Calcul différentiel. A. Ninet

Calcul différentiel A Ninet Septembre 27

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Table des matières 1 Fonctions convexes 7 11 Définition et propriétés élémentaires 7 12 Caractérisations de la convexité 11 13 Applications de la convexité 16 131 Inégalité de Jordan 16 132 Inégalité arithmético-géométrique 17 133 Inégalité de Hölder 17 134 Inégalité de Minkowski 18 135 Inégalité de Jensen 19 2 Applications différentiables 21 21 Rappels et compléments 21 22 Différentiabilité 23 221 Notion de différentiabilité en un point 23 222 Différentiabilité sur un ouvert 25 23 Exemples 26 24 Propriétés 29 25 Cas des espaces produits 33 251 Fonctions à valeurs dans un espace produit 33 252 Fonctions définies sur un espace produit 34 253 Cas particulier 35 3 Accroissements finis et Taylor 37 31 Egalité des accroissements finis 37 32 Inégalité des accroissements finis 38 321 Fonction définie sur un intervalle de R 38 322 Fonction définie sur un ouvert de E 39 323 Applications 39 33 Différentiabilité et différentiabilité partielle 4 34 Différentielle seconde d une application 42 341 Isomorphismes 42 342 Différentielles secondes 43 35 Formules de Taylor 46 351 Formule de Taylor-Young 46 352 Formule de Taylor avec reste integral 48 353 Formule de Taylor-Lagrange 49 36 Extremum d une fonction numérique 5 361 Extremum relatif d une fonction numérique 5 362 Cas E = R n 51 363 Extremum lié d une fonction numérique 53 3

4 TABLE DES MATIÈRES 4 TIL et TFI 57 41 Notion de difféomorphisme 57 411 Différentiabilité de la réciprocation des isomorphismes 57 412 Difféomorphismes 6 42 Théorème d inversion locale 62 43 Théorème des fonctions implicites 67 5 Eléments d étude locale de surfaces de R 3 73 51 Introduction 73 52 Rappels sur les plans et droites de l espace 75 53 Surface de R 3 définie comme un graphe 75 531 Plan tangent à S en un point 75 532 Vecteur normal, droite normale à S en M 76 533 Position de la surface S par rapport au plan tangent en M 77 54 Surface définie par une équation cartésienne implicite 78 55 Surface de R 3 définie par une représentation paramétrique 79

Introduction Ce document correspond au cours de L3 Mathématiques de calcul différentiel donné à Reims de 25 à 28 Il fut inspiré par le cours de T Raoux de calcul différentiel, ainsi que par les ouvrages cités dans la bibliographie Il est disponible sur le bureau virtuel de l URCA : Aller à l adresse http ://seaduniv-reimsfr, Donner son login et son mat de passe, Cliquer sur Gestion des cours et catégories, Cliquer sur S inscrire aux cours, Cliquer sur Licences, Cliquer sur Licence Sciences et Technologies : Mathématiques, mécanique et informatique, Sélectionner le cours auquel on veut s inscrire 5

6 TABLE DES MATIE RES

Chapitre 1 Fonctions convexes Nous allons voir dans ce chapitre les fonctions convexes et leurs propriétés, des caractérisations analytiques et/ou géométriques, puis certaines applications Nous nous intéresseront principalement au cas d une variable réelle 11 Définition et propriétés élémentaires Commençons par définir une fonction convexe Définition 111 Soit I un intervalle de R non réduit à un point Soit f : I R une application ; f est dite convexe sur I si, pour tout (a,b) I 2 et tout λ [,1], on a : f ( λ a + (1 λ) b ) λ f(a) + (1 λ) f(b) On peut aussi donner la définition avec cette variante triviale : Corollaire 112 Soit I un intervalle de R non réduit à un point Soit f : I R une application ; f est convexe sur I si et seulement si pour tout (a,b) I 2 et tout (λ,µ) R 2 + tels que λ + µ = 1, on a : y f(λa + µb) λ f(a) + µ f(b) y = f(x) y=f(x) y = f(x) x y = f(x) Voyons un aspect géométrique de la convexité Pour tout a et b I, le segment [(a,f(a)),(b,f(b))] est au dessus du graphe de f 7

8 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES y y=f(x) a b x On peut le généraliser par le corollaire suivant : Corollaire 113 Soit f : I R, f est convexe si et seulement si son épigraphe epi(f) est une partie convexe du plan, avec : epi(f) = {(x,y) I R / f(x) y} y epi(f) B y=f(x) A x Nous allons maintenant donner un lemme simple, mais qui sera régulièrement utilisé dans les démonstrations et exercices Lemme 114 Soit x < z < y trois réels, alors il existe λ ],1[ tel que : z = λ x + (1 λ) y Démonstration : Il suffit de poser : et vérifier le lemme λ = y z y x Définition 115 Soit I un intervalle de R non réduit à un point Soit f : I R une application ; f est dite strictement convexe sur I si, pour tout (a,b) I 2, a b, et tout λ ],1[, on a : f ( λ a + (1 λ) b ) < λ f(a) + (1 λ) f(b)

11 DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES 9 Définition 116 Une application f est dite concave sur I si -f est convexe sur I, c est-à-dire si, pour tout (a,b) I 2 et tout λ [,1], on a : f ( λ a + (1 λ) b ) λ f(a) + (1 λ) f(b) y y=f(x) x La définition de convexité peut se généraliser Il faut d abord généraliser la notion d intervalle, avec une définition qui va également généraliser le lemme Définition 117 Soit E un R-espace vectoriel et a et b E On note [a,b] et ]a,b[ les ensembles : [a,b] = {µ a + (1 µ) b, µ [,1]} et ]a,b[= {µ a + (1 µ) b, µ ],1[} On peut maintenant définir une fonction convexe sur un espace vectoriel Définition 118 Soit E un R-espace vectoriel et Ω un sous-ensemble de E Soit f : Ω R L application f est dite convexe sur Ω si, pour tout (a,b) Ω 2 tel que [a,b] Ω et tout λ [,1], on a : f ( λ a + (1 λ) b ) λ f(a) + (1 λ) f(b) On remarque le lien avec la notion d ensemble convexe, c est-à-dire tel que pour tout (a,b) Ω 2, on a [a,b] Ω Dans ce cas, l hypothèse sur [a,b] n est bien sûr plus nécessaire Il faut également bien faire attention : l espace de départ doit être un R-espace vectoriel, l espace d arrivé doit être R DANS TOUTE LA SUITE DU CHAPITRE, NOUS TRAVAILLERONS DANS R L ensemble I sera un intervalle non réduit à un point Voyons maintenant quelques propriétés élémentaires des fonctions convexes Proposition 119 Soit I un intervalle de R 1 Soit f et g deux fonctions convexes sur I, alors f + g est convexe sur I 2 Soit f convexe sur I et µ R +, alors µf est convexe sur I 3 Soit J un ensemble et (f j ) j J une famille de fonctions convexes sur I telle que, pour tout x I, supf j (x) < + Alors la fonction g : I R, définie par g(x) = supf j (x) pour j J j J tout x I, est convexe sur I On appelle g l enveloppe supérieure de la famille de fonctions (f j ) j J Démonstration :

1 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES 1 Soit (a,b) I 2 et λ [,1] Alors : (f + g) ( λ a + (1 λ) b ) = f ( λ a + (1 λ) b ) + g ( λ a + (1 λ) b ) Donc f + g est bien convexe sur I 2 Soit (a,b) I 2 et λ [,1] Alors : λ f(a) + (1 λ) f(b) + λ g(a) + (1 λ) g(b) λ (f + g)(a) + (1 λ) (f + g)(b) (µf) ( λ a + (1 λ) b ) = µ f ( λ a + (1 λ) b ) Donc µf est convexe sur I µ ( λ f(a) + (1 λ) f(b) ) car µ λ (µf)(a) + (1 λ) (µf)(b) 3 Soit (a,b) I 2 et λ [,1] Alors, pour tout j J, on a : f j ( λ a + (1 λ) b ) λ fj (a) + (1 λ) f j (b) Comme λ et 1 λ, on en déduit (puisque f j (x) g(x) pour tout x I) que, pour tout j J, f j ( λ a + (1 λ) b ) λ g(a) + (1 λ) g(b) On passe au sup sur J à gauche et on en déduit : g ( λ a + (1 λ) b ) ( ) = supf j λ a + (1 λ) b λ g(a) + (1 λ) g(b) j J Donc g est bien convexe sur I Remarque : Cette proposition reste vraie sur un espace vectoriel quelconque Remarque : L ensemble des fonctions convexes sur I ne forme pas un espace vectoriel, car si λ <, λf sera concave, mais pas convexe en général (à moins d être affine) Remarque : On peut généraliser les deux premiers points de la proposition ainsi : toute combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes sur I est convexe sur I Remarque : Les deux premiers points restent vrais si on remplace partout convexe par strictement convexe Remarque : Le dernier point reste vrai si on l énonce : Soit J un ensemble et (f j ) j J une famille de fonctions strictement convexes sur I Alors la fonction g : I R, définie par g(x) = supf j (x) j J pour tout x I, est convexe sur I Voyons une autre propriété intéressante Proposition 111 Soit f convexe de I dans R et n N, n 2 Alors, pour tout x 1,, x n I et tout λ 1,, λ n tels que λ 1 + + λ n = 1, on a : f(λ 1 x 1 + + λ n x n ) λ 1 f(x 1 ) + + λ n f(x n )

12 CARACTÉRISATIONS DE LA CONVEXITÉ 11 Démonstration : La démonstration se fait par récurrence sur n 2 Pour n = 2, c est la définition de la convexité, car λ 2 = 1 λ 1 Supposons maintenant l hypothèse vérifiée pour un certain n 2 et regardons le cas n + 1 Si l un des λ i, pour 1 i n + 1, est nul, le résultat est vrai par hypothèse de récurrence Si tous les λ i, pour 1 i n + 1, sont non nuls, posons λ = λ 1 + + λ n > Alors λ n+1 = 1 λ > Posons également a = λ 1 x 1 + + λ n x n et b = x n+1 λ On a < λ < 1 et b I Montrons que a I Si on note α I (resp : β I) le plus petit (resp : le plus grand)) des x i, 1 i n, alors, puisque λ i >, on a λ i α λ i x i λ i β et donc, en sommant, on obtient : λ α λ i x i λ β i=1 et finalement α a β On en déduit que a I Puisque f est convexe sur I, on obtient : Or : f(λ 1 x 1 + + λ n x n + λ n+1 x n+1 ) = f ( λ a + (1 λ) b ) λ f(a) + (1 λ) f(b) ( ) λ1 x 1 + + λ n x n λ f(a) = λ f λ ( λ1 λ λ f(x 1) + + λ n λ 1 f(x 1 ) + + λ n f(x n ) ) λ f(x n) par hypothèse de récurrence Donc l hypothèse est vérifiée au rang n + 1, et est donc vraie pour tout n 2 12 Caractérisations de la convexité Nous allons voir, suivant la régularité de f, des caractérisations de la convexité La première que nous allons voir est l une des plus importantes Proposition 121 Soit f : I R, I un intervalle de R contenant au moins deux points distincts La fonction f est convexe sur I si et seulement si, pour tout a I, l application T a : I\{a} R, f(x) f(a) définie par T a (x) =, est croissante sur I\{a} x a Remarque : La fonction T a représente le taux d accroissement de f au voisinage de a Démonstration : Supposons d abord f convexe sur I Soit a I et x, y I\{a} avec x < y Nous avons trois cas possibles : a < x < y, x < a < y, x < y < a

12 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Nous allons traiter le premier cas, les deux autres se faisant de la même façon On pose λ = y x x a >, on a donc x = λ a + (1 λ) y et 1 λ = > Puisque f est y a y a convexe sur I, on en déduit que : f(x) = f ( λ a + (1 λ) y ) λ f(a) + (1 λ) f(y) f(x) f(a) (1 λ) ( f(y) f(a) ) f(x) f(a) x a ( ) f(y) f(a) y a f(x) f(a) x a T a (x) T a (y) f(y) f(a) y a Donc T a est bien croissante Supposons maintenant que, pour tout a I, T a est croissante Soit (x,y) I 2, avec x < y et λ ],1[ On pose a = λ x + (1 λ) y, d où x < a < y On sait que T x (a) T x (y), c est-à-dire : f(a) f(x) a x f(y) f(x) y x Comme x < a < y, on a λ = y a y x et 1 λ = a x y x, d où : f(a) f(x) (1 λ) ( f(y) f(x) ) f(a) (1 λ) f(y) + λ f(x) Donc f est bien convexe sur I Voyons une conséquence géométrique de ce résultat Corollaire 122 Inégalité des trois pentes : Soit f : I R convexe sur I Soit a, b et c I, avec a < b < c Alors : f(b) f(a) b a f(c) f(a) c a f(c) f(b) c b Vu sur un exemple, cela donne ceci : y y=f(x) a b c x

12 CARACTÉRISATIONS DE LA CONVEXITÉ 13 La pente de (a,b) est négative, celle de (b,c) positive Démonstration : Le corollaire se vérifie facilement : on utilise la proposition précédente et on en déduit : par croissance de T a et de T c T a (b) T a (c) = T c (a) T c (b) Remarque : La réciproque est vraie Si l inégalité des trois pentes est vérifiée pour tout a < b < c, on obtient la croissance des fonctions T a pour tout a I et donc la convexité Cela permet de donner une nouvelle propriété des fonctions convexes Théorème 123 Soit f : I R convexe sur I Alors, pour tout a I, il existe une dérivée à droite f d (a) et une dérivée à gauche f g (a) de f en a, et f g (a) f d (a) De plus, f est continue sur I et f g et f d sont croissantes sur I Démonstration : Commençons par montrer l existence des dérivées à gauche et à droite Soit a un point intérieur de I, alors il existe x et y I tels que x < a < y D après la proposition précédente, T a est croissante sur I\{a} et : f(x) f(a) x a f(y) f(a) y a Donc l application T a est croissante et majorée sur I ],a[ par T a (y) Elle admet alors une limite finie en a, qui est f g (a) De même, T a est croissante et minorée sur I ]a,+ [, donc elle admet alors une limite finie en a, qui est f d (a) De plus, on a bien : f g(a) f(x) f(a) f(y) f(a) = lim lim = f x a x a y a + d y a (a) Puisque f admet une dérivée à gauche (resp : à droite) en a, elle est continue à gauche (resp : à droite) en a, et donc f est continue en a, pour tout a I Il reste à montrer que f g et f d sont croissantes sur I On va le montrer pour f g, c est la même chose pour f d Soit a et b I, avec a < b Il existe x et y I tels que x < a < y < b (car I est ouvert dans R) Alors, d après l inégalité des trois pentes appliquée à x < a < y puis à a < y < b, on a : et donc : d où finalement : f(a) f(x) a x Donc f g est bien croissante sur I f(y) f(a) y a f(y) f(b) y b f(a) f(x) lim = f f(y) f(b) x a g (a) a x y b f g f(y) f(b) (a) lim = f y b g y b (b)

14 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Remarque : f convexe sur I est donc continue sur I, mais pas forcément aux bornes de l intervalle Voyons maintenant une conséquence géométrique de ce théorème : Corollaire 124 Soit f : I R une fonction convexe Alors f admet en tout point de I une droite d appui pour son épigraphe Plus précisement, pour tout a I, il existe une application affine g a : R R définie par g a (x) = f(a) + µ a (x a) (avec µ a [f g (a),f d (a)]) vérifiant, pour tout x I, g a (x) f(x) y y=f(x) y=ga(x) x Remarque : On a f(a) = g a (a) pour tout a I Démonstration : On sait, d après la démonstration du théorème, que pour tout y < a < z dans I, on a : f(y) f(a) y a f g(a) f d f(z) f(a) (a) z a On choisit µ a [f g(a),f d (a)] et on pose g a : I R, définie par g a (x) = f(a) + µ a (x a) Alors, pour tout x I : Si x = a, on a f(a) = g a (a) Si x < a, f(x) f(a) f g x a (a) µ a d où f(x) f(a) µ a (x a) et donc : Si x > a, d où µ a (x a) f(x) f(a) et donc : f(x) f(a) + µ a (x a) = g a (x) µ a f d f(x) f(a) (a) x a f(a) + µ a (x a) = g a (x) f(x)

12 CARACTÉRISATIONS DE LA CONVEXITÉ 15 Remarque : Si f est dérivable en a, alors la droite donnée par g a est unique et est la tangente à f en a On en déduit le corollaire suivant : Corollaire 125 Soit f : I R une fonction convexe, dérivable sur I un intervalle ouvert Alors, pour tout a I, on a : f(x) f(a) + f (a) (x a) x I Proposition 126 Une fonction convexe f sur un intervalle I ouvert est l enveloppe supérieure d une famille de fonctions affines Démonstration : Pour tout a I ouvert, on sait qu il existe g a affine telle que g a (a) = f(a) et g a f sur I Notons Φ(x) = supg a (x) pour tout x I a I Alors Φ f (car g a f pour tout a) sur I De plus, pour tout a I, on a Φ(a) g a (a) = f(a) donc Φ f sur I Finalement, on a bien Φ = f Voyons maintenant une caractérisation de la convexité dans le cas d une fonction dérivable Théorème 127 Soit f : I R dérivable sur I Alors f est convexe sur I si et seulement si f est croissante sur I Démonstration : Supposons f convexe sur I Alors, d après un précédent théorème, f est croissante sur I (car si f est dérivable, f = f g = f d qui sont croissantes) Supposons maintenant que f soit croissante sur I On raisonne par l absurde Si f n est pas convexe, alors il existe a < b dans I et λ ],1[ tels que : f(λ a + (1 λ) b) > λ f(a) + (1 λ) f(b) Notons c = λ a + (1 λ) b, on a donc a < c < b et : ce qui équivaut à dire que : Or λ = b c b a et 1 λ = c a b a donc : et finalement : f(c) > λ f(a) + (1 λ) f(b) λ (f(c) f(a)) > (1 λ) (f(b) f(c)) b c b a ( f(c) f(a) ) > c a b a f(c) f(a) c a > f(b) f(c) b c ( f(b) f(c) ) Or, d après l inégalité des accroissements finis, il existe α ]a,c[ et β ]c,b[ tels que : f(c) f(a) = f (α) (c a) et f(b) f(c) = f (β) (b c) On déduit de ce qui précède que f (α) > f (β) et α < β, ce qui est contradictoire avec la croissance de f Donc f est nécessairement convexe sur I

16 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Proposition 128 Si f : I R est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe sur I si et seulement si f sur I C est une conséquence directe du théorème précédent Remarque : Tous les résultats vus dans cette partie peuvent s adapter au cas des fonctions concaves : il suffit de remplacer partout f par f La dernière proposition nous permet de voir facilement que : 1 La fonction exponentielle est convexe sur R car si f(x) = e x, alors f est deux fois dérivable sur R et f (x) = e x 2 La fonction logarithme est concave sur R + car si f(x) = ln x, alors f est deux fois dérivable sur R + et f (x) = 1 x 2 3 Suivant l intervalle sur lequel on se place, les fonctions sinus et cosinus peuvent être convexes, concaves ou ni l un ni l autre Par exemple, [ la dérivée seconde de cosinus étant son opposée, on en déduit que cosinus est concave sur, π ] [ π ], convexe sur 2 2,π et ni concave ni convexe sur [,π] 4 Les applications qui a x associent x 2n (avec n N ) et ln(1 + e x ) sont convexes sur R 5 Les applications affines sont à la fois convexes et concaves sur R Nous allons maintenant voir des applications de la convexité 13 Applications de la convexité 131 Inégalité de Jordan Proposition 131 Pour tout x [, π ], on a : 2 sin x 2 π x Démonstration : [ En effet, la fonction sinus est concave sur, π ] : elle est deux fois dérivable et, pour tout [ 2 x, π ] [, on a : ( sin x) = sinx, donc sin est convexe et sin est concave sur, π ] 2 [ 2 Comme, pour tout x, π ], il existe λ = 2 x [,1] tel que : 2 π x = λ π 2 + (1 λ) et par concavité du sinus, sin x λ sin π 2 + (1 λ) sin = λ 1 + (1 λ) = 2 π x

13 APPLICATIONS DE LA CONVEXITÉ 17 132 Inégalité arithmético-géométrique Proposition 132 Soit n N et x 1,, x n des réels positifs Alors : (x 1 x n ) 1 n x 1 + + x n n Démonstration : Commençons par un cas trivial : si l un au moins des x i est nul, alors l inégalité est évidente Supposons maintenant que tous les x i sont strictement positifs On a vu que le logarithme est concave, donc ln est convexe, et d après une proposition précédente, on a : ( x1 ln n + + x ) n 1 n n ln(x 1) 1 n ln(x n) ( ) x1 + + x n ln 1 n n x 1 + + x n n (x 1 x n ) 1 n par passage à l exponentielle, qui est croissante sur R ( ln(x1 ) + + ln(x n ) ) ) = ln( (x 1 x n ) 1 n 133 Inégalité de Hölder Proposition 133 Soit p > 1 et q > 1 des réels vérifiant 1 p + 1 q = 1 et soit n N Soit a 1,, a n, b 1,, b n des réels positifs Alors : a j b j Démonstration : Si tous les a j ou tous les b j sont nuls, c est trivial Supposons maintenant qu il existe au moins un a i et un b j non nuls On va de nouveau utiliser la concavité du logarithme Pour tout x et y >, on a : ( x ln p + y ) 1 q p ln x + 1 q ln y = ln(x 1 p y 1 q ) et donc par passage à l exponentielle (croissante sur R) : Cette inégalité reste vraie si x ou y est nul On pose maintenant x = ap i a p j et y = formule ci-dessus, pour tout 1 i n : a p j 1 p x p + y q x 1 p y 1 q bq i b q j b q j 1 q, avec 1 i n quelconque On a donc, grâce à la ( a i a p j ) 1/p ( b i b q j ) 1/q a p i p n a p j + q b q i b q j

18 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES On somme sur i, ce qui donne : ( a p j a i b i i=1 ) 1/p ( b q j ) 1/q a p j p n a p j + q b q j b q j = 1 p + 1 q = 1 On en déduit finalement : a i b i 1/p a p j b q j i=1 1/q Remarque : Le cas particulier p = q = 2 nous redonne l inégalité de Schwarz 134 Inégalité de Minkowski Proposition 134 Soit p 1 réel, n N et x 1,, x n, y 1,, y n des réels positifs Alors : (x j + y j ) p 1 p x p j 1 p + y p j 1 p Démonstration : Si p = 1, c est trivial, c est l égalité Si tous les x j et tous les y j sont nuls, c est également trivial Si p > 1 et si au moins un des x j ou des y j est non nul, posons q = p p 1 Ainsi on a 1 p + 1 q = 1 On peut donc utiliser l inégalité de Hölder en posant a j = x j et b j = (x j + y j ) p 1 On obtient : x j (x j + y j ) p 1 x p j 1 p (x j + y j ) (p 1)q 1 q x p j 1 p (x j + y j ) p p 1 p On recommence en posant cette fois a j = y j et b j = (x j + y j ) p 1 On obtient : y j (x j + y j ) p 1 y p j 1 p (x j + y j ) p p 1 p On somme les deux inégalités obtenues, ce qui donne : (x j + y j ) (x j + y j ) p 1 x p j 1 p + y p j 1 p (x j + y j ) p p 1 p

13 APPLICATIONS DE LA CONVEXITÉ 19 Ce qui s écrit aussi : (x j + y j ) p x p j 1 p + y p j 1 p (x j + y j ) p p 1 p On en déduit donc que : (x j + y j ) p 1 p x p j 1 p + y p j 1 p Remarque : x j p 1 p Cette inégalité justifie le fait que l application R n R, qui à (x 1,,x n ) associe, vérifie l inégalité triangulaire et est donc une norme sur R n (les autres hypothèses sont facilement vérifiables) 135 Inégalité de Jensen Proposition 135 Soit f :]a, b[ R convexe sur ]a, b[ Soit g : [, 1] ]a, b[ intégrable sur [, 1] 1 Alors g(x) dx ]a,b[ et : f 1 g(x) dx 1 (f g)(x) dx Démonstration : On sait que pour tout x [,1], on a a < g(x) < b, donc : 1 1 1 a = a dx < g(x) dx < b dx = b Puisque f est convexe sur ]a, b[ ouvert, f est l enveloppe supérieure d une famille de fonctions affines (Ψ j ) j J, avec J un ensemble C est-à-dire que pour tout y ]a,b[, f(y) = supψ j (y) j J

2 CHAPITRE 1 FONCTIONS CONVEXES Puisque Ψ j est affine, elle peut s écrire Ψ j (y) = α j y +β j pour tout y ]a,b[ On en déduit que : 1 (Ψ j g)(x) dx = 1 α j g(x) + β j dx = α j 1 1 g(x) dx + β j dx = α j 1 = Ψ j 1 g(x) dx + β j g(x) dx Or, pour tout j J, on a Ψ j f, donc Ψ j g f g et finalement : On obtient donc : 1 Ψ j (Ψ j g)(x) dx 1 g(x) dx 1 1 (f g)(x) dx (f g)(x) dx Or, pour tout y ]a,b[, on rappelle que f(y) = supψ j (y), donc : j J f 1 g(x) dx = sup Ψ j j J 1 g(x) dx 1 (f g)(x) dx

Chapitre 2 Applications différentiables Avant de commencer, nous allons faire quelques rappels et compléments sur les espaces vectoriels normés, la continuité et les applications linéaires Les notions nouvelles seront vues en détail en Ma52 dans le courant de ce semestre 21 Rappels et compléments Soit K un corps (pour nous, K = R) Commençons par la définition d un espace vectoriel Définition 211 Soit E un ensemble, + une loi de composition interne (+ : E E E) et une loi de composition externe ( : K E E) On dit que E est un K-espace vectoriel si (E,+) est un groupe commutatif, c est-dire si, pour tout (x,y,z) E 3, on a : x+y = y+x, (x+y)+z = x+(y+z), x+ = +x = x, x E / x+( x) = ( x)+x = et si on a, pour tout (x,y) E 2 et tout (λ,µ) K 2 : (λ+µ) x = λ x+µ x, λ (x+y) = λ x+λ y, (λµ) x = λ (µ x), 1 x = x Remarque : Dans un espace vectoriel, on peut donc additionner (ou soustraire) deux éléments On peut aussi multiplier un élément de l espace vectoriel par un élément du corps Mais ON NE PEUT PAS multiplier deux éléments de l espace vectoriel entre eux, ou les diviser Rappelons maintenant la définition d une norme sur un espace vectoriel Définition 212 Soit E un R-espace vectoriel On appelle norme sur E toute application N : E R + vérifiant les propriétés : 1 x E, N(x) = x =, 2 λ R, x E, on a N(λx) = λ N(x), 3 (x,y) E 2, on a N(x + y) N(x) + N(y) La dernière propriété est appelée inégalité triangulaire On dit alors que E est un espace vectoriel normé, ce que l on notera plus simplement evn On notera généralement la norme de x E ainsi : x E au lieu de N(x) Un espace vectoriel normé est naturellement un espace topologique On peut alors définir la continuité sur des evn 21

22 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Définition 213 Soit E et F deux R-espaces vectoriels de normes respectives E et F, Ω un ouvert de E Soit f : Ω F Soit a Ω On dit que f est continue en a si, pour tout ε >, il existe η > tel que, pour tout x Ω, x a E < η = f(x) f(a) F < ε On dit que f est continue sur Ω si elle est continue en chaque point de Ω Il y a un cas particulier, qui nous servira continuellement dans la suite du cours, celui des applications linéaires Définition 214 Soit E et F deux R-espaces vectoriels et f : E F On dit que f est linéaire si elle vérifie les propriétés suivantes : 1 (x,y) E 2, on a f(x + y) = f(x) + f(y), 2 λ R, x E, on a f(λx) = λ f(x) On dit aussi que f est un morphisme de R-espace vectoriel, et on note L(E,F) l ensemble des applications linéaires de E sur F Proposition 215 Soit E et F deux R-espaces vectoriels normés et soit f L(E,F) Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1 f est continue sur E 2 f est continue en 3 f est bornée sur la boule unité fermée D(,1) de E 4 f est bornée sur la sphère unité S(,1) de E 5 il existe une constante M telle que, pour tout x E, on ait f(x) F M x E 6 f est lipschitzienne, c est-à-dire qu il existe une constante k > telle que, pour tout (x,y) E 2, on a : f(x) f(y) F k x y E 7 f est uniformément continue sur E L ensemble des applications de L(E,F) qui vérifient ces propositions est noté L c (E,F) Remarque : On rappelle que D(,1) = {x E / x E 1} et S(,1) = {x E / x E = 1} Remarque : En général, on se sert du point 2 ou du point 5 pour montrer la continuité d une application linéaire Proposition 216 Si f L c (E,F), il existe un réel positif M tel que, pour tout M, ( x E, f(x) F M x E ) = M M f(x) F On note alors M = f = sup = sup f(x) F = sup f(x) F et on appelle x E x E x E 1 x E =1 la norme d application linéaire (continue) Remarque : L c (E,F) muni de la norme est un R-espace vectoriel normé Proposition 217 Si E est de dimension finie, alors L(E,F) = L c (E,F) Autrement dit, toute application linéaire d un espace vectoriel de dimension finie sur un espace vectoriel quelconque est continue On peut étendre ces notions des applications linéaires aux applications bilinéaires

22 DIFFÉRENTIABILITÉ 23 Définition 218 Soit E, F et G trois R-espaces vectoriels et f : E F G On dit que f est bilinéaire si elle vérifie les propriétés suivantes : 1 (x,y) E 2, z F, α R, on a f(αx + y,z) = αf(x,z) + f(y,z), 2 x E, (y,z) F 2, α R, on a f(x,αy + z) = αf(x,y) + f(x,z) On a également une caractérisation pour la continuité d une application bilinéaire Proposition 219 Soit E, F et G trois R-espaces vectoriels normés et f : E F G une application bilinéaire Alors f est continue sur E F si et seulement s il existe une constante M > telle que, pour tout (x,y) E F, f(x,y) G M x E y F 22 Différentiabilité Dans toute la suite de ce chapitre, E, F et G désigneront des R-espaces vectoriels normés, de normes respectives E, F et G Commençons par rappeler la notion de dérivée d une application de R dans R Soit f : I R, I un intervalle ouvert de R On dit que f est dérivable en un point a I si f(x) f(a) admet une limite quand x tend vers a dans I On note alors cette limite f (a), ce x a qu on peut écrire ainsi : f f(a + h) f(a) (a) = lim h h Notre but est de généraliser cette notion pour une application f : E F, E et F des R-evn quelconques 221 Notion de différentiabilité en un point Définition 221 Soit Ω un ouvert de E et f : Ω F Soit a Ω On dit que f est différentiable en a s il existe une application linéaire continue L (L L c (E,F)), un voisinage ouvert V de dans E et une application ε : V F tels que, pour tout h V, f(a + h) = f(a) + L(h) + h E ε(h) et lim h E ε(h) F = Quelques remarques : Il est nécessaire de se restreindre à des vecteurs h de V afin de garantir que a+h soit dans Ω, l ensemble de définition de f C est-à-dire qu on choisit V ouvert de E tel que V et V {h E / a + h Ω} On écrira aussi Lh au lieu de L(h) Dans certains ouvrages, on trouvera f dérivable en a au lieu de f différentiable en a Afin d éviter les confusions, on utilisera toujours dans ce cours le terme différentiable On réservera le terme dérivable pour le seul cas réel On a plusieurs caractérisations de la différentiabilité Par exemple, en utilisant la notation o : Corollaire 222 Soit Ω un ouvert de E et f : Ω F Soit a Ω On dit que f est différentiable en a s il existe L L c (E,F) telle que : au voisinage de dans E f(a + h) = f(a) + L(h) + o(h)

24 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES La caractérisation suivante est très utile en pratique Corollaire 223 Soit Ω un ouvert de E et f : Ω F Soit a Ω On dit que f est différentiable en a s il existe L L c (E,F) telle que : f(a + h) f(a) L(h) F lim = h E h E Ce ne sont que des reécritures directes de la définition Proposition 224 Si f est différentiable en a, l application linéaire continue L est unique Nous aurons besoin du lemme suivant pour la démonstration : Lemme 225 Soit E un R-espace vectoriel normé, Ω un ouvert de E non vide et x Ω Soit v E\{}, il existe un intervalle ouvert I de R contenant tel que {x + tv / t I} Ω La démonstration sera faite en Ma52 Démonstration : Supposons qu il existe L 1, L 2 linéaires continues de E sur F, ε 1 : V 1 F et ε 2 : V 2 F qui vérifient la définition au point a Ω On a alors, pour tout h V = V 1 V 2, f(a + h) f(a) = L 1 (h) + h E ε 1 (h) = L 2 (h) + h E ε 2 (h) et donc L 1 (h) L 2 (h) = h E ε 1 (h) + h E ε 2 (h), soit (L 1 L 2 )(h) = h E (ε 2 (h) ε 1 (h)) Alors, d après le lemme (en prenant Ω = V, x = et v = h), il existe un intervalle ouvert I contenant tel que pour tout t I, on a th V, et donc : On passe à la norme de F : d où, puisque L 1 L 2 est linéaire, on a : (L 1 L 2 )(th) = th E (ε 2 ε 1 )(th) (L 1 L 2 )(th) F = t h E (ε 2 ε 1 )(th) F, (L 1 L 2 )(h) F = h E (ε 2 ε 1 )(th) F t On en déduit que L 1 L 2 est nulle sur V, et donc sur E, d où l égalité On peut alors, puisqu il y a unicité, définir la différentielle : Définition 226 Soit Ω un ouvert de E et f : Ω F Soit a Ω Si f est différentiable en a, l application linéaire continue L L c (E,F) est appelée différentielle de f en a, et est notée Df(a) Remarque : Avec les notations de la définition, on a, pour tout h V, f(a + h) = f(a) + Df(a)h + h ε(h) Remarque : ATTENTION, Df(a) n est pas un réel, c est une application linéaire continue Dans le cas où E = F = R, on peut identifier Df(a) et le réel f (a), mais c est le seul cas où

22 DIFFÉRENTIABILITÉ 25 c est possible (voir exemples) Remarque : Dans certains ouvrages, on peut trouver au lieu de Df(a) la notation df(a), Df a ou f (a), ainsi que les appellations dérivée de f en a ou application linéaire tangente à f en a Dans ce cours, nous utiliserons toujours, pour des raisons de compréhension et afin d éviter les malentendus, la notation Df(a) En effet, nous utiliserons plus loin la notation d t f(a) pour les dérivées partielles et la notation f (a) sera réservée uniquement au cas réel Nous allons maintenant étendre la notion de différentiabilité à un ouvert 222 Différentiabilité sur un ouvert Définition 227 On dit que f : Ω F est différentiable sur Ω (ouvert de E) si f est différentiable en chaque point de Ω, et on note D 1 (Ω,F) l ensemble des applications de Ω dans F différentiables sur Ω On appelle alors différentielle de f l application Df : Ω L c (E,F) qui, à tout a Ω, associe Df(a) Comme L c (E,F) muni de la norme est un espace vectoriel normé, il est possible de regarder si Df est continue sur Ω Définition 228 On dit que f est de classe C 1 sur Ω à valeurs dans F si f D 1 (Ω,F) et si Df est continue sur Ω On note C 1 (Ω,F) l ensemble des fonctions de classe C 1 sur Ω à valeurs dans F On notera C (Ω,F) l ensemble des fonctions continues sur Ω à valeurs dans F Remarque : L application Df est continue au point a Ω si et seulement si : lim Df(a + h) Df(a) = h E On peut, du coup, se demander si l application Df est différentiable Définition 229 On dit que f est deux fois différentiable (noté f D 2 (Ω,F)) sur Ω si f D 1 (Ω,F) et si Df est différentiable sur Ω On note alors D 2 f = D(Df) Remarque : Si elle existe, D 2 f : Ω L c (E,L c (E,F)) et D 2 f(a) L c (E,L c (E,F)) pour tout a Ω De plus, pour tout a Ω et tout h E, on a D 2 f(a)h L c (E,F) et pour tout k E, (D 2 f(a)h)k F Définition 221 On dit que f est de classe C 2 sur Ω (noté f C 2 (Ω,F)) si f D 2 (Ω,F) et si D 2 f est continue sur Ω On peut alors, par récurrence, étendre ces notions Définition 2211 Soit k N, k 2 Par récurrence, on dit que f est k fois différentiable (noté f D k (Ω,F)) si f D k 1 (Ω,F) et si D k 1 f est différentiable sur Ω On note alors D k f = D(D k 1 f) On dit que f est de classe C k sur Ω (noté f C k (Ω,F)) si f D k (Ω,F) et si D k f est continue sur Ω Si f est de classe C k pour tout k N, on dit que f est de classe C Nous allons maintenant voir quelques exemples élémentaires d applications différentiables Remarque : Il faut bien comprendre de quel objet on parle à chaque fois :

26 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES La différentielle Df est une application sur Ω à valeur dans L c (E,F) : Df : Ω L c (E,F) En tout point a Ω, Df(a) est une application linéaire continue de E dans F, c est-à-dire Df(a) L c (E,F) et donc : Df(a) : E F En tout point a Ω et h E, on a Df(a)h F 23 Exemples 1) Application différentiable L application f : R 2 R, qui à tout (x,y) (,) associe f(x,y) = x + x2 y 2 x 2 et telle + y2 que f(,) = est différentiable sur R 2 En effet, elle est différentiable sur R 2 \{(,)} comme quotient de fonctions polynômiale dont le dénominateur ne s annule pas (voir propriétés dans la partie suivante) En (,), soit (h 1,h 2 ) R 2 \{(,)} : f(h 1,h 2 ) f(,) = h 1 + h2 1 h2 2 h 2 1 + h2 2 L application qui à (h 1,h 2 ) R 2 associe h 1 est linéaire (trivialement) et continue sur R 2 (espace de dimension finie) C est un bon candidat à la différentielle Regardons : Donc : f(h 1,h 2 ) f(,) h 1 (h 1,h 2 ) 2 = h 1 2 h 2 2 (h 1,h 2 ) 3 2 (h 1,h 2 ) 4 2 (h 1,h 2 ) 3 2 f(h 1,h 2 ) f(,) h 1 lim = (h 1,h 2 ) (,) (h 1,h 2 ) 2 = (h 1,h 2 ) 2 et on en conclue que f est différentiable en (,), de différentielle Df(,) : R 2 R, qui à (h 1,h 2 ) R 2 associe Df(,)(h 1,h 2 ) = h 1 2) Application non différentiable en un point L application f : R 2 R, qui à tout (x,y) (,) associe f(x,y) = x y2 x 2 et telle que + y2 f(,) = est différentiable sur R 2 \{(,)}, mais pas à l origine En effet, elle est différentiable sur R 2 \{(,)} comme quotient de fonctions polynômiale dont le dénominateur ne s annule pas En (,), soit (h 1,h 2 ) R 2 \{(,)} : f(h 1,h 2 ) f(,) = h 1 h 2 2 h 2 1 + h2 2 L application qui à (h 1,h 2 ) R 2 associe est linéaire continue sur R 2 C est un bon candidat à la différentielle Regardons : f(h 1,h 2 ) f(,) = h 1 h 2 2 (h 1,h 2 ) 2 (h 1,h 2 ) 3 2

23 EXEMPLES 27 Cette fonction n a pas de limite en (,), donc soit f n est pas différentiable en (,), soit le candidat choisi pour la différentielle n est pas le bon Une proposition de la prochaine partie (celle sur les dérivées directionnelles) nous permettra de confirmer que cette fonction n est pas différentiable en (,) 3) Cas E = F = R : Proposition 231 Soit f : I R R et a I, un intervalle ouvert de R Alors, f est différentiable en a si et seulement si f est dérivable en a (au sens classique vu antérieurement) De plus, pour tout h V, Df(a)h = f (a) h Démonstration : En effet, si f est différentiable en a, il existe une application linéaire continue L L c (R, R), un intervalle ouvert V contenant et une fonction ε : V R tels que f(a+h) f(a) = L(h)+ h ε(h) et lim ε(h) = h Or, puisque L L c (R, R), il existe un réel L tel que pour tout h R, L(h) = L h D où f(a + h) f(a) f(a + h) f(a) = L h + h ε(h) et donc lim = L, ce qui montre que f est h h dérivable en a et f (a) = L La réciproque est vraie, si f est dérivable en a, alors f f(a + h) f(a) (a) existe et lim f (a) = h h f(a + h) f(a) f (a)h = lim et, puisque l application h f (a)h est linéaire (et donc continue car en dimension finie), f est différentiable en h h a Remarque : On peut donc identifier l application linéaire Df(a) avec la dérivée f (a), BIEN QU IL S AGISSE DE DEUX OBJETS DISTINCTS 4) Cas d une application constante : Proposition 232 Soit f : Ω F constante sur Ω Alors f C (Ω,F) et pour tout k N, D k f = Démonstration : En effet, soit a Ω, pour tout h V = {h E / a + h Ω}, f(a + h) = f(a) = f(a) + + h E donc on a bien f différentiable en tout point a Ω et Df = Par récurrence, on a alors D k f = pour tout k N 5) Cas d une application linéaire continue : Proposition 233 Soit f L c (E,F) Alors f C (E,F) et on a, pour tout a E, Df(a) = f et pour tout k 2, D k f(a) =

28 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Démonstration : En effet, pour tout h E, on a par linéarité de f : f(a + h) = f(a) + f(h) = f(a) + f(h) + h E Comme f est linéaire continue, on a bien f différentiable et Df(a) = f De plus, l application Df est constante, et d après l exemple précédent, on a D k f = pour tout k 2 6) Cas d une application bilinéaire continue : Proposition 234 Soit f : E F G bilinéaire continue (E F muni de la norme produit) Alors f C (E F,G) et, pour tout (a,b) E F et tout (h,k) E F, on a : De plus, pour tout (a,b) E F, on a : Démonstration : On a, par bilinéarité : Df(a,b)(h,k) = f(a,k) + f(h,b) D 2 f(a,b) = Df et D k f(a,b) = k 3 f(a + h,b + k) = f(a,b) + f(a,k) + f(h,b) + f(h,k) Posons L(h,k) = f(a,k) + f(h,b) Alors L L(E F,G) car f est bilinéaire et L est continue car : L(h,k) G = f(a,k) + f(h,b) G f(a,k) G + f(h,b) G Or, comme f est bilinéaire continue, on a f(a,k) G f a E k G, donc : L(h,k) G f ( a E k F + h E b F ) f ( a E + b F ) max( h E, k F ) f ( a E + b F ) (h,k) E F d où L L c (E F,G) Il ne reste plus qu à vérifier : f(a + h,b + k) f(a,b) L(h,k) G (h,k) E F = f(h,k) G (h,k) E F f h E k F (h,k) E F f (h,k) 2 E F (h,k) E F f (h,k) E F (h,k) Donc f est bien différentiable sur E F, et de plus on peut vérifier que Df est linéaire continue sur E F En effet, d après une majoration précédente, on a Df(a,b) f ( a E + b F ) et donc Df(a,b) 2 f (a,b) E F En conséquence, d après l exemple précédent, on a en plus que D 2 f = Df et D k f = pour tout k 3

24 PROPRIÉTÉS 29 24 Propriétés Proposition 241 Soit f : Ω E F Les propriétés suivantes sont toujours vraies 1 Si f est différentiable en a Ω, alors f est continue en a 2 La notion de différentiabilité est une notion locale (c est-à-dire que si Ω Ω ouvert de E tel que a Ω, alors f différentiable en a implique f Ω est différentiable en a) 3 La différentielle est inchangée si on remplace une des normes par une norme équivalente Démonstration : 1 Si f est différentiable en a, alors pour tout h V, on a : f(a + h) f(a) = Df(a)h + h E ε(h) d où f(a + h) f(a) F Df(a)h F + h E ε(h) F et, puisque Df(a) est linéaire continue, d où la continuité en a f(a + h) f(a) F ( Df(a) + ε(h) F ) h E h 2 Ce point est trivial, il suffit d écrire la définition au voisinage V = {h V / a + h Ω } de dans E En effet, pour tout h V, on a f Ω (a + h) = f(a + h) 3 Il suffit simplement de remarquer qu une application linéaire reste continue si on prend une norme équivalente (voir Ma52), et que la limite de f(a + h) f(a) L(h) F h E reste si on prend des normes équivalentes Corollaire 242 Ce résultat nous donne la relation suivante : k N, D k+1 (Ω,F) C k (Ω,F) D k (Ω,F) ce qu on peut aussi écrire : C (Ω) C k+1 (Ω) D k+1 (Ω) C k (Ω) D k (Ω) C 1 (Ω) D 1 (Ω) C (Ω) Nous allons définir la dérivée suivant un vecteur avant de continuer les propriétés Définition 243 Dérivée suivant un vecteur : Soit f : Ω E F, a Ω et v E\{} Si l application ϕ : I F, définie par ϕ(t) = f(a + tv) (I un intervalle ouvert de R contenant obtenu par un lemme précédent), admet une dérivée en, on dit que f est dérivable suivant le vecteur v, et on appelle dérivée de f en a dans la direction v la dérivée ϕ () f(a + tv) f(a) Remarque : Cela revient à dire que lim t t dérivée de f en a dans la direction v existe dans F Cette limite sera la On a la proposition suivante : Proposition 244 Si f admet une différentielle en a, alors pour tout v E\{}, f admet en a une dérivée dans la direction v, qui est le vecteur Df(a)v

3 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES PREUV E : Pour tout t I, on a : d où ϕ(t) = f(a + tv) = f(a) + Df(a)(tv) + tv E ε(tv) = ϕ() + t Df(a)v + t v E ε(tv) ϕ(t) ϕ() t = Df(a)v + t t v E ε(tv) t Df(a)v et donc ϕ est dérivable en, de dérivée ϕ () = Df(a)v La notion de vecteur dérivée est utile pour essayer, dans des cas difficiles, de déterminer la différentielle de f en a, mais le fait qu une fonction soit dérivable dans toutes les directions n implique pas qu elle soit différentiable En effet, la réciproque de la proposition est fausse Vous verrez en TD des exemples d applications dérivables dans toutes les directions, mais n étant pas différentiables au point concerné Par exemple, la fonction f : R 2 R définie par f(x,y) = xy2 x 2 si (x,y) (,) et f(,) = + y2 n est pas différentiable au point (,) bien qu elle y admette des dérivées partielles dans toutes v x vy 2 les directions : si v = (v x,v y ), alors la dérivée directionnelle est vx 2 +, qui n est pas linéaire v2 y en v, ce qui contredit l existence de la différentielle à l origine (car dans ce cas, cette expression serait Df(, )v) Nous allons voir maintenant une propriété de linéarité de la différentiation Proposition 245 Soit Ω un ouvert de E, a Ω, f et g : Ω F différentiables en a Alors, pour tout λ et µ réels, λf + µg est différentiable en a et D(λf + µg)(a) = λdf(a) + µdg(a) PREUV E : Pour tout h V, on a : I(h) = (λf + µg)(a + h) (λf + µg)(a) λdf(a)h µdg(a)h h = λ f(a + h) f(a) Df(a)h h + µ g(a + h) g(a) Dg(a)h h h car f et g sont différentiables en a De plus, λdf(a) + µdg(a) est bien une application linéaire continue de E sur F (car somme de deux applications linéaires continues) Ce qui prouve la proposition Voyons maintenant un théorème de composition Théorème 246 Soit f : Ω F, Ω un ouvert de E, et soit g : Ω G, Ω un ouvert de F, avec f(ω) Ω Si f est différentiable en a Ω et si g est différentiable en f(a), alors g f est différentiable en a et : D(g f)(a) = Dg(f(a)) Df(a)

24 PROPRIÉTÉS 31 Remarque : On rappelle que D(g f)(a) L c (E,G), Dg(f(a)) L c (F,G) et Df(a) L c (E,F) et, pour tout h E, D(g f)(a)h = Dg(f(a))[Df(a)h], composée de deux applications linéaires continues PREUV E : Il est clair, d après la remarque ci-dessus, que Dg(f(a)) Df(a) L c (E,G) Il ne reste donc plus qu à montrer que la bonne expression tend vers quand h tend vers Puisque f et g sont différentiables en a et f(a) respectivement, on a, pour tout h V et tout k V : f(a + h) = f(a) + Df(a)h + h E ε(h) g ( f(a) + k ) = g ( f(a) ) + Dg(f(a))k + k F ε (k) On peut donc écrire, pour tout h V, (g f)(a + h) = g ( f(a + h) ) = g ( f(a) + Df(a)h + h E ε(h) ) Or Df(a)h + h E ε(h) est voisin de F et tend vers F quand h tend vers E ; il peut donc jouer le rôle de k et on a alors : (g f)(a + h) = g(f(a)) + Dg(f(a)) ( Df(a)h + h E ε(h) ) + ( Df(a)h + h E ε(h) F ) ε ( Df(a)h + h E ε(h) ) En utilisant la linéarité de Dg(f(a)), on obtient finalement : On en déduit que : (g f)(a + h) = (g f)(a) + Dg(f(a))(Df(a)h) + h E Dg(f(a))(ε(h)) + ( Df(a)h + h E ε(h) F ) ε ( Df(a)h + h E ε(h) ) I(h) = (g f)(a + h) (g f)(a) ( Dg(f(a)) Df(a) ) h G h E = h E Dg(f(a))(ε(h)) + ( Df(a)h + h E ε(h) F ) ε ( Df(a)h + h E ε(h) ) G h E h E Dg(f(a))(ε(h)) G + h E ( Df(a) + ε(h) F ) ε ( Df(a)h + h E ε(h) ) G h E Dg(f(a))(ε(h)) G + ( Df(a) + ε(h) F ) ε ( Df(a)h + h E ε(h) ) G Par des considérations de linéarité et de continuité de Df(a) et de Dg(f(a)), on obtient bien que : (g f)(a + h) (g f)(a) ( Dg(f(a)) Df(a) ) h G lim = h h E et donc g f est bien différentiable en a, de différentielle Dg(f(a)) Df(a) Le théorème suivant complète le précédent : Théorème 247 Si de plus f C 1 (Ω) et g C 1 (Ω ), alors g f C 1 (Ω)

32 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Démonstration : On peut voir, pour tout a Ω, D(g f)(a) comme B ( Df(a),Dg(f(a)) ), où B est l opérateur de composition B : L c (E,F) L c (F,G) L c (E,G) défini par B(u,v) = v u Cet opérateur est bilinéaire continu En effet, la bilinéarité est évidente, et pour la continuité, pour tout x Ω, B(u,v)(x) G = v(u(x)) G v u(x) F v u x E donc B(u, v) v u et B est continue Puisque chaque différentielle est supposée continue et que B est continue, D(g f) est continue, et donc g f est de classe C 1 sur Ω On peut généraliser ces théorèmes de composition car B est de classe C (comme application bilinéaire continue) Théorème 248 Sous les mêmes hypothèses, si f D k (Ω) et g D k (Ω ), alors g f D k (Ω) Si f C k (Ω) et g C k (Ω ), alors g f C k (Ω) Pour finir, on a le cas particulier des applications à valeurs réelles : Proposition 249 Soient f et g deux applications de Ω ouvert de E dans R, différentiables en a Ω Alors fg est différentiable en a et D(fg)(a) = f(a) Dg(a) + g(a) Df(a) Remarque : Il est évident que cette formule ne peut se généraliser pour des fonctions à valeurs dans un espace vectoriel normé quelconque, ce dernier n ayant a priori pas de loi de multiplication interne PREUV E : Il suffit de passer par la définition : (fg)(a + h) = ( f(a) + Df(a)h + h ε(h) ) ( g(a) + Dg(a)h + h ε (h) ) donc, si on passe à la valeur absolue : = (fg)(a) + g(a) Df(a)h + f(a) Dg(a)h + (Df(a)h) (Dg(a)h) + h [ ε(h) ( g(a) + Dg(a)h + h ε (h) ) + ε (h) ( f(a) + Df(a)h )] I(h) = (fg)(a + h) (fg)(a) ( f(a) Dg(a)h + g(a) Df(a) ) h h Df(a) Dg(a) h + ε(h) g(a) + Dg(a)h + h ε (h) + ε (h) f(a) + Df(a)h h et donc, puisque f(a) Dg(a) + g(a) Df(a) est linéaire continue de E sur R, on a bien le résultat voulu

25 CAS DES ESPACES PRODUITS 33 25 Cas des espaces produits 251 Fonctions à valeurs dans un espace produit On considèrera dans cette partie des espaces vectoriels normés E, F i (1 i p) et F, avec F = F 1 F p muni de la norme produit : pour tout y = Soit f : Ω F avec Ω ouvert de E On écrira f = f i (x) F i Théorème 251 Les propriétés suivantes sont toujours vérifiées : f 1 f p y 1 y p F, y F = max 1 i p y i Fi, c est-à-dire que, pour tout x Ω, 1 f est différentiable en a Ω si et seulement si, pour tout 1 i p, f i est différentiable en a Dans ce cas, pour tout h E, Df(a)h = 2 f D 1 (Ω,F) 1 i p, f i D 1 (Ω,F i ) 3 f C 1 (Ω,F) 1 i p, f i C 1 (Ω,F i ) Df 1 (a)h Df p (a)h 4 Soit k N, on a f D k (Ω,F) 1 i p, f i D k (Ω,F i ) 5 Soit k N, on a f C k (Ω,F) 1 i p, f i C k (Ω,F i ) PREUV E : 1 On se basera sur le théorème de composition Pour tout 1 i p, on note Π i : F F i la i eme projection qui, à tout y F, associe y i F i On note c i : F i F le plongement canonique qui, à tout y i F i, associe y i F On voit sans problème que ces deux applications sont linéaires, et on va montrer qu elles sont continues En effet, Π i (y) Fi = y i Fi y F et c i (y i ) F = y i Fi donc les deux applications sont continues, de norme au plus 1 On sait alors qu elles sont de classe C (voir les exemples), donc en particulier de classe C 1, et que DΠ i (y) = Π i et Dc i (y i ) = c i pour tout 1 i p, y F et y i F i p On remarque que f = c i f i et f i = Π i f, donc, d après le théorème de composition i=1 et celui de linéarité de la différentiation, on a bien : - si f est différentiable en a Ω, alors f i est différentiable et Df i (a) = DΠ i (f(a)) Df(a) =

34 CHAPITRE 2 APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Π i Df(a) - si toutes les f i sont différentiables en a, f l est aussi et : Df(a) = p Dc i (f i (a)) Df i (a) = i=1 p c i Df i (a) i=1 2 On applique le résultat qu on vient de montrer à tous les points de Ω 3 C est toujours le théorème de composition, appliquer avec les fonctions du 1 4 Même chose que ci-dessus (on a remarqué que les applications c i et Π i sont de classe C ) 5 Même chose que ci-dessus 252 Fonctions définies sur un espace produit Soient E, E j (1 j n) et F des espaces vectoriels normés, avec E = E 1 E n muni de la norme d espace produit : pour tout x = (x 1,,x n ) E, x E = max 1 j n x j Ej Soit f : Ω F, Ω un ouvert de E Soit a Ω fixé, on définit les n applications partielles de f en a, ϕ 1,, ϕ n par : ϕ 1 (t) = f(t,a 2,,a n ), avec t E 1 tel que (t,a 2,,a n ) Ω, ϕ j (t) = f(a 1,,a j 1,t,a j+1,,a n ), avec t E j tel que (a 1,,a j 1,t,a j+1,,a n ) Ω, pour tout 2 j n 1, ϕ n (t) = f(a 1,,a n 1,t), avec t E n tel que (a 1,,a n 1,t) Ω Pour tout 1 j n, on pose α j : E j E qui à t associe (a 1,,a j 1,t,a j+1,,a n ), et c j : E j E le plongement canonique qui à t associe (,,t,,,) On remarque alors que α j est de classe C car α j (t) = c j (t) + (a 1,,a j 1,,a j+1,,a n ), et on a vu plus haut que c j est C On a également Dα j (t) = Dc j (t) = c j et on remarque que ϕ j = f α j Une conséquence de tout ceci est que Ω j = {t E j / (a 1,,a j 1,t,a j+1,,a n ) Ω} = α 1 j (Ω) est un ouvert de E j Les applications ϕ j sont donc définies sur des ouverts : ϕ j : Ω j F t f α j Définition 252 Si ϕ j est différentiable en a j, on appelle Dϕ j (a j ) la j eme différentielle partielle de f en a On la note généralement j f(a) L c (E j,f) Remarque : On ne la note pas j f(a j ) car ϕ j dépend a priori de tous les coefficients de a, pas uniquement de a j On a la propriété suivante pour les différentielles partielles : Proposition 253 Avec les notations précédentes, 1 si f est différentiable en a, alors j f(a) existe pour tout 1 j n et on a, pour tout h = (h 1,,h n ) E, Df(a)h = j f(a)h j

25 CAS DES ESPACES PRODUITS 35 2 si f C 1 (Ω,F), alors pour tout 1 j n, j f : x j f(x) est continue de Ω dans L c (E j,f) PREUV E : 1 Puisque ϕ j = f α j, grâce au théorème de composition, si f est différentiable en a, nécessairement ϕ j l est en a j De plus, Dϕ j (a j ) = Df(α j (a j )) Dα j (a j ) = Df(a) c j On en déduit que, pour tout h j E j, on a : j f(a)h j = Dϕ j (a j )h j = Df(a)(c j (h j )) = Df(a)(,,,h j,,,) Par linéarité de la différentielle, on obtient la formule : j f(a)h j = Df(a)(,,,h j,,,) = Df(a) (,,,h j,,,) = Df(a)h 2 Si f est de classe C 1 sur Ω, alors comme j f(x) = Df(x) c j = B(c j,df(x)) et B et c j sont continues, j f l est aussi Remarque : La réciproque est fausse, particulièrement dans le cas de R n Les dérivées partielles peuvent exister mais la fonction n être pas différentiable Il faut que les dérivées partielles soient continues On a donc une réciproque du point 2, mais pas du point 1 : Théorème 254 Soit Ω un ouvert de E = E 1 E n et f : Ω F f est de classe C 1 sur Ω si et seulement si pour tout 1 j n, j f existe et continue sur Ω La démonstration de ce résultat sera faite dans le chapitre suivant Il est vrai en pariculier dans le cas E = R n et F = R p 253 Cas particulier On regarde le cas particulier où E = R n et F = R p, et f : Ω R n R p, différentiable en a Ω D après ce qui précède, cela revient à dire que chaque composante f i de f est différentiable en a, et donc admet une différentielle partielle par rapport à x j, c est-à-dire que j f i (a) existe Or cette différentielle partielle est la différentielle d une application définie sur un ouvert de R et à valeurs réelles On peut donc l identifier à sa dérivée, qu on note f i x j (a) et qu on appelle dérivée partielle de f i en a par rapport à sa jème variable On peut la voir comme la dérivée de f i dans la direction e j = (,,,1,,,) en a : f i f i (a + he j ) f i (a) f i (a 1,,a j 1,a j + h,a j+1,,a n ) f i (a) (a) = lim = lim x j h h h h On a alors, pour tout h j R : j f i (a)h j = f i x j (a) h j