Calcul de primitives Dans ce document, la notation désigne Cette notation désigne une fonction F (x Formules de bases f(x dx désigne une primitive de la fonction f; x a f(t dt (où a est un réel. Voici les fonctions de base dont il faut connaitre les primitives: Fonctions Primitives (C constante d intégration x a (a R +, a x a a + + C cos(αx (α R α sin(αx + C sin(αx (α R α cos(αx + C (x + a ln( x + a + C (x + a α (α ( α(x + a α + C a + x (a 0 a arctan(x a + C e αx (α R α eαx + C x Arcsin(x + C + x argsh(x + C ln(x + x + + C x argch(x + C ln( x + x + C
L intégration par parties. On a : u (xv(x dx [uv] u(xv (x dx Cette technique permet de calculer des primitives de fonctions s écrivant comme produit f(xg(x. [ ] x arctan(x dx x arctan(x x +x dx. (C est la formule ci dessus avec u x et v arctan(x. Donc x arctan(x dx x arctan(x + x dx x arctan(x x + arctan(x 3 Le changement de variable Lorsqu une expression semble se répéter dans une intégrale on peut prendre cette expression comme nouvelle variable. On cherche à calculer x x 3 + dx. Posons u x3 ; on a donc du 3x dx. Donc x x 3 + dx 3(u+ du 3 ln(u +. D où: x x 3 + dx 3 ln(x3 + Attention, si on fait le changement de variable u à la place de x, il ne faut pas oublier d exprimer du en fonction de dx. 4 Primitives de fractions rationnelles 4. On décompose la fraction en éléments simples, et il nous reste 3 types d éléments simples à intégrer: (a (b (c x a, dont une primitive est ln( x a (x a n, dont une primitive est ( n(x a n px + q (ax + bx + c n (avec b 4ac < 0 Ce dernier cas est plus épineux. On se limitera au cas où n. Il faut décomposer une qui s écrira px + q ax + bx + c ax + b ax + bx + c l autre partie sera alors de la forme en deux parties: (on fait apparaitre ce terme car il s intégrera en ln(ax + bx + c K ax + bx + c (où K R
Voyons la méthode sur un exemple: x + x + x + 3 dx ( x + x + x + 3 dx + x + x + 3 dx Une primitive de x+ x +x+3 est ln(x + x + 3; reste donc à calculer une primitive de x +x+3. La méthode que l on emploie est d écrire x + x + 3 sous forme (x + p + α, ce qui est toujours possible car le de x + x + 3 est < 0. x + x + 3 dx (x + + dx u du (On a fait le chgt de variable u x + + arctan( u arctan( x + Une primitive de x + x + x + 3 est donc ln(x + x + 3 + arctan( x + 5 Primitives de fonctions du type cos n (x sin p (x 5. Si p est impair, p s écrit p k +. On a donc: cos n (x sin p (x dx cos n (x sin k (x sin(x dx cos n (x(sin (x k sin(x dx cos n (x( cos (x k sin(x dx On pose dans ce cas u. Comme du sin(x, on a donc: cos n (x sin p (x dx ( u k u n du Ce qui est une primitive simple à calculer ( un polynôme cos (x sin 3 (x dx cos (x sin (x sin(x dx cos (x( sin (x sin(x dx u ( u du u + u 4 du u3 3 + u5 5 cos3 (x + cos5 (x 3 5 (où u 5. Si q est impair : on fait le même raisonnement mais avec à la place de sin(x. On sera amené à poser u sin(x. 3
5.3 Si p et q sont pairs : On linéarise la fonction (à l aide des formules d Euler ou des formules de trigo. cos (x sin (x dx cos (x( cos (x dx cos (x dx cos 4 (x dx Or cos (x +. et cos 4 (x ( + ( + 4 + + 4 cos (x 3 8 + + 8 cos(4x. Donc: cos (x sin (x dx + 3 dx 8 + + cos(4x dx 8 x 8 3 sin(4x 6 Primitives de fonctions du type cos(ax sin(bx 6. On utilise des formules de trigo suivantes qui permettent de transformer ce produit en somme: cos(acos(b (cos(a b + cos(a + b sin(asin(b (cos(a b cos(a + b sin(acos(b (sin(a + b + sin(a b sin(4x cos(5x dx sin(9x + sin( x dx sin(9x dx sin(x dx cos(9x 8 + 7 Primitives de fractions rationnelles en et sin(x On suppose que l on doit intégrer une fonction du type F (x, où F est une fraction rationnelle (quotient de deux polynômes comportant uniquement des et des sin(x. On doit calculer sin (x cos (x dx. 7. On applique les règles de Bioche. Ce sont des techniques qui nous suggèrent des changements de variables qui ramenent le calcul au calcul d une primitive de fraction rationnelle. On tranforme x en x. Si F (x dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable u et on sera ramené à primitiver une fraction rationnelle. ATTENTION! si x devient x, dx devient dx! On tranforme x en π x. Si F (x dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable u sin(x On tranforme x en x + π. Si F (x dx ne change pas de valeur, alors on fait le changement de variable u tan(x Si les 3 changements précédents ne donnent rien, on fait le changement de variable u tan( x 4
On doit calculer sin (x cos (x dx. cos( x Si x devient x, la fraction dx devient sin (x cos (x Ainsi F (xdx change de valeur; on ne peut conclure sin ( x cos ( x ( dx cos(π x Si x devient π x, la fraction dx devient sin (x cos (x Ainsi F (xdx ne change pas de valeur. On fait le chgt de variable u sin(x. (d(π x sin (π x cos (π x sin (x cos (x dx. sin (x cos (x dx. sin (x cos (x dx u ( u du u du (u (u + du On décompose ensuite la fraction (u (u+ en éléments simples: on obtient: (u (u + u + + u Ainsi sin (x cos (x dx ( ln( u + + ln( u ( u ln u + D où sin (x cos (x dx ln sin(x sin(x + 8 Primitives de fractions rationnelles en e x 8. On fait le changement de variable u e x, et on est ramené au calcul d une primitive de fractions rationnelle. 5