Chapitre 4 Trigonométrie 4. Enroulement de la droite des réels 4.. Le cercle trigonométrique Dénition. On se place dans le plan repéré par le repère orthonormé (O; u; v). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon, orienté par la èche dans le sens direct, qui est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre (c'est le sens d'un carrefour giratoire en France... mais pas au Royaume-Uni!)
CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE Remarque. Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect. Propriétés. La longueur du cercle trigonométrique est, la longueur du demi-cercle trigonométrique est, et celle du quart de cercle trigonométrique est. 4.. Principe de l'enroulement On considère C, le cercle trigonométrique de centre O et de rayon [OI]. On trace la tangente en I au cercle C, et on la munit du repère (I; A) avec IA = OI = : cette droite va représenter la droite des réels. On enroule cette droite des réels autour du cercle C : la demi-droite [IA) va s'enrouler dans le sens direct, et la demi-droite [IA ) dans le sens indirect.
4.. ENROULEMENT DE LA DROITE DES RÉELS 3 Propriété. Tout point N d'abscisse ϑ de la droite des réels vient se superposer à un point M du cercle C. Grâce à cet enroulement, on associe à tout réel ϑ un unique point M du cercle trigonométrique. Correspondance entre R et C : Si ϑ est positif : On part de I, et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens direct. Le point M est l'extrémité de ce chemin. Si ϑ est négatif : On part de I, et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens indirect. Le point M est l'extrémité de ce chemin. Exemples. Le point P d'abscisse vient se superposer au point K du cercle trigonométrique ; on dira que K est associé au nombre réel. La longueur de l'arc IK est alors égale à. Le point L est associé au réel : on a enroulé la droite dans le sens indirect, car le réel qui repère B est négatif. La longueur de l'arc IL est égale à. Remarque. En pratique, pour placer le point M à partir de la longueur l de l'arc calculer la mesure d en degrés de l'angle ÎOM d'après la relation suivante : d = 80 l IM, on va Remarque. En fait, le point M qui est associé au nombre réel ϑ est également associé à tout nombre ϑ tel que ϑ = ϑ + () k = ϑ + k, où k est un entier relatif. Exemple. Le point J de notre gure est associé aux nombres réels, + = 5, + 4,..., + k,... mais aussi aux nombres réels 3 =, 4,..., k
4 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE 4. Cosinus et sinus d'un nombre 4.. Rappels Nous connaissons déjà la trigonométrie du triangle rectangle, qui permet de dénir les notions de cosinus, sinus et tangente d'angles. Par exemple, dans le triangle ABC rectangle en B dessiné ci-dessous, nous pouvons appliquer les règles de calcul déjà vues : On a alors, par exemple : cos( BAC) = BA AC ; sin( BAC) = BC AC et tan( BAC) = BC BA On peut ensuite s'appuyer sur ces calculs et les fonctions réciproques arccos, arcsin et arctan (également notées cos, sin et tan ) pour calculer la valeur de l'angle.
4.. COSINUS ET SINUS D'UN NOMBRE 5 4.. Dénition formelle On se place sur le cercle trigonométrique C de centre O et d'origine I. Sur ce cercle, on place les points I, J et J comme représenté ci-dessous : Dénition. M est le point du cercle associé au nombre ϑ. Le cosinus de ϑ, que l'on notera cos(ϑ), est l'abscisse de M dans le repère (O; I; J). Le sinus de ϑ, que l'on notera sin(ϑ), est l'ordonnée de M dans le repère (O; I; J). Théorème. Pour tout nombre ϑ réel, on a : (cos(ϑ)) + (sin(ϑ)) = cos(ϑ) sin(ϑ) Démonstration. Dans le repère orthonormé (O; I; J), M a pour coordonnées (cos(ϑ); sin(ϑ)). Or : OM = (x M 0) + (y M 0) d'après la formule de la distance dans le plan repéré. On a donc : OM = x M + y M = (cos(ϑ)) + (sin(ϑ)). Or on sait que OM =, donc on conclut : (cos(ϑ)) + (sin(ϑ)) =. L'abscisse de I est et celle de I est. Donc, pour tout point M du cercle trigonométrique : x M.
6 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE On en tire : pour tout ϑ réel, on a : cos(ϑ). En menant le même raisonnement sur l'ordonnée de M, on a : sin(ϑ) On peut faire le lien entre ces dénitions du sinus et du cosinus, et celles déjà vues auparavant. Pour cela, on considère le triangle OM H représenté ci-dessous : Ce triangle est rectangle en H, on peut donc appliquer les formules rappelées précédemment à l'angle ϑ = ÎOM, et l'on obtient : de ϑ. cos(ϑ) = OH OM sin(ϑ) = HM OM = OK OM = OK = OH car OM = (rayon du cercle) On retrouve bien l'abscisse et l'ordonnée de M, associées respectivement aux cosinus et sinus Valeurs remarquables : ϑ 0 6 4 3 ÎOM 0 30 45 60 90 cos(ϑ) 3 sin(ϑ) 0 0 3
4.3. LE RADIAN 7 4.3 Le radian Dans la section précédente, nous avons (à mots couverts) utilisé une nouvelle unité de mesure d'angle. En eet, le cosinus et le sinus étaient connus en tant que cosinus d'angle et sinus d'angle, pourtant nous avons exprimé cos(ϑ) et sin(ϑ), alors que ϑ était déni en tant que mesure de l'arc IM... En fait, si un arc quelconque ϑ, on dira que l'angle ÂOB mesure ϑ radians. AB du cercle trigonométrique C a pour longueur ϑ, avec 0 On a ainsi déni une nouvelle mesure d'angle : le radian.
8 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE Dans le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc ÎOI =. Or, en degrés, on a par ailleurs : ÎOI = 80. IOI est donc. On a alors, en radians : On en tire la correspondance suivante : radians correspondent à 80. Comme les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés, on en tire un tableau de proportionnalité, dans lequel d est la mesure en degrés et ϑ la mesure en radians d'un angle : 80 d ϑ D'où la relation : 80 ϑ = d qui nous permet de passer d'une mesure à l'autre aisément.
4.4. MESURE D'UN ANGLE ORIENTÉ 9 4.4 Mesure d'un angle orienté Sur le cercle trigonométrique, une mesure d'un angle orienté est égale à la mesure de l'arc intercepté par l'angle en respectant le sens de l'angle : mesure positive si l'angle est dans le sens direct, mesure négative si le sens est indirect. Exemple. L'angle ( OI, OJ) mesure radians, alors que l'angle ( OJ, OI) mesure radians. Remarque. Un angle orienté possède une innité de mesures, car on peut ajouter ou retirer (tour de cercle complet) autant de fois que l'on veut. Exemple. L'angle ( OI, OJ) mesure radians, etc. radians, mais aussi + radians, + 4 radians, Dénition. La mesure principale d'un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant à l'intervalle ] ; ]. Exemple. L'angle ( OI, OB) mesure radians, mais aussi 3 radians, etc. radians, +4 radians, Sa mesure principale est alors radians.
0 CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE 4.5 Valeurs remarquables du cercle trigonométrique Les valeurs remarquables d'angles sont représentées sur le quart de cercle ci-dessous et répertoriées dans le tableau suivant : Angle en degrés 0 30 45 60 90 Angle ϑ en radians 0 cos(ϑ) 6 3 sin(ϑ) 0 4 3 0 3
4.5. VALEURS REMARQUABLES DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE On en tire, par diverses symétries d'axe, le cercle trigonométrique complet : Des mêmes symétries, on tire les relations suivantes : Propriétés. Notons ϑ une mesure d'angle en radians. Alors : cos( ϑ) = cos(ϑ) et sin( ϑ) = sin(ϑ). cos( ϑ) = cos(ϑ) et sin( ϑ) = sin(ϑ). cos( + ϑ) = cos(ϑ) et sin( + ϑ) = sin(ϑ). cos ( ϑ) = sin(ϑ) et sin ( ϑ) = cos(ϑ)
CHAPITRE 4. TRIGONOMÉTRIE 4.6 Résolution d'équations trigonométriques Théorème. Les solutions dans R de l'équation cos(ϑ) = cos(a), où a est un nombre réel xé, sont : ϑ = a + k ϑ = a + k où a est un nombre entier relatif. Théorème. Les solutions dans R de l'équation sin(ϑ) = sin(a), où a est un nombre réel xé, sont : ϑ = a + k ϑ = a + k où a est un nombre entier relatif. 4.7 Étude des fonctions trigonométriques Il est facile de remarquer à l'aide du cercle trigonométrique que les fonctions x cos(x) et x sin(x) sont périodiques de période. Cela signie que, quel que soit le nombre réel x, on a : cos(x + ) = cos(x) et sin(x + ) = sin(x). La courbe représentative de la fonction cosinus x cos(x) est la suivante : On constate à l'aide de ce graphique que cos( x) = cos(x), on dit alors que la fonction est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). La courbe représentative de la fonction sinus x sin(x) est la suivante :
4.7. ÉTUDE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3 On constate à l'aide de ce graphique que sin( x) = sin(x), on dit alors que la fonction est impaire. Grâce à la périodicité des fonctions cosinus et sinus, on a la propriété suivante : Propriété. Considérons les fonctions t cos(ωt + ϕ) et t sin(ωt + ϕ). Elles sont périodiques de période T = ω. Démonstration. On a : cos ( ω ( ) ) t + ω + ϕ = cos(ωt + + ϕ) = cos(ωt + ϕ) car le cosinus est périodique de période. Donc l'image de t + T par la fonction est la même que celle de t, quelle que soit sa valeur. De même pour la fonction sinus. Les fonctions cosinus et sinus sont continues et dérivables sur R, et on a : x R, (cos(x)) = sin(x) et (sin(x)) = cos(x) On en tire le théorème suivant : Théorème. Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction f : t cos(ωt + ϕ) est dérivable sur R et sa dérivée est : f : t ω sin(ωt + ϕ). Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction g : t sin(ωt + ϕ) est dérivable sur R et sa dérivée est : g : t ω cos(ωt + ϕ). Démonstration. En notant u : t ωt+ϕ, v : t cos(t) et w : t sin(t), on a : f(t) = v(u(t)) = v u(t) et g(t) = w(u(t)) = w u(t). Les fonctions u, v et w sont dénies et dérivables sur R. On utilise alors la formule de dérivation d'une fonction composée : f (t) = u (t) v (u(t)) = ω ( sin(ωt + ϕ)) = ω sin(ωt + ϕ). g (t) = u (t) w (u(t)) = ω cos(ωt + ϕ)).