LES SUITES 3 I Généralités 3 1.1 Définitions 3 Exemple : 3 1. Différentes façons de définir une suite 3 a ) Par une formule explicite 3 3 3 b ) Par récurrence 4 ex 4 II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique 4.1 Représentation graphique (n ;u n ) 4 III Sens de variation d une suite 4 IV Les types classiques de suites 5 4.1 La suite arithmétique 5 Exemple 5 A) Définition par la formule récurrente 5 B) Définition par la formule explicite 5 5 C) Représentation graphique d une suite arithmétique 6 D) Somme des termes consécutifs 6 Ex 6 4. La suite géométriques 7 Exemple 7 A) Définition par la formule récurrente : 7 7 B) Définition par la formule explicite 7 8 C) Représentation graphique d une suite géométrique 8 D) Somme des termes consécutifs 8 8 4. 3 Les suites quelconques 8 8
LES SUITES Activité préparatoire Dans une ferme au 01/01/010 ; on comptait lapins et 600 poules. On sait que la population des lapins double chaque mois et que celle des poulets augmente de 00 chaque mois. On note p 0 la population des poulets au 01/01/10 (donc l indice 0 représente janvier) ; p 1 la population des poulets au 01/0/10 (donc l indice 1 représente février) ; p la population des poulets au 01/03/10. De même l 0 la population des lapins au 01/01/10 (donc l indice 0 représente janvier) ; l 1 la population des lapins au 01/0/10 (donc l indice 1 représente février) ; l la population des lapins au 01/03/10 1) Compléter le tableau suivant Indice n 0 1 3 4 5 6 7 8 l p ) Quelle opération mathématique fait on pour passer de l 0 à l 1 ; de l 1 à l ; de l à l 3 ;..l n à l n+1 Conclure en donnant l expression de l n+1 en fonction de l n. Cette expression permet un calcul de proche en proche. 3) Quelle opération mathématique fait on pour passer de p 0 à p 1 ; de p 1 à p ; de p à p 3 ;..p n à p n+1 Conclure en donnant l expression de p n+1 en fonction de p n Cette expression permet un calcul de proche en proche. 4) A) Que vaut l1 l l3 l4 ln+ 1,,,,...,, l l l l l 0 1 3 B) Compléter les formules suivantes : l l l1 = = l0 l1... l3 l3 = = l0 l...... l4 = l0............ n C) en vous inspirant de B) Donner une méthode pour calculer directement l 1 5) A) Que vaut p 1 -p 0, p -p 1, p 3 -p, p 4 -p 3,., p n+1 -p n, B) en vous inspirant de A) et de ce qui a été fait précédemment ; compléter p -p 0 = p 3 -p 0 = p 4 -p 0 = C) en vous inspirant de B) Donner une méthode pour calculer directement p 1
Les Suites I Généralités 1.1 Définitions Définition Une suite u est une fonction définie sur IN (respectivement à partir d un certain entier naturel n 0 ) qui à tout entier naturel IN (respectivement à partir d un certain entier naturel n 0 ) associe un réel u(n), noté u n L image d un entier naturel par la suite u est appelé un terme de la suite u. Le réel u n est le terme d indice (ou de rang) n de la suite u. On dit que u n est le terme général de la suite (u n ) Exemple : Soit ( u n ) la suite définie par u n = 3 n + 10 Le terme d indice est u = 16, le terme d indice 10 est u 10 = 40 La suite de terme général u n = 1 n, n est définie que pour n 1, on la note ( u n ) n 1 Remarque : Le premier terme d une suite est aussi appelé terme initial. Exercice -3 p164 1. Différentes façons de définir une suite a ) Par une formule explicite On peut définir une suite par une formule explicite, qui permet de calculer directement à partir de n le terme d indice n. La suite ( u n ) définie par u n = 5 n La suite ( v n ) définie par v n = 3 n ² + 5 y CAS PARTICULIER IMPORTANT : Cf Soit f une fonction définie sur [ 0 ; + [. ( au moins ). On définit une suite ( u n ) en posant, pour tout entier naturel n, u n = f ( n ). u u 1 0 1 3 4 5 6 7 8 x
Soit f la fonction définie sur IR par f : x 3 x ² + x + 5 et ( u n ) la suite définie par u n = f ( n ). Ainsi pour tout entier naturel n, on a : u n = 3 n ² + n + 5. Pour calculer le terme d indice n, il suffit de chercher l image de n par f. On en déduit que : u 0 = 5, u 1 = 10, u =1,, u n+1 = 3 ( n + 1 ) ² + ( n + 1 ) + 5 = 3 n ² + 8 n + 10 ex Exercice 7-8 p164 b ) Par récurrence On donne u 0 = 0 et on considère la relation u n + 1 = 3u n +6 Ceci nous permet de calculer de proche en proche tous les termes de la suite ( u n ). En effet : u 1 = u = u 3 = Si l on considère la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 3 x + 6, alors on peut dire que la suite ( u n ) est définie par la donnée de u 0 = 0 et par la relation u n + 1 = f ( u n ). ( cette relation est appelée relation de récurrence ) De manière plus générale on a la définition suivante : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, telle que, pour tout réel x appartenant I, f ( x ) appartiennent à I. On peut alors définir une suite ( u n ) par la donnée de u 0 ( u 0 appartenant à I ), et de la relation de récurrence u n+1 = f ( u n ). Remarque : Le fait que f(x) doivent être inclus dans I pour x appartenant à I, est essentiel. Exemple : f(x)= x 3 et u 0 =4. Alors u 1 =1 et on ne peut aller plus loin. En effet D f =]3 ;+ [ et l image d Exercice 1-14 -15 p164e cet intervalle est :.. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Voir fiches correspondantes Ti et Casio. Voir explication site pour TI.1 Représentation graphique (n ;u n ) Exemple : u n+1 =0.5u n et u 0 =16 III Sens de variation d une suite On pourra utiliser pour déterminer la définition, la représentation graphique (n ;u n ) Ainsi que de la définition du sens de variation d une fonction. Définition On dit que la suite (u n ) est strictement croissante lorsque : pour tout entier n,. On dit que la suite (u n ) est strictement décroissante lorsque On dit que la suite (u n ) est constante lorsque Définition monotonie : On dit qu une suite est monotone lorsqu elle est soit uniquement croissante soit uniquement décroissante, soit uniquement constante.
Méthode Pour étudier la variation d une suite on étudie généralement le signe de u n+1 -u n. Si le résultat est strictement positif la suite est strictement croissante. Si le résultat est strictement négatif la suite est strictement décroissante. Exercice 17-18-1 p164 Une propriété intéressante Si une suite est de la forme u n = f ( n ), on déduit rapidement, à partir des propriétés de la fonction f, des résultats sur la suite. On montre facilement que : Si f est croissante sur [ 0 ; + [, alors ( u n ) est croissante. La réciproque est fausse Si f est décroissante sur [ 0 ; + [, alors ( u n ) est décroissante. IV Les types classiques de suites 4.1 La suite arithmétique Exemple u 0 = ;u 1 =5 ;u =8 ; u 3 =11 ; Que fait on pour passer de proches en proches En déduire que u n+1 =.. A) Définition par la formule récurrente On dit qu une suite ( u n ) est une suite arithmétique, s il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, on ait u n+1 = u n + r. Le réel r est appelé raison de la suite ( u n ). r peut-être positif ou négatif. u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 +r + r + r + r +r On passe d un terme de la suite au terme suivant, en ajoutant r. Remarque : L expression u n+1 =u n +r est l expression récurrente Méthode Pour montrer qu une suite est arithmétique : On montre par calcul que u n+1 -u n vaut une constante indépendante de n. te constante est la raison. Exercice 4 p165 B) Définition par la formule explicite Soit ( u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Alors, pour tout entier naturel n, on a : Preuve : u n = u 0 + n r Additionnons membre à membre les n égalités ci-contre: u 1 = u 0 + r u = u 1 + r u n-1 = u n- + r u n = u n-1 + r On obtient : ( u 1 + u + + u n-1 ) + u n = u 0 + ( u 1 + u + + u n-1 ) + n r Et après simplification : u n = u 0 + n r Soit u n la suite arithmétique définie par u 0 = 7 et r = 1, alors u 6 = 7 + 6 1 =79
Exercice 5-7-8-31-3 p165 Plus généralement : Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers naturels p et q, on a : u p = u q + ( p q ) r Sens de variation d une suite arithmétique Propriété Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r : La suite (u n ) est strictement croissante si et seulement si r est strictement positif La suite (u n ) est strictement décroissante si et seulement si r est strictement négatif La suite (u n ) est constante si et seulement si r est nu C) Représentation graphique d une suite arithmétique A l aide de la calculatrice représenter la suite u n+1 =u n +3 et u 0 =- Propriétés : La représentation graphique d une suite arithmétique est un ensemble de points.. Exercice 76-77 p170 Définition : On dit qu une suite arithmétique a une croissance linéaire. l D) Somme des termes consécutifs Etude d un exemple fondamental : On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier naturel n, par u n = n. Calculons la somme S = u 1 + u + + u n = 1 + + + n. SOMME DES N PREMIERS ENTIERS NATURELS On peut écrire : S = 1 + + 3 + + ( n ) + ( n 1 ) + n De même en partant de la fin S = n + ( n 1 ) + ( n ) + + 3 + + 1 En additionnant membre à membre, on obtient : S = ( n + 1 ) + ( n + 1 ) + + ( n + 1 ) c'est à dire S = n ( n + 1 ) et donc S = n ( n + 1 ) n fois Cas général La somme de terme consécutifs d une suite arithmétique est égale à : ( premier terme + dernier terme) S=(nombre de terme) En particulier si (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 : S=u 0 +u 1 +..u n = ( ) ( u ) 0 + u n + 1 n Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison r. La somme S = u 7 + u 8 + + u 15 = 9 u 7 + u 15
Soit ( v n ) la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v 0 = 15. On a v 8 = v 0 + 4 8 = 15 + 3 = 47 On en déduit que v 0 + v 1 + + v 8 = 9 v 0 + v 8 = 9 15 + 4 7 = 79 Exercice 35-36 p165 4. La suite géométriques Exemple u 0 = ;u 1 =6 ;u =18 ; u 3 =54 ; Que fait on pour passer de proches en proches En déduire que u n+1 =.. A) Définition par la formule récurrente : On dit qu une suite ( u n ) est une suite géométrique, s il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on ait u n+1 = q u n. Le réel q est appelé raison de la suite ( u n ). q est strictement positif u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 q q q q q Soit ( u n ), la suite des puissances de, définie par u n = n Pour tout entier naturel n, on a u n+1 = n+1 = n = u n Cette suite est donc une suite géométrique de raison. On passe d un terme de la suite au terme suivant, en multipliant par q. Remarque :L expression u n+1 =q u n est l expression récurrente Méthode Pour montrer qu une suite est géométrique avec u n 0 pour tout entier naturel n : On montre par calcul que vaut une constante indépendante de n. un+ 1 un Cette constante est la raison. Exercice 48-49 p166 Propriété Soit (u n ) une suite géométrique de raison r et de premier terme strictement positif : La suite (u n ) est strictement croissante si et seulement si q est strictement supérieur à 1 La suite (u n ) est strictement décroissante si et seulement si q est strictement compris entre 0 et 1. La suite (u n ) est constante si et seulement si q vaut 1 Exercice que se passe il si le premier terme est strictement négatif? B) Définition par la formule explicite Soit ( u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Alors, pour tout entier naturel n, on a : u n = u 0 q n
Preuve : ( u n ) est une suite géométrique, donc u 1 = u 0 q. Puis u = u 1 q = ( u 0 q ) q = u 0 q ² Et ainsi de proche en proche, car lorsqu on aura établi que pour l entier naturel p, u p = u 0 q p, on en déduira que u p+1 = u 0 q p+1. En effet u p+1 = u p q = u 0 q p q = u 0 q p+1. Soit u n la suite géométrique définie par u 0 = 7 et r = 1, alors u 3 = 7 1 3 = 1096 Plus généralement : Soit ( u n ) une suite géométrique de raison q. Pour tout entier naturel m et n, on a u m = u n q m n Exercice 51-5 p166 C) Représentation graphique d une suite géométrique A l aide de la calculatrice représenter la suite u n+1 =3u n et u 0 =1 Définition : On dit qu une suite géométrique a une croissance exponentielle. Exercice 78 p170 D) Somme des termes consécutifs Etude d un exemple fondamental : SUITE GEOMETRIQUE DE PREMIER TERME u 0 = 1. On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier naturel n, par u n = q n ( q 0 et q 1 ) Calculons la somme S = u 0 + u 1 + + u n = 1 + q + q + + q n. On peut écrire : S = 1 + q + q + + q n-1 + q n On multiplie par q q S = q + q + q 3 + + q n + q n + 1 Par soustraction membre à membre, on obtient : S q S = 1 q n+1 c'est à dire ( 1 q ) S = 1 q n+1 et donc S = 1 q n+1 1 q Cas général La somme de terme consécutifs d une suite géométrique est égale à : nombre de terme 1 raison S=( premier terme) 1 raison En particulier si (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q : S=u 0 +u 1 +..u n = ( ) ( n+ 1 1 q ) u0 1 q Soit ( v n ) la suite géométrique définie, pour tout n IN, par v n = n On a 1 + + + + n = 1 1 n + 1 = n + 1 1 1 Exercice 59-60 p166 4. 3 Les suites quelconques Définition : Une suite qui est ni géométrique, ni arithmétique est dite quelconque. Soit ( u n ) la suite définie, pour tout n IN, par u n+1 = u + 1 et u 0 =0 n Méthode : Pour résoudre ce type de suite on essaie de se ramener à un type connu (arithmétique ou géométrique). Si l on poursuit l exemple précédant ;il faut poser v n = u n ² ; on obtient alors : v n+1 =v n +1 et v 0 =0. Donc (v n ) est une suite de raison et de premier terme
D où v n = Par conséquent u n =.