Chapitre 4 Calcul Vectoriel Pour représenter la réalité physique, les scientifiques ont élaboré des objets mathématiques de différents types : les longueurs, masses, températures, charges électriques sont décrites par des nombres appelés scalaires ; les vitesses, forces, couples, champs électriques ou magnétiques sont décrits par la donnée simultanée de plusieurs nombres appelés vecteurs qui se composent suivant certaines règles. Un espace vectoriel sur R est un ensemble E de vecteurs muni de deux opérations : l addition satisfait pour tout U, V, W E U + V = V + U (commutativité) ( U + V ) + W = U + ( V + W) (associativité) U + 0 = U (vecteur nul) U + ( U ) = 0 (vecteur opposé) la multiplication par un scalaire vérifie pour tout U, V E et λ, µ R λ( U + V ) = λ U + λ V (λ + µ) U ) = λ U + µ U λ(µ U ) = (λµ) U 1. U = U L exemple fondamental, noté E 3 est l ensemble R 3 = { U = (x, y, z); x, y, z R} muni de l addition composante par composante : et de la loi externe (x, y, z) + (x, y, z ) = (x + x, y + y, z + z ) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz) λ R (x, y, z) R 3 Si l on pose i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) alors tout U = (x, y, z) E3 s écrit de façon unique U = x i + y j + z k On dit que ( i, j, k) est une base de E 3 et les nombres x, y et z sont les composantes de U dans cette base. 26
L espace E 3 de la physique est constitué de points ; à tout couple (A, B) de points qu on appelle bipoint de E 3, on associe un vecteur unique AB de E 3 représenté par une flèche d origine A et d extrémité B. Quels que soient A, B, C, D E 3, on a : AB + BC = AC (relation de Chasles) AB = CD (AD et BC ont même milieu) C (ABDC est un parallélogramme) A B D 4.1 Barycentre Soient M 1,..., M n n points de E 3 et α 1,..., α n R. On appelle barycentre des points M k pondérés par les α k l unique point G E 3 tel que pour tout P E 3 n n n PG α k = α k PM k avec α k 0 En particulier pour P = G : 1 1 n 1 α k GM k = 0 1 4.2 Produit scalaire On suppose que l on sait mesurer les angles et les longueurs. Le produit scalaire de deux vecteurs U et V est le nombre réel U. V = U V cos( U, V ) où U et V sont les longueurs respectives des vecteurs U et V. En particulier, si V = U, H cos( U, V ) = 1 et U = U. U B On écrira maintenant U = U O K A On notera aussi les relations : OA. OB = OA OB cos( OA, OB) = OA OK = OB OH 27
Exemple. En mécanique, le travail d une force F pour un déplacement élémentaire l s écrit W = F. l ; on a alors : WA B = F dl = AB xb F(x) cos( F, l) dx A l F B x A 4.3 Propriétés du produit scalaire U. V = V. U U, V E3 U.( V + V ) = U. V + U. V (λ U ). V = λ( U. V ) λ R U = 0 U = 0 4.4 Base orthonormée Etant donnés U 0 et V 0 tels que U. V = 0, alors ( U, V ) = π 2 [π] : on dit que U et V sont orthogonaux. Une base ( i, j, k) est orthonormée si et seulement si : i = j = k = 1 et si i. j = j. k = k. i = 0 Dans les bases orthonormées le produit scalaire se calcule simplement en fonction des composantes des vecteurs : Si V = x i + y j + z k et V = x i + y j + z k on obtient en développant : V. V = xx + yy + zz et en particulier V = x 2 + y 2 + z 2 4.5 Produit vectoriel Soient U = OA et V = Par définition, le produit vectoriel vecteur W dont le module est 28 OB deux vecteurs de E3. W = U V des deux vecteurs U et V est le
W = U V sin( U, V ) W O θ H A B C sa direction est celle de la normale au plan déterminé par U et V, son sens est tel que le trièdre ( U, V, W ) soit direct, c est-àdire orienté comme le trièdre de référence ( i, j, k ) de sorte que l angle ( U, V ) est à valeurs dans [0, π] et son sinus positif. On pourra donc écrire : W = U V sin( U, V ) = OB.HA = aire du parallélogramme (O, A, C, B) = 2.aire du triangle (O, A, B) 4.6 Propriétés du produit vectoriel (α V ) W = α( V W) α R U V = V U U U = 0 U ( V + W) = U V + U W Calculons les composantes du produit vectoriel V V en fonction des composantes de ces vecteurs : V = (x, y, z) V = (x, y, z ) écrits dans la base orthonormée ( i, j, k) ; on a d abord : i j = k ; j k = i ; k i = j et i i = j j = k k = 0 et : j i = k ; k j = i ; i k = j puisque le produit est anticommutatif. On obtient alors en développant (x i + y j + z k) (x i + y j + z k) : V V = (yz zy ) i + (zx xz ) j + (xy yx ) k que l on écrit aussi : V V = y y z z i x x z z j + x x y y k = i x x j y y k z z 29
4.7 Exemples de produit vectoriel : Le moment d une force F = AB par rapport au point 0 : M 0 ( F ) = OA AB Le moment cinétique : L = OA mv d une masse m par rapport à O La force de Lorentz : La force de Laplace : F = q V B sur une charge q F = i l B sur un fil parcouru par le courant i. 4.8 Produit mixte Par définition, le produit mixte ( U, V, W) des vecteurs U, V et W est le produit scalaire de U V et de W ; on le note : ( U, V, W) = ( U V ). W S O W V Par permutations circulaires, on obtient les relations : ( U V ). W = ( V W). U = ( W U ). V U Posons S = U V : S mesure l aire du parallélogramme construit sur ( U, V ) et ( U, V, W) = S. W = OS.OH La valeur absolue du produit mixte mesure donc le volume du parallélépipède construit sur U, V et W. On peut calculer le produit mixte en fonction des composantes des vecteurs : V = (x, y, z) V = (x, y, z ) et V = (x, y, z ) écrits dans la base orthonormée ( i, j, k) ; on obtient directement : ( V, V, V ) = x(y z z y ) + y(z x x z ) + z(x y y x ) On note aussi le produit mixte : ( V, V, x x x V ) = y y y z z z et on a les propriétés d anticommutativité et de linéarité : ( U, V, W) = ( V, U, W) ( U, V, λ W) = λ( U, V, W) (λ R) ( U, V, W + W ) = ( U, V, W) + ( U, V, W ) 30
4.9 Exemple de produit mixte u O M f Le moment d une force f par rapport à un axe de vecteur unitaire u s écrit : Γ = ( OM f). u 31
Exercices 4.1. Soit deux vecteurs de E 3 U = i + 2 j k et V = 4 i 3 k. Calculer U. V, U, V et ϕ = ( U, V ). 4.2. Soit un triangle ABC quelconque. Démontrer que a 2 = b 2 + c 2 2bc cosâ. 4.3. Par rapport au repère (O, i, j, k) orthonormé direct, soit U = (0, 3, 1) et V = (0, 1, 2). a) Calculer U. V et l angle ϕ = ( U, V ). b) Déterminer les cosinus directeurs de U et V. c) Calculer les composantes de W = U V ; puis W par 2 méthodes différentes. d) Calculer le produit mixte ( U, V, W). 4.4. Montrer que si V1 + V 2 + V 3 = 0 on a V 1 V 3 = V 2 V 1 = V 3 V 2 et V 1 sin( V 2, V 3 ) = V2 sin( V 3, V 1 ) = V3 sin( V 1, V 2 ). 4.5. Trouver la distance du point P(4, 1, 5) à la droite passant par les points P 1 ( 1, 2, 0) et P 2 (1, 1, 4). 4.6. Calculer la distance Paris New-York en explicitant le produit OP. ON (voir chap.1) 4.7. Montrer qu un vecteur V = (x, y, z) de E 3 est orthogonal au vecteur N = (a, b, c), si et seulement si ses composantes vérifient l équation ax + by + cz = 0. Quelle est l équation d un plan de E 3? Calculer la distance du point P(4, 1, 5) au plan contenant P 1 = ( 1, 2, 0), P 2 = (1, 1, 4) et P 3 = (0, 0, 1) dont on déterminera l équation. 4.8. A. (Extrait SVL1 P2-05) A. Dans l espace vectoriel R 3 rapporté à la base orthonormée ( i, j, k), on considère les vecteurs U = (1, 2, 1) et V = (1, 0, c) où c R. A.1 Calculer le produit scalaire U. V, U et V en fonction de c. A.2. Déterminer les valeurs de c pour lesquelles l angle ( U, V ) est égal à π 3. B. Chacune des expressions suivantes a-t-elle un sens? Si oui préciser s il s agit d un vecteur ou d un réel. Si non dire pourquoi : a) u.( v w) b) u ( v. w) c) u ( v w) d) u.( v. w) e) ( u v) ( w v) f) ( u v).( w w). C. Soit les points A(3, 5, 4), B(2, 1, 3), C(8, 5, 5) et P(1,2,3) de l espace E 3. Calculer le produit mixte ( PA, PB, PC). Que peut-on dire des points A, B, C et P? On justifiera la réponse donnée. 32
B. (Extrait SVL1 P2-06) On considère dans l espace E 3 rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j, k), les points A(2, 0, 0), B(2, 2, 0) et C(2, 3, 1). a. Calculer le produit vectoriel OA OB. b. Calculer l aire du triangle OAB. c. Calculer le produit mixte ( OA, OB, OC). En déduire le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs OA, OB, OC. d. Déterminer un point D de E 3 tel que OD soit orthogonal à la fois à OB et à OC. C. (Extrait SVL1 T2-06) Dans l espace affine E 3 rapporté à la base orthonormée (O, i, j, k), on considère les points A(3, 5, 4), B(2, 1, 3) et C(8, 5, 5). a. Calculer le produit vectoriel AB AC. En déduire l aire du triangle A B C et la mesure de l angle ( AB, AC) en radians. b. Démontrer à l aide du produit mixte que les points P(1, 2, 3), A(3, 5, 4), B(2, 1, 3) et C(8, 5, 5) sont coplanaires. D. (Extrait SVL1 P2-07) Soient a, b, c R +. Dans l espace E 3 rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j, k), représenter les points A(0, 0, a), B(b, 0, 0) et C(0, c, 0) ainsi que le triangle ABC. a. Calculer u = OB OA, v = OC OB, w = OA OC. b. Calculer les nombres 1 u, 1 v, 1 w et donner leur interprétation géométrique. 2 2 2 c. Calculer en fonction de a, b et c l aire S O du triangle ABC. d. On considère le tétraèdre OABC avec ses trois faces triangles rectangles OAB, OAC, OBC et sa face hypothénuse ABC, d aires respectives S C, S B, S A et S O. Déduire la valeur du réel λ telle que : S 2 A + S2 B + S2 C = λs2 O. e. Calculer en fonction de a, b et c le cosinus de l angle (non orienté) BAC. Vérifier pour a = b = c. f. Calculer le produit mixte ( OA, OB, OC). On admettra que le volume du tétraèdre est égal au sixième de celui du parallèlépipède construit sur ses sommets, ici O, A, B et C. Déduire des calculs précédents le volume du tétraèdre OABC. 4.9. Déterminer le barycentre G du système Soleil-Jupiter. En déduire comment un observateur extérieur au système solaire pourrait mettre en évidence l exitence de planètes autour du Soleil. On donne : distance Soleil-Jupiter 778.10 6 km ; rayon du Soleil 690000km ; rapport des masses 1/1000. 33