MATHÉMATIQUES 65 culier que certins phénomènes peuvent être étudiés soit en temps discret - à l ide d une suite -, soit en temps continu - à l ide d une fonction (évolution d un cpitl pr exemple). Une bonne mîtrise des fonctions clssiques (dérivées, extrem, comportements symptotiques, courbes représenttives) est nécessire ; elle doit permettre une certine isnce dns les problèmes qui les mettent en jeu. L notion de continuité est introduite et permet de disposer du lngge nécessire pour énoncer les théorèmes de fçon stisfisnte. L étude théorique de l continuité des fonctions clssiques est exclue. Dns le cdre de l résolution de problèmes, l étude d une fonction se limiter le plus souvent à un intervlle. Limites de suites et de fonctions Rppel de l définition de l limite Pour exprimer que f(x) tend vers L qund x Il s git de prolonger le trvil fit en d une suite. Extension à l limite finie tend vers +, on dir que : tout intervlle première sur les suites. L expression ou infinie d une fonction en + ou. ouvert contennt L contient toutes les vleurs pour x ssez grnd est l nlogue pour f(x) pour x ssez grnd. les fonctions de l expression à prtir Notion de limite finie ou infinie On montrer qu une suite croissnte d un certin rng utilisée pour les suites. d une fonction en un réel. non mjorée tend vers l infini. Pour les limites en un réel, ucune On reverr à cette occsion l notion définition n est exigée : on reprendr d symptote oblique, en se limitnt l pproche intuitive doptée en clsse ux fonctions se mettnt sous l forme de première. Sur un exemple, on fer le lien x+b+h(x), où h tend vers 0 à l infini. entre limite en un réel et à l infini. On montrer sur des exemples que l étude On pourr prler de limite à droite ou à sur clcultrice ou u tbleur d une suite guche à l occsion de certins exemples. ou d une fonction permet de conjecturer des limites qui devront ensuite être justifiées. Théorème des gendrmes pour les fonctions. On démontrer ce théorème lorsque l vrible tend vers l infini. On étendr ce théorème u cs des limites infinies. Limites de l somme, du produit, du quotient On compléter les résultts énoncés en clsse Ces propriétés seront ppliquées comme de deux suites ou de deux fonctions; de première; on se borner à une justifiction règles opértoires. limite de l composée de deux fonctions, intuitive (clcultoire ou grphique). de l composée d une suite et d une fonction. Lngge de l continuité et tbleu de vritions Continuité en un point. On définir l continuité de f en un point Les fonctions rencontrées en terminle Continuité d une fonction sur un intervlle. pr lim f =f() sont le plus souvent continues sur leur intervlle d étude; on indiquer clirement ou lim f(+h) = f() que les fonctions construites à prtir h 0 des fonctions polynômes, trigonométriques, On illustrer l notion de continuité sur logrithmes ou exponentielles sont un intervlle en prlnt de trcé sns lever continues. Démontrer qu une fonction est le cryon. On présenter à titre de contre- continue en un point ou sur un intervlle exemple le cs de l fonction prtie entière. n est ps un objectif du progrmme. Théorème (dit des vleurs intermédiires): Ce théorème pourr être dmis ou démontré On conviendr, dns les tbleux soient f une fonction définie et continue à l ide de suites djcentes. de vritions, que les flèches obliques sur un intervlle I et et b deux réels dns I. On démontrer le corollire suivnt : trduisent l continuité et l stricte Pour tout réel k compris entre f() et f(b), si f est une fonction continue strictement monotonie de l fonction sur l intervlle il existe un réel c compris entre et b monotone sur [;b], lors, pour tout réel k considéré. Dns l rédction de l solution tel que f(c)=k. compris entre f() et f(b), l éqution f(x)=k à un problème, une simple référence une solution unique dns [;b]. u tbleu de vritions suffir pour On étendr ce corollire u cs où f est définie justifier l existence et l unicité sur un intervlle ouvert ou semi-ouvert, d une solution d une éqution du type borné ou non, les limites de f ux bornes f(x)=k. de l intervlle étnt supposées connues. On pourr pprocher l solution de l éqution f(x)=k pr dichotomie ou blyge vec l clcultrice ou u tbleur.
66 MATHÉMATIQUES Dérivtion Rppels sur les règles de dérivtion et sur le lien entre signe de l dérivée et vritions de l fonction. Appliction à l étude de l fonction tngente. On rppeller en prticulier le théorème suivnt qui ser utilisé à propos des primitives : une fonction dont l dérivée est nulle sur un intervlle est constnte sur cet intervlle. On fer remrquer que toute fonction dérivble est continue. Écriture différentielle dy=f (x)dx. On se contenter d expliquer que l écriture différentielle exprime symboliquement l églité : y = f (x) x + ε( x), où ε tend vers zéro vec x. Dérivtion d une fonction composée. Le principe de l démonstrtion ser indiqué. À l occsion des exercices, on rencontre L nottion différentielle est ici un moyen des reltions entre grndeurs de l forme mnémotechnique de retrouver l formule. x=f(t), y=g(x), v=u(t) etc., où t représente un temps, x et y des longueurs, v une vitesse : dns ces conditions, f (t) est une vitesse, g (x) est un nombre et u (t) une ccélértion, ce que l écriture différentielle met en vleur. Introduction de l fonction exponentielle Étude de l éqution f = k f. L étude de ce problème pourr être motivée Ce trvil se fer très tôt dns l nnée cr il Théorème : il existe une unique fonction pr un ou deux exemples, dont celui est centrl dns le progrmme f dérivble sur IRtelle que f =f et f(0) = 1. de l rdioctivité trité en physique, de mthémtiques et de physique. Il fournit Reltion fonctionnelle crctéristique. ou pr l recherche des fonctions dérivbles un premier contct vec l notion Introduction du nombre e. Nottion e x. f telles que f(x+y)=f(x)f(y). d éqution différentielle et montre Extension du théorème pour l éqution On construir vec l méthode d Euler comment étudier une fonction dont on ne f = k f. introduite en première des représenttions connît ps une formule explicite. L grphiques pprochées de f dns le cs k = 1; méthode d Euler fit pprître une suite on comprer divers trcés obtenus vec géométrique et donne l idée que des ps de plus en plus petits. l exponentielle est l nlogue continu L unicité ser démontrée. L existence ser de l notion de suite géométrique, ce que dmise dns un premier temps. Elle ser l éqution fonctionnelle confirme. étblie ultérieurement à l occsion de l qudrture de l hyperbole. Approximtion ffine, u voisinge de 0, de h e h. Étude des fonctions logrithmes et exponentielles Fonction logrithme népérien; nottion ln. On mentionner l fonction logrithme Le mode d introduction du logrithme Éqution fonctionnelle crctéristique. déciml, notée log, pour son utilité dns les n est ps imposé. On peut, pour l introduire : Dérivée; comportement symptotique. utres disciplines et son rpport vec - soit prtir des propriétés des fonctions l écriture décimle des nombres. exponentielles; Approximtion ffine, u voisinge de 0, de h ln(1+h). - soit poser le problème des fonctions dérivbles sur IR + * telles que f(xy)=f(x)+f(y) et dmettre l existence de primitives pour l fonction x 1/x ; - soit triter le logrithme près l intégrtion. Fonctions x x pour >0. Comportement symptotique; llure des courbes représenttives. On positionner, à l ide d un grpheur, les courbes représenttives de x e x et de x lnx pr rpport à celles des fonctions x x n.
MATHÉMATIQUES 67 Croissnce comprée des fonctions On étblir l limite en + de e x /xet de lnx /x; À trvers des exemples, on étendr ces exponentielles, puissnces entières on en déduir l limite en - de xe x ; règles u cs des polynômes (comme pour et logrithme. on boutir ux règles opértoires : à l infini, e l exponentielle de x l emporte sur toute l fonction x puissnce de x et les puissnces de x x 2 + 1 ) l emportent sur le logrithme de x. On étudier les fonctions x e -kx, Ces fonctions sont très utilisées ou x e -kx2, vec k>0, et on illustrer en probbilité et en sttistique, en théorie leur décroissnce rpide. du signl etc. Fonction rcine n-ième L rcine n-ième ser introduite et expliquée; On pourr border lors de l étude on utiliser ussi l nottion x 1/n. de problèmes des fonctions du type x x α (vec α réel); l étude générle de ces fonctions est hors progrmme. Suites et récurrence Risonnement pr récurrence On choisir des exemples permettnt On présenter le principe de récurrence Suite monotone, mjorée, minorée, bornée. d introduire le vocbulire usuel des suites comme un xiome. et nécessitnt l utilistion de risonnements pr récurrence. On s ppuier sur un tritement tnt numérique (vec outils de clcul : clcultrice ou ordinteur) que grphique ou lgébrique. On étudier numériquement sur un ou deux Aucune notion théorique de rpidité exemples, l rpidité de convergence de convergence n est u progrmme. d une suite (u n ) vers s limite L, en complétnt l étude sur tbleur pr des encdrements de (u n -L) On triter quelques problèmes mennt à l étude de suites définies pr u n+1 =u n +b. Suites djcentes et théorème L notion de suites djcentes ser introduite On fer le lien vec l méthode des suites djcentes. en liison vec le clcul intégrl : de dichotomie. encdrements d ires (pr exemple ire L objectif est d enrichir l vision d un cercle pr l méthode d Archimède, des nombres réels et d indiquer l importnce ire sous une prbole). des suites djcentes dns le problème On montrer le lien vec l écriture décimle de l mesure des grndeurs géométriques d un réel. ou physiques. Théorème de convergence des suites croissntes mjorées. L étude de suites u n+1 =f(u n ) pour pprocher une solution de l éqution f(x)=x n est ps un objectif du progrmme : l dichotomie, le blyge suffisent u niveu de l terminle pour des problèmes nécessitnt de telles pproximtions. L équivlence vec le théorème des suites djcentes pourr fire l objet d un problème. Intégrtion Pour une fonction f continue positive On indiquer que l ire sous l courbe peut Les élèves ont une notion intuitive d ire sur [,b], introduction de l nottion être pprochée en l encdrnt pr deux suites (vec l propriété d dditivité) et svent b f(x)dx djcentes construites en qudrillnt le pln clculer certines ires élémentires; comme ire sous l courbe. de plus en plus finement. l objectif est de leur donner un perçu de l Vleur moyenne d une telle fonction. Exemple où l fonction intégrée est en définition et du clcul de l ire esclier. Exemple de l prbole : on fer de domines plns liés ux fonctions; pprître l intégrle comme limite tout développement théorique est exclu. de sommes et on dmettr que cette sitution est générlisble. Extension à l intégrle et à l vleur moyenne On indiquer l convention de signe sur un Cette extension doit être fite brièvement. d une fonction de signe quelconque. intervlle où f est négtive et on en déduir Cette convention de signe prendr tout son le cs générl; on pourr ussi jouter une constnte à f pour l rendre positive. sens lors de l étude de b f(x)dx.
68 MATHÉMATIQUES Linérité, positivité, ordre, reltion On interpréter ces propriétés en terme d ire Les propriétés générles de l intégrle seront de Chsles. ou en terme de vleur moyenne pour les rpidement commentées et dmises; Inéglité de l moyenne. rendre conformes à l intuition. les élèves s en serviront comme règles opértoires. Intégrtion et dérivtion On illustrer l intérêt de l intégrle pr Ce trvil est une fçon de préprer diverses situtions, entre utres : le théorème lint intégrles et primitives, - expression intégrle de l distnce prticulièrement frppnt dns le cs prcourue sur une droite pr un point mobile du point mobile. dont on connît l vitesse instntnée; Aucune connissnce théorique n est - expression intégrle du volume d un solide exigible sur ces ctivités de modélistion. dont on connît les ires des sections vec Dns les problèmes, les expressions les plns d éqution z=constnte; intégrles seront toujours données. - clculs de probbilités d intervlles pour En lien vec l physique, on mentionner des lois de probbilités à densité. le problème des unités : si x et y sont deux grndeurs liées pr une reltion y=f(x), l intégrle b f(x)dx est une grndeur homogène u produit des grndeurs xy tndis que l vleur moyenne est homogène à y. Notion de primitive. Théorème : si f est continue sur un intervlle On démontrer que F est une primitive de f L intégrtion permet d étblir l existence I, et si est un point de I, l fonction F telle dns le cs où f est continue et croissnte, des primitives des fonctions continues que F(x) = x f(t)dt est l unique primitive et on dmettr le cs générl. et d en donner des méthodes numériques de f sur I s nnulnt en. de clcul; inversement, l connissnce d une primitive d une fonction continue donne une formule explicite pour le clcul des intégrles : les élèves devront percevoir l intérêt de cette double démrche. Clcul de b f(x)dx Tbleu primitives-dérivées des fonctions L existence d une solution de l éqution à l ide d une primitive de f. usuelles (fonctions x x n, x x, x lnx, y =f(t), dmise en première est insi x e x, sinus, cosinus). justifiée; de même, est justifiée l existence Appliction de l dérivtion des fonctions du logrithme : celle de s fonction composées à l primitivtion de u /u, u e u, u u n. réciproque en découle lors. L volonté d introduire rpidement l fonction exponentielle pour l physique ur conduit à dmettre un théorème d existence en début d nnée, qui se trouve ici justifié. Intégrtion pr prties. Équtions différentielles y =y+b On démontrer l existence et l unicité de l solution pssnt pr un point donné. On étudier quelques problèmes où interviennent des équtions différentielles se rmennt à y =y+b. On se limiter à des cs simples où l élève ur à trouver lui-même le recours à l technique d intégrtion pr prties. Ce prgrphe, déjà bordé lors de l introduction de l fonction exponentielle, pourr être réprti sur l ensemble de l nnée. On fer le lien vec l étude de ces équtions en physique; on définir le temps crctéristique τ = -1/ pour <0. Les indictions utiles pour se rmener à y =y+b doivent être données. Des solutions de l éqution y +ω 2 y=0 seront introduites en cours de physique.
MATHÉMATIQUES 69 II. 2 Géométrie L objectif de ce prgrphe est d entretenir l prtique des objets usuels du pln et de l espce et de fournir quelques notions nouvelles permettnt de prfire l pproche entreprise dns les clsses ntérieures sur l géométrie vectorielle ou repérée. Dns le prolongement du repérge polire introduit en première, les nombres complexes, outre leur intérêt historique, lgébrique et interdisciplinire pour l poursuite des études, fournissent un outil efficce dns les problèmes fisnt intervenir les trnsformtions plnes. L extension à l espce du produit sclire permet de résoudre de nouveux problèmes et, de ce fit, d pprofondir l vision de l espce. Bien que, comme dns les progrmmes ntérieurs, le libellé de cette prtie soit reltivement concis, on prendr le temps de mettre en œuvre toutes les connissnces de géométrie de l ensemble du cursus scolire pour l étude de configurtions du pln ou de l espce, le clcul de distnces, d ngles, d ires et de volumes, etc. Ces trvux seront réprtis tout u long de l nnée fin que les élèves cquièrent une certine fmilirité vec le domine géométrique; on privilégier les problèmes dont les procédés de résolution peuvent voir vleur de méthode et on entrîner les élèves à choisir l outil de résolution le plus pertinent prmi ceux dont ils disposent (propriétés des configurtions, clcul vectoriel, clcul brycentrique, trnsformtions, nombres complexes, géométrie nlytique). Géométrie plne : nombres complexes Le pln complexe : ffixe d un point; Le vocbulire ser introduit à prtir L vision des nombres complexes est prties réelle et imginire d un nombre de considértions géométriques. d bord géométrique : clculs sur des complexe. Conjugué d un nombre complexe. points du pln. Les repérges crtésien Somme, produit, quotient de nombres et polire introduits en première complexes. conduisent nturellement à deux écritures Module et rgument d un nombre complexe; On retrouver à cette occsion l notion d un nombre complexe. module et rgument d un produit, de coordonnées polires et celle, sous-jcente, L objectif est ensuite de montrer d un quotient. d éqution prmétrique d un cercle l puissnce de ce clcul dns les Écriture e i θ =cosθ + i sinθ. (sous l forme z =z ω + re iθ ou x=x ω + rcos θ, problèmes de géométrie. y=y ω +rsin θ). On introduir dns ce chpitre quelques L nottion exponentielle ser introduite éléments lui donnnt une dimension près voir montré que l fonction historique. θ cosθ + i sinθ vérifie l éqution Les nombres complexes permettent fonctionnelle crctéristique des fonctions de retrouver et de mémoriser les formules exponentielles. trigonométriques d ddition et de dupliction vues en première. Résolution dns CI des équtions du second degré à coefficients réels. Interpréttion géométrique de z z On utiliser les nombres complexes On exploiter à l fois les possibilités vec z =z+b ou z -w=k(z w) vec k réel pour triter des exemples simples offertes pr les nombres complexes et les non nul, ou z w= e iα (z w). de configurtions et résoudre des problèmes risonnements géométriques directs qui fisnt intervenir des trnsltions, réctivent les connissnces ntérieures, des rottions, des homothéties. notmment sur les trnsformtions du pln. Produit sclire dns l espce Rppels sur le produit sclire dns le pln. Expression en repère orthonorml On générliser ux vecteurs de l espce Définition du produit sclire de deux de l distnce d un point à une droite l définition du produit sclire donnée vecteurs dns l espce. Propriétés, dns le pln. dns le pln; à cette occsion, on présenter expression en repère orthonorml. Pln orthogonl à un vecteur pssnt pr un l projection orthogonle sur une droite point. Eqution crtésienne en repère ou sur un pln. orthonorml. Expression de l distnce à un pln. Inéqution définissnt un demi-espce. Droites et plns dns l espce Crctéristion brycentrique d une droite, On reprendr les problèmes d lignement d un pln, d un segment, d un tringle. et de concours déjà bordés en clsse Représenttion prmétrique d une droite de première. Les élèves doivent ussi svoir qu une de l espce. droite de l espce peut être représentée pr Intersection de deux plns, d une droite On fer clirement pprître que les un système de deux équtions linéires. et d un pln, de trois plns. Discussion géométrique; discussion lgébrique. problèmes géométriques considérés ici sont ussi l étude des systèmes d équtions linéires, que l on résoudr lgébriquement. On triter ussi quelques situtions numériques (issues de l nlyse, de situtions économiques ou utres) s y rmennt.
70 MATHÉMATIQUES II.3 Probbilités et sttistique Après voir introduit en clsse de seconde l nture du questionnement sttistique à prtir de trvux sur l fluctution d échntillonnge, on poursuit ici l présenttion entreprise en première des concepts fondmentux de probbilité dns le cs fini vec l notion de conditionnement et d indépendnce et l étude de quelques lois de probbilité. On vise ussi, en complément à l usge des simultions introduit dès l seconde, une première sensibilistion à d utres clsses de problèmes, notmment celui de l déqution d une loi de probbilité à des données expérimentles. Conditionnement et indépendnce Conditionnement pr un événement de probbilité non nulle puis indépendnce de deux événements. Indépendnce de deux vribles létoires. On justifier l définition de l probbilité de B schnt A, notée P A (B), pr des clculs fréquentiels. On utiliser à bon escient les représenttions Un rbre de probbilité correctement telles que tbleux, rbres, digrmmes. construit constitue une preuve. efficces pour résoudre des problèmes de probbilités. Formule des probbilités totles. Appliction à l problémtique des tests Les élèves doivent svoir ppliquer sns de dépistge en médecine et à l loi ide l formule des probbilités totles de l équilibre génétique lors d ppriements dns des cs simples u hsrd. Sttistique et modélistion Appliction ux expériences de références On conviendr, en conformité vec Expériences indépendntes. vues en seconde et première (dés, pièces, l intuition, que pour des expériences Cs de l répétition d expériences identiques urnes ). indépendntes, l probbilité de l liste et indépendntes. des résultts est le produit des probbilités de chque résultt. Lois de probbilité Exemples de lois discrètes On introduir l nottion n!. Le symbole n peut être désigné pr l Introduction des combinisons, notées n. L élève devr svoir retrouver les formules : p ( p) ( ) n n-1 n-1 locution p prmi n. Formule du binôme. ( p) = ( p-1 ) + ( p ) Pour les dénombrements intervennt dns les problèmes, on en rester à des situtions n n élémentires résolubles à l ide d rbres, p = n-p de digrmmes ou de combinisons. ( ) ( ) Loi de Bernoulli, loi binomile; espérnce On ppliquer ces résultts à des situtions L formule donnnt l espérnce ser et vrince de ces lois. vriées. conjecturée puis dmise; l formule de l vrince ser dmise. Exemples de lois continues Lois continues à densité : - loi uniforme sur [0,1] ; Appliction à l désintégrtion rdioctive : Ce prgrphe est une ppliction - loi de durée de vie sns vieillissement. loi exponentielle de désintégrtion des noyux. de ce qui ur été fit en début d nnée sur l exponentielle et le clcul intégrl. Sttistique et simultion Étude d un exemple tritnt de l déqution L élève devr être cpble de poser de données expérimentles à une loi le problème de l déqution à une loi équiréprtie. équiréprtie et de se reporter à des résultts de simultion qu on lui fournit. Le vocbulire des tests (test d hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors progrmme.