Sites A Sites mériqes Notio de site Défiitio : Ue site est e foctio qi à tot etier atrel associe ombre réel, oté ( o tel qe : : a La site se ote o avec des parethèses ( Le terme iitial de la site est o p qad la site commece à partir de l'idice p Notatios et vocablaire : o ( est le terme gééral de la site : c est le terme de rag Attetio à l écritre idicielle : + alors qe + Mode de géératio d e site est le + est la somme d ième terme et de ième terme c'est-à-dire le terme qi sit Défiitio : Ue site pet être défiie par procédé aléatoire, par e formle o par algorithme : Formle explicite : Por tot, f ( Le terme gééral est foctio de l idice Formle de récrrece : Por tot, + f ( Le terme gééral est foctio d terme précédet Das ce cas il fat idiqer le terme iitial 3 Algorithme : Por tot, l algorithme revoie réel à partir d etier atrel Exemples : Soit f la foctio défiie sr R par : f ( x x + 5, o pet li associer dex sites : La site telle qe por tot etier par : + 5 La site est alors défiie par e formle explicite, o pet calcler directemet importe leqel de ces termes comme par exemple : 3 + 5 3 + v + v La site v telle qe por tot etier par : v 5 et La site v est alors défiie par e formle de récrrece, por calcler de ces termes o a besoi de tos les précédets comme par exemple : v 3 v + 5 mais o coaît pas v v v + 5 mais o coaît pas v v v + 5 + 5 v + 5 + 5 v v + 5 3 + 5 O e dédire qe : v 3 Et efi : si est pair La site w telle qe por tot etier par : w 3 + si est impair La site w est alors défiie par algorithme qi permet de calcler directemet importe leqel de ces termes comme par exemple : w 3 7 + o w 8 4 7 8 Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
3 Représetatio graphiqe d e site défiie de faço explicite Soit f e foctio défiie sr [ ; + [ et ( la site défiie sr N par : f ( Représeter graphiqemet la site ( cosiste à placer les poits de coordoées ( ; repère Exemple : Soit la site défiie sr N par : + 6 O a doc por tot etier atrel, f ( où f est la foctio défiie sr [ ; + [ 3 par : f ( x x + 6 f ( 6 ; f ( 8 ; f ( f ( 6 Graphiqemet, les termes de la site sot les A ; d'abscisses etières de ordoées des poits ( la corbe C f das 4 Représetatio graphiqe d e site défiie de par récrrece Soit f e foctio défiie sr itervalle I et ( la site défiie sr N par : f ( Représeter graphiqemet la site ( cosiste à placer les poits de coordoées ( ; sivate, das repère O place poit A ( ; pis le poit B C f d abscisse O a alors B ( ; f ( d où B ( ; car f ( 3 O place esite le poit C sr la droite d éqatio 4 O a alors C ( ; car y B et C d éqatio y x 5 O projette le poit 6 O recommece le procédé + et α de la faço y x ayat même ordoée qe B A C sr l axe des abscisses por obteir le poit ( ; Exemple : Soit la site défiie sr N par : + + 6 et O a doc por tot etier, + f ( où f est la foctio défiie sr [ 3 ; + [ par : f ( x x + 6 f ( f ( 4 f ( f ( B C Graphiqemet, ( ; f Por détermier (, l ordoée de O «reporte» doc B ; il fat placer B e abscisse sr l'axe (Ox e tilisat la droite : y x O porsit de même por costrire : B ( ; 3, B 3 ( 3 ; 4 Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
5 Ses de variatio d e site Défiitio : Ue site ( Ue site ( Ue site ( est croissate si et selemet si, por tot etier o a : + o + est décroissate si et selemet si, por tot etier o a : + o + est costate si et selemet si, por tot etier o a : + o + Théorème : Si la site est défiie par e formle explicite f ( o a : Si f est croissate sr [ ; + [ alors ( Si f est décroissate sr [ ; + [ alors la site ( est croissate est décroissate Théorème : Si la site est défiie par e formle de récrrece + f ( et qe f est e foctio croissate sr R alors l ordre des dex premiers termes détermie le ses de variatio de la site tote etière : Si < alors la site ( est croissate Si > alors la site ( est décroissate Jstificatio : Soit f e foctio défiie et croissate sr R et ( récrrece sivate : f ( + Si < f < f car f est croissate sr R Alors ( ( Doc < E porsivat ce processs o obtiet : D où ( est croissate + e site est défiie par la formle de Remarqes : Lorsqe f est décroissate o o mootoe l étde des variatios des sites défiies par la formle de récrrece + f ( deviet pls complexe, de telles sites e serot doc pas étdiées das ce chapitre Exercice : Por tot etier atrel, o cosidère les sites défiies par : v 5 + 3 et v + 3v Por chace de ces sites, calcler les termes de rag, et Etdier les variatios de chace de ces sites Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
B Sites arithmétiqes Défiitio et formles Défiitio : Ue site est arithmétiqe lorsqe, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e ajotat tojors le même ombre a, appelé raiso : Por tot etier : + + a avec doé Cette formle est la formle de récrrece de la site A l aide s schéma ci-desss o pet dédire la formle explicite d terme gééral e foctio de : Por tot etier : + a Propriété : Pls gééralemet, la formle explicite d terme gééral e foctio de est : Por etier atrel k qelcoqe et por tot etier o a : + ( k a Recoaissace de la atre Propriété : Propriété : Ue site ( est arithmétiqe de raiso a si et selemet si : Por tot etier o a : Si e site ( La site ( + a k est arithmétiqe de raiso a alors por tot etier : + a f ( + est liée à la foctio affie f ( x ax + b avec b doc sa représetatio graphiqe est e série de poits sités sr la droite d éqatio y ax + b 3 Ses de variatio Propriété : est e site arithmétiqe de raiso a ( Si > Si < Si a, ( a, ( a, ( est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Démostratio : e site est arithmétiqe de raiso a Soit ( Alors por tot etier : + + a Doc por tot etier : a + D où la variatio de la site ( déped d sige de la raiso a Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
C Sites géométriqes Défiitio et formles Défiitio : Ue site est géométriqe lorsqe, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e mltipliat tojors par le même ombre q, appelé raiso : Por tot etier : + q avec doé Cette formle est la formle de récrrece de la site A l aide s schéma ci-desss o pet dédire la formle explicite d terme gééral e foctio de : Por tot etier : q Propriété : Pls gééralemet, la formle explicite d terme gééral e foctio de est : k Por etier atrel k qelcoqe et por tot etier o a : q Recoaissace de la atre Propriété : Ue site ( est arithmétiqe de raiso q si et selemet si : Por tot etier o a : 3 Ses de variatio + q Propriétés :, est e site géométriqe de raiso q et de terme iitial positif ( Si > q, ( < q, ( q o si q, ( Si < Si est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Remarqe : E ère ES o étdie qe des sites géométriqes à termes positifs, c'est-à-dire : > et q > Démostratio : e site est géométriqe de raiso q Soit ( Alors por tot etier : + q q q ( Or et q > > D où la variatio de la site ( + q déped d sige de la raiso q O e dédit les coclsios de la propriété précédete k Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
D Etde d évoltios Modélisatio par e site Défiitio : O cosidère e grader dot o coaît les valers positives à itervalle de temps réglier Elles formet e site fiie : o parle de série chroologiqe Dex calcls simples sot possibles etre dex valers a temps et a temps + : o exprime l évoltio de la grader soit par différece, soit par le tax de variatio Lorsqe les variatios absoles sot «qasimet» costates, o pet modéliser la grader par e site arithmétiqe : La croissace est liéaire Les poits représetat cette grader sot presqe aligés Lorsqe les variatios relatives sot «qasimet» costates, o pet modéliser la grader par e site géométriqe : La croissace est expoetielle Les poits sot proches d'e «corbe» motat de pls e pls o descedat e s'amortissat Applicatio : les placemets Placemet à itérêts simples : U capital iitial C placé à itérêts simples a tax ael de t % drat aées Chaqe aée, le capital agmete d même motat correspodat à t % d capital C placé t O a alors por tot etier k : Ck + Ck + C Le capital acqis a bot de aées sit doc e site arithmétiqe de raiso le motat des t itérêts C t t D où le capital acqis a bot de aées : C C + C C + Placemet à itérêts composés : U capital iitial C placé à itérêts composés a tax ael de t % drat aées Chaqe aée, le capital agmete d' motat égal ax itérêts correspodat à t % d capital acqis à la fi de I'aée précédete : t O a alors por tot etier k : Ck + Ck + Le capital acqis a bot de aées sit doc e site géométriqe de raiso le coefficiets t mltiplicater d tax d évoltio e porcetage : + D où le capital acqis a bot de aées : C t + C Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice : Calcler les trois premiers termes des sites sivates : + et 3 4 + + + 45, 8 5, + 9 et 6 et 7 +, 8 + + et 3 Exercice 3 : Ue foctio f est représetée ci-dessos O cosidère les sites défiies par por tot etier par : + f ( et v f ( Doer, par lectre graphiqe, les 6 premiers termes des sites ( et ( Exercice 4 : Por chac des cas sivats : a Ecrire e relatio de récrrece b Préciser le terme iitial et calcler les trois termes sivats c Cojectrer le ses de variatio de la site e tilisat des argmets liés a cotexte La site ( est telle qe, à partir de 7, chaqe terme est égal a précédet agmeté de 6% Soit la site ( v de terme iitial et telle qe chaqe terme est égal a précédet dimié d ciqième w le terme iitial est et chaqe terme est égal à la somme de 5 et d terme 3 Por ( précédet 4 Chaqe aée, e poplatio agmete de 5% d fait de l'accroissemet atrel et dimie de habitats d fait de l émigratio La poplatio est de 3 habitats a départ 5 Ue poplatio de habitats dimie chaqe aée de 6% d fait de l émigratio, et agmete de 4 habitats, d fait de l'immigratio et de l'accroissemet atrel v Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice 5 : Etdier les variatios des sites ( 4 + 3 Exercice 6 : + Soit la foctio f défiie sr [ ; + [ f ( à l aide d sige de la différece : 4 + 5, 9 6 par : ( x x + 3x + 4 +, 9 f et la site ( défiie sr N par Calcler la dérivée f ' de f et motrer qe la foctio f est croissate sr [ ; + [ E tilisat le ses de variatio de f, doer les variatios de la site ( Exercice 7 : E étdiat les variatios de foctios «bie» choisies, étdier les variatios des sites défiies + sr N par : v 3 4 + 5 et w + 3 Exercice 8 : O place capital de sr pla d éparge à 4% ael, c est-à-dire q'à la fi de chaqe aée, le capital placé est agmeté d'itérêts qi sot égax à 4% d capital placé e débt d'aée Le derier jor de chaqe aée, o effecte e pls versemet spplémetaire de Por tot etier, o ote C le capital a bot de aées, e eros Aisi : 4 C et C + + 4 Calcler C et C 3 Ecrire e relatio de récrrece défiissat la site de capitax ( C 3 Jstifier qe la site ( C est croissate 4 A l'aide de la calclatrice, détermier a bot de combie d'aées le capital a doblé par rapport à sa valer iitiale Exercice 9 : Le tablea ci-dessos doe les tax d éqipemets des méages e voitre e Frace métropolitaie : 95 + O estime q'e 96 +, ce tax d éqipemet pet être approché par : + Sivat ce modèle, estimer les tax d éqipemet e 969, 98, 99, et 7 et les comparer ax tax réels 95x + Soit f la foctio défiie sr [ ; + [ par : f ( x x + ; + a Etdier les variatios de f sr [ [ b E dédire le ses de variatio de la site ( Iterpréter le résltat Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice : Les sites sivates, doées par le terme iitial et e formle de récrrece sot-elles arithmétiqes? Si oi préciser la raiso et les variatios + et v v 4 et v + + + w 3 w et w 3 Exercice : Les sites sivates, doées par le terme gééral, recoaître les sites arithmétiqes Préciser alors le terme iitial, la raiso et les variatios + 4 + 3 3 Exercice : + 3 La site ( est arithmétiqe de raiso a Exprimer le terme gééral 3 et a 4 et a, 3 5 et 45 4 5 4 3 + 6 ( ( e foctio de et doer les variatios de ( 4 et 7 5 et Exercice 3 : La prodctio d' prodit agmete réglièremet de,86 toes par a E, elle était de 5 toes O ote P la prodctio, e toes, e + Exprimer P + e foctio de P E dédire P e foctio de 3 Calcler la prodctio e 5 4 A partir de qelle aée la prodctio a-t-elle doblé? Exercice 4 : Por l'achat d' logiciel, le veder propose cotrat d'assistace de dex as maximm, compreat l'istallatio à domicile et coseiller joigable par téléphoe por le premier mois, pis,6 de mois par rapport a mois précédet, et aisi de site O ote M la mesalité e eros a ième mois Calcler M et M Exprimer M + e foctio de M 3 E dédire M e foctio de 4 Calcler la mesalité d e mois 5 L acheter sohaite détermier qelle somme il paiera a total por ce cotrat d'assistace Por cela, o pet calcler de proche e proche chaqe mesalité, e les ajotat a fr et à mesre Ecrire das votre calclatrice programmer qi doe la somme qe paiera a total l'acheter por ce cotrat de dex as d'assistace Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice 5 : Les sites sivates, doées par le terme gééral, recoaître les sites géométriqes Préciser alors le terme iitial, la raiso et les variatios 3 4 3,,3 3 4 + 3 Exercice 6 : Exprimer le terme gééral et +, 9 3 et, + 5 3 5 et, 5 Exercice 7 : La site ( + 5 e foctio de et doer les variatios de ( est géométriqe de raiso q > Exprimer le terme gééral 3 et q 4 5 et 45 e foctio de et doer les variatios de ( 3, et 3 8 4 37, 5 et 5 3 Exercice 8 : Le prix d' appareil électroiqe dimie chaqe aée de 8% A départ, le prix était de O ote O ote P le prix e eros à la ième aée Exprimer P + e foctio de P E dédire P e foctio de 3 Calcler le prix a bot de 5 as, à l'ero près Exercice 9 : Ue poplatio de bactéries, iitialemet de bactéries, agmete de moitié totes les heres O ote N le ombre de bactéries a bot de heres Exprimer N + e foctio de N E dédire l expressio de N e foctio de 3 Etdier le ses de variatio de ( N 4 Combie y a-t-il de bactéries a bot de 8 h? 5 A bot de combie d'heres la poplatio est-elle a mois mltipliée par? Exercice : La loi de Moore E 975, Gordo Moore émet l'hypothèse qe le ombre de trasistors des microprocessers doble tos les dex as, cette hypothèse est appelée loi de Moore Por etier, o ote N le ombre de trasistors das microprocesser à l'aée 975 + Exprimer N + e foctio de N E dédire l expressio de N e foctio de 3 E 975, il y avait eviro trasistors par processer E sivat la loi de Moore, combie y e avait-il e 5? Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice : A so embache le salaire ael de Laret est de 3eros So employer li propose dex choix d'évoltio de salaire: Premier choix : le salaire ael de Laret agmete de eros chaqe aée Dexième choix: le salaire ael agmete de,9% chaqe aée Por, o appelle le salaire de sa ième aée de travail das l'etreprise s'il choisit la première évoltio et v le salaire s'il choisit la dexième évoltio Determier,, v et v Por chace des dex sites ( et ( v, détermier ler atre Préciser la raiso et le premier terme Laret predra sa retraite à la fi de sa 6e aée das l'etreprise 3 Qel sera so salaire ael lors de sa derière aée avec chace des dex évoltios? 4 Qelle évoltio semble la pls favorable? 5 Créer programme calclat le motat total des salaires reç par Laret depis so embache jsq'à sa retraite s'il choisit la première évoltio salariale Qel est ce motat? 6 Repredre la qestio précédete e cosidérat cette fois la dexième évoltio salariale 7 Répodre à ovea à la qestio 4 Exercice : L'évoltio de la poplatio selo Thomas Malths Thomas Malths (766 834 a émis e hypothèse stiplat qe l'évoltio de la poplatio sit e loi géométriqe alors qe la prodctio agricole sit e loi arithmétiqe U pays comporte d'habitats e l'a, chaqe aée sa poplatio agmete de 5% Soit P, la poplatio d pays aées pls tard a Exprimer P + e foctio de P b E dédire P e foctio de Le même pays était capable de faire vivre 5 habitats e et chaqe aée sa prodctio li permet d'e faire vivre de pls Soit H le ombre d'habitats qe le pays est capable de faire vivre aées pls tard a Exprimer H + e foctio de H b E dédire H e foctio de 3 Créer programme permettat de savoir qad la prodctio d pays e sera pls sffisate por orrir sa poplatio Exercice 3 : L aée de référece, le chiffre d'affaires d'e TPE (Très Petite Etreprise est de 5 et le bééfice de 3 Chaqe aée, le chiffre d'affaires agmete de 5% et le bééfice agmete de 6,5% O ote C, le chiffre d'affaires l'aée et B le bééfice la même aée Exprimer C + e foctio de C et B + e foctio de B E dédire C et B e foctio de 3 Por les trois premières aées, calcler la part qe représete le bééfice par rapport a chiffre d'affaires 4 Jstifier qe la site de cette part est e site géométriqe dot o précisera la raiso Qel est so ses de variatio? 5 Calcler la part qe représete le bééfice par rapport a chiffre d'affaires a bot de dix as Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice 4 : Armel et Morgae sot embachés das e etreprise le er javier à des coditios différetes Armel commece avec salaire mesel et de et Morgae avec salaire mesel et de O sohaite étdier l évoltio de lers salaires O ote A le salaire mesel d Armel a er javier de l'aée + et M celi de Morgae, e eros Aisi A et M A er javier de chaqe aée, le salaire mesel d Armel agmete de % a Calcler A et A b Exprimer A + e foctio de A c E dédire A e foctio de d Calcler le salaire mesel d Armel e 5 A er javier de chaqe aée, le salaire mesel d Armel agmete de 5 a Calcler M et M b Exprimer M + e foctio de M c E dédire M e foctio de d Calcler le salaire mesel de Morgae e 5 3 Ecrire des programmes sr votre calclatrice qi permettet de détermier : a A partir de qelle aée le salaire mesel d Armel dépassera-t-il celi de Morgae? b A partir de qelle aée le salaire cmlé d Armel depis est-il spérier à celi de Morgae? Exercice 5 : Por stocker des fichiers photos das appareil mériqe o sr disqe dr d ordiater, o tilise des algorithmes de compressio U fichier compressé pred mois de place e mémoire, mais sa qalité est égalemet mois boe Le tablea ci-dessos doe la taille (e milliers d octets o Ko d' fichier e foctio d ivea de compressio por les ciq premiers iveax La taille iitiale d fichier est de 689 Ko et correspod à ivea de compressio De qel porcetage la taille d fichier a-t-elle dimié après e compressio de ivea? Doer le résltat e porcetage arrodi à, près Calcler de même les porcetages de dimitio de la taille d fichier etre les iveax et, pis et 3 et aisi de site Qe costate-t-o? 3 Il a été décidé d'approcher la taille d fichier après e compressio de ivea par le ombre T vérifiat la relatio : T +, 786 T T Jstifier cette formle 4 Qelle est la atre de la site ( avec 689 T? 5 E dédire l'expressio de T e foctio de 6 Calcler les valers exactes de T et T et les comparer ax tailles réelles 7 A l'aide de la calclatrice, détermier le ivea miimal de compressio q'il fadrait tiliser por qe le fichier compressé soit iférier à 4 Ko Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao
Exercice 6 : Les éphars de Lewis Carrol A pays de Lewis Carrol, les éphars posset e doblat chaqe jor ler srface U mati, éphar éclot a cetre d' étag circlaire de rayo m ; le éphar mesre alors cm de rayo Exprimer, e m, la srface S, d éphar a bot de jors e foctio de l etier O sohaite détermier a bot de combie de jors le éphar ara recovert la moitié de l'étag Ecrire programmer sr votre calclatrice, qi permette de résodre le problème 3 O sohaite maiteat détermier a bot de combie de jors le éphar ara recovert la totalité de l étag Trasformer l'algorithme de la qestio précédete et résodre ce problème 4 Motrer qe le rayo R d éphar (e m, après jors, est le terme gééral d'e site géométriqe dot o précisera les élémets caractéristiqes Exercice 7 : Soit la site défiie por tot etier par : 4 + 5 O admet qe por tot etier o a : et Calcler les termes et La site est-elle arithmétiqe? géométriqe? 4 3 Soit f la foctio défiie sr I R/{ } par : f ( x 5 x a Calcler la dérivée f ' de f b E dédire les variatios de f sr I c Dresser le tablea de variatios de f d E dédire est croissate 4 4 O défiit sr N la site v par : v a Calcler les termes v, v et v b Exprimer v + e foctio de c E dédire v + e foctio de v et e dédire qe la site est géométriqe d Exprimer v e foctio de e E dédire e foctio de Lycée Fraçais de DOHA Aée ère ES M Evao