Rappels sur les (tri)angles Module : rappels de trigonométrie. ngles Les angles opposés par le sommet sont égaux Deux angles dont les cotés sont parallèles sont égaux Deux angles dont les cotés sont perpendiculaires sont égaux 3 3 Rappels sur les (tri)angles Triangles La somme des angles d un triangle vaut 8 Deux triangles dont les 3 angles sont égaux sont dits semblables Pythagore: dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des cotés formant l angle droit est égale au carré de la longueur de l hypoténuse Rappels sur les (tri)angles Triangles (suite) Thales: dans deux triangles semblables, les rapports des longueurs des cotés correspondants sont égaux C C = = ' ' ' C' ' C' C C nnée académique 4-5
(cotg(),) (,sin()) (cos(),) (,tg()) (,) (,sin()) (cotg(),) (,tg()) q (cos(),) (,) Conséquences (): - sin() - cos() fonctions (de ) périodiques, de période π(radians) Conséquences (): cos() sin() (cotg(),) (,tg()) (,sin()) (cos(),) (,) > > π/ π/ π/ > > π > > > > > > > π π >3π/ > > > 3π/ 3π/ > > π > > > > π (cotg(),) (,sin()) (cos(),) (,) (,tg()) sin Conséquences (): Pythagore sur : cos ( ) + sin ( ) = cos ( ) ( ) cos( ) = cot g( ) Thales sur et ( ) ( ) tg = tg sin Thales sur cot g ( ) cos = sin ( ) sin = cos et ( ) ( ) ( ) = ( ) tg( ) nnée académique 4-5
(cotg(),) (,tg()) Conséquences (): tg() cotg() > > π/ > + + > h (cotg(),) (,tg()) a Conséquences (V): relations dans les triangles rectangles Thalès: = = (,sin()) (cos(),) (,) π/ π/ > > π π π >3π/ > > + > - + > (,sin()) (cos(),) (,) b => a = h*sin() b = h*cos() a/b = tg() 3π/ 3π/ > > π π - > > - (,sin()) (cotg(),) (,tg()) (,) (cos(),) Conséquences (V): angles opposés cos(-) = cos() sin(-) = -sin() (,sin()) (cotg(),) (,tg()) (,) (cos(),) Conséquences (V): angles supplémentaires cos(π-) = -cos() sin(π-) = sin() => tg(-) = -tg() => tg(π-) = -tg() nnée académique 4-5 3
(,sin()) (cotg(),) (,tg()) (,) (cos(),) Conséquences (V): angles anti-supplémentaires cos(π+) = -cos() sin(π+) = -sin() => tg(π+) = tg() (,sin()) (cotg(),) (,tg()) (,) (cos(),) Conséquences (): angles complémentaires (par symétrie) cos(π/-) = sin() sin(π/-) = cos() => tg(π/-) = cotg() Quelques valeurs Un petit truc pour les retenir Un exemple Calculez successivement π/6 π/4 cos() 4/= 3/ / sin() /= /=/ / tg() 3/3 cotg() 3 OC OD O = cos (α+β) = cos (α) = cos (α+β)/cos(α) π/3 π/ /=/ /= 3/ 4/= 3 3/3 O P = cos (β) = sin (β)/cos(α) = sin(α) sin(β)/cos(α) nnée académique 4-5 4
Un exemple OC OD O O P = cos (α+β) = cos (α) = cos (α+β)/cos(α) = cos (β) = sin (β)/cos(α) = sin(α) sin(β)/cos(α) Utilisez ces résultats dans: O = O + pour calculer: cos (α+β) utres formules Somme ou différences d angles: sin (α+β) = sin (α) cos (β) + sin (β) cos (α) sin (α-β) = sin (α) cos (β) sin (β) cos (α) cos (α+β) = cos (α) cos (β) sin (α) sin (β) cos (α β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) tg (α+β) = (tg (α) + tg (β)) / ( tg (α) tg(β)) tg (α β) = (tg (α) - tg (β)) / ( + tg (α) tg(β)) utres formules Exemple d application de ces formules: sin (α) +sin (β) = sin ((α+β)/ + (α β)/) + sin ((α+β)/ - (α β)/) = sin ((α+β)/) cos ((α β)/) utres résultats similaires: sin (α) sin (β) = *sin ((α β)/) * cos ((α+β)/) Exemple (interro 9...) Montrez que: sin (4x)+sin (x) = *sin(3x)*cos(x) Solution: utiliser 4x = 3x + x et x = 3x -x! Formules de Simpson nnée académique 4-5 5
utres formules Rappels sur les (tri)angles Double d angles: sin (α) = sin (α+α) = sin (α) cos (α) cos (α) = cos (α+α) = cos² (α) sin² (α) tg (α) = tg (α+α) = (tg (α)) / ( tg²(α)) Exemple: sin(π/3) = *sin (π/6)*cos (π/6) = *cos (π/-π/6) * sin (π/-π/6) = *cos (π/3) * sin (π/3) => cos (π/3) =.5 => sin (π/3) = (-.5²) = 3/ a b c Triangles quelconques Généralisation de Pythagore: = b + c * b* c*cos = a + c * a * c*cos = a + b * a * b*cos sin a Relation aux sinus: b c = = ( ˆ ) sin( ˆ ) sin( Cˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( Cˆ ) c a b C Rappels sur les (tri)angles c Exemple: D a b C C ²= D ² + DC ² D = *sin(b) DC = C - D D = *cos(b) C ²= ² + C ² - * * C *cos(b) Module : bases du calcul vectoriel. c*sin() = b*sin(c) => c/sin(c) = b/sin() nnée académique 4-5 6
Grandeurs vectorielles Grandeurs «scalaires» Définies par leur grandeur uniquement Exemples: temps, masse, résistance Représentées par un seul nombre Grandeurs «vectorielles» Définies par leur grandeur et leur direction Exemples: vitesse, accélération, force, Représentées par un «vecteur» Notion de vecteur Etremathématique utilisé pour représenter une grandeur possédant: un point d application une direction un sens une mesure F ex: ex: droite d ex: -> ex: F ou F d Notion de vecteur: exemple Poids d un solide ( masse!) un point d application: centre de gravité c une direction: verticale un sens: vers le «bas» une mesure P = m*g c P Composantes d un vecteur Coordonnées du vecteur si on déplace l origine o des axes au point d application du vecteur o o = (, ) Remarque: d autres systèmes de coord. existent Exemple: (,) où est la longueur du vecteur et est l angle entre et l axe des (et =*cos(), =*sin() ) nnée académique 4-5 7
Norme d un vecteur Norme = module = longueur = = o = (, ) Coordonnées euclidiennes (Pyth.) = = + Coordonnées polaires (, ) = Opérations sur les vecteurs () Multiplication par un scalaire Géométriquement: lgébriquement: o Remarque: si k<, inversion du sens k k= (k*,k* ) Opérations sur les vecteurs () ddition de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme): Opérations sur les vecteurs (3) Soustraction de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme): + = C +=C o o lgébriquement: + = C= ( +, + ) lgébriquement: = C -= (, ) = (C -,C - ) ou encore: C+(-) = (C +(- ),C +(- )) nnée académique 4-5 8
Exercice: énoncé Quelle force F, parallèle au plan incliné p, faut-il exercer sur la bille, de masse m, pour qu elle reste immobile? F p Exercice: solution La somme des forces agissant sur la bille doit être nulle (un vecteur nul): R F π r r r F + m* sin = g ( )* g = F m* * sin( ) P= mg Opérations sur les vecteurs (4) Produit scalaire de deux vecteurs Définition: c=. = **cos() Géométriquement: lgébriquement: Opérations sur les vecteurs (4) Propriétés du produit scalaire de deux vecteurs Commutatif:. =. Nul si et seulement si (une condition suffit): = = perpendiculaire. = ². = * + * + Z * Z nnée académique 4-5 9
Opérations sur les vecteurs (5) Produit vectoriel de deux vecteurs Définition: C = ^= **sin()*v où v est un vecteur unitaire perp. au plan de et Géométriquement: Opérations sur les vecteurs (5) Produit vectoriel de deux vecteurs lgébriquement: ^ = ( * Z - Z * ) e x +( Z * - * Z ) e y +( * - * ) e z Exemple: particule électrique se déplaçant dans un champ d induction magnétique r r r F = q * v S N F q. v nnée académique 4-5