OPTIMISATION DU RESEAU PLUVIOMETRIQUE HODNEEN PAR LA METHODE DES ALGORITHMES GENETIQUES SPATIALISES

Larhyss Journal, ISSN -3680, n 06, Jun 007, pp. -33 007 Tous drots réservés OPTIMISATION DU RESEAU PLUVIOMETRIQUE HODNEEN PAR LA METHODE DES ALGORITHMES GENETIQUES SPATIALISES GUETTOUCHE M.S., BOUKHETALA K., AIT-KACI S. Laboratore de Géomorphologe, Faculté des Scences de la Terre USTHB, Alger msguettouche6@hotmal.com Laboratore de Probabltés et Statstques, Faculté de Mathématque USTHB, Alger RESUME Le problème traté est la dmnuton du nombre de statons d observatons pluvométrques d un réseau nstallé dans le bassn du Hodna (Algére), en chosssant les statons qu rendent le réseau le plus représentatf géographquement, et cela pour alléger les coûts de fonctonnement et d entreten du réseau. La formulaton du problème ans énoncé a donné leu à la recherche d un parttonnement optmal d un ensemble de N ndvdus en k classe. Ce problème combnatore demande l applcaton des algorthmes approchés pour le résoudre. Pour ce fare, une méthode de résoluton a été élaborée et qu consste en un algorthme génétque spatal (SGA). Pour fnalser, un logcel nteractf a été établ à l ade de l envronnement de développement MATLAB. Le résultat de cette méthode est la déducton de cnq statons matéralsant la zone et représentant, en fat, une sére de 37 statons pluvométrques mplantées actuellement dans le bassn. Mots-clés : Hodna, statons, optmsaton, algorthme génétque spatalsé, localsaton Larhyss/Journal n 06, Jun 007

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 INTRODUCTION L Algére est dotée d un réseau d observatons météorologques caractérsé par des statons d enregstrement manuel, basé sur l observateur. Les statons sont dans la plupart des cas ncomplètes et se résument en un pluvomètre seulement. L optmsaton d un tel réseau est donc nécessare et peut être justfée pour deux rasons. La premère rason est d ordre économque et vse à rédure le temps et le coût en lmtant le nombre de statons. Cec permet également une bonne geston du réseau et un bon encadrement. La seconde rason est d ordre pratque et qu consste à automatser les statons pour permettre d une part l enregstrement asé de tous les paramètres météorologques et la dmnuton des erreurs d autre part. Il faut noter auss que les relevés météorologques se font par des observateurs non qualfés; ce qu échappe à la rgueur et au contrôle des observatons. Dans ce contexte, nous avons estmé nécessare de chercher une méthode d optmsaton du réseau pluvométrque, en prenant comme zone test le Bassn du Hodna. PRESENTATION DE LA ZONE D ETUDE Le bassn du Hodna est une cuvette qu fat parte des hautes planes steppques algérennes. C est un bassn endoréque, bordé par les monts du Hodna au Nord et les monts d Ouled Nal (Atlas saharen) au Sud (fgure ). Fgure : Localsaton et stuaton géographque du bassn hodnéen La cuvette hodnéenne est fermée au Nord par les monts des Hodna et Tter, au Sud par l Atlas saharen, à l Est par les monts de Belazma et enfn à l Ouest par

Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés le système monoclnal de Dss. A ce contraste topographque et structural s ajoutent des nuances boclmatques marquées par une opposton entre un domane sub-humde à sem-arde. Le bassn du Hodna est couvert de 4 statons clmatques complètes et 33 postes pluvométrques dont leur geston est conjontement assurée par le servce de l Offce Natonal de la Météorologe et l Agence Natonale des Ressources Hydraulques. La densté du réseau est fable par rapport à la superfce du Bassn (Fgure ) et l on peut noter l absence de staton pluvographques et/ou automatques Le réseau pluvométrque de ce bassn se caractérse par une fréquence notable des lacunes qu concernent parfos des mos ou des années. Celles-c sont dues généralement à l nterrupton des observatons météorologques sute à l absence justfée ou non de l observateur et /ou à l arrêt des statons après l ndépendance Fgure : Stuaton du réseau pluvométrque du bassn hodnéen En observant la fgure (Guettouche, 003) et les données dsponbles de ce réseau pluvométrque, nous remarquons que:. la répartton des statons est négale sur la régon. Elle est, plus dense au Nord qu au Sud.. certanes statons sont très proches les unes des autres, ndquant quasment la même valeur d enregstrement de la quantté de plues.. la geston du réseau est probablement très coûteuse en moblsant beaucoup de moyens et de personnel. Elle mplque au mons une vngtane de 3

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 personnes pour entreten du réseau et pour la collecte des données pluvométrques. v. le nombre de statons clmatques complètes permettant l enregstrement de tous les paramètres clmatques est très nsuffsant. Pour atténuer ces contrantes, nous avons pensé à optmser ce réseau en complétant et en automatsant cnq statons représentatves qu couvrent tout le terrtore du bassn. La méthode d optmsaton adoptée est celle des Algorthmes Génétques Spatalsés (Boukhetala et al., 996; Boukhetala, 004). CONSIDERATIONS THEORIQUES Généralement, les Algorthmes Génétques (AG) représentent une famlle assez rche et très ntéressante d'algorthmes stochastques d'optmsaton qu sont fondés sur les mécansmes de la sélecton naturelle et génétque. Le prncpe de ces algorthmes est de procéder par une recherche stochastque sur un espace mportant et à travers une populaton de pseudo-solutons. Ces algorthmes sont smples et très effcaces parce qu'ls ne demandent pas d hypothèse sur la manère d optmser, comme la contnuté et la dfférentaton. Ils s opèrent drectement sur l'espace exploré, après un codage de solutons fasables de la foncton d évaluaton. Ils procèdent sur une populaton de ponts, au leu d'un pont unque et utlse les valeurs de la foncton étudée sans aucune autre connassance n règle probablstque de transton. Pour meux suvre la dynamque de l'algorthme génétque, nous adoptons les mêmes défntons que celles utlsées dans la lttérature. Ans :. Indvdu ou Chromosome: représente une soluton potentelle. Gène : bt ou ensemble de bts codant une nformaton. Populaton: ensemble de chromosomes ou de ponts appartenant à l'espace de recherche v. Envronnement: espace de recherche v. Ajustement ou foncton d'estmaton: foncton recherchée pour maxmser (mnmser). Le fonctonnement des AG s appue sur dfférents opérateurs de base. Ceux-c sont nsprés drectement du mécansme de la sélecton naturel et du phénomène génétque. Il consste à fare évoluer la populaton pour adapter des ndvdus à l'envronnement. Technquement, une nouvelle génératon résulte à la fn d'un cycle en utlsant les tros prncpaux opérateurs standards qu sont les 4

Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés opérateurs de reproducton, de crosement et de mutaton. Pour une rason de mse en oeuvre adaptée aux ordnateurs, une représentaton chromatque ou codage des ndvdus (solutons fasables) est nécessare. Dans le cas de notre recherche, nous avons utlsé l Algorthme Génétque adapté au cas spatale, noté AGS (Boukhetala et At Kac, 004) qu utlse un codage spatal de soluton ans que deux opérateurs approprés de crosement et de mutaton. Codage de Soluton On consdère un n-échantllons spatal, dans un espace de recherche de dmenson L < n. Celu-c prend la forme matrcelle suvante: X x. =. x n x x n............ x L.. x nl Ans, une populaton des solutons dans cet espace est un ensemble de matrces M ( n L). Nous adoptons relatvement le codage par rapport à une matrce; donné, pour ndvdu, par un vecteur réel de dmenson n L: X = (( x,..., xl ),( x,..., xl ),..., ( xn,..., xnl ) ) Opérateur de crosement local L opérateur de crosement local sera noté OCL. A partr d un couple d ndvdus (X, X ), nous chosssons un échantllon ( x, x ). Pour défnr l opérateur local OCL, l faut générer un nouvel échantllon tel que : avec: où : ' ' ( x, x ) [ a, b] [ a, b] ' ( b a) x = PE U pas+ pas/ pas ' ' x = x + x x 5

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 a= max( x, x ) mn( x, x ) b = mn( x + x, Sup) Les quanttés, dénotées par les pas, PE et U, sont respectvement l'ncrément (ou pas) de l espace échantllonné, parte entère et une valeur aléatore, prs entre [0,]. Durant la recherche d'échantllon optmal, l peut y avor deux échantllons dentques en rason de la nature combnatore du problème. Pour cela, on ntrodut un opérateur de dversté qu sut l augmentaton ou la dmnuton du gène: x = x Sgn pas y = y Sgn pas a, b, c, d sont des constantes, et Sgn est défn par: + s ( x = aou y = c ) Sgn = s ( x = b ou y = d) ( + ou ) avec la probablt é / (x,y ) [a,b ]x[c,d ] Fnalement, le crosement local est pour notre problème, une adaptaton très ntéressante du crosement mult-emplacements classque sur les chromosomes produts par la concaténaton de code bnare. Opérateur de mutaton L'opérateur de mutaton (OM) que nous proposons à notre problème d'échantllonnage spatal procède comme sut : Nous opérons sur un gène S k = ( xk, yk ) que nous amortssons à un nouveau gène S = x, y ). Ans : k ( k k tel que: x k = xk Sgn U yk = yk Sgn V U U [ x, ] ( k b a ) + b P E pas f x k pas U [ a, x ] a ( k ) + b P pas f x E pas k < 6

[ a, b] Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés c + d U[ y, d ] s yk k V c + d U [ c, y ] s y k k < U est une valeur aléatore de [a,b ]. Crtère d'arrêt Le nombre des tératons est fxé, après quelques tests, sur la foncton d évaluaton. Il satsfat un comproms entre contrantes de convergence de la populaton, les temps du CPU et la précson (Boukhetala et At Kac, 004) APPLICATION Selon les remarques ndquées précédemment, l s'agt de dmnuer le nombre de statons du réseau pour alléger les coûts de fonctonnement et d entreten tout en gardant l nformaton pluvométrque fourne par le réseau ntal. L'objectf est de fournr au décdeur un outl à partr duquel l peut sélectonner un nombre mnmum k (k 37) de statons d observatons de telle sorte qu elles soent répartes de la manère la plus équtable possble sur la régon et qu elles fournssent les mêmes nformatons sur la pluvométre que celles du réseau ntal. Nous avons: D = {(x, y, z) x [540, 800], y [50, 400], z [456, 50]} Les données moyennes annuelles des plues, observées dans le bassn du Hodna (D), peuvent être approchées par le modèle lnéare suvant (Guettouche, 003) : où : QS = α, S + d + m. ε( S) (en mm) a α = b c d et m sont des paramètres réels. Les paramètresα ~, b, c et d prennent respectvement les valeurs suvantes : 3 a = 60,05.0, b = 0,70, c = 0,9, d = 94,44 7

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 avec une valeur du coeffcent de corrélaton R = 0,89. Les erreurs des observatons sont modélsées par un processus spatal aléatoreε s, en prenant en consdératon la caractérstque de varablté, l ncerttude et l hétérogénété du processus pluvométrque. Nous supposons que le processus aléatore spatal des erreurs, assocé à chaque emplacement, est un processus gaussen homogène, avec une moyenneμ ε et une covarance C(ε,ε j ). Par conséquent, on détermne les emplacements optmaux par la recherche de l'échantllon optmal de dmenson fne k, par rapport à un crtère d'optmalté tel que : E( Q M) avec Q la hauteur moyenne de plue des k stes : k Q= QS k = Formulaton mathématque du problème Sot : 3 {,... } S = s D IR = k un ensemble d'échantllons des stes de dmenson k= S n, où n est la dmenson du domane D. Le crtère d'optmalté est donné par : * k Qs ( ) ( / ) σ S ε = Mn E M S D = k où : k : Dmenson de S, S ensemble d'échantllon de dmenson k, QS 8 quantté de plue observée sur le ste s, s *=(x *, y *, z *) =,,..k coordonnées de l échantllon spatal optmal s,... k * S, ε = ( ε ( )) = vecteur des erreurs correspondantes aux observatons dans chaque ste. Ce vecteur est un processus spatal Gaussen de type analytque, avec moyenne zéro et foncton de covarance Cov(s,s j ). E est une moyenne mathématque, défne par rapport à la lo deε

Foncton d évaluaton Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés Nous avons: tel que: * k k σ ( S ; ε ) Mn ( Cst ) m. Cov ( ( s ), ( s ) ε ε = + j ) k j = = { s S : =,... k }, { s j S : j =,... k } Cst : constante approprée préalablement détermnée. Nous avons applqué notre algorthme AGS pour les paramètres suvants :. M = 337,9 mm: hauteur moyenne des plues, dans le bassn du Hodna,. k = 5 : nombre de statons à chosr,. Sélecton par rangement (Presson de sélecton =,4), v. Crosement: OC et OCL sont utlsés, avec les probabltés adéquates P OC et P OCL, respectvement, v. Mutaton: OM est utlsé avec une probablté adéquate POM, v. Covarance spatale : Cov( s, s j) = exp θ s s j, avec θ = 0,05 Le chox ntal d'ndvdu a un effet sur la précson de soluton. L'effet est postf quand le chox concerne un ndvdu mauvas. * Pourσ ( S / ε ) = 0,6, la confguraton spatale optmale correspondante est donnée par la fgure 3. 9

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 Km 685 85 065 775 345 905 XG = 656 85 580 755 75 05 756 55 755 Fgure 3 : Représentaton 3D des stes optmaux obtenue par les AGS Le tableau donne les résultats obtenus par l'ags. Ces résultats, qu concernent les paramètres optmums par rapport à un échantllonnage réguler, résultent après une répétton de 80 temps de l'ags. Pour rédure la varablté de l'estmateur Q et amélorer la performance de l'ags, nous avons utlsé un opérateur quanttatf. Le résultat de cette opératon est donné par le tableau : Enfn, l mplémentaton de l'ags a donné 5 stes à référence spatale que nous estmons optmums. Ces stes sont géoréférencés par leurs coordonnées géographques (tableau 3). 30

Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés Tableau : Résultats obtenus de l applcaton de l'ags P CG P CL Erreurs absolues (EA): Q M 0,9 0,0 4,43; 3;98; 0,5;,8;,0;,4; 0,3;,6; 0,76; 0,; 5,0;,4; 3,46; 9,07;,8; 0,65; 0,34; 0,4;,9; 0,00; 0,94; 0,75; 5,7;,80; 7,4;,79; 0,9;,78; 0,03; 0,9; 8,8; 0,63;,44; 7,59; 8,84;,4;,4; 0,58; 4,09;,46; 7,54;,4; 4,6;,0; 4,4; 0,39;,85; 0,; 0,6;,; 0,56;,8;,39; 0,84;,0; 0,0; 0,98;,58; 7,7; 3,8;,07;,6; 0,07; 0,; 0,95; 4,56; 0,9; 0,03; 0,43;,;,46; 3,74; 7,8;,7; 5,5;,64; 0,90; 5,3;,8; 0,99 Intervalle de Conf. (AE) [4,0; 9,96] Tableau : Résultat fnal des AGS P CG P CL Erreurs Absolut (AE): Q M 0,9 0,0 0,35;,09;,3; 0,;,57; 0,7; 0,56; 0,6; 0,43; 0,6; 0,56;,38; 5,58; 0,93; 5,53;,70; 0,3; 0,80; 0,44; 0,47; 6,63;,95;,03;,7;,67 Interval de Conf. (AE) [,43; 5,79 ] Tableau 3 : Emplacement des 05 statons optmales X Y Alttude Staton 685 85 065 Stat. Optm 775 345 905 Stat. Optm 565 65 580 Stat.3 Optm 755 75 05 Stat.4 Optm 765 55 755 Stat.5 Optm DISCUSSION Il faut noter que les AGS sont mplémentés par le langage MATLAB. La procédure de ce langage est utlsée dans la génératon des erreurs gaussennes de la mesure spatale et par les opérateurs de smulaton OC, OCL et OM. L applcaton de cet algorthme aux données de la zone d étude a perms de stuer les cnq postes demandés, car, du pont de vue morphologque, on estme 3

M.S Guettouche et al. / Larhyss Journal, 6 (007) -33 que le bassn peut être cadré par un maxmum de 5 statons représentant les dfférents dspostfs morphoclmatques. En observant la fgure 3, nous remarquons que :. les postes matéralsent ben la zone.. deux postes représentent les montagnes au Nord, morphologquement très massves et condensées.. deux postes au centre Est et à l'ouest caractérsant une morphologe ouverte : la plane hodnéenne. v. une staton au sud caractérsant les montagnes du sud de massvté moyenne et de morphologe large. CONCLUSION L applcaton d un Algorthme Génétque Spatalsé, pour optmser un réseau pluvométrque, est proposée. Les résultats d'échantllonnage obtenus sont amélorés par un opérateur quanttatf des erreurs, pour des échantllons de pette dmenson. Cec se justfe par le fat que cet opérateur a un effet sur la régularté de la foncton d ajustement, en créant une confguraton de chox, souhatable pour un algorthme de type génétque. L approche proposée dans ce traval peut résoudre tout autre exemple de ce type de problème, c est à dre le chox des statons d observatons pluvométrques représentatves pour un réseau dense et ayant une redondance de l nformaton pluvométrque. Dans ce cas, l faut ntrodure de nouvelles données de paramètres géographques tels que l exposton, l angle de vent domnant, etc qu, par leur varablté, ont une grande nfluence sur les précptatons de la régon à étuder. Les travaux en perspectve seront consacrés, en terme mathématque, à l'améloraton des paramètres et des opérateurs de l'algorthme Génétque Spatalsé. Cette améloraton permettra de dmnuer l erreur et d'obtenr des ntervalles de confance réalstes plus adaptés aux applcatons pratques. Mas pour les pratcens, ce sont les paramètres ntervenant dans la caractérsaton du ste qu dovent être meux choss, car ls ont une nfluence sur le phénomène à étuder que ce sot, hydrologque, clmatque, ssmologque ou autre. 3

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES Optmsaton du réseau pluvométrque hodnéen par la méthode des algorthmes spatalsés BENHENNI K., CAMBANIS S. (998). The effect of quantzaton on the performance of samplng desgn, IEEE transactons on nformaton theory 44, 5, 09-. BOUKHETALA K., AIT-KACI S. (004). Fnte Spatal Samplng Desgn and quantzaton,compstat 004,Symposum, Physca Verlag/Sprnger. BOUKHETALA K., HABIB F.Z. (00). Fnte Samplng desgn wth quantzaton for a pharmacoknetc problem. The 6 th WMSCI, Computer Scence, Vol XI, edton IIIS, USA, 67-70. BOUKHETALA K., MEHASSOUEL N. (000). Optmal Spatal Samplng for an estmatng problem, based on correlated observatons, Compstat 000, edton Statstcs Netherlands,, 57-58. BOUKHETALA K., BENHENNI K., BENAMARA S.(996). Optmal Samplng for estmatng ntegral of functon from observatons wth correlated measurement errors, Compstat 96, Edton UPC, A. Prat and E. Rpoll, 6-6. GUETTOUCHE M.S.(003). Du terran à l analyse numérque essa d une typologe systémque de l espace géographque hodnéeen. (Algére nord orentale). Thèse de Doctorat d Etat en Géomorphologe, FSTGAT, USTHB, Alger, 30 p. 33