Devoir de Mathématiques numéro 4

Lcée La Prat s Pour le jeudi 7 janvier 06 Classe de PT Devoir de Mathématiques numéro 4 Correction Eercice Le domaine de définition est R. Il n a pas de smétries. Donc Le domaine d étude est R Variations de et : (t) = t t = t t = >0 {}}{ (t ) (t + t + ) t et (t) = (t )(t + ) = t t t (t) 0 0 + (t) + 0 0 + Limites : (reportées dans le tableau de variations) En l infini, t donc t donc lim (t) = et lim t (t) = et lim lim t (t) = t (t) = t En 0, t t donc lim (t) = et lim (t) = t 0 + t 0 donc lim (t) = et lim (t) = t 0 + Points singuliers : Il a un point singulier en t = : () = () = 0. Soit f(t) = ( En dérivant f ) (t) t t (t) = = (t) t, on trouve f + 4t (t) = t. Donc en t =, il vient f 6 () = 0 Donc la tangente est portée par le vecteur De plus f t 4 (t) = 6t 4 donc f () = 6 de rebroussement de première espèce. ( t 0 (t). (t) et p = donc c est un point de rebroussement. ) n est pas colinéaire à f () et q = : c est un point

Branches infinies : Au vu du tableau de variation, il a 4 branches infinies, en, 0, 0 + et. Au voisinage de t = 0 : /t /t = Donc a =. Et = t + + t t t t 0. En conclusion : Au voisinage de t = 0, il a un asmptote d équation = + Au voisinage de : t t = t 0 t 0 Ainsi La courbe a une branche parabolique de direction (O) De même, au voisinage de, La courbe a une branche parabolique de direction (O) Tracé : On place les points où l une des deu dérivées s annule (i.e. tangente verticale ou horizontale) et la tangente associée, le point singulier et sa tangente, l asmptote. Puis on trace en suivant le tableau de variation (en partant par eemple des points (, ) et (, )). On remarque qu il faut étudier la position relative de la courbe par rapport à l asmptote. Au voisinage de 0 + : = t t = t + o(t) donc la courbe est au-dessus (t > 0) de l asmptote. Pour t = 0 le calcul reste valable et, comme t < 0, la courbe est sous l asmptote. 7 6 5 4 0 9 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 0 O 4 5 Eercice (PT B 00 partie C / EA PSI 0 Strophoïde droite) ) a) Pour tout t R, (t) = t(t). Donc Le paramètre t représente la pente de la droite (OM(t)). b) Le changement de t en t change (, ) en (, ). Par conséquent Γ est smétrique par rapport à l ae des abscisses. c) Les fonctions et sont C sur R, car les dénominateurs des fractions rationnelles ne s annulent pas. On restreint l étude à [0, [. t R (t) = 4t ( + t ) et (t) = 4t t 4 ( + t )

Le numérateur de (t) est bicarré et se factorise en 4t t 4 = (t + + 5)(t + 5) = (t + + 5)(t t 0 )(t + t 0 ) où t 0 = 5. Le tableau de variation est donc le suivant : (t 0 ) = ( 5 ) + 5 = ( 5)( + 5) 5 = + 5 (t 0 ) = t 0 (t 0 ) t (t) (t) 0 t 0 0 + 0 0 (t 0 ) Lorsque t tend vers, tend vers et tends vers. C est la seule limite infinie. Donc la droite d équation = est asmptote à Γ pour ±. d) Tous les points sont réguliers, donc la tangente est horizontale lorsque (t) = 0, c est-à-dire t = ±t 0, ce qui correspond au point de coordonnées ((t 0 ), (t 0 )) et à son smétrique par rapport à (O). De même, la tangente est verticale pour (t) = 0, c est-à-dire t = 0, qui correspond à (, 0). e) On cherche t et t tels que t t, (t ) = (t ) et (t ) = (t ). Si on complète le tableau de variations de, on constate que (t ) = (t ) implique t = t (et t t équivaut à t 0). Cherchons t > 0 tel que (t ) = ( t ), c est-à-dire (t ) = t t + t = t + t + t = ( t ) Ainsi, en résolvant, t ( t ) = t ( t )( + t ) = 0, c est-à-dire t =. La courbe Γ possède un unique point double en (0, 0). () = 4 D après )c), = { ( ) = () = 4 et par smétrie = ( ) = Comme le produit scalaire de ces deu vecteurs est nul, donc Les tangentes à Γ au point double forment un angle droit.

f) O ) Raisonnons par double inclusion. Si M(, ) Γ, alors = t t t et = + t + t, donc = t. En particulier, lorsque 0, t =. En remplaçant dans l epression de on obtient = +, puis en multipliant par + il vient (E) + + = 0 On avait eclu les points d abscisse nulle, c est-à-dire le point (0, 0), or (, ) = (0, 0) vérifie bien (E). On a donc Γ Γ (E). Réciproquement, soit M(, ) dont les coordonnées vérifient (E). Pour 0, posons t =. Comme (E) équivaut à =, on trouve + = t + t et = t = t t + t c est-à-dire M Γ. De plus = 0 implique = 0, d après (E) ; qui est dans Γ (par eemple pour t = ). Ainsi Γ (E) Γ. Conclusion : par double inclusion, (E) : + + = 0 est une équation cartésienne de Γ. (remarque : une telle équation de degré définit une courbe dite cubique, qui sont des courbes fort intéressantes) 4

) a) Les coordonnées de M Γ vérifient = t t t et =. L équation de s écrit donc + t + t u t + t + v t t + t + w = 0 En multipliant par ( + t ) 0 il vient vt + (u w)t vt (u + w) = 0 b) On utilise les relations entre coefficients et racines. Id est, si on développe le membre de droite (avec les racines) et qu on identifie les coefficients de chaque coté, on obtient v = v (coefficient devant t ) u w = v(t + t + t ) (coefficient devant t ) v = v(t t + t t + t t ) (coefficient devant t = t) (u + w) = vt t t (coefficient devant t 0 = ) Donc lorsque v 0, il vient t t + t t + t t = c) Trois points sont alignés si et seulement si ils sont sur une même droite, c est-à-dire, s ils vérifient une même équation u + v + w = 0. Supposons ces points sur Γ. D après le tableau de variations, la droite ne peut être verticale, donc v 0. D après )a) et )b), dans ce cas, t t + t t + t t =. Réciproquement, supposons que t t +t t +t t =. Considérons la droite = (M(t )M(t )), et notons u + v + w = 0 son équation. Par définition, M(t ) et M(t ), donc t et t sont des racines de l équation trouvée au )a). En notant τ la troisième racine (nécessairement réelle puisque les deu précédentes le sont), le )b) nous dit que t t + t τ + τt =. Par construction, M(τ) est sur = (M(t )M(t )). Il nous reste à prouver que le point M(τ) est confondu avec M(t ). La différence des deu équations t t + t t + t t = et t t + t τ + τt = nous donne (t τ)(t + t ) = 0. Si t = t, alors M(t ) est le smétrique de M(t ) par rapport à (O), et la droite = (M(t )M(t )) est verticale, ce qui est eclu. Donc la seule possibilité est que τ = t, et donc M(t ) = (M(t )M(t )). Conclusion : t t + t t + t t = est une condition nécessaire et suffisante pour que trois points de Γ, de paramètres t, t et t soient alignés. 4) a) (t) = t + t = entraîne t = + t puis t = 0. Donc A est de paramètre t = 0. D après )b), t t + t t + t t =, avec t = 0, donc t t = b) D après )a), la droite (OM ) a pour pente t et la droite (OM ) pour pente t. Or d après 4)b), t t =. Donc les droites (OM ) et (OM ) sont perpendiculaires c) Le triangle OM M est rectangle en O, donc O est sur le cercle de diamètre [M M ]. Il reste à montrer que l ae (O) est tangent. Si on note Ω le centre du cercle, milieu du segment [M M ], l ae (O) est tangent si (O) est perpendiculaire à (ΩO), c est à dire si Ω (O). La condition analtique est donc (t )+(t ) = 0, elle s écrit t t = après calculs. Ce qui est vrai d après 4)b). Ainsi, Le cercle de diamètre [M M ] est tangent à l ae (O). 5) a) La droite passe par S(t 0 ) et M(t) (point double : elle est tangente à Γ) si et seulement si t 0 t + t = ()c)). L équation cherchée est donc t + t 0 t + = 0 Cette équation a deu solutions réelles distinctes si et seulement si = 4t 0 4 > 0 c est-à-dire Donc pour S hors de la boucle. t 0 / [, ] 5

b) Le point P (t) vérifie, d après )b), t t +tt +tt =. Or t et t sont les racines de t +t 0 t+ = 0 : leur somme vaut t 0 et leur produit. Ainsi, en remplaçant, il vient En résolvant, on trouve t = /t 0. t 0 t = c) D après 5)a), on vu que t t = donc t = /t. Ainsi (t ) = (t ) et (t ) = t (t ) = t (t ). La droite (M M ) a pour pente (t ) (t ) (t ) (t ) = t t = (t + t ) = t 0 d après les relations coefficients racines. Or, d après )a) et 5)b), la droite (OM(t)) a pour pente t = /t 0. Conclusion : Les droites (OP ) et (M M ) sont perpendiculaires. Eercice (PT 0 B) ) a) Distance d(m, (OI)) : La droite (OI) est l ae (O), donc d(m, (OI)) = Distance d(m, (OJ)) : La droite (OJ) est l ae (O), donc d(m, (OJ)) = Distance d(m, (IJ)) : L équation cartésienne de (IJ) est + = 0 donc d(m, (IJ)) = + Rappelons que la distance d un point A( A, A ) à une droite D d équation a + b + c = 0 est d(a, D) = a A + b A + c a + b Où l on reconnaît au dénominateur la norme du vecteur normal n qui intervient dans l équation de D. b) D après ci-dessus, M C d(m, (OI)) + d(m, (OJ)) + d(m, (IJ)) = + + ( + ) = + + + + + = + + + = 0 Conclusion : Une équation cartésienne de C est + + + = 0 c) Utilisons cette propriété propre au ellipses. Droite (OI) : L équation de (OI) est = 0 donc M (OI) C = 0 et + = 0 = 0 et = Donc (OI) C est réduite à un point, et C est tangente à la droite (OI) 6

Droite (OJ) : L équation de (OJ) est = 0 donc M (OJ) C = 0 et + = 0 = 0 et = Donc (OJ) C est réduite à un point, et C est tangente à la droite (OJ) On pouvait aussi remarquer, par smétrie des rôles joués par et, que C est smétrique par rapport à la droite = et donc que la droite (OJ) est tangente comme conséquence du point précédent. ) a) La droite (ON) a pour vecteur directeur a cos t ON =. b sin t a sin θ La droite tangente en P a pour vecteur directeur =. b cos θ Ces deu droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c està-dire si leur déterminant est nul : a cos t a sin θ = ab(cos t cos θ + sin t sin θ) = ab(cos(t θ)) b sin t b cos θ Comme ab 0, l équation s écrit cos(t θ) = 0. Ainsi, La tangente à E en P est parallèle à la droite (ON) si et seulement si t = θ + π mod π b) Par définition du déterminant, det( u, v ) est l aire du parallélogramme défini par ( u, v ). L aire du triangle NOP est donc donnée par la formule A = det( ON, OP ) = ab sin(θ t) Or d après ci-dessus, t θ = π mod π, donc A = ab c) La droite est tangente à E en M(t) si et seulement si le vecteur tangent α M(t) est perpendiculaire au vecteur normal de. Ainsi, on a β α a sin t {. = 0 αa sin t + βb cos t = 0 β b cos t αa cos t + βb sin t = γ (a cos t, b sin t) Puis ce sstème donne, en combinant les lignes, { βb = γ sin t () cos t +() sin t = αa = γ cos t () ( sin t) +() cos t Si γ = 0, on trouve α = β = 0 et n est pas une droite. Donc γ 0. On en déduit cos t = αa et sin t = βb γ γ. En injectant dans cos t + sin t = il vient finalement a α + b β γ = 0 Réciproquement, si a α + b β γ = 0 et γ 0, on pose t R tel que cos t = αa γ D après les calculs ci-dessus, est tangente à E en M(t). et sin t = βb γ Conclusion : est tangente à E si et seulement si a α + b β γ = 0 et γ 0 a sin t à E en b cos t 7

d) Déterminons une équation cartésienne α + β + γ = 0 de la droite = (UV ). M(, ) (UV ) det( UM, UV ) = 0 Or det( UM, a cos u a(cos v cos u) UV ) = b sin u b(sin v sin u) = b( a cos u)(sin v sin u) a( b sin u)(cos v cos u) = b(sin v sin u) a(cos v cos u) +4ab( cos u sin v + cos u sin u + sin u cos v sin u cos u) = b(sin v sin u) a(cos v cos u) + 4ab sin(u v) Donc = (UV ) a pour équation b(sin v sin u) a(cos v cos u) + 4ab sin(u v). D après c), est tangente à E si et seulement si a α + b β γ = 0 et γ 0 c est-à-dire 4a b (sin v sin u) + 4a b (cos v cos u) 6a b sin (u v) = 0 et sin(u v) 0 Comme U V, u v 0 et sin(u v) 0. Après simplifications, la première équation s écrit sin u sin v cos u cos v 4 sin (u v) = 0 Puis, comme sin u sin v cos u cos v sin (u v) = cos (u v) cos(u v), On résout X X = 0 et X = cos(u v) dont les solutions (évidentes) sont X = et X =. Or X = signifie u v = 0 mod π, ce qui est eclu car U V. Donc (UV ) est tangente à E si et seulement si cos(u v) =. En conclusion : La droite (UV ) est tangente à E si et seulement si u v = ± π mod π e) On suppose, quitte à renommer les points, que A, B et C sont rangés dans le sens trigonométrique sur l ellipse E. Notons u un paramètre du point A E : A(a cos u, b sin u). D après )d), B admet pour paramètre u B = u + π et C admet pour paramètre u C = u π. Comme u B u C = 4π = π mod π, d après )d), La droite (BC) est tangente à E ) a) Une affinité orthogonale de base D = Vect ( e ) et de rapport k est la transformation f linéaire qui se comporte comme l identité sur D effectue une homothétie de rapport k selon D. Dans une base (e, e ) de R = D D, elle a pour matrice 0 0 k b) Traçons aussi l ellipse, sinon le dessin présente peu d intérêt... 8

E 5 Q 4 a M b 5 4 O 4 5 6 P 7 c) Le point M décrit l ellipse E Par smétries d aes (O) et (O), on peut restreindre le domaine d étude au quart de plan 0 et 0. Soit P ( P, 0), Q(0, Q ) et M(, ). Le théorème de Thalès s écrit = a a + b P et = b a + b Q Pthagore nous donne de plus P + Q = (a + b), d où a + b = P (a + b) + P (a + b) = Donc M E. Réciproquement, pour un point M(, ) E on pose P ( P, 0) et Q(0, Q ) tels que le théorème de Thalès soit vérifié. En conclusion : l ensemble des points M construit est eactement l ellipse E. 9