Nº : 300 Fiche : Les foctios Calculer des limites O commece par aalyser f (). Peut o directemet appliquer l u des théorèmes du cours (limites et opératios, théorèmes de comparaiso)? Das la égative, il est écessaire de doer à f () ue ouvelle epressio relevat de ces théorèmes. Cette ouvelle epressio peut être obteue e imposat à la variable ue coditio compatible avec la recherche de la limite : coditio du type > 0 pour ue étude e, coditio du type < 0 pour ue étude e, coditio du type < α pour ue étude e zéro... O doit distiguer soigeusemet la phase «recherche d ue epressio coveable de f ()» de la phase «passage à la limite» : les echaîemets du gere lim f () = lim g() =... sot prohibés car l égalité lim f () = lim g() a de ses que lorsque l o a précédemmet établi qu il eiste tel que lim f () = et lim g () =. Das les cas où ted vers ou, mettre e facteur les termes «les plus puissats» est toujours pertiet. Eercice 1 Détermier le comportemet asymptotique de la foctio f e a das les cas suivats : 3 a) f () = 4 si 5 pour tout et a = ; 1 b) f () = pour 0 et a = ; 1 c) f () = 5 pour tout et a = ; d) f () = 5 pour tout et a = ; cos 1 e) f () = pour 6 π π π et a =. 6 6 Motrer qu ue droite est ue asymptote oblique Selo le programme, l équatio de l asymptote doit être doée ou au mois suggérée. O se trouve alors face à l étude d ue forme idétermiée du type. Ne pas oublier que lim ( f () ) = b équivaut à lim ( f () ( a b ) = 0, avec a et b réels... Eercice O cosidère la foctio f : 4 4 5 défiie sur. Détermier la limite e de la foctio 4 4 5. E déduire que la courbe représetative de f admet ue asymptote dot o doera ue équatio. Etudier la dérivabilité d ue foctio sur u itervalle O aalyse l epressio qui défiit la foctio, et o applique au mieu les coditios suffisates de dérivatio (somme, produit, composée... ). O détermie aisi que la foctio est dérivable das u itervalle J. Lorsque cet itervalle est égal à l itervalle I sur lequel la foctio est défiie, l étude est termiée. Sio, o doit étudier la dérivabilité e tout poit de I qui appartiet pas à J, cette fois à l aide de la défiitio dérivabilité. Tous droits réservés Studyrama 0 E parteariat avec :
Nº : 300 Eercice 3 Etudier la dérivabilité : a) de la foctio f défiie par f () = pour 0 ; b) de la foctio g défiie par g () = 1 pour 1. Optimiser Il s agit d étudier les variatios d ue foctio pour établir qu elle admet u etremum. Eercice 4 O désige par (C) la courbe d équatio y = et par A le poit de coordoées (0,1). Détermier le poit B de la courbe, d abscisse positive, qui est le plus proche du poit A. Etablir ue iégalité sur u itervalle Lorsque il est impossible de régler le problème par le calcul algébrique o met l iégalité cosidérée sous l ue des deu formes f () 0 ou f () > 0 et o étudie les variatios de la foctio f sur l itervalle. E pricipe la foctio f est mootoe sur l itervalle et doit doc doer ue image positive à l ue des bores de celui-ci... Eercice 5 Motrer que : 3 si pour tout positif. 6 Résoudre ue équatio Lorsqu ue résolutio algébrique est impossible o utilise le théorème des foctios cotiues et strictemet mootoes. Il est alors écessaire de mettre l équatio sous l ue des deu formes f () = λ ou g () = 0, cette derière état plus pratique. O peut esuite passer à l étude des variatios de la foctio (f ou g suivat le cas) sur l itervalle cosidéré. Il est à oter que toutes les foctios costruites à partir des foctios usuelles du programme de termiale S sot cotiues, et que démotrer qu ue foctio est cotiue e u poit ou sur u itervalle est pas u objectif du programme (commetaires officiels du programme). Eercice 6 3 Résoudre das l équatio 3 36 = 0. Utiliser ue foctio auiliaire g pour étudier ue foctio f Lorsque f = g.k sur l itervalle I où k est ue foctio strictemet positive sur I, et g ue foctio dot o e peut détermier le sige par des moyes algébriques, o doit étudier les variatios de g pour obteir le sige de f. Tous droits réservés Studyrama 0 E parteariat avec :
Nº : 300 Eercice 7 3 a) O désige par g la foctio défiie par g () = 1 pour tout. Motrer que l équatio g () = 0 a ue solutio uique α das l itervalle ]0, 1[. b) O désige par f la foctio défiie par f () = 1 g() pour apparteat à ]0, [. Motrer que f () = pour > 0. E déduire le sige de f. Ecadrer ue solutio d ue équatio du type f () = 0 O cosidère ue foctio f cotiue et strictemet mootoe sur [a, b] et telle que f (a) f (b) < 0. Alors tout couple (a, b ) apparteat à [ a,b] tel que f (a ) f (b ) < 0 est u ecadremet de la solutio de l équatio f () = 0 das l itervalle [a, b]. Eercice 8 Suite de l eercice précédet. c) Motrer que 0,75 < α < 0,76. Ecadrer f (α) lorsque la foctio f présete u etremum e α Das cette situatio, les variatios de f e permettet pas d ecadrer f (α), puisque de a < α < b, o peut seulemet déduire f(a) < f(α) et f(b) < f (α) lorsque f (α) est u maimum, f (a) > f (α) et f (b) > f (α) lorsque f (α) est u miimum. Pour régler ce problème, il suffit d établir que l o a f (α) = h(α) où h est ue foctio mootoe sur u itervalle J coteat α. E pricipe, la foctio h est doée par l éocé, et pour établir l égalité f (α) = h(α), le plus simple est gééralemet de calculer f (α) h(α). C est alors la relatio f (α) = 0 (défiissat α) qui permet de motrer que cette différece est ulle. Eercice 9 Suite de l eercice précédet. 3 d) Motrer que f (α) = h(α) où h est la foctio défiie par h() = pour apparteat à ]0, 1]. e) E déduire u ecadremet de f (α) par deu décimau dot la différece est 0,1. Ecadrer ue solutio d ue équatio du type f () = 0 par balayage O cosidère ue foctio f cotiue, strictemet mootoe sur [a, b] et telle que f (a) f (b) < 0. Les istructios suivates : a 0 et b 0 = b, a 1 b k et b 1 ( k 1) b f a k a f f () = 0 das l itervalle [a, b]. b où k est l etier aturel compris etre 0 et 9 tel que : b ( k 1) 0 <, défiisset deu suites adjacetes dot la limite commue est la solutio de l équatio Tous droits réservés Studyrama 0 E parteariat avec :
Nº : 300 U algorithme pour le balayage Avec les otatios ci-dessus l algorithme suivat calcule le plus petit rag pour lequel et affiche a, b et. b a est iférieur à ue valeur doée, Iitialisatio Affecter la valeur de la bore iférieure de l itervalle à la variable a. Affecter la valeur de la bore supérieure de l itervalle à la variable b. Affecter l icertitude désirée à la variable e. Début Affecter 0 à la variable. Affecter la logueur de l itervalle [a, b] à la variable d. Tat que d > e faire d d : 1. Tat que f (a) f (a d) > 0 faire a a d. Fi Tat que. Fi Tat que. Afficher a, a d,. Fi. Ecadrer ue solutio d ue équatio du type f ( ) = 0 par dichotomie O cosidère ue foctio f cotiue, strictemet mootoe sur [a, b] et telle que f (a) f (b) < 0. Les istructios suivates : a 0 et b 0 = b, a b a b a b si f ( a ) f < 0 alors a 1 et b 1 = sio a 1 = la limite commue est la solutio de l équatio f () = 0 das l itervalle [a, b]. et 1 b = b défiisset deu suites adjacetes dot U algorithme pour la dichotomie Avec les otatios ci-dessus l algorithme suivat calcule le plus petit rag pour lequel et affiche a, b et. b a est iférieur à ue valeur doée, Iitialisatio Affecter la valeur de la bore iférieure de l itervalle à la variable a. Affecter la valeur de la bore supérieure de l itervalle à la variable b. Affecter l icertitude désirée à la variable e. Tous droits réservés Studyrama 0 E parteariat avec :
Nº : 300 Début Affecter 0 à la variable. Affecter la logueur de l itervalle à la variable d. Tat que d > e faire d a b d : c : 1. Si f (a) f (c) < 0 alors faire b c. Sio faire a c. Fi Si. Fi Tat que. Afficher a, b,. Fi. Tous droits réservés Studyrama 0 E parteariat avec :