Calcul différentiel 1 Licence de Mathématiques

Clcul différentiel 1 Licence de Mthémtiques

Tble des mtières Avertissement 5 Chpitre 1. Préliminires 7 1. Espces vectoriels normés 7 2. Convergence, continuité 10 3. Vocbulire topologique 13 4. Compcité, connexité, complétude 16 5. Applictions linéires et multilinéires 20 6. Sclristion 26 Chpitre 2. Fonctions d une vrible 29 1. Dérivtion des fonctions à vleurs vectorielles 29 2. Intégrtion des fonctions à vleurs vectorielles 32 3. L formule de Tylor 39 4. Fonctions convexes 41 Chpitre 3. Applictions différentibles 45 1. Définitions 45 2. Fonctions à vleurs dns R m ; fonctions définies sur R n 49 3. Fonctions composées 57 4. AF et TFA 61 5. Fonctions de clsse C 2 64 Chpitre 4. Extrem 71 1. Introduction 71 2. Compcité et existence d extrem 71 3. Conditions sur les différentielles première et seconde 72 4. Le cs des fonctions convexes 79 5. Extrem liés 82 Chpitre 5. Inversion locle, fonctions implicites 91 1. Applictions linéires inversibles 91 2. Difféomorphismes 92 3. Le théorème d inversion locle 94 4. Le théorème des fonctions implicites 100 3

Avertissement Dns tout ce qui suit, on considérer uniquement des espces vectoriels réels. Autrement dit, l expression espce vectoriel signifier toujours R-espce vectoriel. 5

CHAPITRE 1 Préliminires 1. Espces vectoriels normés 1.1. Normes sur un espce vectoriel. Définition 1.1. Une norme sur un espce vectoriel E est une ppliction de E dns R, notée u u ou, vérifint les propriétés suivntes : (1) u 0 pour tout u E, et u = 0 seulement pour u = 0 ; (2) λu = λ u pour tout u E et pour tout λ R ; (3) u + v u + v pour tous u, v E (inéglité tringulire). Un espce vectoriel normé est un espce vectoriel muni d une norme. Pour bréger, on écrir en générl evn u lieu de espce vectoriel normé. Remrque. Il rriver souvent qu on considère plusieurs espces vectoriels normés E, F, G... en même temps. En générl, on utiliser l même nottion pour l norme de chcun des espces. S il est bsolument nécessire d être plus précis, on écrir E, F, G,... Exemple 1. L vleur bsolue est une norme sur E = R, le module est une norme sur E = C. On supposer toujours que R et C sont munis de ces normes cnoniques. Exemple 2. (normes usuelles sur R n ) Soit n N. On définit des normes, 1 et 2 sur E = R n en posnt, pour x = (x 1,..., x n ) R n : x = mx( x 1,..., x n ), x 1 = x j, x 2 = j=1 x 2 1 + + x2 n. Dns l suite, on utiliser principlement l norme. Remrque. Même si on ur tendnce à privilégier l norme, il est bon d jouter quelques mots sur l norme 2. Cette norme s ppelle l norme euclidienne. Pr définition, on x 2 = x, x, où, est le produit sclire usuel sur R n. L norme euclidienne et le produit sclire sont églement reliés pr l très importnte inéglité de Cuchy-Schwrz : si x, y R n, lors x, y x 2 y 2. Il n est ps évident que 2 est effectivement une norme : l inéglité tringulire x+y 2 x 2 + y 2 n est ps immédite. On peut l démontrer en développnt x + y 2 2 = x + y, x + y et en utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz. Enfin, pour n = 2, l norme euclidienne n est rien d utre que l norme module sur C = R 2. 7

8 1. PRÉLIMINAIRES Exemple 3. Soit [, b] un intervlle fermé borné de R, et soit C([, b]) l espce vectoriel constitué pr toutes les fonctions continues u : [, b] R. On définit une norme sur C([, b]) en posnt u = sup { u(t) ; t [, b]}. Exemple 4. (espce produit) Soient E 1,..., E n des evn, et soit E = E 1 E n. Écrivons chque vecteur u E sous l forme u = (u(1),..., u(n)), où u(j) E j. Alors l formule ) u = mx ( u(1) E1,..., u(n) En définit une norme sur E = E 1 E n, qu on ppelle l norme produit. Chque fois qu on considérer un espce produit E 1 E n, on supposer implicitement qu il est muni de l norme produit. (Ceci est en ccord vec le choix de l norme sur R n = R R). Exercice 1. Démontrer ce qui est dit dns les exemples 2, 3 et 4. Exercice 2. Soit E un evn. Montrer que si u E et u 0 (donc u 0), lors u u = 1. Exercice 3. Soit E un evn. Montrer que si u, v E, lors : u v u v u + v. L première de ces inéglités s ppelle l inéglité tringulire inverse. 1.2. Normes équivlentes. Définition 1.2. Soient et deux normes sur un espce vectoriel E. On dit que et sont équivlentes si on peut trouver deux constntes c > 0 et C < telles que u E : c u u C u. Remrque. L terminologie n est ps délirnte : on définit bien insi une reltion d équivlence sur l ensemble de toutes les normes sur E. (Exercice : vérifier). Exercice 1. Montrer que les normes, 1 et 2 sur R n sont équivlentes. Exercice 2. Pour u C([0, 1]), on pose u 1 = 1 0 u(t) dt. Montrer que 1 est une norme sur C([0, 1]), mis qu elle n est ps équivlente à. Le théorème suivnt signifie en gros que lorsqu on est en dimension finie (et pour ce qui v nous intéresser), le choix de l norme n ucune importnce. Il s git évidemment d un résultt très utile, et donc très importnt. Il n est ps nécessire de svoir refire l démonstrtion, qui est un peu compliquée. En revnche, il est essentiel de connitre l énoncé et de svoir l utiliser. Théorème 1.3. Sur un espce vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivlentes. Démonstrtion. Tout espce vectoriel de dimension finie étnt isomorphe à R n pour un certin n 1, il s git de montrer que toutes les normes sur R n sont équivlentes. Pour cel, il suffit de prouver que toute norme sur R n est équivlente à.

1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS 9 Étpe 1. Si est une norme sur R n, il existe une constnte C < telle que C. Démonstrtion. Si u = (u(1),..., u(n)) R n et si on note (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n, lors u = u(j)e j j=1 u(j)e j = j=1 u(j) e j j=1 u e j, puisque u(j) u pour tout j. On obtient donc le résultt souhité vec C := n 1 e j (qui est bien une constnte indépendnte de u R n ). Étpe 2. Si est une norme sur R n, il existe une constnte c > 0 telle que c. Démonstrtion. C est l prtie difficile. On v démontrer le résultt pr récurrence sur n. Pour n = 1, ce n est ps compliqué : si est une norme sur R 1 = R, lors u = u 1 = u 1 = c u pour tout u R 1, où c = 1 est bien strictement positif cr 1 0. Supposons le résultt vri pour n 1, et démontrons le pour n + 1. Soit une norme sur R n+1. Pr l bsurde, on suppose qu il n existe ps de constnte c > 0 telle que c. Cel signifie que pour tout c > 0, on peut trouver un vecteur u c R n+1 tel que u c < c u c. On u c 0 (d près l inéglité stricte), donc on peut définir v c = uc u c Alors v c = 1 et j=1 v c = 1 u c u c < c. En prennt c = 1/k pour tout k N et en posnt v k = v 1/k, on obtient insi une suite (v k ) R n+1 telle que v k = 1 pour tout k et v k 0. Écrivons v k = (v k (1),..., v k (n + 1)). Pr définition de, on peut choisir pour tout k un indice j k {1,..., n} tel que v k (j k ) = v k = 1. Comme il y une infinité d entiers k et un nombre fini d indices j {1,..., n}, il existe u moins un j {1,..., n} tel que j k = j pour une infinité de k. On peut pr exemple supposer que j = n + 1, et on obtient insi une sous-suite (v k ) de (v k) telle que v k (n + 1) = 1 pour tout k, utrement dit v k (n + 1) = ±1. De même, il y une infinité de k tels que v k (n + 1) = 1, ou bien une infinité de k tels que v k (n + 1) = 1. On peut pr exemple supposer qu on est dns le premier cs, ce qui donne une sous-suite (v k ) de (v k ) (et donc une sous-suite de (v k )) telle que v k (n + 1) = 1 pour tout k. Pour simplifier les nottions, on chnge le nom de v k qu on ppelle à nouveu v k. Au totl, on insi trouvé une suite (v k ) R n+1 telle que v k (n+1) = 1 = v k pour tout k et v k 0.

10 1. PRÉLIMINAIRES Le point clé est mintennt le suivnt : si p, q N, lors (v q v p )(n+1) = 0. Donc, on peut considérer v q v p comme un vecteur de R n, en identifint R n à R n {0} R n+1. Pr hypothèse de récurrence, il existe une constnte c > 0 telle que u c u pour tout u R n = R n {0}. En prennt u := v q v p, on en déduit qu on (1.1) v q (j) v p (j) (1/c ) v q v p pour tous p, q N et pour tout j {1,..., n}. D utre prt, on églement v q v p v q + v p d près l inéglité tringulire, et donc v q v p 0 qund p, q. D près (1.1), cel montre que pour tout j {1,..., n}, l suite (v k (j)) k N est une suite de Cuchy dns R, et est donc convergente (critère de Cuchy). Pour chque j {1,..., n}, il existe donc un nombre réel v(j) tel que v k (j) v(j) qund k. Si mintennt on pose v = (v(1),..., v(n), 1) R n+1, lors v k (j) v(j) pour tout j {1,..., n + 1} puisque v k (n+1) 1. Pr définition de l norme, cel entrine que v k v 0 (Exercice). Et comme C pour une certine constnte C (d près l étpe 1), on en déduit que v k v 0. D près l inéglité tringulire, on v v v k + v k pour tout k N. Comme v k 0 et v k v 0, on en déduit v 0 en fisnt tendre k vers l infini, et donc v = 0. Comme est une norme, cel signifie que v = 0. Mis ceci est bsurde puisque l (n + 1)-ième coordonnée de v vut 1. On donc obtenu une contrdiction, ce qui chève l démonstrtion pr récurrence. Au totl, les fits 1 et 2 donnent le théorème. Exercice. Soit N N. Déterminer les meilleures constntes c n et C n telles que c n u u 2 C n u pour tout u R n. 2.1. Suites convergentes. 2. Convergence, continuité Définition 2.1. Soient E un evn, (u k ) k N une suite d éléments de E, et u E. On dit que l suite (u k ) converge vers u si u k u tend vers 0 qund k. Avec des quntificteurs, cel s écrit ε > 0 K k K : u k u ε. (On pourrit tout ussi bien écrire < ε u lieu de ε : pourquoi?). Remrque. Les suites convergentes restent les mêmes si on remplce l norme de E pr une norme équivlente. En prticulier, dns un espce vectoriel de dimension finie, les suites convergentes sont les mêmes quelle que soit l norme utilisée, et on peut donc prler de convergence sns fire explicitement référence à ucune norme. Exercice. Montrer qu on unicité de l limite ; utrement dit, qu une suite (u k ) ne peut ps converger vers deux points différents. Exemple 1. Une suite réelle ou complexe converge pour l norme vleur bsolue ou module si et seulement si elle converge u sens usuel.

2. CONVERGENCE, CONTINUITÉ 11 Exemple 2. Une suite (u k ) R n converge dns R n (pour n importe quelle norme) si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée. Autrement dit, si on écrit u k = (u k (1),..., u k (n)) et u = (u(1),..., u(n)), lors u k u si et seulement si u k (j) u(j) pour tout j {1,..., n}. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, il suffit de le voir pour l norme. C est un exercice fcile, qu il fut bsolument svoir fire (et qui d illeurs déjà été utilisé dns l preuve du théorème 1.3). Exemple 3. Une suite (u k ) C([, b]) converge pour l norme si et seulement si elle converge uniformément sur [, b]. Pour cette rison, l norme s ppelle l norme de l convergence uniforme. Exemple 4. Dns un evn produit E = E 1 E n, une suite converge si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée. Démonstrtion. Exercice (le même que dns l exemple 2). 2.2. Le théorème de Bolzno-Weierstrss. Une suite (u k ) dns un evn E est dite bornée s il existe une constnte M < (indépendnte de k) telle que u k M pour tout k N. Il n est ps difficile de montrer que toute suite convergente est bornée (exercice). L réciproque est évidemment fusse : considérer pr exemple u k = ( 1) k dns E = R. Le très importnt résultt suivnt donne cependnt une réciproque prtielle en dimension finie. Rppelons qu une sous-suite de (u k ) est une suite (u k ) de l forme u k = u n k, où (n k ) est une suite croissnte d entiers tendnt vers l infini. Théorème 2.2. (Bolzno -Weierstrss) Toute suite bornée dns un evn de dimension finie possède une sous-suite convergente. Démonstrtion. Pr équivlence des normes en dimension finie, il suffit de le voir lorsque l evn est R n muni de l norme. Soit (u k ) une suite bornée dns (R n, ), et écrivons u k = (u k (1),..., u k (n)). Fixons églement une constnte M telle que u k M pour tout k N. Comme u k (1) u k M pour tout k, l suite (u k (1)) k N est bornée dns R. D près le théorème de Bolzno -Weierstrss usuel, on peut donc trouver une sous-suite (u k ) de (u k) et un nombre réel l 1 tels que u k (1) l 1 qund k. Mintennt, l suite (u k (2)) est bornée dns R cr u k (2) u k M, donc on peut trouver l 2 R et une sous-suite (u k ) de (u k ) tels que u k (2) l 2. Alors (u k ) est une sous-suite de (u k) telle que u k (1) l 1 et u k (2) l 2. En poursuivnt ce risonnement, on obtient près n extrctions une sous-suite (v k ) de (u k ) et n nombres réels l 1,..., l n tels que v k (j) l j pour tout j {1,..., n}. Si on pose u = (l 1,..., l n ) R n, lors (v k ) converge vers u coordonnée pr coordonnée, et donc u sens de l norme. Exercice. Pour k N, soit u k : [0, 1] R l fonction nulle sur les intervlles [0, 1/(2k+ 1)] et [1/(2k 1), 1], vlnt 1 u point t = 1/2k, et ffine sur les intervlles [1/(2k 1), 1/2k] et [1/2k, 1/(2k+1)]. Montrer que l suite (u k ) est bornée dns (C([0, 1]), ) mis ne possède ucune sous-suite convergente. 2.3. Applictions continues. Définition 2.3. Soient E et F deux evn, et soit A E. On dit qu une ppliction f : A F est continue en un point A si f(u) tend vers f() qund u tend vers ; utrement dit (vec des quntificteurs) : ε > 0 δ = δ(, ε) > 0 u A : u < δ = f(u) f() ε.

12 1. PRÉLIMINAIRES (C est l même chose si on écrit δ et/ou < ε ). On dit qu une ppliction f : A F est continue sur A si elle est continue en tout point A. Remrque 1. Cette définition est exctement l même que pour les fonctions réelles d une vrible réelle : on remplce simplement les vleurs bsolues pr des normes. Remrque 2. Les pplictions continues restent les mêmes si on remplce les normes pr des normes équivlentes. En prticulier, on peut prler d pplictions continues entre deux evn de dimension finie sns fire explicitement référence à ucune norme. Exemple 1. On dit qu une ppliction f : A F est lipschitzienne s il existe une constnte C < telle que u, v A : f(v) f(u) C v u. (Dns ce cs, on dit que f est C-lipschitzienne). Il est immédit que toute ppliction lipschitzienne est continue sur (on peut prendre δ(, ε) = ε/c pour tout A). Exemple 2. Les pplictions coordonnées sont continues sur R n. Autrement dit, pour tout j {1,..., n}, l ppliction π j : R n R définie pr π j (x 1,..., x n ) = x j est continue sur R n Démonstrtion. Pr équivlence des normes, on peut supposer que R n est muni de l norme. Si u = (x 1,..., x n ) et v = (y 1,..., y n ), lors π j (v) π j (u) = y j x j v u, ce qui prouve que l ppliction π j est lipschitzienne. Exercice. Montrer que si E est un evn, lors l ppliction u u est continue sur E. Le résultt suivnt est souvent très utile. Proposition 2.4. (crctéristion séquentielle de l continuité) Pour une ppliction f : A F, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) f est continue en un point A ; (ii) pour toute suite (u k ) A convergent vers, l suite (f(u k )) tend vers f(). Démonstrtion. Exercice (qu il fut bsolument svoir fire). Corollire 2.5. Soit f : A R m, et écrivons f(u) = f 1 (u). f m(u) si et seulement si les pplictions f 1,..., f m sont continues.. Alors f est continue Démonstrtion. C est immédit en utilisnt des suites, puisque l convergence dns R m est l convergence coordonnée pr coordonnée. Remrque. Ce corollire est importnt cr il permet de se rmener u cs des fonctions à vleurs réelles (et non plus vectorielles). Proposition 2.6. L continuité est préservée pr somme, produit (pour les fonctions à vleurs réelles ou complexes), quotient (qund il est défini), composition (qund elle un sens). Démonstrtion. Autre exercice à svoir fire bsolument. Le plus délict est en fit le cs du produit : voir le cours d nlyse de 1ère nnée si besoin est, ou l preuve de l proposition 5.9.

3. VOCABULAIRE TOPOLOGIQUE 13 Conséquence prtique. Soit f(x 1,..., x n ) une formule explicite dépendnt de n vribles x 1,..., x n R et n utilisnt que des fonctions usuelles. Alors l fonction f est continue sur son domine de définition. Ce n est ps un énoncé précis, mis il est clir que cel découle imméditement de l proposition : toute formule explicite f(x 1,..., x n ) est construite à prtir des pplictions coordonnés (qui sont continues) en utilisnt des fonctions usuelles (donc continues), des sommes, des produits et des compositions. L chose importnte est qu il fut déterminer précisément le domine de définition de l fonction. Exemple 1. L formule f(x, y) = log(x y) e xy 1 définit une fonction continue. Quel est son domine de définition? Exemple 2. L ppliction M det(m) est continue sur M n (R). Démonstrtion. On identifie M n (R) à R n2 en ssimilnt une mtrice M à l liste de ses coefficients (près voir choisi un ordre d énumértion). L formule définissnt le déterminnt montre que det(m) est une fonction polynomile des coefficients de M, d où l continuité. Remrque. Il fut tout de même fire un peu ttention vec l expression formule explicite. Il ne doit y voir qu une seule formule : une définition pr cs ne rentre ps dns l ctégorie formule explicite. Pr exemple, on ne peut ps invoquer l proposition précédente pour justifier que l fonction f : R 2 R définie pr f(x, y) = x 2 y x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) et f(0, 0) = 0 est continue sur R 2. Exercice 1. Soient E et F deux evn, et soit f : E F. Soit églement Ω un ouvert de E (voir l section suivnte). Montrer que f est continue en tout point de Ω si et seulement si l restriction de f à Ω est continue. Est-ce encore vri si Ω est une prtie quelconque de E? Exercice 2. Soit f : R 2 R. Montrer que l fonction f est continue en (0, 0) si et seulement si f(r cos θ, r sin θ) tend vers f(0, 0) uniformément pr rpport à θ R qund r 0 +. Exercice 3. Montrer que l fonction f de l remrque précédente est effectivement continue sur R 2. 3.1. Boules. 3. Vocbulire topologique Définition 3.1. Soit E un evn, E et ε 0. L boule ouverte de centre et de ryon ε, notée B(, ε), est l ensemble des points u E vérifint u < ε : B(, ε) = {u E; u < ε}. L boule fermée de centre et de ryon ε, notée B(, ε), est définie pr B(, ε) = {u E; u ε}. Exemple 1. Si E = R muni de l vleur bsolue, lors B(, ε) est l intervlle ouvert ] ε, + ε[ et B(, ε) = [ ε, + ε]. Si E = C muni du module, lors B(, ε) est le disque ouvert de centre et de ryon ε, et B(, ε) est le disque fermé correspondnt.

14 1. PRÉLIMINAIRES Exemple 2. Si E = (R 2, ), lors B(, ε) est le crré de centre dont les côtés sont prllèles ux xes de coordonnée et de longueur 2ε. Exercice 1. Dessiner l boule fermée B(0, 1) dns E = (R 2, 1 ). Exercice 2. Montrer que dns tout evn E, une boule B (ouverte ou fermée) est toujours un ensemble convexe : si u, v B, lors le segment [u, v] est entièrement contenu dns B. On rppelle que le segment [u, v] est défini nlytiquement pr [u, v] = { (1 t)u + tv; t [0, 1] }. Exercice 3. Dns l définition des boules, l vleur ε = 0 est utorisée. Déterminer B(, 0) et B(, 0). 3.2. Ouverts et fermés. Définition 3.2. Soit E un evn. On dit qu un ensemble Ω E est un ouvert de E si, pour tout point Ω, on peut trouver r = r() > 0 tel que B(, r) Ω. Remrque 1. On obtient une définition équivlente en écrivnt B(, r) u lieu de B(, r). Pourquoi? Remrque 2. Les ouverts restent les mêmes si on remplce l norme de E pr une norme équivlente. Démonstrtion. Exercice. Exemple. Dns R, tout intervlle ouvert (borné ou non) est un ouvert. Exercice 1. Montrer que Ω = {(x, y) R 2 ; xy > 1} est un ouvert de R 2. Exercice 2. Montrer que toute boule ouverte d un evn E est un ouvert de E. Proposition 3.3. Soit E un evn. L fmille des ouverts de E vérifie les propriétés suivntes : (0) et E sont ouverts ; (1) toute réunion d ouverts est un ouvert ; (2) toute intersection finie d ouverts est un ouvert. Démonstrtion. Un exercice qu il fut svoir fire. Remrque. Si E est un ensemble quelconque, une fmille de prties de E vérifint (0), (1) et (2) s ppelle une topologie sur E. C est ce qui explique le titre de cette section ( vocbulire topologique ). Définition 3.4. Soit E un evn. On dit qu un ensemble C E est un fermé de E s il possède l propriété suivnte : chque fois qu une suite (u k ) C converge dns E, s limite pprtient encore à C. Exemple. Dns R, tout intervlle fermé (borné ou non, éventuellement réduit à un point) est un fermé. Exercice. Montrer que, E et toute boule fermée de E sont des fermé de E. Proposition 3.5. Soit E un evn. Un ensemble C E est fermé si et seulement si son complémentire E \ C est ouvert. Démonstrtion. Encore un exercice qu il fut svoir fire.

3. VOCABULAIRE TOPOLOGIQUE 15 Corollire 3.6. Si E est un evn, lors l fmille des fermés de E est stble pr intersections quelconques et réunions finies. Démonstrtion. C est immédit pr pssge ux complémentires, en utilisnt l proposition 3.3. L proposition suivnte crctérise l continuité en termes d ouverts et/ou de fermés. Dns l prtique, c est presque toujours ce résultt qu on utilise pour vérifier qu un ensemble est ouvert ou fermé. Proposition 3.7. Soient E et F deux evn, et soit Φ : E F. Les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) Φ est continue sur E ; (ii) Φ 1 (V ) est ouvert dns E, pour tout ouvert V F ; (ii ) Φ 1 (C) est fermé dns E, pour tout fermé C F. Démonstrtion. D près l proposition 3.5 et le fit que f 1 (F \A) = E\f 1 (A) pour tout ensemble A F, il et clir que (ii) et (ii ) sont équivlentes. L équivlence de (i) et (ii) est un exercice qu il fut svoir fire. Exemple 1. L ensemble Ω = {(x, y) R 2 ; x y, x + y > 3 et x 2 + y 2 < 6} est un ouvert de R 2, et l ensemble C = {(x, y, z) R 3 ; x y 5 et x 6 + y 2 z 4 = 1} est un fermé de R 3. Démonstrtion. Soient Φ 1, Φ 2 et Φ 3 les trois fonctions de R 2 dns R définies pr Φ 1 (x, y) = x y, Φ 2 (x, y) = x + y et Φ 3 (x, y) = x 2 + y 2. Ces trois fonctions sont continues (formules explicites), et on Ω = Φ 1 1 (R \ {0}) Φ 1(]3, + [) Φ 1(], 6[). 2 Comme R\{0}, ]3, + [ et ], 6[ sont des ouverts de R, on voit donc que Ω pprit comme l intersection de trois ouverts de R 2. D près l proposition 3.3, on en déduit que Ω est ouvert. On montre de l même mnière que C est un fermé de R 3, en l écrivnt comme intersection de deux fermés définis pr des fonctions continues bien choisies. Remrque. Ce qu il fut retenir de ces deux exemples est le slogn suivnt : un ensemble défini pr un nombre fini de non-églités et d inéglités strictes est ouvert, et un ensemble défini pr un nombre fini d églités et d inéglités lrges est fermé. Exemple 2. L ensemble des mtrices inversibles est un ouvert de M n (R). Démonstrtion. Si on pose Φ(M) = det(m), lors l fonction Φ est continue sur M n (R) et l ensemble des mtrices inversibles est exctement Φ 1 (R \ {0}). Exercice. Donner un exemple d ensemble A R qui n est ni ouvert ni fermé. 3.3. D utres mots. On renvoie u cours de topologie pour l définition d utres termes topologiques comme voisinge, intérieur, dhérence et frontière. Si A est une prtie d un evn E, on noter Å son intérieur, A son dhérence, et A s frontière. Exercice 1. Quelle est l frontière de Ω = {(x, y) R 2 ; xy > 1} dns R 2? Exercice 2. Montrer que dns un evn E, l dhérence d une boule ouverte de ryon ε > 0 est l boule fermée correspondnte. 3

16 1. PRÉLIMINAIRES 4. Compcité, connexité, complétude 4.1. Prties compctes d un evn. Définition 4.1. Soit E un evn, et soit K E. On dit que K est compct si, de toute suite (u k ) K, on peut extrire une sous-suite convergente dont l limite pprtient à K. Remrque 1. Les ensembles compcts restent les mêmes si on remplce l norme pr une norme équivlente. On peut donc prler de compcts dns un espce vectoriel de dimension finie sns fire explicitement référence à une norme. Remrque 2. Tout compct K E est fermé dns E et borné (il existe une constnte M telle que u K : u M). Démonstrtion. Exercice à svoir fire. Proposition 4.2. Dns un evn de dimension finie, les ensembles compcts sont exctement les ensembles fermés et bornés. Démonstrtion. Soit E un evn de dimension finie. D près l remrque 2 cidessus, il suffit de montrer que si K E est fermé et borné, lors K est compct. Soit donc (u k ) une suite quelconque d éléments de K. Alors (u k ) est bornée cr K est borné. Comme E est de dimension finie, on peut ppliquer le théorème de Bolzno- Weierstrss (théorème 2.2) : l suite (u k ) possède une sous-suite convergente (u k ). De plus, comme K est fermé dns E, l limite de l suite (u k ) pprtient à K. Remrque. En dimension finie, pour montrer qu un ensemble est borné, on peut choisir l norme qu on veut pr équivlence des normes. Exemple 1. L ensemble K = {(x, y) R 2 ; x 2 + 3y 2 1} est un compct de R 2. Démonstrtion. Il est clir que K est fermé (il est défini pr une inéglité lrge). De plus, si u = (x, y) K lors x 2 1 et y 2 1/3 (cr l somme de 2 termes positifs est plus grnde que chcun des 2 termes), utrement dit x 1 et y 1/ 3. Donc u 1 pour tout u K, et pr conséquent, K est borné. Exemple 2. L ensemble des mtrices orthogonles est un compct de M n (R). Démonstrtion. Pr définition, une mtrice M est orthogonle si et seulement t MM = I. Si on pose Φ(M) = t MM, lors Φ est une ppliction continue de M n (R) dns M n (R) (les coefficients de Φ(M) sont des fonctions polynomiles de ceux de M), et O n (R) = Φ 1 ({I}). Pr conséquent, O n (R) est un fermé de M n (R). D utre prt, on sit que si M est une mtrice orthogonle, lors ses vecteurs colonnes sont de norme euclidienne égle à 1. En prticulier, tous les coefficients de M sont u plus égux à 1 en vleur bsolue, et donc M 1, où l norme est définie pr ( ij ) = mx i,j ij. Pr conséquent, O n (R) est borné dns M n (R). Exercice 1. Soit E = (C([0, 1], ). Donner un exemple d ensemble fermé et borné dns E qui ne soit ps compct. Exercice 2. Montrer que si (x n ) est une suite convergente dns un evn E et si on pose x = lim x n, lors l ensemble K = {x } {x n ; n N} est un compct de E. Exercice 3. Montrer que si K 1 et K 2 sont deux compcts dns des evn E 1 et E 2, lors K 1 K 2 est compct dns E 1 E 2.

4. COMPACITÉ, CONNEXITÉ, COMPLÉTUDE 17 L importnce de l compcité vient des deux théorèmes suivnts. Théorème 4.3. Soit K un compct d un evn E. Si f : K R est une fonction continue, lors f est bornée et tteint ses bornes. Démonstrtion. On se contente de montrer que f est mjorée et tteint s borne supérieure. Soit M = sup{f(u); u K}. (Pr convention, on pose sup A = pour un ensemble A non mjoré). Pr définition de M, on peut trouver une suite (u k ) K telle que f(u k ) M. Comme K est compct, on peut supposer, quitte à extrire une sous-suite, que l suite (u k ) converge vers un certin u K. Alors f(u k ) f(u) pr continuité, et donc f(u) = M. Cel prouve à l fois que M < (i.e. que f est mjorée) et que f tteint s borne supérieure. Exercice 1. Soit K un compct de C contenu dns Ω = {z C; Re(z) > 0}. Montrer qu on peut trouver α > 0 tel que z K : Re(z) α. Exercice 2. Soit Ω = {z C; Re(z) > 0}. Montrer que l série e nz converge normlement sur tout compct de Ω. Théorème 4.4. Soit K un compct d un evn E, et soit F un utre evn. Si : K F est continue, lors f est uniformément continue. Autrement dit, étnt donné ε > 0, on peut prendre le même δ de continuité pour tous les points K. Démonstrtion. Avec des quntificteurs, il s git de montrer l chose suivnte (comprer vec l définition de l continuité) : ε > 0 δ = δ(ε) > 0, u K : u < δ = f(u) f() < ε. Supposons que cel ne soit ps vri. Alors on peut trouver ε 0 > 0 tel que δ > 0, u K : u < δ et f(u) f() ε 0. En prennt δ = 1/k (où k N ), on obtient deux suites ( k ), (u k ) K telles que u k k 0 et f(u k ) f( k ) ε 0 pour tout k N. Comme K est compct, on peut supposer, quitte à extrire une sous-suite, que ( k ) converge vers un certin K. Alors u k = (u k k ) + k tend églement vers puisque u k k 0. Pr continuité, f( k ) et f(u k ) tendent tous les deux vers f(), et donc f(u k ) f( k ) 0. Comme f(u k ) f( k ) ε 0 > 0 pour tout n, on obtient donc une contrdiction. Voici une conséquence ce théorème qui nous ser utile plus trd. Corollire 4.5. Soit Ψ : I [, b] F une ppliction continue, où I est une prtie d un evn E et [, b] est un intervlle compct de R. Pour tout t I, notons Ψ(t, ) l fonction continue x Ψ(t, x). Alors l ppliction t Ψ(t, ) est continue de I dns C([, b]). Démonstrtion. Soit (t n ) une suite de points de I convergent vers t I. Alors l ensemble K = {t n ; n N} {t } est compct, donc K [, b] églement, et donc l fonction Ψ est uniformément continue sur K [, b]. Il est lors fcile de vérifier que Ψ(t n, x) tend vers Ψ(t, x) uniformément sur [, b], ce qui signifie que Ψ(t n, ) tend vers Ψ(t, ) dns l espce C([, b]).

18 1. PRÉLIMINAIRES 4.2. Ouverts connexes d un evn. Définition 4.6. Soit Ω un ouvert d un evn E. On dit que Ω est connexe s il est impossible de prtitionner Ω en deux ouverts non vides. Autrement dit, s il est impossible d écrire Ω = Ω 0 Ω 1, où Ω 0 et Ω 1 sont des ouverts non vides et Ω 1 Ω 2 =. Il fut connitre cette définition, mis on renvoie u cours de topologie pour plus de détils. Le seul résultt dont on ur besoin (et en fit, on pourrit s en psser) est l proposition ci-dessous. Appelons ligne brisée dns un evn E tout ensemble L constitué d un nombre fini de segments mis bout à bout (et pouvnt éventuellement se recouper) ; utrement dit, tout ensemble du type L = [ 0, 1 ] [ 1, 2 ] [ N 1, N ], où les i sont des points de E (ce qu on vient d écrire suppose N 2, mis bien entendu un segment [ 0, 1 ] est ussi une ligne brisée). De mnière équivlente, une ligne brisée est l imge d une ppliction γ : [0, 1] E continue et ffine pr morceux. (Exercice : montrer que c est bien l même chose). Proposition 4.7. Soit E un evn. Pour un ouvert Ω E, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) Ω est connexe ; (ii) deux points quelconques de Ω peuvent toujours être reliés pr une ligne brisée entièrement contenue dns Ω. Démonstrtion. Pour montrer que (i) entrine (ii), supposons Ω connexe. Soit u Ω fixé. Il suffit de montrer que tout point v Ω peut être relié à u pr une ligne brisée contenue dns Ω, puisque u est un point rbitrirement choisi de Ω. Notons Ω 0 l ensemble des points v Ω qui peuvent être reliés à u, et Ω 1 l ensemble des points qui ne peuvent ps être reliés à u. Il s git de montrer que Ω 1 est vide. Comme Ω est supposé connexe et comme Ω 0 n est ps vide (il contient u grâce à l ligne brisé trivile L = [u, u]), il suffit pour cel de montrer que Ω 0 et Ω 1 sont tous les deux ouverts. Soit v Ω 0 quelconque, et choisissons une ligne brisée L Ω joignnt u à v. Comme Ω est ouvert, on peut trouver r > 0 tel que B(v, r) Ω. Si w B(v, r), lors le segment [v, w] est contenu dns B(v, r) (et donc dns Ω) cr l boule B(v, r) est convexe. Pr conséquent, l ligne brisée L w = L [v, w] est contenue dns Ω, et relie évidemment u à w. Ainsi, tout point w B(v, r) pprtient à Ω 0, utrement dit B(v, r) Ω 0. On donc montré que Ω 0 est ouvert. Soit mintennt v Ω 1 quelconque, et choisissons r > 0 tel que B(v, r) Ω. Si on pouvit relier u à un point w B(v, r) pr une ligne brisée L Ω, lors on pourrit relier u à v pr l ligne brisée L [w, v] (qui est contenue dns Ω pr convexité de B(v, r)) ; mis ceci est exclu puisque v Ω 1. Pr conséquent, ucun point w B(v, r) ne peut être relié à u, utrement dit B(v, r) Ω 1. Cel montre que Ω 1 est églement ouvert. Montrons mintennt que (ii) entrine (i). On risonne pr l bsurde en supposnt que (ii) est vérifiée mis que (i) ne l est ps. On peut donc écrire Ω = Ω 0 Ω 1, où Ω 0 et Ω 1 sont des ouverts non vides et Ω 0 Ω 1 =. Choisissons un point u 0 Ω 0 et un point u 1 Ω 1. D près (ii), on peut trouver une ppliction continue (et ffine pr morceux) γ : [0, 1] E telle que γ(0) = u 0, γ(1) = u 1 et γ(t) Ω pour tout t [0, 1]. Posons = sup {t [0, 1]; γ(t) Ω 0 }. Cel bien un sens cr l ensemble A = {t [0, 1]; γ(t) Ω 0 } est non vide (il contient t = 0 cr γ(0) = u 0 Ω 0 ) et mjoré pr 1. On v montrer que γ() n pprtient ni à Ω 0, ni à Ω 1, ce qui fournir une contrdiction puisque pr hypothèse γ() doit pprtenir à Ω et Ω = Ω 0 Ω 1.

4. COMPACITÉ, CONNEXITÉ, COMPLÉTUDE 19 Pr définition de, on peut trouver une suite ( k ) A telle que k. Alors γ( k ) γ() pr continuité de γ. Comme γ( k ) Ω 0 E \ Ω 1 pour tout k et comme E \ Ω 1 est fermé dns E, on en déduit que γ() E \ Ω 1, utrement dit γ() Ω 1. Supposons que γ() Ω 0. Alors < 1 cr γ(1) = u 1 Ω 1 et Ω 1 Ω 0 =. Comme Ω 0 est ouvert et que γ est continue, on peut trouver δ > 0 tel que γ(t) Ω 0 pour tout t [0, 1] vérifint t δ. Comme < 1, on en déduit qu on peut trouver un t > tel que γ(t) Ω 0 ; mis cel contredit l définition de. On donc montré que γ() Ω 0, ce qui termine l démonstrtion. Corollire 4.8. Si E est un evn, lors tout ouvert convexe de E est connexe. En prticulier, E lui même est connexe (ce qui n étit ps évident priori). Exercice. Soit Ω un ouvert d un evn E, et soit R une reltion d équivlence sur Ω. On suppose que l clsse d équivlence [u] R de tout point u Ω est un ouvert de E. Montrer que Ω \ [u] R est églement un ouvert, pour tout u Ω. Pourquoi cet exercice est-il plcé ici? Remrque 1. L proposition précédente un grnd intérêt prtique : il est souvent beucoup plus fcile de montrer qu un ouvert concret vérifie l propriété (ii) que de prouver qu il ne peut ps être prtitionné en deux ouverts non vides disjoints. Remrque 2. Une prtie A de E est dite connexe pr rcs si, pour tous u, v A, on peut trouver un chemin continu relint u à v dns A, i.e. une ppliction continue γ : [0, 1] E telle que γ(0) = u, γ(1) = v et γ(t) A pour tout t [0, 1]. L démonstrtion précédente étbli qu un ouvert de E est connexe si et seulement si il est connexe pr rcs. (Exercice : vérifier). 4.3. Espces complets. Définition 4.9. Soit E un evn. On dit qu une suite (u k ) E est une suite de Cuchy si u q u p 0 qund p, q ; utrement dit : ε > 0 K p, q K : u q u p ε. On dit que l espce E est complet, ou encore que E est un espce de Bnch, si toute suite de Cuchy (u k ) E est convergente. Exercice. Montrer qu une suite convergente est toujours de Cuchy, et que toute suite de Cuchy est bornée. Remrque. Un evn complet reste complet si on remplce l norme pr une norme équivlente. Exemple 1. R et C sont complets : c est le critère de Cuchy pour les suites numériques. Exemple 2. Tout evn de dimension finie est complet. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, il suffit de montrer que R n est complet pour l norme. Soit donc (u k ) R n une suite de Cuchy pour, et écrivons u k = (u k (1),..., u k (n)). Si j {1,..., n}, lors u q (j) u p (j) u q u p pour tous p, q N. On en déduit que l suite (u k (j)) k N est de Cuchy dns R, et converge donc vers un certin nombre réel l j. Si on pose u = (l 1,..., l n ) R n, lors

20 1. PRÉLIMINAIRES (u k ) converge vers u coordonnée pr coordonnée, et donc u sens de l norme. Ainsi, on bien montré que l suite de Cuchy (u k ) est convergente. Exemple 3. L espce C([0, 1]) est complet pour l norme : c est l trduction du critère de Cuchy uniforme pour les suites de fonctions continues. Le résultt suivnt est souvent très utile. Si (u k ) est une suite dns un evn E, on dir que l série u k est convergente si l suite des sommes prtielles S k = k i=0 u i converge dns E ; et on dir que l série u k est normlement convergente si l série à termes positifs u k est convergente. Proposition 4.10. Dns un evn complet, toute série normlement convergente est convergente. Démonstrtion. Soit u k une série normlement convergente dns un evn complet E, et posons S k = k i=0 u i. Si p < q, lors q S q S p = u i i=p+1 q u i i=p+1 i=p+1 u i. Comme l série u k est convergente, le reste p+1 u i tend vers 0 qund p. Pr conséquent, S q S p tend vers 0 qund p, q ; utrement dit l suite (S k ) est de Cuchy dns E. Comme E est supposé complet, cel montre que l suite (S k ) est convergente, i.e. que l série u k converge dns E. Remrque. En fit, on peut montrer que l proposition précédente crctérise les espces complets : si E est un evn dns lequel toute série normlement convergente est convergente, lors E est complet. C est un exercice intéressnt. 5. Applictions linéires et multilinéires 5.1. Applictions linéires continues. Bien que fcile à démontrer, le théorème suivnt est très importnt. Dns l prtique, c est toujours en utilisnt ce théorème qu on montre qu une ppliction linéire donnée est continue, et ps en revennt à l définition de l continuité. Théorème 5.1. (critère de continuité) Soient E et F deux evn, et soit L : E F une ppliction linéire. Les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) L est continue ; (ii) il existe une constnte C < telle que u E : L(u) C u. Démonstrtion. Supposons L continue. Alors L est continue en 0, donc on peut trouver δ > 0 tel que L(v) L(0) 1 pour tout v E vérifint v 0 δ ; utrement dit : v δ = L(v) 1.

5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 21 Soit mintennt u E quelconque, vec u 0. Alors v = δ u donc ( L δ u ) 1. u Mis ( ) L δ u u = δ u L(u) = u vérifie v = δ, et on δ u L(u), donc l inéglité précédente s écrit L(u) 1 δ u. Ceci reste évidemment vri pour u = 0, et on donc montré que (ii) est vérifiée vec C = 1/δ. Supposons mintennt que (ii) soit vérifiée pour une certine constnte C. Pour tous u, v E, on lors (pr linérité de L) L(v) L(u) = L(v u) C v u, ce qui montre que L est lipschitzienne et donc continue. Remrque. L fin de l démonstrtion étbli que si C est comme dns (ii), lors L est C-lipschitzienne. Corollire 5.2. Si l espce de déprt E est de dimension finie, lors toute ppliction linéire L : E F est continue. Démonstrtion. Pr équivlence des normes, on peut supposer que E = (R n, ). Notons (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n. Si u = (u(1),..., u(n)) = n 1 u(j)e j E, lors L(u) = L u(j)e j j=1 = u(j) L(e j ) j=1 u(j) L(e j ) j=1 u L(e j ). L propriété (ii) du critère de continuité est donc vérifiée vec C = n 1 L(e j) (qui est bien indépendnte de u R n ). Exercice 1. Une démonstrtion identique déjà été fite. A quel endroit? Exercice 2. Montrer que si E est un evn, lors l ppliction (u, v) u + v est continue de E E dns E. Nottion. Si E et F sont deux evn, on noter toujours L(E, F ) l espce vectoriel constitué pr les pplictions linéires continues de E dns F. Si E = F, on écrit L(E) u lieu de L(E, E). Pour F = R, on écrir souvent E u lieu de L(E, R). Un élément de E s ppelle une forme linéire continue (sur E), et l espce E s ppelle le dul de E. j=1

22 1. PRÉLIMINAIRES Définition 5.3. Soient E et F deux evn. Si L : E F est une ppliction linéire continue, on pose { } L(u) F L L(E,F ) = sup ; u E, u 0. u E Reformultion. L L(E,F ) est l plus petite constnte C telle que L(u) C u pour tout u E. Donc, pour un nombre réel positif C, on l équivlence L L(E,F ) C u E : L(u) C u. Une conséquence est qu il est en générl plus ou moins utomtique de mjorer L L(E,F ). En revnche, une minortion demnde priori plus d inititive. Remrque 1. L nottion n est ps fntisiste : L(E,F ) est effectivement une norme sur L(E, F ), qui est dite subordonnée ux normes de E et de F. On supposer toujours que L(E, F ) est muni de cette norme, et en conséquence on écrir le plus souvent u lieu de L(E,F ). Remrque 2. L norme L L(E,F ) dépend des normes choisies sur E et F. Mis si on remplce les normes de E et F pr des normes équivlentes, on obtient une norme équivlente sur L(E, F ). Exercice. Démontrer ce qui est dit dns les remrques 1 et 2. Exemple 1. Si E est un evn, lors Id E = 1. Exemple 2. Soit E = (R n, ). Pour b = (b 1,..., b n ) R n, notons Θ b : E R l forme linéire (continue) définie pr Θ b (x 1,..., x n ) = b j x j. Alors Θ b E = b 1 = n j=1 b j. De mnière un peu pédnte, on dit que (R n, ) s identifie isométriquement à (R n, 1 ). j=1 Démonstrtion. Pour tout u = (x 1,..., x n ) R n, on Θ b (u) b j x j j=1 mx x j j = b 1 u. b j Pr définition de l norme d une forme linéire, on donc Θ b b 1. Pour montrer qu on ussi Θ b b 1, il suffit de trouver u R n tel que u = 1 et Θ b (u) = b 1. Pour tout j {1,..., n}, choisissons ε j = ±1 tel que ε j b j = b j. Alors u = (ε 1,..., ε n ) convient : on u = 1, et Θ b (u) = n 1 ε jb j = n 1 b j = b 1. Exercice. On grde les nottions de l exemple 2. Exprimer Θ b (u) à l ide du produit sclire usuel de R n, puis montrer que si on munit R n de l norme euclidienne, lors Θ b = b 2. j=1

5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 23 Nottion. On noter toujours AB l composée de deux pplictions linéires A et B, i.e. AB = A B : si B L(E, F ) et A L(F, G) (où E, F, G sont trois evn), lors AB L(E, G) et AB(u) = A(B(u)). En ccord vec cette nottion, si A L(E) et k N on note A k l composée A A (k fois). On pose ussi A 0 = I. Proposition 5.4. Si B L(E, F ) et A L(F, G), lors AB A B. Démonstrtion. C est mécnique : on AB(u) = A(B(u)) A B(u) A B u pour tout u E, d où le résultt. Corollire 5.5. Si A L(E), lors A k A k pour tout k N. Démonstrtion. Une récurrence immédite. Remrque importnte. On sit bien que M n (R) s identifie cnoniquement à L(R n ). A chque norme sur R n correspond donc une norme subordonnée sur M n (R). On dir qu une telle norme sur M n (R) est une norme mtricielle. D près l proposition précédente, une norme mtricielle est toujours sous-multiplictive ( AB A B ) et on I = 1. Exercice. Montrer que pour toute mtrice A M n (R), l série A k k! converge dns M n (R). Proposition 5.6. Soient E et F deux evn. On suppose que F est complet. Alors L(E, F ) est complet pour l norme L(E,F ). Démonstrtion. Soit (L k ) une suite de Cuchy dns L(E, F ). Il s git de montrer que (L k ) converge dns L(E, F ), utrement dit de trouver une L L(E, F ) telle que L k L L(E,F ) 0. Cel v se fire en 3 étpes, ce qui est toujours le cs lors d une démonstrtion de complétude : on commence pr identifier un cndidt limite, puis on montre que ce cndidt pprtient bien à l espce considéré (ici L(E, F )), et enfin que l suite converge effectivement vers le cndidt limite u sens de l norme de l espce en question. Pour tout u E et pour p, q N, on L q (u) L p (u) L q L p L(E,F ) u. Comme l suite (L k ) est de Cuchy, on en déduit que l suite (L k (u)) est de Cuchy dns F, et est donc convergente puisque F est supposé complet. Pour tout u E, on peut donc poser L(u) = lim k L k(u). L ppliction L : E F insi définie est notre cndidt limite. Il est clir que L est linéire cr les L k le sont. De plus, l suite (L k ) est bornée dns L(E, F ) cr elle est de Cuchy : donc une constnte M telle que L k M pour tout k N, ce qui s écrit encore (pr définition de l norme de L(E, F )) u E k : L k (u) M u. En fisnt tendre k vers l infini, on en déduit qu on L(u) M u pour tout u E, ce qui prouve que l ppliction linéire L est continue. Ainsi, L L(E, F ).

24 1. PRÉLIMINAIRES Pour montrer que L k L L(E,F ) 0, fixons ε > 0. Comme (L k ) est de Cuchy dns L(E, F ), on peut trouver K tel que L q L p L(E,F ) ε pour p, q K. Pr définition de L(E,F ), cel s écrit u E p, q K : (L q L p )(u) ε u. En fixnt p et en fisnt tendre q vers l infini, on en déduit (puisque L q (u) L(u)) u E p K : (L L p )(u) ε u. Pr définition de L(E,F ) (à nouveu), cel signifie qu on L L p L(E,F ) ε pour tout p K, ce qui termine l démonstrtion. Corollire 5.7. Si E est un evn, lors son dul E est un espce de Bnch. Remrque. Si E et F sont tous les deux de dimension finie, lors l preuve précédente est inutile puisque L(E, F ) est églement de dimension finie, et donc complet pour n importe quelle norme. 5.2. Applictions bilinéires continues. Définition 5.8. Soient E 1, E 2 et F trois evn. Une ppliction B : E 1 E 2 F est dite bilinéire si B(u 1, u 2 ) est linéire pr rpport à chque vrible u 1, u 2 séprément ; utrement dit, si pour tout u 1 E 1 fixé, l ppliction u 2 B(u 1, u 2 ) est linéire, et pour tout u 2 E 2 fixé, l ppliction u 1 B(u 1, u 2 ) est linéire. Remrque. Intuitivement, une ppliction bilinéire est un produit. Il est toujours bon de grder cette idée en tête. Exemple 1. Le produit usuel (x, y) xy est bilinéire de R R dns R. Plus générlement, si E est un espce vectoriel, lors l ppliction (λ, u) λu est bilinéire de R E dns E. Exemple 2. Si on note, le produit sclire usuel sur R n, lors l ppliction (x, y) x, y est bilinéire de R n R n dns R. Exemple 3. Si E et F sont des evn, lors l ppliction (L, u) L(u) est bilinéire de L(E, F ) E dns F. Exemple 4. Si E, F, G sont des evn, lors l ppliction (S, T ) T S est bilinéire de L(E, F ) L(F, G) dns L(E, G). L proposition suivnte crctérise l continuité pour les pplictions bilinéires de mnière nlogue à ce que fit le théorème 5.1 pour les pplictions linéires. Rppelons que si E 1 et E 2 sont deux evn, lors E 1 E 2 est muni de l norme produit, et qu une suite converge dns E 1 E 2 si et seulement si elle converge coordonnée pr coordonnée (cf l exemple 4 de l section 1.1 et l exemple 4 de l section 2.1) Proposition 5.9. (critère de continuité) Soient E 1, E 2 et F trois evn. Pour une ppliction bilinéire B : E 1 E 2 F, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) B est continue ; (ii) il existe une constnte C < telle que (x, y) E 1 E 2 : B(x, y) C x y.

5. APPLICATIONS LINÉAIRES ET MULTILINÉAIRES 25 Démonstrtion. L impliction (i) entrine (ii) se démontre exctement comme pour les pplictions linéires (voir l preuve du théorème 5.1, mis ttention : l constnte qui sort est cette fois C = 1/δ 2. Pourquoi?). Inversement, supposons (ii) vérifiée. Soit (u k ) k N = (x k, y k ) une suite dns E 1 E 2 convergent vers u = (x, y) E 1 E 2. Pr bilinérité et en utilisnt (ii), on B(x k, y k ) B(x, y) = B(x k x, y k ) + B(x, y k y) B(x k x, y k ) + B(x, y k y) C ( x k x y k + x y k y ). D utre prt, l suite (y k ) est bornée puisqu elle converge vers y Il existe donc une constnte M telle que y k M pour tout k N, et on obtient insi B(x k, y k ) B(x, y) CM x k x + C y k y Comme x k x et y k y, cel montre que B(x k, y k ) tend vers B(x, y). Pr conséquent, B est continue. Exercice. Comprer l preuve précédente vec celle (vue en première nnée) du fit que si (u k ) et (v k ) sont deux suites numériques convergentes de limites u et v, lors u k v k uv. Corollire 5.10. Si E, F et G sont trois evn, lors l ppliction (S, T ) T S est continue de L(E, F ) L(F, G) dns L(E, G). Démonstrtion. Cette ppliction est bilinéire, et on T S T S. Corollire 5.11. Si E 1 et E 2 sont des evn de dimension finie, lors toute ppliction bilinéire B : E 1 E 2 F est continue. Démonstrtion. Pour u 1 E 1, notons B u1 : E 2 F l ppliction définie pr B u1 (u 2 ) = B(u 1, u 2 ). Cette ppliction est linéire pr bilinérité de B, et elle est donc continue puisque dim(e 2 ) <. Ainsi, B u1 L(E 2, F ), et on donc sous l min une ppliction u 1 B u1 de E 1 dns L(E 2, F ). Cette ppliction est linéire pr bilinérité de B, donc continue puisque dim(e 1 ) <. Il existe donc une constnte C telle que B u1 L(E2,F ) C u 1 pour tout u 1 E 1. On en déduit B(u 1, u 2 ) = B u1 (u 2 ) B u1 u 2 C u 1 u 2 pour tout (u 1, u 2 ) E 1 E 2, ce qui prouve que B est continue. Autre démonstrtion. On procéde comme dns l preuve de l continuité des plictions linéires en dimension finie (corollire 5.2). Pr équivlence des normes, on peut supposer que E 1 = R m et E 2 = R n, tous deux munis de l norme. Soient (e 1,..., e m ) l bse cnonique de R n et (f 1,..., f n ) l bse cnonique de R m. Si x = m 1 x ie i R m et y = n 1 y jf j R n lors, pr bilinérité, B(x, y) = i,j x i y j B(e i, f j ). On en déduit qu on B(x, y) C x y pour tout (x, y) R m R n, où C = i,j B(e i; e j ).

26 1. PRÉLIMINAIRES Exercice 1. Soient E et F des evn. Montrer que l ppliction (T, u) T (u) est continue de L(E, F ) E dns F. Exercice 2. Soit E un evn. Montrer que l ppliction (λ, u) λu est continue de R E dns E. 5.3. Applictions multilinéires continues. Soient E 1,..., E n et F des evn. Une ppliction P : E 1 E n F est dite n-linéire si P (u 1,..., u n ) est linéire pr rpport à chque vrible séprément. Pr exemple, l ppliction (u 1,..., u n ) det(u 1,..., u n ) est n-linéire de R n R n dns R. Exctement comme pour les pplictions bilinéires, on montre qu une ppliction n-linéire P : E 1 E n F est continue si et seulement si il existe une constnte C telle que (5.1) (u 1,..., u n ) E 1 E n : P (u 1,..., u n ) C u 1 u n. L démonstrtion est identique bien qu un peu plus pénible à écrire et constitue un exercice instructif (essyer vec n = 3). On peut églement démontrer pr récurrence sur n que si une ppliction n-linéire P : E 1 E n F vérifie (5.1), lors elle est continue. Supposons le résultt cquis pour n 1 (vec n 2), et soit P : E 1 E n F une ppliction n-linéire vérifint (5.1). Pour (u 1,..., u n 1 ) E 1 E n 1, notons P (u1,...,u n 1 ) : E n F l ppliction linéire définie pr P (u1,...,u n 1 )(v) = P (u 1,..., u n 1, v). Pr (5.1), on P (u1,...,u n 1 )(v) C u 1 u n 1 v. Pr conséquent l ppliction linéire P (u1,...,u n 1 ) est continue, vec P (u1,...,u n 1 ) C u 1 u n 1. D près l hypothèse de récurrence, on en déduit que l ppliction (n 1)-linéire (u 1,..., u n 1 ) P (u1,...,u n 1 ) est continue de E 1 E n 1 dns L(E n, F ). Mintennt, si u = (u 1,..., u n ) E 1 E n, lors P (u 1,..., u n ) = P (u1,...,u n 1 )(u n ) = B(P (u1,...,u n 1 ), u n ), où B : L(E n, F ) E n F est l ppliction bilinéire définie pr B(T, v) = T (v). On vu plus hut que cette ppliction B est continue, donc P est continue pr composition. On déduit comme plus hut du critère de continuité que si E 1,..., E n sont de dimension finie, lors toute ppliction n-linéire de E 1 E n dns un evn F est continue. Exercice. Soit E un evn. Montrer que pour tout n N, l ppliction L L n est continue sur L(E). 6. Sclristion Le but de cette section est de démontrer le lemme suivnt, qui ser très importnt pour nous. L preuve est loin d être fcile, et il n est ps nécessire de svoir l refire. Mis bien entendu, il fut bsolument connitre le résultt et svoir l utiliser. Lemme 6.1. (lemme de sclristion) Soit E un evn. Pour tout E, on peut trouver une forme linéire continue Θ E telle que Θ 1 et Θ() =. Remrque. Si 0, on lors en fit Θ = 1 puisque Θ Θ() et donc Θ 1 en divisnt pr.

6. SCALARISATION 27 Démonstrtion du lemme lorsque E = (R n, ). Dns ce cs, c est très simple et il fut svoir refire l preuve. Soit E quelconque. Pr définition de l norme, on peut trouver j 0 {1,..., n} tel que j0 =. Soit ε 0 = ±1 tel que ε 0 j0 = j0, et soit Θ E l forme linéire défijnie pr Θ(x 1,..., x n ) = ε 0 x j0 ; utrement dit et vec les nottions de l exemple 2 donné près l définition 5.3, Θ = Θ b où b = (0,..., ε 0,... 0) (vec ε 0 à l plce j 0 ). Alors Θ = b 1 = 1 et Θ() = j0 =. Exercice. Démontrer le lemme de sclristion lorsque E = (R n, 2 ). Démonstrtion du lemme dns le cs où dim(e) <. Ici, on ne peut ps s en sortir en invoqunt l équivlence des normes : c est un peu plus compliqué. Appelons solution prtielle (u problème qu on est en trin de considérer) toute forme linéire (continue) Φ : F R définie sur un sous-espce vectoriel F E contennt, telle que Φ 1 et Φ() =. Avec cette terminologie, ce qu il fut fire est montrer qu il existe une solution prtielle Θ définie sur E tout entier. Dns l suite, on supposer 0 (si = 0, il suffit de prendre Θ = 0). Fit 1. Il existe u moins une solution prtielle Φ 0 définie sur F 0 = R. Démonstrtion. Soit Φ 0 : F 0 R l forme linéire définie comme suit : λ R : Φ 0 (λ) = λ. Pour u = λ F 0, on Φ 0 (u) = λ = u, donc Φ 0 1 ; et bien sûr Φ 0 () =. Ainsi, Φ 0 est une solution prtielle. Fit 2. Si Φ : F R est une solution prtielle et si e E \ F, lors Φ peut se prolonger en une solution prtielle définie sur F Re. Démonstrtion. Fixons Φ : F R et e E \ F. Il est clir que toute forme linéire Φ : F Re R prolongent Φ vérifie Φ() =. Donc il s git simplement d en trouver une qui vérifie ussi Φ 1, utrement dit Φ(u) u pour tout u F R e. En fit, il suffir de vérifier qu on Φ(u) u pour tout u F Re, cr si on pplique cette inéglité vec u u lieu de u on obtient Φ(u) u = u (utrement dit Φ(u) u ) et donc u totl Φ(u) u. Si Φ : F Re R est une forme linéire prolongent Φ, lors Φ est entièrement déterminée pr α := Φ(e) : pour tout u = v + λe F Re, on Φ(u) = Φ(v) + αλ. Il s git donc de montrer qu il existe un nombre réel α tel que Φ(v) + αλ v + αe pour tout couple (v, λ) F R. Pour λ = 0, l inéglité devient Φ(v) v, ce qui est vérifé cr Φ 1 ; donc on peut supposer λ 0. Il reste donc à prouver l existence d un α R tel que λ > 0 v F : Φ(v) ± αλ v ± αλ. En divisnt pr λ et en mnipulnt les inéglités, cel s écrit encore ( v (λ, v) ]0, [ F : Φ λ) v λ e v ( v ) α λ + e Φ. λ

28 1. PRÉLIMINAIRES Pour montrer qu un tel α existe bien, il suffit de vérifier qu on (6.1) sup{φ(x) x e ; x F } inf{ y + e Φ(y); y F }, cr lors n importe quel α compris entre le sup et l inf conviendr. Comme Φ 1, on Φ(x) + Φ(y) x + y x e + e + y et donc Φ(x) x e y + e Φ(y) pour tous x, y F. En prennt le sup en x et l inf en y on obtient (6.1), ce qui termine l preuve du fit 2. L démonstrtion est mintennt presque terminée. Comme E est de dimension finie, on peut choisir e 1,..., e N E tels que (, e 1,..., e N ) soit une bse de E. Posons F 0 = R et F i = R Re 1 Re i pour i {1,..., N}. En prtnt de l solution prtielle Φ 0 définie sur F 0 (donnée pr le fit 1) et en ppliqunt N fois le fit 2, on obtient des solutions prtielles Φ 1,..., Φ N définies sur F 1,..., F N. Comme F N = E, l forme linéire Θ := Φ N convient. Démonstrtion dns le cs générl. L preuve est en fit l même, mis lorsque E n est ps de dimension finie on besoin d utiliser un résultt de théorie des ensembles qu on ppelle le lemme de Zorn. Sns entrer dns les détils, ce lemme ssure l existence d une solution prtielle Θ : F R qui est mximle u sens où elle ne peut ps être prolongée en une solution prtielle définie sur un sous-espce strictement plus grnd que F. D près le fit 2 (dont l preuve n utilise ps l dimension finie), on lors nécessirement F = E, et donc l forme linéire Θ convient. Corollire 6.2. Soit M R +. Pour tout vecteur ξ E, on l équivlence ξ M Θ F : Θ(ξ) M Θ. Démonstrtion. L impliction = découle de l définition de l norme d une forme linéire, et l réciproque est une conséquence immédite du lemme. Corollire 6.3. Si E est un evn, lors son dul E sépre les points de E : si u, v E et u v, lors on peut trouver une forme linéire Θ E telle que Θ(u) Θ(v). Dit utrement : si on Θ(u) = Θ(v) pour toute forme linéire Θ E, lors u = v. Démonstrtion. Il suffit d ppliquer le lemme à = v u : cel fournit Θ E telle que Θ(v) Θ(u) = Θ(v u) = v u 0. Exercice. Démontrer directement le corollire (i.e. sns utiliser le lemme de sclristion) lorsque E est de dimension finie. Remrque. Hbituellement, le lemme de sclristion est déduit d un théorème célèbre qu on ppelle le théorème de Hhn-Bnch (dont l preuve est à peu près identique à celle donnée plus hut). Comme se cultiver n jmis fit de ml, il n est ps interdit d ller voir dns un livre d nlyse fonctionnelle (ou sur internet) ce que dit ce fmeux théorème.

CHAPITRE 2 Fonctions d une vrible 1. Dérivtion des fonctions à vleurs vectorielles 1.1. Définitions. Dns ce qui suit, I est un intervlle de R et F est un evn. Définition 1.1. On dit qu une fonction ϕ : I F est dérivble en un point t 0 I si le quotient ϕ(t 0 + h) ϕ(t 0 ) h dmet une limite dns F qund h 0. Dns ce cs, on pose ϕ ϕ(t 0 + h) ϕ(t 0 ) (t 0 ) = lim, h 0 h et on dit que ϕ (t 0 ) est l dérivée de ϕ en t 0, ou encore le vecteur dérivé de ϕ en t 0. On dit que ϕ est dérivble sur I si elle est dérivble en tout point t 0 I. Remrque 1. L expression vecteur dérivé est meilleure : il est physiquement correct de considérer une dérivée comme un vecteur et non comme un point de F (penser u vecteur vitesse). Remrque 2. On écrir prfois dϕ dt u lieu de ϕ. Reformultion. L fonction ϕ est dérivble en t 0 si et seulement si elle dmet un développement limité à l ordre 1 en t 0 ; utrement dit, s il existe un vecteur l F tel qu on puisse écrire (1.1) ϕ(t 0 + h) = ϕ(t 0 ) + h l + h ε(h), où ε(h) F et ε(h) 0 qund h 0. Dns ce cs, on l = ϕ (t 0 ). Démonstrtion. Si ϕ est dérivble en t 0, lors on peut écrire ϕ(t 0+h) ϕ(t 0 ) h = ϕ (t 0 )+ε(h), où ε(h) tend vers 0 qund h 0 ; d où (1.1) vec l = ϕ (t 0 ) en multiplint pr h. Inversement, si (1.1) est vérifiée lors ϕ(t 0+h) ϕ(t 0 ) h = l+ε(h), donc ϕ est dérivble en t 0 vec ϕ (t 0 ) = l. Exemple. Soit ϕ : I R m, et écrivons ϕ(t) = ϕ 1 (t). ϕ m(t). Alors ϕ est dérivble en t 0 si et seulement si les fonctions numériques ϕ 1,..., ϕ m le sont ; et dns ce cs, on ϕ(t 0 ) = ϕ 1 (t). ϕ m (t) Démonstrtion. C est clir puisque l convergence dns R m est l convergence coordonnée pr coordonnée. 29.

30 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE Exercice. Montrer que si ϕ : I F est dérivble en un point t 0, lors elle continue en t 0. Définition 1.2. On dit qu une fonction ϕ : I F est de clsse C 1 sur I si ϕ est dérivble sur I et si l fonction ϕ : I F est continue sur I. Nottion. On noter C 1 (I, F ) l ensemble de toutes les fonctions ϕ : I F de clsse C 1. Bien entendu, on peut définir pr récurrence l notion de fonction k fois dérivble et de fonction de clsse C k pour tout k N. On noter C k (I, F ) l ensembles des fonctions de clsse C k de I dns F. Pr nlogie, on écrir C 0 (I, F ) pour l ensemble des fonctions continues. Exercice. Soit [, b] un intervlle compct de R. Montrer que si F est un espce de Bnch, lors l espce C 0 ([, b], F ) est complet pour l norme définie pr u = sup{ u(t) ; t [, b]}. 1.2. Deux clculs importnts. Dns ce qui suit, les lettres E, F, G désignent des evn, et I est un intervlle de R. Nottion. Si L : E F est une ppliction linéire continue. On écrir souvent Lu u lieu de L(u) pour désigner l imge pr L d un point u E. Il fut fire l effort de s hbituer à cette nottion, cr elle est réellement très commode. Lemme 1.3. (effet d une ppliction linéire) Soit ϕ : I E et soit L L(E, F ). Notons Lϕ : I F l fonction composée L ϕ : (Lϕ)(t) = Lϕ(t) = L(ϕ(t)). Si ϕ est dérivble, lors Lϕ l est églement, et on (Lϕ) (t) = Lϕ (t). Démonstrtion. Pr linérité de L, on ( ) Lϕ(t + h) Lϕ(t) ϕ(t + h) ϕ(t) = L, h h et ceci tend vers L(ϕ (t)) = Lϕ (t) qund h 0, pr continuité de L. Lemme 1.4. (dérivée d un produit) Soient u : I E et v : I F. Soit églement B : E F G une ppliction bilinéire continue. Notons B(u, v) : I G l fonction t B(u(t), v(t)). Si u et v sont dérivbles, lors B(u, v) l est églement, et on B(u, v) (t) = B(u (t), v(t)) + B(u(t), v (t)). Remrque. Écrivons u v u lieu de B(u, v) (une ppliction bilinéire est un produit...). Alors l formule précédente prend un spect beucoup plus fmilier, qui explique le titre du lemme : (u v) = u v + u v. Démonstrtion du lemme. On utilise l nottion u v plutôt que B(u, v). Soit t I fixé. Pr bilinérité, on (u v)(t + h) (u v)(t) = (u(t + h) u(t)) v(t + h) + u(t) (v(t + h) v(t)) et donc (en utilisnt à nouveu l bilinérité) ( ) (u v)(t + h) (u v)(t) u(t + h) u(t) = v(t + h) + u(t) h h ( v(t + h) v(t) h ).

1. DÉRIVATION DES FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES 31 Comme u et v sont dérivbles, que v est continue (cr dérivble) et que l opértion est continue, le membre de droite tend vers u (t) v(t) + u(t) v (t) qund h 0, ce qui est l conclusion souhitée. Exercice 1. Soient u, v : I R n et M, N : I M n (R) des fonctions dérivbles. Quelles sont les dérivées des fonctions t u(t), v(t) et t M(t)N(t)? Exercice 2. Soit γ : I R n une fonction dérivble. On suppose que γ(t) 2 reste constnte sur I. Montrer que γ (t) est orthogonl à γ(t), pour tout t I. 1.3. L inéglité des ccroissements finis. Dns ce qui suit, [, b] est un intervlle compct de R. Rppelons l formule des ccroissements finis pour les fonctions réelles d une vrible réelle : Formule des ccroissements finis. Si ϕ : [, b] R est continue sur [, b] et dérivble sur ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que ϕ(b) ϕ() = (b ) ϕ (c). Démonstrtion. Supposons d bord qu on ϕ(b) = ϕ(). Dns ce cs, il s git de montrer qu il existe c ], b[ tel que ϕ (c) = 0 (c est le théorème de Rolle). Si ϕ est constnte, il n y rien à démontrer. Sinon, ϕ prend pr exemple u moins une fois une vleur strictement inférieure à ϕ() = ϕ(b). Comme ϕ est continue sur le compct [, b], on peut trouver c [, b] tels que ϕ(c) = min{ϕ(t); t [, b]}. Alors c, b pr hypothèse sur ϕ, utrement dit c est intérieur à l intervlle [, b] ; et on sit qu lors on doit voir ϕ (c) = 0. Dns le cs générl, on pplique le théorème de Rolle à l fonction uxiliire ψ définie pr ϕ(b) ϕ() ψ(t) = ϕ(t) (t ), b qui vérifie ψ(b) = ϕ() = ψ(). Exercice. Soient f et g deux fonctions continues sur [, b] et dérivbles sur ], b[, vec g (t) 0 pour tout t ], b[. Étblir l formule des ccroissements finis générlisée : il existe c ], b[ tel que f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c) L formule des ccroissements finis n est plus vlble pour une fonction ϕ : [, b] F à vleurs dns un evn F de dimension strictement plus grnde que 1. Pr exemple, l fonction ϕ : [0, 2π] C définie pr ϕ(t) = e it est de clsse C 1 vec ϕ(2π) = ϕ(0) et ϕ (t) = ie i t 0 pour tout t [0, 2π], donc on ne peut certinement trouver ucun c tel que ϕ(2π) ϕ(0) = (2π 0) ϕ (c). Cependnt, pour les fonctions à vleurs vectorielles il existe un substitut u théorème des ccroissements finis sous l forme d une inéglité, qui dns l prtique rend exctement les mêmes services : Théorème 1.5. (inéglité des ccroissements finis) Soit F un evn. Si ϕ : [, b] F est une fonction continue sur [, b] et dérivble sur ], b[, lors il existe un point c ], b[ tel que ϕ(b) ϕ() (b ) ϕ (c). Démonstrtion. D près le lemme de sclristion, il existe une forme linéire Θ F telle que Θ 1 et Θ(ϕ(b) ϕ()) = ϕ(b) ϕ().

32 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE Définissons lors ϕ : [, b] R pr ϕ(t) = Θϕ(t) = Θ(ϕ(t)). L fonction ϕ est continue sur [, b] pr composition, et d près le lemme 1.3 elle est dérivble sur ], b[ vec ϕ (t) = Θ(ϕ (t)). D près l formule des ccroissements finis (pplicble puisque ϕ est à vleurs réelles), on peut trouver c ], b[ tel que ϕ(b) ϕ() = (b ) ϕ (c) = Θ(ϕ (c)). On en déduit ϕ(b) ϕ() = Θ(ϕ(b)) Θ(ϕ()) = ϕ(b) ϕ() = (b ) Θ(ϕ (c)) (b ) ϕ (c), où on utilisé l linérité de Θ à l première ligne et le fit que Θ 1 à l dernière. Remrque. Cette démonstrtion illustre un principe très utile : pour dire quelque chose d intéressnt sur une fonction ϕ à vleurs vectorielles, il est souvent judicieux de sclriser, c est-à-dire de composer ϕ vec une forme linéire bien choisie. Corollire 1.6. Soit I un intervlle de R, et soit ϕ : I F une fonction dérivble à vleurs dns un evn F. Supposons qu on it ϕ (t) M sur I, pour une certine constnte M. Alors ϕ est M-lipschitzienne sur I : x, y I : ϕ(y) ϕ(x) M y x. Démonstrtion. C est immédit en ppliqunt l inéglité des ccroissements finis sur l intervlle [, b] = [x, y] (ou [y, x] si x > y). Corollire 1.7. Sous les hypothèses précédentes, si ϕ (t) 0 sur I, lors ϕ est constnte sur l intervlle I. Démonstrtion. Appliquer le corollire précédent vec M = 0. Corollire 1.8. Si ϕ : [, b] F est de clsse C 1 sur l intervlle fermé borné [, b], lors ϕ est lipschitzienne. Démonstrtion. L fonction t ϕ (t) est continue sur le compct [, b], donc elle y est bornée : on insi une constnte M telle que ϕ (t) M sur [, b], et on peut ppliquer le corollire 1.6. 2. Intégrtion des fonctions à vleurs vectorielles 2.1. Définition de l intégrle. Dns ce qui suit, [, b] est un intervlle compct de R et F est un evn complet (pr exemple un evn de dimension finie). Lemme 2.1. Si u : [, b] F est une fonction continue, il existe un unique ξ F tel que Θ F : Θ(ξ) = b Θ(u(t)) dt. On dit que ξ est l intégrle de u sur [, b], et on écrit ξ = b u(t) dt.

2. INTÉGRATION DES FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES 33 Démonstrtion. L unicité vient du fit que F sépre les points de F (corollire 6.3) : si ξ 1 et ξ 2 vérifient l propriété du lemme, lors Θ(ξ 1 ) = Θ(ξ 2 ) pour toute Θ F et donc ξ 1 = ξ 2. L existence est très fcile à démontrer dns le cs où F est de dimension finie : si (e 1,..., e m ) est une bse de F, on peut écrire m u(t) = x i (t) e i i=1 où les x i sont des fonctions continues à vleurs réelles déterminées de mnière unique, et il suffit de poser m ( b ) ξ = x i (t) dt e i. i=1 Exercice. Vérifier que ξ convient effectivement. L existence dns le cs générl est plus difficile à étblir. On v utiliser un rgument de sommes de Riemnn. Pour k N, soit ξ k l élément de F défini pr ξ k = b k 1 ( u + i b ). k k i=0 Admettons provisoirement que l suite (ξ k ) converge dns F, et notons ξ s limite. Si Θ F, lors (pr linérité) Θ(ξ k ) = b k 1 ( Θ u + i b ) k k i=0 pour tout k N. On reconnit une somme de Riemnn ssociée à l fonction continue à vleurs réelles Θ u et à l subdivision σ k = (, + b k,..., + (k 1) b k, b), de ps égl à (b )/k. Pr conséquent, Θ(ξ k ) tend vers b Θ u(t) dt qund k, et comme Θ est continue on en déduit qu on Θ(ξ) = b Θ(u(t)) dt. Ceci étnt vri pour toute forme linéire Θ F, on voit que ξ = lim ξ k convient. Pour chever l démonstrtion, il suffit donc de montrer que l suite (ξ k ) converge dns F ; et comme F est supposé complet, on peut se contenter de vérifier que (ξ k ) est une suite de Cuchy. Pour lléger les nottions, on poser t k,i = + i b k pour k N et i {0,..., k}. Ainsi, on ξ k = b k Enfin, on noter pour tout δ > 0 : k 1 u(t k,i ). i=0 ω u (δ) = sup { u(t) u(t ) ; t t δ }. Comme u est uniformément continue sur le compct [, b], on sit que ω u (δ) tend vers 0 qund δ 0. Le point clé est de montrer que Θ(ξ k ) tend vers b Θ(u(t)) dt pour toute forme linéire continue Θ F, vec une convergence uniforme pr rpport à Θ lorsque Θ reste bornée. C est le contenu du fit suivnt.

34 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE Fit. Si Θ F, lors on l mjortion suivnte pour tout k N : b ( ) Θ(ξ k) Θ(u(t)) dt b Θ (b ) ω u. k Preuve du fit. D près l reltion de Chsles, on et d utre prt b Θ(ξ k ) = b k k 1 Θ(u(t)) dt = i=0 tq,i+1 t k,i k 1 k 1 Θ(u(t k,i )) = i=0 En fisnt l différence, on obtient et on en déduit Θ(ξ k ) b k 1 Θ(u(t)) dt = i=0 tk,i+1 i=0 Θ(u(t)) dt tk,i+1 t k,i Θ(u(t k,i )) dt. t k,i [Θ(u(t k,i )) Θ(u(t))] dt ; b Θ(ξ k) Θ(u(t)) dt Θ k 1 tk,i+1 u(t k,i ) u(t) dt. i=0 t k,i ( ) Chque terme de l somme étnt inférieur ou égl à ω b u k (cr t t k,i b k si t [t k,i, t k,i+1 ]), cel donne finlement d où le résultt. Θ(ξ k) b ( ) Θ(u(t)) dt b Θ ω k 1 u k i=0 tk,i+1 t k,i dt, Soit mintennt ε > 0. Comme ω u (δ) tend vers 0 qund δ 0, on peut trouver K N ( tel que ω b ) u k ε b pour tout k K. D près le fit, on lors b Θ(ξ k) Θ(u(t)) dt Θ ε pour Θ F et k K ; et d près l inéglité tringulire on en déduit Θ(ξ q ξ p ) = Θ(ξ q ) Θ(ξ p ) 2ε Θ, pour tous p, q K et pour toute forme linéire Θ F. D près le lemme de sclristion, cel signifie qu on p, q K : ξ q ξ p 2ε. On donc bien montré que l suite (ξ k ) est de Cuchy, ce qui chève l preuve.

2. INTÉGRATION DES FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES 35 Remrque. Pour une fonction u à vleurs dns R m, on peut oublier l démonstrtion précédente et ne retenir qu une seule chose : si on écrit lors b u(t) = u(t) dt = x 1 (t). x m(t), b x 1(t)dt. b xm(t)dt Exercice. Montrer que si u C 0 ([, b], F ) et si L : F G est linéire continue (où G est un utre espce de Bnch), lors ( b ) b L u(t) dt = Lu(t) dt. L proposition suivnte résume les propriété essentielles de l intégrle, qui sont les mêmes que pour les fonctions à vleurs réelles. Proposition 2.2. (propriétés de l intégrle) (1) L intégrle est linéire pr rpport à l fonction intégrée : si u, v C 0 ([, b], F ) et si λ, µ R, lors b (λu(t) + µv(t)) dt = λ b. u(t) dt + µ b v(t) dt. (2) Si < c < b, lors b u(t) dt = c u(t) dt + b c u(t) dt (reltion de Chsles). (3) Si u C 0 ([, b], F ), lors b b u(t) dt u(t) dt. Démonstrtion. (1) et (2) se déduisent imméditement de l définition de l intégrle et des propriétés correspondntes de l intégrle des fonctions à vleurs réelles. Pour démontrer (3), on utilise le lemme de sclristion : on ( Θ F b : Θ b u(t) dt) = Θ(u(t)) dt d où le résultt. b Θ Θ(u(t)) dt b u(t) dt, Nottion. Soit I un intervlle de R. Si u : I F et continue et si x, y I vec x < y, on pose x y u(t) dt = y x u(t) dt. Avec cette convention, l reltion de Chsles reste vrie quel que soit l ordre des points, b, c. Exercice 1. On munit l espce C 0 ([, b], F ) de l norme définie pr u = sup{ u(t) ; t [, b]}. Montrer que l ppliction u b u(t) dt est continue de C 0 ([, b], F ) dns F.

36 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE Exercice 2. Montrer que si une suite (u k ) C 0 ([, b], F ) converge uniformément vers une fonction u, lors b u k(t) dt tend vers b u(t) dt. (L convergence uniforme pour des fonctions à vleurs vectorielles se définit exctement comme pour les fonctions à vleurs réelles, en remplçnt les vleurs bsolues pr des normes. C est l notion de convergence ssociée à l norme sur C 0 ([, b], F )). 2.2. Le théorème fondmentl de l nlyse. Comme son nom l indique, le théorème suivnt est prticulièrement importnt. Il se démontre exctement comme pour les fonctions à vleurs réelles, en utilisnt uniquement les propriétés de bse de l intégrle (proposition 2.2). Théorème 2.3. (théorème fondmentl de l nlyse) Soit I un intervlle de R, et soit I. Si u : I F est continue, lors l fonction ϕ : I F définie pr ϕ(t) = t u(s) ds est de clsse C1 et ϕ = u. Démonstrtion. Comme u est continue, il suffit de montrer que ϕ est dérivble en tout point, vec ϕ = u. Fixons t 0 I. Si t 0 +h I, lors (d près l reltion de Chsles) ϕ(t 0 +h) ϕ(t 0 ) = t0 +h u(t) dt t 0 u(t) dt = t 0 +h u(t) dt, et donc t 0 ϕ(t 0 + h) ϕ(t 0 ) h D utre prt, on peut églement écrire et on en déduit ϕ(t 0 + h) ϕ(t 0 ) h u(t 0 ) = 1 h = 1 h t0 +h u(t 0 ) = 1 h Pr conséquent, on ϕ(t 0 + h) ϕ(t 0 ) u(t 0 ) h 1 h t0 +h t 0 u(t) dt. t 0 u(t 0 ) dt, t0 +h t 0 (u(t) u(t 0 )) dt. t0 +h t 0 u(t) u(t 0 ) dt. (Il fut mettre une vleur bsolue utour de l intégrle dns le membre de droite, cr on peut-être h < 0, uquel cs l intégrle est négtive). En utilisnt l continuité de u u point t 0, il est mintennt fcile de conclure que ϕ(t 0 +h) ϕ(t 0 ) h tend vers u(t 0 ) qund h 0. (Écrire les détils!). Ainsi, ϕ est dérivble en t 0 et ϕ (t 0 ) = u(t 0 ). Remrque. Le théorème fondmentl de l nlyse montre en prticulier que toute fonction continue u : I F possède des primitives. Le corollire suivnt est u moins ussi importnt que le théorème, et mérite églement de s ppeler théorème fondmentl de l nlyse. Corollire 2.4. Si ϕ : I F est de clsse C 1, lors ϕ(x) = ϕ() + x ϕ (t) dt pour tout x I.

2. INTÉGRATION DES FONCTIONS À VALEURS VECTORIELLES 37 Démonstrtion. Si on pose ψ(x) = ϕ() + x ϕ (t) dt, lors ψ est de clsse C 1 et ψ = ϕ d près le théorème ppliqué à u = ϕ. Pr conséquent, l fonction v : ϕ ψ une dérivée identiquement nulle. Donc v est constnte, et l constnte vut 0 cr v() = ϕ() ϕ() = 0. Une utre conséquence est l formule d intégrtion pr prties : Corollire 2.5. Soient ϕ 1 : [, b] F 1 et ϕ 2 ([, b] F 2 de clsse C 1, et soit B : F 1 F 2 G une ppliction bilinéire continue, notée (u 1, u 2 ) u 1 u 2. Alors b b ϕ 1 (t) ϕ 2(t) dt = [ϕ 1 ϕ 2 ] b ϕ 1(t) ϕ 2 (t) dt. Démonstrtion. C est évident puisque (ϕ 1 ϕ 2 ) (t) = ϕ 1 (t) ϕ 2(t) + ϕ 1 (t) ϕ 2 (t). Appliction 1. Le théorème fondmentl de l nlyse permet de retrouver très rpidement et de fçon mécnique l inéglité des ccroissements finis (plus exctement, le corollire 1.6) pour une fonction de clsse C 1 à vleurs dns un espce de Bnch. En effet, si ϕ : [, b] F est de clsse C 1 et ϕ (t) M sur ], b[, il suffit d écrire b ϕ(b) ϕ() = ϕ (t) dt b b ϕ (t) dt M dt = M(b ). Exercice. Soient ϕ : [, b] F de clsse C 1. On suppose qu on ϕ (t) ρ(t) pour tout t [, b], où ρ : [, b] R + est une fonction continue. Montrer qu on ϕ(b) ϕ() b ρ(t) dt. Appliction 2. Comme deuxième illustrtion du théorème fondmentl de l nlyse, on v démontrer un résultt très utile sur les suites de fonctions de clsse C 1. Pour des fonctions à vleurs réelles, ce résultt été vu en 2è nnée (sous une forme sns doute plus générle). Proposition 2.6. Soit I un intervlle de R, et soit (ϕ k ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur I, à vleurs dns F. Soit églement ϕ : I F. On suppose que (i) ϕ k (t) ϕ(t) pour tout t I ; (ii) l suite (ϕ k ) converge simplement vers une fonction u : I F, vec convergence uniforme sur tout intervlle compct J I. Alors ϕ est de clsse C 1 et ϕ = u = lim k ϕ k. Remrque. On l déjà dit : l convergence uniforme se définit exctement comme pour les fonctions à vleurs réelles, en remplçnt les vleurs bsolues pr des normes. Démonstrtion. Fixons un point I. Si x I lors (2.1) ϕ k (x) = ϕ k () + x ϕ k (t) dt

38 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE pour tout k N, d près le théorème fondmentl de l nlyse. Comme ϕ k u uniformément sur [, x] (ou [x, ] si x > ) pr (ii), l intégrle du second membre tend vers x u(t) dt. Comme de plus ϕ k() ϕ() pr (i), on obtient donc en pssnt à l limite dns (2.1) : x I : ϕ(x) = ϕ() + x u(t) dt. D près le théorème fondmentl de l nlyse, cel prouve que ϕ est de clsse C 1 vec ϕ = u. Corollire 2.7. Soit (v k ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur I, à vleurs dns F. On suppose que l série v k converge simplement sur I, et que l série v k converge normlement sur tout compct de I. Alors l fonction v = 0 v k est de clsse C 1, et v = 0 v k. Démonstrtion. C est immédit en ppliqunt l proposition ux sommes prtielles ϕ k = k 0 v j, cr l convergence normle de l série v k entrine l convergence uniforme de l suite (ϕ k ). (On utilise ici le fit que l espce F est complet : écrire les détils). Appliction 3. Comme troisième ppliction du théorème fondmentl de l nlyse (et églement comme illustrtion d utres idées vues dns ce chpitre), on v démontrer un résultt élémentire mis très utile concernnt les intégrles à prmètres. Proposition 2.8. Soit I et [, b] deux intervlles de R, et soit Φ : I [, b] R. On suppose que Φ dmet en tout point (t, x) I [, b] une dérivée prtielle Φ t (t, x), et que l fonction Φ t est continue sur I [, b]. On définit f : I R pr f(t) = b Φ(t, x) dx. Alors f est de clsse C 1 sur I et on peut dériver sous l intégrle : f (t) = b Φ (t, x) dx. t Démonstrtion. Pour t I, notons Φ(t, ) l fonction [, b] x Φ(t, x). Tout repose sur le fit suivnt. Fit. L ppliction ϕ : I C([, b]) définie pr ϕ(t) = Φ(t, ) est de clsse C 1, vec ϕ (t) = Φ t (t, ) pour tout t I. Preuve du fit. Fixons un point t 0 I. D près le théorème fondmentl de l nlyse, on Φ(t, x) = Φ(t 0, x) + t Φ t 0 s (s, x) ds pour tout x [, b]. En notnt δ x : C([, b]) R l forme linéire définie pr δ x (u) = u(x), cel s écrit encore t ( ) Φ δ x (ϕ(t)) = δ x (ϕ(t 0 )) + (s, ) ds. s D utre prt, on sit d près le corollire 4.5 du chpitre 1 que l ppliction s Φ s (s, ) est continue de I dns C([, b]). Donc l intégrle vectorielle t Φ t 0 s (s, ) ds est bien définie, et comme comme δ x est une forme linéire continue sur C([, b]) (exercice) on t ( ) ( Φ t ) Φ (s, ) ds = δ x (s, ) ds. s s t 0 δ x t 0 δ x t 0

On en déduit δ x (ϕ(t)) = δ x ( ϕ(t 0 ) + t t 0 Φ ϕ(t)(x) = pour tout x [, b]. Ainsi, on 3. LA FORMULE DE TAYLOR 39 ( ϕ(t 0 ) + ϕ(t) = ϕ(t 0 ) + s ), (s, ) ds utrement dit t ) Φ (s, ) ds (x) s t 0 t t 0 Φ (s, ) ds s pour tout t [, b] ; et d près le théorème fondmentl de l nlyse on en déduit que ϕ est de clsse C 1 vec ϕ (t) = Φ t (t, ). Si on introduit mintennt l forme linéire Θ : C([, b]) R définie pr Θ(u) = b u(x) dx, lors on pr définition f = Θ ϕ. De plus, Θ est continue cr Θ(u) (b ) u pour toute u C([, b]). D près le fit et le lemme 1.3, on en déduit que f est de clsse C 1 vec f (t) = Θ(ϕ (t)) ; ce qui s écrit f (t) = b Φ (t, x) dx. x 3. L formule de Tylor L formule de Tylor vec reste intégrle est un résultt fondmentl de l théorie des fonctions numériques d une vrible réelle. L version vectorielle s énonce exctement de l même fçon : Théorème 3.1. (formule de Tylor à l ordre r + 1) Soient I un intervlle de R, F un espce de Bnch, r 0 et ϕ : I F de clsse C r+1. Pour tous, b I, on ϕ(b) = ϕ() + (b )ϕ (b b )r () + + ϕ (r) (b t) r () + ϕ (r+1) (t) dt. r! r! Remrque 3.2. Le reste intégrle peut s écrire différemment : en posnt h = b et en utilisnt le chngement de vrible t = + sh, on obtient (exercice) b (b t) r ϕ (r+1) (t) dt = r! 1 0 (1 s) r ϕ (r+1) ( + sh) h r+1 ds. r! Preuve de l formule de Tylor. D près le théorème fondmentl de l nlyse, on ϕ(b) = ϕ() + b ϕ (t) dt, ce qui est l formule souhitée pour r = 0. Si on suppose r 1 (et donc ϕ u moins C 2 ) une intégrtion pr prties donne b ϕ (t) dt = [ (b t)ϕ (t) ] b b + (b t)ϕ (t) dt = (b )ϕ () + b (b t)ϕ (t) dt,

40 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE et donc ϕ(b) = ϕ() + (b )ϕ () + b (b t)ϕ (t) dt. Si on suppose r 2, on peut ré-intégrer pr prties pour obtenir b (b t)ϕ (t) dt = = [ ] b (b t)2 ϕ (t) 2 (b )2 ϕ () + 2 b b + (b t) 2 ϕ (t) dt 2 (b t) 2 ϕ (t) dt, 2 et insi de suite. En répétnt r fois ce risonnement, on obtient l formule souhitée. Remrque. L intégrtion pr prties de l preuve précédente peut sembler un peu mystérieuse : pourquoi intégrer pr prties vec (b t) et ps vec t? Voici une mnière un peu différente de procéder. On commence pr écrire ϕ(b) = ϕ() + = ϕ() + b b ϕ (t) dt ( ϕ () + = ϕ() + (b )ϕ () + = ϕ() + (b )ϕ () + t b b ) ϕ (s) ds dt ( b ) ϕ (s) dt ds s (b s)ϕ (s) ds. Ensuite, on itère ce risonnement ; ou si on préfère, on démontre l formule de Tylor pr récurrence sur r en écrivnt b (b t) r b ϕ (r+1) (b t) r ( t ) (t) dt = ϕ (r+1) () + ϕ (r+2) (s) ds dt r! r! et en finissnt le clcul comme plus hut. Autre démonstrtion. On peut églement déduire l formule de Tylor pour les fonctions à vleurs vectorielles de l formule correspondnte pour les fonctions à vleurs réelles, en utilisnt le lemme de sclristion. Il suffit d observer que si Θ F, lors l fonctions à vleurs réelles Θϕ = Θ ϕ est de clsse C r+1, vec (Θϕ) (k) (t) = Θϕ (k) (t) pour tout k {0,..., r + 1} (preuve immédite pr récurrence). En notnt ξ le second membre dns le formule de Tylor, on donc Θ(ξ) = Θϕ() + (b )(Θϕ) (b )r () + + (Θϕ) (r) () r! ( b (b t) r ) +Θ ϕ (r+1) (t) dt r! = Θϕ() + (b )(Θϕ) (b )r () + + (Θϕ) (r) () r! b (b t) r + (Θϕ) (r+1) (t) dt r! = Θ(ϕ(b)), d près l formule de Tylor ppliquée à l fonction à vleurs réelles Θϕ. Comme Θ F est quelconque, on donc bien ξ = ϕ(b) d près le lemme de sclristion.

4. FONCTIONS CONVEXES 41 Corollire 3.3. (inéglité de Tylor-Lgrnge) Si ϕ : I F est de clsse C r+1 et si ϕ (r+1) (t) M sur I pour une certine constnte M lors, pour, x I, on ( ) ϕ(x) ϕ() + (x )ϕ (x )r () + + ϕ (r) x r+1 () M r! (r + 1)! ) Démonstrtion. Posons ξ = ϕ(x) (ϕ() + (x )ϕ () + + (x )r r! ϕ (r) (). D près l formule de Tylor, on 1 ξ = (1 t) r ϕ (r+1) ( + t(x )) (x ) r+1 dt r! 0 1 0 M dt x r+1 r! 1 d où le résultt puisque 1 0 (1 t)r dt = 1 r+1 0 (1 t) r dt, Exercice. Soit ϕ : [, b] F de clsse C 2. On suppose qu on ϕ () = 0 et ϕ (t) ρ(t) pour tout t [, b], où ρ : [, b] R + est une fonction continue. Mjorer ϕ(b) ϕ() pr une intégrle fisnt intervenir α. 4. Fonctions convexes Définition 4.1. Soit I un intervlle de R. Une fonction ϕ : I R est dite convexe si le grphe de f est en dessous de toutes ses cordes ; ce qui s écrit nlytiquement comme suit : (4.1) u, v I λ [0, 1] : f((1 λ)u + λv) (1 λ)f(u) + λf(v). L fonction f est dite concve si f est convexe, utrement dit si l inéglité (4.1) est inversée Exercice 1. Fire un dessin pour illustrer l définition. Exercice 2. Montrer que l fonction t t est convexe sur R. Exercice 3. Soit ϕ : I J une bijection croissnte entre deux intervlles de R. Montrer que si ϕ est convexe, lors ϕ 1 est concve. Remrque. Une fonction ϕ : I R est à l fois convexe et concve si et seulement si elle est ffine, i.e. de l forme ϕ(t) = t + b. Démonstrtion. Il est clir qu une fonction ffine est à l fois convexe et concve (exercice). Inversement, supposons ϕ convexe et concve, utrement dit qu on ϕ((1 λ)u + λv) = (1 λ)ϕ(u) + λϕ(v) pour tous u, v I et pour tout λ [0, 1]. Cel signifie que pour tous u, v dns I vec u < v, l fonction ϕ coïncide sur [u, v] vec l unique fonction ffine α u,v telle que α u,v (u) = ϕ(u) et α u,v (v) = ϕ(v). Ainsi, ϕ(t) est de l forme u,v t + b u,v sur tout intervlle [u, v] I. Comme deux fonctions ffines qui coincident sur un intervlle non-trivil sont égles prtout (il suffit qu elles soient égles en deux points distincts),

42 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE on voit très fcilement que les coefficients u,v et b u,v ne dépendent en fit ps de u et v ; donc ϕ est ffine sur I. On ne dir ps grnd chose ici sur les fonctions convexes. En fit, on v se contenter de démontrer le résultt suivnt. Théorème 4.2. Soit I un intervlle de R et soit ϕ : I R une fonction dérivble. Les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) ϕ est convexe ; (ii) le grphe de ϕ est u dessus de toutes ses tngentes, i.e. (iii) ϕ est croissnte. x, y I : ϕ(y) ϕ(x) + ϕ (x)(y x) ; Exercice. Fire un dessin pour illustrer (ii). Corollire 4.3. Soit ϕ : I R une fonction continue sur I et dérivble sur I. Alors ϕ est convexe sur I si et seulement si ϕ est croissnte sur I. Démonstrtion. Pr continuité, ϕ est convexe sur I si et seulement si elle l est sur I ; donc le résultt découle imméditement du théorème. Corollire 4.4. Une fonction ϕ continue sur I et deux fois dérivble sur I est convexe si et seulement si ϕ 0 sur I, et concve si et seulement si ϕ 0. Corollire 4.5. L fonction t t α est convexe sur [0, [ si α 1, et concve si α [0, 1]. L fonction exponentielle est convexe sur R, et l fonction logrithme est concve sur ]0, [. Preuve du théorème. Pr continuité, ϕ est convexe sur I si et seulement si elle l est sur I ; donc on peut supposer que ϕ est dérivble sur I. L impliction (i) = (iii) v découler très fcilement du fit suivnt (qu on ppelle l inéglité des 3 pentes). Il est indispensble d illustrer l énoncé pr un dessin. Fit. Si ϕ est convexe et si u < v < w, lors (4.2) ϕ(v) ϕ(u) v u ϕ(w) ϕ(u) w u ϕ(w) ϕ(v) w v Preuve du fit. On écrit v = (1 λ)u + λw, où λ [0, 1] est donné pr λ = v u w u, 1 λ = w v w u L inéglité de convexité ϕ(v) (1 λ)ϕ(u) + λϕ(w) donne d une prt (1 λ) (ϕ(w) ϕ(u)) ϕ(w) ϕ(v), qui est l inéglité de droite dns (4.2) ; et d utre prt qui est l inéglité de guche dns (4.2). ϕ(v) ϕ(u) λ (ϕ(w) ϕ(u)),

4. FONCTIONS CONVEXES 43 Preuve de (i) = (iii). Si ϕ est convexe lors, en fisnt tendre v vers u puis vers w dns l inéglité des 3 pentes (4.2), on obtient ϕ ϕ(w) ϕ(u) (u) ϕ (w) w u pour tous u, w I vérifint u < w ; donc ϕ est croissnte sur I. Preuve de (iii) = (ii). Supposons ϕ croissnte, et soient x, y I. D près le théorème des ccroissements finis, on peut trouver c entre x et y tel que ϕ(y) ϕ(x) = ϕ (c)(x y). Si x y, lors c x, donc ϕ (c) ϕ (x) et donc ϕ(y) ϕ(x) ϕ (x)(y x) puisque y x 0. Si x y, lors c x, donc ϕ (c) ϕ (x) et donc ϕ(y) ϕ(x) ϕ (x)(y x) à nouveu puisque y x 0. preuve de (ii) = (i). Supposons (ii) vérifiée. Pour montrer que ϕ est convexe, il suffit d étblir l inéglité ϕ((1 λ)u + λv) (1 λ)ϕ(u) + λϕ(v) lorsque u < v et 0 < λ < 1. Posons x = (1 λ)u + λv, de sorte que u < x < v et λ = v x v u, 1 λ = x u v u En ppliqunt (ii) vec y = u et y = v, on obtient (puisque u x < 0 et v x > 0) ϕ(u) ϕ(x) u x ϕ (x) ϕ(v) ϕ(x) v x On en déduit ( 1 ϕ(x) v x 1 ) ϕ(v) u x v x ϕ(u) u x, utrement dit ϕ(x) x u v x v u ϕ(u) + v u ϕ(v) = (1 λ)ϕ(u) + λ ϕ(v). Exemple. Soient p et q deux nombres réels strictement plus grnd que 1 tels que 1 p + 1 q = 1. Pr concvité de l fonction logrithme, on log( 1 p p + 1 q q ) 1 p log(p ) + 1 q log(bq ) = log + log b = log(b) pour tous, b > 0, utrement dit b 1 p p + 1 q bq. On en déduit que si ( i ) n i=1 et (b i) n i=1 sont deux suites finies de nombres strictement positifs tels que n 1 p i = 1 = n 1 bq i, lors i b i 1 p + 1 q = 1. i=1 Si mintennt les i et les b i sont (strictement positifs et) quelconques et si on pose ã i = i A et b i = b i B, où A = ( n 1 p i )1/p et B = ( n 1 bq i )q, lors n 1 ãp i = 1 = n b q 1 i. On donc n i=1 ãi b i 1, utrement dit ( ) 1/p ( ) q i b i b q i. i=1 i=1 Cette inéglité s ppelle l inéglité de Hölder. p i i=1

44 2. FONCTIONS D UNE VARIABLE Exercice 1. Montrer que si ϕ : I R est convexe, lors possède une dérivée à guche et à droite en tout point de I, vec ϕ g(s) ϕ d (s) ϕ g(t) ϕ d (t) pour tous s, t vérifint s < t. Exercice 2. Montrer que si ϕ : I R est convexe, lors, pour tout x I, on peut trouver une fonction ffine telle que ϕ et (x) = ϕ(x). En déduire que si x 1,..., x n I et si λ 1,..., λ n vérifient λ i 0 et i λn 1 = 1, lors ( ) ϕ( λ i x i λ i ϕ(x i ). i=1 Exercice 3. Démontrer l inéglité rithmético-géométrique : si 1,..., n > 0, lors ( 1 n ) 1/n 1 + + n n i=1

CHAPITRE 3 Applictions différentibles 1.1. Nottions o et O. 1. Définitions Définition 1.1. Soient E et F deux evn, et soient R : V F et α : V [0, [ deux pplictions définies sur une prtie V de E (1) Suposons que V soit un voisinge de 0. On dit que R(h) est un petit o de α(h) qund h tend vers 0, et on écrit R(h) = o(α(h)), si on α(h) > 0 R(h) pour h 0 suffismment proche de 0, et lim h 0 α(h) = 0. (2) On dit que R(h) est un grnd O de α(h) (sur V ), et on écrit R(h) = O(α(h)), s il existe une constnte C < telle que R(h) C α(h) pour tout h V. Remrque. Les notions de o et de O ne chngent ps si o remplce les normes pr des normes équivlentes. Exemple 0. Pr définition, R(h) = o(1) signifie que R(h) tend vers 0. Exemple 1. On h 2 = o( h ) qund h 0. Exemple 2. Si L : E F est linéire continue, lors L(h) = O( h ) sur E. Démonstrtion. C est immédit d près le critère de continuité pour les pplictions linéires. Exemple 3. Si B : E E F est bilinéire continue, lors B(h, k) = O( h k ), et donc B(h, k) = o( (h, k) ) qund (h, k) 0. Démonstrtion. L première prtie découle du critère de continuité pour les pplictions bilinéires. Pour l seconde, il suffit de remrquer qu on h k (h, k) 2 pr définition de l norme produit ( (h, k) = mx( h, k )), ce qui entrine que B(h, k) = O( (h, k) 2 ) u voisinge de 0. Exemple 4. Si E = M n (R) = F et si est une norme quelconque sur M n (R), lors H 2 = o( H ) qund H 0. Démonstrtion. On peut le voir comme une conséquence de l exemple 3 en considérnt l ppliction bilinéire B : M n (R) M n (R) M n (R) définie pr B(H, K) = HK. Cette ppliction B est continue cr on est en dimension finie (ou simplement prceque les coefficients de HK sont des fonctions polynomiles de ceux de H et K). On donc H 2 = B(H, H) = o( (H, H) ) = o( H ) qund H 0. On peut ussi risonner comme suit : pr équivlence des normes, on peut supposer que est une norme mtricielle ; et dns ce cs tout est clir cr H 2 H 2 et donc H 2 = O( H 2 ). 45

46 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Remrque. Les nottions o et O sont extrêmement commodes, et il fut fire l effort de s y hbituer. Pr exemple, on peut écrire (exctement comme qund on fit des développements limités) des identités du style o(α(h)) ± o(α(h)) = o(α(h)), O(α(h)) ± O(α(h)) = O(α(h)), O(α(h)) ± o(α(h)) = O(α(h)). Exercice 1. Justifier les identités précédentes. Exercice 2. Montrer que si R(h) = o(α(h)) qund h 0 et α(h) = O(β(h)), lors R(h) = o(β(h)) qund h 0. En prticulier, on peut écrire o(c α(h)) = o(α(h)) pour toute constnte C. 1.2. Différentibilité. Dns ce qui suit, E et F sont des evn. On rppelle que si L : E F est linéire continue, l nottion Lh est synonyme de L(h). Définition 1.2. Soit f : Ω F, où Ω est un ouvert de E et. On dit que f est différentible en un point p Ω s il existe une ppliction linéire continue L : E F telle que (1.1) f(p + h) = f(p) + Lh + o( h ) qund h tend vers 0. Cette définition bien un sens cr f(p+h) est effectivement défini dns un voisinge de 0 (on suppose que Ω est ouvert). Remrque 1. Si f est différentible en p, il existe une unique L L(E, F ) vérifint (1.1). On dit que L est l différentielle de f u point p, et on écrit L = Df(p). Ainsi, qund h 0 on f(p + h) = f(p) + Df(p)h + o( h ). Démonstrtion. Soient L 1 et L 2 deux pplictions linéires continues vérifint (1.1). Alors (L 1 L 2 )h = (f(p + h) f(p) + o( h )) (f(p + h) f(p) + o( h )) = o( h ) qund h 0. Pour ξ E \ {0} fixé, on donc (L 1 L 2 )(tξ) = o( tξ ) = o( t ) qund t 0, utrement dit (L 1 L 2 )(tξ) lim = 0 t 0 t Mis comme L 1 L 2 est linéire, on (L 1 L 2 )(tξ) t = t (L 1 L 2 )ξ t = (L 1 L 2 )ξ, expression qui ne dépend ps de t. Pr conséquent (L 1 L 2 )ξ = 0, pour tout ξ E \ {0}. Ceci est évidemment encore vri pour ξ = 0, et on donc L 1 = L 2. Remrque 2. Si f est à vleurs réelles, on utilise ussi l nottion df(p) pour désigner l différentielle de f u point p. Remrque 3. Si f est différentible en p, lors f est continue u point p. Démonstrtion. On f(p + h) f(p) + Df(p)h + o( h ) qund h 0, et Df(p)h = O( h ) cr Df(p) est linéire continue. Donc f(p + h) f(p) = o( h ) + O( h ) = O( h ) u voisinge de 0, et en prticulier f(p + h) f(p) tend vers 0 qund h 0.

1. DÉFINITIONS 47 Le lemme suivnt montre que dns le cs des fonctions d une vrible, on n rien défini de nouveu : l différentibilité est équivlente à l dérivbilité. Lemme 1.3. Soit ϕ : I F où I est un intervlle ouvert de R, et soit t 0 I. Alors ϕ est différentible en t 0 si et seulement si elle est dérivble en t 0, et dns ce cs s différentielle en t 0 est donnée pr En prticulier, on ϕ (t 0 ) = Dϕ(t 0 )1. Dϕ(t 0 )h = h ϕ (t 0 ). Démonstrtion. Si ϕ est dérivble en t 0, lors on peut écrire ϕ(t 0 +h) = ϕ(t 0 )+ hϕ (t 0 ) + hε(h), où ε(h) 0 qund h 0. Comme hε(h) = o( h ) qund h 0 et que l ppliction h h ϕ (t 0 ) est linéire continue, cel montre que ϕ est différentible en t 0 vec Dϕ(t 0 )h = hϕ (t 0 ). Inversement, si ϕ est différentible en t 0, lors ϕ(t 0 + h) = ϕ(t 0 ) + Dϕ(t 0 )h + o( h ) qund h 0. Comme Dϕ(t 0 ) est linéire, on Dϕ(t 0 )h = Dϕ(t 0 )(h 1) = h Dϕ(t 0 )1 pour tout h R. En posnt ξ = Dϕ(t 0 )1, l identité précédente s écrit donc ϕ(t 0 + h) = ϕ(t 0 ) + h ξ + o( h ). Ainsi, ϕ possède un développement limité à l ordre 1 en t 0, et pr conséquent ϕ est dérivble en t 0 vec ϕ (t 0 ) = ξ = Dϕ(t 0 )1. Remrque. De cette démonstrtion, il est bon de retenir le fit suivnt : toute ppliction linéire L : R F est de l forme L(h) = h ξ, et on lors ξ = L(1). L correspondnce L ξ = L(1) est un isomorphisme de F sur L(R, F ), et on de plus L L(R,F ) = L(1) F (exercice). Ainsi, L(R, F ) s identifie isométriquement à F de fçon cnonique. Définition 1.4. Soit Ω un ouvert de E, et soit f : Ω F. (i) On dit que f est différentible sur Ω si elle est différentible en tout point p Ω. On lors sous l min une ppliction Df : Ω L(E, F ), qu on ppelle l différentielle de f. (ii) On dit que f est de clsse C 1 sur Ω si f est différentible sur Ω et si s différentielle Df : Ω L(E, F ) est continue. Remrque. L différentielle de f est donc une ppliction de Ω dns un espce d pplictions, à svoir l espcel(e, F ). Il est importnt d être toujours bien conscient de ce fit : une différentielle est un objet compliqué. Exemple 1. Soit I un intervlle ouvert de R. Une ppliction ϕ : I F est de clsse C 1 u sens de l définition précédente si et seulement si elle est C 1 u sens de l définition donnée u chpitre 1, i.e. ϕ est dérivble sur I et ϕ : I F est continue. Démonstrtion. On sit déjà que ϕ : I F est différentible sur I si et seulement si elle est dérivble sur I, et qu on lors ϕ (t) = Dϕ(t)1 pour tout t I ; utrement dit, l correspondnce cnonique entre L(R, F ) et F identifie Dϕ(t) et ϕ (t), pour tout t I. Ainsi, lorsque ϕ est différentible sur I, s différentielle Dϕ : I L(R, F ) s identifie à son ppliction dérivée ϕ : I F et on Dϕ(t) Dϕ(s) L(R,F ) = ϕ (t) ϕ (s) F pour tous s, t I. En prticulier, Dϕ est continue si et seulement si ϕ est continue. Exemple 2. Supposons qu il existe une ppliction linéire continue L : E F telle que u Ω : f(u) = L(u). Alors f est de clsse C 1 et u Ω : Df(u) = L. L différentielle Df est donc constnte sur Ω.

48 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Démonstrtion. C est évident puisque pour tout p Ω et h tel que p + h Ω, on f(p + h) = L(p + h) = L(p) + L(h) = f(p) + Lh + 0. Cs prticulier. Soit Ω un ouvert de R n. Pour j {1,..., n}, notons x j : Ω R l j-ième fonction coordonnée : si u = (u 1,..., u n ) Ω, lors x j (u) = u j. Alors les x ) j sont de clsse C 1 sur Ω, et pour u Ω et h = ( h1. h n dx j (u)h = h j. R n, on Démonstrtion. Pr définition, on x j (u) = π j (u) pour tout u Ω, où π j : R n R est l j-ième projection, qui est linéire continue. Donc x j est C 1 vec dx j (u) = π j pour tout u Ω. Exemple 3. Soient E, F, G trois evn. Si B : E F G est une ppliction bilinéire continue, lors B est de clsse C 1 et s différentielle est donnée pr l formule (1.2) DB(u, v)(h, k) = B(u, k) + B(h, v). En prticulier, DB est une ppliction linéire continue de E F dns L(E F, G). Démonstrtion. On B((u, v) + (h, k)) = B(u + h, v + k) = B(u, v) + B(u, k) + B(h, v) + B(h, k) = B(u, v) + B(u, k) + B(h, v) + O( (h, k) 2 ) = B(u, v) + B(u, k) + B(h, v) + o( (h, k) ) qund (h, k) 0. Comme pour tout (u, v) E F l ppliction (h, k) B(u, k) + B(h, v) est linéire continue (cr B est bilinéire continue), cel montre que B est différentible en tout point (u, v) E F et que DB est donnée pr (1.2). Comme B est bilinéire, (1.2) montre que l ppliction DB est linéire de E F dns L(E F, G). De plus, pr continuité de B, il existe une constnte C telle que B(x, y) C x y pour tout (x, y) E F. On en déduit DB(u, v)(h, k) C ( u k + h v ) 2C (u, v) (h, k). Pr conséquent, DB(u, v) 2C (u, v) pour tout (u, v) E F. Cel montre que l ppliction linéire DB est continue, utrement dit que B est de clsse C 1. Cs prticulier. L ppliction P : M n (R) M n (R) M n (R) définie pr P (A, B) = AB est de clsse C 1 sur M n (R), vec DP (A, B)(H, K) = HB + AK. Démonstrtion. C est immédit puisque P est bilinéire continue. Exercice. Montrer que l ppliction A A 2 est de clsse C 1 sur M n (R) et trouver s différentielle.

2. FONCTIONS À VALEURS DANS Rm ; FONCTIONS DÉFINIES SUR Rn 49 1.3. Dérivées directionnelles. Dns ce qui suit, E et F sont toujours des evn. Définition 1.5. Soit f : Ω F où Ω est un ouvert de E, et soit p Ω. Soit églement e E \ {0}. On dit que f dmet u point p une dérivée dns l direction de e si l fonction d une vrible t f(p + te) est dérivble en 0. On pose lors e f(p) = d [ ] f(p + te) dt t=0 f(p + te) f(p) = lim t 0 t Exercice. Montrer que si e f(p) existe, lors λe f(p) existe pour tout λ R, et λe f(p) = λ e f(p). L proposition suivnte est très simple, mis très importnte. Proposition 1.6. Si f : Ω F est différentible en p, lors f dmet u point p des dérivées dns toutes les directions, et on pour tout e E \ {0}. e f(p) = Df(p)e Démonstrtion. On f(p + h) = f(p) + Df(p)h + o( h ) qund h 0. Pr conséquent, si e E \ {0} est fixé lors f(p + te) = f(p) + Df(p)(te) + o( te ) qund t 0 = f(p) + tdf(p)e + o( t ), cr Df(p) est linéire et te = t e = O( t ). Ainsi, f(p+te) possède un développement limité à l ordre 1 en 0, et pr conséquent d [ ] dt f(p + te) existe et vut Df(p)e. L existence de dérivées dns toutes les directions ne suffit cependnt ps à ssurer l différentibilité : Exemple. Soit f : R 2 R l fonction définie pr f(0, 0) = 0, f(x, y) = 0 si y x 2 et f(x, x 2 ) = 1 pour tout x 0. Alors (i) f dmet en (0, 0) des dérivées dns toutes les directions, et e f(0, 0) = 0 pour tout e R 2 \ {0} ; (ii) f n est ps continue en (0, 0) (et donc ps différentible). Démonstrtion. Il est clir que f n est ps continue en (0, 0) puisque f(x, x 2 ) = 1 ne tend ps vers 0 = f(0, 0) qund x 0. Pour démontrer (i), fixons e = (α, β) R 2 \{0}. On f((0, 0)+te) = f(tα, tβ) pour tout t R. L éqution tβ = (tα) 2 possède u plus 2 solutions (et en fit exctement 2 si α et β sont tous les deux non nuls), dont l une est t = 0. Donc on certinement tβ (tα) 2 si t 0 est ssez proche de 0, et donc f(tα, tβ) = 0. Pr conséquent, f((0, 0) + te) f(0, 0) = 0 pour t 0 ssez proche de 0, donc e f(0, 0) existe et vut 0. 2. Fonctions à vleurs dns R m ; fonctions définies sur R n 2.1. Fonctions à vleurs dns R m. Le résultt suivnt est très simple, mis importnt cr il signifie que l étude des fonctions à vleurs dns R m se rmène à celle des fonctions à vleurs réelles. t=0

50 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Proposition 2.1. Soit f : Ω R m (où Ω est un ouvert d un evn E). On écrit f(u) = f 1 (u). f m(u) Alors f est différentible en un point p Ω si et seulement si les fonctions f 1,..., f m le sont ; et dns ce cs Df(p) est donnée pr (2.1) Df(p)h =. Df 1 (p)h. Df m(p)h Démonstrtion. Dns ce qui suit, on munit R m de l norme. On ur besoin du fit suivnt, qui ser églement utilisé en d utres occsions.. Fit. Soit L : E R m une ppliction linéire, et écrivons L(h) = L 1 (h). L m(h) Alors L est continue si et seulement si ses composntes L 1,..., L m le sont, et dns ce cs on L = mx( L 1,..., L m ). Preuve du fit. L première prtie est clire puisque l convergence dns R m est l convergence coordonnée pr coordonnée (voir le chpitre 1, corollire 2.5). Supposons les L i (et donc L) continues. Si h E, lors L i (h) L(h) L h pour tout i {1,..., m} et L(h) = mx( L 1 (h),..., L m (h) ) mx( L 1,..., L m ) h. On en déduit d une prt L i L pour tout i {1,..., m}, et d utre prt L mx( L 1,..., L m ). Autrement dit : L = mx( L 1,..., L m ). Supposons f différentible en p. On peut lors écrire f(p + h) = f(p) + Df(p)h + R(h), où R(h) = o( h ) qund h 0. En notnt π 1,..., π m les formes linéires coordonnées sur R m, on en déduit π i (f(p + h)) = π i (f(p)) + π i (Df(p)h) + R i (h) pour tout i {1,..., m} ; utrement dit f i (p + h) = f i (p) + π i (Df(p)h) + R i (h), où R i (h) = π i (R(h)). Pr continuité des formes linéires π i, on R i (h) = O( R(h)) ), et donc R i (h) = o( h )) qund h 0. Cel montre que chque f i est différentible en p vec Df i (p)h = π i (Df(p)h) pour tout i {1,..., m} ; d où (2.1). Inversement, supposons que chque f i soit différentible en p. On peut lors écrire f i (p + h) = f i (p) + Df i (p)h + R i (h), où R i (h) = o( h ). Pr conséquent, où R(h) = R 1 (h). R m(h) f(p + h) = f(p) +. Df 1 (p)h. Df m(p)h + R(h),. On R(h) = mx( R 1 (h),..., R m (h) ) = o( h ) cr R i (h) = o( h ) pour tout i. De plus, l ppliction linéire L définie pr L(h) = Df 1 (p)h. Df m(p)h est continue d près le fit. Ainsi, f est différentible en p vec Df(p) = L.

2. FONCTIONS À VALEURS DANS Rm ; FONCTIONS DÉFINIES SUR Rn 51 Corollire 2.2. Avec les nottions précédentes, l ppliction f est de clsse C 1 si et seulement si ses composntes f 1,..., f m le sont. Démonstrtion. Munissons R m de l norme. D près le fit énoncé dns l preuve de l proposition, l espce L(E, R m ) s identifie isométriquement à l espce produit L(E, R) L(E, R). Une ppliction Φ : Ω L(E, R m ) = L(E, R) L(E, R) est donc continue si et seulement si ses composntes Φ 1,..., Φ m le sont. En prticulier (en supposnt f différentible), Df : Ω L(E, R m ) est continue si et seulement si les Df i le sont ; utrement dit, f est de clsse C 1 si et seulement si les f i le sont. Exercice. Énoncer et démontrer un nlogue de l proposition 2.1 pour une ppliction f à vleurs dns un evn produit E 1 E m. 2.2. Dérivées prtielles. Dns ce qui suit, F est un evn. Définition 2.3. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω F. Soit églement j {1,..., n}. On dit que f dmet en un point p = (p 1,..., p n ) Ω une dérivée prtielle pr rpport à l j-ième vrible si l fonction d une vrible x f(p 1,..., p j 1, x, p j+1,... p n ) est dérivble u point p j. On pose lors Autrement dit, on j f(p) = d [ ] f(p 1,..., p j 1, x, p j+1,... p n ). dx x=p j f(p 1,..., p j 1, p j + t, p j+1,... p n ) f(p 1,..., p j 1, p j, p j+1,... p n ) j f(p) = lim t 0 t Remrque 1. En oublint les nottions peut-être désgrébles, cette définition est très simple : on considère toutes les vribles comme constntes suf une, et on dérive pr rpport à cette vrible. Remrque 2. Il ne fut ps perdre de vue que j f(p) est un élément de F. Si j f(p) existe en tout point p Ω, on donc sous l min une ppliction j f : Ω F, qu on ppelle bien entendu l j-ième dérivée prtielle de f. Autres nottions. (i) Si les vribles se notent (x 1,..., x n ), on écrit souvent f x j u lieu de j f. (i ) Mis si les vribles se notent (u 1,..., u n ), on écrit plutôt f u j (ii) Si Ω est un ouvert de R 2, on écrit plutôt (x, y) u lieu de (x 1, x 2 ), et donc f f f f y u lieu de x 1, x 2 (iii) De même, si Ω est un ouvert de R 3, les vribles se notent en générl (x, y, z) et on écrit f x, f y, f z En résumé : l seule nottion cnonique est j f. Les utres dépendent du nom qu on donne ux vribles et peuvent prfois prêter à confusion ; mis elles sont qund même très utilisées, cr peut-être plus suggestives. x,

52 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Exemple. Soit f : R 2 R définie pr f(x, y) = e x3y + x 2 y cos(x y 3 ). Alors f dmet des dérivées prtielles en tout point, vec f x (x, y) = 3x2 ye x3y + 2xy cos(x y 3 ) x 2 y sin(x y 3 ), f y (x, y) = x3 e x3y + x 2 cos(x y 3 ) + 3x 2 y 3 sin(x y 3 ). Remrque. Pour lléger les nottions, on écrit souvent f f y x et f y f u lieu de x (x, y) et est une f (x, y). C est commode, mis incorrect et dngereux : en toute rigueur, x fonction dont l vleur en un point p = (x, y) est f x (x, y). On v u devnt de grves ennuis si on ne fit ps très ttention à bien comprendre ce qu on écrit. Le lemme suivnt montre que les dérivées prtielles sont des cs prticuliers de dérivées directionnelles. Lemme 2.4. Soit f : Ω F (où Ω est un ouvert de R n ) et soit p Ω. Pour tout j {1,..., n}, on j f(p) = ej f(p), où e j est le j-ième vecteur de l bse cnonique de R n. Démonstrtion. C est clir cr f(p + te j ) = f(p 1,..., p j 1, p j + t, p j+1,..., p n ). Théorème 2.5. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω F. Si f est différentible en un point p Ω, lors f dmet ) u point p des dérivées prtielles pr rpport à chque vrible, et pour h = ( h1. h n R n on Df(p)h = h j j f(p). j=1 En prticulier, j f(p) = Df(p)e j pour tout j {1,..., n}. Démonstrtion. Supposons f différentible en p. D près l proposition 1.6, on sit que f dmet u point p des dérivées dns toutes les directions, vec e f(p) = Df(p)e pour tout e R n \ {0}. Donc f dmet des dérivées prtielles en p, vec pour tout j {1,..., n}. Pour h = j f(p) = Df(p)e j ) ( h1. h n R n, on donc Df(p)h = Df(p) h j e j = = j=1 h j Df(p)e j j=1 h j j f(p). j=1 pr linérité

2. FONCTIONS À VALEURS DANS Rm ; FONCTIONS DÉFINIES SUR Rn 53 On vu plus hut que l existence de dérivées prtielles en un point ne suffit ps à ssurer l différentibilité (voir l exemple donné près l proposition 1.6). Avec des hypothèses plus fortes, on obtient cependnt une réciproque u théorème précédent : Théorème 2.6. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω F. Soit églement p Ω. On suppose que f dmet des dérivées prtielles en tout point de Ω et que les fonctions 1 f,..., n f sont continues u point p. Alors f est différentible en p. Démonstrtion. D près le théorème précédent, le seul cndidt possible pour Df(p) est l ppliction linéire (continue) L : R n F définie pr L(h) = h j j f(p). j=1 Il s git donc de montrer qu on f(p + h) f(p) L(h) = o( h ) qund h 0. Dns l suite, on munit R n de l norme et on choisit δ > 0 tel que Soit h = ( h1. h n ) h δ = p + h Ω. R n vérifint h δ. En écrivnt f(p + h) f(p) = [ f(p 1 + h 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) f(p 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) ] on obtient + [ f(p 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) f(p 1, p 2, p 3 + h 3,..., p n + h n ) ] +... + [ f(p 1,..., p n 1, p n + h n ) f(p 1,..., p n ) ], f(p + h) f(p) L(h) = où les j (h) sont donnés pr les formules suivntes : j (h), 1 (h) = f(p 1 + h 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) f(p 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) h 1 1 f(p) 2 (h) = f(p 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) f(p 1, p 2, p 3 + h 3,..., p n + h n ) h 2 2 f(p). n (h) = f(p 1,..., p n 1, p n + h n ) f(p 1,..., p n ) h n n f(p) j=1 En regrdnt 1 de plus près, on constte qu on où ϕ : [0, 1] F est définie pr 1 (h) = ϕ(1) ϕ(0), ϕ(t) = f(p 1 + th 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) th 1 1 f(p). Comme u(t) := (p 1 + th 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) B(p, δ) Ω pour tout t [0, 1] et comme 1 f(u) existe en tout point de Ω, l fonction ϕ est dérivble sur [0, 1] vec ϕ (t) = h 1 1 f(p 1 + th 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) h 1 1 f(p). D près l inéglité des ccroissements finis, on sit qu on peut trouver c ]0, 1[ tel que ϕ(1) ϕ(0) ϕ (c), utrement dit 1 (h) h 1 1 f(p 1 + ch 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) 1 f(p).

54 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES D utre prt, le point q 1 (h) = (p 1 + ch 1, p 2 + h 2,..., p n + h n ) vérifie q 1 (h) p = mx( ch 1, h 2,..., h n ) h. Ainsi, on trouvé un point q 1 (h) Ω tel que q 1 (h) p h et 1 (h) h 1 1 f(q 1 (h)) 1 f(p). De même, on peut trouver des points q 2 (h),..., q n (h) tels que q j (h) p h pour tout j, et j (h) h j 1 f(q j (h)) 1 f(p). On en déduit f(p + h) f(p) L(h) h j 1 f(q j (h)) 1 f(p) j=1 h 1 f(q j (h)) 1 f(p) j=1 = h ε(h). Comme q j (h) p h, chque q j (h) tend vers p qund h 0, et donc ε(h) tend vers 0 puisque les j f sont continues u point p. On donc bien montré que f(p + h) f(p) L(h) = o( h ) qund h 0, ce qui chève l démonstrtion. Corollire 2.7. Soit Ω un ouvert de R n. Pour une ppliction f : Ω F, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) f est de clsse C 1 sur Ω ; (ii) f dmet des dérivées prtielles en tout point de Ω, et les fonctions 1 f,..., n f sont continues sur Ω. Démonstrtion. Si (i) est vérifiée, lors f dmet des dérivées prtielles en tout point, et on j f(u) = Df(u)e j pour j {1,..., n} et pour tout u Ω. Comme l ppliction (linéire) L Le j est continue sur L(R n, F ) et comme Df est continue, on en déduit pr composition que chque j f est continue sur Ω. Inversement, supposons (ii) vérifiée. Alors f est différentible sur Ω d près le théorème, et il reste à voir que Df : Ω L(R n, F ) est continue. Munissons R n de l norme. L preuve du fit suivnt est lissée en exercice. Fit. Si L L(R n, F ), lors L = n 1 L(e j). D près le fit, si u, v Ω lors Df(v) Df(u) = = Df(v)e j Df(u)e j j=1 j f(v) j f(u). j=1 Comme les j f sont supposées continues, on en déduit que Df est continue, utrement dit que f est de clsse C 1. ) ( f1 Corollire 2.8. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω R m. Écrivons f =.. f m Alors f est de clsse C 1 si et seulement si j f i existe et est continue sur Ω, pour tout i {1,..., m} et pour tout j {1,..., n}.

2. FONCTIONS À VALEURS DANS Rm ; FONCTIONS DÉFINIES SUR Rn 55 Remrque. L intérêt prtique des deux corollires précédents est évident : pour montrer qu une fonction définie sur un ouvert de R n est de clsse C 1, il suffit de clculer des dérivées prtielles et de vérifier qu elles sont continues. On peut même oublier l définition de l différentibilité! Exemple. L formule f(x, y) = ( e x log(x y) (x+y) sin(xy) x 5 y 3 + cos(x3 +y 2 ) x 3 1 sur Ω = {(x; y) R 2 ; x 1 et x > y}, à vleurs dns R 3. 2.3. Mtrice jcobienne ; grdient. ) définit une ppliction de clsse C 1 Définition 2.9. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω R possèdnt des dérivées prtielles en un point p Ω. Le grdient de f u point p, noté f(p), est le vecteur de R n défini pr f(p) = 1 f(p). nf(p) Il est importnt de se souvenir que le grdient n est trditionnellement défini que pour une fonction à vleurs réelles. Proposition 2.10. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω R. Si f est différentible en un point p Ω, lors. h R n : Df(p)h = f(p), h, où, est le produit sclire usuel sur R n. Démonstrtion. C est évident : si h = Df(p)h = ( h1. h n ) R n, lors h j j f(p) = f(p), h. j=1 Définition 2.11. ) Soit Ω un ouvert de R n, et soit f : Ω R m. Écrivons comme d hbitude f = ( f1. f m, et supposons que les fonctions f i possèdent des dérivées prtielles en un point p Ω. L mtrice jcobienne de f u point p est l mtrice Jc f (p) = ( fi x j (p) Remrque. L mtrice jcobienne d une fonction de R n dns R m donc m lignes et n colonnes. Pour s en souvenir, penser ux pplictions linéires : l mtrice d une ppliction linéire L = R n R m bien m lignes et n colonnes. Pour ne ps se tromper dns l écriture de Jc f, il fut juste ne ps oublier d écrire f(x 1,..., x n ) comme un vecteur colonne. Exercice. Écrire l mtrice jcobienne de L ppliction f : R 2 R 3 définie pr f(x, y) = ( x 3 y 4, (x + y 2 ) sin(xy), rctn(x y 3 ) ) en tout point (x, y) R 2. ) n i,j=1

= ( Jc f (p)h ) i. 56 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Proposition 2.12. Soit Ω un ouvert de R n. Si f : Ω R m est différentible en un point p Ω, lors Jc f (p) est l mtrice de l ppliction linéire Df(p) reltivement ux bses cnoniques de R n et de R m. Démonstrtion. On vu que l différentielle Df(p) est donnée pr En écrivnt h = ( h1. h n ) vecteur Df(p)h R m est égle à Df(p)h = Df 1 (p)h. Df m(p)h., on voit donc que pour i {1,..., m} l i-ième coordonnée du ( Df(p)h ) i = j=1 f i x j (p) h j Exercice. Soit f : Ω R une fonction à vleurs réelles différentible en un point p. Quelle reltion y -t-il entre le grdient de f u point p et s mtrice jcobienne u point p? 2.4. Formes différentielles et nottion physicienne. Dns ce qui suit, Ω est un ouvert de R n. Définition 2.13. Une forme différentielle (de degré 1) sur Ω est une ppliction α : Ω L(R n, R) de Ω dns l espce vectoriel L(R n, R). Exemple. Si f : Ω R est différentible sur Ω, lors s différentielle df est une forme différentielle sur Ω. Comme L(R n, R) est un espce vectoriel, on dispose de deux opértions nturelles sur les formes différentielles. Somme : si α et β sont des formes différentielles sur Ω, on définit une forme différentielle α + β en posnt (α + β)(u) = α(u) + β(u). Multipliction pr une fonction : si α : Ω L(R n, R) est une forme différentielle et si λ : Ω R est une fonction sur Ω (à vleurs réelles), on définit une forme différentielle λ α en posnt (λ α)(u) = λ(u)α(u). Proposition 2.14. Soient x 1,..., x n les fonctions coordonnées sur Ω. Toute forme différentielle α : Ω L(R n, R) s écrit de mnière unique sous l forme α = λ j dx j j=1 où les λ j sont des fonctions sur Ω. On λ j (u) = α(u)e j pour tout u Ω et j {1,..., n}.

3. FONCTIONS COMPOSÉES 57 Démonstrtion. On sit qu on dx j (u) = π j pour tout u Ω et j {1,..., n}, où π j : R n R est l j-ième forme linéire coordonnée. D utre prt, on sit églement que (π 1,..., π n ) est une bse de L(R n, R) = (R n ). Le résultt s en déduit imméditement. Enfin, en évlunt α(u) = n 1 λ k(u)dx j (u) = n 1 λ k(u)π k sur le vecteur e j et en se souvennt que π k (e j ) vut 0 pour k j et 1 pour k = j, on trouve α(u)e j = λ j (u). Cs prticulier. Si f : Ω R est différentible, on df(u)e j = j f(u) pour tout u Ω et j {1,..., n}. On en déduit l écriture de l forme différentielle df dns l bse (dx 1,..., dx n ) : f (2.2) df = dx j. x j j=1 C est l mystérieuse formule utilisée systémtiquement en physique. On verr plus loin que cette formule est prticulièrement bien dptée ux chngements de vribles. Remrque 1. L écriture (2.2) dépend du nom qu on donné ux vribles, i.e. ux fonctions coordonnées. Si les vribles s ppelient u 1,..., u n, on écririt évidemment df = n f 1 u j du j. Remrque 2. Si n = 1, i.e. Ω est un ouvert de R, on une seule vrible x, donc 1 f = f et df = f dx. Même si on ne peut ps diviser pr dx, cel explique l nottion f = df dx 3. Fonctions composées Le théorème suivnt générlise l formule de dérivtion des fonctions composées (g f) (t) = g (f(t)) f (t). Rppellons qu on note L 1 L 2 plutôt que L 1 L 2 l composée (le produit ) de deux pplictions linéires L 1 et L 2. Théorème 3.1. (théorème des fonctions composées) Soient, E, F, G trois evn, f : Ω F où Ω un ouvert de E, et g : Ω G où Ω un ouvert de F. On suppose qu on f(ω) Ω (de sorte que l composée g f : Ω G est bien définie). Si f est différentible en un point p Ω et si g est différentible en f(p), lors g f est différentible en p vec D(g f)(p) = Dg(f(p))Df(p). Remrque. Il fut bien comprendre cette formule. On Df(p) L(E, F ) et Dg(f(p)) L(F, G), donc l composée Dg(f(p))Df(p) = Dg(f(p)) Df(p) est bien définie. L formule signifie que si h E, lors D(g f)(p)h = Dg(f(p))(Df(p)h). Démonstrtion. Il s git simplement d une composition de développements limités. On f(p + h) = f(p) + Df(p)h + R 1 (h) où R 1 (h) = o( h ) qund h 0, et g(f(p) + k) = g(f(p)) + Dg(f(p))k + R 2 (k)

58 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES où R 2 (k) = o( k ) qund k 0. En prennt k = Df(p)h + R 1 (h), on en déduit g f(p + h) = g(f(p) + Df(p)h + R 1 (h)) = g(f(p)) + Dg(f(p)) ( Df(p)h + R 1 (h) ) + R 2 ( Df(p)h + R1 (h) ) = g f(p) + Dg(f(p)Df(p)h + R 3 (h), ( où R 3 (h) = Dg(f(p))R 1 (h) + R 2 Df(p)h + R1 (h) ). Comme Dg(f(p)) est linéire continue, on Dg(f(p)R 1 (h) = 0( R 1 (h) ) = o( h ) qund h 0 ; et comme k = Df(p)h + R 1 (h) tend vers 0 qund h 0, on R 2 (Df(p)h + R 1 (h)) = o( Df(p)h + R 1 (h) ) = o( h ) qund h 0 (cr Df(p)h + R 1 (h) = O( h ) + o( h ) = O( h ) u voisinge de 0). Ainsi, R 3 (h) = o( h ) qund h 0, ce qui termine l démonstrtion. Corollire 3.2. L composée de deux pplictions de clsse C 1 est de clsse C 1 sur son domine de définition. Démonstrtion. D près le théorème, si f et g sont différentibles lors Φ = g f est différentible sur Ω vec DΦ(u) = Dg(f(u))Dg(u) pour tout u Ω. On peut donc écrire ( ) DΦ(u) = B Df(u), Dg(f(u)), où B : L(E, F ) L(F, G) est l ppliction bilinéire définie pr B(S, T ) = T S. Comme B est continue (voir le chpitre 1), on en déduit pr composition que si Df et Dg sont continues, lors D(g f) est continue. Conséquence prtique. Comme pour l continuité, il découle de ce résultt qu une fonction donnée pr une formule explicite, construite à prtir de fonctions de clsse C 1, est de clsse C 1 sur tout ouvert contenu dns son domine de définition. Exercice. Soit α > 0. Montrer que l formule f(x, y) = (x 2 + y 2 ) α définit une fonction de clsse C 1 sur Ω = R 2 \ {(0, 0)}. Pour α = 1/2, cette fonction est-elle de clsse C 1 sur R 2? Corollire 3.3. Sous les hypothèses du théorème, on prend E = R n, F = R m et G = R l. Alors l mtrice jcobienne de g f u point p est le produit des deux mtrices jcobiennes Jc g (f(p)) et Jc f (p) : Jc g f (p) = Jc g (f(p)) Jc f (p). Démonstrtion. C est évident puisque les mtrices jcobiennes sont les mtrices des différentielles et que l composition des pplictions linéires correspond u produit des mtrices. Corollire 3.4. Soit f : Ω R, où Ω est un ouvert de R m. On suppose que f s écrit sous l forme f(u 1,..., u m ) = F (x 1 (u 1,..., u m ),..., x n (u 1,..., u m )), où les fonctions F et x 1,..., x n sont différentibles. Pour j {1,..., n}, notons F x j l fonction u j F (x 1 (u),..., x n (u)). Alors : (1) l différentielle de f est donnée pr l formule F df = dx j ; x j j=1

(2) pour i {1,..., m}, on 3. FONCTIONS COMPOSÉES 59 f u i = F j=1 x j x j u i Démonstrtion. Posons x(u) = (x 1 (u),..., x n (u)). Alors x : Ω R n est différentible et f = F x. Pour u Ω et h R m, on donc df(u)h = df (x(u))(dx(u)h) = (dx(u)h) j j F (x(u)) = = j=1 j F (x(u)) dx j (u)h j=1 F j=1 x j dx j (u) h. Cel prouve (1). L formule (2) découle imméditement de (1) : en écrivnt dx j = m x j i=1 u i du i et en reportnt dns (1), on obtient df = = ( m ) F x j du i x j u i=1 i m F x j du i x j u i j=1 i=1 j=1 Comme pr illeurs df = m f 1 u i du i, on en déduit l formule souhitée pr unicité de l décomposition de l forme différentielle df dns l bse (du 1,..., du m ) : f u i = F j=1 x j x j u i f Preuve directe de (2). Pour u Ω et i {1,..., m} donnés, u i (u) est le i-ème coefficient de l mtrice jcobienne Jc f (u) (qui est une mtrice ligne 1 m puisque f est à vleurs réelles). Comme f = F x, où x(u) = (x 1 (u),..., x n (u)), on sit que Jc f (u) = Jc F (x(u))jc x (u), utrement dit Jc f (u) = ( ) F F x (x(u)) 1... x (x(u)) n x 1 u 1 (u).... x n u 1 (u)... x 1 u m (u).. x n u m (u) En écrivnt le i-ème coefficient de ce produit de mtrices, on obtient (2). Remrque. Évidemment, on v s empresser d oublier les guillemets utour de F x j pour écrire simplement F x j Mis il ne fut ps perdre de vue que cette nottion

60 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES est une bbrévition potentiellement source d erreurs. On peut cependnt en rjouter dns l bus de nottion, et écrire f u lieu de F dns (1) : on retombe lors sur l formule mgique df = n f j=1 x j dx j, mis le f du membre de droite n ps le même sens que celui du membre de guche. Le f de droite est l fonction f considérée comme fonction des nouvelles vribles x 1,..., x n, qui sont elles-même des fonctions et à ce titre dmettent des différentielles dx 1,..., dx n. En résumé : l formule mgique df = n f j=1 x j dx j est vlble en toute circonstnce, à condition de l interpréter correctement. Exercice. Soit F : Ω R différentible, où Ω = R 2 \ {(x, 0); x 0}, et soit f : ]0, [ ]0, 2π[ R l fonction définie pr f(r, θ) = F (r cos θ, r sin θ). Exprimer les dérivées prtielles de f en fonction de celles de F, puis celles de F en fonction de celles de f. Corollire 3.5. Soit I un intervlle ouvert de R, et soit f : I R de l forme f(t) = F (x 1 (t),..., x n (t)), où F est différentible et les x j sont dérivbles. Alors l dérivée de f est donnée pr l formule f (t) = j=1 F x j (x 1 (t),..., x n (t)) x j(t). Démonstrtion. C est un cs prticulier du corollire précédent (vec Ω = I et m = 1). Exercice. soit F : R 3 R différentible. Donner une formule pour l dérivée de l fonction t F (t 2 + t 5, e t, t 3 cos t). Corollire 3.6. Soient γ = I E dérivble vec γ(i) Ω et soit f : Ω F différentible, où I est un intervlle ouvert de R. Alors l fonction ϕ : I F définie pr ϕ(t) = f(γ(t)) est dérivble, vec ϕ (t) = Df(γ(t))γ (t). Démonstrtion. On ϕ = f γ, donc ϕ est différentible (i.e. dérivble) vec Dϕ(t)h = Df(γ(t))(Dγ(t)h) pour t I et h R. Autrement dit : h ϕ (t) = Df(γ(t))(h γ (t)) = h Df(γ(t))γ (t), d où le résultt en prennt h = 1. Remrque. Le résultt reste vri même pour un intervlle I quelconque. On peut le voir soit en recopint l preuve du théorème des fonctions composées dns ce cs prticulier, soit en prolongnt ϕ en une fonction dérivble sur un intervlle ouvert contennt I (exercice). Corollire 3.7. Soit Ω un ouvert d un evn E, et soient f, g : Ω R. Si f et g sont différentibles, lors f + g et fg le sont vec d(f + g) = df + dg et d(fg) = gdf + fdg. Si de plus g ne s nnule ps, lors f/g est différentible vec d(f/g) = gdf fdg g 2 Démonstrtion. Pour l somme, il n est ps difficile de démontrer le résultt en utilisnt uniquement l définition de l différentibilité. On peut ussi procéder d une mnière beucoup plus compliquée mis qui illustre bien le théorème des fonctions composées. Pr définition, on f + g = L Φ où Φ : Ω R R sont définies pr Φ(u) = (f(u), g(u)) et L(x, y) = x + y. L ppliction Φ est différentible vec DΦ(u)h = (df(u)h, dg(u)h), et l pliction L est linéire continue, donc différentible

4. AF ET TFA 61 vec DL(x, y) = L pour tout (x, y) R 2. Pr composition, f +g est donc différentible vec d(f + g)(u)h = DL(Φ(u))(DΦ(u)h) = L(df(u)h, dg(u)h) = df(u)h + dg(u)h, d où le résultt. Pour le produit, on écrit fg = B Φ, où Φ(u) = (f(u), g(u)) et B : R R R est définie pr B(x, y) = xy. Comme B est bilinéire continue, on en déduit que fg est différentible vec d(f g)(u)h = DB(Φ(u))(DΦ(u)h) = DB(f(u), g(u))(df(u)h, dg(u)h) = B(f(u), dg(u)h) + B(df(u)h, g(u)) = f(u)dg(u)h + g(u)df(u)h, ce qui est l formule souhitée. Pour le quotient, on se rmène u produit. En écrivnt h = f/g, on hg = f, donc d(hg) = df utrement dit gdh + hdg = df. Pr conséquent : d(f/g) = dh = (df hdg)/g = df (f/g)dg g = gdf fdg g 2 Il fut qund même justifier que f/g est bien différentible, ce qui découle du théorème des fonctions composées et de l différentibilité de l fonction (x, y) x/y sur R R (formule explicite...). 4. AF et TFA 4.1. L inéglité des ccroissements finis. Rppelons que si u et v sont deux points d un espce vectoriel (réel) E, on note [u, v] le segment d extrémités u et v. C est le sous-ensemble de E défini nlytiquement pr [u, v] = { (1 t)u + tv; t [0, 1] }. On bien sûr [u, v] = [v, u]. D utre prt, cette définition un sens pour E = R et on obtient bien l intervlle fermé borné d extrémités u et v. Théorème 4.1. (inéglités des ccroissements finis) Soient E et F deux evn, et soit f : Ω F différentible, où Ω est un ouvert de E. Si u, v Ω et si le segment [u, v] est contenu dns Ω, lors il existe un ξ [u, v] tel que f(v) f(u) Df(ξ)(v u). En prticulier, on peut trouver ξ [u, v] tel que f(v) f(u) Df(ξ) v u. Démonstrtion. Soit ϕ : [0, 1] F l fonction définie pr ϕ(t) = f(γ(t)), où γ(t) = (1 t)u + tv. Comme [u, v] Ω, l fonction ϕ est dérivble sur [0, 1] pr composition, vec (corollire 3.6) ϕ (t) = Df(γ(t))γ (t) = Df(γ(t))(v u).

62 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES D près l inéglité des ccroissements finis pour les fonctions d une vrible, on sit qu il existe un point c [0, 1] tel que ϕ(1) ϕ(0) (1 0) ϕ (c). Comme γ(1) = v et γ(0) = u, cel s écrit f(v) f(u) Df(γ(c))(v u), d où le résultt vec ξ = Df(γ(c)). L deuxième inéglité du théorème est clire puisque Df(ξ)(v u) Df(ξ) v u. Corollire 4.2. Si l ouvert Ω est convexe et s il existe une constnte M tel que Df(ξ) M pour tout ξ Ω, lors f est M-lipschitzienne sur Ω : u, v Ω : f(v) f(u) M v u. Démonstrtion. C est évident puisque [u, v] Ω pour tous u, v Ω. Corollire 4.3. Soit Ω un ouvert de R n. Si f : Ω F est de clsse C 1 sur Ω, lors f est lipschitzienne sur toute boule fermée B Ω. Démonstrtion. L boule B est compcte cr on est en dimension finie, donc l fonction continue ξ Df(ξ) est bornée sur B : il existe une constnte M telle que Df(ξ) M pour tout ξ B. De plus, l boule B est églement convexe, donc Df(ξ) M pour tout ξ [u, v] si u, v B. D près l inéglité des ccroissements finis, on en déduit imméditement le résultt. Corollire 4.4. Si l ouvert Ω E est connexe et si Df 0 dns Ω, lors f est constnte sur Ω. Démonstrtion. D près l inéglité des ccroissements finis (corollire 4.2 vec M = 0), on f(v) f(u) 0 (i.e. f(u) = f(v)) dès que u, v Ω sont tels que [u, v] Ω. Si mintennt u et v sont deux points quelconques de Ω lors, pr connexité, on peut relier u et v pr une ligne brisée L = [ 0, 1 [ N 1, N ] entièrement contenue dns Ω (voir l proposition 4.6 du chpitre 1). D près ce qui précède, on f( i+1 ) = f( i ) pour tout i {0,..., N 1}, et donc f(v) = f( N ) = = f( 0 ) = f(u). Comme u et v sont quelconques dns Ω, cel montre que f est constnte. On peut ussi démontrer directement le résultt, sns utiliser l proposition 4.6 du chpitre 1. Fixons un point p Ω et posons Ω 0 = {u Ω; f(u) = f(p)} et Ω 1 = {u Ω; f(u) f(p)}. Il s git de montrer que Ω 1 =. Comme Ω 0 et Ω 1 forment une prtition de Ω, que Ω 1 est visiblement ouvert et que Ω 0 (cr p Ω 0 ), il suffit (pr connexité de Ω) de montrer que Ω 0 est ouvert. Soit donc u 0 Ω 0 quelconque, et soit r > 0 tel que B = B(u 0, r) Ω. Comme l boule B(u, r) est convexe, f est constnte sur B d près l inéglité des ccroissements finis (corollire 4.2 vec M = 0). On insi f(u) f(u 0 ) = f(p) sur B, utrement dit B = B(u 0, r) Ω 0. 4.2. le théorème fondmentl de l nlyse. Dns cette section, E est un evn et F est un evn complet (pr exemple de dimension finie). Si Ω est un ouvert de E, on ppeler chemin dns Ω toute ppliction continue γ : [, b] E définie sur un intervlle compct [, b] R, telle que γ([, b]) Ω. Théorème 4.5. (théorème fondmentl de l nlyse) Soit Ω un ouvert de E, et soit f : Ω F de clsse C 1. Si γ : [, b] E est un chemin de clsse C 1 dns Ω, lors f(γ(b)) f(γ()) = b Df(γ(t))γ (t) dt.

4. AF ET TFA 63 Démonstrtion. Soit ϕ : [, b] F l fonction d une vrible définie pr ϕ(t) = f(γ(t)). L fonction ϕ est effectivement bien définie puisque γ(t) Ω pour tout t [, b], et pr composition elle est de clsse C 1 vec ϕ (t) = Df(γ(t))γ (t) (corollire 3.6). Il suffit donc d ppliquer à ϕ le théorème fondmentl de l nlyse pour les fonctions d une vrible démontré u chpitre 1. Corollire 4.6. Soit f : Ω F de clsse C 1. Si u, v Ω et si [u, v] Ω, lors f(v) f(u) = 1 0 Df((1 t)u + tv)(v u) dt. Autrement dit, si p Ω et si h E est tel que [p, p + h] Ω, lors f(p + h) = f(p) + 1 0 Df(p + th)h dt. Démonstrtion. C est le théorème ppliqué u chemin γ : [0, 1] E défini pr γ(t) = (1 t)u + tv. Exercice. Utiliser le théorème fondmentl de l nlyse pour redémontrer l inéglité des ccroissements finis, dns le cs d une ppliction de clsse C 1. Comme illustrtion du théorème fondmentl de l nlyse, on v mintennt démontrer un résultt concernnt les suites d pplictions de clsse C 1. C est l nlogue de l proposition 6.13 du chpitre 1. Proposition 4.7. Soit Ω un ouvert de E, soit (f k ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur Ω, à vleurs dns F, et soit f : Ω F. On suppose que (i) l suite (f k ) converge simplement vers f sur Ω ; (ii) l suite (Df k ) converge uniformément sur toute boule fermée B Ω vers une ppliction Φ : Ω L(E, F ). Alors f est de clsse C 1 et Df = Φ. Démonstrtion. Comme les Df k sont continues et convergent uniformément vers Φ sur toute boule boule ouverte B = B(p, r) telle que B Ω, l ppliction Φ est continue (cr continue u voisinge de chque point p Ω). Il suffit donc de montrer que f est différentible sur Ω vec DF = Φ. Soit p Ω, et fixons r > 0 tel B(p, r) Ω. Alors [p, p + h] Ω pour tout h E vérifint h r, pr convexité de l boule B = B(p, r). Pour un tel h, on donc k N : f k (p + h) = f k (p) + 1 0 Df k (p + th)h dt. Comme Df k (p + th)h tend vers Φ(p + th)h uniformément sur [0, 1] pr (ii) (cr [p, p + h] B), on peut psser à l limite sous l intégrle et on obtient f(p + h) = f(p) + 1 0 Φ(p + th)h dt pour tout h vérifint h r. Comme Φ est continue, on peut écrire Φ(p + k) = Φ(p) + ε(k), où ε(k) tend vers 0 qund k 0. Pour h r, on donc f(p + h) = f(p) + 1 0 [ Φ(p) + ε(th) ] h dt = f(p) + Φ(p)h + R(h),

64 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES où R(h) = 1 0 ε(th)h dt. De plus, R(h) 1 0 h ε(th)h dt 1 0 ε(th) dt Comme ε(k) tend vers 0 qund k 0, l intégrle 1 0 ε(th) dt tend vers 0 qund h 0 (exercice). On donc R(h) = o( h ) qund h 0, et comme Φ(p) L(E, F ), cel prouve que f est différentible en p vec Df(p) = Φ(p). Corollire 4.8. Soit Ω un ouvert de R n, et soit (f k ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur Ω, à vleurs réelles. Soit églement f : Ω R. On suppose que (i) l suite (f k ) converge simplement vers f sur Ω ; (ii) pour tout j {1,..., n} l suite ( fk x j )k N compct de Ω vers une fonction g j : Ω R. Alors f est de clsse C 1 et f k x j = g j pour tout j {1,..., n}. converge uniformément sur tout Démonstrtion. On pplique l proposition vec E = R n et F = R, en identifint L(R n, R) vec l espce M 1,n (R) des mtrices 1 n (et donc en identifint l différentielle d une fonction en un point vec s mtrice jcobienne en ce point). L hypothèse (ii) dit que Jc fk (u) tend uniformément sur tout compct vers (g 1 (u),..., g n (u)). En notnt Φ(u) L(R n, R) l ppliction linéire de mtrice (g 1 (u),..., g n (u)), cel signifie que Df k (u) tend vers Φ(u) uniformément sur tout compct (donc sur toute boule fermée puisqu on est en dimension finie). On peut donc effectivement ppliquer l proposition. Corollire 4.9. Soit Ω un ouvert de R n, soit (v k ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur Ω, à vleurs réelles. On suppose que (i) l série v k converge simplement sur Ω ; (ii) pour tout j {1,..., n} l série v k x j converge normlement sur tout compct de Ω. Alors l fonction f = k=0 v k est de clsse C 1 et f x j = k=0 v k x j pour tout j {1,..., n}. Démonstrtion. On pplique l proposition ux sommes prtielles f k = k i=0 v i, en utilisnt le fit que l convergence normle d une série de fonctions entrine s convergence uniforme. Exercice. Énoncer et démontrer une version de ce dernier corollire pour un evn de déprt E quelconque et des fonctions u k à vleurs dns F. 5. Fonctions de clsse C 2 5.1. Définitions. Dns ce qui suit, Ω est un ouvert de R n. Définition 5.1. On dit qu une fonction f : Ω R est deux fois différentible en un point p Ω si f est différentible u voisinge de p et si ses dérivées prtielles

5. FONCTIONS DE CLASSE C 2 65 sont différentibles en p. On dit que f est de clsse C 2 sur Ω si f est de clsse C 1 et si ses dérivées prtielles 1 f,..., n f sont elle mêmes de clsse C 1. On note C 2 (Ω) l ensemble des fonctions de clsse C 2 sur Ω. Remrque. Ces définitions peuvent se reformuler de mnière intrinsèque, i.e. sns fire intervenir les dérivées prtielles : (i) f est deux fois différentible en p si et seulement si elle est différentible sur un voisinge V de p et Df = V L(R n, R) est différentible de p ; (ii) f est de clsse C 2 si et seulement si elle est de clsse C 1 et Df : Ω L(R n, R) est de clsse C 1. Démonstrtion. C est immédit en identifint L(R n, R) à M 1,n (R) = R n, et donc Df à Jc f = ( 1 f,..., n f). Nottions. Pour i, j {1,..., n}, on note i j f ou i ( j f) = l dérivée prtielle itérée ( ) f x i x j (Ces fonctions sont définies en tout point où f est deux fois différentible). Si i = j, on écrit 2 f x 2 i u lieu de 2 f x i x i 2 f x i x j Remrque. Bien entendu, si n = 2 on emploie plutôt les nottions 2 f 2 f y 2 Et de même si n = 3. x y, 2 f y x, 2 f x 2 Définition 5.2. Soit f : Ω R deux fois différentible en un point p. L différentielle seconde de f u point p est l forme bilinéire d 2 f(p) : R n R n R définie pr d 2 f(p)(h, h ) = i j f(p) h i h j, i,j=1 où on écrit les vecteurs h, h R n sous l forme h = ( h1. h n ) et h = Remrque 1. Notons (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n. Pour i, j {1,..., n}, on d 2 f(p)(e i, e j ) = i j f(p). Remrque 2. L mtrice de l forme bilinéire d 2 f(p) dns l bse cnonique de R n s ppelle l mtrice hessienne de f u point p, et on l noter H f (p). Ainsi, on ( ) H f (p) = 2 n f x i x j (p) i,j=1. Exercice. Pour h, h R n, exprimer d 2 f(p)(h, h ) à l ide de H f (p) et du produit sclire usuel de R n. Proposition 5.3. Si f : Ω R est deux fois différentible en un point p Ω, lors l dérivée directionnelle itérée h h f(p) existe pour tous h, h R n, et on d 2 f(p)(h, h ) = h h f(p). Démonstrtion. Fixons h, h R n. Comme f est différentible sur un certin voisinge U de p, on sit que h f(u) existe en tout point u U, vec h f(u) = j f(u) h j. j=1 h 1. h n. et

66 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Comme f est deux fois différentible en p, toutes les fonctions j f sont différentibles en p. Donc h f est différentible en p, et pr conséquent h ( h f)(p) existe vec h ( h f)(p) = d( h f)(p) h = h j d( j f)(p)h = j=1 h j j=1 ( ) h i i j f(p) i=1 = d 2 f(p)(h, h ). 5.2. Symétrie des dérivées croisées. Le théorème suivnt signifie que l ordre dns lequel on effectue des dérivtions prtielles n en fit ucune importnce. C est un résultt priori surprennt, et bien entendu fondmentl. Dns tout ce qui suit, Ω est comme d hbitude un ouvert de R n. Théorème 5.4. (théorème de Schwrz) Si f C 2 (Ω), lors i j f = j i f pour tous i, j {1,..., n}. Démonstrtion. L énoncé ne fisnt intervenir que 2 vribles à l fois, on peut se limiter u cs d une fonction de 2 vribles. Autrement dit, on se donne une fonction f de clsse C 2 sur Ω R 2, et il s git de montrer qu on 2 f x y = 2 f y x L preuve repose sur le lemme suivnt. Rppelons que si R = [, b] [c, d] est un rectngle de R 2 et si Φ : R R est une fonction continue, lors on b ( d ) b ( d ) Φ(x, y) dy dx = Φ(x, y) dy dx, c et que l vleur commune de ces deux intégrles itérées est notée R φ(x, y) dxdy. Lemme 5.5. Soient Φ 1 et Φ 2 deux fonctions continues sur Ω (à vleurs réelles). On suppose qu on R Φ 1(x, y) dxdy = R Φ 2(x, y) dxdy pour tout rectngle R Ω. Alors Φ 1 = Φ 2. Démonstrtion du lemme. Soit Φ = Φ 2 Φ 1. On R Φ(x, y) dxdy = 0 pour tout rectngle R Ω, et on veut montrer que Φ = 0. Supposons que ce ne soit ps le cs. Alors on peut pr exemple trouver un point p 0 = (x 0, y 0 ) Ω tel que Φ(p 0 ) > 0. Soit α 0 tel que 0 < α 0 < Φ(p 0 ). Pr continuité de Φ, on peut trouver δ > 0 tels que u p 0 δ = Φ(u) α 0 (prendre ε = Φ(p 0 ) α 0 dns l définition de l continuité...). L boule fermée B(p 0, δ) est le crré R = [x 0 δ, x 0 +δ] [y 0 δ, y 0 +δ]. Pr le choix de δ, on Φ(x, y) dxdy α 0 dxdy = α 0 (2δ) 2 > 0, ce qui contredit l hypothèse fite sur Φ. R R c

R 5. FONCTIONS DE CLASSE C 2 67 On pplique le lemme vec Φ 1 = 2 f x y et Φ 2 = 2 f y x. Si R = [, b] [c, d] est un rectngle contenu dns Ω, lors 2 f d ( b ( ) ) x y dxdy = f (x, y) dx dy x y = De même, on trouve 2 f y x dxdy = R Ainsi, on R 2 f x y = 2 f y x c d c [ f y f (b, y) (, y) y ] dy = [ f(b, d) f(b, c) ] [ f(, d) f(, c) ]. b ( d c ( ) ) f (x, y) dy dx y x = [ f(b, d) f(, d) ] [ f(b, c) f(, c) ]. 2 f x y dxdy = 2 f R y x dxdy pour tout rectngle R Ω, et donc Corollire 5.6. Si f C 2 (Ω), ) lors d 2 f(p) est une forme bilinéire symétrique (pour tout p Ω). Pour h = ( h1. h n d 2 f(p)(h, h) = R n, on donc j=1 2 f x 2 h 2 j + 2 j i<j 2 f x i x j h i h j. Remrque. On énoncé le théorème de Schwrz pour une fonction de clsse C 2, mis le résultt est en fit vlble sous une hypothèse beucoup plus fible (et plus nturelle) : on i j f(p) = i j f(p) dès lors que f est deux fois différentible en un point p. L preuve de ce résultt étnt un peu moins trnsprente, on préféré se limiter u cs C 2. 5.3. L formule de Tylor à l ordre 2. Dns cette section, on étend l formule de Tylor (théorème 3.1 du chpitre 2) u cs des fonctions de plusieurs vribles. Comme on n ps prlé de différentibilité à un ordre supérieur à 2, on ne peut énoncer cette formule qu à l ordre 2. Pour h R n, on poser h [2] = (h, h). Proposition 5.7. (formule de Tylor à l ordre 2) Soit f C 2 (Ω). Si p Ω et si h R n est tel que [p, p + h] Ω, lors f(p + h) = f(p) + df(p)h + 1 L démonstrtion utilise le lemme suivnt. 0 (1 t) d 2 f(p + th)h [2] dt. Lemme 5.8. Soit f C 2 (Ω), et soient p, h tels que [p, p+h] Ω. On définit ϕ : [0, 1] R pr ϕ(t) = f(p + th). Alors ϕ est de clsse C 2, et on ϕ (t) = df(p + th)h, ϕ (t) = d 2 f(p + th)h [2].

68 3. APPLICATIONS DIFFÉRENTIABLES Démonstrtion. Comme f est de clsse C 1, l fonction ϕ est C 1 pr composition, vec ϕ (t) = df(p + th)h = h f(p + th). Mis f est en fit C 2, donc l fonction g = h f est C 1. Pr conséquent, ϕ est de clsse C 1, utrement dit ϕ est C 2, vec d près l proposition 5.3. ϕ (t) = d( h f)(p + th)h = h h f(p + th) = d 2 f(p + th)h [2] Démonstrtion de l proposition 5.7. Il suffit mintennt d ppliquer l formule de Tylor à l ordre 2 pour les fonctions d une vrible à l fonction ϕ définie dns le lemme. Corollire 5.9. (développement limité à l ordre 2) Soit f C 2 (Ω). Pour tout point p Ω, on le développement limité suivnt qund h 0 (où est une norme quelconque sur R n ) : f(p + h) = f(p) + df(p)h + 1 2 d2 f(p)h [2] + o( h 2 ). Démonstrtion. On munit pr exemple R n de l norme. Fixons p Ω et choisissons r > 0 tel que B(p, r) Ω. Pr convexité de l boule B(p, ) r), on [p, p + h] Ω pour tout h R n vérifint h r. Pour un tel h = ( h1. h n f(p + h) = f(p) + df(p)h + = f(p) + df(p)h +, l formule de Tylor s écrit 1 0 1 0 (1 t)d 2 f(p + th)h [2] dt (1 t) 2 f (p + th) h i h j dt. x i x j i,j=1 De plus, comme f est de clsse C 2 on peut écrire 2 f x i x j (p + u) = 2 f x i x j (p) + ε ij (u), où ε ij (u) 0 qund u 0. On obtient lors 2 f f(p + h) = f(p) + df(p)h + h i h j (p) x i x j i,j=1 = f(p) + df(p)h + 1 2 d2 f(p)h [2] + R(h), où le reste R(h) est donné pr l formule [ 1 ] R(h) = (1 t)ε ij (th) dt h i h j. i,j=1 0 1 0 (1 t) dt +R(h) } {{ } 1/2 Qund h tend vers 0, chque ε ij (th) tend vers 0 uniformément sur [0, 1] (cr th 0 uniformément), et donc 1 0 (1 t)ε ij(th)dt 0. Pr conséquent, le terme d indice (i, j)

5. FONCTIONS DE CLASSE C 2 69 dns l somme précédente est un o( h i h j ). Comme h i h j h 2, on en déduit ce qui termine l démonstrtion. R(h) = o( h 2 ), Remrque 1. En fit, on peut montrer que f dmet un DL d ordre 2 u point p en supposnt seulement que f est 2 fois différentible en p. Remrque 2. Pour déterminer le développement limité à l ordre 2 d une fonction de plusieurs vribles en un point donné, on peut en théorie toujours ppliquer l formule du corollire précédent ; mis dns l prtique, cel devient rpidement pénible pour une fonction un peu compliquée, cr cel suppose de clculer des dérivées prtielles secondes. Il est souvent plus rpide de procéder comme pour les fonctions d une vrible, i.e. en composnt des DL connus de fonctions d une vrible. Exercice. Déterminer le développement limité à l ordre 2 en (0, 0) de l fonction f : R 2 R définie pr f(x, y) = cos(x + 3y 2 ) + e x2 4y.

CHAPITRE 4 Extrem 1. Introduction Soit A une prtie d un evn E, et soit f : A R. Les deux questions suivntes sont ssurément nturelles : L fonction f possède-t-elle un mximum ou un minimum? Si oui, comment comment le clculer, et comment déterminer le ou les points où il est tteint? Dns ce chpitre, on donne quelques réponses à ces questions. L terminologie suivnte ser constmment utilisée : Définition 1.1. Soit f : A R, et soit A. (1) On dit que f possède un mximum globl en si u A : f(u) f() ; un mximum locl en si on peut trouver un voisinge ouvert V de tel que u V A : f(u) f() ; (2) On définit de même les notions de minimum globl et de minimum locl. (3) On dit que f possède un extremum (globl ou locl) en si f possède un mximum ou un minimum (globl ou locl) en. Remrque 1. Évidemment, tout extremum globl est un extremum locl. Remrque 2. Le pluriel de extremum n est ps extremums mis extrem. De même pour mximum ou minimum. Exercice. Dessiner le grphe d une fonction f : R R possédnt 2 mimin locux, 3 mxim locux, 1 minimum globl et ucun mximum globl. 2. Compcité et existence d extrem Théorème 2.1. Soit A une prtie d un evn E, et soit f : A R. Pour α R, notons {f α} et {f α} les ensembles {u A; f(u) α} et {u A; f(u) α}. (1) S il existe α 0 R tel que {f α 0 } et {f α} est compct pour tout α α 0, lors f possède un minimum globl. (2) S il existe α 0 R tel que {f α 0 } = et {f α} est compct pour tout α α 0, lors f possède un mximum globl. L démonstrtion repose sur le lemme suivnt, très importnt pr illeurs. Lemme 2.2. (théorème des compcts emboités) Soit (K n ) n N une suite de prties compctes d un evn E. On suppose que les K n sont tous non vides, et que l suite (K n ) est décroissnte (K n+1 K n pour tout n). Alors n N K n. 71

72 4. EXTREMA Démonstrtion. Choisissons pour tout n un point x n K n. Comme les x n pprtiennent tous u compct K 0, l suite (x n ) possède une sous-suite (x nk ) k N qui converge vers un point E. Si n N est fixé, lors n k n pour tout k ssez grnd, et donc x nk K n puisque K nk K n. Comme K n est fermé dns E et x nk, on en déduit que K n, pour tout n N. Ainsi, n K n. Preuve du théorème. Il suffit de démontrer (1), cr on obtient ensuite (2) en ppliqunt (1) à f. Posons m = inf A f [, + [ (pr convention, m = si f n est ps minorée). Pr définition de m, il suffit de montrer qu il existe un point A tel que f() m. Si α 0 = m, il n y rien à démontrer. Si α 0 > m, choisissons une suite décroissnte de nombres réels (α n ) n 1 telle que m < α n α 0 pour tout n et α n m. Pr définition de m, les ensembles K n = {f α n } sont tous non vides. De plus, les K n sont compcts pr hypothèse, et l suite (K n ) est décroissnte puisque l suite (α n ) l est. D près le théorème des compcts emboités, on donc n N K n ; soit n K n. On f() α n pour tout n, donc f() m puisque α n m. Corollire 2.3. Supposons f continue. S il existe α 0 R tel que {f α 0 } est nonvide et compct, lors f possède un minimum globl. De même, s il existe α 0 R tel que {f α 0 } est non-vide et compct, lors f possède un mximum globl. Démonstrtion. Pr continuité de f, tous les ensembles {f α} pour α α 0 sont fermés dns le compct {f α 0 }, donc compcts. Corollire 2.4. Si K est un compct d un evn E, lors toute fonction continue sur K possède un mximum et un minimum (globux). Démonstrtion. Pr continuité de f, tous les ensembles {f α} sont fermés dns K, donc compcts ; et il y en certinement un qui est non-vide. Corollire 2.5. Soit E un evn de dimension finie, et soit M un fermé de E. Si f : M R est continue et vérifie lim x f(x) = +, lors f possède un minimum globl. Démonstrtion. Si α R, lors {f α} est un fermé de M pr continuité de f, donc un fermé de E cr M est fermé ; et {f α} est églement borné pr hypothèse sur f. Donc {f α} est compct pour tout α R cr E est de dimension finie. Exemple. Soit X est un evn, et soit E X est un sous-espce de dimension finie. En ppliqunt ce dernier corollire vec M = E et f(u) = u, on obtient le résultt suivnt : pour tout X, il existe u moins un point p E tel que p = dist (, E) := inf{ u ; u E}. 3. Conditions sur les différentielles première et seconde 3.1. Fonctions d une vrible. Le lemme suivnt est très élémentire, mis némmoins fort importnt. Lemme 3.1. Soit I un intervlle de R, et soit ϕ : I R. (1) Si ϕ dmet un extremum locl en un point intérieur à I et si ϕ est dérivble en, lors ϕ () = 0. (2) Soit I tel que ϕ est deux fois dérivble en.

3. CONDITIONS SUR LES DIFFÉRENTIELLES PREMIÈRE ET SECONDE 73 (i) Si ϕ dmet un mximum locl en, lors ϕ () 0. (ii) Si ϕ dmet un minimum locl en, lors ϕ () 0. (3) Soit toujours I tel que ϕ est deux fois dérivble en. (i) Si ϕ () = 0 et ϕ () < 0, lors ϕ dmet un mximum locl en. (ii) Si ϕ () = 0 et ϕ () > 0, lors ϕ dmet un minimum locl en. Remrque 1. Dns (1), on ne peut ps conclure que ϕ () = 0 si n est ps intérieur à I, i.e. si est une des extrémités de l intervlle I. Pr exemple, l fonction ϕ définie sur [0, 1] pr ϕ(t) = t possède un minimum (globl) en t = 0 et un mximum en t = 1, mis ϕ ne s nnule jmis. Remrque 2. L condition ϕ () = 0 et les conditions (i) et/ou (ii) de (2) ne suffisent ps à ssurer l existence d un extremum locl. Pr exemple, ϕ(t) = t 3 ne possède ps d extremum locl, et cependnt ϕ (0) = 0 et ϕ (0) = 0. Remrque 3. Sous les hypothèses de (3), l fonction ϕ ne possède ps nécessirement de mximum ou de minimum globl en. Pr exemple, si ϕ : R R est définie pr ϕ(t) = t 3 + t 2, lors ϕ (0) = 0 et ϕ (0) = 2 > 0, mis ϕ ne possède ps de minimum globl cr elle n est même ps minorée (elle tend vers en ). D utre prt, les hypothèses de (3) ne sont ps nécessires pour voir un extremum locl. Pr exemple, ϕ(t) = t 4 possède un minimum (globl) en 0 mis ϕ (t) = 0. Démonstrtion du lemme. (1) Supposons pr exemple que ϕ possède un mximum locl en. Comme I, on peut lors trouver δ > 0 tel que ] δ, + δ[ I et ϕ(t) ϕ() pour tout t ] δ, + δ[. lors ϕ( + h) et ϕ( h) sont définis pour tout h vérifint 0 < h < δ, et on ϕ( + h) ϕ() h 0 ϕ( h) ϕ() h d où ϕ () 0 ϕ () en fisnt tendre h vers 0 +. (2) Supposons que possède un extremum locl en. Alors ϕ () = 0 pr (1), donc le développement limité à l ordre 2 de ϕ u point s écrit On en déduit ϕ( + h) = ϕ() + 0 + h2 2 ϕ () + o(h 2 ). ϕ () = 2 lim h 0 ϕ( + h) ϕ() h 2 Si ϕ possède un mximum locl en, le quotient du membre de droite est négtif ou nul pour h ssez petit, et donc ϕ () 0 ; et de même, on obtient ϕ () 0 si ϕ possède un minimum locl en. (3) Supposons que ϕ () = 0. D près l preuve de (2), on lors ϕ( + h) ϕ() lim h 0 h 2 = 1 2 ϕ (). Si ϕ () < 0, on en déduit qu on ϕ(+h) ϕ() < 0 pour h suffismment proche de 0, h 2 i.e. ϕ(t) < ϕ() pour t suffismment proche de : l fonction ϕ possède donc un mximum locl en. De même, ϕ possède un minimum locl en si ϕ () > 0. ;

74 4. EXTREMA 3.2. Condition du premier ordre. Le résultt suivnt est l générlistion évidente de l prtie (1) du lemme 3.1. Théorème 3.2. Soit A une prtie d un evn E, et soit f : A R. Si f dmet un extremum locl en un point intérieur à A et si f est différentible en, lors df() = 0. Démonstrtion. Comme Å, on peut fixer r > 0 tel que B(, r) A. Soit h E quelconque, et choisissons δ > 0 tel que δ h < r. Alors ϕ(t) = f( + th) est bien défini pour t ] δ, δ[ (cr th < r) et l fonction ϕ est dérivble en 0 pr composition, vec ϕ (0) = df()h. De plus, ϕ possède un extremum locl en 0 pr hypothèse sur f, et donc ϕ (0) = 0 d près le lemme 3.1. Ainsi, on df()h = 0 pour tout h E. Remrque 1. Un point pour lequel df() = 0 s ppelle un point critique pour l fonction f. On donc montré que tout extremum locl pour une fonction f définie et différentible sur un ouvert de E est un point critique pour f. Remrque 2. Si E = R n, l condition df() = 0 équivut u système de n équtions f x 1 () = = f x n () = 0. Exemple. Soit H un espce euclidien, et soit E un sous-espce vectoriel de H. Soit ussi H. D près le corollire 2.5, on sit qu il existe u moins un point p E tel que p = dist(, E). Si on introduit l fonction f : E R définie pr f(u) = u 2, cel signifie que f possède un minimum (globl). Comme le produit sclire est une ppliction bilinéire continue, l fonction Φ : H R définie pr Φ(x) = x 2 = x, x est différentible sur H vec DΦ(x)h = x, h + h, x = 2 x, h ; donc f est différentible sur E vec df(p)h = 2 u, h pour tous p, h E. Les points critiques de f sont les points p E tels que p, h = 0 pour tout h E. Il y u plus 1 point p E vérifint cette propriété : en effet si p et p sont deux tels points, lors p p, h p, h p, h = 0 pour tout h E et donc p p 2 = 0 en prennt h = p p. Mis on sit églement qu il y u moins 1 point critique pour f puisque f possède un minimum. En conclusion, on montré le résultt suivnt : il existe un unique point p E tel (p ) E, et ce point est églement l unique point de E tel que p = dist (, E). On bien sûr reconnu le projeté orthogonl de sur E. Ce que dit cet exemple est que le clcul différentiel permet de prouver l existence du projeté orthogonl. Exercice. Montrer directement qu on (p ) E si et seulement si p u pour tout u E. 3.3. Conditions du deuxième ordre. Dns cette section, on v démontrer l nlogue des prties (2) et (3) du lemme 3.1 pour les fonctions de plusieurs vribles. 3.3.1. Formes bilinéires positives, mtrices positives. Définition 3.3. On dit qu une forme bilinéire symétrique B : R n R n R est positive si on B(h, h) 0 pour tout h R n, et que B est définie positive si on B(h, h) > 0 pour tout h 0. On dit qu une mtrice M M n (R) est positive ou définie positive si M est symétrique et si l forme bilinéire B définie pr B(h, h ) = Mh, h est positive ou définie positive (où on noté, le produit sclire usuel sur R n ).

3. CONDITIONS SUR LES DIFFÉRENTIELLES PREMIÈRE ET SECONDE 75 Remrque 1. On définit de même les formes bilinéires négtives et les mtrices négtives. Évidemment, B ou M est négtive si et seulement si B ou M est positive. Remrque 2. En utilisnt l formule de chngement de bse pour les formes bilinéires ( M = t P MP ), on vérifie fcilement les équivlences suivntes pour une forme bilinéire symétrique B : R n R n R : B est positive s mtrice dns toute bse de R n est positive s mtrice dns l bse cnonique est positive s mtrice dns u moins une bse de R n est positive et les mêmes équivlences en remplçnt positive pr définie positive. Le théorème suivnt est bien connu et très importnt : Théorème 3.4. Si M M n (R) est une mtrice symétrique, lors M est digonlisble en bse orthonormée. L mtrice M est positve si et seulement si toutes ses vleurs propres sont positives, et définie positive si et seulement si toutes ses vleurs propres sont strictement positives. Démonstrtion. En identifint une mtrice à une ppliction linéire, il s git de démontrer le résultt suivnt : si E est un espce euclidien et si M L(E) est un endomorphisme uto-djoint, i.e. Mx, y = x, My pour tous x, y E, lors il existe une bse orthonormée de E formée de vecteurs propres pour M. On v le fire pr récurrence sur n = dim(e). Pour n = 1, le résultt est évident. Supposons le résultt étbli pour tous les espces euclidiens de dimension k n, et soit M L(E) uto-djoint, vec dim(e) = n + 1. Admettons provisoirement voir démontré que M possède u moins une vleur propre réelle λ 0, et posons E 0 = ker(m λ 0 Id). Si E 0 = E, lors M = λ 0 Id et il n y rien à démontrer. Si E 0 E, lors dim(e 0 ) < dim(e), et on ussi dim ( E0 ) < dim(e) puisque E 0 {0}. Le sous-espce E 0 est évidemment stble pr M (i.e. M(E 0 ) E 0 ), et E0 est églement stble pr M cr M est uto-djoint (exercice). D près l hypothèse de récurrence ppliquée à E 0 et à E0, les restrictions de M à E 0 et à E0 sont digonlisbles en bse orthonormée ; et comme E = E 0 E0, on obtient une bse orthonormée de M en mettnt bout à bout deux bses de digonlistion pour M E0 et pour M E. Ainsi, on voit qu il suffit de démontrer que M possède u moins 0 une vleur propre réelle. Soit λ 0 = sup{ Mx, x ; x S E }, où S E = {x E; x = 1}. Comme S E est un fermé borné de E, donc un compct (cr dim(e) < ), on peut trouver x 0 S E tel que Mx 0, x 0 = λ 0. Soit B : E E R l forme bilinéire définie pr B(x, y) = λ 0 x Mx, y = (λ 0 Id M)x, y. Comme M est utodjoint, B est symétrique. De plus, B est églement positive pr définition de λ 0. En effet, si x S E, lors B(x, x) = λ 0 x 2 Mx, x = λ 0 Mx, x 0 ; et on en déduit qu on B(u, u) 0 pour tout u E en ppliqunt cel à x = u u D près l inéglité de Cuchy-Schwrz ppliquée à B, on donc 0 B(x, y) 2 B(x, x) B(y, y) pour tous x, y E. Mis pr le choix de x 0, on B(x 0, x 0 ) = λ 0 Mx 0, x 0 = 0. On en déduit B(x 0, y) = 0, utrement dit Mx 0 λ 0, y = 0

76 4. EXTREMA pour tout y E. Ainsi, Mx 0 λ 0 x 0 est orthogonl à tous les vecteurs de E, et donc Mx 0 λ 0 x 0 = 0. Donc x 0 est un vecteur propre pour M 0 vec pour vleur propre ssociée λ 0. Notons λ 1,..., λ n les vleurs propres de M (répétées selon leur multiplicité), et soit (f 1,..., f n ) une bse orthonormée de vecteurs propres pour M, vec Mf i = λ i e i. Si x = n 1 x if i E, lors Mx = n 1 λ ix i f i et donc (pr orthonormlité) Mx, x = λ i x 2 i. On en déduit très fcilement que M est positive si et seulement si les vleurs propres λ i sont toutes positives, et définie positive si et seulement si les λ i sont toutes strictement positives. Corollire 3.5. (cs des mtrices 2 2) Une mtrice symétrique M M 2 (R) est positive si et seulement si det(m) 0 et tr(m) 0, et définie positive si et seulement si det(m) > 0 et tr(m) > 0. Démonstrtion. D près le théorème, il est clir que si M est positive lors det(m) 0 et tr(m) 0, puisque det(m) est le produit des vleurs propres de M et tr(m) est l somme des vleurs propres.. Inversement, si det(m) 0 lors les deux vleurs propres de M sont de même signe (u sens lrge), et si de plus tr(m) 0 ce signe doit être positif. Le risonnement est identique dns le cs défini positif. Remrque 1. En chngent M en M et en remrqunt que det( M) = det(m) cr l dimension est pire (!), on voit qu une mtrice symétrique M M 2 (R) est négtive si et seulement si det(m) 0 et tr(m) 0 ; et définie négtive si et seulement si det(m) > 0 et tr(m) < 0. Remrque 2. Ces résultts ne sont vlbles que pour des mtrices 2 2! Exercice. Trouver une mtrice symétrique M de tille 3 qui vérifie det(m) > 0 et tr(m) > 0, mis qui ne soit ni positive ni négtive. ( ) b Corollire 3.6. Soit M = une mtrice symétrique 2 2. Alors M est b d définie positive si et seulement si > 0 et det(m) > 0 ; et M est définie négtive si et seulement si < 0 et det(m) > 0. Démonstrtion. Comme plus hut, le cs défini négtif s obtient en chngent M en M. Si M est définie positive lors det(m) > 0 et = Me 1, e 1 > 0. Inversement, si det(m) > 0, lors les 2 vleurs propres de M sont non nulles et de même signe, donc M est soit définie positive, soit définie négtive. Comme c b 2 > 0, on voit que et c sont de même signe, et donc tous les deux strictement positifs puisque > 0. On donc tr(m) = + c > 0, et donc M est définie positive. Remrque. Ce dernier résultt concerne uniquement les mtrices ( définies ) positives ou b négtives. Il n est ps vri en générl qu une mtrice M = est positive si et b d ( ) 0 0 seulement si 0 et det M 0. Pr exemple, l mtrice M = n est ps 0 1 positive, et pourtnt = 0 et det(m) = 0. i=1

3. CONDITIONS SUR LES DIFFÉRENTIELLES PREMIÈRE ET SECONDE 77 L inconvénient prtique du théorème 3.4 est qu u delà de l dimension 2 ou 3, il est souvent très difficile de déterminer les vleurs propres d une mtrice. L proposition suivnte (qui est une générlistion nturelle du corollire 3.6) donne un moyen de vérifier qu une mtrice symétrique est définie positive sns voir à trouver ses vleurs propres. Proposition 3.7. Soit M = ( ij ) n i,j=1 une mtrice symétrique réelle. Pour k {1,..., n}, posons k = det( ij ) k i,j=1. Alors M est définie positive si et seulement si tous les mineurs principux 1,..., n sont strictement positifs. Démonstrtion. Notons B l forme bilinéire symétrique ssociée à M, i.e. B(h, h ) = Mh, h. Notons ussi (e 1,..., e n ) l bse cnonique de R n, et pour k {1,..., n}, posons E k = vect(e 1,..., e k ). Alors l mtrice M k = ( ij ) k i,j=1 est l mtrice de l restriction de B à E k E k dns l bse (e 1,..., e k ), et elle est donc définie positive si B est définie positive. Pr conséquent, tous les k = det(m k ) doivent être strictement positifs si M est définie positive. Pour l réciproque, on procède pr récurrence sur n, le résultt étnt évident pour n = 1. Supposons voir étbli l propriété voulue pour un certin n 1, et soit M = ( ij ) n+1 i,j=1 une mtrice symétrique de tille n + 1 dont tous les mineurs principux sont strictement positifs. On noter comme plus hut B l forme bilinéire symétrique ssociée à M. Soit églement (e 1,..., e n+1 ) l bse cnonique de R n+1, et soit E n = vect(e 1,..., e n ). On remrque d bord que l mtrice de l restriction de B à E n E n est M n = ( ij ) n i,j=1, donc B E n E n est définie positive pr hypothèse de récurrence. Choisissons mintennt un vecteur f R n+1 \{0} tel que f vect(me 1,..., Me n ). Alors B(f, u) = Mf, u = f, Mu = 0 pour tout u E n, et comme B En En est définie positive et f 0, on en déduit que f E n. Pr conséquent, (e 1,..., e n, f) est une bse de R n+1. Pr le choix de f, l mtrice de B dns l bse (e 1,..., e n, f) est ( ) M Mn 0 = 0 α où α = Mf, f. De plus α est strictement positif. En effet, d près l formule de chngement de bse pour les formes bilinéires, on sit qu il existe une mtrice inversible P telle que M = t P MP. On donc det(m ) = det(p ) 2 det(m) = det(p ) 2 n+1 > 0, d où α > 0 puisque det(m ) = α det(m n ) et det(m n ) = n > 0. Si mintennt h est un vecteur quelconque de R n+1, on peut écrire h = u + λf vec u E n et λ R, et comme B(f, u) = 0 = B(u, f) on en déduit B(h, h) = B(u, u) + λ 2 B(f, f) = B(u, u) + λ 2 α. Comme u ou λ est non-nul si h 0 et comme B En En est définie positive, on voit donc qu on B(h, h) > 0 si h 0. Ainsi, B est définie positive. Corollire 3.8. Avec les nottions précédentes, l mtrice M est définie négtive si et seulement si tous les k pour k impir sont strictement négtifs et tous les k pour k pir sont strictement positifs. Démonstrtion. C est immédit en ppliqunt l proposition à M, puisque k ( M) = ( 1) k k (M) pour tout k.

78 4. EXTREMA 3.3.2. Extrem et différentielle seconde. Les deux théorèmes suivnts donnent des conditions nécessires et des conditions suffisntes pour l existence d extrem locux portnt sur l différentielle seconde. Ce sont les gérlistions nturelles des prties (2) et (3) du lemme 3.1. Théorème 3.9. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f C 2 (Ω). (1) Si f possède un minimum locl en un point Ω, lors d 2 f() est positive ; utrement dit l mtrice hessienne H f () est positive. (2) Si f possède un mximum locl en un point Ω, lors H f () est négtive. Démonstrtion. Il suffit évidemment de démontrer (1). Supposons que f possède un minimum locl en, et fixons h R n quelconque. Alors l fonction ϕ définie pr ϕ(t) = f( + th) est de clsse C 2 u voisinge de 0 vec ϕ (t) = d 2 f( + th)h [2] (voir le lemme 5.8 du chpitre 3) et ϕ possède un minimum locl en t = 0. D près le lemme 3.1, on donc ϕ (0) 0, utrement dit d 2 f()(h, h) 0. Théorème 3.10. Soit Ω un ouvert de R n, et soit f C 2 (Ω). Soit églement Ω. (1) Si df() = 0 et si d 2 f() est définie positive, lors f possède un minimum locl en. (2) Si df() = 0 et si d 2 f() est définie positive, lors f possède un minimum locl en. L démonstrtion utilise le lemme suivnt. Lemme 3.11. Soit B : R n R n R une forme bilinéire symétrique définie positive, et soit une norme quelconque sur R n. Alors il existe une constnte c > 0 telle que h R n : B(h, h) c h 2. Démonstrtion. Soit S = {h R n ; h = 1}. Pr définition, S est une prtie fermée bornée de R n, donc un compct. Comme l forme bilinéire B est continue (on est en dimension finie), l fonction f : S R définie pr f(u) = B(u, u) est continue et possède donc un minimum globl ; et comme B(u, u) > 0 pour tout u 0, on en déduit que c = inf{b(u, u); u = 1} est strictement positif. Si mintennt h R n ) ( est quelconque, h 0, on B h h, h h c pr définition de c, d où B(h, h) c h 2 pr bilinérité ; et ceci est évidemment encore vri pour h = 0. Preuve du théorème 3.10. Bien entendu, on se contente de démontrer (1) ; supposons donc que soit un point critique de f et que d 2 f() soit définie positive. Soit une norme quelconque sur R n. Comme df() = 0, le développement limité à l ordre 2 de f u point s écrit f( + h) = f() + 1 2 d2 f()h [2] + R(h), où R(h) = o( h 2 ). D près le lemme 3.11, on peut trouver une constnte c > 0 telle que d 2 f()h [2] c h 2 pour tout h R n ; et pr définition d un o, peut choisir δ > 0 tel que h < δ R(h) (c/4) h 2. On lors 1 2 d2 f()h [2] + R(h) c 2 h 2 c 4 h 2 = c 4 h 2 pour tout h vérifint h < δ, et donc u B(, δ) : f(u) f() + c 4 u 2 f().

4. LE CAS DES FONCTIONS CONVEXES 79 Ainsi, f possède un minimum locl en. Remrque. Sous l hypothèse de (1), on en fit montré que f possède un minimum locl strict u point, i.e. f(u) > f() pour tout u suffismment proche de. Exercice. Déterminer les extrem locux de l fonction f : R 2 R définie pr f(x, y) = x 4 + y 4 (x + y) 2. 4. Le cs des fonctions convexes Les fonctions convexes et concves d une vrible ont été définies u chpitre 2. En fit, l définition un sens dns un cdre beucoup plus générl : Définition 4.1. Soit C une prtie convexe d un espce vectoriel E. Une fonction f : C R est dite convexe sur C si (4.1) u, v C λ [0, 1] : f((1 λ)u + λv) (1 λ)f(u) + λf(v). L fonction f est dite concve si f est convexe ; utrement dit, si l inéglité est inversée dns (4.1). Exemple 1. Soit I un intervlle de R et soit ϕ : I R une fonction continue sur I et dérivble u moins sur I. Alors ϕ est convexe si et seulement si ϕ est croissnte. Donc, une fonction ϕ continue sur I et deux fois dérivble u moins sur I est convexe si et seulement si ϕ 0. Cs prticuliers. L fonction t t α est convexe sur [0, [ si α 1, et concve si α [0, 1]. L fonction exponentielle est convexe sur R et l fonction logrithme est concve sur ]0, [. Exemple 2. Soit E un evn. Pour tout E, l fonction u u est convexe sur E. En prticulier, l fonction u u est convexe. Démonstrtion. Posons f(u) = u. Si u, v E et λ [0, 1] lors, en écrivnt = (1 λ) + λ, on obtient f((1 λ)u + λv)) = (1 λ)u + λv = (1 λ)(u ) + λ(v ) (1 λ)u + λ(v ) = (1 λ)f(u) + λf(v). Les fonctions convexes possèdent des propriétés de stbilité intéressntes et utiles, qui se vérifient sns difficulté en écrivnt l définition : Exercice. (propriétés de stbilité) L somme de deux fonctions convexes est convexe. Si f est une fonction convexe, lors αf est convexe pour tout α 0. Si f : C R est convexe et si ϕ : I R est une fonction convexe croissnte sur un intervlle I contennt f(c), lors ϕ f est convexe. Le lemme suivnt est presque évident, mis très importnt cr il permet de se rmener à étudier des fonctions convexes d une vrible.

80 4. EXTREMA Lemme 4.2. Soit C une prtie convexe d un espce vectoriel E. Pour une fonction f : C R, les propriétés suivntes sont équivlentes : (i) f est convexe sur C ; (ii) pour tout x C et pour tout h E tel que x+h C, l fonction t f(x+th) est convexe sur [0, 1]. Démonstrtion. Supposons f convexe et fixons x, h comme dns (ii). Notons ϕ x,h l fonction t f(x + th). On ϕ x,h (t) = f(γ(t)), où γ(t) = + th est une fonction ffine, i.e. vérifint γ((1 λ)s + λt) = (1 λ)γ(s) + λγ(t) pour s, t [0, 1] et 0 λ 1 (exercice). On donc ϕ x,h ((1 λ)s + λt) = f((1 λ)γ(s) + λγ(t)) (1 λ)f(γ(s)) + λf(γ(t)) = (1 λ)ϕ x,h (s) + λϕ x,h (t) pour tous s, t [0, 1] et 0 λ 1, ce qui prouve que ϕ x,h est convexe. Inversement, en ppliqunt (ii) vec x = u et h = v u et en écrivnt λ = (1 λ) 0 + λ 1, on obtient f((1 λ)u + λv) = f(u + λ(v u)) = ϕ u,v u (λ) pour tout λ [0, 1], d où l convexité de f. (1 λ)ϕ u,v u (0) + λϕ u,v u (1) = (1 λ)f(u) + λf(v) En ppliqunt ce lemme et les critères de convexité pour les fonctions d une vrible rppelés dns l exemple 1, on obtient les résultts suivnts. Proposition 4.3. Soit Ω un ouvert convexe d un evn E, et soit f : Ω R. (1) On suppose que f est différentible sur Ω. Alors f est convexe sur Ω si et seulement si (4.2) u, v Ω : (df(v) df(u))(v u) 0. (2) On suppose que Ω est un ouvert de R n et que f est de clsse C 2. Alors f est convexe si et seulement si d 2 f(u) est positive pour tout u Ω. Remrque. Si Ω est un ouvert de R n, l condition (4.2) s écrit f(v) f(u), v u 0. Preuve de l proposition. Pour x Ω et h E tel que x + h Ω, on noter ϕ x,h : [0, 1] R l fonction définie pr ϕ x,h (t) = f(x + th). D près le lemme 4.2, f est convexe si et seulement si toutes les fonctions ϕ x,h le sont. (1) Comme f est différentible, les fonctions ϕ x,h sont dérivbles sur [0, 1] vec ϕ x,h (t) = df(x+th)h. Si f est convexe, lors les ϕ x,h sont croissntes et donc ϕ x,h (1) ϕ x,h (0), utrement dit (df(x + h) df(x))h 0 pour tous x, h tels que x, x + h Ω. En prennt x = u et h = v u, on obtient donc (4.2). Inversement, supposons (4.2) vérifiée. Si s, t [0, 1] lors, en ppliqunt (4.2) vec u = x + sh et v = x + th, on obtient (df(x + th) df(x + sh))((t s)h) 0, utrement dit (t s) (ϕ x,h (t) ϕ x,h (s)) 0,

4. LE CAS DES FONCTIONS CONVEXES 81 pour tous s, t [0, 1]. Ainsi, ϕ x,h (t) ϕ x,h (s) est toujours du signe de t s, ce qui signifie exctement que toutes les fonctions ϕ x,h sont croissntes, et donc que f est convexe. (2) Comme f est C 2, toutes les fonctions ϕ x,h sont de clsse C 2, vec ϕ x,h (t) = d 2 f(x + th)h [2]. On en déduit imméditement que si d 2 f(u) est positive pour tout u Ω, lors toutes les fonctions ϕ x,h sont convexes. Inversement supposons que toutes les ϕ x,h soient convexes. Si u Ω et si h R n est quelconque, on peut trouver δ > 0 tel que u+δh Ω. Comme ϕ u,δh est convexe, on d 2 f(u)(δh) [2] = ϕ u,δh (0) 0, utrement dit δ 2 d 2 f(u)h [2] 0 et donc d 2 f(u)h [2] 0. Comme h R n est quelconque, cel montre que d 2 f(u) est positive, pour tout u Ω. Ce qu on rconté pour le moment sur les fonctions convexes n ps grnd chose à voir vec les extrem. Ce n est ps le cs de l proposition suivnte. Proposition 4.4. Soit Ω un ouvert convexe d un evn E et soit f : Ω R une fonction convexe différentible. Alors, pour tout Ω et pour tout h E tel que + h Ω, on (4.3) f( + h) f() + df()h. Démonstrtion. Comme toujours, on regrde l fonction ϕ = ϕ,h : [0, 1] R définie pr ϕ(t) = f( + th). D près le lemme 4.2, ϕ est convexe et dérivble, vec ϕ (t) = df( + th)h. Le grphe de ϕ est donc u dessus de toutes ses tngentes ; et en prticulier, on ϕ(1) ϕ(0) ϕ (0) (1 0), utrement dit f( + h) f() ϕ (0) = df()h. Corollire 4.5. Si f : Ω R est convexe différentible et si Ω est un point critique de f, lors f possède un minimum globl en. Démonstrtion. C est évident d près l proposition. Exercice 1. L réciproque de l proposition 4.4 est-elle vrie? Autrement dit, l vlidité de (4.3) entrîne-t-elle l convexité de f? Exercice 2. Que peut-on dire d une fonction convexe f : Ω R dmettnt un mximum locl en un point de Ω? Pour conclure cette section, voici un exemple récpitultif. Exemple. Soit E un espce préhilbertien, i.e. un evn dont l norme dérive d un produit sclire (on ne suppose ps que E est de dimension finie). Si 1,..., n E, il existe un unique point u E minimisnt l quntité u 1 2 + + u n 2 : c est l isobrycentre des points 1,..., n. Démonstrtion. L fonction f : E R définie pr f(u) = n 1 u i 2 est convexe cr c est une somme de crrés de fonctions convexes (cf les propriétés de stbilité). De plus, f est différentible sur E vec df(u)h = 2 u i, h. i=1 On donc df(u) = 0 si et seulement si n 1 u i, h = 0 pour tout h E, utrement dit n 1 (u i) = 0. Cette éqution possède une unique solution : u = 1 i, n i=1

82 4. EXTREMA c est-à-dire l isobrycentre des points 1,..., n. Ainsi, f possède un unique point critique, et d près le corollire précédent on sit que f dmet un minimum globl en u. 5. Extrem liés Dns cette section, on considère des problèmes du type suivnt. Soit f : R n R, et soient C 1,..., C m des fonctions à vleurs réelles définies sur R n. Le problème consiste à mximiser ou minimiser f(x) sous les contrintes C 1 (x) = 0,..., C m (x) = 0. Autrement dit, en posnt Σ := {x R n ; C 1 (x) = = C m (x) = 0}, il s git de déterminer les extrem de l fonction f Σ, restriction de f à l ensemble Σ. 5.1. Le théorème des extrem liés, et quelques exemples. Bien que cel ne soit ps imméditement pprent, le résultt suivnt est l nlogue du théorème 3.2. Théorème 5.1. (théorème des extrem liés) Soit Ω un ouvert de R n, et soient C 1,..., C m des fonctions à vleurs réelles définies sur Ω, de clsse C 1 dns Ω. On pose Σ = {x Ω; C 1 (x) = = C m (x) = 0}. Soit églement f : R n R, différentible en tout point de Ω. Enfin, soit Σ. On suppose que f Σ possède un extremum locl en et de plus Ω ; les vecteurs C 1 (),..., C m () sont linéirement indépendnts. Alors f() est combinison linéires de C 1 (),..., C m (). Autrement dit, il existe m nombres réels λ 1,..., λ m, qu on ppelle des multiplicteurs de Lgrnge, tels que ce qui s écrit encore f() = λ 1 C 1 () + + λ m C m () ; df() = λ i dc i (). i=1 Lorsqu il n y qu une seule fonction contrinte C, le théorème prend l forme suivnte : Corollire 5.2. Soit Ω un ouvert de R n, et soit C : Ω R, de clsse C 1 dns Ω. On pose Σ = {x Ω; C(x) = 0}. Soit églement f : R n R différentible dns Ω, et soit Σ. On suppose que f Σ possède un extremum locl en et Ω ; C x j () 0 pour u moins un j {1,..., n}. Alors il existe un nombre réel λ tel que df() = λ dc(), ce qui s écrit f x 1 () = λ C x 1 (). f x 1 () = λ C x 1 () Remrque. Dns le théorème des extrem liés, il suffit évidemment de supposer que f est définie sur Ω. On v donner plus bs deux démonstrtions du théorème des extrem liés. Pour le moment, voici quelques exemples d utilistion.

5. EXTREMA LIÉS 83 Exemple 1. On veut construire une boite en crton prllèlépipèdique sns couvercle de volume 4 litres, en utilisnt le moins de crton possible. Il s git de déterminer les dimensions de l boite. Notons x, y et z les dimensions de l boite, exprimés en dm (ce qui est nturel puisqu un litre vut 1dm 3 ), z étnt l huteur. Bien entendu x, y et z doivent être positifs. Comme l boite n ps de couvercle, l surfce de crton utilisé est égle à xy + 2xz + 2yz. Le volume vut xyz, et doit être égl à 4. Il s git donc de minimiser l fonction f(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz sur l ensemble Σ = {(x, y, z) R 3 ; x 0, y 0, y 0 et xyz = 4}. En posnt Ω = {(x, y, z); x > 0, y > 0, z > 0} et C(x, y, z) = xyz 4, on Σ = {(x, y, z) Ω; C(x, y, z) = 0}. De plus, tous les points de Σ pprtiennent en fit à Ω cr l contrinte impose xyz 0. Admettons provisoirement que l fonction f possède un minimum globl sur Σ, tteint en un point (, b, c). Comme (, b, c) Ω et C(, b, c) = ( bc c b ) 0, on peut ppliquer le théorème des extrem liés : il existe un multiplicteur λ tel que f(, b, c) = λ C(, b, c), ce qui s écrit b + 2c = λ bc + 2c = λ c 2 + 2b = λ b En multiplint l première éqution pr, l deuxième pr b et l troisième pr c, on obtient λ bc = b + 2c = b + 2bc = 2c + 2bc. On en tire c = bc et b = 2c, utrement dit = b et b = 2c. Comme de plus bc = 4, on en déduit c 3 = 1, d où finlement c = 1 et = b = 2. Ainsi l boite une bse crrée de 20cm de côté et une huteur de 10cm. Montrons mintenent que l fonction f possède effectivement un minimum globl sur Σ. D près le théorème 2.1, il suffit de vérifier que pour tout α R, l ensemble {f α} = {(x, y, z) Σ; f(x, y, z) α} est compct. On visiblement {f α} = si α 0, donc on peut suposer α > 0. Comme Σ est un fermé de R 3 et comme f est continue, {f α} est un fermé de R 3. Si (x, y, z) {f α}, lors xy α et xyz = 4, donc z 4/α ; mis on ussi 2xz α, donc x α 2 /8 (et bien sûr x 0). De même, on trouve 0 y α 2 /8 et 0 z α 2 /16. Ainsi {f α} est une prtie bornée de R 3. Au totl, {f α} est bien compct. Exemple 2. Digonlistion des mtrices symétriques réelles. Soit M M n (R) une mtrice symétrique, et soit Σ = {x R n ; x = 1}, où est l norme euclidienne. Comme Σ est un fermé borné de R n, donc un compct, on peut trouver un point Σ qui mximise f(x) = Mx, x sur Σ. Comme Σ = {x R n ; C(x) = 0} vec C(x) = x 2 1 et comme C() = 2 0 (cr = 1), on peut ppliquer le théorème des extrem liés à f et C (vec Ω = R n ) : il existe un multiplicteur λ R tel que f() = λ C() = 2λ. Mis df(x)h = Mx, h + Mh, x = 2 Mx, h, donc f(x) = 2Mx pour tout x R n. On obtient donc M = λ, ce qui prouve que λ est une vleur propre de M et un vecteur propre ssocié. Ainsi, on vient de retrouver le fit que toute mtrice symétrique M M n (R) possède u moins une vleur propre réelle. Et on sit que de là, il n est ps difficile de montrer que toute mtrice symétrique est en fit digonlisble en bse orthonormée.

84 4. EXTREMA Exemple 3. Inéglité de Hölder. Soient p et q deux nombre réels strictement plus grnds que 1 et tels que 1 p + 1 q = 1. On v utiliser le théorème des extrem liés pour montrer que si 1,..., n et b 1,..., b n sont des nombres réels strictement positifs, lors ( ) 1/p ( ) 1/q i b i p i b q i. i=1 Fixons 1,..., n > 0, posons { Σ = i=1 i=1 (x 1,..., x n ) R n ; x 1 0,..., x n 0 et et notons f : R n R l fonction définie pr f(x 1,..., x n ) = i x i. i=1 } x q i = 1, L ensemble Σ est visiblement un fermé de R n, et il est églement borné cr x 1 pour tout x Σ. Donc Σ est compct, et pr conséquent l fonction f, qui est continue, possède un mximum globl sur Σ. Dns l suite, on poser { } M = mx f = mx i x i ; x i 0, x q i = 1. Σ i=1 Soit ξ = (ξ 1,..., ξ n ) un point de Σ tel que f(ξ) = M, et dmettons provisoirement que toutes les coordonnées de ξ sont strictement positives. On peut lors ppliquer le théorème des extrem liés vec i=1 i=1 Ω = {(x 1,..., x n ) R n ; x 1 > 0,..., x n > 0} et C(x 1,..., x n ) = n 1 xq i 1, cr Σ = {x Ω; C(x 1,..., x n ) = 0} et ξ Ω. Il existe insi un multiplicteur de Lgrnge λ tel que f(ξ 1,..., ξ n ) = λ C(ξ 1,..., ξ n ), ce qui s écrit 1 = λ qξ q 1 1 En posnt µ = λq, on ξ = ( i ) q q 1 µ. n = λ qξ q 1 ) 1 q 1 1 pour tout i {1,..., n}, et comme i ξq i = 1 q q 1 = p, on en tire µ = ( i p i )1/p. on en déduit ( i i µ = 1. Comme de plus D utre prt, les équtions précédentes donnent ussi i ξ i = µ ξ q i pour tout i et donc i iξ i = µ i ξq i, utrement dit M = µ. Au totl, on obtient insi ( ) 1/p M = p i. i=1 Cel signifie que pour des nombres réels positifs x 1,..., x n, l impliction suivnte lieu : ( ) 1/p (5.1) x q i = 1 = i x i p i. i=1 i=1 i=1

5. EXTREMA LIÉS 85 Si mintennt b 1,..., b n sont des réels strictement positifs quelconques et si on b pplique (5.1) vec x i = i (, on obtient le résultt souhité : n j=1 bq j) 1/q ( ) 1/p 1/q i b i p i. i=1 i=1 Pour que l preuve de l inéglité de Hölder soit complète, il reste à vérifier que le point ξ introduit plus hut toutes ses coordonnées strictement positives. Supposons pr exemple qu on it ξ 1 = 0. Comme ξ 0, on peut églement supposer, quitte à permuter les coordonnées, qu on ξ 2 > 0. Pour ε ]0, ξ 2 [, on peut lors introduire le point x(ε) = (ε, (ξ q 2 εq ) 1/q, ξ 3,..., ξ n ). ( ) 1/q Il est clir que x(ε) pprtient à Σ. De plus, comme (ξ q 2 εq ) 1/q = ξ 2 1 εq = ξ 2 + 0(ε q ) qund ε 0 +, on j=1 f(x(ε)) = 1 ε + 2 (ξ 2 + O(ε q )) + = 1 ε + b q j i ξ i + 0(ε q ) i=2 = f(ξ) + 1 ε + 0(ε q ), i ξ i où on utilisé le fit que ξ 1 = 0. Comme q > 1 on ε q = o(ε), et on en déduit que si ε > 0 est ssez petit, lors f(x(ε)) > f(ξ). Mis ceci contredit le choix de ξ. 5.2. Première démonstrtion du théorème 5.1. On donne ici l preuve clssique du théorème des extrem liés, qui repose sur le théorème des fonctions implicites (voir le chpitre 5). On ur besoin de l définition suivnte. Définition 5.3. Soit M R n, et soit V. On dit qu un vecteur h R n est tngent à M u point s il existe δ > 0 et une ppliction γ : ] δ, δ[ R n de clsse C 1 telle que (i) γ(t) M pour tout t ] δ, δ[ ; (ii) γ(0) = et γ (0) = h. On note T (M) l ensemble des vecteurs tngents à M u point. Exemple. Si le point est intérieur à M, lors T (M) = R n. Démonstrtion. Supposons M, fixons une norme sur R n et choisissons r > 0 tel que B(, r) M. Si h R n est quelconque, on peut trouver δ > 0 tel que δ h < r, et on lors + th M pour tout t ] δ, δ[. Il suffit donc de poser γ(t) = + th pour voir que h T (M). Le lemme suivnt est l générlistion nturelle du théorème 3.2. Lemme 5.4. Soit f : R n R, et soit M R n. Si f M possède un extremum locl en un point M et si f est différentible en, lors df()h = 0 pour tout h T (M). i=3 ξ q 2

86 4. EXTREMA Démonstrtion. Soit h T (M) quelconque, et choisissons γ : ] δ; δ[ R n comme dns l définitions 5.3. Alors l fonction ϕ définie pr ϕ(t) = f(γ(t)) est dérivble en t = 0 vec ϕ (0) = df(γ(0))γ (0) = df()h, et ϕ possède un extremum locl en 0. On donc ϕ (0) = 0, utrement dit df()h = 0. Pour utiliser ce lemme, on besoin d un résultt donnnt une utre description de l espce tngent. L preuve est tout-à-fit non-trivile cr elle repose sur le théorème des fonctions implicites. Lemme 5.5. Soit Ω un ouvert de R n, et soit C : Ω R m, de clsse C 1 dns Ω. On pose Σ = {x Ω; C(x) = 0}. Si Ω et si DC() : R n R m est surjective, lors T (Σ) = ker DC(). Démonstrtion. (i) Soit h T (Σ) et soit γ : ] δ; δ[ Σ de clsse C 1 telle que γ(0) = et γ (0) = h. Pr définition de Σ, on C(γ(t)) 0 ; d où en dérivnt : DC(γ(t))γ (t) = 0. Donc DC()h = DC(γ(0))γ (0) = 0. (ii) Inversement, fixons un vecteur h ker DC(). Il s git de trouver une courbe γ : ] δ; δ[ Σ telle que γ(0) = et γ (0) = h. Remrquons que l hypothèse fite sur DC() oblige à voir m n. Soit E un supplémentire de ker DC() dns R n, i.e. R n = ker DC() E. On identifie R n à ker DC() E, et on écrit tout vecteur x R n sous l forme x = (λ, u) = λ u. En prticulier, le point s écrit = (λ 0, u 0 ). Avec ces nottions, on (5.2) Σ = {(λ, u) Ω; C(λ, u) = 0}. Pr définition de E et comme DC() est surjective, l restriction de DC() à E est un isomorphisme de E sur R m ; utrement dit, l différentielle prtielle D u C(λ 0, u 0 ) : E R m est un isomorphisme de E sur E = R m (voir le lemme 4.6 du chpitre 6). D près le théorème des fonctions implicites, l éqution C(λ, u) = 0 définit donc implicitement u comme fonction de λ u voisinge de = (λ 0, u 0 ). Comme de plus (λ 0, u 0 ) Ω, on peut donc trouver un voisinge V de λ 0 dns ker DC() et une ppliction λ u(λ) de clsse C 1 sur V telle que u(λ 0 ) = u 0 et (5.3) λ V : (λ, u(λ)) Ω et C(λ, u(λ)) = 0. Comme h ker DC() on peut choisir δ > 0 tel que λ 0 + th V pour tout t ] δ, δ[. On peut lors définir γ : ] δ, δ[ R n = ker DC() E pr γ(t) = (λ 0 + th, u(λ 0 + th)). Il est clir que γ est de clsse C 1, vec γ(0) = (λ 0, u 0 ) =. De plus, d près (5.2) et (5.3) on γ(t) Σ pour tout t ] δ, δ[. Pour terminer l démonstrtion, il suffit donc de vérifier que γ (0) = h. Pr définition de γ, on voit que γ (0) = (h, τ) = h τ pour un certin τ E (à svoir τ = DU(λ 0 )h). Mis d utre prt, on ussi γ (0) ker DC() d près l première prtie de l démonstrtion, puisque γ (0) T (Σ). Pr conséquent, on doit voir τ = 0 et γ (0) = h 0 = h.

5. EXTREMA LIÉS 87 Preuve du Théorème 5.1. Soit C : R n R m l ppliction définie pr C 1 (u) C(u) =.. C m (u) Pr définition, les lignes de l mtrice jcobienne de C u point sont les (trnsposées des) vecteurs C 1 (),..., C m (), et elles sont donc linéirement indépendntes. Pr conséquent, l mtrice Jc C () est de rng m, i.e. DC() : R n R m est surjective. D près les deux lemmes précédents, on donc ker DC() = T (Σ) ker df(). Autrement dit, en posnt Z = vect( C 1 (),..., C m ()) R n, on Z f(), i.e. f() (Z ) = Z. Remrque 5.6. Le théorème des extrem liés peut s énoncer comme suit. Soit Ω un ouvert de R n et soit C : Ω R m de clsse C 1 dns Ω. On pose Σ = {u Ω; C(u) = 0}. Si f : Ω R est de clsse C 1 dns Ω si f Σ possède un extremum locl en un point Σ Ω tel DC() : R n R m est surjective, lors il existe une forme linéire (continue) Λ : R m R telle que df() = Λ DC(). Sous cette forme, le théorème est en fit vri en remplçnt R n et R m pr des espces de Bnch E et F quelconques (éventuellement de dimension infinie), à condition de supposer que ker DC() possède un supplémentire fermé dns E. L démonstrtion est à peu près identique à celle qui été donnée pour E = R n et F = R m. 5.3. Deuxième démonstrtion du Théorème 5.1. On v mintennt donner une preuve du théorème des extrem liés qui n utilise ps le théorème des fonctions implicites. Cette preuve l vntge d être plus élémentire que l première ; mis elle utilise de fçon essentielle l dimension finie, et ne permet donc ps d obtenir l énoncé plus générl de l Remrque 5.6. Dns ce qui suit, on grde les nottions du Théorème 5.1, et on suppose que f Σ possède un minimum locl en. Pr illeurs, on note l norme euclidienne sur R n, et on choisit r 0 > 0 tel que B(, r 0 ) Ω et (5.4) x B(, r 0 ) Σ : f() f(x). On ur besoin de deux lemmes. Lemme 5.7. Soit Φ : Ω R une fonction continue, positive, telle que Φ() = 0 et Φ(x) > 0 en tout point de Ω \ Σ. Pour k N, posons Ψ k (x) := f(x) + x 2 + k Φ(x). Choisissons pour tout k un point x k B(, r 0 ) tel que Ψ k tteigne son minimum sur B(, r 0 ) u point x k (ce qui est possible pr compcité de B(, r 0 )). Alors x k qund k. Démonstrtion. Comme (x k ) vit dns le compct B(, r 0 ), il suffit de montrer que l seule vleur d dhérence possible pour (x k ) est le point. Fixons une vleur d dhérence b de (x k ) et une sous-suite (x ki ) telle que x ki b. Remrquons d bord que Ψ ki () = f() pour tout i (cr Φ() = 0) et donc, pr définition de x ki : (5.5) f(x ki ) + x ki 2 + k i Φ(x ki ) f().

88 4. EXTREMA Comme Φ est continue, Φ(x ki ) tend vers Φ(b), qui est 0. On ne peut ps voir Φ(b) > 0, cr dns ce cs k i Φ(x ki ) tendrit vers + et on obtiendrit une contrdiction en pssnt à l limite dns (5.5). Donc Φ(b) = 0, et donc b Σ pr hypothèse sur Φ. Comme b B(, r 0 ), on en déduit f() f(b). Mis d près (5.5) (et comme Φ(x ki ) 0), on ussi f(x ki ) + x ki 2 f() pour tout i, d où en pssnt à l limite : f(b) + b 2 f() Ainsi f(b) + b 2 f() f(b), et donc b = 0. On utiliser ce lemme vi l conséquence suivnte. Corollire 5.8. Avec les nottions du Lemme 5.7, supposons de plus que l fonction Φ soit différentible sur Ω (de sorte que les Ψ N le sont églement). Alors il existe une suite (x k ) tendnt vers telle que Ψ k (x k ) = 0 pour tout N. Démonstrtion. L suite (x k ) donnée pr le lemme tend vers, donc x k pprtient à l boule ouverte B(, r 0 ) pour k ssez grnd. Ainsi, Ψ k possède un minimum locl u point x k (pour k ssez grnd), et donc Ψ k (x k ) = 0. Lemme 5.9. Soit E un espce vectoriel normé, et soit ū = (u 1,..., u m ) E m. On suppose que les u i sont linéirement indépendnts. Pour tout k N, soient églement ū k = (u k 1,..., uk m) E m et λ k = (λ k 1,..., λk m) R m, et posons v k := m i=1 λk i uk i. On suppose que ū k tend vers ū qund k, et que l suite (v k ) est bornée dns E. Alors l suite ( λ k ) est bornée dns R m. Démonstrtion. Supposons que ( λ k ) ne soit ps bornée. Alors, quitte à extrire une sous-suite, on peut en fit supposer que λ k tend vers l infini. Comme l suite (v k ) est bornée, on en déduit que 1 λ k v k tend vers 0 ; utrement dit (5.6) m i=1 µ k i u k i 0, où µ k i = λk i λ k Si on pose µ k = (µ k 1,..., µk m), lors µ k = 1 pour tout k. Comme l sphère unité de R m est compcte, on peut donc supposer, quitte à extrire une sous-suite, que l suite ( µ k ) converge vers un certin µ R m vérifint µ = 1 (en prticulier, µ 0). Comme ū k u, on obtient lors, en pssnt à l limite dns (5.6) : m µ i u i = 0 ; ce qui est bsurde cr les u i sont linéirement indépendnts et µ 0. i=1 Preuve du Théorème 5.1. Il s git de montrer qu il existe des nombres réels λ 1,..., λ m tels que m f() = λ i C i (). i=1

5. EXTREMA LIÉS 89 On v ppliquer le Lemme 5.7 vec l fonction Φ définie pr Φ(x) = m i=1 C i(x) 2 (qui vérifie bien les hypothèses du lemme). On insi pour tout k N : m Ψ k (x) = f(x) + x 2 + k C i (x) 2. L fonction Φ est différentible sur Ω, vec Φ(x) = m i=1 C i(x) C i (x) ; donc m Ψ k (x) = f(x) + 2(x ) + 2k C i (x) C i (x). D près le Lemme 5.7, on peut trouver une suite (x k ) tendnt vers telle que Ψ k (x k ) = 0 pour tout k, utrement dit m (5.7) f(x k ) + 2(x k ) = ( 2kC i (x k )) C i (x k ) }{{} i=1 λ k i Comme x k, le premier membre de (5.7) tend vers f() qund k. En prticulier, ce premier membre reste borné, et donc v k := m i=1 λk i C i(x k ) reste borné. De plus, C i (x k ) C i () pour i = 1,..., m, et pr hypothèse les C i () sont linéirement indépendnts dns E = R n. Si on pose λ k := (λ k 1,..., λk m), on en déduit d près le Lemme 5.9 que l suite ( λ k ) est bornée dns R m. Quitte à extrire une soussuite, on peut donc supposer que ( λ k ) converge vers un certin λ = (λ 1,..., λ m ) R m. En pssnt à l limite dns (5.7), on obtient lors ce qu on voulit : m f() = λ i C i (). i=1 i=1 i=1

CHAPITRE 5 Inversion locle, fonctions implicites 1. Applictions linéires inversibles Définition 1.1. Soient E et E deux evn. On dir qu une ppliction linéire continue L : E E est inversible (ou encore que L est un isomorphisme) si L est bijective et si L 1 est continue. On noter GL(E, E ) l ensemble des isomorphismes de E sur E, et GL(E) si E = E. Remrque 1. Si E et E sont de dimension finie, l continuité de L 1 est utomtique. Plus générlement, c est encore vri si E et E sont complets, mis ceci est loin d être évident. Il s git d un théorème célèbre dû à Bnch (le théorème d isomorphisme de Bnch). Remrque 2. Il n existe ps nécessirement d isomorphisme entre E et E ; s il en existe, on dit que les evn E et E sont isomorphes. Lorsque E et E sont de dimension finie, ils sont isomorphes si et seulement si dim(e) = dim(e ). Lemme 1.2. Si E et E sont deux evn isomorphes, lors l ppliction X X 1 est continue de GL(E, E ) dns GL(E, E). Preuve en dimension finie. Si E et E sont de (même) dimension finie, on peut les identifier tous les deux à R n et donc identifier GL(E, E ) à GL n (R), l ensemble des mtrices inversibles de tille n. Alors l célèbre formule X 1 1 = t Com(X) det(x) montre que les coefficients de l mtrice X 1 sont des fonctions rtionnelles de ceux de X, d où l continuité. Preuve dns le cs générl. Fixons A GL(E, E ). Le point clé (qu on utiliser ussi plus loin) est l identité suivnte, vlble pour tout X GL(E, E ) : (1.1) X 1 A 1 = X 1 (A X)A 1. Cette identité se démontre en réduisnt u même dénominteur ; de fçon précise, en fctorisnt à guche pr X 1 et à droite pr A 1 dns X 1 A 1. On en déduit d bord que si X A 1/2 A 1, lors X 1 A 1 X 1 /2, et donc X 1 2 A 1. En revennt à (1.1), on obtient ensuite X 1 A 1 2 A 1 2 X A pour tout X GL(E) tel que X A 1/2 A 1 ; d où l continuité. Lemme 1.3. Soit E un espce de Bnch. Si H L(E) vérifie H < 1, lors Id H est inversible et on (Id H) 1 = H k. 91 k=0

92 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Démonstrtion. Comme H k H k pour tout k et comme H < 1, on voit que l série H k est normlement convergente, et donc convergente dns L(E) puisque L(E) est complet (proposition 5.6 du chpitre 1). En posnt S = 0 Hk, on (pr continuité du produit) SH = H k+1 = HS. k=0 Comme S = 0 Hk, on en déduit SH = S H 0 = S Id = HS, utrement dit S(Id H) = Id = (Id H)S. Ainsi, (Id H) est inversible d inverse S. Corollire 1.4. Si L L(E) vérifie L I < 1, lors L est inversible. Démonstrtion. Il suffit d écrire L = I H, vec H = I L. Théorème 1.5. Si E est un espce de Bnch, lors GL(E) est ouvert dns L(E) et l ppliction X X 1 est de clsse C 1 sur GL(E). En notnt J cette ppliction, l différentielle de J est donnée pr DJ(X)H = X 1 HX 1. Démonstrtion. Soit A GL(E) quelconque, et posons r A = 1/ A 1. Si X L(E) vérifie X A < r A, lors A 1 X I = A 1 (X A) A 1 X A < 1 ; donc A 1 X GL(E) d près le lemme 1.3, et donc X GL(E) églement. Ainsi, l boule B(A, r A ) est contenue dns GL(E), ce qui montre que GL(E) est ouvert dns L(E). D près l identité (1.1) et comme l ppliction J est continue (lemme 1.2), on peut écrire J(A + H) J(A) = J(A + H)HJ(A) = ( J(A) + ε(h))hj(a) = A 1 HA 1 ε(h)ha 1, où ε(h) tend vers 0 qund H tend vers 0. Comme l ppliction H A 1 HA 1 est linéire continue sur L(E) et comme ε(h)ha 1 = o( H ) (cr ε(h)ha 1 A 1 ε(h) H ), on en déduit que J est différentible en tout point A GL(E), vec DJ(A)H = A 1 HA 1. Notons B : L(E) L(E) L(L(E)) l ppliction définie pr B(U, V )(H) = U HV. L pliction B est clirement bilinéire, et elle est églement continue cr B(U, V )(H) U V H pour tout H L(E) et donc B(U, V ) U V. De plus, on DJ(X) = B(J(X), J(X)) pour tout X GL(E) d près ce qu on vient de voir. Comme J est continue sur GL(E), on en déduit que DJ est continue et donc que J est de clsse C 1. 2. Difféomorphismes Définition 2.1. Soient E et E deux evn, Ω un ouvert de E et Ω un ouvert de E. On dit qu une ppliction Φ : Ω Ω est un difféomorphisme de Ω sur Ω si Φ est une bijection de Ω sur Ω, et si Φ et Φ 1 sont toutes les deux de clsse C 1. Remrque. Il est souvent utile de penser à un difféomorphisme comme à un chngement de vrible(s), vec toutes les pplictions que cette terminologie est susceptible de fire venir à l esprit.

2. DIFFÉOMORPHISMES 93 Exemple 1. Si L : E E est une ppliction linéire (continue) inversible, lors L est un difféomorphisme de E sur E. Exemple 2. Soit I un intervlle ouvert de R et soit ϕ : I R une fonction de clsse C 1, vec ϕ (t) 0 pour tout t I. Alors J = ϕ(i) est un intervlle ouvert et ϕ est un difféomorphisme de I sur J, vec (ϕ 1 ) 1 (x) = ϕ (ϕ 1 (x)) Démonstrtion. Comme ϕ est continue et ne s nnule jmis, elle grde un signe constnt d près le théorème des vleurs intermédiires. Pr conséquent ϕ est strictement monotone. D près un théorème bien connu, on sit lors que J = ϕ(i) est un intervlle ouvert, que ϕ est une bijection de I sur J et que ϕ 1 est continue sur J. En écrivnt ϕ 1 (y) ϕ 1 (x) y x = 1 ϕ(v) ϕ(u) v u où u = ϕ 1 (x) et v = ϕ 1 (y), on en déduit fcilement que ϕ 1 est dérivble sur J vec l formule souhitée pour (ϕ 1 ). Comme ϕ et ϕ 1 sont continues, on voit lors que (ϕ 1 ) est continue, utrement dit que ϕ 1 est C 1. Exemple 3. Soit ϕ : R R définie pr ϕ(t) = t 3. Alors ϕ est une bijection C 1 de R sur R, mis ϕ n est ps un difféomorphisme cr ϕ 1 (t) = 3 t n est ps dérivble en 0. Exercice. Soit Ω = {(x, y) R 2 ; x < y} et soit Φ : Ω R 2 l ppliction définie pr Φ(x, y) = (x + y, xy). Montrer que Φ est un difféomorphisme de Ω sur l ouvert Ω := {(s, p) R 2 ; s 2 4p > 0}, et déterminer Φ 1. Proposition 2.2. Soient E et E deux evn. Si Φ : Ω Ω est un difféomorphisme d un ouvert Ω E sur un ouvert Ω E, lors DΦ(u) : E E est inversible pour tout u Ω, vec DΦ(u) 1 = DΦ 1 (Φ(u)). Démonstrtion. On Φ 1 Φ = (Id E ) Ω et Φ Φ 1 = (Id E ) Ω pr définition de Φ 1. Comme Id E et Id E sont linéires continues, on en déduit (en différentint et en utilisnt le théorème des fonctions composées) qu on DΦ 1 (Φ(u))DΦ(u) = Id E pour tout u Ω et DΦ(Φ 1 (u ))DΦ 1 (u ) = Id E pour tout u Ω. En prennt u = Φ(u) l deuxième identité s écrit DΦ(u)DΦ 1 (Φ(u)) = Id E, et on voit donc que DΦ(u) est inversible d inverse DΦ 1 (Φ(u)). Corollire 2.3. S il existe un difféomorphisme d un ouvert de E sur un ouvert de E, lors E et E sont isomorphes. En prticulier, si m, n N, lors il ne peut exister de difféomorphisme de R n sur R m que si n = m. Remrque. En fit, un résultt beucoup plus fort (et beucoup plus difficile à démontrer) est vri : s il existe un homéomorphisme (i.e. une bijection continue, de réciproque continue) d un ouvert de R n sur un ouvert de R m, lors n = m. C est un théorème célèbre dû à Brouwer. Proposition 2.4. Soient E et E deux evn, et soit Φ : Ω Ω une bijection d un ouvert Ω E sur un ouvert Ω E. Soit ussi p Ω, et soit p = Φ(p). On suppose que Φ est différentible en p, que DΦ(p) : E E est inversible, et que Φ 1 est continue u point p. Alors Φ 1 est différentible en p et DΦ 1 (p ) = DΦ(p) 1 = DΦ(Φ 1 (p )) 1.

94 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Démonstrtion. Posons L = DΦ(p). Il s git de montrer qu on peut écrire, pour h tendnt vers 0 dns E : Φ 1 (p + h ) = Φ 1 (p ) + L 1 h + o( h ). Comme Φ 1 est continue u point p, on peut certinement écrire (2.1) Φ 1 (p + h ) = Φ 1 (p ) + ε(h ) = p + ε(h ), où ε(h ) tend vers 0 qund h 0. Ce qu il reste à fire est de montrer qu on en fit ε(h ) = L 1 h + o( h ). En ppliqunt Φ à (2.1) et en utilisnt l différentibilité de Φ u point p, on obtient p + h = Φ(p + ε(h )) = Φ(p) + Lε(h ) + o( ε(h ) ) = p + Lε(h ) + o( ε(h ) ) ; utrement dit h = Lε(h ) + o( ε(h ), ou encore ε(h ) = L 1 h + L 1( o( ε(h ) ) ). Mis comme l ppliction linéire L 1 est continue, on ussi L 1 (u) = O( u ) et donc L 1( o( ε(h ) ) ) = o( ε(h ) ) ; d où (2.2) ε(h ) = L 1 h + o( ε(h ) ). Pr définition d un o, on donc peut trouver δ > 0 tel que h δ = ε(h ) L 1 h + (1/2) ε(h )),, utrement dit ε(h ) 2 L 1 h pour h δ. Ainsi, on ε(h ) = O( L 1 h ) = O( h ) u voisinge de 0, d où l conclusion souhitée en revennt à (2.2) : ε(h ) = L 1 h + o( h ). Corollire 2.5. Soit Φ : Ω Ω une bijection C 1 d un ouvert Ω E sur un ouvert Ω E. Si DΦ(u) est inversible pour tout u Ω et si Φ 1 est continue sur Ω, lors Φ est un difféomorphisme (i.e. Φ 1 est C 1 ). Démonstrtion. D près l proposition, Φ est différentible en tout point vec DΦ 1 (x) = DΦ(Φ 1 (x)) 1 pour tout x Ω. Comme Φ 1 est continue et comme l ppliction X X 1 est continue sur GL(E, E ) d près le lemme 1.2, on voit que DΦ 1 est continue, i.e. que Φ 1 est C 1. Remrque. On verr plus loin que l hypothèse de continuité fite sur Φ 1 est en fit superflue. 3. Le théorème d inversion locle 3.1. Énoncé et conséquences immédites. Dns ce qui suit, E et E sont des evn, Ω est un ouvert de E, et Ω est un ouvert de E. Définition 3.1. Soit Φ : Ω Ω, et soit p 0 Ω. On dit que l ppliction Φ est un difféomorphisme locl u point p 0 s il existe un voisinge ouvert U de p 0 (contenu dns Ω) tel que U = Φ(U) est un ouvert de E et Φ U : U U est un difféomorphisme de U sur U.

3. LE THÉORÈME D INVERSION LOCALE 95 Remrque. Cel signifie qu on peut loclement inverser l ppliction Φ u voisinge de p 0. Autrement dit : pour tout λ E suffismment proche de λ 0 = Φ(p 0 ) (i.e. λ U ) il existe un unique u = u(λ) E proche de p 0 (i.e. u(λ) U) solution de l éqution Φ(u) = λ ; et de plus l ppliction λ u(λ) (i.e. (Φ U ) 1 : U U) est de clsse C 1. Exemple. On prend E = R = E. Si ϕ : Ω R est une fonction de clsse C 1 sur un ouvert Ω R et si t 0 Ω est tel que ϕ (t 0 ) 0, lors ϕ est un difféomorphisme locl u point t 0. Démonstrtion. Pr continuité de ϕ, on peut trouver δ > 0 tel que ϕ (t) 0 pour tout t I := ] δ, δ[. On sit qu lors J = ϕ(i) est un intervlle ouvert et que ϕ I est un difféomorphisme de I sur J (cf le 2è exemple de difféomorphisme donné plus hut). Si Φ : Ω E est un difféomorphisme locl u point p 0, lors DΦ(p 0 ) : E E est nécessirement inversible, d près l proposition 2.2. Le théorème suivnt (beucoup plus difficile) montre que l réciproque est vrie. Théorème 3.2. (théorème d inversion locle) On suppose que les evn E et E sont complets. Soit Φ : Ω E de clsse C 1, et soit p 0 Ω. Si DΦ(p 0 ) : E E est inversible, lors Φ est un difféomorphisme locl u point p 0. Remrque. Si E = R n = E, l condition DΦ(p 0 ) inversible signifie que le déterminnt de l mtrice jcobienne de Φ u point p 0 est non-nul. Ce déterminnt s ppelle le déterminnt jcobien de Φ u point p 0, et se note J Φ (p 0 ). Corollire 3.3. Soit Φ : Ω Ω une bijection C 1 d un ouvert Ω E sur un ouvert Ω E. Si DΦ(u) est inversible pour tout u Ω, lors Φ est un difféomorphisme. Démonstrtion. Soit p 0 Ω quelconque, et soit p 0 = Φ 1 (p 0 ). En ppliqunt le théorème d inversion locle u point p 0, on voit que Φ 1 est de clsse C 1 u voisinge de p 0 ; et comme p 0 est rbitrire, cel montre que Φ 1 est C 1 sur Ω. Corollire 3.4. Si Φ : Ω Ω est une bijection C 1 entre deux ouverts de R n et si J Φ (u) 0 pour tout u Ω, lors Φ est un difféomorphisme. Remrque. L intérêt prtique de ce dernier résultt est évident : pour montrer que Φ 1 est de clsse C 1, il est inutile de déterminer explicitement Φ 1! Il suffit de vérifier que le déterminnt jcobien de Φ ne s nnule jmis. Exemple 3.5. (coordonnées polires) Soit Φ : ]0, [ ]0, 2π[ R 2 l ppliction définie pr Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). Il est clir que Φ est de clsse C 1, et que Φ est une bijection de Ω :=]0, [ ]0, 2π[ sur Ω := R 2 \ {(x, 0); x 0}. (Les seuls points non tteints pr Φ sont les points p pour lesquels l demi-droite [0, p) fit un ngle égl à 0 vec l xe [0, x), i.e. les points de l forme (x, 0) vec x 0 ; et tout point (x, y) Ω s écrit de mnière unique sous l forme (r cos θ, r sin θ) si on impose 0 < θ < 2π). De plus, le déterminnt jcobien de Φ est fcile à clculer : on ( ) cos θ r sin θ J Φ (r, θ) = det = r, sin θ r cos θ donc en prticulier J Φ (r, θ) 0 pour tout (r, θ) Ω. Ainsi, Φ est un difféomorphisme de Ω sur Ω.

96 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Exercice. Donner une formule explicite pour Φ 1. Mentionnons encore deux utres conséquences très simples du théorème d inversion locle. Corollire 3.6. (théorème de l ppliction ouverte) Soit Φ : Ω E de clsse C 1. Si Dφ(u) est inversible pour tout u Ω, lors Φ est une ppliction ouverte : l imge pr Φ de tout ouvert O Ω est un ouvert de E. Démonstrtion. Soit O Ω ouvert, et soit p 0 Φ(O) quelconque. Choisissons un point p 0 O tel que Φ(p 0 ) = p 0. Commme DΦ(p 0) est inversible, le théorème d inversion locle ppliqué dns O fournit un voisinge ouvert U de p 0 contenu dns O tel que U = Φ(U) est un ouvert de E, et donc un voisinge ouvert de p 0. Comme U Φ(O), cel montre que tout point p 0 Φ(O) est intérieur à Φ(O), utrement dit que Φ(O) est un ouvert de E. Corollire 3.7. Soit Φ : Ω E de clsse C 1. Si Φ est injective et si Dφ(u) est inversible pour tout u Ω, lors Ω := Φ(Ω) est un ouvert de E et Φ est un difféomorphisme de Ω sur Ω. Démonstrtion. C est immédit d près les corollires 3.6 et 3.3. 3.2. Preuve. L preuve du théorème d inversion locle v utiliser de mnière essentielle le théorème du point fixe, sous l forme suivnte. Lemme 3.8. (théorème du point fixe) Soit M un fermé d un espce de Bnch E, et soit f : M E. On suppose qu on f(m) M, et que f est k-lipschitzienne pour un certin k < 1. Alors f possède un unique point fixe dns M. Démonstrtion. Soit x 0 M. Comme M est stble pr f, on peut définir une suite (x n ) n 0 M pr l récurrence x n+1 = f(x n ). Comme f est k-lipschitzienne, on vérifie fcilement pr récurrence qu on x n x n 1 k n 1 x 1 x 0 pour tout n 1. Comme k < 1, cel montre que l série n 1 x n x n 1 est convergente ; et comme l espce E est supposé complet, on en déduit que l série n 1 (x n x n 1 ) converge dns E. Mis x n = x 0 + n i=1 (x i x i 1 ) pour tout n 1, donc cel signifie que l suite (x n ) est convergente, x n α E. Le point α pprtient à M cr (x n ) M et M est fermé dns E ; et pr continuité de f, on f(α) = lim n f(x n ) = lim n x n+1 = α. On vient insi de montrer que f possède un point fixe. L unicité est lissée en exercice. Preuve du théorème d inversion locle. Soit Φ : Ω E de clsse C 1 (où Ω est un ouvert de E) et soit p 0 Ω tel que DΦ(p 0 ) : E E est inversible. On cherche un voisinge ouvert U de p 0 tel que U = Φ(U) est un ouvert de E et Φ U est un difféomorphisme de U sur U. L démonstrtion v se fire en plusieurs étpes. Fit 0. On peut supposer E = E et DΦ(p 0 ) = Id E. Démonstrtion. Posons L = DΦ(p 0 ), et soit Φ : Ω E l ppliction définie pr Φ(u) = L 1 (Φ(u)). Comme L 1 est linéire continue, Φ est de clsse C 1 (pr composition) et on D Φ(p 0 ) = DL 1 (Φ(p 0 )) DΦ(p 0 ) = L 1 DΦ(p 0 ) = Id. De plus, si on sit montrer que Φ est un difféomorphisme locl en p 0, lors on sur le fire pour Φ cr Φ = L Φ et L est un difféomorphisme de E sur E.

3. LE THÉORÈME D INVERSION LOCALE 97 Fit 1. On peut trouver un voisinge ouvert U de p 0 (contenu dns Ω) tel que DΦ(u) est inversible pour tout u U et l ppliction u u Φ(u) est 1 2 - lipschitzienne sur U. Démonstrtion. Comme DΦ est continue u point p 0 et DΦ(p 0 ) = Id, on peut trouver δ > 0 tel que U := B(p 0, δ) Ω et DΦ(u) Id 1/2 pour tout u U. Alors DΦ(u) est inversible pour u U, d près le lemme 1.3. Si on définit h : U E pr h(u) = Φ(u) u, i.e. h = (Φ Id) U, lors Dh(u) = DΦ(u) Id 1/2 pour tout u U ; donc h est 1 2-lipschitzienne sur U, d près l inéglité des ccroissements finis (cr l boule U est convexe). Fit 2. L ppliction Φ est injective sur U, et (Φ U ) 1 est continue sur U = Φ(U). Démonstrtion. Si u, v U, lors Φ(v) Φ(u) = (Φ(v) v) (Φ(u) u) + (v u) v u (Φ(v) v) (Φ(u) u) 1 v u, 2 d près le fit 1. On en déduit imméditement que Φ est injective sur U : si Φ(u) = Φ(v), lors 1 2 v u Φ(v) Φ(u) = 0 et donc u = v. D utre prt, si u = Φ(u) et v = Φ(v) sont quelconques dns U = Φ(U), lors (Φ U ) 1 (v ) (Φ U ) 1 (u ) = v u 2 Φ(v) Φ(u) = 2 v u. Ainsi, l ppliction (Φ U ) 1 est 2-lipschitzienne, et donc continue sur U. Fit 3. L ensemble U = Φ(U) est un ouvert de E. Démonstrtion. Soit u 0 U quelconque, et écrivons u 0 = Φ(u 0), où u 0 U. On cherche δ > 0 tel que B(u 0, δ) U, utrement dit tel que pour tout u B(u 0, δ), l éqution Φ(u) = u possède une solution u U. Soit α > 0 tel que B(u 0, α) U. On v montrer que δ := α/2 convient. Plus précisément, on v montrer que pour tout u E vérifint u u 0 δ, l éqution Φ(u) = u possède une solution u B(u 0, α). Fixons u vérifint u u 0 δ, et soit Ψ : B(u 0, α) E l ppliction définie pr Ψ(u) = u Φ(u) + u. Pr définition, l éqution Φ(u) = u est équivlente à Ψ(u) = u. Il s git donc montrer que Ψ possède un point fixe dns B(u 0, α). Comme l espce E est supposé complet, il suffit pour cel de vérifier que les hypothèses du théorème du point fixe (lemme 3.8) sont vérifiées vec M := B(u 0, α) E et f = Ψ. Pr définition, Ψ diffère de l ppliction u u Φ(u) pr une constnte ; donc Ψ est 1 2 -lipschitzienne sur B(u 0, α) d près le fit 1. Pr conséquent, il reste simplement à montrer que l boule B(u 0, α) est stble pr Ψ.

98 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Si u B(u 0, α), lors Ψ(u) u 0 Ψ(u) Ψ(u 0 ) + Ψ(u 0 ) u 0 = Ψ(u) Ψ(u 0 ) + u Φ(u 0 ) 1 2 u u 0 + u u 0 α 2 + δ = α. On donc bien Ψ(u) B(u 0, α) pour tout u B(u 0, α), ce qui termine l démonstrtion du fit 3. On peut mintennt conclure. D près les fits 1, 2, 3, on sit que Φ U : U U est une bijection C 1 de U sur U, que U est un ouvert de E, que DΦ(u) est inversible pour tout u U, et que (Φ U ) 1 est continue sur U. D près le corollire 2.5, on en déduit que Φ U est un difféomorphisme de U sur U ; donc Φ est un difféomorphisme locl u point p 0. 3.3. Un exemple. Pour illustrer le théorème d inversion locle, on v mintennt expliquer comment il peut permettre de démontrer l existence de solutions pour certines équtions différentielles. De fçon précise, on v donner les grndes lignes de l preuve du résultt suivnt. Les détils débordent un peu le cdre de ce cours, cr on v voir besoin d utiliser le théorème d Ascoli, qui est un résultt non trivil d nlyse fonctionnelle. Proposition 3.9. Soit I un intervlle ouvert de R et soit p : I R une ppliction de clsse C 1 strictement croissnte et surjective. Pour toute fonction g : R R continue et 2π-périodique, il existe une fonction y : R R de clsse C 1, 2π-périodique, à vleurs dns I, telle que u + p u = g. Preuve brégée. Dns ce qui suit, on noter C2π 0 l espce des fonctions continues 2π-périodiques de R dns R, muni de l norme., et C2π 1 l espce des fonctions 2πpériodiques de clsse C 1, muni de l norme définie pr u = u + u. On vérifie sns difficulté que les espces C2π 0 et C1 2π sont complets pour leurs normes respectives. Posons U = {u C2π 1 ; u(r) I}, et introduisons l ppliction Φ : U C0 2π définie pr Φ(u) = u + p u. Il s git très exctement de montrer que l ppliction Φ est surjective. Fit 1. Si α C2π 0 vérifie 2π 0 α(t) dt 0 lors, pour toute fonction v C2π 0, il existe une unique fonction h C2π 1 telle que h + αh = v. Preuve du fit 1. Une fonction v C2π 0 étnt fixée, il s git de montrer que l éqution différentielle linéire h + αh = v possède une et une seule solution 2πpériodique. On sit que les solutions mximles de cette éqution sont définies sur R et de l forme h C (t) = h 0 (t) + Ce t 0 α(s) ds, où u 0 est une solution prticulière (obtenue pr l méthode de vrition de l constnte) et C est une constnte. Comme ρ = e 2π 0 α(s) ds 1 pr hypothèse, il existe une unique constnte C telle que h C (2π) = h C (0) (il s git de résoudre l éqution h 0 (2π) + Cρ = h 0 (0) + C). Pour cette vleur de C, l fonction h C définie pr h C (t) = u C (t+2π) est lors solution de l même éqution

3. LE THÉORÈME D INVERSION LOCALE 99 différentielle que h C et vérifie h C (0) = h C (0). Donc h C = h C d près le théorème de Cuchy-Lipschitz, utrement dit h C est 2π-périodique. Fit 2. U est un ouvert de C 1 2π, l ppliction Φ est de clsse C1 sur U, et l différentielle de Φ est donnée pr l formule DΦ(u)h = h + (p u) h. Preuve du fit 2. Soit u 0 U quelconque. Comme u 0 est continue et périodique, u 0 (R) est un intervlle compct de R, contenu dns I pr définition de U. Écrivons u 0 (R) = [α, β]. Comme I est un intervlle ouvert, on peut trouver ε > 0 tel que [α ε, β + ε] I. Si u C2π 1 vérifie u u 0 < ε, lors fortiori u u 0 < ε et donc u(r) [α ε, β + ε] I. Ainsi, l boule B(u 0, ε) est contenue dns U, ce qui prouve que U est un ouvert de C2π 1. L deuxième prtie est un exercice tout à fit instructif. Fit 3. Φ(U) est un ouvert de C 0 2π. Preuve du fit 3. D près le théorème de l ppliction ouverte (corollire 3.6), il suffit de montrer que pour tout u U, l différentielle DΦ(u) est un isomorphisme de C2π 1 sur C0 2π. Si on pose α = p u, lors DΦ(u)h = h + αh pour tout h C2π 1, d près le fit 2. De plus, on 2π 0 α(t)dt 0 cr p est strictement positive sur I. D près le fit 1, on en déduit que DΦ(u) est bijective de C2π 1 sur C0 2π, et donc un isomorphisme d près le théorème d isomorphisme de Bnch. Fit 4. Φ(U) est églement fermé dns C 0 2π. Preuve du fit 4. Commençons pr observer que si u C 1 2π, lors (3.1) p u Φ(u). En effet, comme p est strictement croissnte, p u est tteinte en un point où u tteint s borne supérieure ou s borne inférieure. On donc u () = 0, d où p u = p u() = Φ(u)() Φ(u). Soit mintennt (g n ) une suite d éléments de Φ(U) convergent dns C2π 0 vers une fonction g. Il s git de montrer que l fonction g est encore dns Φ(U). Écrivons g n = Φ(u n ), où u n U. D près (3.1) et comme l suite convergente (Φ(u n )) = (g n ) est bornée dns C2π 0, on voit que l suite (p u n) est uniformément bornée ; et comme u n = Φ(u n ) p u n on en déduit que l suite (u n) est elle ussi uniformément bornée. Ainsi, les u n sont C-lipschitziennes, pour une certine constnte C indépendnte de n. D près le théorème d Ascoli, on peut donc supposer, quitte à extrire une sous-suite, que l suite (u n ) converge uniformément sur tout compct vers une fonctions continue u : R R. Comme de plus les u n sont 2π-périodiques, l convergence est en fit uniforme sur R, et l fonction u est 2π-périodique. En revennt à l identité u n = Φ(u n ) p u n = g n p u n, on voit mintennt que l suite (u n) converge uniformément sur R. Donc u est de clsse C 1, i.e. u C2π 1, et u est l limite (uniforme) des u n. En utilisnt à nouveu le fit que l suite (p u n ) est uniformément bornée et en se souvennt que p(x) tend vers ± qund x tend vers les bornes de l intervlle I (puisque p(i) = R pr hypothèse), on voit que les fonctions u n prennent leurs vleurs

100 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES dns un compct K I indépendnt de n. Comme u n (t) u(t), on en déduit que u(t) K I pour tout t R, et donc que u U. Enfin, en pssnt à l limite dns l identité g n = u n + p u n, on obtient g = u + p u = Φ(u). Ainsi g Φ(U), ce qui prouve que Φ(U) est fermé dns C2π 0. L preuve de l proposition est mintennt terminée : pr connexité de C2π 0, on déduit des fits 3 et 4 que Φ(U) = C2π 0 ; utrement dit l ppliction Φ est surjective, ce qui est l conclusion souhitée. 4. Le théorème des fonctions implicites 4.1. Introduction. Le théorème d inversion locle permet de résoudre loclement des équtions du type Φ(u) = λ, ou si on préfère Φ(u) λ = 0. On v mintennt s intéresser à des équtions plus générles, de l forme F (λ, u) = 0. Dns ce qui suit, Λ, E et E sont des evn. Définition 4.1. Soit F : Λ E E, et soit (λ 0, u 0 ) Λ E tel que F (λ 0, u 0 ) = 0. On dir que l éqution F (λ, u) = 0 définit implicitement u comme fonction C 1 de λ u voisinge de (λ 0, u 0 ) s il existe un voisinge ouvert U de u 0 dns E et un voisinge ouvert V de λ 0 dns Λ tels que (i) pour tout λ V, il existe un unique u = u(λ) U tel que F (λ, u(λ)) = 0 ; (ii) l ppliction λ u(λ) est de clsse C 1 sur V. Remrque. D près l propriété d unicité dns (i), on lors u(λ 0 ) = u 0. Cette définition est purement nlytique, mis on peut l formuler de mnière plus géométrique en considérnt l hypersurfce d éqution F (λ, x) = 0 : Lemme 4.2. Soit Γ = {(λ, u) Λ E; F (λ, u) = 0}. Dire que l éqution F (λ, u) = 0 définit implicitement u comme fonction C 1 de λ u voisinge d un point (λ 0, u 0 ) Γ signifie qu on peut trouver un voisinge W de (λ 0, u 0 ) tel que Γ W est le grphe d une fonction de clsse C 1. Démonstrtion. Si U u 0 et V λ 0 sont comme dns l définition, on peut prendre W = V U. Inversement, si W est un voisinge ouvert de (λ 0, u 0 ) tel que Γ W est le grphe d une fonction λ u(λ) de clsse C 1, il suffit de choisir des voisinges ouverts U et V de u 0 et λ 0 tels V U W. Exemple 1. Soit F : R R R l fonction définie pr F (x, y) = x 2 + y 2 1. Dns ce cs, Γ = {(x, y); F (x, y) = 0} est le cercle de centre (0, 0) et de ryon 1. Géométriquement, on voit tout de suite (en dessinnt le cercle) que l éqution F (x, y) = 0 définit implicitement y comme fonction C 1 de x u voisinge de tout point (x 0, y 0 ) Γ tel que y 0 0, i.e. x 0 ±1 : si on choisit un voisinge ouvert W de (x 0, y 0 ) ne contennt ps les points (1, 0) et ( 1, 0), il est clir que W Γ est le grphe d une fonction x y(x) de clsse C 1. Anlytiquement, on le justifie comme suit. Pour y 0 > 0, on peut prendre V = ] 1, 1[ et U = {y R; y > 0}. Si x ] 1, 1[, l éqution F (x, y) = 0 possède une unique solution y(x) > 0, à svoir y(x) = 1 x 2, et l fonction x y(x) est de clsse C 1 sur V = ] 1, 1[. Pour y 0 < 0, on peut prendre V = ] 1, 1[ et U = {y R; y < 0}, et dns ce cs l solution est y(x) = 1 x 2. Au voisinge des points (1, 0) et ( 1, 0), il est tout ussi clir géométriquement que l éqution F (x, y) = 0 ne définit ps implicitement y comme fonction C 1 de x : si

4. LE THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES 101 W est un voisinge ouvert de (1, 0) ou de ( 1, 0), l ensemble W Γ n est visiblement ps le grphe d une fonction x y(x). Anlytiquement, on peut le voir de 2 fçons, pr exemple pour le point (1, 0). Si V est un voisinge ouvert de x 0 = 1 et U est un voisinge ouvert de y 0 = 0, lors V contient à l fois des points x pour lesquels l éqution F (x, y) = 0 ne possède ucune solution (n importe quel x > 1), et des points x pour lesquels l éqution possède 2 solutions (n importe quel x < 1 suffismment proche de 1 pour que 1 x 2 et 1 x 2 pprtienne à U). En fit, il n est même ps possible de définir une fonction x y(x) de clsse C 1 sur un intervlle I = ]α, 1] telle que F (x, y(x)) = 0 sur I. En effet, on urit lors (en dérivnt pr rpport à x) F x (x, y(x))+y (x) F y (x, y(x)) = 0 pour tout x I, utrement dit 2x+2y(x) y (x) = 0 ; et comme y(1) = 0 (puisque 1 2 + y(1) 2 1 = 0) on en déduirit une contrdiction en prennt x = 1. On montrerit de même que l éqution F (x, y) = 0 définit implicitement x comme fonction C 1 de y u voisinge de tout point (x 0, y 0 ) Γ tel que x 0 0, mis ps u voisinge des points (0, 1) et (0, 1). Sur cet exemple, on constte que les deux seuls points de Γ u voisinge desquels l éqution F (x, y) = 0 ne définit ps implicitement y comme fonction C 1 de x (à svoir (1, 0) et ( 1, 0)) sont églement les deux seuls points de Γ où l dérivée prtielle = 2y s nnule. Et de même, les deux seuls points de Γ u voisinge desquels F y l éqution ne définit ps implicitement x comme fonction C 1 de y sont ceux pour lesquels F x = 0. Exemple 2. Soit F : R 2 R définie pr F (x, y) = x 2 y 2. Dns ce cs, Γ = {(x, y); F (x, y) = 0} est l réunion des deux droites d équtions y = x et y = x. On vérifie fcilement que l éqution F (x, y) = 0 définit implicitement y comme fonction de x et x comme fonction de y u voisinge de tout point (x 0, y 0 ) Γ différent de (0, 0). (Exercice). Au voisinge de (0, 0), l éqution F (x, y) = 0 ne définit ps y comme fonction de x, et ps non plus x comme fonction de y. C est évident géométriquement : pour tout voisinge W de (0, 0), l ensemble W Γ n est certinement ps un grphe, cr toute droite verticle ou horizontle pssnt pr un point de W Γ différent de (0, 0) et suffismment proche de (0, 0) rencontre deux fois W Γ. Sur cet exemple, on constte à nouveu que l éqution F (x, y) = 0 définit implictement y comme fonction C 1 de x u voisinge de tout point (x 0, y 0 ) Γ tel que F y (x 0, y 0 ) = 2y 0 0, et qu elle définit implicitement x comme fonction C 1 de y u voisinge de tout point (x 0, y 0 ) Γ tel que F x (x 0, y 0 ) = 2x 0 0. Ce qu on vient d observer sur deux exemples est un phénomène très générl : c est exctement le contenu de ce qu on ppelle le théorème des fonctions implicites. 4.2. Une version pour enfnts. Sous s forme générle, le théorème des fonctions implicites ser énoncé et démontré plus bs. L proposition suivnte est un cs prticulier, où on ne considère que des fonctions F de deux vribles réelles, et à vleurs réelles (i.e. Λ = E = E = R). L preuve est élémentire, mis cependnt non-trivile et intéressnte. Proposition 4.3. (théorème des fonctions implicites dns le pln)

102 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Soit F : R 2 R une fonction de clsse C 1. Si (x 0, y 0 ) est tel que F (x 0, y 0 ) = 0 et F y (x 0, y 0 ) 0, lors l éqution F (x, y) = 0 définit implicitement y comme fonction de x u voisinge de (x 0, y 0 ). Démonstrtion. Fixons (x 0, y 0 ) vérifint les hypothèss ci-dessus. On cherche des intervlles ouverts I x 0 et J y 0 tels que (i) pour tout x I, il existe un unique y = y(x) J tel que F (x, y(x)) = 0 ; (ii) l ppliction x y(x) est de clsse C 1 sur I. Supposons pr exemple F y (x 0, y 0 ) > 0. Pr continuité de F y, on peut lors trouver un voisinge ouvert W 0 de (x 0, y 0 ) tel que F y (x, y) > 0 sur W 0 ; et on peut églement supposer que W 0 est de l forme W 0 = I 0 J 0, où I 0 et J 0 sont des intervlles ouverts contennt respectivement x 0 et y 0. Alors l propriété suivnte lieu : pour tout x I 0 fixé, l fonction y F (x, y) est strictement croissnte sur J 0. Choisissons δ > 0 de sorte que [y 0 δ, y 0 +δ] J 0. Comme F (x 0, y 0 ) = 0 et comme l fonction y F (x, y) est strictement croissnte sur J 0, on F (x 0, y 0 δ) < 0 et F (x 0, y 0 + δ) > 0. Comme l ensemble {x R; F (x, y 0 δ) < 0 et F (x, y 0 + δ) > 0} est un ouvert de R pr continuité de F, on en déduit qu on peut trouver un intervlle ouvert I I 0 contennt x 0 tel que F (x, y 0 δ) < 0 < F (x, y 0 + δ) pour tout x I. On v montrer que I et J := ]y 0 δ, y 0 + δ[ conviennent. Si x I, lors F (x, y 0 δ) < 0 < F (x 0 + δ). Comme l fonction y F (x, y) est continue et strictement croissnte sur J 0 et donc sur [y 0 δ, y 0 + δ], on en en déduit (à l ide du théorème des vleurs intermédiires) que l éqution F (x, y) = 0 possède une unique solution y(x) J. Ainsi, (i) est vérifiée. Admettons provisoirement que l fonction x y(x) est continue sur I, et montrons qu elle est en fit de clsse C 1. Fixons un point x I, et posons = F F x (x, y(x)) et b = y (x, y(x)). Comme l fonction y est continue u point x, on peut écrire y(x + h) = y(x) + ε(h), où ε(h) 0 qund h 0 ; et comme F est différentible en (x, y(x)), on donc F (x + h, y(x + h)) = F (x + h, y(x) + ε(h)) = F (x, y(x)) + h + b ε(h) + R(h), où R(h) = o( h + ε(h) ) qund h 0. En se souvennt que F (x, y(x)) = 0 = F (x+h, y(x+h)) et comme b = F y (x, y(x)) 0 (cr y(x) I J 0 ) on en déduit (4.1) ε(h) = h + o( h + ε(h) ). b Pour h ssez petit, on donc en prticulier ε(h) b h + 1 2 ( h + ε(h) ), utrement dit ε(h) 2 ( ) b + 1 2 h. Ainsi, ε(h) = O( h ) u voisinge de 0, d où en revennt à (4.1) : ε(h) = b h + o( h ).

4. LE THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES 103 Pr définition de ε(h), cel signifie que l fonction y est dérivble u point x, vec y (x) = b Ainsi, on vient de montrer que y est dérivble sur I vec x I : y (x) = F x F y (x, y(x)) ; (x, y(x)) et comme l fonction y est continue, cette formule montre que y est en fit de clsse C 1. Montrons mintennt que l fonction y est effectivement continue sur I. Soit (x n ) une suite de points de I convergent vers x I, et supposons que y(x n ) ne tende ps vers y(x ). Quitte à extrire une sous-suite, on peut supposer qu on y(x n ) y(x ) ε 0 pour tout n et pour un certin ε 0 > 0. D utre prt, l suite (y(x n )) est bornée cr y(x n ) J = ]y 0 δ, y 0 + δ[. On peut donc trouver une sous-suite y(x nk ) qui converge vers un certin y [y 0 δ, y 0 + δ]. Pr continuité de F, on lors F (x, y ) = lim F (x nk, y(x nk )) = 0 ; et comme l seule solution de l éqution F (x, y) = 0 dns l intervlle [y 0 δ, y 0 + δ] est y = y(x ), on donc y = y(x ). Ainsi, y(x nk ) tend vers y(x ), d où une contrdiction puisque y(x nk ) y(x ) ε 0 > 0 pour tout k. On donc bien montré que l fonction y est continue sur I. Exercice. Vérifier que l démonstrtion précédente s dpte u cs d une fonction F : Λ R R, où Λ est un evn. L proposition suivnte donne une formule pour l dérivée de l fonction implicite. Il est inutile d pprendre cette formule pr coeur, mis indispensble de svoir l redémontrer rpidement. Proposition 4.4. (dérivée de l fonction implicite) Soit F : R R R vérifint les hypothèses du théorème des fonctions implicites u voisinge d un point (λ 0, u 0 ), et soit λ u(λ) l fonction implicite ssociée. Alors F u (λ, u(λ)) ne s nnule ps u voisinge de λ 0, et l dérivée de u est donnée pr l formule F (λ, u(λ)) u (λ) = λ F (λ, u(λ)) u Démonstrtion. Pr continuité, F u (λ, u(λ)) ne s nnule ps u voisinge de λ 0 u (λ 0, u(λ 0 )) = F u (λ 0, u 0 ) 0. En dérivnt l reltion F (λ, u(λ)) = 0 pr puisque F rpport à λ, on obtient F λ d où l formule souhitée. (λ, u(λ)) + F u (λ, u(λ)) u (λ) = 0, Corollire 4.5. Sous les hypothèses précédentes, l fonction implicite u possède l même régulrité que l fonction F : si F possède des dérivées prtielles continues jusqu à un certin ordre k, lors u est de clsse C k. Démonstrtion. L formule donnnt u (λ) montre que u est de clsse C k 1. Exercice 1. Montrer que l reltion x 3 y + 2x 4 y 2 + x 2 + y = 0 définit implicitement y comme fonction de clsse C de x u voisinge de (0, 0) et déterminer le développement limité à l ordre 2 en 0 de l fonction y(x).

104 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES Exercice 2. Soient, b R vec < b. Montrer que l éqution (x )(x b) + εx 3 = 0 définit implicitement x comme fonction C de ε u voisinge de (0, ) et u voisinge de (0, b). En déduire que pour ε > 0 ssez petit, l éqution (x )(x b) + εx 3 = 0 = 0 possède trois solutions x 1 (ε) < x 2 (ε) < x 3 (ε), puis déterminer les développements limités à l ordre 1 de x 1 (ε) et x 2 (ε) qund ε 0 +, et un développement symptotique de x 3 (ε). 4.3. Le cs générl. Pssons mintennt à l version générle du théorème des fonctions implicites, où on revient u cs d une fonction F : Λ E E. Nottion. Pour toute fonction F : Λ E E pour (λ 0, u 0 ) Λ E donné, on note F λ0 : E E et F u 0 : Λ E les fonctions prtielles définies pr F λ0 (u) = F (λ 0, u) et F u 0 (λ) = F (λ, u 0 ). Si F est différentible en (λ 0, u 0 ), les différentielles prtielles de F u point (λ 0, u 0 ) sont les pplictions linéires D λ F (λ 0, u 0 ) : Λ E et D u F (λ 0, u 0 ) : E E définies pr D λ F (λ 0, u 0 ) = DF u 0 (λ 0 ) et D u F (λ 0, u 0 ) = DF λ0 (u 0 ). Le lemme suivnt est l nlogue du théorème 2.5 du chpitre 3. Lemme 4.6. Si F = Λ E E est différentible en (λ 0, u 0 ), lors D λ F (λ 0, u 0 ) et D u F (λ 0, u 0 ) s identifient ux restrictions de Df(λ 0, u 0 ) à Λ {0} Λ et {0} E E. Pour h = (h λ, h u ) Λ E, on donc DF (λ 0, u 0 )h = D λ F (λ 0, u 0 )h λ + D u F (λ 0, u 0 )h u. Démonstrtion. On F u 0 = F I u 0 et F λ0 = F I λ0, où I u 0 : Λ Λ E et I λ0 : E Λ E sont définies pr I u 0 (λ) = (λ, u 0 ) = (Id Λ (λ), u 0 ) et I λ0 (u) = (λ 0, u) = (u 0, Id E (u). Les pplictions Id Λ et Id E étnt linéires continues et les pplictions λ u 0 et u λ 0 constntes, on DI u 0 (λ 0 )h λ = (Id Λ h λ, 0) = (h λ, 0) pour tout h λ Λ, et DI λ0 (u 0 )h u = (0, h u ) pour tout h u E. Pr conséquent, DF u 0 (λ 0 )h λ = DF (I u 0 (λ 0 ))(DI u 0 (λ 0 )h λ ) = DF (λ 0, u 0 )(h λ, 0) et DF λ0 (u 0 )h u = DF (λ 0, u 0 )(0, h u ). Cel prouve l première prtie du lemme. L seconde prtie en découle imméditement : pour h = (h λ, h u ) Λ E, on DF (λ 0, u 0 )h = DF (λ 0, u 0 )(h λ, 0) + DF (λ 0, u 0 )(0, h u ) = D λ F (λ 0, u 0 )h λ + D u F (λ 0, u 0 )h u. Théorème 4.7. (théorème des fonctions implicites) Supposons les evn Λ, E et E complets. Soit F : Λ E E de clsse C 1 u voisinge d un point (λ 0, u 0 ), vec F (λ 0, u 0 ) = 0. Si DF λ0 (u 0 ) : E E est inversible, lors l éqution F (λ, u) = 0 définit implicitement u comme fonction C 1 de λ u voisinge de (λ 0, u 0 ). Remrque 1. Si Λ = E et si F est de l forme F (λ, u) = Φ(u) λ pour une certine fonction Φ : E E, lors DF λ0 = DΦ(u 0 ). On retrouve donc le théorème d inversion locle. Remrque 2. Bien entendu, il suffit de supposer que F est définie (et C 1 ) seulement sur un voisinge de (λ 0, u 0 ).

4. LE THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES 105 preuve du théorème. Soit Φ : Λ E Λ E l ppliction définie pr Φ(λ, u) = (λ, F (λ, u)). Autrement dit, en écrivnt Φ(λ, u) en colonne et en notnt π Λ : Λ E Λ l projection cnonique : ( ) πλ (λ,u) Φ(λ, u) =. F (λ,u) L ppliction ( Φ est de clsse C 1, et pour h Λ E écrit en colonne sous l forme h = hλ h u ), on ( ) π DΦ(λ 0, u 0 )h = Λ h DF (λ 0, u 0 )h ( ) h = λ D λ F (λ 0, u 0 )h λ + D u F (λ 0, u 0 )h u Ainsi, DΦ(λ 0, u 0 ) s écrit mtriciellement sous l forme ( ) IdΛ 0 DΦ(λ 0, u 0 ) = A B où A = D λ F (λ 0, u 0 ) L(Λ, E ), B = D u F (λ 0, u 0 ) L(E, E ) et 0 L(E, Λ). Comme B = D u F (λ 0, u 0 ) est supposée inversible, on en déduit fcilement que DΦ(λ 0, u 0 ) est inversible : ce serit évident dns le cs où Λ = R p et E = R q = E en utilisnt le déterminnt jcobien puisque J Φ (λ 0, u 0 ) = J Fλ0 (u 0 ) 0 ; et dns le cs générl on voit (fire le clcul) que DΦ(λ 0, u 0 ) 1 est donné mtriciellement pr ( ) DΦ(λ 0, u 0 ) 1 IdΛ 0 = B 1 A B 1. D près le théorème d inversion locle, Φ est un difféomorphisme locl u point (λ 0, u 0 ). Comme Φ(λ 0, u 0 ) = (λ 0, 0), il existe donc un voisinge ouvert U de (λ 0, u 0 ) dns Λ E tel que Φ U est un difféomorphisme de U sur un ouvert U Λ E contennt (λ 0, 0). Choisissons un voisinge ouvert V de λ 0 dns Λ et un voisinge ouvert U de u 0 dns E tels que V U U et V {0} U. Alors, pour (λ, u) V U, on les équivlences suivntes : F (λ, u) = 0 Φ(λ, u) = (λ, 0) (λ, u) = (Φ U ) 1 (λ, 0) ] u = π E [(Φ U ) 1 (λ, 0), où π E : Λ E E est l projection cnonique. On en déduit que pour tout λ V, il existe un unique u = u(λ) U tel que F (λ, u) = 0. Ce point u(λ) est donné pr l formule u(λ) = π E [ (Φ U ) 1 (λ, 0) ] et dépend donc de fçon C 1 de λ puisque Φ 1 U est C1. Corollire 4.8. Soient F 1,..., F n : R m+n R des fonctions de clsse C 1 u voisinge d un point p 0 R m+n tel que F 1 (p 0 ) = = F n (p ( 0 ) = 0, et soient Fi s 1,..., s n {1,..., m + n} vec s 1 < < s n. Si l mtrice x sj (p 0 ) ) n est i,j=1

106 5. INVERSION LOCALE, FONCTIONS IMPLICITES inversible, lors le système d équtions F 1 (x 1,..., x m+n ) = 0. F n (x 1,..., x m+n ) = 0 définit implicitement x s1,..., x sn comme fonctions C 1 des utres vribles (u voisinge de p 0 ). Démonstrtion. Quitte à permuter les vribles, on peut supposer que s 1,..., s n sont les n derniers indices, i.e. s 1 = m + 1,..., s n = m + n. En identifint R n+m à R m R n, écrivons p 0 = (λ 0, u 0 ) et définissons F : R m R n R n pr Alors l mtrice ( Fi x sj (p 0 ) ) n i,j=1 F (λ, u) = F 1 (λ,u). F n(λ,u). est précisément l mtrice jcobienne de l ppliction F λ0 : R n R n. Pr conséquent, le résultt découle directement du théorème des fonctions implicites. Corollire 4.9. Soit F : R p R R de clsse C 1, et soit (λ 0, u 0 ) R p R tel que F (λ 0, u 0 ) = 0. Si F u (λ 0, u 0 ) 0, lors l éqution F (λ, u) = 0 définit implicitement u comme fonction C 1 de λ u voisinge de (λ 0, u 0 ). Remrque. Lorsque p = 1, i.e. pour F : R R R, il est très fréquent que l on ne se souvienne plus de l hypothèse permettnt d ppliquer le théorème des fonctions implicites : doit on supposer F u (λ 0, u 0 ) 0 pour pouvoir exprimer u en fonction de λ, ou bien F λ (λ 0, u 0 ) 0? Pour s en souvenir, on peut risonner comme suit : on veut qu il n y it, pour un λ donné qu une seule solution à l éqution F (λ, u) = 0 ; donc il fut que F (λ, u) vrie lorsque u vrie et que λ reste fixe ; et ceci est vri si F u ne s nnule ps cr lors l fonction u F (λ, u) est strictement monotone. (C est exctement le risonnement utilisé dns l preuve de l proposition 4.3). Exemple. Continuité des rcines d un polynôme. Soit n N, et notons ZS n l ensemble de tous les polynômes P à coefficients réels et de degré n possédnt n rcines réelles distinctes. Pour P ZS n, notons λ 1 (P ),..., λ n (P ) les rcines de P rngées pr ordre croissnt. On v montrer que ZS n est un ouvert de R n [X] (muni de n importe quelle norme), et que l ppliction P (λ 1 (P ),..., λ n (P )) est de clsse C 1 sur ZS n. Dns l suite, on poser λ(p ) = (λ 1 (P ),..., λ n (P )) pour P ZS n. Soit U = { λ = (λ 1,..., λ n ) R n ; λ 1 < < λ n }, et considérons l ppliction F : R n [X] U R n définie pr F (P, λ) = (P (λ 1 ),..., P (λ n )). L ppliction F est visiblement de clsse C 1. Pour P R n [X] fixé, l mtrice jcobienne de l ppliction prtielle F P : U R n est digonle : P (λ 1 ) Jc FP (λ 1,..., λ n ) =.... P (λ n )

4. LE THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES 107 Si P ZS n, lors λ(p ) U et P (λ j (P )) 0 pour tout j cr λ j (P ) est une rcine nécessirement simple de P ; donc l mtrice Jc FP ( λ(p )) est inversible. D près le théorème des fonctions implicites, on en déduit que pour tout P 0 ZF n, il existe un voisinge V 0 de P 0 et une ppliction µ : V 0 U de clsse C 1 tels que F (P, µ(p )) = 0 pour tout P V 0. En posnt µ(p ) = (µ 1 (P ),..., µ n (P )), cel signifie qu on µ 1 (P ) < < µ n (P ) et P (µ j (P )) = 0 pour tout j {1,..., n}. Ainsi, on voit que si P V 0, lors P ZS n et les µ j (P ) sont les rcines de P rngées pr ordre croissnt ; utrement dit µ(p ) = λ(p ). On vient de montrer que pour tout P 0 ZS n, on peut trouver un voisinge ouvert V 0 de P 0 tel que V 0 ZS n et l ppliction λ est de clsse C 1 sur V 0. En d utres termes, ZS n est un ouvert de R n [X] et λ est de clsse C 1 sur ZS n.