Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un argument du produit est. A B Démonstration : ROC ( ) ( ) cos a + b cos acosb sin asin b Pré-requis: sin a + b sin a cos b + cos asin b Corollaire : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. Un argument de n A A B A B A Si de plus B 0, un argument de l'inverse est et un argument du quotient est. B B Démonstration : ROC ( ) ( ) + ( ) [ ] Pré-requis : arg ' arg arg '
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 ) Forme exponentielle Notation : Si est un nombre complexe de module et d'argument θ. Alors on note e. ' i( θ + θ ') Cette notation est cohérente avec le produit : ' e e e On note e au lieu de e i( θ ) Propriété : i Tout nombre complexe s'écrit sous la forme r e où r est le module du nombre complexe et θ un de ses arguments. Cette forme est appelée, forme exponentielle. démonstration: ( θ θ ) r cos + isin et cosθ + isin θ est un nombre complexe de module et d'argument θ. θ Exercice : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle : i 4 5 + 5i Exercice : Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique : e e e i i i 4 4e i Propriété : ' Si deux nombres complexes non nuls s'écrivent re et ' r ' e alors : n ' ' démonstration: ( ) r cosθ + isin θ et cosθ + isin θ est un nombre complexe de module et d'argument θ. Exercice : Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes + i et i puis Exercice 4 : sin i cos Ecrire sous forme exponentielle ( ) 4 + i + i i cos + isin Exercice 5 : On considère les nombres complexes 6 i et i. ) Ecrire sous forme algébrique le quotient. ) Ecrire sous forme exponentielle, et. ) En déduire les valeurs exactes de cos et sin
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 ) Formules d Euler Propriété : Pour tout réel θ, cosθ sinθ Démonstration : e e + e e i : Linéarisation des polynômes trigonométriques, par exemple pour les intégrer. Application e + e cos θ e e sin θ i Exercice 6 : 4 Déterminer une primitive de la fonction f définie sur par ( ) sin f x x
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 4 sur 9 II) Lien avec la géométrie ) Distances et angles Distance : AB Angle : Entre l'axe des réels et un vecteur AB : Entre deux vecteurs :, Démonstration : ( AB AC) ) Caractérisation des cercles et des médiatrices Caractérisation du cercle C de centre Ω et de rayon r : 0n note ω l'affixe du centre Ω et celle d'un point M. M C ω r Caractérisation de la médiatrice M du segment [AB]: 0n note a et b les affixes respectives des extrémités A et B du segment [AB] et celle d'un point M. M M a b Exercice 7 : ) Résoudre dans l équation i ( ) ) Résoudre dans l équation ( ) ) On considère les points M, A et B les points d affixes respectives, et. On suppose que M est distinct de A et de B. Retrouver les solutions de l équation (). Exercice 8 : On considère les points A, B et C d affixes respectives A + i, B i et C. B C Mettre sous forme exponentielle le nombre complexe. A B En déduire la nature du triangle ABC.
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 5 sur 9 III) Transformations du plan ) Translation Définition : Le point M ' est l'image du point M par la translation de vecteur u si et seulement si MM ' u. Caractérisation complexe : Si on note u l'affixe du vecteur u, l'affixe du point M et alors ' + u. ' celle du point M ' ) Homothétie Définition : Le point M ' est l'image du point M par l'homothétie de centre Ω et de rapport k si et seulement si Ω M ' k ΩM. Caractérisation complexe : Si on note ω l'affixe du centre Ω, celle du point M et ' celle du point M ' alors ( ω) ' ω k ) Rotation Définition : Le point M ' est l'image du point M par la rotation de centre Ω et d'angle θ Ω M ' ΩM si et seulement si ( Ω M ', Ω M ) θ modulo Caractérisation complexe : Si on note ω l'affixe du centre Ω, celle du point M et ' celle du point M ' alors ( ω) ' ω e Exemple : multiplication par i
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 6 sur 9 Exercice 9 : On considère les points A et B d affixes respectives A + i et B i. ) Déterminer l affixe du point C, image du point B par l homothétie de centre A et de rapport. ) Déterminer l affixe du point D, image du point A par la rotation de centre B et d angle Exercice 0 : Donner l écriture complexe des transformations suivantes: ) La translation de vecteur AB où les points A et B ont pour affixes respectives : i et +i ) L homothétie de centre Ω d affixe i et de rapport ) La rotation de centre Ω d affixe i et d angle 4 4) La symétrie centrale de centre Ω d affixe 5) Le quart de tour direct de centre Ω d affixe + i Exercice : Amérique du Nord Mai 007 On considère les points A et B d affixes respectives ) Soit r la rotation de centre O et d angle. On appelle C l image de B par r. a) Déterminer une écriture complexe de r i Unité graphique 4 cm. 5 i 6 i et e. 6 b) Montrer que l affixe de C est C e c) Placer A, B et C ) Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients, et. a) Montrer que l affixe de D est D + i. Placer le point D. b) Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle. ) Soit h l homothétie de centre A et de rapport On appelle E l image de A par h a) Déterminer une écriture complexe de h. b) Montrer que l affixe du point E est E. Placer le point E. D C 4) a) Calculer le rapport. Ecrire le résultat sous forme exponentielle. E C b) En déduire la nature du triangle CDE. Exercice : Polynésie Septembre 006 ) A On pose a, b 5 i et c 5 + i. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives a, b et c. Soit M un point d affixe du plan, distinct des points A et B. a) Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. b) Déterminer l ensemble des points M d affixe tels que soit un nombre réel strictement négatif. 5 + i ) Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC et Ω le point d affixe i. B a) Donner l écriture complexe de la rotation r de centre Ω et d angle. b) Déterminer l image Γ de Γ par la rotation r. Déterminer une équation paramétrique de Γ.
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 7 sur 9 Exercice : France métropolitaine Juin 007 Partie A E 4 + i + + 4i i 0 où est un nombre complexe. On considère l équation ( ) ( ) ( ) ) Démontrer que i est solution de cette équation. ) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe, on ait : 4 + i + + 4i i i a + b + c. ( ) ( ) ( )( ) ) En déduire toutes les solutions de ( E ). Partie B Unité graphique 4 cm. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives i + i et i. ) Soit r la rotation de centre B et d angle 4. A B C Déterminer l affixe du point A, image du point A par la rotation r. ) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A. Exercice 4 : Polynésie Juin 006 Unité graphique cm. On appelle par A et B les points d affixes respectives a et b. On considère l application f qui, à tout point M du plan différent de B et d affixe associe le point M d affixe définie par '. + On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. ) Déterminer les points invariants de f, c'est-à-dire les points M tels que f(m) M. ) a) Montrer que, pour tout nombre complexe, différent de, ( )( + ). b) En déduire une relation entre et +, puis entre arg ( ' ) et arg ( ) + pour tout nombre complexe différent de. Traduire ces deux relations en termes de distances et d angles. ) Montrer que si M appartient au cercle c de centre B et de rayon, alors M appartient au cercle c de centre A et de rayon. 4) Soit P le point d affixe p + i. a) Déterminer la forme exponentielle de p +. b) Montrer que la point P appartient au cercle c. c) Soit Q le point d affixe q p où p désigne le conjugué de p. d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l image P du point P par l application f.
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 8 sur 9 Exercice 5 : Asie Juin 007 Unité graphique 4 cm. Soit λ un nombre complexe non nul et différent de. On définit, pour tout entier naturel n, la suite ( n ) de nombres complexes par : 0 0 n+ λ n + i On note M n le point d affixe n ) Calcul de n en fonction de n et λ. i λ + i et λ + λ + i. a) Vérifier les égalités ( ) ( ) b) Démontrer que, pour tout entier naturel n positif ou nul, n n λ i λ ) Etude du cas λ i a) Montrer que 4 0. b) Pour tout entier naturel n, exprimer n+ en fonction de n. c) Montrer que M n+ est l image de M n par une rotation dont on précisera le centre et l angle. d) Représenter les points M 0, M, M, M et M 4 dans le repère ( O, u, ) Caractérisation de certaines suites : a) On suppose qu il existe un entier naturel k tel que λ k. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on alors l égalité n+ k n b) Réciproquement, montrer que s il existe un entier naturel k tel que, pour tout entier naturel n, on alors l égalité +, alors λ k. n k Exercice 6 : Liban mai 006 n Unité graphique cm. Soient A le point d affixe i et B le point d affixe. ) a) Déterminer l affixe du point B image de B par l homothétie de centre A et de rapport. b) Déterminer l affixe du point B image de B par la rotation de centre A et d angle 4. Placer les points A, B et B ) On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d affixe associe le point M d affixe tel que (+i) +. a) Montrer que B a pour image B par f. b) Montrer que A est le seul point invariant par f. ' c) Etablir que, pour tout nombre complexe distinct de i, i i Interpréter ce résultat en terme de distances et d angles. En déduire une méthode de construction de M à partir de M, pour tout M distinct de A. ) a) Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l ensemble Σ des points M du plan dont l affixe vérifie b) Démontrer que ' i ( + i)( ) En déduire que si le point M appartient à Σ alors son image M par f appartient à un cercle Σ dont on précisera le centre et le rayon. d) Tracer Σ et Σ sur la même figure que A, B et B.
Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page 9 sur 9 Exercice 7 : La réunion juin 007 Unité graphique cm. A, B et C désignent les points d affixes respectives a b i et c i ) a) Ecrire b sous forme exponentielle. b) Placer les points A, B et C sur la figure (laisser les traits de construction de B) ; ; ) ON désigne par E le barycentre du système {( A )( C )} et par F la barycentre du système {( ;)( ;)} ) a) Etablir que l affixe e du point E est égale à b) Déterminer l affixe f du point F. i a) Démontrer que le quotient e c peut s écrire ki où k est un réel à déterminer. e b En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer E. b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue.* Placer le point F. A; B; C ;6 4) On désigne par H le barycentre du système {( )( )( )} Démontrer que le point H est le point d intersection des droites (BE) et ( CF ). Qu en déduit-on pour le point H? A B. Exercice 8 : Polynésie juin 007 Unité graphique cm. Les questions sont indépendantes. ) Résoudre dans l ensemble l équation i + 6i 0, étant le conjugué de. ) On considère le point A d affixe 4 i. Déterminer la forme algébrique de l affixe du point B tel que le triangle OAB soit équilatéral dans le sens direct. ) Soit D le point d affixe i a) Représenter l ensemble (E) des points M d affixe différente de i tels que arg( i) + k k Z 4 b) Représenter l ensemble (F) des points M d affixe tels que : i + e, θ R 4) A tout point M d affixe, on associe le point M d affixe telle que '. + Déterminer l ensemble des points M d affixe différente de tels que.