BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- FONCTIONS CIRCULAIRES Table des matières I Fonctions circulaires I. Définitions............................................... I. Valeurs remarquables......................................... I. Variations et courbe représentative................................. I. Dérivation............................................... II Fonctions circulaires réciproques II. definitions............................................... II. Fonction arc sinus.......................................... II. arc cosinus.............................................. II. arc tangente.............................................. 5 IIIFonctions e it et e at IV Dérivée et primitive d une fonction à valeurs complexes --
BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- I Fonctions circulaires I. Définitions Définition Soit x un réel, il lui correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radians de l angle ( i, OM). Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse de M dans le repère (O; i ; j ). Le sinus de x, noté sin x, est l ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ). La tangente de x, notée tan x, est le rapport sin x cos x pour x + k. M cos x et sin x sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du point M dans le repère (O; i ; j ) On note : M cos x sin x sin x j x i cos x A Propriété cos x + sin x = cos x et sin x I. Valeurs remarquables 5 7 5 5 7 --
BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- x sin x cos x tan x I. Variations et courbe représentative La fonction sinus est impaire et périodique. La fonction cosinus est paire et périodique. La fonction tangente est impaire et périodique. x sin(x) ր ց x cos(x) x tan x + I. Dérivation Propriété Les fonctions sinus et cosinus sont définies et dérivables sur R, la fonction tangente est définie et dérivable sur tout intervalle ne contenant pas + k, et on a : cos (x) = sin(x). sin (x) = cos(x). tan (x) = cos (x) = + tan (x). --
BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- II II. Fonctions circulaires réciproques definitions Considérons une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs dans R qui à un réel x de I associe un réel y. Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction «retour» qui permette, à partir de y, de revenir à x. Définition Soient I et J deux intervalles de R et f : I J une fonction continue strictement monotone. Il existe une unique fonction f : J I telle que pour tout x I et pour tout x J : f f(x) = f (f(x)) = x et f f (x) = f(f (x)) = x. Cette fonction est appelée fonction réciproque de f. Remarque Graphiquement, la courbe de la fonction réciproque f d une fonction f s obtient en appliquant une symétrie d axe la droite d équation y = x. C est le cas, par exemple, pour les fonctions logarithme et exponentielle sur R, où encore pour les fonctions carré et racine carrée sur [; + [. II. Fonction arc sinus Définition La fonction sinus est continue et strictement croissante sur l intervalle [ ; ]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ ; ]. Cette fonction est appelée arc sinus et notée arcsin ou parfois sin. y = arcsin x y = sin x y = arcsin x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont le sinus vaut x. x [ ; ], arcsin x = x Exemple ( ) arcsin = car ( ) sin =. Démonstration de la dérivée : Pour tout x de [ ; ], on a sin(arcsin(x)) = x. En dérivant les deux membres, on obtient : arcsin(x) cos(arcsin(x)) = d où arcsin(x) = Comme cos(arcsin(x)) = cos(arcsin(x)). sin (arcsin( x)) = x, on obtient le résultat cherché. --
BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- II. arc cosinus Définition La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur l intervalle [; ]. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur [ ; ]. Cette fonction est appelée arc cosinus et notée arccos ou parfois cos. y = arccos x y = arccos x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont le cosinus vaut x. x [ ; ], arccos x = x y = cos x II. arc tangente Définition 5 La fonction tangente est continue et strictement croissante sur l intervalle ] ; [. Elle admet donc sur cet intervalle une fonction réciproque définie sur R. Cette fonction est appelée arc tangente et noté arctan ou parfois tan. y = tan x y = arctan x y = arctan x signifie que y est le réel (l arc) compris entre et dont la tangente vaut x. x R, arctan x = + x -5-
BTS DOMOTIQUE Fonctions circulaires 8- III Fonctions e it et e at Définition Pour tout nombre réel θ et tout nombre complexe a = α + iβ, on pose : e iθ = cos θ + i sin θ. e at = e αt [ cos(βt) + ß sin(βt) ] Démonstration de la seconde égalité : e at = e (α+iβ)t = e αt e iβt = e αt [ cos(βt) + i sin(βt) ]. Remarque On peut retrouver ainsi les formules de Moivre et d Euler, pour tout θ R et n N : (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) cos θ = eiθ + e iθ sin θ = eiθ e iθ i IV Dérivée et primitive d une fonction à valeurs complexes Définition 7 Une fonction d une variable réelle à valeur complexe est une fonction qui à un nombre réel associe un nombre complexe. Exemple la fonction définie sur R par f(x) = x x i est à valeur complexe. Remarque On peut considérer que la fonction f est constituée de deux sous fonctions : f (x) = x et f (x) = x. On a ainsi f(x) = f (x) + if (x). Propriété Soit f(x) = f (x) + if (x) une fonction continue d une variable réelle à valeur complexe. Si f et f sont dérivables, alors f est dérivable et f (t) = f (x) + if (x). Si F et F sont les primitives de f et f alors F est intégrable et F(x) = F (x) + if (x). Exemple Soit la fonction définie sur R par f(x) = x x i. f (x) = xi. F(x) = x x i. --