ces polyômes, sot : λ = 0, vec : (λ 0,, λ ) K k P k λ S : λ 0, lors : k Pk = P k= 0 λ Or l somme à guche est de degré u plus deg(p ), lors que le polyôme de drote u degré deg(p ) qu est strctemet plus grd Doc : λ = 0, pus : λ = 0, et (P 0,, P ) étt de degrés écheloés, o e dédut que tous les k= 0 k P k λ sot uls Flemet l fmlle est be lbre, ce qu terme l récurrece Défto 23 : rg d ue fmlle de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E O ppelle rg de l fmlle, lorsqu l exste, le plus grd ombre de vecteurs de l fmlle costtut ue fmlle lbre de vecteurs de E, et o le ote rg((x )) e rg d ue fmlle fe de vecteurs exste doc touours et est touours féreur ou égl à Défto 24 : sous-espce vectorel egedré pr ue fmlle de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel et A ue fmlle de vecteurs de E O ppelle sous-espce vectorel de E egedré pr l fmlle A l esemble oté Vect(A) des combsos léres de vecteurs de A, sot : Vect(A) = {x E, (x,, x p ) A p, (λ,,λ p ) K p, x = λ x λ p x p } E prtculer, s : A = (x ), o : Vect(A) = {x E, (λ,,λ ) K, x = λ x λ p x p } Théorème 24 : crctérsto d u sous-espce vectorel egedré Sot (E,,) u K-espce vectorel et A u sous-esemble de E Vect(A) est le plus pett sous-espce vectorel de E cotet A, c est-à-dre : G, sous-espce vectorel de E, (A G) (Vect(A) G) Démostrto : Sot G u sous-espce vectorel de E cotet A Alors G étt stble pr combso lére, l cotet toute combso lére de deux vecteurs qu lu pprteet (e prtculer deux vecteurs quelcoques de A) et pr récurrece toute combso lére d u ombre f de vecteurs lu pprtet, ou pprtet à A Doc G cotet be Vect(A) Défto 25 : bse d u K-espce vectorel Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) ue fmlle de vecteurs de E O dt que (x ) est ue bse de E s et seulemet s c est ue fmlle lbre et géértrce de E 3 Espces vectorels de dmeso fe Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 8 -
Défto 3 : espce vectorel de dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel O dt que E est de dmeso fe sur K s et seulemet s E dmet ue fmlle géértrce fe Théorème 3 : de l échge Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe Soet : B = (e,, e p ), ue fmlle lbre d élémets de E, et : B 0 = (e,, e q ), ue fmlle géértrce de E Alors : p q De plus, o peut échger p des vecteurs de l fmlle B 0 vec les p vecteurs de l fmlle B pour obter ue ouvelle fmlle géértrce de E Démostrto : O st que e est combso lére des vecteurs de B 0, et les coeffcets e peuvet être tous uls, so e sert ul et l fmlle B e pourrt être lbre Qutte doc à permuter les vecteurs de B 0, o peut supposer que le coeffcet λ, de e ds cette combso : e = λ, e λ q, e q, est o ul : λ, 0 q λ, Alors : e = e e', et : E = Vect(e,, e q ) Vect(e, e 2,, e q ) E, λ λ, = 2, d où l églté des espces vectorels et le ft que l fmlle : B = (e, e 2,, e q ) est géértrce de E O tère mtet le processus pour remplcer d utres vecteurs de B 0 pr d utres provet de B Supposos pour cel qu o formé ue ouvelle fmlle B k géértrce de E e remplçt les k premers vecteurs de l fmlle B 0 pr e,, e k (pr exemple), vec : k p, k q Alors : e k Vect(e,, e k, e k,, e q ), et : (λ,k,, λ k,k, λ k,k, λ q,k ) K q, tel que : e k = λ,k e λ k,k e k λ k,k e k λ q,k e q Il est ps possble d vor : λ k,k = = λ q,k = 0, so l fmlle (e,, e k ) et doc B sert lée Qutte là ecore, à permuter les vecteurs e k,, e q, o peut supposer que : λ k,k 0, et : k q λ, k λ, k e k = ek e e' λ λ λ k, k = k, k = k 2, k O e dédut à ouveu que : E = Vect(B k ) Vect(e,, e k, e k2, e q ) E, et l ouvelle fmlle : B k = (e,, e k, e k2, e q ), est ecore géértrce de E Ef, s : q < p, lors e pret : k = q, ds l costructo précédete, o obtet que : e q Vect(e,, e q ), pus que : B q = (e,, e q ) est géértrce de E O urt lors e prtculer : q p, et : e q Vect(e,, e q ), et l fmlle (e,, e q ), sous-fmlle de l fmlle B, sert lée, et l fmlle B le sert uss Doc o be : p q, et o obteu ue ouvelle fmlle géértrce de E e yt échgé p vecteurs de l fmlle B 0 pr ceux de l fmlle B Théorème 32 : exstece de bses ds u espce vectorel de dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe Alors E dmet ue bse comportt u ombre f de vecteurs, et toutes les bses de E comportet le même ombre f de vecteurs Démostrto : Sot (e,, e p ) ue fmlle géértrce de E Sot l fmlle e comporte que le vecteur ul, et lors : x E, x = 0 Ds ce cs, et pr coveto, o : E = Vect( ) Sot l fmlle comporte u mos u vecteur o ul, et o cosdère lors l esemble des crdux des sous-fmlles lbres de cette fmlle (e ) Cet esemble d eters est o vde (pusqu l y ue sous-fmlle lbre comportt u seul vecteur) et moré pr p : l cotet doc u plus grd élémet : p Cosdéros mtet ue sous-fmlle lbre B à élémets prm les (e ) p, et supposos pour smplfer que c est (e,, e ) Tout vecteur e k, vec : < k p, (s l y e ) est combso lére des vecteurs de B cr : (λ,, λ, λ k ) K, o tous uls tel que : λ e λ e λ k e k = 0, pusque l fmlle e peut ps être lbre cr comportt trop de vecteurs Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 9 -
s λ k e peut être ul, so tous les coeffcets seret uls (l fmlle B est lbre), et o doc : λ e k = e = λk Pus tout vecteur de E étt combso lére de l fmlle (e,, e p ), l est ecore combso lére des vecteurs de B O vet doc de démotrer que : x E, x Vect(B) s o uss évdemmet : x Vect(B), x E, pusque E est stble pr combso lére O doc étbl globlemet que : E = Vect(B) fmlle B étt lbre pr costructo, et mtet géértrce de E, c est ue bse de E Soet mtet deux bses B et B de E comportt et vecteurs Pusque B est lbre et B est géértrce de E, o : E échget les rôles de B et B, o évdemmet :, et flemet : = Défto 32 : dmeso d u K-espce vectorel Sot (E,,) u K-espce vectorel S E dmet ue bse comportt u ombre f de vecteurs, o ppelle dmeso de E le ombre de vecteurs de cette bse qu est doc le même pour toutes les bses de E Théorème 33 : crdl des fmlles lbres ou géértrces ds u espce vectorel de dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe et (x ) p ue fmlle de vecteurs de E S l fmlle (x ) p est géértrce de E, lors : p S l fmlle (x ) p est lbre, lors : p O les équvleces : ((x ) p bse de E) ((x ) p lbre et : p = ) ((x ) p géértrce de E et : p = ) Démostrto : Sot B ue bse de E (comportt doc élémets) e théorème de l échge motre que s (x ) p est géértrce de E, lors : p, pusque B est lbre De même, s l fmlle (x ) p est lbre, lors : p, pusque cette fos, B est géértrce de E Il est clr esute que : ((x ) p bse de E) ((x ) p lbre et : p = ), et : ((x ) p bse de E) ((x ) p géértrce de E et : p = ) Récproquemet, s l fmlle (x ) p lbre et : p =, lors o peut obter à prtr de l fmlle géértrce B de E, ue ouvelle fmlle géértrce de E e remplçt p vecteurs de B pr ceux de (x ) p s comme : p =, cel sgfe les remplcer tous, utremet dt l ouvelle fmlle obteue, (sot l fmlle (x ) p e ft) est géértrce de E s comme elle étt lbre, c est e ft ue bse de E S ef, l fmlle (x ) p est supposée géértrce de E, lors elle e peut être lée, so l u des vecteurs, pr exemple x sert combso lére des vecteurs x,, x - et l fmlle (x,, x - ) sert géértrce de E O urt lors ue fmlle géértrce de E à ( ) élémets et ue fmlle lbre (B) vec élémets, ce qu est mpossble fmlle (x ) p est doc lbre, et étt de plus géértrce de E, c est ue bse de E Théorème 34 : de l bse complète Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe et : B = (e,, e ), ue bse de E S (x,, x p ) est ue fmlle lbre de vecteurs de E, lors l est possble de compléter l fmlle (x,, x p ) à l de de vecteurs de B e ue ouvelle bse de E Démostrto : Pusque (e,, e ) est ue bse de E, c est ue fmlle géértrce de E O st doc pr le théorème de l échge que : p, et qu l est possble d échger p vecteurs de B vec les p vecteurs de l utre fmlle pour former ue ouvelle fmlle géértrce de E s pusque cette fmlle géértrce comporte vecteurs, sot l dmeso de E, c est ue bse de E, et o l be obteue (utre fço de vor) e complétt (x, x p ) à l de de vecteurs de B Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 0 -
remrque : Il exste églemet u théorème dt «de l bse extrte» dot l éocé est le suvt : «s (E,,) est u espce vectorel de dmeso fe et (x,, x p ) egedre E, lors l exste ue sousfmlle (x ) J, de (x,, x p ), vec : J {,, p} qu costtue ue bse de E Théorème 35 : dmeso d u sous-espce vectorel ds u espce vectorel de dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe Tout sous-espce vectorel de E est de dmeso fe, féreure à celle de E Démostrto : Sot : F = {0}, et F est de dmeso fe égle à 0 So, cosdéros toutes les fmlles lbres de vecteurs de F Toutes ces fmlles ot u crdl (ombre d élémets) féreur à : = dm(e) Sot lors p le ombre mxmum d élémets d ue telle fmlle et : B = (e,, e p ), ue telle fmlle Alors B est ue bse de F E effet : Vect(B ) F, pusque B est costtuée d élémets de F, lu-même stble pr combso lére Pus : x F, l fmlle (e,, e p, x) est lée (pusqu étt formée de plus de p élémets de F) Doc : (λ, λ p, λ p ) K p, (λ, λ p, λ p ) (0,,0), λ e λ p e p λ p x = 0, et λ p est ps ul, so tous les coeffcets seret uls, du ft de l lberté de l fmlle B O e dédut que : x Vect(B ), et : F Vect(B ) Flemet, B est géértrce de F et c est ue bse de F, qu est doc de dmeso : p = dm(e) Théorème 36 : crctérsto du rg d ue fmlle de vecteurs Sot (E,,) u K-espce vectorel et (x ) p ue fmlle fe de vecteurs de E Alors le rg de l fmlle (x ) p est égl à l dmeso du sous-espce vectorel de E egedré pr cette fmlle Sot doc : rg(x,, x p ) = dm(vect(x,, x p )) Démostrto : e rg de l fmlle est le ombre d élémets de l plus grde sous-fmlle lbre extrte de (x,, x p ) Notos k ce ombre et supposos (pour smplfer que (x,, x k )) est l fmlle lbre e questo Alors : k p, l fmlle (x,, x k, x ) est lée, et : (λ,, λ k, λ ) K k, (λ,, λ k, λ ) (0,, 0), λ x λ k x k λ x = 0 s λ e peut être ul, so l lberté de (x,, x k ) etrîert l ullté de tous les coeffcets O e dédut que x est combso lére de l fmlle (x,, x k ) O costte esute que : Vect(x,, x k ) Vect(x,, x p ), et ce qu o vet d étblr motre que toute combso lére de (x, x p ) peut se réécrre e ue combso lére de (x,, x k ), ce qu ous doe : Vect(x,, x p ) Vect(x,, x k ), d où l églté fmlle (x,, x k ) étt lbre et géértrce de Vect(x,, x p ), elle e costtue ue bse et : dm(vect(x,, x p )) = k = rg(x,, x p ) Théorème 37 : églté de sous-espces vectorels ds u espce vectorel de dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel Soet F et G des sous-espces vectorels de dmeso fe de E Alors : (F = G) (F G, et : dm(f) = dm(g)) E prtculer, s E est lu-même de dmeso fe, pour tout sous-espce vectorel F de E, o : (E = F) (dm(f) = dm(e)) Démostrto : S : F = G, l est mmédt que : F G, et : dm(f) = dm(g) S récproquemet, F G, et : dm(f) = dm(g), sot : B = (e,, e p ), ue bse de F Alors : F = Vect(e,, e p ) s B est uss ue fmlle d élémets de G, lbre, et comportt : p = dm(g), élémets Doc c est ue bse de G et : G = Vect(e,, e p ) = F deuxème équvlece vet du ft qu o touours : F E 4 Applctos léres Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - -
Défto 4 : pplcto lére etre K-espces vectorels, (E,F) Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels O dt que u est ue pplcto de E ds F est lére s et seulemet s : (x,y) E 2, (λ,µ) K 2, u(λx µy) = λu(x) µu(y) esemble des pplctos léres de E ds F est oté (E,F), et o ote : (E,E) = (E) Théorème 4 : structure de K-espce vectorel de (E,F) Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels (E,F) peut être mu d ue structure de K-espce vectorel et (E) d ue structure de K-lgèbre Démostrto : Comme u début du chptre, o précse les los utlsées et l démostrto du ft que l o be u K-espce vectorel ou ue K-lgèbre, se prouve ss dffculté prtculère Pour cel, doc : (u,v) (E,F), (λ,µ) K 2, (uv) est l pplcto lére de E ds F défe pr : x E, (uv)(x) = u(x) v(x), (λu) est l pplcto lére de E ds F défe pr : x E, (λu)(x) = λu(x), et pour (E), l deuxème pplcto tere qu e ft ue K-lgèbre est défe pr : (u,v) (E) 2, x E, (uov)(x) = u(v(x)), l élémet uté étt l pplcto detté (qu est be lére) de E ds E Cette lgèbre est e géérl o commuttve Défto 42 : le groupe lére d u espce vectorel Sot (E,,) u K-espce vectorel esemble des utomorphsmes de E forme u groupe pour l composto des pplctos, ppelé groupe lére de E et oté Gl(E) Défto 43 : morphsme, edomorphsme, somorphsme, utomorphsme Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels Ue pplcto lére de E ds F est ppelée morphsme ou homomorphsme de E ds F U edomorphsme de E est ue pplcto lére de E ds lu-même U somorphsme de E ds F est ue pplcto lére bectve de E ds F U utomorphsme de E est ue pplcto lére bectve de E ds lu-même Défto 44 : mge et oyu d ue pplcto lére Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, et : u (E,F) O ppelle mge de u et oyu de u les esembles : Im(u) = {y F, x E, y = u(x)}, ker(u) = {x E, u(x) = 0} Théorème 42 : mge et oyu d u morphsme sot des sous-espces vectorels Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, et : u (E,F) Alors Im(u) est u sous-espce vectorel de F et ker(u) u sous-espce vectorel de E Démostrto : Im(u) est clus ds F, l est o vde, cr : 0 = u(0) Im(u) Ef : (y,y ) (Im(u)) 2, (λ,λ ) K 2, (x,x ) E 2, y = u(x), y = u(x ), et : λy λ y = λu(x) λ u(x ) = u(λx λ x ) Im(u) ker(u) est clus ds E, l est o vde, cr : u(0) = 0, et : 0 ker(u) Ef : (x,x ) (ker(u)) 2, (λ,λ ) K 2, u(λx λ x ) = λu(x) λ u(x ) = 0, et : [λx λ x ] ker(u) Théorème 43 : crctérsto de l ectvté et de l surectvté Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels et : u (E,F) Alors : (u ectve) (ker(u) = {0}) (u surectve) (Im(u) = F) Démostrto : Supposos u lére et ectve Alors 0 u seul técédet pr u qu est 0, et : ker(u) = {0} Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 2 -
S mtet : ker(u) = {0}, lors : (x,x ) E 2, (u(x) = u(x )) (u( x x ) = 0) (x x ker(u)) (x x = 0, et : x = x ) : u est ectve Sot : u (E,F) Alors : u surectve, s et seulemet s : ( y F, x E, y = u(x)), ou ecore : ( y F, y Im(u)) Doc c est be équvlet à : F Im(u) Théorème 44 : crctérsto d ue pplcto lére pr so cto sur ue somme drecte Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels Soet E,, E, des sous-espces vectorels de E tels que :, u (E,F) Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 3 - E = E, et (u ) ue fmlle telle que : Alors l exste ue uque pplcto lére : u (E,F), telle que :, u = u Démostrto : Supposos que u exste Alors, pour tout vecteur x se décompost e : x = x x, suvt l somme drecte, o : u(x) = u(x ) u(x ) = u (x ) u (x ) Récproquemet, motros que u défe pr l formule précédete covet C est be ue pplcto de E ds E, pusque pour u x doé, l décomposto est uque et u(x) uss Pour : x E, x = 0 0 x 0 0, s décomposto suvt l somme drecte, lors : u(x) = u (0) u - (0) u (x) u (0) u (0) = u (0), et l restrcto de u à E est be u u est lére, cr : x = x x E, y = y y E, (vec leur décomposto), (λ,µ) K 2, (λx µy) se décompose e : (λx µy ) (λx µy ), cr cette décomposto covet et elle est uque, et : u(λx µy) = u (λx µy ) u (λx µy ), pr défto de u, d où : u(λx µy) = λu (x ) µu (y ) λu (x ) µu (y ) = λu(x) µu(y) Théorème 45 : somorphsme etre l mge d u morphsme et u supplémetre de so oyu Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels et : u (E,F) Sot E u supplémetre de ker(u) ds E Alors u permet de défr u somorphsme de E sur Im(u) Démostrto : Sot u l pplcto défe pr : x E, u (x) = u(x) Im(u) O be déf ue pplcto lére (c est mmédt) de E ds Im(u) u est ectve cr : x E, (x ker(u )) (u (x) = u(x) = 0) (x ker(u)) Doc : x (ker(u) E ), et : x = 0 u est surectve cr : y Im(u), x E, u(x) = y Or x peut se décomposer e : x = x x 0, vec : x E, x 0 ker(u) Doc : y = u(x ) u(x 0 ) = u(x ) = u (x ), et : y Im(u ) Flemet : Im(u) Im(u ), et l utre cluso étt mmédte, u est be surectve 5 Applctos léres e dmeso fe Théorème 5 : fmlle géértrce de l mge d u morphsme e dmeso fe Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, E de dmeso fe et : u (E,F) Sot : B = (e,, e ), ue fmlle géértrce de E Alors (u(e ),, u(e )) est ue fmlle géértrce de Im(u) E prtculer, Im(u) est u sous-espce vectorel de F de dmeso fe, féreure à celle de E Démostrto : O mmédtemet : x E, (x,, x ) K, x = x e x e, et doc : u(x) = x u(e ) x u(e ) Doc : Im(u) Vect(u(e ),, u(e )) Comme pr lleurs, l est clr que :, u(e ) Im(u), comme sous-espce vectorel de F doc stble pr combso lére, o uss : Vect(u(e ),, u(e )) Im(u) = E
O e dédut be l églté et le ft que (u(e ),, u(e )) est be géértrce de Im(u) Théorème 52 : crctérsto d ue pplcto lére pr les mges des vecteurs d ue bse Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, E de dmeso fe Sot : B = (e,, e ), ue bse de E, et (,, ) ue fmlle de vecteurs de F Alors :! u (E,F),, u(e ) = Autremet dt, ue pplcto lére de E ds F est etèremet défe pr l doée des mges des vecteurs d ue bse de l espce de déprt E Démostrto : Pour tout vecteur x de E, o peut l écrre sous l forme : x = x e x e Ds ce cs, s ue pplcto u répodt ux crtères proposés exste, lors : u(x) = x x Doc s u exste, ç e peut être que l pplcto que l o vet de décrre Récproquemet, sot u défe telle qu u dessus Alors u est be ue pplcto de E ds F, pusque l décomposto d u vecteur x quelcoque de E étt uque, u(x) est déf de fço uque et pprtet be à F De plus, u est lére E effet : (x,y) E 2, (λ,µ) K 2, x = x e x e, y = y e y e, et : λx µy = (λx µy )e (λx µy )e, et pr costructo de u : u(λx µy) = (λx µy ) (λx µy ) = λu(x) µu(y) Ef, u répod be ux codtos :, e = 0e 0e - e 0e 0e, et : u(e ) = = Doc le u trouvé covet et l est be uque Défto 5 : rg d ue pplcto lére e dmeso fe Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, E de dmeso fe, et : u (E,F) O ppelle rg de u l dmeso de Im(u) : rg(u) = dm(im(u)) Théorème 53 : du rg Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels, E de dmeso fe et : u (E,F) Alors : dm(im(u)) dm(ker(u)) = dm(e) Démostrto: Pusque E est de dmeso fe, Im(u) uss Sot (,, p ) ue bse de Im(u), et (e,, e p ) ue fmlle de vecteurs de E, técédets des ( ) Cosdéros églemet ue bse (e,, e q ) de ker(u), et motros que l réuo (e,, e p, e,, e q ) forme ue bse de E Sot doc ue combso lére ulle de ces vecteurs : λ e λ p e p µ e µ q e q = 0 E pret l mge pr u de cette combso lére, cel doe : λ λ p p = 0, ms comme l fmlle (,, p ) est lbre, comme bse de Im(u), o e dédut : λ = = λ p = 0 Pus : µ e µ q e q = 0, etrîe églemet : µ = = µ q = 0, pusque l fmlle (e,, e q ), comme bse de ker(u), est lbre Il est clr esute que : Vect(e,, e p, e,, e q ) E Ef, sot : x E Alors : u(x) Im(u), et : (λ,, λ p ) K p, u(x) = λ λ p p = λ u(e ) λ p u(e p ) Doc : u(x λ e λ p e p ) = 0, et : (µ,, µ q ) K q, x λ e λ p e p = µ e µ q e q Flemet : x Vect(e,, e p, e,, e q ), et l fmlle proposée est be géértrce de E C est be ue bse de E, doc : dm(e) = p q = dm(im(u)) dm(ker(u)) Théorème 54 : crctérsto des somorphsmes etre espces de dmeso fe Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe, u (E,F) Il y équvlece etre les propostos suvtes : u est u somorphsme de E sur F, u est ectve et : dm(e) = dm(f), u est surectve et : dm(e) = dm(f) E prtculer, pour : u (E), touours vec E de dmeso fe, o les équvleces : (u bectve) (u ectve) (u surectve) Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 4 -
Démostrto : C est ue coséquece presque mmédte du théorème du rg S u est u somorphsme de E sur F, lors u est ectve et surectve, doc : Im(u) = F, ker(u) = {0} Doc : dm(e) = dm(im(u)) dm(ker(u)) = dm(f) 0 = dm(f) Récproquemet, s u est ectve, vec : dm(e) = dm(f), lors : ker(u) = {0}, et : dm(im(u)) = dm(e) dm(ker(u)) = dm(f) Or o de plus : Im(u) F, doc : Im(u) = F, et u est surectve, doc costtue be u somorphsme de E sur F De même s u est surectve, vec : dm(e) = dm(f), lors : dm(ker(u)) = dm(e) dm(f) = 0 Doc u est ectve et costtue be à ouveu u somorphsme de E sur F e cs d pplctos de E ds E, espce vectorel de dmeso fe, est u cs prtculer Théorème 55 : coservto du rg pr somorphsme Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe, u u somorphsme de E sur F Sot (x,,x ) ue fmlle de vecteurs de E Alors : rg(x,,x ) = rg(u(x ),, u(x )) Démostrto : Sot : E = Vect(x,, x ) Alors : rg(x,, x ) = dm(e )= p, et o peut cosdérer ue bse (e,, e p ) de E otros que (u(e ),, u(e p )) est ue bse de Vect(u(x ),, u(x )) O : y Vect(u(e ),, u(e p )), (λ,, λ p ) K p, y = λ u(e ) λ p u(e p ) = u(λ e λ p e p ) Or : (λ e λ p e p ) E, doc est combso lére des (x ), et so mge est combso lére des (u(x )) A ce ttre, y pprtet à Vect(u(x ),, u(x )) Sot mtet : y Vect(u(x ),, u(x )) Alors : (λ,, λ ) K = λ u(x ) λ u(x ) = u(λ x λ x ), et : (λ x λ x ) E Doc (λ x λ x ) est combso lére des (e ) p et so mge est ds Vect(u(e ),, u(e p )) Flemet : Vect(u(x ),, u(x )) = Vect(u(e ),, u(e p )) fmlle (u(e ),, u(e p )) est pr lleurs lbre, pusque u est ectve E effet, s o : λ u(e ) λ p u(e p ) = 0, lors : u(λ e λ p e p ) = 0, et : (λ e λ p e p ) = 0 s l fmlle (e ) p étt lbre, tous les coeffcets sot uls Flemet, (u(e ),, u(e p )) est ue bse de Vect(u(x ),, u(x )), et : dm(vect(u(x ),, u(x ))) = p O be : rg(x,,x ) = rg(u(x ),, u(x )) Théorème 56 : dmeso de (E,F) Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe Alors (E,F) est de dmeso fe et : dm((e,f)) = dm(e)dm(f) E prtculer, touours s E est de dmeso fe, (E) pour dmeso (dm(e)) 2 Démostrto : Cosdéros ue bse : B = (e,, e ), de E et ue bse : B = (e,, e p ), de F Pus, sot l fmlle U des pplctos léres (u, ), p défes pr l mge des vecteurs de B :, p, k, u, (e k ) = δ,k e, où δ,k est le symbole de Kroecker, vlt s : = k, 0 so fmlle U est ue bse de (E,F) Elle est lbre E effet, s : λ, u, = 0, lors : k, λ, u, ( ek ) = 0 = λk, e', p, p Comme l fmlle (e,, e p ) est lbre, o e dédut que : k, p, λ k, = 0 Elle est géértrce de (E,F) O évdemmet : Vect(U) (E,F), cr ce sot be des pplctos léres de E ds F, et (E,F) est stble pr combso lére p Pus : u (E,F), k, u(e k ) = k, e' =, u, ( ek ) =, u, ( ek ) =, p, p Doc u et, u, sot deux pplctos léres de E ds F qu ssocet ux vecteurs de l, p Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 5 - p =
bse B les mêmes mges : elles sot doc égles, sot : u = u,,, p O vet doc de motrer que : (E,F) Vect(U), et flemet : (E,F) = Vect(U) Pusque (E,F) dmet ue fmlle géértrce fe, c est u K-espce vectorel de dmeso fe, et s dmeso vut le ombre de vecteurs ds l fmlle U, sot : dm((e,f)) = p = dm(e)dm(f) 6 trces Défto 6 et théorème 6 : les espces vectorels de mtrces esemble,p (K) des mtrces à lges et p coloes à coeffcets ds K peut être mu d ue structure de K-espce vectorel de dmeso p Démostrto : es los qu fot de ces esembles des K-espces vectorels ot été reprécsées u début structure de K-espce vectorel s obtet lors ss dffculté Pour l dmeso de,p (K), o utlse l fmlle (E, ), p, défe pr :, p, u, v p, E, u,v = δ,u δ,v, utremet dt, l mtrce E, est costtuée de 0, suf le terme d dces et (à l tersecto de l ème lge et de l ème coloe) qu seul vut Cette fmlle est géértrce de,p (K), pusque : A,p (K), A = p = = E,,,,p (K) Vect((E, ), p ), d où :,p (K) = Vect((E, ), p ) p D utre prt, l fmlle est lbre, pusque s : E 0, lors tous les coeffcets (, ) sot uls (l = =,, = sufft d exmer les coeffcets de l mtrce somme qu sot ustemet les, ) Cette fmlle est ppelée bse coque de,p (K) Doc,p (K) est de dmeso p Défto 62 : produt de mtrces Pour : A,p (K), B p,q (K), o déft l mtrce produt : C,q (K), de A pr B, pr :, q, c, =, k bk, p k= Théorème 62 : structure de groupe et d lgèbre pour (K) esemble (K) des mtrces crrées à lges et coloes à coeffcets ds K peut être mu d ue structure de K-lgèbre de dmeso 2 esemble des mtrces crrées versbles de (K) est u groupe pour l multplcto des mtrces oté Gl (K), et ppelé groupe lére d ordre Démostrto : à ecore, o précse l deuxème lo tere, multplctve, comme o l ft ds le premer théorème du chptre, pour obter : (A,B) ( (K)) 2, AB = C, où :,, c, =, k bk,, et les proprétés ttedues se démotret ss problème lgèbre (K) est ssoctve, utre, d élémet uté l mtrce I, et o commuttve pour : 2 Défto 63 : mtrce trsposée d ue mtrce Sot : A,p (K) O ppelle trsposée de A l mtrce otée : A = t A pprtet à p, (K), défe pr : p,,, =,, et o : A,p (K), t ( t A)) = A k= Défto 64 : mtrce symétrque, tsymétrque O dt qu ue mtrce A de (K) est : Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 6 -
symétrque s et seulemet s : t A = A, tsymétrque s et seulemet s : t A = A esemble des mtrces symétrques est oté S (K) et celu des mtrces tsymétrques A (K) Théorème 63 : dmeso et supplémetrté de S (K) et A (K) trsposto est ue pplcto lére de,p (K) ds p, (K) es esembles S (K) et A (K) formet des sous-espces vectorels supplémetres ds (K) de ( ) ( ) dmesos respectves et 2 2 Démostrto : Il est clr que : (A,B) (,p (K)) 2, (λ,µ) K 2, C = λa µb, o : t C = C, vec : p,, c, = c, = λ, µb,, et : t C = λ t A µ t B Pour l supplémetrté, o peut trvller pr lyse-sythèse E effet, sot ue mtrce de (K) Alors s o peut trouver : S S (K), et : A A (K), telles que : = S A, lors : t = S A, et : S = ( t ), et : A = ( t ) 2 2 Récproquemet, l uque couple (S,A) trouvé covet pusque : t t S = ( ) = S, t t A = ( ) = A, et : S A = 2 2 Doc pour toute mtrce de (K), l exste u uque couple pprtet à S (K) A (K), dot l somme est égle à : les deux espces sot be supplémetres ds (K) Pour leur dmeso, o propose ue bse e dst, pr exemple pour S (K), que : S S (K),,, s, = s,, et e repret l bse coque de (K), o obtet : S = =, E, s, ( E, E, ) = = s O obtet s ue fmlle géértrce de S (K), dot o motre ss dffculté qu elle est lbre ( ) ( ) C est doc ue bse de S (K), qu comporte : =, élémets 2 2 De même, o motre que l fmlle ((E, E, )) -,, costtue ue bse de A(K), qu est doc de ( ) ( ) ( ) dmeso : (ou de dmeso : 2 = ) 2 2 2 Défto 65 : mtrce défe pr blocs O peut défr ue mtrce : ps,r (K), pr blocs de l fço suvte : A C =, où : A p,q (K), C p,r (K), B s,q (K), D s,r (K) B D Défto 66 : mtrces trgulres ou dgoles pr blocs Ue mtrce : ps,r (K), écrte pr blocs sous l forme : A C =, où : A p,q (K), C p,r (K), B s,q (K), D s,r (K), B D est dte trgulre pr blocs s et seulemet s o : B = 0, et dgole pr blocs s : B = 0, et : C = 0 Théorème 64 : somme et produt de mtrces pr blocs Pour et des mtrces de ps,qr (K), écrtes pr blocs sous l forme : A C A' C' =, ' =, B D B' D' où : (A,A ) ( p,q (K)) 2, (C,C ) ( p,r (K)) 2, (B,B ) ( s,q (K)) 2, (D,D ) ( s,r (K)) 2, Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 7 -
A A' C C' o : = B B' D D' De même, pour et écrtes pr blocs yt des types comptbles, o : A A' C B' AC ' C D' = B A' D B' B C' D D' Démostrto : Il sufft de costter que ds les sommes ou les produts proposés, les coeffcets obteus pr les deux formules coïcdet 7 trce des coordoées d u vecteur ds ue bse, mtrce de chgemet de bse Défto 7 : mtrce des coordoées d u vecteur ds ue bse Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe, mu d ue bse : B = (e,, e ) U vecteur x de E dmet ue uque décomposto selo l bse B de E de l forme : x = x e x O déft l mtrce coloe : X, (K), des coordoées de x ds B, e post : X = x = Défto 72 : mtrce de chgemet de bse (mtrce de pssge) Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe, mu de deux bses : B = (e ), et : B = (e ) O doc :, e = p, e = O ppelle mtrce de pssge de B à B l mtrce : P (K), s obteue mtrce P est doc costrute e écrvt e coloes les coordoées des vecteurs de B exprmés ds l bse B Théorème 7 : le etre les coordoées d u même vecteur ds dfféretes bses Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe, mu de deux bses : B = (e ), et : B = (e ), et sot P l mtrce de pssge de B à B Sot x u vecteur de E, X et X les mtrces coloes de ses coordoées ds les bses B et B Alors : X = PX Démostrto : Il sufft d exprmer les dfféretes écrtures d u vecteur doé : x E, x = x e = x' e' = x' p, e = p, x' e, et doc : = = = = = =, x = p, x', ce qu globlemet, s écrt be : X = PX = 8 trce représettve d ue pplcto lére ds des bses Défto 8 : mtrce représettve d ue pplcto lére ds des bses Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe p et, mus de bses B et C Sot : u (E,F) Pour tout : p, et tout vecteur e de B, o ote : u(e ) =, f mtrce A s obteue est l mtrce représettve de u ds les bses B et C Elle est doc costrute e écrvt e coloes les coordoées des mges des vecteurs de l bse B exprmées ds l bse C O l ote prfos : A = mt(u,b,c) Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 8 - =
Théorème 8 : somorphsme etre,p (K) et (E,F) Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe p et, mus de bses B et C Alors : (u,v) (E,F) 2, (λ,µ) K 2, mt(λu µv, B,C) = λmt(u,b,c) µmt(v,b,c) pplcto de (E,F) ds,p (K) qu à ue pplcto lére u de E ds F, ft correspodre mt(u,b,c), est u somorphsme d espces vectorels Démostrto : Soet u et v des élémets de (E,F), λ et µ des sclres Notos : B = (b,, b p ), C = (c,, c ), et : U = mt(u,b,c), V = mt(v,b,c) Alors : p, (λu µv)(b ) = λu(b ) µv(b ) = λu, c µ v, c = ( λ u, µ v, ) c Il est lors clr, e écrvt les mtrces, que : mt(λuµv,b,c) = λu µv, ce que l o voult es espces de déprt et d rrvée étt de même dmeso égle à p, l sufft mtet de démotrer que l pplcto cosdérée est ectve Or s l mtrce représettve de u ds les bses B et C est ulle, c est que tout vecteur de B pour mge le vecteur ulle s comme l pplcto ulle cette proprété, et qu l y qu ue seule pplcto lére de E ds F à l vor, c est que : u = 0 Théorème 82 : trducto mtrcelle du le etre u vecteur et so mge pr u morphsme Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe p et, mus de bses B et C Sot : u (E,F), de mtrce représettve A ds les bses B et C Pour u vecteur x de E, o ote X l mtrce coloe de ses coordoées ds l bse B, et Y l mtrce coloe des coordoées de so mge : y = u(x), ds l bse C Alors : Y = AX Démostrto : Sot : B = (b,, b p ), et : C = (c,, c ) p p p Alors : x E, x = x b, et : y = u(x) = y c = x u( b ) = x, c =, x c, = = = = = = = ce qu correspod be à : Y = AX Défto 82 : pplcto lére ou edomorphsme coquemet ssocé à ue mtrce Sot : (,p) * 2, et : A,p (K) pplcto lére u de K p ds K, telle que : mt(u,b p,b ) = A, où B p et B désget les bses coques respectves de K p et K, est ppelée pplcto lére coquemet ssocée à A Ds le cs où : = p, u est l edomorphsme coquemet ssocé à A = = = Théorème 83 : mtrce d ue composée Soet (E,,), (F,,), (G,,) des K-espces vectorels de dmeso fe, mus de bses B, C et D Alors : (u,v) (E,F) (F,G), mt(vou,b,d) = mt(v,c,d)mt(u,b,c) Démostrto : Notos : B = (b,, b q ), C = (c,, c p ), et : D = (d,, d ), pus : U = mt(u,b,c), V = mt(v,c,d), et : W = mt(vou,b,d) Alors : k q, vou(b k ) = w,k d, et pr lleurs : v(u(b k )) = = v p = u d p p p, k c = u, k v( c ) = u, k v, d = v, u, k = = = = = Doc :, k q, w,k = v p =, u,k, ce qu correspod be u produt mtrcel océ Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 9 -
Théorème 84 : les etre les mtrces de pssge pour tros bses de l espce Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe, mu de tros bses : B = (e ), B = (e ), et : B = (e ) Alors l mtrce de pssge P de B à B vérfe : P B,B = mt(d E,B,B) De plus : P B,B = P B,B P B B Pr lleurs, les mtrces P et P de pssge de B à B et de B à B sot verses l ue de l utre Ef, l relto : P B,B = P B,B P B B, peut se retrouver e utlst le le exstt etre les coordoées d u même vecteur de E ds les tros bses B, B et B Démostrto : Pusque :, e = p =, e = d E (e ), l est mmédt que : P B,B = mt(d E,B,B) Pus : P B,B P B B = mt(d E, B,B)mt(d E,B,B ) = mt(d E,B,B) = P B,B Pr lleurs, pusque : P B,B = mt(d E, B,B) = I, d ue prt, et d utre prt : P B,B P B,B = P B,B = I, les mtrces P B,B et P B,B sot be verses l ue de l utre Ef, s o ote plus smplemet : P = P B,B, P = P B B, P = P BB, X, X et X les mtrces coloes de coordoées d u vecteur x de E ds les bses B, B et B, lors : X = PX, X = P X, d où : X = PP X, et d utre prt : X = P X, sot flemet : P = PP Théorème 85 : le etre les mtrces d u même edomorphsme ds dfféretes bses Soet (E,,) et (F,,) des K-espces vectorels de dmeso fe p et Soet B et B deux bses de E, C et C deux bses de F, P et Q les mtrces de pssges A de B à B d ue prt, et de C et C d utre prt Sot : u (E,F), vec : A = mt(u,b,c), A = mt(u,b,c ) Alors : A = Q - AP E prtculer, s : E = F, B = C, B = C, et : u (E), o : P = Q, et : A = P - AP Démostrto : Il sufft d écrre : Q - AP = mt(d E,C,C )mt(u,b,c)mt(d E,B,B) = mt(u,b,c ) = A 9 Somme de sous-espces vectorels, sommes drectes, sous-espces vectorels supplémetres Théorème 9 et défto 9 : somme de sous-espces vectorels Sot (E,,) u K-espce vectorel, (E ) des sous-espces vectorels de E esemble des vecteurs de E, s écrvt comme sommes de vecteurs des dfférets sous-espces E, sot doc : E E = {x E, (x, x 2,, x ) E E 2 E, x = x x 2 x }, est u sous-espce vectorel de E, ppelé somme des sous-espces vectorels E,, E Démostrto : Il est clr que E E est clus ds E, pusque costtué de vecteurs, sommes de vecteurs de E qu est lu-même stble pr combso lére De plus E E est o vde, pusque chque E est o vde (ls coteet tous le vecteur ul) et doc : 0 0 = 0, est ecore élémet de E Ef : (x,y) (E E ) 2, (λ,µ) K 2, ((x,, x ), (y,, y )) (E E 2 E ) 2, et : λx µy = (λ x µ y ) (λ x µ y ) E E 2 E, pusque ce sot des sous-espces vectorels de E Théorème 92 : utre défto d ue somme de sous-espces vectorels Sot (E,,) u K-espce vectorel, (E ) des sous-espces vectorels de E Alors : E E = Vect(E E ) C est doc e prtculer le plus pett sous-espce vectorel de E cotet tous les sous-espces vectorels E,, E Démostrto : Tout élémet de E E est somme d élémets des dfférets E, doc comme combso lére d élémets de E E, c est u élémet de Vect(E E ) U élémet de Vect(E E ) est ue combso lére de vecteurs de E,, E E regroupt ds cette combso lére (mplqut u ombre f de vecteurs) ceux qu Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 20 -
pprteet à E, à E 2, et à chque E, o ft pprître ue somme de vecteurs, chcu pprtet à l u des E et à ce ttre, o obtet be u élémet de E E A ce ttre, c est le plus pett sous-espce vectorel de E cotet E E, doc tous les E Défto 92 : somme drecte de deux ou de pluseurs sous-espces vectorels Sot (E,,) u K-espce vectorel, F et G des sous-espces vectorels de E O dt que l somme (F G) est drecte, s et seulemet s o : F G = {0} orsque l somme de F et de G est drecte, elle est otée : F G Plus géérlemet, soet E, E 2,,E, des sous-espces vectorels de E O dt que l somme (E E ) est drecte s et seulemet s l tersecto de chque E vec l somme de tous les utres est rédute à {0}, sot :, E (E E - E E ) = {0} Ds ce cs, à ouveu, l somme de ces sous-espces vectorels se ote : E E Défto 93 : sous-espces supplémetres Sot (E,,) u K-espce vectorel, F et G des sous-espces vectorels de E O dt que F et G sot supplémetres ds E s et seulemet s o : E = F G Théorème 93 : exstece d u supplémetre e dmeso fe Sot (E,,) u K-espce vectorel de dmeso fe, F u sous-espce vectorel de E Alors l exste u sous-espce vectorel G de E, tel que : E = F G O dt lors que G est u sous-espce vectorel de E supplémetre de F ds E O de plus, pour tout supplémetre G de F ds E : dm(g) = dm(e) dm(f) Démostrto : F étt lu-même de dmeso fe, l dmet ue bse (e,, e p ) qu peut être complétée e ue bse de E : B = (e,, e ) Posos : G = Vect(e p,, e ) Alors : F G = {0} E effet : x F G, x F, et : (x, x p ) K p, x = x e x p e p, x G, et : (x p,, x ) K -p, x = x p e p x e, et doc : x e x p e p x p e p x e = 0 Or pusque l fmlle B est ue bse de E, elle est lbre et tous les coeffcets sot uls, d où : x = 0 Pus : F G = E E effet : x E, (x, x ) K, x = (x e x p e p ) (x p e p x e ), pusque B est géértrce de E et le vecteur x se décompose suvt FG Doc : E FG, et comme l cluso verse est évdete, o be : E = FG Ef, s G est u supplémetre quelcoque de F, o : dm(g) = dm(e) dm(f G) dm(f) = dm(e) dm(f) Théorème 94 : des qutre dmesos ou formule de Grssm Sot (E,,) u K-espce vectorel, F et G des sous-espces vectorels de dmeso fe de E Alors (F G) est de dmeso fe s que F G, et : dm(f G) dm(f G) = dm(f) dm(g) Démostrto : Pusque F et G sot de dmeso fe, ls dmettet tous deux ue fmlle géértrce fe, et l réuo de ces deux fmlles fourt ue fmlle géértrce fe de FG qu est doc de dmeso fe Pus (F G) étt clus ds u espce de dmeso fe (FG), l est lu-même de dmeso fe Sot (e,,e k ) ue bse de (F G) Comme (F G) est u sous-espce vectorel de F et de G, o peut cosdérer u supplémetre F de (F G) ds F et ue ( k,, p ) de ce supplémetre d ue prt, et u supplémetre G de (F G) ds G, s qu ue bse (b k,, b q ) de cet utre supplémetre d utre prt otros que (e,, e k, k,, p, b k,, b q ) est ue bse de FG C est ue fmlle géértrce de FG, pusque ce sot tous be des vecteurs de FG et : u (FG), (x,y) F G, u = xy, et : (λ, λ p ) K p, (µ,, µ q ) K q, tels que : x = λ e λ k e k λ k k λ p p, pusque : F = (F G) F, et : y = µ e µ K e k µ k b k µ q b q, pusque là uss : G = (F G) G, d où : Chptre 04 : Algèbre lére Cours complet - 2 -