Équations générales des milieux continus. Jean Garrigues. (version du 4 septembre 2014)

Équaions générales des milieux coninus Jean Garrigues (version du 4 sepembre 2014

Avan-propos L objecif de ce cours es d éablir les équaions générales régissan ous les milieux coninus, qu ils soien solides ou fluides. Les développemens qui suiven se placen dans le cadre de la physique classique (non relaivise e non quanique. Les équaions générales des milieux coninus son donc les conséquences des quare principes fondamenaux de la physique classique (1 : 1. le principe de la conservaion de la masse ; 2. le principe fondamenal de la mécanique ; 3. le premier principe de la hermodynamique ou principe de la conservaion de l énergie ; 4. le second principe de la hermodynamique. En ce qui concerne le principe fondamenal de la mécanique, l aueur a résolumen choisi de se baser sur le principe fondamenal de Newon, c es-à-dire celui qui es généralemen enseigné dans les cours élémenaires de mécanique générale. Ce choix es un choix pédagogique : pluô que de commencer la mécanique des milieux coninus par l énoncé d un nouveau principe fondamenal de la mécanique (le principe des ravaux viruels ou des puissances viruelles (2, il semble préférable à l aueur de se baser sur les connaissances classiques préalablemen acquises par les éudians en mécanique générale. Les connaissances préalables de mécanique générale nécessaires e suffisanes à la lecure de ce cours se limien aux rois héorèmes généraux pour des ensembles de poins maériels (finis ou infinis : 1. le héorème de la résulane dynamique ; 2. le héorème du momen dynamique ; 3. le héorème de la puissance cinéique (dérivée emporelle de l énergie cinéique. En ce qui concerne la hermodynamique, aucune connaissance préalable n es requise ; le cours en rappelle les conceps fondamenaux e ne s appuie que sur l énoncé primal des deux principes. En première lecure, le leceur pourra ignorer les remarques ou commenaires qui apparaissen en rerai e en peis caracères sans nuire à la compréhension de l ensemble du cours. La lecure de ce cours suppose une maîrise suffisane de l algèbre e de l analyse ensorielles (3 ainsi que de la cinémaique des milieux coninus (4. Dans la mesure du possible, on respecera les convenions ypographiques suivanes : les nombres réels son en minuscules ialiques (exemple : a, µ ; (1 On démonre que si le principe de la conservaion de l énergie es universel e si les grandeurs calorifiques scalaires ou vecorielles son objecives, les deux premiers principes (masse e mécanique en son des conséquences. Voir l aricle hp://hal.archives-ouveres.fr/hal-00600261. (2 Dans ce cours, ils apparaîron donc comme des héorèmes. (3 L aueur propose un aure cours iniulé Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus : hp://cel.archives-ouveres.fr/cel-00679923 ou bien hp://jgarrigues.perso.cenrale-marseille.fr/enseurs.hml (4 L aueur propose un aure cours iniulé Cinémaique des milieux coninus : hp://cel.archives-ouveres.fr/cel-00681766 ou bien hp://jgarrigues.perso.cenrale-marseille.fr/cinemaique.hml.

4 les veceurs son en minuscules ialiques grasses (exemple : v ; les enseurs son en majuscules ialiques grasses (exemple : T ; les ermes d une marice son rangés dans un ableau enre croches, à deux indices, l indice de gauche es l indice de ligne, e l indice de droie es l indice de colonne : m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 = [ ] m i j m 31 m 32 m 33 la ransposiion es noée avec un en exposan (exemple : T ; les ensembles d eniés mahémaiques son en majuscules doublées, en pariculier : R es l espace des réels, V 3 es un espace vecoriel de dimension 3, V p 3 es l espace vecoriel des enseurs d ordre p consruis sur V 3 (de dimension 3 p, Q 3+ es le groupe des roaions (Q 3+ V 2 3 ; le produi vecoriel de deux veceurs de V 3 es noé ; le enseur mérique es noé G ; le enseur d orienaion es noé H ; la descripion de Lagrange d un champ maériel es noée avec un indice L ; la descripion d Euler d un champ maériel es noée avec un indice E ; la dérivée pariculaire d une grandeur physique Ψ es noée Ψ. Remerciemen Je iens à remercier rès vivemen Mahias LEGRAND (5, ce grand magicien de LATEX, sans qui la mise en page de ce exe ne serai que celle par défau de la classe book (6 e qui m a aussi donné de précieux conseils sur la ypographie française. Bonne lecure. Informaion Ce exe es rédigé en vue d une lecure dynamique à l écran : oues les références inernes e exernes son acives e conduisen à la cible référencée (dans la plupar des visualisaeurs de fichiers au forma pdf, on revien à l éa précéden avec la combinaison de ouches <al><page arrière>. Néanmoins, les références des pages on éé conservées pour la lecure du documen imprimé. (5 De l universié McGill, de Monréal. (6 Ceux qui écriven en LATEX me comprendron.

Table des maières 1 Conceps fondamenaux....................................... 9 1.1 Les domaines de milieux coninus.................................... 9 Domaine maériel, 9 Domaine géomérique, 10 Comparaison, 10. 1.2 Grandeurs physiques exensives.................................... 11 Applicaion à un domaine maériel, 11 Applicaion à un domaine géomérique, 12. 1.3 Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile......................... 12 Cas d un domaine maériel, 12 Cas d un domaine géomérique, 14. 1.4 Lemme fondamenal............................................. 16 1.5 En bref......................................................... 16 2 Conservaion de la masse..................................... 19 2.1 Concep de masse............................................... 19 2.2 Principe de la conservaion de la masse............................... 19 2.3 Forme locale du principe de la conservaion de la masse.................. 20 2.4 Bilan de masse dans un domaine géomérique.......................... 22 2.5 Densiés massiques de grandeurs exensives........................... 22 2.6 Changemens d observaeur....................................... 23 2.7 En bref......................................................... 24 3 Principe fondamenal de la mécanique......................... 25 3.1 Rappels de mécanique générale..................................... 25 Loi de Newon e observaeurs galiléens, 25 Théorèmes généraux, 26. 3.2 Effors exérieurs sur un domaine maériel............................ 27 Acions à disance, 28 Acions de conac, 29. 3.3 Effors inérieurs dans un milieu coninu............................. 29 Exisence du enseur des conraines, 30 Condiions aux limies en conraine, 31 Décomposiion des conraines, 31. 3.4 Théorèmes généraux pour un domaine maériel........................ 32 Théorème de la résulane dynamique, 33 Théorème du momen dynamique, 34 Théorème de la puissance cinéique, 35. 3.5 Conséquences locales des héorèmes généraux.......................... 36 Équaion de mouvemen, 36 Symérie du enseur des conraines, 37 Puissance des effors inérieurs, 39 Synhèse, 39.

6 3.6 Théorèmes généraux pour un domaine géomérique..................... 40 Bilan de quanié de mouvemen, 41 Bilan de momen cinéique, 42 Bilan d énergie cinéique, 43. 3.7 Formulaion inégrale des équaions de mouvemen..................... 44 3.8 Changemens d observaeur....................................... 45 3.9 En bref......................................................... 47 4 Conservaion de l énergie..................................... 49 4.1 Conceps de base en hermodynamique............................... 49 Sysème, 49 Variables d éa, 50 Foncion d éa, 53 Isoropie des foncions d éa, 54 Espace des éas, 55 Évoluion hermodynamique, 56. 4.2 Principe de la conservaion de l énergie............................... 57 Énoncé classique pour une évoluion finie enre deux insans, 57 Énoncé global insanané, 58. 4.3 Conservaion de l énergie pour un domaine maériel..................... 59 4.4 Forme locale de la conservaion de l énergie........................... 62 4.5 Conservaion de l énergie pour un domaine géomérique................. 63 4.6 Changemens d observaeur....................................... 63 4.7 En bref......................................................... 65 5 Second principe de la hermodynamique....................... 67 5.1 Inroducion................................................... 67 5.2 Énoncé radiionnel.............................................. 68 5.3 Second principe pour un domaine maériel............................ 70 5.4 Forme locale du second principe.................................... 71 5.5 Second principe pour un domaine géomérique......................... 75 5.6 Changemens d observaeur....................................... 75 5.7 Nécessié de l exisence d une loi de comporemen hermique............. 76 5.8 Capaciés calorifiques locales dans une évoluion....................... 77 5.9 En bref......................................................... 78 6 Le modèle fluide simple...................................... 79 6.1 Définiion d un fluide simple....................................... 79 6.2 Conséquences du second principe de la hermodynamique................ 80 Relaion de Helmholz, 81 Loi de comporemen mécanique, 82 Loi de comporemen hermique, 82 Synhèse, 83. 6.3 Fluides simples newoniens........................................ 83 6.4 Gaz parfais.................................................... 84 6.5 Liquides idéaux................................................. 85

Table des maières 7 6.6 Fluides simples compressibles e dilaables............................ 87 Compressibilié e dilaabilié, 87 Fluide simple à compressibilié e dilaabilié consanes, 89. 6.7 En bref........................................................ 91 7 Synhèse.................................................... 93 7.1 Le problème de mécanique des milieux coninus........................ 93 7.2 La résoluion................................................... 95 7.3 Conclusion.................................................... 96 A Démonsraions.............................................. 97 A.1 Lemme fondamenal pour les inégrales de volume...................... 97 A.2 Démonsraion de l «hypohèse de Cauchy»........................... 98 A.3 Exisence du champ ensoriel des conraines de Cauchy................ 100 A.4 Exisence du champ vecoriel couran de chaleur...................... 102

1 Conceps fondamenaux Avan d aborder l écriure des principes fondamenaux e de leurs conséquences pour les milieux coninus, il es nécessaire d inroduire des conceps indispensables à la bonne compréhension des chapires suivans. 1.1 Les domaines de milieux coninus En mécanique des milieux coninus, on raisonne sur deux ypes de domaines : les domaines maériels e les domaines géomériques. Dans cee secion on en donne les définiions. Remarque Dans la liéraure spécialisée, les aueurs ne précisen pas oujours clairemen le ype de domaine qu ils considèren, e cee imprécision es à l origine de nombreux malenendus. 1.1.1 Domaine maériel Définiion 1.1 Domaine maériel. Un domaine maériel es défini par l ensemble des paricules (a priori en mouvemen qui le consiuen. Si une paricule apparien au domaine maériel à un insan, elle lui apparien donc à ou insan. Un domaine maériel se déplace e se déforme en raison du mouvemen de ses paricules (1. Quand on considère un domaine maériel, on di souven que «l on sui le domaine dans son mouvemen». Il n y a donc pas de maière qui raverse la fronière en mouvemen. Le domaine maériel éan en mouvemen, l ensemble des posiions acuelles de ses paricules défini une région de l espace qui change à chaque insan. Remarque Chaque observaeur aribue aux paricules du domaine maériel une posiion e un mouvemen différen. La forme d un domaine maériel évolue avec le emps, mais sa forme acuelle es la même pour ous les observaeurs (objecivié des disances acuelles enre paricules. Noaion 1.2 Dans la suie, on uilisera les convenions suivanes : un domaine maériel sera noé D m (c es un ensemble de paricules ; le domaine de l espace occupé par ses paricules à l insan acuel sera noé m ; sa fronière à l insan acuel sera noée m ; le domaine de l espace occupé par ses paricules à un insan de référence 0 sera noé D0 m ; sa fronière à l insan de référence 0 sera noée D0 m. Vocabulaire En hermodynamique, les domaines maériels son appelés sysèmes fermés (2. (1 Ce mouvemen es différen pour chaque observaeur. (2 Avec parfois une peie nuance : les hermodynamiciens supposen parfois impliciemen que la fronière éanche à la maière es fixe (pour un cerain observaeur. Nous ne ferons évidemmen pas cee resricion.

10 Chapire 1. Conceps fondamenaux 1.1.2 Domaine géomérique Définiion 1.3 Domaine géomérique. Un domaine géomérique es défini par l ensemble des poins géomériques qui le consiuen. Comme pour ou domaine, la fronière d un domaine géomérique es une surface fermée. Quand un milieu coninu es en mouvemen, les paricules qui son dans le domaine géomérique à un insan ne son pas les mêmes que celles qui s y rouven à un aure insan. On di que le domaine géomérique es «raversé par le milieu coninu en mouvemen». Il y a donc des paricules qui raversen la fronière (ou une parie de fronière, en enran ou en soran du domaine géomérique. Dans ce cours, les fronières des domaines géomériques seron considérées a priori comme mobiles pour l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen, mais le mouvemen des poins de la fronière du domaine géomérique es différen du mouvemen des paricules qui s y rouven. Remarque Chaque observaeur aribue à la fronière du domaine géomérique une posiion e un mouvemen différen. La forme du domaine géomérique peu êre variable avec le emps, mais sa forme acuelle es la même pour ous les observaeurs (objecivié des disances acuelles enre poins. Noaion 1.4 Dans la suie, on uilisera les convenions suivanes : un domaine géomérique sera noé D g (région de l espace délimiée par une fronière fermée ; le domaine de l espace qu il occupe à l insan sera noé g ; sa fronière (a priori mobile à l insan sera noée g. Vocabulaire En hermodynamique, les domaines géomériques son appelés sysèmes ouvers. En mécanique des fluides, ils son souven aussi appelés volumes de conrôle (3. 1.1.3 Comparaison enre les deux ypes de domaines Les deux ypes de domaines on chacun leur inérê : Les domaines maériels son les préférés des mécaniciens des solides déformables. En effe, leur suje d éude es le comporemen d un obje déformable oujours consiué des mêmes paricules : les paricules de l obje déformable. Les domaines géomériques son les préférés des mécaniciens des fluides. En effe, en mécanique des fluides (liquides ou gaz, on ne se préoccupe que de l évoluion des grandeurs physiques des paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique, sans se préoccuper de leur évoluion lorsqu elles se siuen à l exérieur. Remarque Les mécaniciens des fluides qui n envisagen que des domaines géomériques supposen souven impliciemen (e parfois un peu rop vie que les domaines géomériques on des fronières fixes. Il n es pas oujours possible de rouver un observaeur pour lequel le domaine géomérique es à fronières fixes. Par exemple, si on considère le domaine géomérique défini comme l espace à l inérieur d une urbomachine, il exise des paries de fronières qui son mobiles (les aubages qui ournen par rappor à d aures paries de fronières (les parois e les secions d enrée e de sorie ; dans ce cas, il n es pas possible de rouver un observaeur pour lequel oues les fronières du domaine géomérique son fixes. C es pourquoi dans la suie, pour ne pas resreindre la généralié des équaions, les fronières d un domaine géomériques seron a priori considérées comme mobiles. (3 En hermodynamique comme en mécanique des fluides, il es parfois sous-enendu que les fronières d un domaine géomérique son fixes (pour un cerain observaeur.

1.2 Grandeurs physiques exensives 11 1.2 Grandeurs physiques exensives Définiion 1.5 Grandeur exensive. On di qu une grandeur physique Ψ(D (scalaire, vecorielle ou ensorielle définie pour un domaine D (maériel ou géomérique es exensive si, pour oue pariion du domaine D, sa valeur es la somme de ses valeurs pour chaque parie D i de la pariion : Ψ grandeur exensive Ψ(D = n i=1 Ψ(D i, la pariion {D i } Rappel Une pariion d un domaine D es un ensemble de n paries {D i } el que : D = n i=1 D i e D i D j = /0, i j Théorème 1.6 Densié volumique. Si une grandeur Ψ(D es exensive, alors il exise dans le domaine D un champ, noé Ψ v (M, e appelé densié volumique de Ψ el que : Ψ(D = Ψ v (M dv (1.1 D Démonsraion Cee propriéé es l applicaion du héorème de Radon-Nikodym-Lebesgue à l ensemble des paries de D. Ceraines grandeurs physiques son exensives d aures ne le son pas. Pour le déerminer, il suffi de vérifier si les condiions de la définiion 1.5 son remplies ou non. Exemple 1.7 Le volume (scalaire, la masse (scalaire, l énergie cinéique (scalaire, la quanié de mouvemen (veceur son des grandeurs exensives. En revanche, la empéraure (scalaire, la pression (scalaire, la déformaion (enseur d ordre 2 son des grandeurs non exensives. Grandeurs inensives Les grandeurs physiques non exensives son souven dies inensives. 1.2.1 Applicaion à un domaine maériel Puisque dans un domaine maériel, les paricules qu il conien son oujours les mêmes, on peu idenifier ses paricules indifféremmen par la méhode de Lagrange (par leur posiion de référence ou par la méhode d Euler (par leur posiion acuelle. Pour désigner les domaines, on uilise les noaions 1.2 [p. 9] e 1.4 [p. 10]. Soi Ψ es une grandeur exensive e soi Ψ v sa densié volumique [h. 1.6], sa valeur acuelle pour le domaine maériel D m peu s écrire de deux manières : Ψ(D m, = Ψ v E(x, dv = Ψ v L(x 0,K vl (x 0, dv 0 (1.2 D m 0 où K v es la dilaaion volumique acuelle en une paricule dans une déformaion don le domaine de référence es D m 0. Le erme K vl(x 0, es la descripion de Lagrange de ce champ maériel. Précisions Dans l équaion (1.2, pour passer de l inégrale sur le domaine acuel m à l inégrale sur le domaine de référence D0 m, on effecue le changemen de variable x = f (x 0,, où f es la descripion de Lagrange du mouvemen. On a donc : Ψ v E(x, = Ψ v E( f (x0,, = Ψ v ( L(x 0, = Ψ v (P, e dv = K v dv 0

12 Chapire 1. Conceps fondamenaux 1.2.2 Applicaion à un domaine géomérique Conrairemen aux domaines maériels, on ne peu idenifier les paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique que par la méhode d Euler, car ce son les valeurs de la densié volumique Ψ v pour les paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique qui son l obje de l inégraion (ceraines paricules ne son peu-êre plus dans le domaine D g à un aure insan car des paricules raversen la fronière. Par conséquen, la valeur acuelle de la grandeur exensive Ψ(D g, ne s écri qu avec une descripion d Euler du champ Ψ v : Ψ(D g, = D g Ψ v E(x, dv (1.3 1.3 Rappel : dérivées emporelles d inégrales à bord mobile Que les domaines envisagés soien maériels ou géomériques, on aura besoin, dans les chapires qui suiven, d écrire la dérivée emporelle d inégrales sur des domaines don les fronières son a priori variables avec le emps. La variaion emporelle d une inégrale de volume don le domaine d inégraion varie avec le emps es due à la fois à la variaion emporelle de son inégrande e à la variaion emporelle du domaine d inégraion dû au mouvemen des fronières. On rappelle le résula mahémaique suivan (4 : Théorème 1.8 Dérivée d une inégrale à bords mobiles. Soi la posiion acuelle d un domaine (maériel ou géomérique e soi Ψ v un champ défini dans D. On noe n la normale uniaire sorane à la fronière acuelle e on noe v f la viesse acuelle d un poin de la fronière. La dérivée emporelle de l inégrale du champ Ψ v sur le domaine D es : d d Ψ v Ψ (x, dv = D v (x, dv + Ψ v (x,(v f n ds (1.4 D 1.3.1 Dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine maériel Soi Ψ une grandeur exensive don la densié volumique es le champ maériel Ψ v (P, e soi D m un domaine maériel. On peu décrire le champ maériel Ψ v (P, par la méhode de Lagrange ou celle d Euler [éq. (1.2 p. 11]. la valeur acuelle de la grandeur exen- Si le champ Ψ v es décri par la méhode d Euler, sive Ψ pour le domaine maériel D m es : Ψ(D m, = Ψ v E(x, dv [éq.(1.2 p. 11] Le domaine d inégraion m es variable avec le emps. Le domaine éan maériel, la viesse d un poin de la fronière du domaine d inégraion es la viesse de la paricule qui s y rouve, on a donc : v f = v(p,. En veru du héorème 1.8, la dérivée emporelle de Ψ(D m, s écri : d d Ψ(D m, = m Ψ v E (x, dv + Ψ v E(x, ( v E (x, n ds (1.5 (4 La démonsraion es donnée dans le cours Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3].

1.3 Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile 13 Le champ des viesses v E (x, éan défini dans ou le domaine d inégraion, on peu uiliser le héorème de la divergence pour ransformer l inégrale de fronière en une inégrale de volume. En uilisan l idenié ensorielle algébrique : T (v n = (T v n, T V p, v V, n V (1.6 le héorème de la divergence perme d écrire l égalié : Ψ v E(x, ( v E (x, n ds = ( div Ψ v E(x, v E (x, dv Remarque Si la grandeur exensive Ψ es une grandeur scalaire (enseur d ordre 0, le produi ensoriel se rédui à un produi simple d un scalaire par un veceur. On obien ainsi une seconde expression de la dérivée emporelle de Ψ(D m, : d ( d Ψ(D m, = m Ψ v E(x, + div ( Ψ v E(x, v E (x, dv (1.7 En développan la divergence (5 dans l équaion (1.7, on obien une roisième expression de la dérivée emporelle de Ψ(D m, : d d Ψ(D m, = d d Ψ(D m, = m ( Ψ v E(x, + grad E Ψ v (x, v E (x, + div E v(x,ψ v (x, dv ( Ψ v E(x, + d ve (x,ψ v (x, dv (déf. de la dérivée pariculaire (1.8 où : Ψ v es la dérivée pariculaire de la densié volumique Ψ v ; d v = rd = div E v es le aux de dilaaion volumique acuel. Les rois expressions (1.5, (1.7 e (1.8 de d d Ψ(D m, son complèemen équivalenes. Seule la première expression fai apparaire une inégrale de fronière qui es le flux soran du enseur Ψ v E (x, v E (x, à ravers la fronière. Les deux aures expressions son des inégrales de volume. La dernière fai apparaire la dérivée pariculaire de la densié volumique. Si le champ Ψ v es décri par la méhode de Lagrange, exensive Ψ pour le domaine maériel D m es : Ψ(D m, = Ψ v L(x 0,K vl (x 0,dv 0 [éq. (1.2 p. 11] D0 m la valeur acuelle de la grandeur où K vl es la descripion de Lagrange du champ de dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don le domaine de référence es D m 0. Le domaine d inégraion D0 m es, par définiion, indépendan du emps. La viesse des poins de la fronière du domaine d inégraion es donc nulle (v f = 0. En veru du héorème 1.8 [p. 12], (5 On rappelle l idenié ensorielle : div(t v = gradt v + T divv.

14 Chapire 1. Conceps fondamenaux la dérivée emporelle de Ψ(D m, s écri : d d Ψ(D m, = = = d d Ψ(D m, = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 ( Ψ v L(x 0,K vl (x 0, dv 0 [éq. (1.4 p. 12] (1.9 d ( Ψ v d L(x 0,K vl (x 0, dv 0 (x 0 ne dépend pas de ( Ψ v L(x 0, +Ψ v d d L(x 0, K vl(x 0, K vl (x 0,dv 0 K vl (x 0, ( Ψ v L(x 0, +Ψ v L(x 0,d vl (x 0, K vl (x 0,dv 0 (1.10 où : Ψ v es la dérivée pariculaire de la densié volumique Ψ v ; K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don le domaine de référence es D0 m ; d v = K v K v = rd = div E v = grad L v : F es le aux de dilaaion volumique acuel. Les rois équaions (1.5 [p. 12], (1.7 [p. 13] e (1.8 [p. 13] (avec des descripions d Euler, ainsi que les deux équaions (1.9 e (1.10 (avec des descripions de Lagrange son oues des expressions équivalenes de la dérivée emporelle de Ψ(D m, sur un domaine maériel où Ψ es une grandeur exensive. On peu les uiliser indifféremmen, selon les ermes que l on a envie de faire apparaîre. 1.3.2 Dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine géomérique Soi Ψ une grandeur exensive don la densié volumique es Ψ v (P, e soi D g un domaine géomérique. Dans un domaine géomérique (de fronière a priori variable avec le emps, la seule manière de décrire les grandeurs associées aux paricules qui s y rouven es la méhode d Euler : Ψ(D g, = D g Ψ v E(x, dv [éq. (1.3 p. 12] Le domaine d inégraion g es a priori variable avec le emps, mais conrairemen au domaines maériels, la viesse des poins de la fronière es différene de la viesse des paricules qui s y rouven (v f v E (P,. En veru du héorème 1.8 [p. 12], la dérivée emporelle de Ψ(D g, es : d d Ψ(D g, = g Ψ v E(x, dv + D g Ψ v E(x,(v f n ds [éq.(1.4 p. 12] (1.11 Remarque Si pour l observaeur uilisé oue la fronière du domaine géomérique es fixe, alors v f = 0 e l inégrale de bord disparaî. En uilisan l idenié ensorielle algébrique rappelée dans l équaion (1.6 [p. 13], le héorème de la divergence perme d écrire l égalié : D g ( div Ψ v E(x, v E (x, dv = D g Ψ v E(x, ( v E (x, n ds (1.12

1.3 Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile 15 En ajouan le erme de gauche e en reranchan le erme de droie de l égalié (1.12 à l équaion (1.11, on obien une seconde expression de d d Ψ(D g, : d d Ψ(D g (, = g Ψ v E(x, + div Ψ v E(x, v E (x, dv + }{{} τ ( (v Ψ v E(x, f v E (x, n ds } g {{} Φ (1.13 où : le erme τ es appelé aux (6 de producion volumique de Ψ (unié : [Ψ].m 3.s 1 ; son inégrale g τ dv es appelé aux de producion inerne de Ψ (unié : [Ψ].s 1 ; le erme Φ es appelé flux convecif enran de Ψ à ravers la fronière (unié : [Ψ].s 1. En développan la divergence (7 dans l expression de τ, on obien une roisième expression de la dérivée emporelle de Ψ(D g, : τ = Ψ v E(x, + grad E Ψ v (x, v E (x, + div E v(x,ψ v E(x, d ( d Ψ(D g, = Ψ v E(x, + d ve (x,ψ v E(x, dv }{{} + D g τ ( (v Ψ v E(x, f v E (x, n ds } g {{} Φ (1.14 Définiion 1.9 Flux convecif. On appelle flux convecif enran de la grandeur ψ dans un domaine D, le flux enran du enseur Ψ v E (v E v f à ravers la fronière : ( Φ ψ = Ψ v E (v E v f n ds D Vocabulaire Les équaions (1.13 e (1.14 son souven appelées équaions de bilan de la grandeur exensive Ψ pour le domaine géomérique D g. On di que la dérivée emporelle de Ψ(D g, es due au aux de producion inerne g τ dv à l inérieur du domaine géomérique e au flux convecif enran Φ. En uilisan l idenié ensorielle algébrique (1.6 [p. 13] le erme Φ s écri : Φ = Ψ v ( E (v f ( v E n ds = Ψ v E (v f v E n ds D g D g Cerains aueurs appellen «flux» l inégrande de Φ. Son unié es alors : [Ψ].m 2.s 1. Les rois équaions (1.11, (1.13 e (1.14 son oues des expressions équivalenes de la dérivée emporelle de Ψ(D g, sur un domaine géomérique où Ψ es une grandeur exensive. On peu les uiliser indifféremmen, selon les ermes que l on a envie de faire apparaîre. Noaion 1.10 Pour alléger les écriures, on convien de ne plus faire figurer dans la suie du cours les argumens des descripions d Euler e de Lagrange : il es sous-enendu que la descripion de Lagrange d un champ maériel pour un cerain observaeur R a pour argumens (x 0, e que sa descripion d Euler a pour argumens (x,. (6 Aenion, ici le mo «aux» signifie ici une dérivée emporelle simple e non une dérivée emporelle logarihmique comme pour les aux de déformaion (d l, d s, d v, D définis en en cinémaique. Ces dénominaions, malheureusemen consacrées par l usage, peuven induire en erreur. (7 On rappelle l idenié ensorielle : div(t v = gradt v + T divv.

16 Chapire 1. Conceps fondamenaux 1.4 Lemme fondamenal Théorème 1.11 Lemme fondamenal. Soi Ψ v (M un champ (scalaire, vecoriel ou ensoriel défini dans E 3 e soi un domaine D E 3. On a l équivalence suivane : D Ψ v (M dv = 0, D Ψ v (M = 0, M (1.15 Ce lemme don la démonsraion es donnée en annexe A.1 [p. 97] sera sysémaiquemen uilisé dans les chapires qui suiven pour déduire les expressions locales des principes fondamenaux. Aenion La démonsraion de ce héorème monre qu il n es applicable que si le champ de densié volumique Ψ v es défini indépendammen des domaines d inégraion D (8. 1.5 En bref... Pour appliquer les principes fondamenaux de la physique classique en mécanique des milieux coninus, on raisonne sur deux sores de domaines : les domaines maériels e les domaines géomériques. Ces domaines on en général des fronières (ou des paries de fronières variables avec le emps. Les grandeurs physiques exensives permeen de définir des champs de densiés volumiques de ces grandeurs, qui peuven êre décris par la méhode de Lagrange (seulemen pour les domaines maériels ou par la méhode d Euler (pour les domaines maériels ou géomériques. Suivan le ype de domaine (maériel ou géomérique e suivan le mode de descripion du champ de densié volumique Ψ v (Lagrange ou Euler, la dérivée emporelle d une grandeur exensive Ψ(D, définie sur un domaine s écri sous différenes formes : sur un domaine maériel D m avec la descripion d Euler de Ψ v : d d Ψ v E dv = = = m Ψ v E dv + m ( Ψ v E + div(ψ v E v E }{{} τ E Ψ v E (v E n ds (1.16 dv (1.17 ( Ψ v E + d ve Ψ v E }{{} τ E dv (1.18 sur un domaine maériel D m avec la descripion de Lagrange de Ψ v : d Ψ v d D0 m L K vl dv 0 = ( Ψ v D0 m L + d vl Ψ v LK }{{} vl dv 0 (1.19 τ L (8 L aueur reconnais humblemen avoir uilisé abusivemen ce héorème dans les versions anérieures de ce cours dans la démonsraion de l équaion de mouvemen [secion 3.5.1 p. 36]. Cee erreur a éé signalée à l aueur par Jean COUSTEIX (ONERA, Toulouse, France e je l en remercie vivemen.

1.5 En bref... 17 sur un domaine géomérique D g avec la descripion d Euler de Ψ v : d d D g Ψ v E dv = = = g D g D g Ψ v E dv + g ( Ψ v E + div(ψ v E v E }{{} τ E ( Ψ v E + d ve Ψ v E }{{} Ψ v E (v f n ds (1.20 dv + Ψ v ( g E (v f v E n ds }{{} Φ ψ dv + Ψ v ( g E (v f v E n ds τ E }{{} Φ ψ (1.21 (1.22 où : v f es la viesse d un poin de la fronière ; K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don l éa de référence es D m 0 ; d v es le aux de dilaaion volumique acuel ; τ es le aux de producion volumique de Ψ à l inérieur du domaine (maériel ou géomérique ; Φ ψ es le flux convecif de Ψ [déf. 1.9 p. 15] enran dans le domaine géomérique à ravers la fonière. Les équaions (1.21 e (1.22 son souven appelées équaions de bilan de la grandeur Ψ pour un domaine géomérique. Remarques Les équaions de bilan (1.21 e (1.22 on éé éablies pour les domaines géomériques. Si les fronières mobiles du domaine géomérique son éanches à la maière, alors ce domaine géomérique conien oujours les mêmes paricules, il es donc aussi un domaine maériel e on a l égalié v f = v E. Le flux convecif Φ ψ es alors nul e on rerouve les équaions (1.17 e (1.18 éablies pour un domaine maériel. Par ailleurs, si des paries de fronière du domaine géomérique son fixes pour l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen, on a v f = 0 sur ces paries de fronière.

2 Conservaion de la masse 2.1 Concep de masse en mécanique des milieux coninus La masse es une mesure de la quanié de maière. En physique classique, la masse d un domaine es une grandeur scalaire (un enseur d ordre 0, exensive (la masse d un domaine es la somme des masses d une de ses pariions e objecive (la masse acuelle d un domaine es la même pour ous les observaeurs. L exensivié de la masse perme d affirmer l exisence dans ce domaine d un champ maériel de densié volumique de masse appelé masse volumique acuelle [h. 1.6 p. 11], radiionnellemen noée ρ(p, (1 (unié : kg.m 3. La masse d un domaine maériel D m, de posiion de référence D0 m e de posiion acuelle D m, peu s écrire avec une descripion de Lagrange ou une descripion d Euler de la masse volumique [éq. (1.2 p. 11, avec Ψ = m e Ψ v = ρ scalaires] : m(d m, = = m D m 0 ρ E (x, dv = ρ E dv [noaions 1.10 p. 15] m ρ L (x 0,K vl (x 0, dv 0 = ρ L K vl dv 0 [noaions 1.10 p. 15] où K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don l éa de référence es D m 0. D m 0 La masse d un domaine géomérique D g, de posiion acuelle D g, ne s écri qu avec la descripion d Euler de la masse volumique [éq. (1.3 p. 12, avec Ψ = m e Ψ v = ρ scalaires] : m(d g, = D g ρ E (x, dv = D g ρ E dv [noaions 1.10 p. 15] 2.2 Principe de la conservaion de la masse Une des manières d exprimer le principe de la conservaion de la masse es la suivane (2 : Principe 2.1 Conservaion de la masse. La masse de ou domaine maériel es invariane dans le emps. (1 On pourrai la noer m v (P, (2 On peu exprimer le principe de la conservaion de la masse de différenes manières. Celle choisie ici, exprimée pour un domaine maériel, semble la plus inuiive à l aueur. D aures aueurs préfèren l exprimer avec un domaine géomérique, en disan que le aux de producion inerne de masse y es nul [éq.(1.21 ou (1.22 p. 17]. Dans ce cours, l expression du principe sur un domaine géomérique devien un héorème.

20 Chapire 2. Conservaion de la masse Si le champ de masse volumique es décri par la méhode d Euler, le principe de la conservaion de la masse pour un domaine maériel D m s écri : 0 = d d m(d m, = d d ( ρe 0 = m 0 = ρ E dv [éq. (1.2 p. 11] + div E (ρ v dv [éq. (1.17 p. 16] (2.1 ( ρ E + ρ E d ve dv [éq. (1.18 p. 16] (2.2 Si le champ des masses volumiques es décri par la méhode de Lagrange, le principe de la conservaion de la masse pour un domaine maériel D m s écri : 0 = d d m(d m, = d ρ L K vl dv 0 [éq. (1.2 p. 11] d D0 m 0 = ( ρ L + ρ L d vl K vl dv 0 [éq. (1.19 p. 16] (2.3 D0 m 2.3 Forme locale du principe de la conservaion de la masse Théorème 2.2 Conservaion locale de la masse. Le principe de la conservaion de la masse sur ou domaine maériel es équivalen à l équaion différenielle suivane : ρ ρ = d v en oue paricule e à ou insan. (2.4 où d v es le aux de dilaaion volumique acuel. Démonsraion La conservaion de la masse 2.1 [p. 19] pour un domaine maériel D m s écri : 0 = ( ρ E + ρ E d ve dv [éq. (2.2 p. 20] Ce principe es vrai quel que soi le domaine maériel considéré. Avec le lemme fondamenal 1.11 [p. 16], on dédui le résula : ρ E + ρ E d ve = 0. La réciproque es évidene. Dans l équaion (2.4 on a supprimé les indices E inuiles car par définiion ρ E (x, = ρ L (x 0, = ρ(p,. On laisse le soin au leceur de vérifier, par la même méhode, que l on aboui à la même équaion (2.4 à parir de l expression du principe de conservaion de la masse (2.3 où le champ de masse volumique es décri par la méhode de Lagrange (la dilaaion volumique K v n es jamais nulle. Le principe de la conservaion de la masse inrodui donc une relaion enre la dérivée emporelle logarihmique de la masse volumique e le aux de dilaaion volumique acuel. Rappels de cinémaique Le aux de dilaaion volumique d v peu s exprimer de différenes manières selon de poin de vue : d v = K d v d = rgrad K E v = rd = div E v = lim v (2.5 v v 0 v Les relaions enre opéraeurs différeniels eulériens e lagrangiens son : grad E ψ = grad L ψ F 1 ; div E Ψ = grad L Ψ : F (2.6

2.3 Forme locale du principe de la conservaion de la masse 21 Expression eulérienne Si on exprime la dérivée pariculaire ρ par son expression eulérienne : ρ = ρ E + grad E ρ v E l expression locale du principe de la conservaion de la masse (2.4 [p. 20] s écri (3 : 1 ( ρe + grad ρ E E ρ v E = div E v ρ E + div E (ρ v = 0 (2.7 Sous cee forme, l équaion (2.7 es radiionnellemen appelée équaion de coninuié (4. Expression lagrangienne Si on exprime la dérivée pariculaire ρ par son expression lagrangienne : ρ = ρ L l expression locale du principe de la conservaion de la masse [éq. (2.4 p. 20] s écri : 1 ρ L = div E v = grad ρ L L v : F ρ L + ρ L grad L v : F = 0 Principe alernaif Le aux de producion volumique de masse en une paricule es : τ m = ρ + ρ d v [éq. (1.22 p. 17, avec Ψ = m e Ψ v = ρ] Le héorème 2.2 [p. 20] affirme donc que le aux de producion volumique de masse es nul en chaque paricule. Il es possible de prendre ce énoncé comme principe fondamenal de la conservaion de la masse, e d en déduire les expressions globales du principe de la conservaion de la masse sur un domaine maériel ou géomérique. L équaion différenielle (2.4 [p. 20] peu s inégrer emporellemen enre les insans 0 e : ρ ρ = d v = K v ρ = C C ρ L (x 0, = K v K v K vl (x 0, où C es une consane déerminée par les condiions iniiales. Pour = 0, on a : K vl (x 0, 0 = 1 e ρ L (x 0, 0 = ρ 0 (x 0 où ρ 0 (x 0 es la masse volumique de la paricule x 0 à l insan de référence 0 (masse volumique iniiale. On en dédui la consane C = ρ 0 (x 0. On a donc : K vl = ρ 0(x 0 ρ L (x 0, = ρ 0(P ρ(p, K v = ρ 0 ρ (2.8 Le principe de la conservaion de la masse implique l égalié enre la dilaaion volumique acuelle K v (concep cinémaique e le rappor des masses volumiques iniiale e acuelle. Remarque Conrairemen à ce qui es parfois affirmé en mécanique des solides, dans une déformaion enre les insans 0 e, la masse volumique n es donc pas consane en général sauf dans une déformaion isovolume (5. (3 On rappelle l idenié ensorielle : div( f v = grad f v + f divv, f R v V. (4 La «coninuié» évoquée ici n a aucun rappor avec celle uilisée en mahémaiques pour qualifier les foncions. (5 Une déformaion isovolume (K v = 1 se radui par deu = dev = dec = deb = 1 ou encore dans le cas des «peies perurbaions» par : r ε = 0. Pour les aures enseurs de déformaion, c es une relaion enre les invarians. Voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3].

22 Chapire 2. Conservaion de la masse 2.4 Bilan de masse dans un domaine géomérique Théorème 2.3 Bilan de masse. La dérivée emporelle de la masse conenue dans un domaine géomérique es égale au débi massique enran à ravers la fronière. Démonsraion Dans un domaine géomérique D g, la masse du milieu coninu conenu dans le domaine ne se conserve pas au cours du emps. En effe : d d m(d g, = ρ E + d ve ρ E dv + ρ E (v f v E n ds [éq. (1.22 p. 17 où Ψ = m] g }{{} g τ m }{{} d d m(d g, = D g Φ m ρ E (v f v E n ds = Φ m (h. 2.2 [p. 20] τ m = 0 (2.9 où v f es la viesse des poins de la fronière du domaine géomérique e Φ m es le débi massique enran à ravers la fronière du domaine géomérique. Principe alernaif Le héorème 2.3 peu aussi bien êre pris comme principe de la conservaion de la masse, e on peu en déduire la forme locale e la forme globale pour un domaine maériel comme éan des héorèmes. 2.5 Densiés massiques de grandeurs exensives La disribuion d une grandeur physique exensive Ψ dans un domaine D (géomérique ou maériel peu aussi se décrire par des densiés massiques Ψ m (unié : [Ψ].kg 1 pluô que par des densiés volumiques Ψ v (unié : [Ψ].m 3. La relaion enre ces deux densiés es : Ψ v = ρψ m (2.10 Pour un domaine maériel, la valeur acuelle d une grandeur exensive Ψ es : Ψ(D m, = Ψ v m E dv = ρ E Ψ m m E dv = Ψ m m E dm (2.11 = Ψ v D0 m L K vl dv 0 = ρ L Ψ m D0 m L K vl dv 0 = Ψ m D0 m L ρ 0 dv 0 = Ψ m D0 m L dm (2.12 Pour un domaine géomérique, la valeur acuelle d une grandeur exensive Ψ es : Ψ(D g, = Ψ v E dv = ρ E Ψ m E dv = Ψ m E dm (2.13 D g D g On en dédui de nouvelles expressions de la dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine qui seron uiles dans la suie quand on uilise des densiés massiques : D g Domaine maériel en descripion d Euler d d Ψ(D m, = ( Ψ v m E + d ve Ψ v E dv [éq. (1.18 p. 16] ( = (ρ E Ψ m m E + d ve ρ E Ψ m E dv [éq. (2.10] = (ρ E Ψ m E + ( ρ E + d ve ρ E Ψ m E dv d d Ψ(D m, = m Ψ m E dm [éq. (2.4 p. 20] (2.14

2.6 Changemens d observaeur 23 Domaine maériel en descripion de Lagrange d d Ψ(D m, = = = d d Ψ(D m, = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 ( Ψ v L + d vl Ψ v LK vl dv 0 [éq. (1.19 p. 16] ( (ρ L Ψ m L + d vl ρ L Ψ m L K vl dv 0 [éq. (2.10] ( ρ L Ψ m L + ( ρ L + d vl ρ L Ψ m L K vl dv 0 Ψ m L dm [éq. (2.4 p. 20] (2.15 Domaine géomérique en descripion d Euler d d Ψ(D g, = = d d Ψ(D g, = g g D g ( Ψ v E + d ve Ψ v E dv + ( (ρ E Ψ m E + d ve ρ E Ψ m E Ψ m E dm + Ψ v E (v f v E n ds [éq. (1.22 p. 17] dv + ρ E Ψ m ( E (v f v E n ds g D g ρ E Ψ m ( g E (v f v E n ds }{{} Φ ψ (2.16 Φ ψ (unié : [Ψ].s 1 es le flux convecif de Ψ enran à ravers la fronière ; Ψ m es la dérivée pariculaire de la densié massique Ψ m ; c es aussi le aux de producion massique de Ψ à l inérieur du domaine. 2.6 Changemens d observaeur Théorème 2.4 La masse volumique es un champ scalaire objecif. Démonsraion La masse M e le volume V d un domaine maériel son des grandeurs objecives par principe (physique classique. La masse volumique moyenne M/V es donc objecive pour ou domaine maériel. En passan à la limie on en dédui que le champ des masses volumiques es un champ scalaire objecif. Théorème 2.5 La dérivée pariculaire de la masse volumique es un champ scalaire objecif. Démonsraion On monre en cinémaique que la dérivée pariculaire de oue grandeur scalaire objecive es objecive. Théorème 2.6 La divergence eulérienne du champ des viesses es un champ scalaire objecif. Démonsraion On dédui des deux héorèmes précédens que la dérivée emporelle logarihmique ρ ρ es une grandeur objecive. On dédui immédiaemen de l équaion (2.4 [p. 20] : ρ ρ = d v que aux de dilaaion volumique d v = div E v [éq. (2.5 p. 20] es objecif. Bien que le champ des viesses soi un champ vecoriel non objecif, sa divergence eulérienne es un champ scalaire objecif (ce résula es éabli en cinémaique, indépendammen de la conservaion de la masse.

24 Chapire 2. Conservaion de la masse 2.7 En bref... La masse d un domaine maériel es une grandeur scalaire, exensive, objecive e invariane dans le emps, qui mesure la quanié de maière conenue dans le domaine maériel. L expression locale du principe de la conservaion de la masse pour un milieu coninu es une équaion différenielle que l on peu inégrer emporellemen. La masse d un domaine géomérique es variable dans le emps car de la maière raverse les fronières. On peu calculer la dérivée emporelle d une grandeur exensive Ψ sur un domaine maériel ou géomérique, non seulemen avec des inégrales de volume de densiés volumiques Ψ v [secion 1.5 p. 16], mais aussi avec des inégrales de masse de densiés massiques Ψ m [secion 2.5 p. 22]. La diversié des formules es due à : 1. l uilisaion de domaines géomériques ou maériels, 2. l uilisaion de densiés volumiques ou massiques, 3. l uilisaion de la descripion de Lagrange ou de celle d Euler pour décrire les densiés, 4. la mise en évidence ou non des flux convecifs à ravers la fronière (équaions de bilan. Les expressions les plus simples de la dérivée emporelle d une grandeur exensive son celles écries avec les densiés massiques Ψ m e leur dérivée pariculaire.

3 Principe fondamenal de la mécanique 3.1 Rappels de mécanique générale 3.1.1 Loi de Newon e observaeurs galiléens Définiion 3.1 Observaeur galiléen. Un observaeur galiléen es un observaeur pour lequel le mouvemen des poins maériels obéi à la loi de Newon : f = m γ (égalié vecorielle où m es la masse d un poin maériel, γ es son accéléraion pour un observaeur galiléen e f es la résulane des forces que l exérieur exerce sur le poin maériel. Hypohèse 3.2 Ineracions de Newon. On suppose que l acion d un poin maériel sur un aure es une force elle que : F Pi /P j = F Pj /P i e F Pi /P j (x P i x P j = 0 i j (3.1 où x P i e x P j son les posiions acuelles des paricules P i e P j pour l observaeur uilisé pour observer le mouvemen. Commenaire sur les ineracions L hypohèse 3.2 es souven appelée seconde loi de Newon ou encore loi de l acion e de la réacion. Elle précise que l acion d un poin maériel sur un aure es une force colinéaire aux deux poins maériels. La direcion de la force es précisée, mais la valeur e le sens de la force d ineracion ne son pas précisées. Ces ineracions son en général dûes à la graviaion, à l élecrosaique, à la cohésion ou oue aure ineracion mécanique se raduisan par une force sans momen (1. Touefois, les propriéés des ineracions qui son posulées dans l équaion (3.1 son suffisanes (2 pour démonrer en mécanique générale les rois héorèmes généraux rappelés plus bas en secion 3.1.2 [p. 26]. Pour déerminer si un observaeur es galiléen ou non, on doi faire des expériences pour vérifier si les prédicions de la loi de Newon son correces ou non pour ce observaeur (3. Exemples d expériences La loi de Newon prédi qu un poin maériel lâché sans viesse iniiale e soumis à une force consane se déplace en ligne droie. Elle prédi aussi qu un pendule lâché sans viesse iniiale oscille dans un plan fixe. (1 De ce fai, on élimine la possibilié d envisager des ineracions magnéiques qui son des momens exercés à disance sur les poins maériels munis d une direcion qui leur es propre (limies de dipôles magnéiques. Cerains effes mécaniques de l élecromagnéisme ne peuven donc pas êre envisagés dans ce cadre. (2 Il n es pas nécessaire de préciser la naure physique de ces ineracions, c es-à-dire leur sens e leur valeur. (3 On rappelle que la valeur de l accéléraion d un poin maériel dépend de l observaeur uilisé pour observer le mouvemen.

26 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Si pour un observaeur, les prédicions de la loi de Newon son considérées comme suffisammen exaces, on peu déclarer galiléen ce observaeur. Déclarer galiléen un observaeur, c es donc acceper une ceraine approximaion dans la confronaion avec des expériences. Exemples Si on assimile un obje pesan à un poin maériel, e si on uilise un observaeur lié à la erre pour analyser son mouvemen, ce obje es soumis à une force consane unique (4 : son poids. Lâché sans viesse iniiale, la loi de Newon prédi que sa rajecoire es une droie colinéaire au poids. En première approximaion, on peu consaer que c es vrai, cependan des mesures fines meen en évidence une peie déviaion vers l es. De même, si on observe le mouvemen d un pendule simple, on consae que, pour un observaeur erresre, son plan d oscillaion es sensiblemen fixe. Mais une observaion plus fine (expérience du pendule de Foucaul monre que ce plan ourne à une faible viesse. Selon que l on considère que la déviaion vers l es de la chûe des corps ou que la viesse de roaion du plan d oscillaion d un pendule son négligeables ou non, on décide si un observaeur erresre es considéré comme galiléen ou non. Tous les observaeurs don le mouvemen par rappor à un observaeur galiléen es une ranslaion à viesse consane son aussi des observaeurs galiléens car pour ous ces observaeurs l accéléraion d un poin maériel es la même. On ne peu donc pas disinguer un observaeur galiléen pariculier qui serai qualifié d absolu. Tou observaeur qui n es pas en ranslaion à viesse consane par rappor à un observaeur galiléen n es pas galiléen. N éan pas valable pour ous les observaeurs, la loi de Newon f = mγ n es pas une loi universelle (5. On peu la rendre arificiellemen universelle en ajouan aux forces exérieures f des forces exérieures ficives appelées forces d inerie (d enraînemen e de Coriolis. La loi de Newon es alors vraie pour ous les observaeurs, mais les forces exérieures agissan sur un poin maériel son la somme des forces réelles (6 e de forces ficives qui son pariculières à chaque observaeur non galiléen. 3.1.2 Rappel des héorèmes généraux L obje de la mécanique (des milieux coninus ou non es de rouver les relaions enre le mouvemen d un sysème maériel, c es-à-dire d un ensemble de poins maériels liés enre eux ou non, e les acions mécaniques exercées sur le sysème maériel par son exérieur. En mécanique des milieux coninus, un sysème maériel es un domaine maériel [déf. 1.1 p. 9]. Définiion 3.3 Acions exérieures. On appelle acion mécanique exérieure d un sysème maériel l acion mécanique exercée par l exérieur (le rese de l univers sur ce sysème maériel. En appliquan à chaque poin maériel d un sysème maériel les deux lois fondamenales énoncées par Newon [déf. 3.1 e hyp. 3.2 p. 25] pour les poins maériels (l observaeur uilisé es donc galiléen, e en disinguan dans les effors exérieurs à chaque poin maériel ceux qui son d origine inérieure au sysème (7 e ceux qui d origine exérieure au sysème, on démonre en mécanique générale les rois héorèmes suivans, valables pour ou sysème maériel : Théorème 3.4 Résulane dynamique. La résulane dynamique acuelle (somme des quaniés d accéléraion es égale à la résulane des acions mécaniques exérieures acuelles. (4 On néglige l acion des asres e il fau faire l expérience dans le vide pour éliminer l acion de l air. (5 C es-à-dire qu elle n es pas valable pour ous les observaeurs. La seule mécanique don les lois son universelles es la héorie de la relaivié générale due à Alber EINSTEIN. (6 C es-à-dire les forces don la source es idenifiée. (7 L acion des aures poins maériels du sysème

3.2 Effors exérieurs sur un domaine maériel 27 Théorème 3.5 Momen dynamique. Le momen dynamique acuel en un poin (somme des momens en ce poin des quaniés d accéléraion es égale au momen en ce poin des acions mécaniques exérieures acuelles. Convenion 3.6 Le choix du poin pour évaluer les momens es indifféren. Dans oue la suie, ce poin sera l origine O de l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen. Le veceur momen en O d un veceur w(p s écrira donc : M O (w(p = x (P w(p où x (P es le veceur posiion acuelle du poin maériel P. Corollaire 3.7 La résulane e le momen résulan en un poin O des acions inérieures à un sysème de poins maériels son des veceurs nuls. Démonsraion Ce corollaire découle direcemen de la définiion des ineracions [éq. (3.1 p. 25] : soi un couple de poins maériels P i e P j ; la somme des deux forces inérieures es : F Pi /P j + F Pj /P i = 0 [éq. (3.1 p. 25] La somme des deux momens en O inérieurs es : x P i F Pi /P j + x P j F Pj /P i = (x P i x P j F Pi /P j = 0 [éq. (3.1 p. 25] En faisan la somme (ou l inégrale de oues les ineracions de ous les couples de poins maériels, on aboui au résula. Théorème 3.8 Puissance cinéique. La puissance cinéique acuelle (dérivée emporelle de l énergie cinéique es égale à la somme de la puissance acuelle des effors exérieurs e de la puissance acuelle des effors inérieurs. Remarque Bien que la résulane e le momen résulan des effors inérieurs soien nuls [corollaire 3.7], la puissance des effors inérieurs es a priori non nulle. Pour ou couple de poins maériels, la puissance des effors inérieurs enre ces deux poins maériels es : P i j = v(p i F Pj /P i + v(p j F Pi /P j ( 0 en général e la puissance des effors inérieurs dans le sysème maériel es : P i j. i> j Pour les solides indéformables, la puissance des effors inérieurs es nulle car le champ des viesses d un solide es équiprojecif, ce qui condui à P i j = 0 i j. Les rois héorèmes généraux 3.4, 3.5 e 3.8 ainsi que le corollaire 3.7 consiuen les seules connaissances mécaniques préalables qui son nécessaires e suffisanes pour comprendre les développemens qui suiven. On peu les considérer comme des axiomes pour la mécanique des milieux coninus. Remarque Les rois héorèmes généraux précédens son encore vrais pour un observaeur non galiléen si l on ajoue aux forces exérieures des forces d inerie ficives d enraînemen e de Coriolis propres à chaque observaeur non galiléen. 3.2 Effors exérieurs sur un domaine maériel Les acions mécaniques exérieures sur un domaine maériel de milieu coninu peuven se classer en deux caégories : les acions mécaniques à disance e les acions mécaniques de conac. Chacune de ces acions exérieures es modélisée par un champ.