Cours d analyse, ECS deuxième année. Alain TROESCH

Cours d nlyse, ECS deuxième nnée Alin TROESCH 2 septembre 2012

Tble des mtières 1 Suites numériques : révisions 5 1.1 Convergence........................................ 6 1.1.1 Limites...................................... 6 1.1.2 Quelques propriétés utiles............................ 6 1.1.3 Arithmétique des limites............................. 7 1.2 Propriétés des suites réelles............................... 8 1.2.1 Pssge à l limite dns une inéglité..................... 8 1.2.2 Théorème d encdrement............................ 8 1.2.3 Suites monotones................................. 9 1.2.4 Suites djcentes................................. 9 1.3 Quelques types clssiques de suite, à bien connître.................. 10 1.3.1 Suites définies pr une récurrence ffine.................... 10 1.3.2 Suites définies pr une récurrence linéire d ordre k (k > 1)......... 11 1.3.3 Suites définies pr une récurrence du type : n N,u n+1 = f(u n )..... 11 1.3.4 Suites définies implicitement.......................... 12 1.4 Approximtions et estimtions............................. 12 1.4.1 Équivlents.................................... 12 1.4.2 Négligebilité (petit-o, vitesse de convergence)................ 13 1.4.3 Développements limités............................. 14 2 Séries numériques : révisions 17 2.1 Notion de série et de convergence............................ 17 2.1.1 Définitions.................................... 17 2.1.2 Propriétés liées à l convergence........................ 18 2.1.3 Types de convergence.............................. 18 2.2 Séries à termes positifs.................................. 19 2.2.1 Comprisons entre séries à termes positifs.................. 19 2.2.2 Comprison entre une série et une intégrle................. 20 2.2.3 Comprison vec une série de Riemnn.................... 20 2.2.4 Comprison vec une série géométrique.................... 21 2.3 Étude de l semi-convergence.............................. 22 3 Intégrles impropres 23 3.1 Rppel sur les intégrles définies............................ 23 3.1.1 Définition de l intégrle............................. 23 3.1.2 Propriétés de l intégrle............................. 24

2 Tble des mtières 3.1.3 Clcul des intégrles Primitives........................ 25 3.2 Notion d intégrle impropre............................... 26 3.2.1 Cs des fonctions définies sur un intervlle semi-ouvert............ 26 3.2.2 Cs d une fonction continue sur un intervlle ouvert............. 28 3.2.3 Cs d une fonction continue sur une union d intervlles ouverts....... 29 3.3 Propriétés des intégrles impropres........................... 30 3.3.1 Linérité..................................... 30 3.3.2 Reltion de Chsles............................... 30 3.3.3 Positivité..................................... 30 3.4 Critères de convergence pour les intégrles de fonctions positives.......... 31 3.4.1 Un lemme..................................... 31 3.4.2 Critère de comprison pr inéglité...................... 31 3.4.3 Critère de comprison pr o.......................... 32 3.4.4 Critère de comprison pr équivlents..................... 32 3.5 Cs des fonctions non positives............................. 33 3.5.1 Convergence bsolue............................... 33 3.5.2 Semi-convergence................................. 33 3.6 Comprison série/intégrle............................... 33 3.7 Techniques de clcul des intégrles impropres..................... 33 3.7.1 Intégrtion pr prties.............................. 33 3.7.2 Chngements de vrible............................ 34 3.8 Intégrles clssiques................................... 35 3.8.1 Intégrle de Guss................................ 35 3.8.2 Fonction Γ.................................... 35 4 Révisions : fonctions d une vrible réelle 37 4.1 Continuité......................................... 37 4.1.1 Définitions et rppel des propriétés....................... 37 4.1.2 Continuité sur un intervlle........................... 38 4.2 Dérivbilité........................................ 38 4.2.1 Définitions.................................... 38 4.2.2 Dérivées d ordre supérieur Fonctions de clsse C n.............. 39 4.2.3 Propriétés..................................... 40 4.2.4 Dérivbilité sur un intervlle.......................... 40 4.3 Fonctions convexes.................................... 41 4.3.1 Notion de convexité............................... 41 4.3.2 Étude de l dérivbilité des fonctions convexes................ 42 4.3.3 Crctéristion de l convexité pr les dérivées................ 42 4.4 Formules de Tylor.................................... 43 4.4.1 Développement de Tylor............................ 43 4.4.2 Formule de Tylor-Young............................ 43 4.4.3 Formule de Tylor-Lgrnge........................... 44 4.4.4 Formule de Tylor vec reste intégrl...................... 44 4.4.5 Cs des polynômes................................ 44

Tble des mtières 3 5 Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel 45 5.1 Rppels de topologie................................... 45 5.1.1 Distnces et boules................................ 45 5.1.2 Voisinges, ouverts, fermés........................... 46 5.1.3 Sous-ensembles bornés de R n.......................... 47 5.1.4 Droites, segments, plns............................. 47 5.2 Grphes.......................................... 48 5.2.1 Définition et exemples.............................. 48 5.2.2 Courbes de niveu................................ 48 5.3 Limites et continuité................................... 49 5.3.1 Définitions.................................... 49 5.3.2 Critère séquentiel................................. 50 5.3.3 Opértions sur les fonctions continues..................... 51 5.3.4 Continuité et topologie.............................. 52 5.4 Clcul différentiel (à l ordre 1)............................. 52 5.4.1 Fonctions et dérivées prtielles......................... 52 5.4.2 Fonctions de clsse C 1.............................. 53 5.4.3 Développements limités............................. 53 5.4.4 Formule de Tylor-Young à l ordre 1...................... 54 5.4.5 Dérivtion d une composition.......................... 54 5.4.6 Interpréttion du grdient............................ 55 5.4.7 Formule des ccroissements finis........................ 56 5.5 Dérivées d ordre supérieur................................ 56 5.5.1 Dérivées prtielles d ordre n........................... 56 5.5.2 Théorème de Schwrz.............................. 57 5.5.3 Hessienne..................................... 57 5.5.4 Formules de Tylor................................ 58 6 Optimistion 59 6.1 Recherche d extrem locux sur un ouvert....................... 60 6.1.1 Condition nécessire du premier ordre..................... 60 6.1.2 Condition suffisnte du deuxième ordre.................... 60 6.1.3 Digonlisbilité des endomorphismes symétriques.............. 61 6.2 Recherche d extrem globux.............................. 62 6.2.1 Existence d un mximum et/ou d un minimum................ 62 6.2.2 Recherche des extrem globux......................... 64 6.2.3 Quelques cs prticuliers............................. 64 6.2.4 Recherche de l position du grphe pr rpport à l hyperpln tngent... 66 6.3 Recherche d extrem sous contrinte.......................... 66 6.3.1 Notion d extremum sous contrinte....................... 66 6.3.2 Points critiques sous contrinte linéire.................... 67 6.3.3 Description de H................................ 68 6.3.4 Recherche des extrem sous contrinte linéire................ 68

4 Tble des mtières

Anlyse Chpitre 1 Suites numériques : révisions Quelques rppels : Une suite numérique (réelle ou complexe) est une fmille (u n ) n N d éléments de R ou C indexée sur N (prfois sur N, ou sur N \ {0,...,n 0 1}). Il s git donc d une fonction de N dns R ou C. On rppelle que N : X = (x 1,...,x n ) x 2 1 + +x2 n est l norme usuelle de Rn, et on note N(X) = X. L distnce de A à B est lors d(a,b) = B A. Si n = 1, on obtient d(,b) = b. De même dns C, ssimilé à R 2, où. désigne lors le module d un nombre complexe On rppelle que dns R n, B(,r) désigne l boule ouverte de centre et de ryon r, c est-à-dire B(,r) = {x R n x < r}. Dns R, l boule ouverte de centre et de ryon r est donc l intervlle ] r,+r[. De même, B(,r) désigne l boule fermée de centre et de ryon r, c est-à-dire B(,r) = {x R n x r}. Dns R, l boule fermée de centre et de ryon r est donc l intervlle [ r,+r]. On rppelle qu un voisinge V de x dns R n est un sous-ensemble V de E tel qu il existe une boule ouverte centrée en x entièrement contenue dns V (en s éloignnt un peu de x, on ne sort ps de V ) Pr exemple, V est un voisinge de x dns R s il existe ε tel que ]x ε, x + ε[ V. Intuitivement cel signifie que x n est ps «u bord» de V. Pr extention, on dit que V est un voisinge de + si V contient un intervlle du type ],+ [. De même, V est un voisinge de si V contient un intervlle du type ],b[. Un ouvert U de R n est un sous-ensemble U de R n qui est voisinge de tous ses points, i.e. x U, ε > 0, B(x,ε) U. Intuitivement : U n ps de «bord». Un sous-ensemble F de E est fermé si son complémentire E F est ouvert. Proposition 1.0.1 1. Toute union quelconque d ouverts est un ouvert; 2. Toute intersection d un nombre fini d ouverts est un ouvert; 3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé ; 4. Toute union d un nombre fini de fermés est un fermé. Exemples 1.0.2 Voici deux contre-exemples à bien grder en tête :

6 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions 1. Contre-exemple pour une intersection infinie d ouverts : 2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés : 1.1 Convergence 1.1.1 Limites + n=1 + n=1 [ ] 1 n,1 ] 1n [,1 = [0,1[. =]0,1]. Définition 1.1.1 Les propositions suivntes sont équivlentes, et définissent (chcune) l convergence d une suite (u n ) n N d éléments de R (ou C) vers un élément l de R (ou C). (i) ε > 0, N N, n N, u n B(l,ε). (ii) ε > 0, N N, n N, u n l < ε. (iii) pour tout voisinge V de l, il existe N tel que pour tout n N, u n V. Trduction : pour toute mrge d erreur ε qu on peut se donner, à prtir d un certin rng, u n est à peu près égl à l, à cette mrge d erreur près. Attention! «à peu près» ne signifie ps «exctement»! Grdez-vous bien de dire que u n = l à prtir d un certin rng! Dns le cs de suites réelles, on définit ussi l convergence vers les infinis : Définition 1.1.2 Une suite (u n ) n N à vleurs dns R tend vers + si et seulement si : A R, N N, n N,u n > A. Une suite (u n ) n N à vleurs dns R tend vers si et seulement si : A R, N N, n N,u n < A. Dns ce contexte, l définition pr voisinges (définition 1.1.1, iii) reste vlble, en utilisnt l notion de voisinge de + ou rppelée u début du chpitre. Théorème 1.1.3 Soit (u n ) n N une suite (réelle ou complexe). Si (u n ) n N dmet une limite, lors cette limite est unique. Elle est notée lim n + u n. Fites ttention à ne ps utiliser cette nottion vnt de vous être ssuré de l existence de l limite. 1.1.2 Quelques propriétés utiles Proposition 1.1.4 Si (u n ) n N tend vers l, lors (u n+1 ) n N et (u n 1 ) n N ussi. Proposition 1.1.5 Si (u n ) n N converge vers l, et si ϕ est une ppliction strictement croissnte de N dns N, lors (u ϕ(n) ) converge vers l (une telle suite est ppelée suite extrite de (u n ) n N ) Exemple typique : u 2n, u 2n+1... Proposition 1.1.6 (hors-progrmme, démonstrtion à refire u besoin) Si(u 2n ) n N et(u 2n+1 ) n N convergent vers une même limite l, lors (u n ) n N converge vers l. De même pour (u 3n ), (u 3n+1 ) et (u 3n+2 ), etc.

1.1 Convergence 7 1.1.3 Arithmétique des limites Théorème 1.1.7 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergentes. Alors : 1. ( u n ) n N est convergente, et lim u n = n + lim ; n + u n 2. (u n +v n ) n N est convergente, et lim n + (u n +v n ) = lim n + u n + lim n + v n ; 3. (u n v n ) n N est convergente, et lim (u nv n ) = lim u n lim v n ; n + n + n + 4. si lim n + v n 0, lors v n 0 à prtir d un certin rng; insi, u n d un certin rng, est convergente, et lim = n + v n lim u n n + lim v. n n + ( un v n ) est définie à prtir Théorème 1.1.8 Les résultts ci-dessus restent vris si l limite de (u n ) n N et/ou de (v n ) n N est infinie, vec les règles rithmétiques suivntes (règles usuelles dns R) : + = + ; + + = + ; (+ ) = (sg()) ; (± ) (± ) = ± ; 1 ± = 0. En revnche, les opértions rithmétiques suivntes ne sont ps définies, et donnent des formes indéterminées (yez des exemples en tête) : ; 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 0. Théorème 1.1.9 ( Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, telle que : N N, n N, v n > 0. Alors l suite est bien définie et tend vers +. 1 v n )n N ( Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, telle que : N N, n N, v n < 0. Alors l suite est bien définie et tend vers. 1 v n )n N Soit (v n ) n N une suite de limite nulle, prennt une infinité( de vleurs strictement positives et une infinité de vleurs strictement négtives. Alors l suite, si elle existe, n dmet ps de limite. 1 v n )n N Théorème 1.1.10 Soit (u n ) n N une suite convergent vers un réel l. Soit f une fonction continue en l. Alors l suite (f(u n )) n N est convergente, et lim n + f(u n) = f(l). Exemple 1.1.11 L fonction exponentielle étnt continue sur R, et l fonction logrithme étnt continue sur R +, on obtient l règle rithmétique suivnte : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites convergent vers des réels l > 0 et l. Alors (u vn n ) n N converge vers l l. Pour les cs d indétermintion, on peut souvent lever l indétermintion en écrivnt l puissnce vec l exponentielle et en utilisnt les croissnces comprées. Exemple 1.1.12 Soit (u n ) n N une suite définie pr une récurrence : n 0, u n+1 = f(u n ). Alors, si f est continue sur R et si (u n ) dmet une limite l, en pssnt à l limite dns l reltion de récurrence, on obtient l éqution suivnte vérifiée pr l : l = f(l). Cette éqution permet de déterminer les seules vleurs possibles de l limite.

8 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Remrquez qu ici, puisqu on ne connit ps priori l vleur de l, on est obligé de supposer que f est continue sur tout R (ou sur un intervlle fermé contennt tous les termes de l suite à prtir d un certin rng). Attention! Cet rgument ne donne ps l existence de l limite. Il fut pour cel utiliser un utre rgument, pr exemple en étudint les vritions de (u n ). 1.2 Propriétés des suites réelles Pr commodité, tous les théorèmes sont énoncés pour des propriétés vérifiées pr les suites à prtir du rng 0. Il est bien entendu que, les limites ne dépendnt que des vleurs de l suite pour des indices «grnds», les propriétés n ont besoin d être vérifiées qu à prtir d un certin rng. 1.2.1 Pssge à l limite dns une inéglité Théorème 1.2.1 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que : n N, u n v n. Alors, si (u n ) n N et (v n ) n N dmettent des limites dns R, lim u n lim v n. n + n + Remrque 1.2.2 Avnt de psser à l limite dns une inéglité, il fut voir justifié soigneusement l existence des limites. Remrque 1.2.3 Les inéglités strictes ne se conservent ps. 1.2.2 Théorème d encdrement Théorème 1.2.4 (théorème d encdrement, ou «théorème des gendrmes»). Soit (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites réelles telles que : n N, u n v n w n. On suppose que (u n ) n N et (w n ) n N convergent toutes deux vers une même limite finie l. Alors (v n ) n N converge, et lim n + v n = l. Théorème 1.2.5 (théorème de minortion) Soit (u n )n N et (v n ) n N deux suites telles que pour tout n 0, u n v n. 1. Si (u n ) n N tend vers +, lors (v n ) n N tend vers +. 2. Si (v n ) n N tend vers, lors (u n ) n N tend vers. Remrque 1.2.6 Les deux théorèmes ci-dessus donnent l existence de l limite de(v n ) n N. Il n est ps utile de l voir justifiée vnt. Attention à l rédction de cet rgument : l existence de l limite doit bien clirement pprître comme conséquence de ce théorème, et le symbole lim ne doit ps être utilisé trop tôt Remrque 1.2.7 Méthode de clcul de limites (dite pr mjortion/minortion) : Si on prvient à trouver une mjortion : n 0, u n l v n, où (v n ) n N est une suite de limite nulle, lors (u n ) n N tend vers l. Si on prvient à minorer (u n ) n N pr une suite de limite +, lors (u n ) n N tend vers +. Si on prvient à mjorer (u n ) n N pr une suite de limite lors (u n ) n N tend vers.

1.2 Propriétés des suites réelles 9 ( 1) n Exemple 1.2.8 1. lim n + nlnn = 0 ; 2. lim n + nb n = + si > 1 ; 3. lim n n! = 0 ; lim sin 1 n + n = 0 ; lim n + nb n = 0 si < 1 ; Dns les exemples 2 et 3 pprît une méthode très importnte de comprison vec une suite géométrique : supposons que dmette une limite l, finie ou infinie. ( un+1 u n )n N Si l < 1, on peut mjorer à prtir d un certin rng ( u n ) n N pr une suite géométrique de rison r telle que r < 1, donc (u n ) n N tend vers 0. Si l > 1, on peut minorer à prtir d un certin rng (u n ) n N pr une suite géométrique de rison r > 1, donc (u n ) n N tend vers +. Ce petit risonnement est à connître imprétivement, et à refire rigoureusement à chque fois qu on veut l utiliser (suf si on veut l utiliser plusieurs fois dns une même copie, dns lequel cs on le fit bien une première fois, et les fois suivntes, on rppelle qu on l déjà justifié correctement) Ce risonnement ser très importnt notmment dns l étude de l convergence de certines séries. 1.2.3 Suites monotones Théorème 1.2.9 Soit (u n ) n N une suite réelle. 1. Si (u n ) n N est croissnte et mjorée, lors (u n ) n N converge dns R. 2. Si (u n ) n N est décroissnte et minorée, lors (u n ) n N converge dns R. 3. Si (u n ) n N est croissnte et non mjorée, lors (u n ) n N tend vers +. 4. Si (u n ) n N est décroissnte et non minorée, lors (u n ) n N converge vers En prticulier, toute suite monotone dmet une limite (finie ou infinie). Remrque 1.2.10 Ce théorème est prticulièrement utile pour étblir l convergence de suites définies pr une récurrence de type u n+1 = f(u n ); l vleur de l limite est ensuite obtenue en résolvnt l = f(l). 1.2.4 Suites djcentes Définition 1.2.11 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles. On dit qu elles sont djcentes si et seulement si : 1. l une est croissnte et l utre décroissnte ; 2. (v n u n ) n N tend vers 0. Lemme 1.2.12 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites djcentes (vec (u n ) n N croissnte et (v n ) n N décroissnte). Alors, pour tout n N, u n v n. Théorème 1.2.13 (théorème des suites djcentes) Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites réelles djcentes. Alors (u n ) n N et (v n ) n N convergent, et lim u n = lim v n. n + n + Corollire 1.2.14 (théorème des intervlles emboîtés) Soit (I n ) n N une suite d intervlles fermés bornés telle que pour tout n N, I n+1 I n, et telle que l longueur des intervlles I n tend vers 0. Alors n NI n est un singleton.

10 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions 1.3 Quelques types clssiques de suite, à bien connître Certins types de suite donnent lieu à des méthodes d étude clssiques, qu il fut svoir mettre en prtique. Nous rppelons ici les résultts et méthodes les plus cournts concernnt un certin nombre de suites fréquemment rencontrées. 1.3.1 Suites définies pr une récurrence ffine 1.3.1.1 Suites géométriques : n N, u n+1 = u n Une récurrence immédite mène : n N, u n = u 0 n. Limites : lim u n = 0 si < 1 ; lim u n = + si > 1 ; n + n + (u n ) n N n ps de limite si 1 et u 0 0. lim u n = u 0 si = 1 ; n + Sommes : Si 1, Si = 1, n u k = u 0 1 n+1 ; en prticulier, 1 n u k = (n+1)u 0. k=0 k=0 Si < 1, lim Si 1, lim Si 1, n + k=0 n + k=0 n k=0 k = 1 n+1 1 n k = 1 + 1, ce qu on note : k=0 n + k = +, ce qu on note : k = +. n k n dmet ps de limite. k=0 k=0 1.3.1.2 Suites rithmétiques : n N, u n+1 = u n +b Une récurrence immédite mène : n N, u n = u 0 +bn. k = 1 1. Limites : lim n + u n = + si b > 0 ; lim u n = si b < 0 ; n + lim u n = u 0 si b = 0 ; n + Sommes : Si b 1, n k=0 u k = (n+1)u 0 +b n(n+1) 2 1.3.1.3 Suites rithmético-géométriques : n N, u n+1 = u n +b, 1. En cherchnt une suite géométrique (v n ) n N telle que : n N, v n = u n α, on trouve une explicittion de (u n ) n N : ( n N, u n = n u 0 b ) + b 1 1. Ce résultt n est ps à connître : il fut svoir le retrouver ; on peut se souvenir, pr exemple, que le réel α correspond u point fixe de l reltion, et vérifier lors que (v n ) est une suite géométrique, qu on peut donc fcilement expliciter.

1.3 Quelques types clssiques de suite, à bien connître 11 1.3.2 Suites définies pr une récurrence linéire d ordre k (k > 1) Soit k > 1. Soit (u n ) n N une suite (réelle ou complexe) définie pr l donnée de k termes initiux u 0,...,u k 1 et pr l reltion de récurrence : n N, u n+k = k 1 u n+k 1 + + 1 u n+1 + 0 u n. On définit le polynôme crctéristique P de cette reltion de récurrence pr : x R, P(x) = x k k 1 x k 1 1 x 0. Théorème 1.3.1 (cs de rcines simples) Si P dmet exctement k rcines distinctes 2 à 2 (réelles ou complexes) r 1,...,r k, lors il existe des complexes λ 1,...,λ k tels que : k n N, u n = λ 1 r1 n + +λ krk n = λ i ri k. Les complexes λ 1,...,λ k sont déterminés pr les conditions initiles, pr l résolution d un système de k équtions à k inconnes. Si les termes initiux sont réels, lors bien sûr, l suite entière est réelle. Dns ce cs, si toutes les rcines sont réelles, les coefficients λ i sont réels ussi. En revnche, même dns le cs d une suite réelle, on peut voir des rcines complexes. Dns ce cs, les coefficients λ i seront complexes ussi, et conjugués pour les rcines conjuguées. i=1 Théorème 1.3.2 (cs de rcines multiples, pour k = 2) On suppose que k = 2, et que le polynôme du second degré P dmet une rcine double r 0. Alors il existe des complexes λ et µ tels que : n N, u n = (λ+µn)r n. Les complexes λ et µ sont déterminés ps les conditions initiles. 1.3.3 Suites définies pr une récurrence du type : n N,u n+1 = f(u n ) Définition 1.3.3 On dit qu un intervlle I est stble pr f si f est définie sur I et f(i) I. Remrque 1.3.4 Pour que (u n ) n N soit bien définie, il suffit qu il existe un intervlle I stble pr f et un rng n 0 tel que u n0 I. En effet, lors, pr une récurrence immédite, pour tout n n 0, u n I, et comme f est définie sur I, u n+1 est défini. Si f est définie sur R, il suffit de prendre I = R, qui est bien sûr stble ps f! Si f est monotone (u moins sur un intervlle stble), on dispose de méthodes efficces pour l étude de l monotonie (une inéglité entre u 0 et u 1 se propge ux rngs suivnts, éventuellement vec une lternnce des inéglités en cs de décroissnce) : Théorème 1.3.5 Soit I un intervlle stble pr f, tel que u 0 I. Alors si f est croissnte sur I, (u n ) n N est monotone. Théorème 1.3.6 Soit I un intervlle stble pr f, tel que u 0 I. Alors si f est décroissnte, (u 2n ) n N et (u 2n+1 ) n N sont monotones de sens de vrition opposé.

12 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Ces deux théorèmes sont hors-progrmme. Il fut impértivement esquisser l rgument sur une copie, lors de l première utilistion. Dns des cs plus générux, l étude du signe de x f(x) x peut être utile, puisque u n+1 u n = f(u n ) u n. 1.3.4 Suites définies implicitement Il s git de suites définies pr une reltion du type f n (u n ) = 0, où (f n ) n N est une suite de fonctions. Le fit que (u n ) n N soit bien définie (existence et unicité des termes u n ) provient souvent d une étude de l monotonie stricte de f n, pr l utilistion du théorème de l bijection (éventuellement sur une restriction de f n ) L monotonie de (u n ) n N s obtient souvent pr l étude du signe de f n (u n+1 ) ou de f n+1 (u n ). En effet, l comprison entre f n (u n+1 ) et f n (u n ) = 0 et l monotonie de f n (déjà étudiée dns le premier rgument) permettent lors de comprer u n et u n+1. Voir les TD pour des exemples. 1.4 Approximtions et estimtions 1.4.1 Équivlents Nous nous restreignons u cs prticulier (le plus fréquent) de suites ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng. Définition 1.4.1 Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites telles que (v n ) n N ne s nnule ( ps à prtir d un certin rng N. Alors (u n ) n N et (v n ) n N sont équivlentes si et seulement si un v n )n N tend vers 1. Remrque 1.4.2 1. Dns ce cs, (u n ) n N ne s nnule ps non plus à prtir d un certin rng. 2. L équivlence est une reltion d équivlence : reflexive, symétrique, trnsitive. Proposition 1.4.3 1. Si u n v n, et si (u n ) n N converge vers l (fini ou infini), lors (v n ) n N + converge, et s limite est l. 2. L réciproque est fusse en générle. Si lim u n = lim v n, on n ps forcément n + n + u n v n. C est vri cependnt si l 0, l et l +. + Proposition 1.4.4 Si u n + u n et v n + v n, lors u n v n + u nv n, et, si v n ne s nnule ps à prtir d un certin rng, u n v n u n + v n. Exemple 1.4.5 Équivlents clssiques, à connître sur le bout des doigts : 1. Si (u n ) n N tend vers 0, sin(u n ) + u n ; 2. Si (u n ) n N tend vers 0, ln(1+u n ) + u n ; 3. Si (u n ) n N tend vers 0, e un 1 + u n ;

1.4 Approximtions et estimtions 13 4. Si (u n ) n N tend vers 0, cos(u n ) 1 + u2 n 2 ; 5. Si (u n ) n N tend vers 0, (1+u n ) 1 + u n ( 0); 6. Si (u n ) n N tend vers +, ln(u n ) + ln(u n +1) 7. Si (u n ) n N tend vers +, u n + (u n +1) 8. Si (u n ) n N tend vers une limite finie et non nulle l, lors u n + u n+1. ATTENTION!!! 1. NE PAS SOMMER DES ÉQUIVALENTS : si vous vez envie de fire une somme d équivlents, reprenez l définition, ou utilisez les o définis dns le prgrphe suivnt. C est plus prudent, et cel vous évite de fire de grosses bêtises. 2. NE JAMAIS APPLIQUER UNE FONCTION À UN ÉQUIVALENT. Cependnt, vous pouvez élever un équivlent à une puissnce constnte, mis un mot de justifiction est bienvenu. 3. Erreurs fréquentes : 2u n n est ps équivlent à u n (il fut tenir compte des constntes multiplictives dns un équivlent, contrirement ux petit-o) siv n = o(u n ) (voir plus loin pour l négligebilité), on ne peut ps écrireu n v n u n. Cette + erreur très fréquente provient d une confusion provoquée pr le fit qu on dit souvent que «dns un équivlent, on peut négliger les négligebles», enn oublint de préciser que ceci n est vlble qu dditivement, et non multiplictivement. Ainsi, dns les hypothèses ci-dessus, on peut écrire u n +v n u n + Intérêt des équivlents : 1. Comprer une suite à une suite de référence simple dont on connît bien le comportement en +. Cel donne une estimtion du comportement à l infini (et notmment de l vitesse de convergence) de l suite initile. 2. Clculer des limites (cf TD). 1.4.2 Négligebilité (petit-o, vitesse de convergence) Définition 1.4.6 Soit (v n () n N une suite strictement positive. On dit que (u n ) n N est négligeble devnt (v n ) n N si l suite un v n tend vers 0. )n N On note u n = o(v n ) ( «u n est un petit-o de v n») Définition 1.4.7 (hors-progrmme, mis prfois bien utile) Soit ( (v n ) n N une suite strictement positive. On dit que (u n ) n N est dominée pr (v n ) n N si l suite un v n est bornée. )n N On note u n = O(v n ) ( «u n est un grnd-o de v n») Dns l suite, (u n ) n N, (v n ) n N, (w n ) n N et (x n ) n N désignent qutre suites réelles. Proposition 1.4.8 1. u n = o(1) si et seulement si (u n ) n N tend vers 0. 2. u n = O(1) si et seulement si (u n ) n N est bornée. 3. Si (v n ) n N est bornée et si u n = o(v n ), lors lim n + u n = 0.

14 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions Proposition 1.4.9 Si v n > 0 à prtir d un certin rng, u n + v n si et seulement si u n = v n +o(v n ). Si vous voulez sommer des équivlents, utilisez cette écriture vec des petit-o, cr les petit-o (de même nture) se somment, contrirement ux équivlents. Proposition 1.4.10 1. Si u n = o(v n ) et v n = o(w n ), lors u n = o(w n ). 2. Si u n = o(v n ) et v n + w n, lors u n = o(w n ). 3. Si u n = o(w n ) et v n = o(w n ), lors u n +v n = o(w n ). 4. Si u n = o(w n ) et v n = o(x n ), lors u n v n = o(w n x n ). 5. Si u n = o(w n ) et v n + x n ), lors u n v n = o(w n x n ). 6. En prticulier, w n o(x n ) = o(w n x n ) (Les petit-o sont multiplictifs : on peut rentrer ou sortir un fcteur multiplictif). Intérêt des o et O : Ils permettent de comprer l vitesse de convergence de deux suites vers leurs limites (en étudint u n l). On compre insi souvent l différence u n l à une suite de référence de limite nulle, ou u n à une suite de référence de limite +. 1.4.3 Développements limités Les équivlents et les petit-o peuvent souvent s obtenir à l ide de développements limités, qui sont des pproximtions polynomiles u voisinge d un point des fonctions. Rppel sur le clcul des développements limités : Les développements limités s dditionnent, se multiplient et se composent comme des polynômes. On peut insi obtenir l pluprt des développements limités souhités à prtir du développement limité des fonctions usuelles. Attention à vérifier que le terme pr lequel vous composez l bonne limite. Pr exemple, si u n tend vers 1, vous ne pouvez ps utilier le DL u voisinge de 0 de l exponentielle pour obtenir un DL de e un. En revnche, e un = ee un 1, et comme u n 1 0, vous pouvez mintennt composer les DL. Des petites stuces de ce type sont possibles dns l pluprt des DL clssiques, pr exemple en mettnt l constnte en fcteur, ou en utilisnt des formules de trigonométrie. Attention à l ordre de votre développement limité lors des dditions, multiplictions et compositions : On dditionne seulement des développements limités de même ordre. L ordre de l somme est l ordre commun des deux membres. En multiplint un DL à l ordrenet un DL à l ordrem, on n obtient ps un DL à l ordren+m. Même si on obtient «des» termes d ordre llnt jusqu à n+m, on n obtient ps nécessirement insi tous «les» termes. Pr exemple un terme d ordre n+m pourr être obtenu en multiplint les termes d ordre n et d ordre m (c est le seul qui ser compté), mis ussi en multiplint un terme d ordre n+1 et un terme d ordre m 1 (celui-ci ser oublié), ou de beucoup d utres fçons. Pour être certin d obtenir tous les termes du DL d un produit à l ordre p, il fut ller jusqu à ce même ordre p pour chcun des termes du produit (ou u moins jusqu à l ordre p v, où v est l vlution du DL de l utre membre, c est-à-dire le degré miniml dns le DL)

1.4 Approximtions et estimtions 15 De même pour l composition : le fit d obtenir «des» termes de degré nm en composnt un DL d ordre m pr un DL d ordre n ne permet ps d ffirmer qu on tous les termes du DL d ordre nm. DL clssiques u voisinge de 0, à connître pr coeur et sns hésittion : (1+x) α, 1 1+x, 1, exp, ln, cos, sin (voir le cours de première nnée pour les formules) 1 x Il est utile de connître pr coeur le DL explicite de (1 + x) α pour α = 1 2 et α = 1 2, jusqu à l ordre 2, voire l ordre 3, fin d ccélérer certins clculs : 1+x = 1+ x 2 x2 8 + x3 16 +o(x3 ) 1 = 1 x 1+x 2 + 3x2 8 5x3 16 +o(x3 ). Le développement de l tngente est hors-progrmme, et doit théoriquement être retrouvé en quotientnt les DL du sinus et du cosinus. En cs de mnque de temps, il peut tout de même être utile de connître les premiers termes : u voisinge de 0, tnx = x+ x3 3 +o(x3 ). Enfin, le développement de l Arctn est hors-progrmme, et s obtient en «intégrnt» le DL de 1 1+x. Aucun résultt d intégrtion n étnt donné u progrmme pour les DL, il fut le justifier 2 1 en revennt à l formule de Tylor-Young : le DL de 1+x (obtenu pr composition) fournit les 2 dérivées successives en 0 de x 1 1+x donc ussi les dérivées successives (vec un déclge de 2 l ordre) de x Arctnx. En utilisnt de nouveu l formule de Tylor-Young pour l rctngente cette fois, on obtient, près voir explicité un peu les clculs : u voisinge de 0, Arctnx = x x3 3 + x5 x2p+1 + +( 1)p 5 2p+1 +o(x2p+2 ). Suf en cs flgrnt de mnque de temps, esquissez cet rgument. Fites u minimum référence à l formule de Tylor-Young.

16 Anlyse Chpitre 1. Suites numériques : révisions

Anlyse Chpitre 2 Séries numériques : révisions 2.1 Notion de série et de convergence 2.1.1 Définitions Définition 2.1.1 Une série (à termes dns R ou C) est l donnée d une suite (u n ) n N ppelée terme générl de l série. Le point de vue diffère de celui dopté pour les suites dns l mesure où on s intéresse à l somme des termes de (u n ) n N. Ainsi, on note u n ou n Nu n l série de terme générl (u n ) n N. Soit u n une série. Soit n N. L n-ième somme prtielle S n de u n est : S n = n u k. Cel définit l suite des sommes prtielles (S n ) n N. On dit que l série de terme générl (u n ) n N converge si l suite (S n ) n N dmet une limite finie. On note lors + n=0 u n = lim n + S n. Cette quntité est ppelée somme de l série de terme générl (u n ) n N. Une série non convergente est dite divergente. En prticulier, si (S n ) n N tend vers +, l série + un diverge vers +, et on écrit u n = +. n=0 Toute série divergente ne diverge ps vers + ou! Soit n N u n une série convergente, et soit n N. Le n-ième reste de l série est : r n = + k=n+1 u k = + k=0 u k S n. L nture de l série u n est le fit d être convergente ou divergente. Attention à ne ps confondre suite (u n ) n N et série de terme générl (u n ) n N. Remrque 2.1.2 Ces définitions s étendent bien sûr à des séries N étnt un entier positif quelconque. n N k=0 u n, de terme générl(u n ) n N,

18 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions Exemple 2.1.3 Séries géométriques (résultt à svoir pr cœur) Soit C. L série n converge si et seulement si < 1 ; dns ce cs, Exemple 2.1.4 Série de Riemnn de prmètre 1. L série n 1 1 n + n=0 n = 1 1. est divergente. Remrque 2.1.5 L convergence de l série u n équivut à l convergence de l suite(s n ) n N. L convergence de l suite (u n ) n N équivut à l convergence de l série (u n+1 u n ). C est un moyen prtique de démontrer l convergence de certines suites, en utilisnt les techniques spécifiques et performntes des séries. 2.1.2 Propriétés liées à l convergence Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites. Proposition 2.1.6 Si (u n ) n N et (v n ) n N ne diffèrent que d un nombre fini de termes, lors un et v n sont de même nture. Théorème 2.1.7 Si u n converge, lors (u n ) n N tend vers 0. De mnière équivlente, si(u n ) n N ne tend ps vers 0, lors u n diverge. Définition 2.1.8 Si (u n ) n N ne tend ps vers 0, on dit que u n diverge grossièrement. Remrque 2.1.9 L réciproque est fusse. Pr exemple 1 n diverge lors que son terme générl tend vers 0. Ainsi, toute série divergente n est ps forcément grossièrement divergente. Proposition 2.1.10 Soit λ et µ deux complexes. 1. Si u n et v n convergent, lors (λu n +µv n ) converge, et : + n=0 (λu n +µv n ) = λ + n=0 + u n +µ v n. n=0 2. Si u n converge et v n diverge, lors (u n +v n ) diverge. 3. Si u n et v n divergent, on ne peut rien conclure sur u n +v n. 2.1.3 Types de convergence Soit u n une série. Types de convergence On dit que u n converge bsolument si l série u n est convergente. Théorème 2.1.11 Toute série réelle ou complexe bsolument convergente est convergente. Si u n est convergente sns être bsolument convergente, on dit que l série est semi-convergente. Types de divergence

2.2 Séries à termes positifs 19 Si (u n ) n N ne tend ps vers 0, on dit que u n diverge grossièrement. Comme dit plus hut, une série peut être divergente sns être grossièrement divergente. Comme nous llons le voir, on dispose de moyens efficces pour déterminer l convergence des séries à termes positifs. Ainsi, l démrche générle à suivre pour l étude des séries est : 1. Clculer si cel ne présente ps une difficulté excessive l limite de (u n ) n N pour étudier l éventuelle divergence grossière. 2. Étudier l convergence de u n, c est-à-dire l convergence bsolue de u n. 3. Si u n diverge, essyer d obtenir l convergence (ou l divergence) pr d utres méthodes, plus spécifiques ux séries à termes quelconques (pr exemple pr l méthode des séries lternées). 2.2 Séries à termes positifs Dns tout ce prgrphe, suf indiction contrire, on considère des séries u n, où pour tout n N, u n 0. On peut trnscrire fcilement tout ce qui suit : u cs où : N N, n N, u n 0 ((u n ) n N est positive à prtir d un certin rng). u cs d une série à termes tous négtifs. 2.2.1 Comprisons entre séries à termes positifs Proposition 2.2.1 Soit u n une série à termes positifs. Alors soit u n converge, soit elle diverge vers +. Théorème 2.2.2 (Théorème de comprison des séries à termes positifs, TCSTP) Soit u n et v n deux séries à termes positifs telles qu il existe N N tel que pour tout n N, 0 u n v n. Alors : 1. si v n converge, u n converge ussi; 2. si u n diverge, v n diverge ussi. De plus, si l divergence est grossière pour u n, elle l est ussi pour v n. Corollire 2.2.3 Soit u n une série à termes quelconque, et v n une série à termes positifs. On suppose que u n = O(v n ). Alors si v n converge, l série u n converge bsolument. Le cs où u n = o(v n ) est un cs prticulier de ce théorème. Théorème 2.2.4 (Théorème de comprison de séries à termes positifs équivlents) Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n, lors les séries u n et v n sont + de même nture. Remrque 2.2.5 Contre-exemple dns le cs de séries à termes quelconques : ( 1) n n converge et ( 1) n n+( 1) n ( 1)n ( 1) n diverge. Pourtnt :. n + n+( 1) n

20 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions 2.2.2 Comprison entre une série et une intégrle Théorème 2.2.6 (Théorème de comprison entre série et intégrle) Soit R + et soit f : [,+ [ R une fonction continue décroissnte et positive. Alors converge si et seulement si x x Théorème 2.2.7 (Nture des séries de Riemnn) Soit α R. L série 1 converge si et seulement si α > 1. nα n 1 Cette série est ppelée série de Riemnn de prmètre α. f(t) dt dmet une limite finie lorsque x tend vers +. n f(n) Exemple 2.2.8 Un utre exemple de comprison : séries de Bertrnd de prmètres 1 et β. Soit β R. Alors l série 1 nln β converge si et seulement si β > 1. n 2.2.3 Comprison vec une série de Riemnn Théorème 2.2.9 (Règle de Riemnn, ou règle «n α u n», HP, méthode à connître) Soit u n une série à termes positifs. 1. S il existe α > 1 tel que l suite (n α u n ) n N est bornée (pr exemple si elle dmet une limite nulle), lors u n converge. 2. Si (nu n ) n N est minorée à prtir d un certin rng pr un réel k > 0 (pr exemple si (nu n ) dmet une limite infinie), lors u n diverge. Comme l méthode est à reproduire à chque fois, je développe vec toutes les précisions nécessires un exemple ci-dessous. Exemple 2.2.10 Soit (α,β) R 2, et 1 n α ln β l série de Bertrnd de prmètre (α,β). On n 1 suppose que α > 1. On note pour tout n 2, u n = n α ln β n. Comme α > 1, on peut trouver un réel α tel que 1 < α < α. Alors : n 2, n α u n = 1 n α α ln β n. D près les croissnces comprées, l suite (n α u n ) n 2 tend vers0. Ainsi, pr définition des petit-o, ( ) 1 u n = o. n α De plus, n 2u n est à termes positifs. Donc, d près le corollire du TCSTP, on en déduit que u n converge, puisque 1 est une série de Riemnn de prmètre n α α > 1, donc convergente. De même que si α < 1, l série u n diverge. En effet, soit α tel que α < α < 1. On de même 1 que plus hut, du fit des croissnces comprées, n = o(u n). Ainsi, si u n convergeit, il en serit de même de 1 n, d où une contrdiction. Il en résulte que u n diverge.

2.2 Séries à termes positifs 21 2.2.4 Comprison vec une série géométrique Théorème 2.2.11 (Règle de d Alembert, hors-progrmme, méthode à retenir) Soit ( ) u u n une série à termes quelconques. On suppose que n+1 u n est définie à prtir d un certin rng, et dmet une limite l. Alors : 1. Si 0 l < 1, lors u n converge bsolument. 2. Si l > 1, lors u n diverge grossièrement. 3. Si l = 1, on ne peut ps conclure pr cette méthode. L méthode étnt plus importnte que le résultt, j expose ici un exemple ussi complètement que possible. Exemple 2.2.12 Soit z C. Alors z n converge bsolument. n! En effet, soit pour tout n N, u n = zn. Alors, pour tout n N : n! u n+1 u n = z n+1 (n+1)! n! z n = z n+1. Ainsi, lim u n+1 n + u n = 0. Pr définition des limites (en prennt ε = 1 2 ) : N N, n N, u n+1 u n 1 2, donc u n+1 1 2 u n. Soit (v n ) n N l suite définie pr : v N = u N, et n N, v n+1 = 1 2 v n. Alors, (v n ) n N est une série géométrique de rison 1 2, donc pr récurrence sur n N que u n v n : n N v n converge. De plus, on montre Initilistion : v N = u N, donc u N v N. Hérédité : Soit n N tel que u n v n. Alors u n+1 1 2 u n 1 2 v n = v n+1. D près le principe de récurrence, pour tout n N, u n v n. Ainsi, d près le TCSTP, l série un converge, donc u n converge bsolument. Théorème 2.2.13 Pour tout z C, + n=0 z n n! = ez. C est d illeurs souvent comme cel que l on définit l exponentielle. Théorème 2.2.14 (Formule du binôme négtif, à connître) Pour tout z C tel que z < 1, et tout p N, 1 + (1 z) p = n=0 De plus, cette série est lors bsolument convergente ( n+p 1 n ) z n.

22 Anlyse Chpitre 2. Séries numériques : révisions Cette identité est bien sûr ussi vri pour p Z puisqu il ne s git lors de rien d utre que de l formule du binôme de Newton dns ce cs. Remrquez que cette formule ne dit rien d utre que le fit qu on peut dériver l série géométrique termes à termes. Attention, c est priori l seule série de fonctions que vous puissiez dériver termes à termes, l justifiction en étnt cette formule. 2.3 Étude de l semi-convergence Aucun résultt théorique n est à connître concernnt l étude de l semi-convergence. Je donne tout de même le résultt suivnt, à ne ps utiliser tel quel (mis l méthode est à svoir mettre en ppliction). Théorème 2.3.1 (Théorème spécil de convergence des séries lternées, TSCSA, HP) Soit ( n ) n N une suite décroissnte de limite nulle. Alors ( 1) n n converge. Je développe entièrement un exemple ci-dessus, pour illustrer l méthode (à connître). Exemple 2.3.2 Montrons que l série n 1 ( 1) n n converge. Soit pour tout n N, n = 1 n. Alors ( n) n N est décroissnte de limite nulle. Notons (S n ) n N les sommes prtielles de l série ( 1) n n. Montrons que les suites (S 2n ) n N et (S 2n+1 ) n N sont djcentes. n N, S 2n+2 S 2n = ( 1) 2n+2 2n+2 +( 1) 2n+1 2n+1 = 2n+2 2n+1 0, cr ( n ) n N est décroissnte ; donc (S 2n ) n N est décroissnte. n N, S 2n+3 S 2n+1 = ( 1) 2n+3 2n+3 +( 1) 2n+2 2n+2 = 2n+2 2n+3 0, cr ( n ) n N est décroissnte ; donc (S 2n+1 ) n N est croissnte. n N, S 2n+1 S 2n = ( 1) 2n+1 2n+1 = 2n+1, insi, lim n + S 2n+1 S 2n = 0. Les suites (S 2n ) n N et (S 2n+1 ) n N sont donc djcentes, donc convergent vers une même limite l. Ainsi, étnt donné ε > 0, pr définition de l limite des suites, N 1, n N 1, S 2n l < ε et N 2, n N 2, S 2n+1 l < ε. Pr conséquent, n 2mx(N 1,N 2 ), S n l < ε, ce qui montre l convergence de (S n ) n N. Ainsi ( 1) n n converge.

Anlyse Chpitre 3 Intégrles impropres Soit et b deux réels tels que < b. Rppel : Si f est continue sur [,b], lors f est intégrble sur [,b], et on peut donc donner un sens à f(t) dt. De même si f est seulement continue pr morceux sur [,b]. But : Donner un sens, lorsque cel est possible, à f(t) dt lorsque f n est définie (et continue) que sur], b[, et b pouvnt éventuellement être infinis. On prle d intégrle impropre (ou intégrle générlisée) 3.1 Rppel sur les intégrles définies 3.1.1 Définition de l intégrle On rppelle qu une fonction f dmet une intégrle si quelque soit l mnière d pprocher de plus en plus finement f pr des fonctions en esclier, on obtient une même vleur limite de l ire des rectngles définis pr ces fonctions en escliers. On définit lors l intégrle de f comme étnt cette vleur limite. Il fut retenir l idée de cette construction pr pproximtions, mis les détils techniques peuvent être oubliés. Le résultt essentiel d existence des intégrles est le suivnt : Théorème 3.1.1 Tout fonction continue (ou u moins continue pr morceux) sur un intervlle [, b] est intégrble. On rppelle qu une fonction est continue pr morceux si elle est continue, suf en un nombre fini de points, et qu en ces points, elle dmet une limite à guche et une limite à droite finies (cette hypothèse sur les limites à guche et à droite est souvent oubliée...) De l construction de l intégrle découle un résultt importnt qui est à connître ; il est, dns certins cs, le seul moyen bordble pour clculer l limite de certines suites :

24 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres Théorème 3.1.2 (Sommes de Riemnn) Soit f une fonction intégrble sur [,b]. Alors : n 1 b f(x) dx = lim f n + n k=0 ( +k b ) b = lim n n + n On utilise souvent ce théorème sur l intervlle [0,1] : cel s écrit lors : 1 0 n 1 1 f(x) dx = lim f n + n k=0 ( ) k 1 = lim n n + n n f k=1 n f k=1 ( ) k. n ( +k b ). n 3.1.2 Propriétés de l intégrle Les propriétés à retenir de l intégrle sont les suivntes : Proposition 3.1.3 (Propriétés de l intégrle) Additivité pr rpport ux bornes reltion de Chsles : Soit f une fonction intégrble sur [,b] et c ],b[. Alors f est intégrble sur [,c] et sur [c,b], et : f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx. Linérité : L ensemble Int([,b]) des fonctions intégrbles sur [,b] est un espce vectoriel. De plus, [,b] : Int([,b]) R est une forme linéire sur l espce vectoriel Int([,b]). Autrement dit, pour toutes fonctions intégrbles f et g, et tout réel λ, on : (f(x)+λg(x)) dx = f(x)+λ g(x) dx. Positivité, ou croissnce, de l intégrle : Soit f et g deux fonctions intégrbles sur [,b] telles que pour tout x [,b], f(x) g(x). Alors : f(x) dx En prticulier, si f est intégrble sur [,b] et positive, Stricte positivité de l intégrle : g(x) dx. f(x) dx 0. Soit f une fonction continue sur [, b], positive et non identiquement nulle. Alors En contrposnt et en utilisnt l positivité (c est le plus souvent insi qu on l utilise) : Si f est une fonction continue et positive, telle que f(t) dt > 0. f(t) dt = 0, lors f est identiquement nulle sur [,b]. Mjortion, ou inéglité tringulire Soit f une fonction intégrble sur [,b]. Alors f est intégrble sur [,b], et : f(x) dx f(x) dx.

3.1 Rppel sur les intégrles définies 25 3.1.3 Clcul des intégrles Primitives Le clcul des intégrles est bsé essentiellement sur l notion de primitive, du fit du résultt fondmentl suivnt : Théorème 3.1.4 Soit I un intervlle et f : I R une fonction continue sur R. Alors f dmet une primitive sur I. De plus, soit x 0 I et y 0 R. L unique primitive F de f telle que F(x 0 ) = y 0 est : x x I, F(x) = y 0 + f(t) dt. x 0 On en déduit : Théorème 3.1.5 (Théorème fondmentl du clcul des intégrles) Soit f intégrble et continue sur [,b]. Soit F une primitive de f. Alors : f(t) dt = F(b) F(). Ce théorème est à l bse des deux grndes techniques (outre le clcul directe à l ide d une primitive) permettnt de clculer des intégrles : Théorème 3.1.6 (Intégrtion pr prties) Soit f,g deux fonctions de clsse C 1 sur [,b]. Alors : [ ] b f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. Théorème 3.1.7 (Chngement de vribles) Soit f une fonction continue sur [α, β], et u une fonction de clsse C 1 de [,b] vers [α,β]. Alors f est intégrble entre u() et u(b), et : u(b) u() f(x) dx = On dit qu on fit le chngement de vrible x = u(t). f(u(t))u (t) dt. Le théorème fondmentl du clcul des intégrles permet églement l étude de fonctions définies à l ide d intégrles, l dépendnce s effectunt u niveu des bornes, vi le théorème suivnt : Théorème 3.1.8 (Dérivtion d intégrles dépendnt de leurs bornes) Soit I et J deux intervlle Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 de I dns J, et soit f une fonction continue sur J. Soit G l fonction définie pr : x I, G(x) = v(x) Alors G est de clsse C 1 sur I, et : x I, G (x) = v (x)f(v(x)) u (x)f(u(x)). u(x) f(t) dt. Ce théorème permet pr exemple de montrer que l intégrle d une fonction T-périodique sur un intervlle de longueur T ne dépend ps de cet intervlle. Le théorème fondmentl du clcul des intégrles montre l importnce de l notion de primitive pour le clcul des intégrles, l cpcité à clculer une intégrle étnt fortement liée à l cpcité de trouver une primitive. Il est donc indispensble de reconnître rpidement les fonctions que l on

26 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres sit primitiver directement. Une telle hbitude est ussi indispensble pour exploiter correctement l méthode de l intégrtion pr prties. Je rppelle donc ici les primitives clssiques. Ce tbleu est à connître prfitement. f(x) F(x) I f F 0 0 R R x R x p, p N x p+1 R u u p u p+1 p+1 p+1 x p+1 x p, p Z \{ 1} p+1 R + ou R x p x p+1, p R\{ 1} R + p+1 1 ln x R + x u R ln u u e x e x R u e u e u sinx cosx R u sinu cosu cosx sinx R u cosu sinu 1 1+x 2 Arctnx R 3.2 Notion d intégrle impropre u 1+u 2 Arctnu Nous cherchons mintennt à définir l notion d intégrle pour une fonction qui ne serit ps continue (ni même définie) sur tout l intervlle d intégrtion. 3.2.1 Cs des fonctions définies sur un intervlle semi-ouvert Définition 3.2.1 Soit f une fonction continue sur un intervlle [,b[, où soit b est un réel tel que b >, soit b = +. 1. On dit que l intégrle de f sur [,b[ est convergente si l fonction F définie sur [,b[ pr : x [,b[, F(x) = x f(t) dt dmet une limite finie lorsque x tend vers b. Dns ce cs, on note f(t) dt = lim x b F(x) = lim x b x f(t) dt. 2. On dit que l intégrle de f sur [,b[ est divergente si F n dmet ps de limite finie en b. On note églement f(t) dt l objet bstrit «intégrle impropre», mis on ne peut ps ssocier de vleur à cette nottion. On dit que l intégrle f(t) dt diverge. 3. Dns le cs prticulier où F tend vers + en b, on s utoriser à écrire : f(t) dt = +. 4. Dns tous les cs (convergence ou divergence), on ppelle générlisée). f(t) dt intégrle impropre (ou

3.2 Notion d intégrle impropre 27 5. On dit que b est un point d impropriété de l intégrle générlisée f(t) dt dmet une impropriété en b. On définirit de l même fçon une intégrle impropre f(t)dt, ou que l intégrle f(t) dt d une fonction continue sur l intervlle semi-ouvert], b], dmettnt donc une impropriété en, insi que les notions de convergence et de divergence ssociées. Proposition 3.2.2 Soit b +, et soit f une fonction continue sur [, b[, dmettnt une limite finie en b. Notons f le prolongement pr continuité de f sur [,b]. Alors l intégrle convergente, et On dit dns ce cs que l intégrle f(t) dt = f(t) dt. f(t) dt est fussement impropre en l borne b. f(t) dt est Remrque 3.2.3 Attention à ne ps prler d intégrle fussement impropre en une borne infini : cel n ps de sens, l fonction ne pouvnt ps être prolongée pr continuité en + ou. D illeurs, l proposition entre en défut dns ce cs, puisque l existence d une limite finie en + n ssure ps l convergence de l intégrle en +. Au contrire, puisque l existence d une limite finie non nulle ssure l divergence (pr comprison à une intégrle de Riemnn, on obtient f(x) = o(1) = o(x 0 ), voir plus loin pour l étude des intégrles de Riemnn et l étude des critères de comprison). Exemples 3.2.4 1. 2. 3. + 0 1 0 sint t + sin t dt est divergente. dt est convergente. 0 e t dt = 1. Théorème 3.2.5 (Propriétés de convergence des intégrles de Riemnn) 1. Intégrles de Riemnn en + : + dt L intégrle converge si et seulement si α > 1. tα 1 2. Intégrles de Riemnn en : 1 dt 1 L intégrle ( t) α = dt converge si et seulement si α > 1. t α 3. Intégrles de Riemnn en + R ( < b) dt L intégrle converge si et seulement si α < 1 (t ) α 4. Intégrles de Riemnn en b R ( < b) dt L intégrle converge si et seulement si α < 1 (b t) α

28 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres Cs prticulier : soit b > 0, Un dernier exemple : 0 dt converge si et seulement si α < 1. tα Exemple 3.2.6 Soit f : [1,+ [ R, définie sur tout intervlle [n,n+1] (n N ) pr : f(x) = 0 si x [ n+ 1 2 1 2n,n+ 1 3 2 + ] 1 2n ; 3 f(x) = 2n 4( [ x n 2) 1 +n si x n+ 1 2 1 2n,n+ 2] 1 ; 3 f(x) = 2n 4( [ x n 2) 1 +n si x n+ 1 2,n+ 1 2 + ] 1 2n. 3 + Alors, f(t)dt est convergente, misf ne tend ps vers0 en+ (elle n est même ps mjorée, 1 puisque l suite ( f ( )) n+ 1 2 tend vers + ). Ainsi, le fit que f ne tende ps vers 0 en + n N ne suffit ps à obtenir l divergence d une intégrle, même si f est positive. C est une différence importnte pr rpport à l convergence des séries. Définition 3.2.7 Soit f une fonction continue sur [, b[ telle que (= l fonction «reste») de l intégrle f(t) dt converge. Le reste f(t) dt est l fonction R définie pour tout x [,b[ pr : R(x) = x f(t) dt. Proposition 3.2.8 Soit f continue sur [, b[ telle que vers 0 en b : lim x b x f(t) dt = 0. f(t) dt converge. Alors son reste tend Proposition 3.2.9 Soit f continue sur [, b[, F une primitive (quelconque) de f. Alors converge si et seulement si F dmet une limite en b, et dns ce cs, f(t) dt = lim x b F(x) F(). Cel s dpte bien entendu pour les fonctions continues sur ],b]. f(t) dt 3.2.2 Cs d une fonction continue sur un intervlle ouvert Définition 3.2.10 Soit f une fonction continue sur un intervlle ouvert ], b[. Soit c un point quelconque de ], b[. On dit que l intégrle de f sur ], b[ est convergente si chcune des intégrles c f(t) dt et c f(t) dt est convergente. On pose lors f(t) dt = c f(t) dt+ c f(t) dt. Proposition 3.2.11 Ni l notion de convergence, ni l vleur de l intégrle en cs de convergence, ne dépendent du choix de c dns ],b[.

3.2 Notion d intégrle impropre 29 Exemples 3.2.12 1. + 0 dt diverge pour tout α R. tα 2. Dissociez l étude des deux bornes de l intégrle! Exemple : + sint dt. Proposition 3.2.13 Soit f continue sur ],b[, et F une primitive de f sur ],b[. Alors converge si et seulement si F dmet une limite finie en et en b. Dns ce cs, [ ] limb f(t) dt = lim F(x) lim F(x) = F(x) x b x lim Attention à bien justifier l existence des limites de F vnt d écrire cette églité. Exemple 3.2.14 Clcul de + dt 1+t 2. f(t) dt 3.2.3 Cs d une fonction continue sur une union d intervlles ouverts Définition 3.2.15 Soit 0 < 1 < < n +. Soit f continue sur ] 0, n [\{ 1,..., n } =] 0, 1 [ ] 1, 2 [ ] n 1, n [. On dit que l intégrle n 0 f(t) dt converge si et seulement si chcune des intégrles i i 1 f(t) dt, i [1, n], converge. On est donc rmené à l étude de n intégrles impropres en chcune de leurs deux bornes, donc à l étude de l convergence en 2n bornes (les deux bornes extrêmes, et pour chcune des n 1 bornes intermédiire, l étude à droite et à guche de cette borne). En cs de convergence, on définit : n n i f(t) dt = f(t) dt. 0 i 1 On dit que l intégrle impropre n i=1 0 f(t) dt dmet des imrpopriétés en 0, 1,..., n. Corollire 3.2.16 Soit f une fonction continue pr morceux sur [, b], c est-à-dire telle qu il existe 0 = < 1 < < n 1 < n = b tels que f soit continue sur chque ] i 1, i [, i [1,n], et tels que f dmette une limite à droite en tout i, i [0,n 1], et une limite à guche en tout i, i [1,n]. Alors f(t) dt converge. Proposition 3.2.17 Soit = 0 < 1 < < n = b et soit f continue sur ] 0, 1 [ ] 1, 2 [ ] n 1, n [, et F une primitive de f sur cet ensemble. Alors f(t) dt converge si et seulement si F dmet des limites à droite en tout i, i [0,n 1], et des limites à guches en tout i, i [1,n], et dns ce cs : f(t) dt = lim x n n 1 F(x)+ k=1 ( lim x + k F(x)+ lim F(x)) lim F(x) dx = x k x + 0 n lim x k=1 k n 1 F(x) x k=0 + k lim F(x).

30 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres 3.3 Propriétés des intégrles impropres 3.3.1 Linérité Proposition 3.3.1 Soit = x 0 < x 1 < < x n = b, et soit E l ensemble des fonctions définies et continues sur [,b]\{ 0,..., n }, telles que 1. E est un espce vectoriel sur R; 2. : E R est une forme linéire sur E f(t) dt converge. Alors : Autrement dit, quitte à restreindre f et g à [,b] privé des points d impropriété de f et de g, si de R 2. f(t) dt et g(t) dt convergent, il en est de même de (λf(t) + µg(t)) dt, pour tout (λ, µ) Proposition 3.3.2 Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [,b] \ { 0,..., n }. Si f(t) dt converge et g(t) dt diverge, lors (f +g)(t) dt diverge. Remrque 3.3.3 En revnche, si pour (f +g)(t) dt. f(t) dt et g(t) dt divergent, on ne peut rien conclure 3.3.2 Reltion de Chsles Théorème 3.3.4 Soit = 0 < < n = b et f une fonction définie et continue sur [,b] \ { 0,..., n }. Soit c ],b[. Si f(t) dt converge, lors f(t) dt = c f(t) dt+ c c f(t) dt et f(t) dt. c f(t) dt convergent, et Remrque 3.3.5 1. Attention à l hypothèse c ], b[, nécessire ici pour obtenir l convergence des deux intégrles. Si c ],b[, il fut prtir de l hypothèse de convergence sur le plus grnd des intervlles considérés. 2. Attention, générlement, on ne s utorise ps à inverser l ordre des bornes dns une intégrle impropre (on considère vec b), cr l borne inférieure correspond à une limite pr u-dessus et l borne supérieur à une limite pr en-dessous : échnger les deux bornes échngerit implicitement cette convention sur le côté pr lequel on prend l limite. Ainsi, fites ttention à l fçon d exprimer l reltion de Chsles lorsque c ], b[ : se rmener à l sitution du théorème, en échngent le rôle des vribles. 3.3.3 Positivité Proposition 3.3.6 (Positivité de l intégrle)

3.4 Critères de convergence pour les intégrles de fonctions positives 31 Soit = 0 < 1 < n = b et f définie et continue sur [,b]\{ 0,..., n } telle que converge. Alors si f 0 sur [,b]\{ 0,..., n }, on f(t) dt 0. f(t) dt Corollire 3.3.7 (Croissnce de l intégrle) Supposons que f et g sont deux fonctions définies et continues sur [,b] \ { 0,..., n }, et que f(t) dt et g(t) dt convergent. Alors, si f g sur [,b]\{ 0,..., n }, lors f(t) dt Proposition 3.3.8 (Stricte positivité de l intégrle) g(t) dt. Soit = 0 < 1 < n = b et f définie et continue sur [,b]\{ 0,..., n } telle que f(t) dt converge.. Alors si f 0 sur [,b] \ { 0,..., n }, et si f n est ps identiquement nulle sur cet ensemble, on : f(t) dt > 0. 3.4 Critères de convergence pour les intégrles de fonctions positives Tous les critères sont donnés pour une fonction f continue sur [,b[, donc pour des intégrles f(t) dt dmettnt une seule impropreté en b. Ces critères se générlisent bien entendu ux intégrles dmettnt une impropriété en leur borne inférieure, puis ux intégrles de fonctions continues sur[, b] suf en un nombre fini de point, pr découpge en plusieurs intégrles impropres en une seule borne. Dns tout ce prgrphe, les fonctions f et g sont définies et continues sur un intervlle [,b[. 3.4.1 Un lemme Lemme 3.4.1 Si f 0, lors est bornée sur [,b[. 3.4.2 Critère de comprison pr inéglité f(t) dt converge si et seulement si l fonction F : x Proposition 3.4.2 Si pour tout x [,b[, 0 f(x) g(x), lors : 1. si 2. si f(t) dt diverge, lors g(t) dt converge, lors g(t) dt diverge; f(t) dt converge. Remrque 3.4.3 Attention à l hypothèse de positivité des fonctions qu on intègre! x f(t) dt

32 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres Exemples 3.4.4 1. 2. 3. + 0 π 2 0 + 1 cos 2 t t 2 dt converge ; e t2 dt converge (rchi-clssique!); 1 sint dt diverge. 3.4.3 Critère de comprison pr o Proposition 3.4.5 Supposons que f et g sont positives (et toujours continues) sur [, b[, et qu u voisinge de b, f(x) = o(g(x)). Alors si si b g(t) dt converge, lors f(t) dt diverge, lors b f(t) dt converge; g(t) dt diverge. Remrque 3.4.6 L hypothèse de positivité de f est en fit inutile : insi qu on le verr plus trd, on obtient dns ce cs l convergence bsolue de f = o(g) u voisinge de b, on ussi f = o(g). Exemples 3.4.7 1. + 2. (Intégrles de Bertrnd en + ) + 2 0 e t dt converge. dt t α ln β dt converge si et seulement si α > 1, ou α = 1 et β > 1 t 3. (Intégrles de Bertrnd en 0) 1 2 0 f(t) dt, donc l convergence. En effet, si dt t α dt converge si et seulement si α < 1 ou si α = 1 et β > 1. lnt β 3.4.4 Critère de comprison pr équivlents Théorème 3.4.8 On suppose f et g positives et continues sur[,b[. Alors, si f g, lors b et g(t) dt sont de même nture. f(t) dt Remrque 3.4.9 Si f et g sont continues sur [, b[ ]b, c], il convient de séprer l étude à droite et à guche u point b, et donc de considérer un équivlent à droite, et un équivlent à guche u point b. Exemples 3.4.10 1. 2 0 dx x(x 1)(x 2) est convergente. 2. 1 0 1 sint dt diverge.

3.5 Cs des fonctions non positives 33 3.5 Cs des fonctions non positives 3.5.1 Convergence bsolue Définition 3.5.1 Soit f une fonction continue sur [,b[. On dit que f(t) dt converge bsolument si f(t) dt converge. Pr extention, on définit l convergence bsolue pour une fonction dmettnt plusieurs points d impropriété. Théorème 3.5.2 Si Théorème 3.5.3 (Inéglité tringulire) Si f(t) dt converge bsolument, lors f(t) dt converge bsolument, lors f(t) dt Exemple 3.5.4 Convergence et encdrement de 3.5.2 Semi-convergence Définition 3.5.5 On dit que bsolument convergente. + 1 f(t) dt. sint t 2 dt. f(t) dt converge. f(t) dt est semi-convergente, si elle est convergente sns être Exemple 3.5.6 + 1 sinx x dx est semi-convergente. 3.6 Comprison série/intégrle Théorème 3.6.1 Soit f : [, + [ une fonction continue, décroissnte et positive. Alors l série + f(n) converge si et seulement si l intégrle f(t) dt converge. n Exemple 3.6.2 On retrouve de l sorte les propriétés de convergence des séries de Riemnn ou des séries de Bertrnd. 3.7 Techniques de clcul des intégrles impropres 3.7.1 Intégrtion pr prties Théorème 3.7.1 Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [,b[, telles que le produit uv dmette une limite finie en b. Alors u(t)v (t) dt et u (t)v(t) dt sont de même nture, et en cs

34 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres de convergence, u(t)v (t) dt = [ ] limb u(t)v(t) u (t)v(t) dt = lim t b u(t)v(t) u()v() u (t)v(t) dt. Corollire 3.7.2 Si u et v sont de clsse C 1 sur ],b[, et si uv dmet des limites en et en b, lors u(t)v (t) dt et u(t)v (t) dt = u (t)v(t) dt sont de même nture, et en cs de convergence, [ ] limb u(t)v(t) lim + u (t)v(t) dt = lim t b u(t)v(t) lim x +u(t)v(t) u (t)v(t) dt. Remrque 3.7.3 Dns les deux résultts ci-dessus, on peut prtir d une intégrle définie (non impropre) pour rriver à une intégrle impropre. C est l cs pr exemple si v est de clsse C 1 sur [,b], et si u est continue sur [,b], mis de clsse C 1 seulement sur [,b[. Théorème 3.7.4 Soit u et v deux fonctions de clsse C 1 sur [,b[. Si uv n dmet ps de limite en b, lors l convergence de uv entrîne l divergence de Remrque 3.7.5 En prtique, il est très fréquent de restreindre l intervlle d intégrtion à [,x], x < b (pour une seule impropreté en b), fin de fire l intégrtion pr prties sur une intégrle définie, puis de psser à l limite lorsque x tend vers b. Cel peut voir l vntge de prouver du même coup l convergence de l intégrle initile. Ceci n est ps une obligtion, à condition de justifier les convergences, et de donner les hypothèses déqutes d existence de limites pour le produit uv. En revnche, dns l sitution où on prt d une intégrle convergente, mis vec un produit uv n dmettnt ps de limite finie, il est nécessire de fire l intégrtion pr prties sur un intervlle restreint uv, et de psser à l limite ensuite, en grdnt à l esprit que l divergence du terme uv v être compensée pr l divergence de l intégrle qu on obtient près IPP. Exemples 3.7.6 1. 2. 3. + 1 1 0 Arctn t t 2 + 1 lnt t 2 dt = 1 dt = ln2 2 + π 4. lnt dt = ln2. (1+t) 2 3.7.2 Chngements de vrible L nécessité de mettre les bornes dns l ordre pour une intégrle impropre (pour ne ps mélnger limites supérieures et limites inférieures) complique un peu l énoncé du chngement de vribles. On v être mené à distinguer suivnt que le chngement de vribles échnge les bornes ou non, plus précisément suivnt qu il est croissnt ou décroissnt. u v.

3.8 Intégrles clssiques 35 Remrquez que dns l formule du chngement de vrible pour les intégrles impropres, les hypothèses fites sur ϕ sont plus fortes que pour le chngement de vribles pour les intégrles définies. On impose en prticulier l bijectivité du chngement de vribles, ce qui n étit ps nécessire pour les intégrles définies. Théorème 3.7.7 Soit ϕ une ppliction de clsse C 1, strictement monotone, rélisnt une bijection de ]α,β[ sur ],b[. Soit f :],b[ R une fonction continue. Alors les intégrles β f(ϕ(t))ϕ (t) dt sont de même nture, et en cs de convergence : α β f(t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt si ϕ est croissnte (ϕ conserve l ordre des bornes) α b β f(t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt si ϕ est décroissnte (ϕ échnge les bornes) α f(t) dt et Remrque 3.7.8 Tout comme l formule d intégrtion pr prties, ce théorème donne vnt tout un critère de comprison de l nture de deux intégrles. Exemple 3.7.9 1 dt t(1+ln 2 t) = π 2 4. 0 1 1 dx 1 x 2 = π. 3.8 Intégrles clssiques 3.8.1 Intégrle de Guss Théorème 3.8.1 1. L intégrle 2. L intégrle + + e t2 dt converge, et 0 e t2 dt converge, et + e t2 dt = π. + 0 e t2 dt = π 2. 3.8.2 Fonction Γ Définition 3.8.2 L fonction Γ est l fonction définie, pour tout réel x pour lequel cette intégrle converge, pr : Proposition 3.8.3 2. x R +, Γ(x+1) = xγ(x). 3. n N, Γ(n) = (n 1)! 4. Γ ( 1 2) = π. Γ(x) = + 0 t x 1 e t. 1. Le domine de définition de Γ est D Γ =]0,+ [.

36 Anlyse Chpitre 3. Intégrles impropres

Anlyse Chpitre 4 Révisions : fonctions d une vrible réelle Nous ne reprenons ps dns ce chpitre les notions de limite et de comprison locle (équivlents et négligebilité) qui sont supposées quises. 4.1 Continuité 4.1.1 Définitions et rppel des propriétés Dns ce prgrphe, f désigne une fonction d un intervlle X dns R. Définition 4.1.1 Soit X. On dit que f est continue en si une des propriétés équivlentes suivntes est vérifiée : (i) f dmet une limite en (forcément égle à f()); (ii) ε > 0, η > 0, x X, x < η = f(x) f() < ε ; (iii) pour tout voisinge V de f(), il existe un voisinge U de tel que f(u) V. (iv) (crctéristion séquentielle) pour toute suite (x n ) n N à vleurs dns X tendnt vers, (f(x n )) n N tend vers f(). Proposition 4.1.2 Soit f et g deux fonctions de X dns R, et X. Soit λ R. 1. Si f est continue en, lors λf est continue en. 2. Si f et g sont continues en, lors ussi f +g. 3. Si f et g sont continues en, lors ussi fg. 4. Si f et g sont continues en, et g() 0, lors g ne s nnule ps sur un voisinge de, et est continue en. f g Proposition 4.1.3 Soit X,Y R, et f : X Y, g : Y R. Soit X. Si f est continue en, et si g est continue en f(), lors g f est continue en.

38 Anlyse Chpitre 4. Révisions : fonctions d une vrible réelle 4.1.2 Continuité sur un intervlle Définition 4.1.4 Soit Y X On dit que f est continue sur Y si f est continue en tout point de Y. Théorème 4.1.5 (Fonction continue sur un intervlle fermé borné) Soit I = [,b] un intervlle fermé borné, et soit f : I R une fonction continue sur I. Alors f est bornée, et tteint ses bornes. Dns ce qui suit, pr convention, f(+ ) désigne lim f(x) dns le cs où cette limite existe, et x + de même pour f( ). Théorème 4.1.6 (Théorème des vleurs intermédiires) On donne trois énoncés équivlents du TVI : 1. (TVI, version 1) Soit f une fonction continue sur un intervlle I d extrémités et b dns R (vec existence des limites dns le cs de bornes infinies). Alors, si f() > 0 et f(b) < 0 (ou l inverse), il existe c ], b[ tel que f(c) = 0 2. (TVI, version 2) Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et soit M = supf(x) et x I m = inf f(x). Alors f prend toutes les vleurs de l intervlle ]m,m[, i.e. : x X x 0 ]m,m[, c I,f(c) = x 0. 3. (TVI, version 3) L imge d un intervlle quelconque pr une fonction continue est un intervlle. Corollire 4.1.7 L imge d un intervlle fermé borné pr une fonction continue est un intervlle fermé borné. Définition 4.1.8 Soit A,B R. Un homéomorphisme f : A B est une ppliction continue bijective dont l réciproque est continue. Théorème 4.1.9 (théorème de l bijection, version forte) Soit I un intervlle d extrémités et b. Soit f : I R strictement monotone et continue. Soit : α = lim x f(x) et β = lim x b f(x) (exitent cr f est monotone). Alors f(i) est un intervlle d extrémités α et β, et f est un homéomorphisme de I sur f(i). 4.2 Dérivbilité 4.2.1 Définitions Dns ce qui suit, on se donne une fonction f : I R, I étnt un intervlle (fermé ou ouvert) d extrémités et b

4.2 Dérivbilité 39 Définition 4.2.1 Soit x 0 ],b[. On dit que f est dérivble en x 0 si f(x) f(x0) x x 0 finie lorsque x tend vers x 0. On note lors : dmet une limite f f(x) f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim, x x 0 x x 0 h 0 h et on ppelle f (x 0 ) l dérivée de f en x 0. Remrque 4.2.2 Interpréttion géométrique : l dérivée en x 0 est l pente de l tngente à l courbe de f en x 0. Théorème 4.2.3 (Continuité des fonctions dérivbles) Si f est dérivble en x 0, lors f est continue en x 0. L réciproque est fusse! Définition 4.2.4 Soit x 0 [,b[. On dit que f est dérivble à droite en x 0 si f(x) f(x0) x x 0 une limite à droite lorsque x tend vers x 0. On note lors : dmet f d(x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) = lim. h 0 + h De même pour l dérivée à guche f g(x 0 ). Proposition 4.2.5 Soit x 0 X. Alors f est dérivble en x 0 si et seulement si f est dérivble à guche et à droite en x 0, et f g(x 0 ) = f d (x 0). Définition 4.2.6 On dit que f est dérivble sur un intervlle fermé I = [,b] si f est dérivble sur ],b[, et si f est dérivble à droite en et à guche en b. Cel définit donc l fonction dérivée f : [,b] R 4.2.2 Dérivées d ordre supérieur Fonctions de clsse C n Définition 4.2.7 Soit x 0 ],b[. On définit les dérivées d ordre supérieur pr récurrence sur n. Soit n 2. On dit que f est n fois dérivble en x 0 si f est n 1 fois dérivble sur un voisinge U de x 0 et si l fonction dérivée (n 1)-ième est dérivble en x 0. L dérivée n-ième de f en x 0 est lors l dérivée de l dérivée (n 1)-ième en x 0. On note f (n) (x 0 ) cette dérivée n-ième. Ainsi : f (n) (x 0 ) = f (n 1) (x 0 ). Définition 4.2.8 On suppose que X = [,b] est un intervlle fermé. On définit pr récurrence l dérivée n-ième de f en. On dit que f est dérivble n fois en si et seulement si f est dérivble n 1 fois sur un intervlle [,+ε[ (définissnt insi f (n 1) sur [,+ε[), et si f (n 1) est dérivble à droite en. On note lors f (n) () cette dérivée à droite. Définition 4.2.9 On dit que f est dérivble n fois sur [,b] si f est dérivble n fois en tout point de [,b], y compris en et en b. Cel définit une fonction f (n) : [,b] R. On définit de l même fçon l dérivbilité n fois sur tout type d intervlle, borné ou non borné. Définition 4.2.10 Soit f : I R, où I est un intervlle. On dit que f est de clsse C n sur I si f est n fois dérivble sur I et si l dérivée n-ième f (n) est continue sur I.

40 Anlyse Chpitre 4. Révisions : fonctions d une vrible réelle 4.2.3 Propriétés Proposition 4.2.11 (Régles usuelles de dérivbilité) Soit f et g deux fonctions de I (d extrémités et b) dns R, et x 0 ],b[. Soit n N. Soit λ et µ deux réels. 1. Si f est dérivble n fois en x 0, lors λf ussi et (λf (n) )(x 0 ) = λf (n) (x 0 ). 2. Si f et g sont dérivbles n fois en x 0, lors f+g ussi et (f+g) (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 )+g (n) (x 0 ). 3. Si f et g sont dérivbles en x 0, fg ussi et (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g (x 0 ) Corollire 4.2.12 (Dérivée d un produit quelconque) Soit f 1,...,f n : I R et x 0 ],b[. Si f 1,...,f n sont dérivbles en x 0, lors leur produit ussi, et : n (f 1 f n ) = f k(x 0 ) f i (x 0 ). k=1 i [[1,n]]\{k} Corollire 4.2.13 (Formule de Leibniz) Soit f et g deux fonctions de I dns R et x 0 ],b[. Si f et g sont n fois dérivbles en x 0, lors fg ussi, et : n ( ) n (fg) (n) = f (k) (x 0 )g (n k) (x 0 ). k k=0 Proposition 4.2.14 (Dérivée de composées) Soit I et J deux intervlles ouverts de R, et f : I J, g : J R. Soit x 0 I tel que y 0 = f(x 0 ). Si f est dérivble en x 0 et g dérivble en y 0, lors g f est dérivble en x 0, et : (g f) (x 0 ) = f (x 0 )g (y 0 ) = f (x 0 ) g f(x 0 ). Corollire 4.2.15 Soit I un intervlle ouvert, f : I R, et x 0 I tel que f(x 0 ) 0 et f ( ) (x0 dérivble en x 0. Alors 1 f est dérivble en x 1 0 et f ) = f (x 0) f 2 (x. 0) Corollire 4.2.16 (Dérivée d un quotient) Soit f,g : I R, et x 0 I tel que g(x 0 ) 0 et f et g dérivbles en x 0. Alors f g ( ) (x0 x 0 et f g ) = f g fg f (x 2 0 ). est dérivble en Théorème 4.2.17 (Dérivtion des fonctions réciproques) Soit I et J deux intervlles, et soit f une ppliction bijective continue de I dns J. Soit t 0 I, et x 0 = f(t 0 ). Si f est dérivble en t 0, et si f (t 0 ) 0, lors f 1 est dérivble en x 0, et : (f 1 ) (x 0 ) = 1 f (t 0 ) = 1 f (f 1 (x 0 )). Corollire 4.2.18 Soit I et J deux intervlles, et f : I J bijective. Si f est de clsse C p sur I, et si f ne s nnule ps sur I, lors f 1 est de clsse C p sur J. 4.2.4 Dérivbilité sur un intervlle Lemme 4.2.19 (CN d extremum pr nnultion de l dérivée) Soient < b deux réels et f :],b[ R dérivble sur ],b[. Soit x 0 ],b[. Si f dmet un extremum en x 0, lors f (x 0 ) = 0.

4.3 Fonctions convexes 41 Théorème 4.2.20 (théorème de Rolle) Soit f : [,b] R continue sur [,b] et dérivble sur ],b[. Alors, si f() = f(b), il existe c ],b[ tel que f (c) = 0. Théorème 4.2.21 (théorème des ccroissements finis, TAF) Soit f : [, b] R continue sur [, b], dérivble sur ], b[. Alors il existe c ], b[ tel que : f(b) f() = (b )f (c). Remrque 4.2.22 Interpréttion géométrique : il existe une tngente prllèle à l corde. Corollire 4.2.23 (Inéglité des ccroissements finis, IAF) Soit f : [,b] R continue sur [,b], dérivble sur ],b[. Soit M un mjornt de f sur ],b[ (pr exemple M = sup f (x)), et m un minornt de f sur ],b[ (pr exemple m = inf x ],b[ x ],b[ f (x)). Alors : m(b ) f(b) f() M(b ). En prticulier, si M est un mjornt de f, lors f(b) f() M b. Théorème 4.2.24 (vrition des fonctions) Soit f : [,b] R, tel que f est continue sur [,b] et dérivble sur ],b[. Alors : 1. f est croissnte sur [,b] si et seulement si pour tout x ],b[, f (x) 0. Si cette inéglité est stricte suf en un nombre fini de points, lors f est strictement croissnte. 2. f est décroissnte sur [,b] si et seulement si pour tout x ],b[, f (x) 0. Si cette inéglité est stricte suf en un nombre fini de points, lors f est strictement décroissnte. Corollire 4.2.25 Soit I un intervlle (ouvert ou fermé ou semi-ouvert) d extrémités et b, f : I R continue sur I, dérivble sur ],b[. Alors f est constnte si et seulement si pour tout x ],b[, f (x) = 0. 4.3 Fonctions convexes 4.3.1 Notion de convexité Définition 4.3.1 Soit I un intervlle, et f : I R. On dit que f est convexe sur I si : (x,y) I 2, λ [0,1], f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). On dit que f est concve sur I si : (x,y) I 2, λ [0,1], f(λx+(1 λ)y) λf(x)+(1 λ)f(y). Interpréttion géométrique : f est convexe ssi l courbe reste sous les cordes.

42 Anlyse Chpitre 4. Révisions : fonctions d une vrible réelle 4.3.2 Étude de l dérivbilité des fonctions convexes Proposition 4.3.2 Soit f : I R et pour tout u I, soit F u : I \{u} R l fonction définie pr : t I \{u}, F u (t) = f(t) f(u). t u Alors, f est convexe si et seulement si pour tout u I, l fonction F u est croissnte. Théorème 4.3.3 (Dérivbilité des fonctions convexes) Soit I un intervlle ouvert, et f : I R une fonction convexe. Alors f est dérivble à droite et à guche en tout point de I, et : 1. x I, f g (x) f d (x). ; 2. (x,y) I 2, x < y = f d (x) f g (y); 3. f g et f d sont croissntes sur I Corollire 4.3.4 Soit I un intervlle ouvert, et f convexe sur I. Alors f est continue sur I. Remrque 4.3.5 Le théorème et son corollire sont fux si on ne suppose ps que I est ouvert. Proposition 4.3.6 Soit I un intervlle ouvert et x 0 I. Soit f : I R une fonction convexe sur I. Puisque f est dérivble à guche et à droite, s courbe dmet une tngente à guche et une tngente à droite en x 0. Alors l courbe de f est u-dessus de s tngente à guche, et u-dessus de s tngente à droite. Remrque 4.3.7 Les résultts ci-dessus se trnscrivent évidemment u cs de fonctions concves. Dns ce cs, les dérivées à droite et à guche sont décroissntes. 4.3.3 Crctéristion de l convexité pr les dérivées Théorème 4.3.8 (Crctéristion des fonctions convexes dérivbles) Soit I un intervlle ouvert, et f : I R une fonction dérivble sur I. Les propriétés suivntes sont équivlentes : 1. f est convexe; 2. f est croissnte; 3. l courbe de f se trouve u-dessus de toutes ses tngentes. Corollire 4.3.9 (Crctéristion des fonctions convexes deux fois dérivbles) Soit I un intervlle ouvert, et f : I R une fonction deux fois dérivble sur I. Alors f est convexe si et seulement si pour tout x I, f (x) 0.

4.4 Formules de Tylor 43 4.4 Formules de Tylor Dns toute cette section, f désigne une fonction d un intervlle I de R vers R, et x 0 I. 4.4.1 Développement de Tylor But : étnt donné n, définir un polynôme P de degré n qui pproche u mieux f u voisinge d un point x 0 I, en imposnt : P(x 0 ) = f(x 0 ) P (x 0 ) = f (x 0 )... P (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ). Définition 4.4.1 Soit f une fonction dmettnt en x 0 une dérivée d ordre n. Alors le développement de Tylor de f en x 0 à l ordre n est l unique polynôme P de degré u plus n vérifint les conditions : P(x 0 ) = f(x 0 ), P (x 0 ) = f (x 0 ),..., P (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ). n (x x 0 ) k Ce polynôme est donné explicitement pr : x R, P(x) = f (k) (x 0 ). k! Définition 4.4.2 Si f dmet en x 0 une dérivée d ordre n, on note R n l différence entre f et son développement de Tylor : k=0 n (x x 0 ) k x I, R n (x) = f(x) k! k=0 f (k) (x 0 ). R n est ppelé reste de Tylor à l ordre n de f u point x 0. L objet des formules de Tylor est d étudier ce reste. Cel pour but d estimer l erreur fite en pprochnt f pr son développement de Tylor. Notmment, si f est de clsse C sur I, est-ce qu en fisnt tendre n vers +, le développement de Tylor tend vers f? Définition 4.4.3 Soit f une fonction de clsse C sur I. Si pour tout xini, lim n + R n (x) = 0, lors : + (x x 0 ) n x I, f(x) = f (n) (x 0 ). n! Dns ce cs, on dit que f est développble en série de Tylor u point x 0. n=0 Les trois formules suivntes donnent trois évlutions du reste de Tylor, plus ou moins précises suivnt que les hypothèses sont plus ou moins fortes. On commence pr l moins précise des formules de Tylor, ussi celle qui demnde le moins d hypothèses. 4.4.2 Formule de Tylor-Young Théorème 4.4.4 (Formule de Tylor-Young à l ordre n u point x 0 ) Soit I un intervlle ouvert de R, x 0 I, et f : I R une fonction de clsse C n u voisinge de x 0. Alors, u voisinge de x 0 : f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k +o((x x 0 ) n ). k! Remrque 4.4.5 En fit, l existence de f (n) (x 0 ) suffit à obtenir cette formule.

44 Anlyse Chpitre 4. Révisions : fonctions d une vrible réelle L formule de Tylor-Young ne nous donne qu une informtion locle, u voisinge de x 0. En ucun cs elle ne peut être utilisée pour une étude globle. L formule suivnte donne une informtion globle, mis dépendnt d une inconnue c que l on contrôle ml. L informtion est donc plus précise que dns l formule de Tylor-Young, puisqu elle est globle. En contreprtie, on besoin d hypothèses plus fortes. 4.4.3 Formule de Tylor-Lgrnge Théorème 4.4.6 (Formule de Tylor-Lgrnge à l ordre n u point, évluée en b) Soit < b deux réels, et f : [,b] R une fonction de clsse C n+1 sur [,b]. Alors : c ],b[, f(b) = n k=0 f (k) () k! (b ) k + (b )n+1 f (n+1) (c). (n+1)! Remrques 4.4.7 L hypothèse de clsse C n+1 est un peu plus forte que nécessire. Il suffit que f soit de clsse C n sur [,b] et n+1 fois dérivble sur ],b[. Avec l restriction des hypothèses donnée dns le remrque précédente, l formule de Tylor- Lgrnge à l ordre 0 est exctement l formule des ccroissements finis. Corollire 4.4.8 (Inéglité de Tylor-Lgrnge à l ordre n u point ) Sous les mêmes hypothèses, et l hypothèse supplémentire que f (n+1) est mjoré pr un réel M sur ],b[, on : f(b) n k=0 f (k) () k! (b ) k M(b )n+1. (n+1)! Avec un encdrement de f n+1, on obtient de même un encdrement du reste. L dernière formule donne une expression excte du reste, ne dépendnt d ucun prmètre existentiel. Étnt l plus précise, c est églement celle qui nécessite les hypothèses les plus fortes. 4.4.4 Formule de Tylor vec reste intégrl Théorème 4.4.9 (Formule de Tylor vec reste intégrl à l ordre n u point ) Soit < b, et f : [,b] R une fonction de clsse C n+1 sur [,b]. Alors : n (t ) k t t [,b], f(t) = f (k) (t x) n ()+ f (n+1) (x) dx. k! n! 4.4.5 Cs des polynômes k=0 Soit P un polynôme de degré n et x 0 R. Alors P (n+1) = 0. Ainsi, d près l formule de Tylor- Lgrnge, pplicble cr P est de clsse C sur R, le reste de Tylor u point x 0 est nul. On en déduit : 0 Théorème 4.4.10 (Formule de Tylor pour les polynômes) Soit P un polynôme de degré u plus n. Alors : n P (k) (x 0 ) x R, P(x) = (x x 0 ) k. k! Ce théorème peut bien entendu être démontré de mnière purement lgébrique. k=0

Anlyse Chpitre 5 Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel 5.1 Rppels de topologie Dns toute cette section, on considère R n muni de s structure euclidienne cnonique. 5.1.1 Distnces et boules On rppelle l définition d une norme : Définition 5.1.1 Soit n N Une norme sur R n est une ppliction N : R n R + telle que : 1. x R n, N(x) = 0 x = 0 ; 2. x R n, λ R, N(λx) = λ N(x); 3. (x,y) (R n ) 2, N(x+y) N(x)+N(y) (inéglité tringulire). Voici quelques exemples Exemples 5.1.2 1. Sur R : x R, N(x) = x ; de même sur C. 2. Sur R n : X = (x 1,...,x n ) R n, N(X) = x 2 1 +...+x2 n. 3. Autre norme sur R n ; soit p N, X = (x 1,...,x n ) R n, N p (X) = p x 1 p +...+ x n p. 4. Autre norme sur R n ; X = (x 1,...,x n ) R n, N p (X) = sup( x 1,..., x n ). L exemple 2 est l norme euclidienne ssociée à l structure euclidienne cnonique de R n. On rppelle : Théorème 5.1.3 (Inéglité de Cuchy-Schwrz numérique) Pour tous n-uplets de R, (x 1,...,x n ) et (y 1,...,y n ), on n x k y k n n x 2 k yk 2. k=1 k=1 k=1

46 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel Définition 5.1.4 Soit E un ensemble. Une distnce sur E est une fonction d : E E R + telle que : 1. (x,y) E 2, d(x,y) = 0 x = y ; 2. (x,y) E 2, d(x,y) = d(y,x); 3. (x,y,z) E 2, d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (inéglité tringulire). Un espce métrique (E,d) est un ensemble E muni d une distnce d. Exemples 5.1.5 1. Toute norme N sur R n définit une distnce d pr : (X,Y) (R n ) 2, d(x,y) = N(Y X). 2. Pr exemple, distnce usuelle sur R : (x,y) R 2, d(x,y) = y x 3. Pr exemple, distnce usuelle sur C : (x,y) C 2, d(x,y) = y x 4. Pr exemple, distnce usuelle (euclidienne) surr n : (X,Y) (R n ) 2, X = (x 1,...,x n ), Y = (y 1,...,y n ) : d(x,y) = (y 1 x 1 ) 2 + +(y n x n ) 2. Définition 5.1.6 Soit (E,d) un espce métrique, x E et r R +. 1. L boule ouverte de centre x et de ryon r est : B(x,r) = {y E d(y,x) < r} 2. L boule fermée de centre x et de ryon r est : B(x,r) = {y E d(y,x) r} Pr exemple, dns R, l boule ouverte de centre x et de ryon r est l intervlle ]x r,x+r[. Dns R n muni de l distnce euclidienne, il s git de l notion usuelle de boule. On peut voir des formes un peu plus surprenntes pour d utres distnces. 5.1.2 Voisinges, ouverts, fermés Définition 5.1.7 Soit (E,d) un espce métrique, et soit x E. Un voisinge V de x est un sous-ensemble V de E tel qu il existe une boule ouverte centrée en x entièrement contenue dns V : ε > 0, B(x,ε) V, i.e. ε > 0, y E, d(y,x) < ε = y V. Intuitivement : en s éloignnt un peu de x, on ne sort ps de V. Pr exemple, V est un voisinge de x dns R s il existe ε tel que ]x ε, x + ε[ V. Définition 5.1.8 Soit (E,d) un espce métrique. Un ouvert U de E est un sous-ensemble U de R qui est voisinge de tous ses points De mnière équivlente, U E est ouvert ssi : x U, ε > 0, B(x,ε) U. Définition 5.1.9 Un sous-ensemble F de E est fermé si son complémentire E F est ouvert. Proposition 5.1.10 1. Toute union quelconque d ouverts est un ouvert; 2. Toute intersection d un nombre fini d ouverts est un ouvert; 3. Toute intersection quelconque de fermés est un fermé ; 4. Toute union d un nombre fini de fermés est un fermé.

5.1 Rppels de topologie 47 Exemples 5.1.11 Voici deux contre-exemples à bien grder en tête : + 1. Contre-exemple pour une intersection infinie d ouverts : ] 1n [,1 = [0,1[. 2. Contre-exemple pour une union infinie de fermés : 5.1.3 Sous-ensembles bornés de R n + n=1 n=1 [ ] 1 n,1 =]0,1]. Définition 5.1.12 (dns R) : Un sous-ensemble F de R est borné s il est mjoré et minoré, c est-à-dire s il existe deux réels m et M tels que x F, m x M. Définition 5.1.13 (vlble dns tout espce métrique (E,d), en prticulier dns R n ) : Un sousensemble F de E est borné s il existe une boule ouverte contennt F, c est-à-dire s il existe x E et R > 0 tels que F B(x,R). 5.1.4 Droites, segments, plns Définition 5.1.14 L droite pssnt pr A et dirigée pr le vecteur U est l ensemble d A,U = {A+tU, t R}. Il s git d une prmétristion de d A,U (description d un ensemble à l ide d un ou plusieurs prmètres réels) Tout choix d un point différent de l droite et d un vecteur directeur différent (forcément colinéire à U) donne une utre prmétristion de l même droite Définition 5.1.15 Soit A et B deux points de R n. Le segment [A,B] est l ensemble [A,B] = {ta+(1 t)b, t [0,1]}. Il s git donc des brycentres à coefficients positifs de A et B. Intuitivement, il s git de l ensemble des points de l droite pssnt pr A et dirigée pr AB, situés u sens lrge entre A et B. Définition 5.1.16 SoitE un sous-ensemble der n. On dit quee est convexe si pour tout(a,b) E 2, le segment [A,B] est contenu dns E. Autrement dit, pour tout A et B de E, et pour tout t [0,1], ta+(1 t)b E. Proposition 5.1.17 Une droite est convexe. Un segment est convexe. Définition 5.1.18 1. Un hyperpln vectoriel de R n est un sous-espce vectoriel de R n de codimension 1, donc de dimension n 1. 2. Soit H un hyperpln vectoriel de R n. L hyperpln ffine de R n de direction H et pssnt pr A est l ensemble des points M tels que AM H, donc l ensemble {A+X, X H}. Proposition 5.1.19 1. Toute éqution 1 x 1 + + n x n = 0 définit un hyperpln vectoriel. Réciproquement, tout hyperpln vectoriel peut être décrit pr une éqution de ce type. 2. Toute éqution 1 x 1 + + n x n = b définit un hyperpln ffine. Réciproquement, tout hyperpln ffine peut être décrit pr une éqution de ce type.

48 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel Proposition 5.1.20 1. Soit A un vecteur non nul de coordonnées ( 1,..., n ). Il existe un unique hyperpln vectoriel orthogonl à A. Cet hyperpln est d éqution 1 x 1 + + n x n = 0. Cette reltion ne fit qu exprimer que A, X = 0. 2. Soit A un vecteur non nul de coordonnées ( 1,..., n ) et B un point de R n de coordonnées (b 1,...,b n ). Alors il existe un unique hyperpln ffine orthogonl à A et pssnt pr B. Cet hyperpln est d éqution 1 (x 1 b 1 )+ + n (x n b n ) = 0. Cette reltion ne fit qu exprimer que X B,A = 0. 5.2 Grphes Dns toute l suite de ce chpitre, R n ser muni de s structure euclidienne cnonique, et l norme considérée est l norme uclidienne ssociée à cette structure. L distnce considérée est l distnce ssociée à cette norme. On note insi : X = (x 1,...,x n ) R n, X = x 2 1 + +x2 n. Ainsi, X désigne l norme euclidienne de X. Si X = (x 1,...,x n ) et Y = (y 1,...,y n ) sont deux vecteurs de R n, l distnce euclidienne de X à Y est lors : d(x,y) = X Y = (x 1 y 1 ) 2 + +(x n y n ) 2. Enfin, on note X,Y le produit sclire de X et Y dns R n. Avec les nottions précédentes : X,Y = x 1 y 1 + +x n y n. Dns tout ce qui suit, on considère D un sous-ensemble de R n, et une fonction f : D R. 5.2.1 Définition et exemples Définition 5.2.1 Le grphe de l fonction f est le sous-ensemble de R n+1 suivnt : G = {(x 1,...,x n,y) D R R n+1, y = f(x 1,...,x n )}. Pr exemple, si n = 2, le grphe est une surfce (ou nppe) dns R 3, l huteur u point (x,y) étnt donnée pr l vleur de l fonction en ce point. Comprez à l notion de grphe pour les fonctions à une seule vrible! Exemples 5.2.2 1. Si f est une fonction ffine définie sur R 2 pr f(x,y) = x + by + c, le grphe de f est l hyperpln ffine d éqution z = x + by + c. 2. Soit une prtie du monde rpportée à un repère orthonormé (on néglige l courbure de l Terre). On définit f sur cette prtie du monde en posnt f(x,y) égle à l ltitude u point (x,y). Alors le grphe de f est l surfce du sol. 5.2.2 Courbes de niveu Il est très difficile de représenter sur les supports usuels le grphe d une fonction à deux vrible (c est une surfce dns l espce). On se contente souvent d en fire une projection sur le pln (0,i,j), et d indiquer des huteurs de référence pour préciser l huteur de l surfce à certins

5.3 Limites et continuité 49 points. Générlement, on indique des lignes où l huteur de l surfce v être l même (cel revient à fire une coupe suivnt un pln z = k). Même si l intérêt grphique semble moindre pour des fonctions de plus de 2 vribles, on définit de mnière générle : Définition 5.2.3 L courbe de niveu de huteur k de f est l courbe de D constitué des points (x 1,...,x n ) pour lesquels l vleur de f(x 1,...,x n ) est constnte égle à k. C est donc l ensemble {(x 1,...,x n ) D, f(x 1,...,x n ) = k}. Il s git de l coupe du grphe pr l hyperpln ffine d équtionx n+1 = k, projeté orthogonlement sur le sous-espce vectoriel R n des n premières coordonnées de R n+1. L indiction d un certin nombre de courbes de niveu sur le pln donne une représenttion ssez fidèle du grphe, comme le montre en crtogrphie l exemple de l ltitude : de nombreuses crtes indiquent des courbes de niveu, plus ou moins resserrées, suivnt l précision souhitée. Ces courbes de niveu donnent une ssez bonne idée de l ltitude et des dénivelés (donc des vritions du grphe). Exemples 5.2.4 Voici quelques exemples de courbes de niveu issus de l vie quotidienne : Courbes de niveu d ltitude, ppelées courbes isohypses Courbes de niveu de tempérture, ppelées courbes isothermes Courbes de niveu de pression tmosphérique, ppelées courbes isobres Courbes de niveu de quntité de précipittion, ppelées courbes isohyètes 5.3 Limites et continuité 5.3.1 Définitions Définition 5.3.1 Soit D un domine de R n. On note D (ppelé dhérence de D) le plus petit sous-ensemble fermé de R n tel que D D En prtique, D est générlement l union de D et de son «bord». Pr exemple, dns R, l dhérence d un intervlle ser l intervlle fermé de mêmes extrémités. Mis ttention ux cs exotiques de sous-ensembles n ynt ps un bord bien défini. Pr exemple, l dhérence de Q dns R est R tout entier (cette propriété équivut à l densité de Q dns R) Dns ce qui suit D est un domine de R n. Définition 5.3.2 Soit X D, X = (x 1,...,x n ). On dit que f dmet une limite finie l en X si : ε > 0, δ > 0 Y = (y 1,...,y n ) D, Y X δ = f(y 1,...,y n ) l ε. Exemple 5.3.3 Pour tout α > 0, l fonction X X α de R n dns R dmet 0 pour limite en 0. Remrque 5.3.4 SiX D et quef dmet une limitelenx, lors on nécessirementf(x) = l. En s inspirnt du cs de fonctions à une vrible, on pourrit définir de même une limite + ou en un point X.

50 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel L notion de limite de fonctions de plusieurs vribles n est ps explicitement u progrmme, mis est utile pour mnipuler l notion de continuité Proposition/Définition 5.3.5 Soit f : D R, et soit X = (x 1,...,x n ) D. Les propositions suivntes sont équivlentes : 1. Pour tout voisinge V de f(x) dns R, il existe un voisinge U de X dns R n tel que f(u) V. 2. Pour tout voisinge V de f(x) dns R, f 1 (V) est un voisinge de X dns R n. 3. ε > 0, δ > 0, Y D, Y X < δ = f(y) f(x) < ε. 4. f dmet une limite en X (cette limite est nécessirement f(x)). Si une de ces qutre propositions est stisfite, on dit que f est continue en X. Proposition 5.3.6 1. Soit f, g et h sont trois fonctions définies sur D R n telles que pour tout Y D, f(y) g(y) h(y), et soit X D. Si f(x) = g(x) = h(x) et que f et h sont continues en X, lors g est continue en X. 2. En prticulier, si f et g sont telles que pour tout Y de D, f(y) g(y), et si g(x) = 0, lors, si g est continue en 0, f ussi. Proposition 5.3.7 sur R. 1. Soit α > 0 et X 0 R n. L fonction X X X 0 α est continue 2. Soit f définie sur D R n, et X 0 D. Alors, s il existe α > 0 et β > 0 tels que pour tout X u voisinge de X 0 dns D, on it lors f est continue en X 0. f(x) f(x 0 ) β X X 0 α, Corollire 5.3.8 Soit i [1,n], et pr i : R n R l projection sur le i-ième fcteur, défini pr pr i (x 1,...,x n ) = x i. Alors l fonction pr i est continue sur R n. Remrque 5.3.9 Dns le résultt précédent, on utilise une mjortion très utile : six = (x 1,...,x n ), lors pour tout i [1,n], x i X. Souvenez-vous en! 5.3.2 Critère séquentiel Définition 5.3.10 Soit(U k ) k N une suite à vleurs dnsr n ; pour toutk N,U k = (x 1,k,...,x n,k ). On dit que (U k ) converge vers X R n si : ε > 0, K N, k K, U k X < ε. Proposition 5.3.11 Soit (U k ) k N une suite à vleurs dns R n ; pour tout k N, U k = (x 1,k,...,x n,k ). L suite (U k ) k N converge vers X = (x 1,...,x n ) si et seulement si pour tout i [1,n], (x i,k ) k N converge vers x i. Théorème 5.3.12 (Crctéristion séquentielle de l continuité) L fonction f : D R est continue en X D si et seulement si pour toute suite (U k ) k N de vecteurs de D qui converge vers X, (f(u k )) k N converge vers f(x) (dns R).

5.3 Limites et continuité 51 Pr conséquent, si X = (x 1,...,x n ), f est continue en X si et seulement si pour toute suite (x 1,k ) k N convergent vers x 1, toute suite (x 2,k ) k N convergent vers x 2, etc., et toute suite (x n,k ) k N convergent vers x n, telles que pour tout k, (x 1,k,...,x n,k ) soit dns D, f(x 1,k,...,x n,k ) tend vers f(x 1,...,x n ) lorsque k tend vers +. Comme pour le cs des fonctions à une vrible, ce critère est en prtique souvent utilisé pour montrer qu une fonction n est ps continue en un point. On l utilise ussi d un point de vue théorique, pour obtenir toutes les propriétés liées à l continuité, exposées dns le prgrphe suivnt. 5.3.3 Opértions sur les fonctions continues Proposition 5.3.13 Soit f,g : D R deux fonctions continues en un point ( 1,..., n ) de D. Alors : 1. f +g est continue en ( 1,..., n ); 2. fg est continue en ( 1,..., n ); 3. si f( 1,..., n ) 0, 1 f est continue en ( 1,..., n ). On suppose toujours que D R n. Proposition 5.3.14 (Continuité d une composition de fonctions) 1. (Composition à guche) Soit f : D R, soit A R tel que f(d) A, et g : A R. Soit X D tel que f est continue en X et g est continue en f(x). Alors g f est continue en X. 2. (Composition à droite) Soit f : D R, A R et g 1,...,g n : A R telles que pour tout t R, (g 1 (t),...,g n (t)) D. Si pour tout i [1,n], g i est continue en t, et si f est continue en (g 1 (t),...,g n (t)), lors l fonction de A dns R définie pr t f(g 1 (t),...,g n (t)) est continue en t. Corollire 5.3.15 Soit f une fonction de R dns R continue en. Alors l fonction (x 1,...,x n ) f(x i ) est continue en tout point (x 1,...,x i 1,,x i+1,...,x n ). Exemples 5.3.16 1. L fonction (x,y) e x siny est continue sur R 2. 2. L fonction (x,y) xy est continue sur R 2. 3. Les fonctions polynomiles sont continues sur R n Ce résultt fournit une nouvelle méthode, très importnte, pour justifier qu une fonction f n est ps continue en un point (ou de mnière équivlente, n dmet ps de limite en un point). En effet en contrposnt l propriété précédente, si u 1,...,u n sont n fonctions d une vrible t I, continues en t 0, et telles que pour tout t I, (u 1 (t),u 2 (t),...,u n (t)) D, si l fonction d une vrible f(u 1 (t),...,u n (t)) n est ps continue en t 0, lors f n est ps continue en (u 1 (t 0 ),...,u n (t 0 )). Exemple 5.3.17 Soit f définie sur D = {(x,y) R 2 x + y > 0} {0}, pr f(0) = 0 et pour tout (x,y) tel que f(x,y) = 0, f(x,y) = xln(x+y), et u 1 : t t, et u 2 : t t+e 1 t 2, prolongée pr continuité en 0 pr u 2 (0) = 0.

52 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel 5.3.4 Continuité et topologie Proposition 5.3.18 Soit f une fonction continue sur R n. Alors : 1. L imge réciproque de tout ouvert de R pr f est un ouvert de R n. 2. L imge réciproque de tout fermé de R pr f est un fermé de R n. Exemples 5.3.19 1. Pr exemple, les courbes de niveu sont des fermés, puisqu il s git des ensembles f 1 ({k}), et que {k} est fermé. 2. Pr exemple, si f est continue sur R n, un ensemble du type {X R n, f(x) < k} est ouvert, lors que {X R n f(x) k} est fermé. 3. Exemples : les boules ouvertes et fermées Théorème 5.3.20 (dmis) Soit f une fonction continue sur un sous-ensemble fermé borné K R n. Alors f est bornée sur K et tteint ses bornes. 5.4 Clcul différentiel (à l ordre 1) 5.4.1 Fonctions et dérivées prtielles L notion de dérivée prtielle correspond à l notion de dérivtion pr rpport à une des vribles en fixnt les utres, c est-à-dire en les considérnt comme une constnte. Les règles de dérivtion découlent lors directement des règles de dérivtion des fonctions à une vrible. Dns ce qui suit, U désigne un ouvert de R n. Définition 5.4.1 Soit f : U R, et A = ( 1,..., n ) un point de U. On définit, pour tout i [1,n], l ensemble D i = {x R ( 1,..., i 1,x, i+1,..., n ) U}. L i-ième ppliction prtielle de f en est l ppliction f i : D i R (fonction à une seule vrible), définie pr : f A,i (x) = f( 1,..., i 1, i, i+1,..., n ). Proposition 5.4.2 Les D i définis ci-dessus sont des ouverts de R, et contiennent i. En prticulier, ce sont des voisinges de i. Ainsi, l i-ième fonction prtielle en A est définie u voisinge de i. Définition 5.4.3 Soit f : U R une fonction définie sur un ouvert U de R n, et soit A = ( 1,...,A n ) U. Soit i [1,n]. On dit que f est dérivble en A pr rpport à x i (ou que f dmet une dérivée prtielle pr rpport à l vrible x i en X) si l fonction prtielle d une vrible réelle f A,i est dérivble en i. Autrement dit, f est dérivble en A pr rpport à x i si l expression h f( 1,..., i 1, i +h, i+1,..., n ) f( 1,..., i 1, i, i+1,..., n ) h dmet une limite finie lorsuqe h tend vers 0.

5.4 Clcul différentiel (à l ordre 1) 53 On définit lors l dérivée prtielle de f pr rpport à x i u point A pr : f x i (A) = f x i ( 1,..., n ) = f A,i ( i) f( 1,..., i 1, i +h, i+1,..., n ) f( 1,..., i 1, i, i+1,..., n ) = lim. h 0 h Si f dmet une dérivée pr rpport à x i sur tout U, l dérivée prtielle pr rpport à x i définit f une fonction : : U R. x i Définition 5.4.4 Soit f : U R et X U. Alors, si f dmet une dérivée prtielle en A pr rpport à toutes les vribles x i, on définit le grdient de f u point X pr : ( f f(a) = (A),..., f ) (A). x 1 x n Il s git donc d un vecteur de R n. Si f dmet des dérivées prtielles pr rpport à tous les x i sur tout U, lors le grdient définit une ppliction : U R n. 5.4.2 Fonctions de clsse C 1 Définition 5.4.5 Soit f : U R (U ouvert de R n ). On dit que f est de clsse C 1 si f dmet des dérivées prtielles f x i sur tout U, pour tout i [1,n], et que ces dérivées prtielles sont toutes continues sur U. Proposition 5.4.6 Soit U un ouvert de R n, et f et g des fonctions de clsse C 1 sur U, et soit λ R. Alors f +λg et fg sont de clsse C 1 sur U, et f g est de clsse C1 sur U \g 1 ({0}). Proposition 5.4.7 Soit f : R R une fonction de clsse C 1 sur I. Alors, l fonction (x 1,...,x n ) f(x i ) est de clsse C 1 sur R i 1 I R n i. 5.4.3 Développements limités Définition 5.4.8 1. Une fonction polynomile sur R n est une fonction obtenue comme combinison linéire de monômes (x 1,...,x n ) x i1 1 xin n, (i 1,...,i n ) N n. 2. On dit qu une fonction polynomile P est de degré u plus n si tous les monômes ci-dessus intervennt dns P vérifient i 1 + +i n n. 3. P est de degré exctement n s il existe u moins un monôme x i1 1...xin n, veci 1 + +i n = n, de coefficient non nul dns P. Proposition 5.4.9 Toute fonction polynomile est continue et de clsse C 1 sur R n. Définition 5.4.10 Un développement limité à l ordre n de f : R n R en 0 R n est l donnée d une fonction polynomile P : R n R de degré u plus n tel que, pour X u voisinge de 0 R n, f(x) = P(X)+o( X n ).

54 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel Bien entendu, on définit de même les DL en ( 1,..., n ) en fisnt un chngement de vrible. Cs importnt (le seul u progrmme) : Un DL à l ordre 1 de f en 0 R n est l donnée de réels, b 1,...,b n tels que, u voisinge de 0 R n : f(x) = +b 1 x 1 + +b n x n +o( X ), où X = (x 1,...,x n ). Remrque 5.4.11 Pour n = 2, l éqution f(x,y) = + bx + cy + o( X ) signifie que le pln d éqution z = + bx+c est tngent u grphe u point (0,0). Pr conséquent, fire un DL à l ordre 1 fournit un excellent moyen, souvent économe en clculs, pour déterminer l éqution du pln tngent u grphe d une fonction à deux vribles. Plus générlement, pour une fonction de n vribles, le DL à l ordre 1 fournit un hyperpln tngent u grphe u point 0. 5.4.4 Formule de Tylor-Young à l ordre 1 Théorème 5.4.12 (Formule de Tylor-Young à l ordre 1) Soit U un ouvert, et A = ( 1,..., n ) U. Soit f : U R une fonction de clsse C 1 sur U. Alors, u voisinge du point A = ( 1,..., n ), on : f(x 1,...,x n ) = f( 1,..., n )+(x 1 1 ) f x 1 (A)+ +(x n n ) f x n (A)+o( X A ), X = (x 1,...,x n ). On peut réexprimer cette expression à l ide du grdient. Au voisinge de A, f(x) = f(a)+ f(a),x A +o( X A ), ou encore, u voisinge de 0 R n pour l vrible H : f(a+h) = f(a)+ f(a),h +o( H ). Corollire 5.4.13 Si f est de clsse C 1 u voisinge de A, lors f est continue en A. Remrque 5.4.14 L existence des dérivées prtielles en A n est ps suffisnte pour ssurer l continuité. Ayez un contre-exemple en tête. Proposition 5.4.15 (réciproque à l formule de Tylor-Young, hors progrmme) Si f dmet un DL à l ordre 1 en A = ( 1,..., n ), disons, u voisinge de A : f(x) = α+β 1 (x 1 1 )+ +β n (x n n )+o( X A ), et si f est continue en A, lors f dmet des dérivées prtielles en A, et : i [1,n], L démonstrtion est à refire u cs pr cs. 5.4.5 Dérivtion d une composition f x i (A) = β i. On se donne une fonction f : U R, U étnt un ouvert de R n. Théorème 5.4.16 (cs d une composition à guche pr g : I R, I R, f(u) I) Soit A U et i [1,n].

5.4 Clcul différentiel (à l ordre 1) 55 1. Si f est dérivble pr rpport à x i en A et g est dérivble en f(a), lors g f est dérivble pr rpport à x i en A, et : (g f) (A) = g (f(a)) f (A). x i x i 2. En prticulier, si f est dérivble pr rpport à tous les x i, i [1,n] en A et g est dérivble en f(a), lors g f est dérivble pr rpport à tous les x i en A, et : (g f)(a) = g (f(a)) f(a). 3. Si de plus, f et g sont de clsse C 1 respectivement sur U et I, lors g f est de clsse C 1 sur U. Théorème 5.4.17 (cs d une composition à droite pr w 1,...,w n : V R, V ouvert de R) On suppose que pour tout t V, (w 1 (t),...,w n (t)) U. On peut lors définir F sur V pr : t V, F(t) = f(w 1 (t),...,w n (t)). F est une fonction de V dns R, donc à une seule vrible. Soit t 0 U. Si pour tout i [1,n], w i est dérivble en t 0, et si f est de clsse C 1 u voisinge de (w 1 (t 0 ),...,w n (t 0 )), lors F est dérivble en t 0, et : F (t 0 ) = n i=1 w i (t 0) f x i (w 1 (t 0 ),...,w n (t 0 )). Réexprimons ceci en notnt pour tout t dns V, W(t) = (w 1 (t),...,w n (t)). W est donc une fonction de R dns R n. On définit, en tout point où cel est possible, W pr W (t) = (w 1(t),...,w n(t)). Alors, l églité précédente se réécrit : F (t 0 ) = f(w(t 0 )),W (t 0 ). Si de plus les w i sont de clsse C 1, il en est de même de F. Un cs prticulier est l notion de dérivée directionnelle de f : Proposition/Définition 5.4.18 Soit A U, et X un vecteur unitire de R n. Si f est de clsse C 1 u voisinge de A, lors l fonction g : t f(a + tx), définie sur un voisinge de 0, est dérivble en 0, et : g (0) = f(a), X Cette quntité est ppelée dérivée de f suivnt l direction X, et est prfois notée : f X f (A) = (A) = f(a), X X Exemple 5.4.19 f x = f e 1 = f e 1 et f y = f e 2 = f e 2, où e 1 = (1,0) et e 2 = (0,1). 5.4.6 Interpréttion du grdient Proposition 5.4.20 Soit f dmettnt un grdient sur U un ouvert de R n.

56 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel 1. Le grdient indique l direction de plus forte vrition, donc l direction pour lquelle l dérivée directionnelle est l plus élevée. 2. L dérivée de f suivnt une direction tngente à une courbe de niveu est nulle. Autrement dit, le grdient est perpendiculire ux courbes de niveu. Ainsi, le grdient suit l direction de plus forte pente, et est perpendiculire ux courbes de niveu. 5.4.7 Formule des ccroissements finis Théorème 5.4.21 Soit f : U R (U ouvert de R n ) une fonction de clsse C 1 sur U. Soit A et B deux points de U tels que le segment [A,B] soit inclus dns U. Alors, il existe C ]A,B[, tel que f(b) f(a) = B A, f(c). 5.5 Dérivées d ordre supérieur 5.5.1 Dérivées prtielles d ordre n Soit U un ouvert de R n, et f : U R une fonction dmettnt des dérivées prtielles sur U. Soit (i,j) [1,n] 2. Alors f est une fonction de U dns R 2. x i 1. Si f x i est dérivble pr rpport à x j en A U, on note : 2. Si i = j, on note 2 f (A). x 2 i 2 f (A) = f (A) x j x i x j x i En itérnt cette construction, on définit, si cel un sens, des dérivées prtielles à tous ordres, n f x in x i1, où pour tout k [1,m], i m [1,n]. Dns cette écriture, on commence pr dériver pr rpport à x i1, puis à x i2, etc. jusqu à x in. Définition 5.5.1 (Dérivée seconde directionnelle) On dit que f dmet une dérivée directionnelle seconde en A dns l direction V, si l fonction t f(a+tv) dmet une dérivée seconde. On note cette dérivée seconde f U (A). En prticulier, si (e 1,...,e n ) désigne l bse cnonique de R n, on pour tout i [1,n], e i (A) = 2 f. f Définition 5.5.2 On dit que f est de clsse C n sur l ouvert U si toutes les dérivées prtielles d ordre n existent sur U (en considérnt tous les ordres possibles de dérivtion pr rpport ux x i ), et si elles sont toutes continues sur U. x 2 i Le cs de fonctions de clsse C n, vec n 3, est hors progrmme. Théorème 5.5.3 Une combinison linéire, un produit ou un quotient dont le dénominteur ne s nnule ps, de fonctions de clsses C 2 sur U est encore de clsse C 2. Théorème 5.5.4 Soit f : U R, (U ouvert de R n ) et I R tel que f(u) I. Soit g : I R. Si f est de clsse C 2 sur U et g est de clsse C 2 sur I, lors g f est de clsse C 2 sur U.

5.5 Dérivées d ordre supérieur 57 5.5.2 Théorème de Schwrz Le théorème suivnt montre que sous certines conditions, l ordre dns lequel on fit les dérivtions pr rpport à x ou y importe peu : Théorème 5.5.5 (Schwrz) Soit f : U R (U ouvert de R n ) et A U. Soit (i,j) [1,n] 2. Si 2 f 2 f f dmet en A des dérivées prtielles secondes (A) et (A), continues en A, lors x i x j x j x i 2 f (A) = 2 f (A). x i x j x j x i C est notmment le cs si f est une fonction de clsse C 2. C est cette hypothèse que l on vérifie générlement. 5.5.3 Hessienne Définition 5.5.6 Soit U un ouvert de R n, et f : U R une fonction de clsse C 2 sur U. Soit A U. L hessienne de f u point A est l mtrice crrée d ordre n définie pr : ( 2 ) f H A = (A) x i x j. 1 i,j n L hessienne u point A est ussi très souvent notée 2 f(a) Proposition 5.5.7 L fonction f étnt de clsse C 2, l hessienne 2 f(a) de f u point A est une mtrice symétrique. Exemple 5.5.8 Si n = 2, l hessienne de f u point A est : 2 f 2 f 2 f(a) = x 2(A) x y (A) 2 f x y (A) 2 f y 2(A) On note trditionnellement (nottions de Monge) : r = 2 f x 2, s = 2 f x y, t = 2 f y 2. Ainsi, l hessienne se réécrit, à l ide des nottions de Monge : ( ) 2 r s f(a) =. s t Définition 5.5.9 On définit q A l forme qudrtique de R n dont l mtrice dns l bse cnonique de R n est l mtrice hessienne H A. Pr exemple, dns le cs ( où n = ) 2, vec les nottions de Monge, q A est l forme qudrtique r s cnoniquement ssociée à, donc s t (x,y) R 2, q A (x,y) = rx 2 +2sxy +ty 2.

58 Anlyse Chpitre 5. Fonctions de plusieurs vribles : continuité, clcul différentiel De mnière générle, pour n quelconque, q A (x 1,...,x n ) = 1 i,j n 2 f x i x j (A)x i x j = n i=1 2 f x 2 i (A)x 2 i +2 1 i<j n 2 f x i x j (A)x i x j. Proposition 5.5.10 Soit f : U R de clsse C 2, A U. Soit (e 1,...,e n ) l bse cnonique de R n. Alors pour tout i [1,n], q A (e i ) = 2 f. Plus générlement, pour tout V R n, q A (V) = f V (A). 5.5.4 Formules de Tylor Théorème 5.5.11 (Formule de Tylor-Lgrnge à l ordre 1) Soit U un ouvert de R n, f : U R, de clsse C 2. Soit A et H tels que [A,A+H] U. Alors, il existe θ [0,1] tel que f(a+h) = f(a)+ f(a),h + 1 2 q A+θH(H). x 2 i Théorème 5.5.12 (Formule de Tylor-Young à l ordre 2) Soit U un ouvert de R n, f : U R de clsse C 2. Alors, pour H u voisinge de 0, f(a+h) = f(a)+ f(a),h + 1 2 q A(H)+o( H 2 ).

Anlyse Chpitre 6 Optimistion L optimistion d une fonction de plusieurs vribles f consiste en l recherche des extrems de f. On commence pr déterminer une condition nécessire pour qu une fonction définie sur un ouvert dmette un extremum en un point A. Il s git de l nlogue de l condition nécessire f () = 0 dns le cs d une fonction d une vrible. Cette condition porte sur les dérivées d ordre 1. On détermine ensuite une condition suffisnte pour un tel point pour qu il s gisse d un extremum locl. L nlogue pour les fonctions d une vrible est l étude locle de l convexité de f : si f est de convexité constnte u voisinge de f, on un extremum locl (mximum en cs de concvité et minimum en cs de convexité). C est une condition portnt sur f. Pour les fonctions de plusieurs vribles, une condition similire ser donnée, portnt sur les dérivées prtielles d ordre 2, donc sur l hessienne de f u point A. On étudie ensuite le cs où f n est ps définie sur un ouvert. Enfin, on étudie les extrem de restictions de f à des sous-espces ffines de R n (droites ou plns pr exemple). Il s git de l recherche d extrem sous contrintes linéires. On rppelle dns une premier temps l définition d un extremum. Définition 6.0.13 Soit D R n, f : D R une fonction définie sur D. Soit A un point de D. 1. On dit que f dmet un mximum globl en A si : X D, f(x) f(a) 2. On dit que f dmet un minimum globl en A si : X D, f(x) f(a) 3. On dit que f dmet un mximum globl strict en A si : X D, X A = f(x) < f(a) 4. On dit que f dmet un minimum globl strict en A si : X D, X A = f(x) > f(a) 5. On dit que f dmet un mximum locl en A s il existe un voisinge V de A tel que : X V, f(x) f(a) 6. On dit que f dmet un minimum locl en A s il existe un voisinge V de A tel que : X V, f(x) f(a)

60 Anlyse Chpitre 6. Optimistion 6.1 Recherche d extrem locux sur un ouvert 6.1.1 Condition nécessire du premier ordre Théorème 6.1.1 Soit U un ouvert de R n et f : U R une fonction de clsse C 1 sur U. Soit A U. Si f dmet un extremum locl en A, lors f(a) = 0 n. Définition 6.1.2 Soit U un ouvert de R n et f : U R une fonction de clsse C 1 sur U. Soit A U. Si f(a) = 0 n, on dit que A est un point critique de f. Ainsi, pour que f de clsse C 1 sur un ouvert dmette un extremum en un point A de cet ouvert, il est nécessire que ce point soit un point critique. Pr conséquent, l recherche des points critiques fournit (sur un ouvert) les seuls points cndidts à être des extrem locux de f. Attention, l réciproque est fusse : un point peut être un point critique sns que f présente un extremum locl en ce point. Exemples 6.1.3 1. f : (x,y) xy sur R 2. 2. f : (x,y) x 4 +2x 2 +y 2. 3. f : (x,y) x+y sur [0,1] 2 Proposition 6.1.4 Soit f de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, à vleurs dns R, et soit A un point critique de f. Alors pour tout vecteur X unitire, f X (A) = 0. Proposition 6.1.5 Soit f une fonction de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, à vleurs dns R, et C le grphe de f dns R n+1. Alors, si A U est un point critique de f, lors le grphe C présente en (A,f(A)) un hyperpln tngent d éqution x n+1 = f(a). Ce pln est donc prllèle u pln engendré pr (e 1,...,e n ). 6.1.2 Condition suffisnte du deuxième ordre Théorème 6.1.6 Soit U un ouvert de R n et f : U R une fonction de clsse C 2 de U. Soit A U un point critique de f, et soit q A l forme qudrtique ssociée à f u point A, c est-à-dire ssociée à l mtrice symétrique 2 f(a). Alors : 1. Si pour tout X R n \{0 n }, q A (X) < 0, lors f présente un mximum locl en A. 2. Si pour tout X R n \{0 n }, q A (X) > 0, lors f présente un minimum locl en A. 3. Si q A prend des vleurs strictement positives et strictement négtives, lors f ne présente ps d extremum locl u point A. 4. Si q A prend des vleurs positives ou nulles, et qu il existe H 0 n tel que q A (H) = 0, lors on ne peut ps conclure. 5. Si q A prend des vleurs négtives ou nulles, et qu il existe H 0 n tel que q A (H) = 0, lors on ne peut ps conclure. Rppel : Le signe de q A peut être étudié à l ide des vleurs propres de l mtrice symétrique ssociée à q A, c est-à-dire les vleurs propres de l hessienne 2 f(a).

6.1 Recherche d extrem locux sur un ouvert 61 Corollire 6.1.7 Soit U un ouvert de R n et f : U R une fonction de clsse C 2 de U. Soit A U un point critique de f. Alors : 1. Si les vleurs propres de 2 f(a) sont strictement négtives, lors f présente un mximum locl en A. 2. Si les vleurs propres de 2 f(a) sont strictement positives, lors f présente un minimum locl en A. 3. Si 2 f(a) dmet u moins une vleur propre strictement positive et une vleur propre strictement négtive, lors f ne présente ps d extremum locl u point A. 4. Si les vleurs propres de 2 f(a) sont positives et que 0 est vleur propre de 2 f(a), lors on ne peut ps conclure. 5. Si les vleurs propres de 2 f(a) sont négtives et que 0 est vleur propre de 2 f(a), lors on ne peut ps conclure. Exemple 6.1.8 1. (x,y) e xy 2. (x,y) x 2 +2xy +2y 2 +y 3. (x,y) x 2 y 4. (x,y) x 2 y 2 Théorème 6.1.9 (Cs des fonctions de deux vribles) Soit U un ouvert de R 2, f : U R une fonction de clsse C 2 sur U, et A U un point critique de f. Soit, conformément ux nottions de Monge : r = 2 f x 2(A), s = 2 f x y (A) et t = 2 f y 2(A). 1. Si rt s 2 > 0, f dmet un extremum locl en A et : si r < 0, il s git d un mximum locl si r > 0, il s git d un minimum locl. 2. Si rt s 2 < 0, f n dmet ps d extremum locl en A. On dit que l courbe de f présente un col ou un point-selle u point A. 3. Si rt s 2 = 0, on ne peut ps conclure. Exemples 6.1.10 1. f : (x,y) 2x 2 +2xy + y2 2 2. g : (x,y) 2x 2 +2xy + y2 2 x4. 6.1.3 Digonlisbilité des endomorphismes symétriques L étude des points critiques de l fonction ϕ : X d obtenir : t XAX X 2 définie sur l ouvert R n \{0 n } permet Théorème 6.1.11 Soit A une mtrice symétrique réelle. Alors A dmet u moins une vleur propre réelle. C est ce théorème qui étit à l bse de l démonstrtion de l digonlisbilité des mtrices symétriques.

62 Anlyse Chpitre 6. Optimistion 6.2 Recherche d extrem globux 6.2.1 Existence d un mximum et/ou d un minimum L preuve de l existence d un mximum et/ou d un minimum d une fonction f définie sur un domine D de R n se rmène très souvent à l étude d une restriction ou d un prolongement de f à un sous-ensemble fermé borné de R n, cr, comme nous l vons déjà vu, sur un sous-ensemble fermé borné, on une propriété d existence de ce mximum et de ce mximum, si f est continue : Théorème 6.2.1 Soit f : D R une fonction continue sur un domine D de R n, supposé fermé et borné. Alors f est bornée sur D et tteint ses bornes (donc dmet un mximum et un minimum). Ainsi, dns le cs où D est un domine quelconque (non nécessirement fermé borné), on peut énoncer divers critères d existence, en se rmennt à cette sitution : Corollire 6.2.2 Soit f : D R une fonction continue sur un domine D de R n. S il existe un sous-ensemble F de R n tel que : F D F est fermé et borné X 0 F, X D\F, f(x) f(x 0 ) lors f dmet un mximum globl sur D. On énonce de même pour le minimum Corollire 6.2.3 Soit f : D R une fonction continue sur un domine D de R n. S il existe un sous-ensemble F de R n tel que : F D F est fermé et borné X 0 F, X D\F, f(x) f(x 0 ) lors f dmet un minimum globl sur D. Ces deux résultts sont obtenus en considérnt une restriction de f à un sous-ensemble fermé borné F. L troisième hypothèse est une vérifiction du fit que le mximum (ou minimum) trouvé sur F est ussi un mximum (ou minimum) sur D tout entier. Exemple 6.2.4 Prouver l existence du mximum et du minimum de l fonction f définie sur R 2 pr : (x,y) R 2 sinx, f(x,y) = (x 1) 2 +y 2 +1. On peut ussi prfois se rmener à un domine fermé borné pr prolongement (pr exemple un prolongement pr continuité u bord d un domine ouvert, ou prtiellement ouvert, et borné). On obtient : Corollire 6.2.5 Soit f : D R une fonction continue sur un domine D de R n. S il existe un sous-ensemble F de R n tel que : D F F est fermé et borné

6.2 Recherche d extrem globux 63 f se prolonge en une fonction g continue sur F X 0 D, X F \D, g(x) g(x 0 ) = f(x 0 ) lors f dmet un mximum globl sur D. Corollire 6.2.6 Soit f : D R une fonction continue sur un domine D de R n. S il existe un sous-ensemble F de R n tel que : D F F est fermé et borné f se prolonge en une fonction g continue sur F X 0 D, X F \D, g(x) g(x 0 ) = f(x 0 ) lors f dmet un minimum globl sur D. Ici, l qutrième hypothèse est l vérifiction que les points qu on rjoutés (ceux qui sont dns F \D) ne peuvent ps correspondre u mximum (ou minimum) trouvé sur F (ou, s il s git d un mximum, le même mximum est tteint sur D en X 0 ). Exemple 6.2.7 Montrer que l fonction définie sur B(0,2) (boule ouverte) pr (x,y) R 2, f(x,y) = x x 2 +y 2 +1 dmet un mximum globl et un minimum globl sur B(0,2). Remrque 6.2.8 Pour montrer qu une fonction f n dmet ps de mximum sur un domine D, il suffit de trouver une prmétristion (u 1 (t),...,u n (t)) définie pour t ],b[, (intervlle borné ou non) tel que t ],b[, (u 1 (t),...,u n (t)) D, et lim t b ou f(u 1(t),...,u n (t)) = +. De même pour montrer qu une fonction n dmet ps de minimum. On peut ussi utiliser des suites ; pr exemple, dns le cs d une fonction de deux vribles définie sur un domine D de R 2, pour justifier que f n dmet ps de mximum, il suffit de trouver deux suites (u n ) et (v n ) (non nécessirement convergentes) telles que pour tout n N, (u n,v n ) D, et lim f(u n,v n ) = +. n + Exemple 6.2.9 f définie sur D = B(0,1)\{(x,y) B(0,1) x = y} pr f(x,y) = xy x+y. Cette fonction n dmet ps de mximum ni de minimum surd, cr pour toutt ]0, 1 2 [,(t, t+t3 ) D, et (t, t t 3 ) D, et f(t, t+t 3 ) = t( t+t3 ) t 3 0 1 t donc: limf(t, t+t 3 ) =, t 0 et de même, f(t, t t 3 ) = t( t t3 ) 1 t 3 0 t donc: limf(t, t t 3 ) = +, t 0

64 Anlyse Chpitre 6. Optimistion 6.2.2 Recherche des extrem globux Démrche générle : Démontrer l existence ou l non existence du mximum et/ou du minimum pr les rguments vus dns l section précédente En cs d existence du mximum et/ou du minimum : Décomposer le domine D de R n comme union d un ouvert U et de sous-ensembles fermés F i de «dimension» plus petite que n, c est-à-dire prmétrble à l ide d u plus n 1 vribles. Typiquement, un domine ser décomposé en son «intérieur» et ses bords. Rechercher les points critiques sur U, seuls cndidts pour les extrem, et clculer l vleur de f en ces extrem Recommencer l étude sur chcun des F i : les F i étnt prmétrbles pr strictement moins de vribles, le même rgument v permettre de se rmener petit à petit à l étude de fonctions d une vrible, pour lesquels une étude des vritions donne le résultt. On obtient donc insi les extrem sur chque ouvert F i On compre toutes les vleurs obtenues pour les extrem sur chcun des F i et les vleurs ux points critiques de U. L plus grnde de ces vleurs fournir le mximum (si on sit qu il existe) et l plus petite le minimum (ussi sous réserve d existence) Remrquez que pour que cette démrche soit vlide, il fut voir prouver l existence du minimum ou du mximum vnt, sinon, on n est ps ssuré que l vleur trouvée soit effectivement un minimum ou un mximum. Exemple 6.2.10 Recherche des extrem globux de f définie sur [0,1] 2 pr f(x,y) = x 3 4y 3 +xy. Remrque 6.2.11 Si f est définie et de clsse C 1 sur un ouvert, l première étpe est prfois inutile : si l fonction f n dmet ps de point critique sur U, on peut conclure directement que f n dmet ni mximum ni minimum. Il peut donc être intéressnt de déterminer d bord les points critiques, schnt que le fit de trouver des points critiques n est en revnche ps suffisnt pour ffirmer l existence d un minimum ou d un mximum : si on trouve des points critiques, il fut revenir à l étpe 1, pour justifier l existence ou non, prmis ces points critiques, d un mximum ou d un minimum. 6.2.3 Quelques cs prticuliers Cs d une fonction f composée à l rrivée pr une fonction g de R dns R Proposition 6.2.12 Soit f une fonction définie sur un domine D de R n et à vleurs dns un sous-ensemble E de R. Soit g une fonction de E dns R. On définit l fonction F sur D pr F = g f, c est à dire : (x 1,...,x n ) D, F(x 1,...,x n ) = g(f(x 1,...,x n ). Alors, si g dmet un mximum globl en t 0 E, et si t 0 Im(f), lors F dmet un mximum globl en tout point (x 1,...,x n ) tel que f(x 0,...,x n ) = t 0. Plus précisément, si T est l ensemble des points de R en lesquels g tteint son mximum, et si T Im(f), lors les points en lesquels F dmet un mximum sont exctement les points de f 1 (T).

6.2 Recherche d extrem globux 65 Exemples 6.2.13 (x,y) xye xy sur R 2. Existence d un mximum, et ensemble des points en lesquels ce mximum est tteint Non existence d un minimum. Cs d une fonction dépendnt uniquement de X. Exemple : (x,y,z) (x2 +y 2 +z 2 )e 1 x2 y 2 z 2 1+x 2 +y 2 +z 2 Cs d une fonction polynomile de degré 2. Des mises sous formes cnoniques successives suivnt chcune des vribles successivement permet de déterminer ssez fcilement l existence ou non d un mximum ou minimum, et en cs d existence, l vleur et le point en lequel ce mximum ou minimum est tteint. Exemples 6.2.14 (x,y,z) x 2 2xy +2y 2 4xz 4yz +8z 2 (x,y) 2x 2 4xy +5y 2 +2x 5y +2 Cs d une fonction de hessienne «positive» Nous entendons pr là le fit que les vleurs propres de l hessienne en un point A sont positives (éventuellement strictement). Cel équivut à l positivité (ou stricte positivité suf en 0) de l forme qudrtique ssociée q A. Nous vons déjà vu que si A est un point critique de f (sur un ouvert), l stricte positivité de q A est une condition suffisnte d obtention d un minimum locl en A. Si cette propriété de positivité est vérifiée non seulement en A, mis ussi en tout point B d un ensemble convexe, nous nous retrouvons vec une propriété équivlente, dns le cs d une seule vrible, à l condition de convexité, et nous obtenons une condition suffisnte pour qu un point critique soit un minimum globl : Proposition 6.2.15 1. Soit U un sous-ensemble ouvert et convexe de R n (c est-à-dire tel que pour tout B et tout C de U, le segment [B,C] est inclus dns U). Soit f une fonction de clsse C 2 de U dns R, et A U un point critique de f. On suppose de plus que pour tout B U, l forme qudrtique q B ssociée à f en ce point est positive ( i.e. l hessienne n que des vleurs propres positives). Alors f présente u point A un minimum globl. 2. Si de plus, pour tout B U, les vleurs propres de 2 f(b) sont strictement positives, lors f n tteint son minimum qu u point A. Cette proposition n est ps u progrmme. L démonstrtion, utilisnt l formule de Tylor-Lgrnge, doit être refite à chque fois Remrque 6.2.16 L propriété de convexité de U est un peu plus forte que nécessire. Il suffit que U soit étoilé pr rpport u point critique A, c est-à-dire (A étnt fixé égl u point critique) que pour tout B U, [A,B] U.

66 Anlyse Chpitre 6. Optimistion 6.2.4 Recherche de l position du grphe pr rpport à l hyperpln tngent Étude locle On trouve l éqution de l hyperpln tngent en A, soit pr un développement limité à l ordre 1, soit en utilisnt le grdient, l éqution étnt x n+1 = f(a)+ f(a),x A, où X = (x 1,...,x n ). Ces deux méthodes sont équivlentes, insi que l exprime l formule de Tylor-Young à l ordre 1. L position locle du grphe pr rpport à l hyperpln tngent peut lors être obtenue en étudint le signe du terme d ordre 2 dns le développement limité à l ordre 2, ce qui équivut, d près l formule de Tylor-Young à l ordre 2, à l étude du signe de q A, donc des vleurs propres de l hessienne u point A. Exemples 6.2.17 (x,y) e xcosy u point (0,0). (x,y) 1 xy u point (0,0). Étude globle Prouver que l hyperpln d éqution x n+1 = 1 x 1 + + n x n + b, tngent à l courbe de f u point A, est en-dessous de l courbe en tout point de D, revient à prouver que l fonction (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) ( 1 x 1 + + n x n +b) dmet un minimum globl en A (égl à 0). On est donc rmené ux techniques d étude des extrem globux. En prticulier, on obtient (démonstrtion à refire à chque fois) : Proposition 6.2.18 Soit U un ouvert convexe de R n, et A U. Si l hessienne en tout point B de U n que des vleurs propres (strictement) positives sur U, lors l courbe de f reste (strictement suf en A) u dessus de l hyperpln tngent en A. Évidemment, vous vez reconnu l nlogue du théorème positionnnt l courbe pr rpport ux droites tngentes dns le cs d une fonction convexe d une vrible. 6.3 Recherche d extrem sous contrinte 6.3.1 Notion d extremum sous contrinte Définition 6.3.1 Soit D un sous-ensemble de R n et f une fonction de D dns R. Soit C un sous-ensemble de R n tel que C D. On dit que f dmet un extremum locl (resp. globl) sous l contrinte C u point A C D, si et seulement si l restriction f C D dmet un extremum locl (resp. globl) u point A. Exemple 6.3.2 f : (x,y) xe x y, contrinte C = {(x,y) R 2, y = x 2 }

6.3 Recherche d extrem sous contrinte 67 Ainsi, pr une prmétristion de l ensemble C, on est souvent rmené à une étude des extrem (sns contrinte) d une fonction de moins de vribles. Dns le cs prticulier où l contrinte C est un sous-espce ffine (c est-à-dire le trnslté d un sous-espce vectoriel de R n, ou encore l intersection d un certin nombre d hyperplns ffines), nous disposons de techniques prticulières. Dns les cs les plus simples, ces techniques ne sont ps plus efficces que l utilistion d une prmétristion (pour le cs d une contrinte égle à une droite pr exemple). Mis dns certins cs un peu plus complexes (bstrits ou générux), ces techniques peuvent s vérer utiles. Définition 6.3.3 On dit qu une contrinte C R n est linéire si et seulement si elle peut s écrire comme intersection d un nombre fini p d hyperplns ffines. Ainsi, une contrinte linéire C ser déterminée pr un certin nombre d équtions : g 1 (X) = b 1 C :. g p (X) = b n, où, pour tout i [1,p], g i s écrit sous l forme : g i (X) = i,1 x 1 + + i,n x n. Ainsi, l éqution g i (X) = b i est l éqution d un hyperpln ffine. Nottion 6.3.4 Soit C une contrinte linéire, déterminer pr les p équtions ci-dessus. On note H l ensemble des solutions du système homogène ssocié : g 1 (X) = 0 H :. g p (X) = 0, Ainsi, H est l unique sous-espce vectoriel de R n prllèle à C. 6.3.2 Points critiques sous contrinte linéire Proposition 6.3.5 Soit f une fonction de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, et C une contrinte linéire. Si f dmet un extremum locl sous l contrinte C en A C U, lors : H H, f H(A) = 0 soit: f(a),h = 0. Corollire 6.3.6 Soit f une fonction de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, et C une contrinte linéire. Si f dmet un extremum locl sous l contrinte C en A C U, lors : f(a) H. Définition 6.3.7 Soit f une fonction de clsse C 1 sur un ouvert U de R n, et C une contrinte linéire. On dit que A U C est un point critique de f sous l contrinte C si f(a) H. Ainsi, le fit que A est un point critique sous l contrinte C est une condition nécessire pour que f présente en A en extremum locl sous l contrinte C. Exemple 6.3.8 Déterminer les points critiques de f : (x,y) 3x 2 2xy +y 2 sou l contrinte C : y = 2x+1.

68 Anlyse Chpitre 6. Optimistion 6.3.3 Description de H L pprtennce à H définissnt l notion de point critique, il peut être intéressnt d voir une description fcile à déterminer et à utiliser de H. On peut trouver une telle description à l ide des fonctions g i. Proposition 6.3.9 Soit g définissnt l éqution d un hyperpln, donc une fonction polynomile homogène de degré 1, c est-à-dire une fonction dmettnt une description de l forme suivnte : X = (x 1,...,x n ) R n, g(x) = 1 x 1 + + n x n. Alors g est de clsse C 1 sur R n, et pour tout B R n, 1 g(b) =.. Ainsi, le grdient de g est constnt. On noter lors simplement g u lieu de g(a). n Proposition 6.3.10 Soit C une contrinte définie pr une seule éqution g(x) = b. Alors Plus générlement : H = Vect( g). Proposition 6.3.11 Soit C l contrinte linéire définie pr les fonctions g 1,...,g p et les réels b 1,...,b p, et H l espce vectoriel ssocié. Alors : H = Vect( g 1,..., g p ). Corollire 6.3.12 Soit U un ouvert de R n. Soit f une fonction de U dns R. Soit C une contrinte définie pr les équtions g i (X) = b i, i [1,p]. Alors un point A U C est un point critique de f sous l contrinte C si et seulement s il existe des réels λ 1,...,λ p tels que f(a) = λ 1 g 1 + +λ p g p. 6.3.4 Recherche des extrem sous contrinte linéire Pour déterminer si un point critique est un mximum (ou minimum) locl ou globl, sns psser pr une prmétristion de C, il suffit d étudier le signe de f(a+h) f(a), H H loclement (u voisinge de 0) ou globlement. Aucun résultt «tout fit» n est u progrmme. Les techniques utilisées sns contrinte peuvent s dpter. À étudier u cs pr cs, vec démonstrtion. Pr exemple : Si q A est strictement positive, ps nécessirement sur R n \{0}, mis sur H\{0}, l formule de Tylor-Young permet d obtenir l existence d un minimum locl en A sous l contrinte C. De même en cs de négtivité. Si U est convexe, il suffit que q B soit positive sur H en tout point B de U C pour que f dmette un minimum globl en A sous l contrinte C. Utilisez l formule de Tylor-Lgrnge pour le démontrer.