1 Cours Sciences Physiques MP Élecronique numérique Le développemen de l informaique don le foncionnemen repose sur le mode binaire 0 ou 1 a progressivemen imposé de ravailler avec des signaux numérisés par opposiion aux signaux analogiques. Un signal analogique es un signal qui évolue de façon coninue au cours du emps même si ses variaions peuven exrêmemen rapides. Par opposiion un signal numérique es un signal décri par un ensemble de 0 e 1 don la base de représenaion es l oce. 1 Généraliés À un ensemble de 0 e de 1 es associé une valeur fixée du signal, lorsque le signal évolue le composiion de 0 e 1 évolue. Le signal numérique passe à une aure valeur. Imaginons que le signal soi représené par 00111010. À cee combinaison correspond une valeur donnée parmi les valeurs disponibles. Si le signal évolue e se rouve représené par 00111011, cela signifie qu il aura une aure valeur différene de la première. Il y a disconinuié. Un signal numérique es donc consiué par une succession de valeurs de consanes. Le schéma de la figure 1 illusre la différence enre un signal analogique e un signal numérique. s ana s num valeurs disponibles Figure 1 Signal analogique e signal numérique En général, la Physique n apprécie guère les disconinuiés. Les mesures effecuées sur un sysème son analogiquesparnaure.il es,parconséquen,éviden auvudes graphiquesde lafigure1quele signalnumérique associé au signal analogique es loin d êre idéal comme représenaion! Le première quesion qui vien à l espri es le ryhme auquel on va répéer les évaluaions du signal analogique. Afin de pouvoir s y rerouver, il es indispensablequecelui-cisoirégulier:c eslapériode d échanillonnage. OnlanoeengénéralT e eonyassocie la fréquence d échanillonnage F e = 1/T e. Bien sûr, on pourrai rouver opporun de saisir plus de valeurs du signal pendan ses variaions rapides que pendan ses variaions lenes comme il es arrivé que vous le fassiez lors des dosages acido-basiques au niveau de l équivalence. Mais pour l uilisaeur, ce serai vie ingérable, il faudrai en permanence l informer du changemen de ryhme de l échanillonnage. En foncion de la echnologie disponible e de son coû, on recherchera la fréquence d échanillonnage la plus élevée pour obenir le maximum de précision dans la représenaion du signal analogique. Afin de bien représener le signal analogique, il es aussi nécessaire de disposer d un évenail imporan de valeurs disponibles. Travailler en 8 bis correspond à une représenaion qui propose 2 8 = 256 niveaux différens de ension dans un inervalle donné. Là encore, les saus de valeurs d un niveau au suivan son consans sur ou l inervalle de ension accepé. La précision de la représenaion sera encore une fois augmenée si l on augmene le nombre de bis. En passan à 16 bis, on aura 2 16 = 65536 niveaux. Encore une fois, ou sera une quesion de echnologie disponible e de coû. Quoi qu il en soi, la représenaion numérique d un signal analogique ne sera jamais équivalene au signal analogique. Cerains mélomanes regreen le emps des disques vinyles où l ensemble de la chaîne de raiemen éai analogique. Ceres, la numérisaion affece le signal mais les progrès effecués depuis le débu du numérique vers 1980 e surou les raiemens rès évolués que l on peu effecuer dans le domaine numérique doiven nous amener à ne pas voir que des inconvéniens à cee echnique de représenaion d un signal. De plus la ransmission d un signal numérique es beaucoup plus fiable que celle d un signal analogique. Pour erminer, nous dirons que l uilisaion quasi-permanene d ordinaeurs nous l impose. L obje de nore éude es de mere en évidence les conséquences de la numérisaion d un signal, en pariculier sur son specre de fréquence. Nous éudierons aussi cerains disposiifs de numérisaion.
Sciences Physiques MP Cours 2 2 Échanillonnage 2.1 Muliplicaion de deux signaux On considère deux signaux sinusoïdaux, un signal de fréquence f 0 e un second de fréquence F e. Ils son représenés par les foncions réelles suivanes : e 0 () = E 1 cos(2πf 0 +ϕ 0 ) e e () = E e cos(2πf e ) Ces deux signaux son envoyés sur un circui muliplieur don la réponse es : s() = e 1() e e () V 0 où V 0 es une ension référence foncion de la naure du circui muliplieur. Comme nous l avons déjà vu, le signal s() présene un specre différen de celui des signaux d enrée : Sur le schéma de la figure 2, on peu voir les différens signaux en mode emporel sans se préoccuper des valeurs relaives de leur ampliude.
3 Cours Sciences Physiques MP e i () e e () e 0 () s() Figure 2 Muliplicaion de deux signaux 2.2 Traiemen par le peigne de Dirac 2.2.1 Mode emporel On considère mainenan le peigne de Dirac comme signal muliplicaeur e e (). Il agi sur un signal sinusoïdal e 1 () qui n es pas nécessairemen idenique au précéden. Pour facilier la percepion des choses, le signal e 1 () présené dans ce paragraphe es de fréquence plus faible que celui présené dans le paragraphe précéden. On considère que ces deux signaux son mis sur les enrées d un circui muliplieur comme celui qui précède. Les représenaions emporelles son assurées sur le schéma de la figure 3. e i () e e () T e T e e 0 () s() Figure 3 Peigne de Dirac e échanillonnage
Sciences Physiques MP Cours 4 2.2.2 Mode fréqueniel 2.2.3 Échanillonnage d un signal riangulaire Conrairemen au cas précéden, le signal riangulaire es polychromaique. Nous avons vu que si sa fréquence éai f 0, il comporai les harmoniques (2n + 1)f 0 avec n N. De plus, nous avons consaer qu un rès pei nombre d harmoniques suffisaien pour représener rès correcemen un signal riangulaire. Si par exemple, on considère le fondamenal f 0 e les harmoniques 3f 0, 5f 0 alors le specre du signal échanillonné se complique sérieusemen :
5 Cours Sciences Physiques MP 2.2.4 Échanillonnage d un signal quelconque On considère désormais un signal quelconque non nécessairemen périodique. Il es plus inéressan pour nore propos de le considérer dans le domaine fréqueniel pluô que dans le domaine emporel, voir le schéma de la figure 4. Le specre de ce signal es ceres un peu caricaural mais, il permera de bien comprendre une des problémaiques fondamenales de l échanillonnage. Ce signal es échanillonné comme les précédens par un signal de fréquence F e. specre f 0,min f 0,max f Figure 4 Exemple de specre d un signal quelconque 2.2.5 Échanillonnage e blocage En praique, les disposiifs qui échanillonnen les signaux fon de l échanillonnage-blocage. Cela signifie que la valeur du signal saisie à une dae = nt e es mainenue jusqu à la dae = (n+1)t e. Ceci es possible, par exemple, en uilisan un condensaeur chargé à la dae = nt e e qui ne décharge pas (ou presque pas...) jusqu àladae = (n+1)t e oùilseverraimposéuneensioncorrespondanàlavaleurdusignalàéchanillonner à la dae. Le signal échanillonné n es pas en général une suie de peies impulsions séparées par la période T e mais pluô une succession de paliers de durée T e, la valeur du palier correspondan, bien évidemmen à la valeur de la ension à raier à la dae du débu du palier. La phoographie de la figure 5 illusre le phénomène d échanillonnage-blocage appliqué à une ension analogique sinusoïdale. Le peigne de Dirac agissan sur cee ension es aussi visible sur la phoographie.
Sciences Physiques MP Cours 6 3 Condiion de Shannon 3.1 Nécessié Figure 5 Échanillonnage-blocage Nous venons de voir que l échanillonnage affecai le signal analogique que l on vien de numériser. Comme il es plus difficile d en percevoir les effes en mode emporel, on privilégie la descripion des signaux par leur specre. Le specre du sinal échanillonné es rès différen de celui du signal analogique d origine. La numérisaion facilie le raiemen e la ransmission du signal mais à l arrivée, nous devons êre capable de rerouver le signal d origine si possible el qu il éai ou alors le plus voisin possible de ce qu il éai. Ceci n es pas forcémen simple ou ou simplemen impossible comme nous allons le comprendre rapidemen. Revenons à la siuaion du signal sinusoïdal de fréquence f 0 échanillonné avec un peigne de Dirac de fréquence F e. En foncion de la valeur de la fréquence F e par rappor à f 0, le specre obenu sera oalemen différen, voir les graphiques de la figure 6 sur lesquels on ne se préoccupera pas des ampliudes des différenes fréquences représenées. e i(f) F e f 0 F e +f 0 2F e f 0 2F e +f 0 inervalle pour la fréquence de coupure f c F e 2F e 0 f 0 Figure 6 Échanillonnage d un signal sinusoïdal f Pourrécupérerle signalanalogiquede déparde fréquence f 0, on peu envisagerd uiliser un filre passe-bas relaivemen aénuaeur en dehors de sa bande-passane. Les filres numériques peuven aller jusqu à un ordre 8 aisémen, c es-à-dire jusqu à une aénuaion de 160 db par décade! La soluion es donc oue rouvée ci-dessus. Un bon filre numérique passe-bas de fréquence de coupure f c ]f 0,F e f 0 [ perme d aeindre l objecif.
7 Cours Sciences Physiques MP Comme nous allons pouvoir le consaer plus loin, la siuaion n es pas aussi simple. Dans l exemple de la figure 7, la fréquence d échanillonnage F e es beaucoup plus proche de la fréquence f 0 du signal sinusoïdal que cela n éai le cas précédemmen. Le specre es neemen différen dans l ordre des fréquences qui y son présenes, voir le graphique de la figure 7. e i(f) F e f 0 2F e f 0 F e +f 0 F e 0 f 0 2F e Figure 7 Sous-échanillonnage d un signal sinusoïdal f Dans le cas de la figure 7, il n es plus possible d uiliser un filre passe-bas pour récupérer le signal de fréquence f 0, on obiendrai mélangé avec ce dernier un signal de fréquence F e f 0. Rien ne nous empêche d envisager d uiliser un filre passe-bande rès sélecif pour y arriver. dans la praique, on évie de se rerouver dans une elle siuaion avec la composane de fréquence F e f 0 siuée en-dessous de celle de fréquence f 0. En effe, pour un signal plus quelconque que celui que nous venons d envisager, généralemen polychromaique à specre coninu, nous renconrerions un rès sérieux problème. Comme cela va êre confirmé par l exemple qui sui,il fau réaliser un échanillonnage qui assure que : f 0 < F e f 0 ou ce qui revien au même F e > 2f 0 Dans l exemple qui sui, un signal présenan un specre coninu es sous-échanillonné, voir la figure 8. e i(f) 0 f 0,min f 0,max F e 2F e f Figure 8 Sous-échanillonnage d un signal de specre coninu 3.2 Énoncé Condiion de Shannon :
Sciences Physiques MP Cours 8 Sur le schéma de la figure 9, le même signal que celui évoqué avan es échanillonné correcemen. La fréquence uilisée es F e > 2f 0,max. e i(f) 0 f 0,min f 0,max F e f 0,max F e f Figure 9 Échanillonnage correc d un signal de specre coninu Dans le cas précéden, on peu avoir recours à un filre passe-bas de fréquence de coupure comprise enre f 0,max e F e f 0,max pour récupérer le signal d origine sans que de l informaion ai éé perdue. Échanillonner à la limie de la condiion de Shannon revien à prélever uniquemen 2 valeurs du signal de fréquence maximale f 0,max pendan une durée correspondan à la période T e d échanillonnage. Nous erminerons en donnan deux exemples de fréquences d échanillonnage. Pour le signal éléphonique, le fréquenced échanillonnageesf e = 8kHz,lesignalransmiscomporedesfréquencesnécessairemeninférieures à 4kHz. En fai, le signal es limié à 3,4kHz ce qui perme de respecer la condiion de Shannon. Pour l enregisremen des CD de musique, on uilise rès fréquemmen F e = 44,1kHz. Cela perme de respecer la condiion d échanillonnage correc puisque les fréquences maximales audibles son de 20 khz. 4 Numérisaion 4.1 Quanificaion Une fois l opéraion d échanillonnage réalisée, il fau ransformer la valeur du signal en une combinaison de 0 e de 1. C es l éape de numérisaion. Il fau ou d abord éablir une échelle de valeurs de référence. En général, on ravaille dans le domaine de l élecronique avec un inervalle de ension de U = 5V même si n impore quel inervalle de ension raisonnable peu êre envisagé. Nous allons prendre un exemple de circui élecronique rès simple qui réalise l opéraion de conversion du signal analogique en signal numérique. Ce ype de circui pore le nom de CAN pour Converisseur Analogique Numérique. Il exise de nombreuses formes de CAN qui son plus ou moins précis, plus ou moins rapides. Nous ne renrerons pas dans l éude des différens ypes de circuis, seul le principe nous impore ici. Le schéma du circui es réalisé à la figure 10. Le circui présené compore des résisances élecriques R une source de ension consane V ref = +5V ainsi que 4 amplificaeurs opéraionnels uilisés en comparaeur. Un seul monage comparaeur a éé représené el qu il se présene. Les 4 amplificaeurs opéraionnels ne prélèven aucun couran e délivren en sorie une ension qui sera u si = ±V sa en foncion du signe de leur ension différenielle d enrée ε = V + V avec la loi u si = ε ε V sa. Les amplificaeurs opéraionnels son alimenés par une source de ension symérique par rappor à la masse qui n es pas représenée sur le schéma. Sur le schéma, les connexions élecriques son maérialisées par un poin. Lorsque deux fils se croisen sans poin il n y a pas de nœud à ce niveau du monage, les fils ne son pas connecés. On suppose que le signal analogique es compris dans l inervalle [0V;V ref = 5V], cela nécessie en général un circui élecronique classique de raiemen que nous n évoquerons pas. Pour comprendre le foncionnemen de ce CAN, il fau ou d abord voir que la succession de résisances R en série - puisqu aucun prélèvemen de couran ne s effecue sur les AO - va imposer sur l enrée inverseuse de chaque AO une ension qui sera R 5R V ref = 1V pour l AO siué ou en bas du circui, 2R 5R V ref = 2V pour le suivan e ainsi de suie. La ension analogique u ana échanillonnée es envoyée simulanémen sur chacune des enrées non inverseuses des AO qui agissen en comparaeur. Ainsi on compare simulanémen la ension u ana à 1V sur le comparaeur du bas, à 2V sur le second, à 3V sur le roisième e enfin à 4V sur celui siué en hau. Prenons un exemple : la ension d enrée es u ana = 2,4V. Déerminons l éa des sories des comparaeurs. On convien de reenir le codage suivan pour les sories des comparaeurs : 0 lorsque u si = V sa e 1 lorsque u si = V sa. Pour converir en noaion binaire, il fau déerminer les valeurs 0 ou 1 des coefficiens (α,β,γ) els que la ension de l échelle reenue puisse s écrire α2 2 +β2 1 +γ2 0.
9 Cours Sciences Physiques MP u ana u 1 V ref R R R R R i = 0 i = 0 i = 0 i = 0 i + = 0 comparaeur 4 comparaeur 3 comparaeur 2 - ε 1 = 0 + 1 u s4 u s3 u s2 u s1 Figure 10 Monage CAN de ype flash Le ableau qui résume le foncionnemen du circui es le suivan : u a codage des sories valeur référence de u a codage binaire 0 < u a < 1V 0000 0V 000 1V < u a < 2V 0001 1V 001 2V < u a < 3V 0011 2V 010 3V < u a < 4V 0111 3V 011 4V < u a < 5V 1111 4V 100 Considérons mainenan une succession de ensions échanillonnées données par le graphique de la figure 12. Nous allons déerminer la succession des codes binaires associés (voir la figure 12) e évaluer les erreurs commises pour la valeur du signal, (voir la figure??).
Sciences Physiques MP Cours 10 u ana,ech 5V 4V 3V 2V 1V 0V Code Binaire T e 2T e 3T e 4T e 5T e 6T e 010 Figure 11 Codage d une succession de valeurs échanillonnées du signal analogique u 2V 1V 0V T e 2T e 3T e 4T e 5T e 6T e 1V 2V Figure 12 Erreurs sur les valeurs échanillonnées du signal analogique
11 Cours Sciences Physiques MP L éude précédene me en évidence le problème de l imprécision associée à la conversion en binaire du signal analogique. Ce phénomène es inhéren à la quanificaion. Comme lorsque l on grimpe à une échelle, il n es possible à parir d un barreau que de mere le pied sur le suivan ou le précéden mais pas enre les deux. La précision sera aussi foncion du nombre de barreaux que compore l échelle pour l inervalle de ension u num = [0,V ref ] - l inervalle u num s appelle la dynamique du converisseur -. Plus le nombre de barreaux sera élevé, meilleure sera la précision. Un codage sur n bis réserve 2 n possibiliés. Pour une dynamique donnée u num, le pas de quanificaion es donc : q = u num 2 n 1 u num 2 n Il es alors logique de préférer un converisseur n = 16 bis à un converisseur n = 8 bis. Mais il ne fau pas oublier que la moindre flucuaion peu enraîner alors des variaions imporanes en erme de bi. Le converisseur le plus précis ne sera uile que s il es rès peu sensible aux flucuaions exérieures. 4.2 Chaîne de raiemen On peu résumer la siuaion par un schéma-bloc comme celui de la figure 13. Lorsqu on emploie le erme de converisseur analogique-numérique (CAN), il s agi du disposiif comple qui inègre les foncionnaliés de conversion en numérique comme celle que nous venons de présener mais aussi en amon le disposiif d échanillonnage du signal analogique de dépar. À la suie du converisseur, on rouvera l unié de raiemen des données qui va permere de les mere en mémoire ou d effecuer un cerain nombre d opéraions dessus. Ces donnés numériques peuven êre ensuie uilisées sous cee forme mais on peu aussi reconsiuer un signal analogique. L opéraion va consiser à faire une conversion du numérique vers l analogique à l aide de circuis élecroniques adapés à cee foncion : c es le rôle du CNA ou converisseur numérique-analogique. e() s() CAN Traiemen CNA Figure 13 Schéma-bloc d une unié de raiemen numérique du signal La numérisaion présene de nombreux avanages par rappor au raiemen analogique des signaux. Touefois, il ne faudrai pas penser que le méhode es miraculeuse. En effe, dès que l on effecue l échanillonnage du signal de dépar e(), on le modifie même si l on respece la condiion de Shannon. De plus, comme nous l avons vu au niveau de la quanificaion, deux valeurs différenes du signal analogique peuven êre converie en une même valeur en numérique car leur écar es inférieur au pas de quanificaion que nous avons noé q. L erreur engendrée es appelée brui de quanificaion. Ceres, cee erreur es un inconvénien de la méhode mais elle a un inérê : celui d êre parfaiemen connue. On peu donc l adaper en foncion des besoins. Les aous fondamenaux de la numérisaion son liés aux possibiliés de raiemen e au sockage de l informaion. Même si le signal es aléré, il es possible de le régénérer en uilisan des programmes informaiques qui déecen les erreurs e ensuie les corrigen (codes correceurs d erreurs). La ransmission de l informaion sous forme numérique es donc plus fiable que la ransmission sous forme analogique car il y a une ceraine réversibilié dans le domaine numérique. 5 Filrage numérique Parmi les opéraions de raiemen du signal numérique, une des plus fréquemmen renconrée es le filrage. Nous allons voir dans ce qui sui deux exemples de filrages rès classiques.
Sciences Physiques MP Cours 12 5.1 Filre passe-bas du premier ordre Le filre passe-bas du premier ordre analogique es consiué de la mise en série d une résisance R e d une capacié C, voir le schéma de la figure 14. e() R C s() Figure 14 Filre analogique passe-bas du premier ordre Sa foncion de ransfer es rès simple à éablir grâce à un diviseur de ension : H(jω) = s e = 1 1+jRCω = 1 1+jωτ On imagine qu on envoie sur ce filre une signal échelon de Heaviside avec e( < 0) = 0 e e( 0) = E. Pour obenir la réponse de ce filre, on peu éablir la ransformée de Fourier du signal échelon e() e pour chaque fréquence présene éudier l effe de H(jω). Ceci serai pariculièremen fasidieux. Pur une aure forme du signal d enrée, cee méhode serai ou à fai adapée mais, ici, cela n es pas le cas. Il fau, comme vous l avez d ailleurs fai en classe de Sup, revenir à la présenaion de la siuaion en mode emporel où la muliplicaion par jω radui une opéraion de dérivaion par rappor au emps. On obien donc (1+jωτ)s = e. Cela revien à considérer pour des daes posiives, l équaion différenielle : τ ds d +s = E Cee équaion différenielle possède une soluion riviale à éablir : ( s() = E 1 exp ) τ Jusque-là, nous avons fai un raiemen analogique du filre. Pour raier le signal échelon qui a éé numérisé, on procède de la façon suivane : le filre reçoi en enrée des valeurs successives e n de e() à raison d une valeur oues les périodes T e (période d échanillonnage). Ces valeurs son uilisées pour déerminer les valeurs successives s n de la sorie. Il fau éablir le lien enre e n e s n en éablissan la relaion de récurrence qui découle de l équaion différenielle. Puisque le signal a éé discréisé par l opéraion de numérisaion, on assimilera la dérivée à un aux de variaion en suivan la méhode d Euler avec comme inervalle de emps, la période d échanillonnage puisque ous les T e, les valeurs des grandeurs changen. On a donc : τ ds d +s() = e() ou bien τs n s n 1 +s n = e n T e On peu poser θ = τ/t e la consane de emps relaive du filre numérique. De l équaion précédene, on peu déduire que la valeur de la sorie s n à une dae nt e (par exemple) es obenue comme foncion de l éa de cee même sorie à la dae (n 1)T e e de la valeur de l enrée à la dae nt e : s n = θ 1+θ s n 1 + 1 1+θ e n En prenan en compe les valeurs iniiales, on peu éablir oues les valeurs discrèes en sorie du filre. On peu écrire un code Pyhon pour réaliser ces calculs. Les valeurs discrèes obenues son rès proches de celles obenues en raiemen analogique. 5.2 Un aure filre passe-bas numérique : la moyenne glissane