hapitre X Triangles isométriques, triangles semblables ans tout ce chapitre un triangle est un triplet de points ; ainsi et ne désignent pas le même objet (l ordre des points est important). Lorsque l on considérera deux triangles et EF, les points et seront dits homologues ; de même et F ou les segments [] et [E] ou encore les distances et FE sont dits homologues. X.1 Orientation du plan + Orienter le plan, c est choisir un sens positif, ou direct, de parcours des cercles du plan. Par convention on choisit le sens trigonométrique, c est-à-dire le sens contraire des aiguilles d une montre, comme sens positif. insi est un triangle de sens direct alors que EF est un triangle de sens indirect. F E FIGURE X.1 Orientations du plan. X. Triangles isométriques X..1 éfinition et propriétés ÉFINITION X..1 eux triangles isométriques sont deux triangles dont les côtés sont deux à deux de même longueur. = 1. ire que les triangles et sont isométriques signifie que : =. =. Si les triangles et d une part et et d autre part sont isométriques ; alors les triangles et sont isométriques. THÉORÈME X..1 eux triangles images l un de l autre par une isométrie sont isométriques. émonstration Soit t une isométrie, un triangle et son image par t. t est une isométrie, donc : = ; = et =. Nous en déduisons que les triangles et sont isométriques. Exemples 1. est un triangle isocèle en, H le milieu de []. lors H et H sont isométriques (l un est image de l autre par la symétrie d axe (H)). I G. EFG est un parallélogramme de centre I. IG et FIE sont isométriques. H E F FIGURE X. Exemples de triangles isométriques. 1
X. Triangles isométriques, triangles semblables Exercice X..1. iter deux autres triangles isométriques apparaissant sur le parallélogramme EFG de la figure X.. 1. Les triangles H et H sont isométriques et orientés en des sens contraires, on dit qu ils sont indirectement isométriques.. Les triangles GI et EIF sont isométriques et orientés dans le même sens, on dit qu ils sont directement isométriques. Exercice X... onstruire les points G et H tels que, sur la figure X.3, les triangles et EG soient directement isométriques ; les triangles et EH soient indirectement isométriques. E FIGURE X.3 onstruction de triangles isométriques. THÉORÈME X.. (MIS) Si et sont deux triangles isométriques, alors : = = = FIGURE X.4 eux triangles isométriques ont les mêmes angles. Voir figure X.4. THÉORÈME X..3 Si et sont deux triangles isométriques, alors ils ont même aire. émonstration H H FIGURE X.5 eux triangles isométriques ont même aire. Soit et deux triangles isométriques (voir figure X.5), H le pied de la hauteur issue de dans le triangle et H le pied de la hauteur issue de dans le triangle. ÉOLE EUROPÉENNE RUXELLES I 011-01 4 e
X.. Triangles isométriques 3 On sait que = ; = et H= = donc, dans les triangles rectangles H et H, on a : = H ; H = sin H = sinh = H. On en déduit que : aire ( ) = H = H = aire() Remarque Les réciproques des théorèmes X.. et X..3 sont fausses. X.. as d isométries de deux triangles THÉORÈME X..4 (MIS) Pour démontrer que deux triangles sont isométriques, il suffit d établir l une des propositions suivantes. (1) haque côté est de même longueur que son homologue. + () L un des angles est égal à son homologue et les côtés adjacents à cet angle sont chacun de même longueur que son homologue. (3) eux angles sont égaux à leur homologue et l un des côtés est de même longueur que son homologue. + Remarque Le fait d avoir deux côtés de même longueur que leur côté homologue et un angle égal à son homologue FIGURE X.6 et ne sont pas isométriques. ne suffit pas pour conclure que les deux triangles sont isométriques. Sur la figure X.6, si on considère les triangles et, les côtés homologues [] et [] sont de même longueur, les côtés homologues [] et [] sont de même longueur et les angles homologues et sont égaux. Pourtant les triangles et ne sont pas isométriques car les côtés homologues [] et [] ne sont pas de même longueur. X..3 X..3.a Exercices résolus émontrer que deux triangles sont isométriques Exercice X..3. est un triangle isocèle en. et sont les milieux respectifs des côtés [] et []. émontrer, par trois méthodes différentes, que les triangles et sont isométriques. Solution On introduit le point milieu de []. Le triangle est isocèle en, donc ( ) est la médiatrice du segment [] ; par conséquent la symétrie, S, d axe ( ) transforme en.
4 X. Triangles isométriques, triangles semblables 1 re méthode e plus S ()= et les symétries conservent le milieu, donc S ( )=. On a démontré que S transforme en, en et en ; nous savons de plus que les réflexions conservent la distance entre deux points, donc : =, =, =. Par conséquent les triangles et sont isométriques. e méthode Les angles homologues et sont égaux et les côtés adjacents à, [] et [ ] sont de même longueur que leurs côtés homologues respectifs [] et [ ] ; donc les triangles et sont isométriques. FIGURE X.7 3 e méthode Les angles homologues et sont égaux. Les angles homologues et sont égaux car les réflexions conservent les angles et S transforme en, en et en. Les côtés homologues et sont de même longueur. Les triangles et ont deux angles égaux a leur homologue et un côté de même longueur que son homologue, ils sont donc isométriques. X..3.b es triangles isométriques pour démontrer Exercice X..4. On reprend les données de l exercice précédent. émontrer que : =. Solution On a démontrer que les triangles et sont isométriques ; donc les cotés homologues [ ] et [ ] sont de même longueur. X.3 Triangles semblables X.3.1 Exemple fondamental Sur la figure X.8, les triangles et sont en situation de THLÈS. On a : = et =, comme angles correspondants. ans les triangles et les angles homologues sont égaux. On dit que triangles et sont semblables (on dit aussi qu ils ont la même forme). après le théorème de Thalès, il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k. Les côtés homologues des triangles et sont proportionnels. FIGURE X.8 Exemple fondamental. X.3. éfinition et propriétés ÉFINITION X.3.1 eux triangles semblables sont deux triangles tels que tout angle de l un est égal à son homologue dans l autre. 1. ire que les triangles et sont semblables signifie que : = = =. es triangles isométriques sont des triangles semblables puisque leurs angles sont égaux deux à deux. Mais des triangles semblables ne FIGURE X.9 Triangles semblables. sont pas nécessairement isométriques. 3. Si les triangles et d une part et et d autre part sont semblables ; alors les triangles et sont semblables. ÉOLE EUROPÉENNE RUXELLES I 011-01 4 e
X.3. Triangles semblables 5 THÉORÈME X.3.1 Pour que deux triangles soient semblables il suffit qu il y ait deux angles égaux à leur homologue. émonstration On sait que la somme des angles d un triangle est égale à 180 donc si deux triangles ont deux angles égaux à leur homologue, alors le troisième angle est lui aussi égal à son homologue Exemple H H H FIGURE X.10 onfiguration clef. Sur la figure X.10, dans le triangle, rectangle en, H est le pied de la hauteur issue de. On a : H= et H=. ans le triangle H les angles H et H sont égaux à leur homologue dans le triangle ; les triangles H et sont donc semblables. On a : = H et = H. ans le triangle les angles et sont égaux à leur homologue dans le triangle H ; les triangles et H sont donc semblables. Les triangles H et H sont tous deux semblables aux triangles, ils sont donc semblables. 1. Les triangles H et sont semblables et orientés en des sens contraires, on dit qu ils sont indirectement semblables.. Les triangles H et H sont semblables et orientés dans le même sens, on dit qu ils sont directement semblables. Exercice X.3.1. indirectement semblables. onstruire les points et E tels que les triangles et soient directement semblables ; les triangles et E soient FIGURE X.11 onstruction de triangles semblables. X.3.3 Proportionnalité THÉORÈME X.3. eux triangles et sont semblables si et seulement il existe un nombre réel strictement positif k tel que : = = = k. émonstration Soit et deux triangles (voir figure X.1). On construit sur la demi-droite [ ) le point tel que : = ; et sur la demi-droite [ ) le point tel que : =. Théorème direct Si et sont semblables, alors : = ; = et = ; donc les triangles et sont également semblables. On en déduit que les triangles et sont semblables. Ils sont de plus orientés dans le même sens (car [ ) et [ )), ils sont
6 X. Triangles isométriques, triangles semblables FIGURE X.1 Triangles semblables et proportionnalité. donc directement semblables. Par conséquent les droites ( ) et ( ) sont parallèles. Les triangles et sont en situation de THLÈS donc d après le théorème de THLÈS, il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k. est-à-dire : = = = k. Théorème réciproque S il existe un nombre réel positif k tel que : = = = k ; alors on a : = = k ; donc, d après la réciproque du théorème de THLÈS, les triangles et sont en situation de THLÈS (donc semblables) et on déduit que : = = = k. En faisant le quotient membre à membre avec : = = = k ; on obtient : = = = k 1 k ; est-à-dire : = = = 1. onc les triangles et sont isométriques et par suite semblables. Les triangles et sont semblables à, ils sont donc semblables. Notations et vocabulaire Le nombre k est appelé rapport de similitude qui transforme en. THÉORÈME X.3.3 Si et sont deux triangles semblables et si k est le rapport de similitude qui transforme en, alors : aire ( ) = k aire(). émonstration H H FIGURE X.13 Si les longueurs sont multipliées par k, alors les aires le sont par k. Soit et deux triangles semblables (voir figure X.13), k est le rapport de similitude qui transforme en, H le pied de la hauteur issue de dans le triangle et H le pied de la hauteur issue de dans le triangle. On sait que = k ; = k et H= = = H ; donc, dans les triangles rectangles H et H, on a : H = sin H = k sinh = k H. On en déduit que : aire ( ) = H k k H = = k aire() ÉOLE EUROPÉENNE RUXELLES I 011-01 4 e
X.3. Triangles semblables 7 X.3.4 as de similitude de deux triangles THÉORÈME X.3.4 (MIS) Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit d établir l une des propositions suivantes. (1) eux angles sont égaux à leur homologue. () Les longueurs des côté de l un sont proportionnelles à leurs homologues (3) L un des angles est égal à son homologue et les longueurs des côté adjacents à cet angle sont proportionnelles aux longueurs des côtés homologues. X.3.5 Exercice résolu Exercice X.3.. est un parallélogramme, N un point du segment [] distinct de et. La droite (N) coupe () en M. 1. émontrer que les triangles N et M sont des triangles semblables.. En déduire que N M=. Solution M N FIGURE X.14 Exercice X.3... 1. ans les triangles N et M, les angles homologues N et M sont égaux car alternes internes ; les angles homologues N et M sont égaux car alternes internes. onc les triangles N et M sont semblables. utre méthode On a ()//(M), donc les triangles N et MN sont en situation de THLÈS et donc semblables. On a (N)//(), donc les triangles MN et M sont en situation de THLÈS et donc semblables. onc les triangles N et M sont semblables.. On a donc : M = N ; d où l on tire : N M=.