Méhodologies de es de la racine uniaire em Erur Laec, Universié de Bourgogne ocobre 1998 Résumé : Nous présenons dans ce papier une synhèse criique des procédures de ess de la racine uniaire les plus uilisées dans la liéraure empirique en disinguan celles qui supposen que la composane déerminise de la série considérée sui une endance linéaire de celles qui supposen qu elle sui une composane non-linéaire. ee disincion es primordiale car la mauvaise spécificaion de la composane déerminise peu nous conduire à ne pas rejeer à or l hypohèse de la racine uniaire. Nous confronons les sraégies de es élaborées par Dickey, Bell e Miller (1986), Perron (1988) e Dolado, Jenkinson e Sosvilla-Rivero (1990). Nous évaluons leur limie e proposons une règle de conduie permean de réduire le risque de parvenir à des conclusions erronées à la suie de la mauvaise spécificaion de la composane déerminise. Nous comparons finalemen leur performance dans l éude de la non-saionnarié caracérisan le PIB réel en France. Nous meons en évidence des spécificaions flexibles permean de rejeer l hypohèse de la racine uniaire. série chronologique racine uniaire sraégie de es - endance polynomiale endance segmenée Absrac : This paper provides a criical survey on uni roo esing procedures frequenly used in empirical lieraure. The imporance of he hypohesis of lineariy of he deerminisic componen is sressed because is misspecificaion may resul in he false conclusion ha he ime series has a uni roo. Tesing sraegies elaboraed by Dickey, Bell and Miller (1986), Perron (1988) and Dolado, Jenkinson and Sosvilla-Rivero (1990) are compared and heir limi is evaluaed. An empirical esing sraegy is hen proposed and applied o he analysis of he nonsaionariy exhibied by real GDP in France. We show ha i is possible o find some flexible specificaions ha enable us o rejec he uni roo null hypohesis. ime series uni roo esing sraegy polynomial rend segmened rend Pôle d Economie e de Gesion,, bd Gabriel 1000 Dijon. e-mail : em.erur@u-bourgogne.fr e aricle a fai l obje d une communicaion au olloque Franco-Polonais à Poznaæ (Pologne) les 19-0 ocobre 1998. Nous remercions M.-. Pichery e M. Dagenais pour leurs nombreuses remarques. L aueur rese seul responsable des insuffisances e erreurs que pourrai comporer ce exe. 1
Inroducion On admeai encore récemmen en héorie macroéconomique que la croissance e les flucuaions renvoyaien à des schémas explicaifs disincs e indépendans e on décomposai dans les ravaux empiriques les principales séries en une composane endancielle e une composane conjoncurelle déerminée résiduellemen. Si on considère par exemple le cas du PIB, la composane endancielle non saionnaire e déerminise éai supposée êre esseniellemen déerminée par des faceurs réels de long erme els que les préférences des agens, le progrès echnique, l accumulaion du capial, l évoluion démographique, e évenuellemen ceraines conraines insiuionnelles ; son explicaion éai aribuée à la héorie de la croissance. On peu noer qu il s agi là du concep de PIB poeniel ou encore chez Friedman (1968) e Lucas (1973) du concep de «produi naurel» en référence à la définiion par Wicksell du aux naurel d inérê comme la résulane à l équilibre des seuls faceurs réels. Quan à la composane conjoncurelle, elle éai supposée êre de naure ransioire donc saionnaire e son explicaion éai du ressor de la héorie des cycles d affaires. La variable d inérê dans l analyse des flucuaions éai donc l écar déerminé résiduellemen enre le produi effecif e le produi poeniel ou naurel. L esseniel du déba macroéconomique porai alors sur les moyens de jusifier ce écar à cour erme. On pouvai invoquer des rigidiés : l illusion monéaire dans la radiion keynésienne, l ajusemen incomple des salaires e des prix dans la perspecive du déséquilibre, la rigidié de ype conracuel ou sraégique pour le couran néokeynésien conemporain. Une aure jusificaion de ce écar éai les erreurs de prévision dues au délai d inégraion de l informaion sous anicipaions adapaives chez Friedman (1968). Dans la radiion de la Nouvelle Macroéconomie lassique e dans les premiers modèles de cycles d équilibre (EB) els que ceux de Lucas (197, 1973), ce écar éai expliqué par les imperfecions de l informaion, à la suie de la voie ouvere par Phelps (1970), e par la mauvaise percepion ou inerpréaion des perurbaions monéaires. ee dernière opion héorique s es heurée à la criique de Modigliani (1977) : en effe elle explique les écars au produi naurel par des surprises affecan les agens économiques qui, sous l hypohèse d anicipaions raionnelles, son sans corrélaion emporelle. Elle es donc incapable d expliquer la persisance que radui la fore auocorrélaion observée de l écar conjoncurel enre PIB effecif e naurel. La nouvelle école classique a alors suggéré deux orienaions héoriques permean de surmoner cee criique. La première inrodui un mécanisme de persisance dans les premiers modèles de cycles d équilibre, en ermes de coû d ajusemen (Sargen, 1979) ou de formaion de capial (Lucas, 1975). La deuxième crée un bouleversemen héorique imporan en suggéran de quier la problémaique des écars aux grandeurs naurelles pour envisager celle du mouvemen de ces grandeurs naurelles elles-mêmes. es cee deuxième démarche qui fai l obje de la héorie des cycles réels (RB) (Kydland e Presco, 198 ; Long e Plosser 1983), qu on peu donc qualifier de nouvelle enaive de la nouvelle macroéconomie
classique pour inégrer les flucuaions économiques à l inérieur du cadre de l équilibre général walrasien. L objecif des modèles de cycles réels es de monrer que l impac des chocs réels sur une économie à l équilibre es suffisan pour produire des caracérisiques semblables à celles observées effecivemen. Le cycle serai ainsi la réponse opimale des agens à des perurbaions réelles exogènes prenan le plus souven la forme de chocs de producivié. es dans ce conexe héorique que les ravaux empiriques iniiés par Nelson e Plosser en 198, soulignan la présence d une racine uniaire dans les principales séries macroéconomiques, remeen en cause l indépendance des schémas respecifs d explicaion de la croissance e des flucuaions e accompagnen ainsi l émergence de la héorie des cycles réels. Nelson e Plosser (198) disinguen en effe deux ypes de processus dans la classe des processus non saionnaires : les processus TS 1 pouvan s exprimer comme une foncion déerminise du emps plus un processus saionnaire d espérance mahémaique nulle e de variance consane e les processus DS caracérisés par la présence d au moins une racine uniaire. En maière de prévision, il apparaî ainsi que l inceriude sur les prévisions à long erme es resreine a priori dans les modèles TS puisque la variance de l erreur de prévision adme une limie finie lorsque l horizon de prévision croî, alors que dans les modèles DS l inceriude croî sans borne, dans le sens où la variance de l erreur de prévision croî linéairemen avec l horizon de prévision. En maière de modélisaion macroéconomique les deux ypes de processus on des implicaions différenes : en effe dans les modèles TS de flucuaions saionnaires auour d une endance déerminise, les chocs aléaoires frappan l économie ne peuven avoir qu une influence ransioire sur l évoluion de la série chronologique qui endra ensuie à rejoindre son senier de croissance de long erme sable, c es-à-dire la endance déerminise. Dans les modèles DS de endance sochasique impliquan l accumulaion de chocs aléaoires, chacun d eux a un effe permanen sur la rajecoire fuure de la série sans que l on puisse envisager a priori un reour vers la endance déerminise qui coexise avec la endance sochasique dans ce ype de processus. Par conséquen, s il s avère que les séries chronologiques macroéconomiques, en pariculier le PIB réel, son représenées de manière plus adéquae par un processus de ype DS que par un processus de ype TS, il en résulerai une remise en cause de la décomposiion usuelle en macroéconomie : endance (croissance) / flucuaions (cycles) e de sa jusificaion héorique : l indépendance des schémas respecifs d explicaion. roissance e cycles seraien alors des phénomènes éroiemen liés, qui ne pourraien êre éudiés indépendammen l un de l aure. En effe, si une série observée es de ype DS, sa composane de croissance doi aussi suivre un processus de ype DS e non une endance déerminise comme on le suppose 1 TS : saionnaire en écars à une endance (Trend Saionary). DS : saionnaire en différences (Difference Saionnary). 3
généralemen. Au lieu d aribuer oue la variabilié conjoncurelle d une série à la variabilié de la composane cyclique, le modèle DS perme aux deux composanes d y apporer leur conribuion. Par conséquen l analyse empirique des flucuaions fondée sur les résidus d une régression sur le emps confond les deux sources de variabilié : elle suresime en général la durée e l ampliude de la composane cyclique e sous-esime l imporance de la composane de croissance. Il semblerai même que la plus grande par de la variabilié conjoncurelle ai en fai son origine dans les réalisaions d un processus de croissance de ype DS. Il en découlerai alors une remise en quesion de la héorie macroéconomique radiionnelle selon laquelle les flucuaions du produi son dues esseniellemen à des perurbaions monéaires supposées avoir des effes ransioires, alors qu en fai les faceurs réels joueraien un rôle beaucoup plus imporan dans l explicaion de ces flucuaions. Par ailleurs, si l on adme que les chocs de demande n on qu une influence emporaire, il fau inerpréer comme chocs d offre les impulsions permanenes qui dominen la variabilié conjoncurelle. ee inerpréaion irai dans le sens de la héorie des cycles réels (RB). La différence enre processus TS e DS e ses implicaions dans le domaine de la prévision e de modélisaion macroéconomique soulignen donc la nécessié de pouvoir déerminer, dans les ravaux empiriques, si une série chronologique donnée es caracérisée par une endance déerminise (non-saionnarié de naure puremen déerminise) ou si elle es caracérisée par une endance sochasique, c es-à-dire par la présence d une racine uniaire (non-saionnarié de naure sochasique). Par ailleurs, la différence enre ces processus implique aussi que les méhodes de saionnarisaion les plus uilisées lorsque l on s inéresse plus pariculièremen à la nonsaionnarié en espérance mahémaique - exracion d une endance déerminise foncion linéaire ou non du emps e différenciaion - ne consiuen pas des soluions inerchangeables mais des raiemens saisiques spécifiques qui dépenden éroiemen du caracère pariculier de la série chronologique considérée. han, Hayya e Ord (1977) e Nelson e Kang (1981, 1984) son ainsi les premiers à mere en évidence les effes pervers qu induisen l une ou l aure méhode de saionnarisaion lorsqu elles son uilisées sans discernemen : si on exrai une endance d une série engendrée par un processus de marche aléaoire, on inroduira arificiellemen un comporemen pseudo-périodique dans la série des résidus esimés, de même si on différencie une série saionnaire en écars à une endance déerminise, on inroduira arificiellemen une racine uniaire dans la représenaion moyenne mobile de la série. Le développemen des echniques économériques permean de raier des séries non saionnaires a apporé des soluions rigoureuses à ce problème. Nous présenerons ainsi dans une première parie les ess de non-saionnarié qui son mainenan rès largemen uilisés dans la liéraure empirique en disinguan les procédures qui posulen que la composane déerminise de la série considérée sui une endance linéaire de celles qui posulen qu elle sui une endance non linéaire. ee disincion es primordiale car la mauvaise spécificaion de la 4
composane déerminise peu nous conduire à ne pas rejeer à or l hypohèse de la racine uniaire. Nous prendrons soin de bien préciser les différens processus engendran les données e les différens modèles de régression. Nous explicierons en pariculier les relaions qu enreiennen les paramères des processus engendran les données e les paramères des modèles de régression uilisés pour effecuer les ess ainsi que les implicaions de l hypohèse de la racine uniaire sur ces paramères. es différens poins son d une imporance capiale dans l élaboraion d une sraégie de es. Nous évoquerons égalemen le problème de la sélecion opimale du paramère de roncaure dans la procédure de es de Dickey e Fuller augmenée (1981) aussi bien que dans la procédure de es de Phillips e Perron (1988). Dans une deuxième parie nous présenerons une criique des sraégies de es élaborées par Dickey, Bell e Miller (1986), Perron (1988) e Dolado, Jekinson e Sosvilla-Rivero (1990) don s inspiren la plupar des ravaux appliqués. Nous monrerons leur limie e proposerons une règle de conduie permean de réduire le risque de parvenir à des conclusions erronées à la suie d une mauvaise spécificaion de la endance déerminise. Nous présenerons finalemen dans une roisième parie une illusraion sur le PIB réel en France e enerons de répondre à la quesion sur le caracère persisan ou ransioire des chocs qui l affecen. 5
1. Les ess de non-saionnarié Nous disinguerons parmi les différenes procédures de es celles qui supposen que la composane déerminise sui une endance linéaire de celles qui supposen qu elle sui une endance non linéaire. 1.1 La composane déerminise sui une endance linéaire 1.1.1 La procédure de es de Dickey e Fuller Fuller (1976) e Dickey (1976) son les premiers à fournir un ensemble d ouils saisiques formels pour déecer la présence d une racine uniaire dans un processus puremen auorégressif du premier ordre. ee procédure de es, mainenan bien connue, es fondée sur l esimaion par les MO, sous l hypohèse alernaive, de rois modèles auorégressifs du premier ordre don les erreurs son ideniquemen e indépendammen disribuées : le modèle sans consane, le modèle avec consane e le modèle avec consane e endance. Nous allons néanmoins considérer successivemen chacun des processus engendran les données (DGP) conduisan à ces modèles de régression e mere en évidence leur expression sous l hypohèse nulle de la racine uniaire e sous l hypohèse alernaive. Les relaions qu enreiennen les paramères du modèle de régression avec ceux du processus engendran les données sous les hypohèses nulle e alernaive e, plus précisémen, les implicaions de la racine uniaire sur les paramères du modèle de régression sous l hypohèse nulle, joueron un rôle primordial dans l élaboraion d une sraégie de es (Perron, 1993, p.335). Nous adoperons donc la même logique que ampbell e Perron (1991) e Perron (1993) dans la lecure de la procédure de es de Dickey e Fuller 3. DGP (1) ( ρl ) y = u Modèle (1) 1 0 y + u = ρy 1 y i. i. d( 0, ) 0 = Sous l hypohèse de la racine uniaire ρ = 1, il vien : = y 1 u ou y = y + u i i= 1 y + u σ (1) ~ u 0 () Il s agi d un processus de marche au hasard sans dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen sochasique, saionnaire en différences premières (processus DS). Sous l hypohèse alernaive ρ < 1, il vien : y + u = ρy 1 Il s agi d un processus AR(1) asympoiquemen saionnaire de moyenne nulle. 1 ρl y µ = u y 0, 0 DGP() ( )( ) Modèle () 0 = µ ( i. i. d 0, ) ~ u (3) u σ (4) y = c + ρy 1 + u où c = ( 1 ρ)µ e µ es la moyenne non nulle de y 3 es en fai celle proposée iniialemen par Nelson e Plosser (198, p.141-146). 6
Sous l hypohèse de la racine uniaire ρ = 1, il vien c = 0 e on obien un processus de marche au hasard sans dérive, saionnaire en différences premières (processus DS). Soulignons ainsi que, dans ce conexe, l hypohèse ρ = 1 implique nécessairemen que c = 0 ; on ne peu donc pas avoir à la fois ρ = 1 e c 0. Sous l hypohèse alernaive ρ < 1, il vien : y + u = c + y 1 ρ où = ( 1 ρ) µ 0 c (5) Il s agi d un processus AR(1) asympoiquemen saionnaire en écars à une moyenne consane non nulle µ. DGP (3) y = α + β + ε ( ρl ) ε = u Modèle (3) 1 y 0, ε 0, α 0, 0 y y 0 = 0 = β ( i. i. d 0, ) u σ (6) ~ u = c + b + ρ 1 + ε où c = ( 1 ρ ) α + ρβ e b = ( 1 ρ )β (7) Sous l hypohèse de la racine uniaire ρ = 1, il vien c = β e b = 0 : = β + y 1 u ou y = y + + u i i= 1 y + 0 β (8) Il s agi d un processus de marche au hasard avec dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure mixe : déerminise e sochasique, saionnaire en différences premières (processus DS). Sous l hypohèse alernaive ρ < 1, il vien : y = c + β + ρ 1 + ε où c = ( 1 ρ ) α + ρβ e b = ( 1 ρ )β (9) y Il s agi d un processus caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen déerminise, saionnaire en écars à la endance linéaire (processus TS). L argumen suivan lequel la variable emps es superflue dans le modèle (3) puisque b = 0 si ρ = 1 es parfois évoqué. Touefois ce argumen ne ien pas compe du fai que, sous l hypohèse alernaive, b 0 e que la variable emps doi êre inroduie pour qu on ai un modèle de régression qui admee comme cas pariculiers à la fois le modèle sous l hypohèse nulle e le modèle sous l hypohèse alernaive (Perron, 1993, p.336). Soien * ρ, ρˆ e ρ ~ les esimaeurs des MO de ρ dans les modèles (1), () e (3) respecivemen. Dickey e Fuller proposen des ess individuels fondés sur les esimaeurs sandardisés : T ( ρ * 1), T ( ρˆ 1) e T ( ρ ~ 1 ) e les saisiques usuelles du es de l hypohèse nulle ρ = 1 : *, ρˆ e ρ ~ dans les régressions (1), () e (3) respecivemen. Mais ils ρ proposen égalemen pour eser les hypohèses nulles joines c = 0 e ρ = 1 dans le modèle (), c = b = 0 e ρ = 1 ainsi que b = 0 e ρ = 1 dans le modèle (3), d uiliser les saisiques F usuelles, noées respecivemen Φ 1, Φ e Φ 3. Touefois les esimaeurs des MO de ρ ne suiven plus asympoiquemen des lois Normales e les saisiques e Φ ne suiven plus des lois de Suden e de Fisher. 7
ependan Dickey e Fuller on pu calculer les valeurs criiques de ces disribuions non sandard par des méhodes de simulaion (Fuller 1976, p.371-373 e Dickey e Fuller, 1981, p.106-1063). Une aure caracérisique de ces disribuions es de dépendre du modèle considéré, en pariculier de la présence ou non d un erme consan e/ou d une endance déerminise. En praique, le es de Dickey e Fuller es donc effecué en comparan noammen la valeur de la saisique usuelle à des valeurs criiques plus sévères que celle de la loi Normale e dépendan du modèle considéré. 1.1. La procédure de es de Dickey e Fuller «augmené» Dickey e Fuller (1981) éenden ensuie cee procédure de es à des processus puremen auorégressifs d ordre p connu, il s agi alors des ess ADF pour «Augmened Dickey-Fuller». ee procédure de es es fondée sur l esimaion par les MO, sous l hypohèse alernaive, de rois modèles auorégressifs d ordre p obenus en sousrayan y 1 aux deux membres des modèles (1), () e (3) e en ajouan p 1 reards en différences premières : Modèle (1 ) Modèle ( ) Modèle (3 ) p 1 + φ j j= π i. i. d( 0, ) y = y y + u p 1 + φ j j= j+ 1 j+ 1 u σ (10) ~ u y = c + π y y + u (11) p 1 + φ j j= y = c + b + π y y + u (1) Le es de l hypohèse nulle de la racine uniaire es le es de significaivié du coefficien π que l on effecue à l aide des saisiques usuelles π *, π ˆ e π don les disribuions asympoiques son ideniques, sous l hypohèse nulle ρ = 1, à celles des saisiques *, ρˆ e ρ ~. Les saisiques Φ 1, Φ e Φ 3 définies sur les modèles ( ) e (3 ) suiven les mêmes disribuions asympoiques que celles définies sur les modèles () e (3) e peuven donc égalemen êre uilisées pour eser les hypohèses nulles joines correspondanes sous réserves de quelques modificaions mineures concernan les degrés de liberé. Il fau noer que les coefficiens esimés des reards en différences premières inclus dans les régressions suiven asympoiquemen une loi Normale sous les hypohèses nulle e alernaive e peuven donc faire l obje de ess sandard de significaivié permean d évaluer l ordre p du processus auorégressif. j+ 1 Said e Dickey (1984) généralisen ensuie cee procédure de es à des processus auorégressifs moyennes mobiles d ordre inconnu : l exension qu ils présenen es fondée sur une approximaion auorégressive finie don l ordre k croî avec la aille de l échanillon T 1/ 3 3 k = o T, i.e. lim T 1/ k = 0 ] e l uilisaion des saisiques du es usuel de Suden qui [ ( ) suiven les mêmes disribuions asympoiques non sandard que précédemmen 4. Noons qu il ρ 4 Mais nous ne disposons malheureusemen d aucune précision sur le comporemen des ess joins. 8
s agi là du es le plus uilisé dans la liéraure puisqu en praique on ne connaî pas a priori l ordre du processus engendran les données 5. Un problème se pose ouefois lorsqu en praique il fau fixer k puisque Said e Dickey ne donnen aucune indicaion aure qu asympoique sur ce suje pouran crucial dans les applicaions empiriques, d auan plus que les résulas des ess son sensibles à la valeur reenue comme le monren noammen Schwer (1989) e Harris (199). ampbell e Perron (1991) e Perron (1993) 6 proposen cependan une sraégie séquenielle fondée sur la significaivié des coefficiens des reards en différences premières permean d aribuer à k une valeur dans les éudes empiriques : elle consise à fixer a priori une borne supérieure pour k noée k max e à effecuer ensuie la régression augmenée d ordre k max. Si le coefficien du dernier reard en différences premières es jugé significaif d après les procédures d inférence radiionnelles fondées sur la loi Normale, alors k =. Sinon on rédui k max d une unié e on effecue la régression augmenée d ordre k max 1 jusqu à ce que le coefficien associé au dernier reard en différences premières soi significaif. Si aucun n es significaif, on sélecionne k = 0. ee sraégie n es pas la seule envisageable puisque nous pourrions aussi uiliser des ess de significaivié joine sur les reards en différences premières supplémenaires ou encore les crières d informaion AI de Akaike (1974) ou BI de Schwarz (1978). Ng e Perron (1995) comparen différenes méhodes de sélecion du paramère de roncaure k. Ils monren par des expériences de simulaion qu inclure rop peu de reards affece de manière défavorable le niveau du es andis qu inclure rop de reards rédui la puissance du es en raison de l augmenaion du nombre de paramères à esimer e de la réducion de la aille effecive de l échanillon due aux condiions iniiales supplémenaires requises. Les disorsions de niveau semblen créer un problème plus grave que la baisse de la puissance dans la mesure où cee dernière end à s esomper lorsque la aille de l échanillon augmene alors que les disorsions de niveau persisen même pour des échanillons de grande aille. Or les crières d informaion AI ou BI conduisen à sélecionner une valeur rop faible pour k e donc à des disorsions de niveau. Il apparaî ainsi qu un es ou F sur les reards en différences premières supplémenaires a un avanage cerain par rappor aux crières d informaion parce qu ils conduisen à des ess plus robuses par rappor aux problèmes de niveau. La sraégie séquenielle descendane évoquée précédemmen fondée sur des ess semble êre la plus appropriée éan donnée les faibles disorsions de niveau auxquelles elle donne lieu sans pour auan imposer une pere de puissance. Toujours es-il que l absence d une procédure de sélecion opimale de l ordre de l approximaion auorégressive k es une limiaion imporane de l approche paramérique kmax 5 Il apparaî cependan avec le sigle ADF alors qu il a en fai éé mis au poin par Said e Dickey. 6 L aricle de Perron dans «Macroéconomie : développemens récens» édié par P. Malgrange e L. Salvas- Bronsard, Economica, 1993, p.37-358. es en fai une version plus complèe de la secion de l aricle de ampbell e Perron (1991). 9
de Said e Dickey. Il serai par conséquen inéressan d éudier une approche qui prenne en compe la srucure d auocorrélaion e/ou d hééroscédasicié des résidus d une manière semi-paramérique. 1.1.3 La procédure de es de Phillips e Perron Une elle approche a éé développée par Phillips (1987), Phillips e Perron (1988) e Perron (1986, 1988) : les hypohèses faies sur les erreurs son beaucoup moins resricives. L idée es que des erreurs récenes peuven êre dépendanes, mais des erreurs rès disanes l une de l aure dans le emps son indépendanes. Les résulas asympoiques son fondés sur la héorie de la convergence faible foncionnelle (Billingsley, 1968) e permeen de généraliser dans un cadre unifié les résulas anérieurs concernan la marche aléaoire e des processus ARIMA plus généraux conenan une racine uniaire. Une caracérisique pariculièremen inéressane des saisiques ransformées qu ils proposen (Perron 1988, p. 308-309) es que leur disribuion asympoique es idenique à celles dérivées par Dickey e Fuller. eci implique que la procédure de es de Phillips e Perron peu êre uilisée en se référan aux valeurs criiques asympoiques abulées par Dickey e Fuller même si elle perme de spécifier de manière beaucoup plus générale les séries chronologiques éudiées. L avanage principal de l approche de Phillips e Perron es que le calcul des saisiques ransformées requier seulemen : dans un premier emps, l esimaion par les MO d un modèle auorégressif du premier ordre (correspondan à l un des modèles de la procédure de es de Dickey e Fuller) e le calcul des saisiques associées, e dans un deuxième emps, l esimaion d un faceur de correcion fondé sur la srucure des résidus de cee régression, faisan appel à leur variance de long erme. Lorsque les erreurs ne son pas i.i.d., Phillips e Perron (1988) monren en effe que les disribuions asympoiques des saisiques de la procédure de es DF dépenden du T 1 rappor σ σ où la variance des résidus es σ = lim T E( u ) e la variance de long / u T 1 erme es = lim T E( ST ) σ avec S T = u. = 1 Un esimaeur convergen de u T = 1 u = 1 σ es simplemen la variance esimée des résidus dans le modèle alernaif considéré. Différens esimaeurs convergens de la variance de long erme son envisageables, mais Phillips e Perron open pour celui proposé par Newey e Wes (1987) fondé sur la méhode du noyau qui fai inervenir un paramère de roncaure m analogue à celui que nous avons déjà renconré dans la procédure de es de Said e Dickey : σˆ Tm T 1 uˆ + = 1 m j= 1 T ( j, m) uˆ u m = 1 T T ω ˆ = j+ 1 (13) 10
où ( j, m) = 1 [ j /( m + 1) ] ω e les û son les résidus esimés du modèle alernaif considéré 7. Les pondéraions affecées aux auocovariances esimées assuren que la variance esimée es posiive. Noons que σ Tm a une inerpréaion naurelle pour u saionnaires : il s agi de π fois l esimaeur de la densié specrale de σ pour la fréquence zéro; quan au choix des pondéraions, il es équivalen au choix de la fenêre de reard dans la liéraure sur l esimaion de la densié specrale. Phillips e Perron suggèren, comme Said e Dickey, que le paramère de roncaure m soi une foncion croissane de la aille de l échanillon [en 1/ 4 m = o T ] mais ne donnen aucune indicaion précise sur la valeur qu il fau lui aribuer fai ( ) en praique. Le problème de la déerminaion de ce paramère m dans les éudes empiriques se pose donc à nouveau e longemps la seule soluion envisageable a éé d effecuer les ess pour plusieurs valeurs arbirairemen choisies e d éudier la sensibilié des résulas par rappor à ces différenes valeurs. ependan il es aujourd hui possible d uiliser une procédure pour fixer ce paramère de manière opimale en s inspiran de celle mise au poin par Andrews (1991) e Andrews e Monahan (199) pour l esimaion robuse de la marice de variances-covariances en présence d auocorrélaion e/ou d hééroscédasicié. onsidérons les résidus esimés û de l un des modèles auorégressifs du premier ordre de la procédure de Dickey e Fuller e un noyau k(.) saisfaisan les condiions de Andrews (1991, p.8) assuran la non-négaivié de la variance esimée de long erme. L esimaeur de la variance de long erme peu se réécrire : T = ( ( )) Γ( ) + 1 ˆ j σˆ T / T r 0 k ( ) Γˆ ( ) S j (14) T j= 1 où r es le nombre de paramères esimés dans la régression donnan les û, Γˆ ( j) es l auocovariance esimée d ordre j e S T, la largeur de la fenêre, devien le paramère d inérê. Ainsi les pondéraions uilisées par Newey e Wes son égales à 1 j / S pour j S T e 0 sinon où S T es un réel. Si S T es un enier naurel, alors ces pondéraions son équivalenes lorsque = m + 1 T / T r es un faceur de correcion des degrés de S T. Le erme ( ) liberé en échanillon de aille finie, il es opionnel. La valeur de S T peu êre déerminée en uilisan les données comme l indique Andrews (1991). Les formules dépenden des noyaux mais aussi des données par l inermédiaire de la densié specrale des vraies erreurs non observées u, f u ( ω ) enω = 0. eci nécessie l esimaion de fu ˆ ( ω ), la densié specrale des résidus esimés û qui es réalisée de manière paramérique en uilisan des modèles ARMA. On a ainsi par exemple pour le noyau de Barle Sˆ 1,1447( ˆ( 1) T ) 1/ 3 T = α, pour le noyau de Parzen Sˆ,6614( ˆ( ) T ) 1/ 5 T = α e pour le noyau quadraique specral préféré par Andrews ˆ = 1,31 αˆ T 1/ S T ( ( ) ) 5 = α uˆ pour q = 1, (Andrews, 1991, p.834). j= 1 1 q où ˆ( q) ( πf ( 0) ) j Γˆ ( j) T 7 Il s agi ici du noyau de Barle. On aurai pu uiliser le noyau de Parzen ou de Bohman, cependan le choix du noyau dans la consrucion de l esimaeur ne semble pas êre déerminan pour évier les problèmes de disorsion du niveau des ess, comme le monren Kim e Schmid (1990). 11
Les formules pour αˆ ( q) son fournies par Andrews (1991, p.835) noammen dans le cas de modèles AR(1) e ARMA(1,1). Burke (1996, p.31) fourni une formule dans le cas d un modèle AR(p). La procédure à suivre peu alors êre résumée de la manière suivane : on esime dans un premier emps par les MO un modèle auorégressif du premier ordre (correspondan à l un des modèles de la procédure de es de Dickey e Fuller) e on calcule les résidus esimés û ainsi que leurs auocovariances dans l échanillon. On esime ensuie un modèle AR(1) ou ARMA(1,1) ou même AR(p) sur les résidus esimés û. On calcule alors αˆ ( q) e puis Ŝ T correspondan au noyau choisi. La variance de long erme es ensuie obenue en uilisan l équaion (14). On inègre finalemen la valeur obenue dans les formules des saisiques ransformées de Phillips e Perron e on effecue les ess correspondan. Il semblerai ouefois, d après les expériences de simulaion de Burke (1996), que cee procédure n améliore pas significaivemen la performance des ess de Phillips e Perron qui resen dominés par les ess ADF avec sélecion descendane du paramère de roncaure. Il fau finalemen noer que oues ces procédures de ess de la racine uniaire souffren de disorsions de niveau en présence de ceraines formes d auocorrélaion des résidus e de faible puissance au voisinage de l unié. Il fau donc reser rès pruden dans l inerpréaion des résulas. La criique principale qu on peu adresser à ces procédures de es es la suivane : elles posulen que la composane déerminise de la série considérée sui une endance déerminise linéaire. Or la mauvaise spécificaion, linéaire en l occurrence, de la composane déerminise peu nous conduire à ne pas rejeer l hypohèse nulle de la racine uniaire e ceci à or. 1. La composane déerminise sui une endance non linéaire On disingue deux approches uilisan une composane déerminise non-linéaire : Ouliaris, Park e Phillips (1989) proposen une exension de la procédure de es de Phillips e Perron permean de déecer la racine uniaire ou en mainenan une endance polynomiale sous les hypohèses nulle e alernaive andis que Perron (1989) propose une procédure de es permean d inégrer formellemen l effe d un choc majeur supposé exogène e pallian la faible puissance des ess de la racine uniaire dans des échanillons de peie aille sous une spécificaion linéaire par morceaux de la composane déerminise. 1..1 Tendance polynomiale : ess de Ouliaris, Park e Phillips (1989) Ouliaris, Park e Phillips (1989) généralisen la procédure de es de Phillips e Perron en remplaçan la endance linéaire par une endance polynomiale e par conséquen en inégran l évenualié d une non-linéarié en espérance mahémaique sous les hypohèses nulle e alernaive. L inérê de cee procédure de es es qu elle perme une grande flexibilié dans la spécificaion de la composane déerminise. 1
DGP (4) Modèle (4) Le processus engendran les données s écri alors 8 : p i y = β i + ε ( ρl ) ε = u i= 0 p i = bi + y 1 i= 0 1 i. i. d( 0, ) u σ (15) ~ u y ρ + u (16) Sous l hypohèse de la racine uniaire ρ = 1, il vien b = 0 e b 0 pour i = 0, K, p 1 : p i y = bi + i=0 u Il s agi d un processus inégré d ordre 1, caracérisé, comme le processus de marche au hasard avec dérive, par une non-saionnarié de naure mixe : déerminise e sochasique. Il n es cependan pas saionnaire en différences mais perme d inégrer la non-linéarié en espérance mahémaique. Sous l hypohèse alernaive ρ < 1, il vien b 0 pour i = 0, K, p : p i = bi + ρy 1 i= 0 y + u i Il s agi d un processus caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen déerminise, saionnaire en écars à une endance déerminise polynomiale d ordre p (processus TS(p)). Ouliaris, Park e Phillips (1989) proposen des ess individuels fondés sur l esimaeur sandardisé e la saisique usuelle du es de l hypohèse nulle ρ = 1, mais aussi un es de l hypohèse nulle joine b = 0 e ρ = 1. Les ess son effecués à l aide de saisiques p ransformées suivan la méhodologie de Phillips e Perron, leurs valeurs criiques son obenues par des méhodes de simulaion pour p =,3,4 e 5 (1989, p.3-4). Le résula inéressan que cee approche perme de dégager es le suivan : si le vrai processus engendran les données sui une endance polynomiale d ordre p, les ess de ype fondés sur une régression n incluan qu une endance polynomiale d ordre p 1 seron biaisés en faveur de l hypohèse nulle de la racine uniaire. 1.. Tendance linéaire par morceaux e chocs : ess de Perron (1989) L approche de Perron (1989) es fondée sur un posula pariculier qui la différencie de oues les éudes anérieures sur la racine uniaire : en effe, il suppose que des chocs majeurs comme la Grande rise de 199 e le premier choc pérolier de 1973 ne son pas des réalisaions du processus sochasique sous-jacen engendran les données. Il considère que ces chocs son exogènes. e posula d exogénéié ne doi cependan pas êre considéré comme un élémen permean de spécifier un modèle descripif pour les séries éudiées, mais seulemen comme un ouil permean de sousraire l effe de ces chocs de la foncion de brui. L objecif p i (17) (18) 8 Les hypohèses sur les erreurs peuven en fai êre plus générales : u peu, par exemple, suivre ou processus ARMA saionnaire e inversible. Voir Erur (199) pour les démonsraions des relaions enre les coefficiens β i e b i. 13
poursuivi par Perron es de monrer que la plupar des séries chronologiques macroéconomiques peuven êre considérées comme saionnaires en écars à une endance déerminise linéaire par morceaux si l on perme une variaion de la consane e/ou de la pene de la foncion de endance à la suie d un choc majeur 9. Son approche s apparene à «l analyse des inervenions» suggérée par Box e Tiao (1975). D après cee méhodologie, des phénomènes «aberrans» ou «poins exrêmes» peuven êre reirés de la foncion de brui e modélisés comme des variaions ou «inervenions» dans la composane déerminise de la série chronologique. es inervenions son supposées survenir à des daes connues ; c es ainsi que Perron suppose que la dae de rupure de la foncion de endance es fixe e connue a priori. e poin a éé foremen criiqué par hrisiano (199) e a fai l obje d une généralisaion au cas où la dae de rupure es raiée comme une variable aléaoire inconnue par Zivo e Andrews (199), Banerjee, Lumsdaine e Sock (199) e Perron (1997). Le résula inéressan qui es dégagé es le suivan : on ne peu pas rejeer l hypohèse de la racine uniaire en se fondan sur les ess effecués sur le modèle don la composane déerminise es linéaire si le vrai processus engendran la série sui une endance linéaire par morceaux auour d un poin correspondan au choc majeur. Nous pourrions donc conclure dans un el cas que les chocs aléaoires frappan l économie on ous un effe permanen sur la rajecoire fuure de la série, alors qu en fai seule la variaion de la foncion de endance due au choc majeur a un effe permanen. eci va à l enconre du fai sylisé de Nelson e Plosser car la plupar des séries macroéconomiques analysées par ces derniers ne son plus caracérisées par la présence de racines uniaires e par conséquen l effe des chocs affecan ces séries es ransioire e non plus permanen à l excepion ouefois de deux chocs majeurs : la grande rise de 199 e le premier choc pérolier de 1973 qui seuls on des effes permanens. Le résula obenu par Perron (1989) consiue un reournemen de perspecive remarquable par l ampleur de ses conséquences macroéconomiques. omme dans le cas de la procédure de es de Ouliaris, Park e Phillips (1989), le problème soulevé sur le plan économérique es celui de la mauvaise spécificaion de la composane déerminise posulée linéaire dans les procédures de es «sandard» ; l alernaive proposée par Perron es une spécificaion linéaire par morceaux alors que Ouliaris, Park e Phillips proposen une spécificaion polynomiale. 9 Nous renvoyons le leceur à l aricle de Perron (1989) pour une présenaion déaillée des différens processus engendran les données. 14
. Les sraégies de es. Pour que oues ces procédures de es soien réellemen opéraionnelles sur le plan empirique, il fau élaborer une sraégie de es indiquan le choix du modèle de régression e des saisiques appropriées, éan donné les règles de décision e leurs implicaions, e la puissance des différens ess consiuan ces procédures. Nous présenerons rois sraégies proposées respecivemen par Dickey, Bell e Miller (1986), Perron (1988) e Dolado, Jenkinson e Sosvilla-Rivero (1990). Nous évaluerons leur limie e enerons de proposer une règle de conduie générale à appliquer dans les ravaux empiriques. es sraégies son exposées dans le cadre de la procédure de es de Dickey e Fuller (DF) par souci de claré, mais s appliquen égalemen dans le cadre de la procédure de es de Dickey e Fuller augmenée (ADF) ou encore celle de Phillips e Perron (PP) une fois déerminé le paramère de roncaure par l une des méhodes évoquées précédemmen..1 Une criique de la sraégie de Dickey, Bell e Miller (1986) La sraégie de Dickey, Bell e Miller (1986) es présenée dans l organigramme 1. Ils proposen de commencer la procédure de es par l esimaion du modèle avec consane uniquemen e l uilisaion des saisiques T ( ρˆ 1) e ρˆ, en avançan le fai que l hypohèse nulle sous laquelle les différences premières de la série y on une moyenne nulle e l hypohèse alernaive sous laquelle la série y a une moyenne non nulle consiue «le cas le plus couran en praique» (1986, p.14 e p.18) ce qui nous semble, pour le moins, êre une affirmaion non éayée. Si les ess fondés sur ces saisiques nous permeen de rejeer l hypohèse nulle ρ = 1 au profi de l hypohèse alernaive ρ < 1, la série y sui un processus AR(1) avec consane asympoiquemen saionnaire. Sinon elle sui un processus de marche au hasard sans dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen sochasique. Dans ce dernier cas, on pourrai se demander si la dérive du processus de marche au hasard (la moyenne de y ) es effecivemen nulle. Dickey, Bell e Miller suggèren alors de eser le processus de marche au hasard sans dérive conre un processus de marche au hasard avec dérive y = c' + u ( c' 0), i.e. d esimer ce modèle e de eser la significaivié du coefficien c ' par les procédures d inférence sandard. Soulignons ici que c' c car l hypohèse de la racine uniaire implique nécessairemen que c = 0 comme on l a vu supra. Si c ' es significaivemen différen de zéro la série y sui un processus de marche au hasard avec dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure mixe : déerminise e sochasique, processus qui perme la présence d une endance linéaire dans la série y en niveaux. Une alernaive à ce modèle es alors consiuée par le modèle saionnaire en écars à la endance déerminise. Dickey, Bell e Miller proposen donc d effecuer le es de la racine uniaire sur T ρ ~ 1 e ~. Si l hypohèse le modèle avec consane e endance en uilisan les saisiques ( ) ρ nulle ρ = 1 peu êre rejeée, la série y sui un processus caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen déerminise; sinon la série y sui un processus de marche au hasard avec dérive e c ' = β. 15
Touefois Dickey, Bell e Miller (1986, p.14 e p.16) recommanden avec insisance de ne pas commencer la procédure de es DF par l esimaion du modèle avec consane e endance e l uilisaion des saisiques relaives à ce modèle. Il fau noer que l objecif qu ils poursuiven es de déerminer s il fau ou non différencier la série y de manière à pouvoir ensuie formuler des prévisions fiables sur l évoluion de la série considérée. Dans ce conexe pariculier ils exprimen une préférence marquée pour les modèles différenciés par rappor aux modèles saionnaires en écars à une endance déerminise e plus généralemen par rappor 1 ρl où ρ es sricemen inférieur, mais aux modèles incluan un faceur auorégressif ( ) proche de 1. En effe, en maière de prévision il semblerai que la sous-différenciaion aien des conséquences beaucoup plus graves que la sur-différenciaion. Par conséquen, ils enden à acceper la différenciaion à moins que les données considérées ne présenen une preuve saisiquemen significaive du conraire (posiion qu ils paragen avec Box e Jenkins, 1976). Dans ce conexe pariculier, Dickey, Bell e Miller souiennen que de commencer la procédure de es par l esimaion du modèle avec consane e l uilisaion des saisiques qui T ρ ~ 1 e ρ ~ dérivées du s y raachen, perme d évier la faible puissance des saisiques ( ) modèle avec consane e endance lorsque α 0 e = 0 T ρ * 1 e dérivées du modèle sans consane ni endance lorsque la moyenne de la série * ρ β e des saisiques ( ) chronologique y es non nulle ( µ 0 ). Ils reconnaissen ouefois que les saisiques T ( ρˆ 1) e ρˆ peuven avoir une faible puissance quand le vrai processus engendran la série y adme une endance linéaire déerminise ( β 0 ), mais ils souiennen que : «puisque la différenciaion élimine une endance linéaire, la faible puissance de ρˆ peu dans ce cas êre plus réconforane qu alarmane» (Dickey, Bell e Miller 1986, p.18). La non-saionnarié de la série y serai ainsi, d après eux, de oue manière déecée, la différenciaion pouvan êre ensuie appliquée pour la saionnariser. Il nous semble que cee approche ne fourni pas une soluion appropriée au problème de la déerminaion de la naure effecive de la non-saionnarié (TS ou DS) caracérisan la série chronologique y parce qu elle ne perme de conclure qu in exremis de par sa consrucion même. Les choses s aggraven si on ire une conclusion prémaurée des ess fondés sur le modèle avec consane uniquemen. Il es en effe clair que, dans le cas considéré par Dickey, Bell e Miller le es fondé T ρˆ 1 e/ou ρˆ nous conduirai à acceper à or l hypohèse nulle de la sur la saisique ( ) racine uniaire e par conséquen à penser que la série y es caracérisée par une nonsaionnarié de naure sochasique (la méhode de saionnarisaion par différenciaion éan alors appropriée), alors que la vraie naure de la non-saionnarié caracérisan la série y es puremen déerminise e qu il aurai fallu oper pour la méhode de saionnarisaion en écars à une endance linéaire déerminise. 16
S il es exac que la différenciaion élimine une endance linéaire e que l on peu s en T ρˆ 1 e conener lorsque l objecif principal es la prévision, l uilisaion des saisiques ( ) ρˆ exclu par conre, a priori, ou es de l hypohèse nulle de la racine uniaire conre l hypohèse alernaive suivan laquelle la série es saionnaire auour d une endance linéaire déerminise. ee manière de procéder nous parai donc «alarmane» conrairemen à Dickey, Bell e Miller (1986), d auan plus que Perron (1988, p.316) démonre le héorème suivan dans le conexe de la procédure de es DF 10 : Théorème : y es une série saionnaire auour d une endance linéaire déerminise, Si { } 0 alors quand T : p a) T ( ρˆ 1) 0 b) p 0 e héorème monre donc que le biais sandardisé ( ρˆ 1) ρ ˆ T e la saisique ρˆ convergen en probabilié vers zéro. La conséquence en es que l uilisaion de ces saisiques dans la procédure de es ne perme pas de disinguer un processus saionnaire en écars à une endance linéaire d un processus admean une racine uniaire. Par conséquen, le modèle avec consane uniquemen es impropre à effecuer le es de l hypohèse nulle de la racine uniaire si une alernaive plausible es que la série y es saionnaire en écars à une endance déerminise. Perron (1988, p.316) donne de ce résula une inerpréaion inuiive : supposons que la moyenne d une série y ende neemen à croîre dans le emps (processus TS) e qu on esime un modèle ne comprenan qu une consane e la variable explicaive reardée. La seule manière don ce modèle puisse enir compe de cee croissance es que la consane devienne le paramère de endance, ce qui ne survien que quand le paramère auorégressif es égal à 1, auremen di lorsque le processus adme une racine uniaire e qu il s agi d un processus de marche au hasard avec dérive. Le héorème formalise donc cee idée inuiive e monre, en oure, que la convergence du paramère auorégressif vers 1 es suffisammen rapide pour que les ess T ρˆ 1 e ne permeen pas de rejeer l hypohèse nulle de la fondés sur les saisiques ( ) ρˆ racine uniaire, même asympoiquemen (Perron 1988, p.316). Nous devrions, par conséquen, commencer la procédure de es DF par l uilisaion des saisiques T ( ρ ~ 1 ), ρ ~ e Φ3 dérivées du modèle avec consane e endance. es, comme nous allons le voir, la sraégie suggérée par Perron (1988). Perron (1988, p.316, noe 1) noe que de ne pas suivre une sraégie de ce ype peu conduire à de sérieuses erreurs d inerpréaion. Il cie l exemple de Kleidon (1986, p.99-993) sur la saionnarié des bénéfices réels. Kleidon ne peu rejeer, en effe, l hypohèse nulle d une racine uniaire en esiman le modèle () e la rejee en esiman le modèle (3), mais il exprime 10 Wes (1987) démonre un héorème analogue dans le conexe de la procédure de es ADF. 17
finalemen sa préférence pour les résulas obenus à parir du modèle (). Or la conclusion correce de cee éude aurai dû êre la suivane : les bénéfices réels admeen une représenaion TS e son saionnaires en écars à une endance déerminise.. Une criique de la sraégie de Perron (1988) La sraégie suggérée par Perron (1988, p.316-317) débue par les ess effecués sur le modèle avec consane e endance. Si la racine uniaire es rejeée, la procédure séquenielle s arrêe e la série es caracérisée par une non-saionnarié de naure déerminise. Si la racine uniaire n a pas pu êre rejeée, il se peu que cela provienne de la faible puissance du es en présence du erme de endance qui pourrai êre superflu. On doi alors eser si le coefficien de ce erme de endance es significaif ou non, auremen di, si la dérive du processus de marche au hasard es significaive ou non sous l hypohèse de la racine uniaire. Ean donné la non-invariance des ess associés aux coefficiens individuels de la composane déerminise, il es nécessaire d uiliser le es join fondé sur la saisique Φ, pour eser l hypohèse nulle d un processus avec racine uniaire sans dérive conre l hypohèse alernaive d un processus avec racine uniaire avec dérive. Si cee hypohèse nulle es rejeée, la série es caracérisée par une non-saionnarié sochasique. Sinon, il fau uiliser le modèle sans endance pour eser l hypohèse de la racine uniaire. L imporance accordée à la saisique Φ consiue l originalié de la sraégie de Perron. ee sraégie peu êre décomposée en rois éapes, elle es présenée dans l organigramme. Eape 1 Nous commençons la procédure de es DF en esiman le modèle avec consane e T ρ ~ 1 e/ou ρ ~ e/ou le es endance e nous effecuons les ess fondés sur les saisiques ( ) join fondé sur Φ 3. Des éudes de simulaions on monré que, dans de nombreux cas, le es individuel fondé sur la saisique ρ ~ es plus puissan que le es join fondé sur la saisique Φ 3. Nous privilégierons donc le résula du es individuel. 1. Si nous pouvons rejeer l hypohèse nulle = 1 ρ ou l hypohèse nulle joine ( c, b, ρ ) = ( c,0,1) dans le modèle avec consane e endance, nous pouvons effecuer les ess de significaivié individuelle des paramères ρ, c e b par les procédures d inférence radiionnelles (loi de Suden ou asympoiquemen loi Normale) 11. Par souci de claré, ces ess ne son que pariellemen représenés sur l organigramme mais on peu envisager de les réaliser de la manière suivane. Si l hypohèse nulle ρ = 0 ne peu êre rejeée e si b = β 0, c = α, nous avons un modèle de endance linéaire e brui blanc cenré ; si ρ = 0, c = α 0 e b = β = 0, on revien au modèle () qui se rédui à un processus de brui blanc non cenré e si ρ = 0, c = α = 0 e b = β = 0, on revien au modèle (1) qui se rédui à un processus de brui blanc cenré. 11 La numéroaion des paragraphes renvoie aux différens élémens des organigrammes. 18
Si l hypohèse nulle ρ = 0 es rejeée, i.e. si ρ es effecivemen différen de zéro e si b 0 ( c 0, α ) : la série y sui un processus caracérisé par une nonsaionnarié de naure puremen déerminise, elle es saionnaire en écars à la endance linéaire déerminise. Si ρ 0, b = 0 e c 0 : la série y sui un processus AR(1) avec consane asympoiquemen saionnaire. Si ρ 0, b = 0 e c = 0 : la série y sui un processus AR(1) sans consane asympoiquemen saionnaire.. Si nous ne pouvons pas rejeer l hypohèse nulle ρ = 1 e/ou l hypohèse nulle joine ( c, b, ) = ( c,0,1) ρ dans le modèle (3), il nous fau eser si la dérive c = β es effecivemen non nulle. Perron suggère à ce propos d uiliser la saisique Φ éan donné la noninvariance des ess individuels associés aux coefficiens de la composane déerminise don les valeurs criiques son abulées par Dickey e Fuller (1981, ableau e 3 p.106). En effe la saisique pour eser l hypohèse c = 0 dans le modèle (3) dépend de la condiion iniiale, andis que la saisique pour eser l hypohèse b = 0 dépend de la vraie valeur de β (Perron, 1993, p.336). es saisiques son donc rès raremen uilisées dans les ravaux empiriques. Si nous pouvons rejeer l hypohèse nulle joine ( c, b, ρ ) = ( 0,0,1) 19, la série y sui un processus de marche au hasard avec dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure mixe : déerminise e sochasique. Sinon, elle sui un processus de marche au hasard sans dérive caracérisé par une non-saionnarié de naure puremen sochasique. 3. Touefois, si nous n avons pas pu rejeer l hypohèse nulle ρ = 1 ou l hypohèse nulle joine ( c, b, ) = ( c,0,1) ρ dans le modèle (3), ceci peu êre dû à la faible puissance des ess fondés sur les saisiques du modèle (3) par rappor aux ess fondés sur les saisiques du modèle () lorsque c = 0 ( β = 0 pour ρ = 1, α ). Par conséquen si nous pouvons acceper l hypohèse nulle joine ( c, b, ρ ) = ( 0,0,1), nous avons, sous l hypohèse nulle de la racine uniaire, c = β = 0 e nous suggérons alors l esimaion du modèle () e l uilisaion des saisiques T ( ρˆ 1) e ρˆ e/ou Φ 1 qui son dans ce cas plus appropriées avan de conclure. Eape Nous esimons donc, dans une seconde éape, le modèle () e nous effecuons les T ρˆ 1 e/ou rˆ e/ou Φ 1. ess fondés sur ( ) 4. Si nous pouvons rejeer l hypohèse nulle = 1 ρ ou l hypohèse nulle joine ( c, ρ ) = ( 0,1) dans le modèle (), nous pouvons effecuer les ess de significaivié individuelle des paramères ρ e c par les procédures d inférence radiionnelles (loi de Suden ou asympoiquemen loi Normale). Par souci de claré, ces ess ne son que pariellemen représenés sur l organigramme mais on peu envisager de les réaliser de la manière suivane.