FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue somme des deux dés supérieure ou égale à 9 ; 4 au mois u. Exercice - L art d être bie chaussé U placard cotiet 0 paires de chaussures toutes différetes. O pred 4 chaussures au hasard. Quelle est la probabilité d obteir : deux paires complètes? au mois ue paire complète? ue paire complète et deux chaussures dépareillées? Exercice - Cotrôle qualité Ue etreprise fabrique des stylos. Das u carto de 00 stylos, sot défectueux. Le service qualité choisit stylos etre et 00 das le carto et o demade de calculer la probabilité de découvrir au mois u stylo défectueux. U étudiat propose la répose suivate : 00 Il y a résultats possibles. U résultat favorable est u tirage qui cotiet au mois u stylo défectueux. Il y a 99 faços de choisir ce stylo défectueux et faços de choisir les autres stylos. La probabilité cherchée est 99 doc. 00 L étudiat se trompe-t-il? Si oui, pourquoi? Quel est le bo résultat? Exercice 4 - Briques de lait et stratégie Das u supermarché, il reste 50 briques de lait dot 50 sot avariées. Les 50 cliets suivats preet chacu ue brique de lait au hasard das l ordre de leur arrivée. Vaut-il mieux être le premier, le deuxième,..., le 50-ème acheteur? O pourra cosidérer qu ue distributio aléatoire des briques de lait peut se faire e umérotat les 50 briques de lait, de à 50, selo le cliet auquel la brique sera destiée. Exercice 5 - Boules umérotées ou bie poker? Ue ure cotiet boules sur lesquelles sot iscrits des uméros allat de à 8 : 4 boules portet le uméro, 4 boules portet le uméro,..., 4 boules portet le uméro 8. O tire au hasard, sas remise, u échatillo de 5 boules. Quelle est la probabilité d obteir : quatre boules portat le même uméro et ue boule portat u autre uméro? trois boules portat le même uméro et deux boules portat le même uméro différet du précédet? trois boules portat le même uméro et deux boules portat des uméros différets et différets du premier? 4 deux boules portat le même uméro, deux boules portat le même uméro mais différet du précédet et ue boule portat ecore u autre uméro? 5 deux boules portat le même uméro et trois boules portat des uméros différets et différets du premier? 6 ciq boules portat des uméros différets? Exercice 6 - Boules colorées Ue ure cotiet 0 boules : 5 boules blaches, 5 boules rouges et 0 boules oires. O tire boules, successivemet et avec remise après chaque tirage. Calculer la probabilité que le tirage soit : a tricolore ; b bicolore ; c uicolore. Répodre aux mêmes questios si o tire désormais les boules simultaémet. Exercice 7 - Suites croissates aléatoires Ue ure cotiet 0 boules umérotées de à 0. O tire fois de suite avec remise ue boule das l ure. Quelle est la probabilité d obteir ombres : das u ordre strictemet croissat? das u ordre croissat au ses large?
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice 8 - Le jeu de Moty Hall U jeu télévisé met e scèe u cadidat et u présetateur. Devat eux se trouvet trois portes derrière lesquelles se cachet ue voiture de sport et deux trotiettes. Le cadidat igore quelle porte cache quel véhicule. Le présetateur sait ce qui se cache derrière chaque porte. Le jeu se déroule e plusieurs temps : le cadidat est ivité à choisir ue des portes ; le présetateur ouvre esuite ue des deux autres portes de maière à dévoiler ue trotiette il e reste toujours au mois ue, quel que soit le choix iitial du cadidat, si le présetateur a le choix il ouvre au hasard ue des deux portes qui cachet ue trotiette, il e reste alors que deux portes fermées ; le présetateur propose efi au cadidat soit de rester sur so choix iitial, soit de chager so choix de porte. O ouvre alors la porte fialemet choisie par le cadidat et ce derier gage le lot qui se cache derrière cette porte. Quelle stratégie est la plus favorable au cadidat qui espère gager la voiture de sport : rester sur so choix iitial ou chager d avis et choisir l autre porte? Exercice 9 - Cetrales d appels téléphoiques Le service après-vete d ue etreprise possède cetre téléphoiques pour répodre aux cliets. O suppose que persoes, de faço idépedate, cherchet à joidre ce service après-vete et que leur appel soit dirigé de maière équiprobable vers u des trois cetres téléphoiques. Quelle est la probabilité que les appels soiet tous dirigés vers le même cetre? Calculer la probabilité que les cetres reçoivet au mois u appel. Exercice 0 - Paier gari Ue etreprise de cosmétiques souhaite créer à l itetio de ses vedeurs u paier de démostratio. Cette etreprise a 4 gammes de produits : la gamme qui comporte 7 produits, la gamme qui comporte produits, la gamme qui comporte 5 produits, la gamme 4 qui comporte 4 produits. U paier est u esemble de 4 boîtes umérotées de à 4. O dit qu u paier est valable si la boîte uméro i cotiet u produit de la gamme i, pour tout i 4. Combie y a-t-il de paiers valables? U employé peu scrupuleux costitue des paiers e choisissat 4 produits différets das le catalogue et e les mettat das les boîtes. Quelle est la probabilité qu il costitue u paier valable? Le service qualité de l usie, peu scrupuleux lui aussi, pour vérifier qu u paier sortat de l usie est valable, ouvre seulemet les boîtes et et valide le paier si ces deux boîtes cotieet les produits de la boe gamme. Quelle est la probabilité qu u paier soit validé par erreur? 4 U paier sort de l usie lorsqu il est validé par le service qualité. Quelle est la probabilité qu u paier sorti de cette usie soit valable? Exercice - Évéemets idépedats Ue ure cotiet ue boule rouge et ue boule oire. O effectue tirages avec remise de la boule tirée. Pour tout, o défiit les évéemets suivats : A : o obtiet, au cours des tirages, des boules des deux couleurs. B : o obtiet, au cours des tirages, au plus ue boule rouge. Calculer, pour tout, les probabilités de A et B. O suppose =. Étudier l idépedace des évéemets A et B. O suppose =. Étudier l idépedace des évéemets A et B. 4 Étudier l idépedace des évéemets A et B pour tout. O sera ameé à motrer que la suite de terme gééral est strictemet mootoe. Exercice - Redodace et sécurité aériee Le capteur de positio d u avio a ue probabilité p de tomber e pae pedat u vol Bordeaux-Tahiti. Par sécurité, o istalle plusieurs capteurs idépedats das l appareil. O suppose qu il y a capteurs avec. Quelle est la probabilité que l avio se retrouve sas capteur de positio pedat u vol Bordeaux-Tahiti? O suppose que p = 0.. Calculer pour que l avio e se retrouve pas sas capteur de positio avec ue probabilité supérieure ou égale à 99%. U avio est équipé du ombre de capteurs calculé à la questio précédete. Il effectue ue série de 00 vols idépedats. Quelle est la probabilité qu il y ait au mois u vol avec ue avarie totale des capteurs? Exercice - Jeu de cartes truqué O cosidère u jeu de cartes qui possède deux dames de coeur. Soit. O tire cartes au hasard das le jeu. Quelle est la probabilité de s apercevoir que le jeu est truqué? O suppose désormais = 4 et o reouvelle l expériece cosistat à tirer au hasard 4 cartes du jeu e les remettat das le jeu à chaque fois pour voir si le jeu est truqué. Quel est le ombre miimum d expérieces à réaliser pour s apercevoir que le jeu est truqué avec ue probabilité supérieure à 0.95.
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice 4 - Le paradoxe des efats U aget du recesemet frappe à la porte d ue famille das laquelle il sait qu il y a deux efats d âges différets. Quelle est la probabilité que ces efats soiet tous les deux des filles? Ue petite fille viet ouvrir la porte. Quelle est la probabilité que les deux efats soiet des filles? U autre efat arrive à quatre pattes et s accroche aux collats de sa grade soeur. Quelle est la probabilité que les deux efats soiet des filles? Beaucoup d iformatios sot sous-etedues das cet exercice comme souvet. La probabilité pour qu u efat choisi au hasard soit ue fille respectivemet u garço est /. Das le cas du choix au hasard de deux efats d âges différets, le sexe d u des efats est idépedat du sexe de l autre. Exercice 5 - Téléphoe arabe Ue iformatio de type biaire V ou F est trasmise par l itermédiaires de persoes otées J,..., J. J possède la boe iformatio et la trasmet à J, qui la trasmet à J, et aisi de suite jusqu à J qui reçoit fialemet l iformatio. Chaque persoe trasmet ce qu elle a etedu avec la probabilité q [0; ], sio elle trasmet le cotraire. Pour tout k, o ote p k la probabilité que l iformatio iitiale soit celle qui soit trasmise par J k. Exprimer p k+ e foctio de p k pour tout k. E déduire ue expressio de p e foctio de. Das le cas où q <, quelle est la limite de p quad ted vers +? Exercice 6 - Composats électroiques fragiles Ue machie est formé de deux composats électroiques idetiques motés e parallèle et que l o ote et. La machie tombe e pae si les composats tombet e pae. O s itéresse au foctioemet de la machie sur ue jourée. La probabilité que le composat tombe e pae lors d ue jourée ormale est de 0.04 mais lors d ue jourée chaude, cette probabilité est de 0.. Efi, lors d ue jourée chaude et lorsque le composat est e pae, la probabilité que le composat tombe e pae est de 0.5. Calculer la probabilité que la machie tombe e pae lors d ue jourée chaude. Exercice 7 - Déplacemet d u mobile aux sommets d u triagle U mobile se déplace aléatoiremet das l esemble des sommets d u triagle ABC de la faço suivate : si, à l istat il est sur l u des sommets, alors soit il y reste à l istat + avec la probabilité /, soit il se déplace sur l u des deux autres sommets à l istat +, et ce avec la même probabilité pour chacu des deux autres sommets. O cosidère qu à l istat = 0, le mobile se trouve au poit A. Pour tout N, o défiit l évéemet A respectivemet B et C : le mobile se trouve au poit A respectivemet B et C à l istat et la probabilité a = P A respectivemet b = P B et c = P C. Pour tout N, motrer que a + b + c =. Pour tout N, exprimer a +, b + et c + e foctio de a, b et c. Déduire de la questio précédete que, pour tout N : a + b + = a b et a + c + = a c. 4 E déduire ue expressio de a, b et c e foctio de. Exercice 8 - Dé pipé U lot de 00 dés cotiet 5 pipés tels que la probabilité d apparitio du 6 soit égale à. O pred u dé au hasard das le lot, o le jette, et o obtiet 6. Quelle est la probabilité que le dé choisi soit pipé? Exercice 9 - Proveace des produits défectueux U lot cotiet des produits apparemmet idetiques sortat de trois chaîes de fabricatio. 8% des produits provieet de l usie A, 5% de l usie B et le reste de l usie C. L usie A est e Chie et 50% des produits présetet u défaut de fabricatio. Cette proportio atteit 70% das l usie B qui a refusé de moderiser ses techiques. Quat à l usie C, seuls 0% des produits sot défectueux. O cosidère u produit sorti au hasard du lot. Quelle est la probabilité que ce produit soit défectueux? Le produit s avère être défectueux. Quelle est la probabilité qu il soit sorti de l usie B? Exercice 0 - Erreur du service qualité La proportio de pièces défectueuses à la sortie d ue chaîe de fabricatio est 0.05. Le cotrôle de la qualité des pièces est tel que : si la pièce est boe, elle est acceptée avec la probabilité 0.96, si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0.98. O choisit ue pièce au hasard et o la cotrôle. Quelle est la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle? Quelle est la probabilité qu ue pièce acceptée soit mauvaise?
4 FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Probabilités coditioelles O dispose de trois ures U, U et U dot chacue cotiet exactemet boules oires et boules blaches. O tire ue boule de U et ue autre das U puis o place ces deux boules das U. Quelle est la probabilité de tirer boules oires? Quelle est la probabilité de tirer ue boule blache das U? O a tiré ue boule blache das U. Quelle est la probabilité d avoir tiré ue boule blache das U et ue boule blache das U? Exercice - Malades et vacciés U quart d ue populatio a été vacciée. La probabilité de tomber malade quad o est vaccié est de. Parmi les 0 malades, il y a 4 o vacciés pour vaccié. Quelle est la probabilité pour u o-vaccié de tomber malade? INDICATIONS ET ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Exercice - Lacer de dés L uivers des issues possibles est Ω = {,,, 4, 5, 6} avec équiprobabilité. Pour chaque questio, il suffit de déombrer le ombre de couples qui vérifie la propriété proposée. Les résultats sot alors 6, 5 6, 5 et 8 6. Exercice - L art d être bie chaussé Équiprobabilité sur l esemble des tirages de 4 chaussures parmi 0 sas ordre. O trouve, 99 96 et. Exercice - Cotrôle qualité L étudiat compte plusieurs fois les mêmes situatios, e particulier celles ou il y a stylos défectueux. Pourquoi? Il faut distiguer les situatios où il y a, ou stylos défectueux das l échatillo de stylos choisi. O trouve e fait 97 97 97 + +. 00 Exercice 4 - Briques de lait et stratégie Il y a 50! maières cosidérées équiprobables de uméroter les briques de lait de à 50. Cosidéros que ous sommes l acheteur uméro k. Combie y a-t-il de umérotatios telles que la brique umérotée k qui ous est destiée soit avariée? O trouve que la probabilité que la brique k soit avariée est égale à, et ce quel que soit k. Aucue positio est doc privilégiée... Exercice 5 - Boules umérotées ou bie poker? O trouve 899, 6 899, 48 899, 08 899, 480 56 et 899 899. Exercice 6 - Boules colorées Il y a 8000 tirages possibles avec équiprobabilité. O trouve 6, distiguer toutes les situatios possibles avec couleurs et 5. Il y a 40 tirages possibles avec équiprobabilité. O trouve 5 4, 5 8 et 7 57. Exercice 7 - Suites croissates aléatoires Il y a 000 tirages possibles avec équiprobabilité. Pour obteir ue suite strictemet croissate, il suffit de choisir ombres parmi 0, l ordre état alors imposé par 0 la croissace. Il y a doc tels tirages et la probabilité cherchée est 5. O distigue ici les suites costates 0 tirages, les suites strictemet croissates déombrées à la questio 0 0 précédete : tirages et les suites croissates e faisat iterveir que valeurs choix de ces valeurs et deux suites possibles pour chacu de ces choix : x, x, y ou x, y, y si x < y. Fialemet, la probabilité cherchée est 50. Exercice 8 - Le jeu de Moty Hall Étudios la probabilité de gager la voiture pour l ue et l autre des stratégies. Si le cadidat décide à l avace de chager so choix de porte. Il gage lorsqu il avait choisi ue porte perdate lors de so choix iitial, soit avec ue probabilité. Il perd s il avait trouvé la boe porte lors de so premier choix, c est-à-dire avec ue probabilité c est cohéret!. Si le cadidat décide à l avace de garder so premier choix, il gage avec ue probabilité. Il vaut doc mieux systématiquemet chager so choix après l idicatio doée par le présetateur. Exercice 9 - Cetrales d appels téléphoiques O trouve. O peut utiliser l évéemet cotraire, qui est que deux cetres au maximum reçoivet tous les appels. La probabilité qu u seul cetre reçoive tous les appels a été calculée à la questio précédete. Il reste à calculer la probabilité que
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI 5 deux cetres exactemet reçoivet tous les appels. Il y a faços de choisir les deux cetres appelés et k faços de répartir les appels sur les deux cetres. O trouve fialemet. Exercice 0 - Paier gari Il y a 40 paiers valables. 5 L employé peut créer 904 paiers avec équiprobabilité. La probabilité cherchée est doc 775. O peut oter A i l évéemet la boîte uméro i cotiet u article de la gamme i et A i l évéemet cotraire. O veut calculer P A A A A 4 = P A A A A 4 + P A A A A 4 + P A A A A 4. Pour le calcul de la derière probabilité, o pourra distiguer deux cas, selo que la boîte cotiee u produit de la gamme 4 ou u produit des gammes et. O trouve fialemet 47 584. 4 O peut oter V l évéemet le paier est valable et S l évéemet le paier sort de l usie. O cherche alors P S V P V 90 P V S qui est égal à, toutes ces probabilités ayat déjà été calculées. O trouve P S V P V +P S V P V 74977. Exercice - Évéemets idépedats O peut oter R k l évéemet la k-ème boule tirée est rouge et N k l évéemet la k-ème boule tirée est oire pour exprimer les évéemets A, A ou B. O trouve P A = et P B = +. A et B e sot pas idépedats. A et B sot idépedats. 4 A et B sot idépedats si et seulemet si = 0. La seule solutio est = par stricte mootoie de N mootoie à démotrer. Exercice - Redodace et sécurité aériee q. =. Eviro 6%. Exercice - Jeu de cartes truqué O repère que le jeu est truqué si o tire les deux dames de coeur. 0. k= 0 Utiliser l évéemet cotraire. O peut oter p = 4 la probabilité de e pas s apercevoir que le jeu est truqué lors d u seul tirage. O cherche alors k tel que p k dépasse 0.95. O trouve que 47 tirages suffiset. Exercice 4 - Le paradoxe des efats O trouve 4, et. Utiliser les probabilités coditioelles et l équiprobabilité des situatios F F, F G, GF et GG pour les sexes des deux efats das l ordre de leur aissace par exemple. Exercice 5 - Téléphoe arabe O trouve p k+ = p k q + q. O étudie ue suite arithmético-géométrique et o trouve p = + q p =. Cette limite e déped pas de la valeur de p. Exercice 6 - Composats électroiques fragiles O peut oter A i l évéemet le composat i tombe e pae pedat la jourée pour i {, } et C l évéemet la jourée est chaude. O calcule alors P A A C = P A A C e faisat apparaître das ce quotiet la quatité P C P A C e haut et e bas puis des probabilités coditioelles. O trouve 0.05. Exercice 7 - Déplacemet d u mobile aux sommets d u triagle Système complet d évéemets. Formule des probabilités totales. 4 O utilise les relatios obteues à la questio précédete associées au résultat de la première questio. O trouve a = + et b = c = a.
6 FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice 8 - Dé pipé Formule de Bayes. O trouve. Exercice 9 - Proveace des produits défectueux Formule des probabilités totales puis formule de Bayes. O trouve 0.6 et eviro 0.07. Exercice 0 - Erreur du service qualité O peut oter B l évéemet la pièce est boe et A l évéemet la pièce est acceptée par le cotrôle. O traduit alors les doées de l éocé et les questios posées. E particulier, la probabilité qu il y ait ue erreur est égale à P B A + P B A. O trouve fialemet 0.09 pour la première questio. Pour la secode questio, o utilise la formule de Bayes, o trouve 9. Exercice - Probabilités coditioelles O peut ote B i l évéemet o tire ue boule blache das l ure i et N i l évéemet o tire ue boule oire das l ure i, pour tout i {,, }. Formule des probabilités composées pour calculer P N N N car les évéemets e sot pas mutuellemet idépedats. O trouve 6 75. Formule des probablités totales avec le système complet d évéemets N N, N B, B N, B B. O trouve 5. Formule de Bayes, o trouve 7. Exercice - Malades et vacciés O peut oter respectivemet V et M les évéemets être vaccié et être malade. O peut alors traduire les iformatios de l éocé. O peut utiliser la formule de Bayes pour calculer x = P M V. Das cette formule apparaît P M dot le calcul par la formule des probabilités totales fait iterveir x. O obtiet aisi ue équatio dot x doit être solutio. Fialemet, o trouve x = 5.