Lgique binaire Définitin Une variable binaire est un élément qui ne peut prendre que deux valeurs ntées 1 et 0 (Oui et Nn). On dira que X est une variable binaire si X 0 X = 1 et si X 1 X = 0. Opératins sur une variable La structure suivante applique un traitement Ti à la variable X et prduit le résultat R, la table suivante regrupe tus les traitements applicables à la variable X X T1 T2 T3 T4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Les traitements T1 et T2 snt indépendants de la variable X et ne snt pas intéressants T2 est un traitement qui ne change pas la valeur de la variable, c est la fnctin lgique OUI (yes). Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen X R 0 0 1 1 Équatin R = X T3 est un traitement qui inverse la valeur de la variable, c est la fnctin lgique NON (nt). Cette fnctin est aussi appelée cmplémentatin. Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen Équatin X R 0 1 1 0 Remarque : X = X 1
Opératins sur deux variables Cmme dans le cas d une variable nus allns appliquer un traitement Ti aux variables X et Y et nter le résultat R, la table suivante regrupe tus les traitements applicables aux variables X et Y. X Y T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Les traitements T1 et T16 snt indépendants des variables et ne snt pas intéressants, Pur les résultats des traitements T4, T6, T11, T13 T4 : le résultat R est égal à X ; T13 : le résultat R est égal à. T6 : le résultat R est égal à Y ; T11 : le résultat R est égal à. On remarque une symétrie avec cmplémentatin des traitements au niveau de la verticale entre T8 et T9. T2 est un traitement qui prduit un résultat égal à 1 si X ET Y snt égaux à 1, c est la fnctin lgique ET (and). Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Équatin R = X.Y Schématisatin par interrupteurs Le ET lgique est réalisé par la mise en série des deux interrupteurs X et Y, il faut que les deux interrupteurs sient actifs (1) pur que le résultat R sit lui aussi à 1 T8 est un traitement qui prduit un résultat égal à 1 si X = 1 OU si Y = 1 OU si X = 1 et Y = 1. C est la fnctin lgique OU (r). Symbles Symble anglsaxn 2
Symble eurpéen 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Équatin R = X + Y Schématisatin par interrupteurs Le OU lgique est réalisé par la mise en dérivatin des deux interrupteurs X et Y, il suffit qu un des deux interrupteurs sient actifs (1) pur que le résultat R sit lui aussi à 1 T15 est le traitement cmplémentaire de T2, c est la fnctin ET NON (nand). Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Équatin R = X.Y Schématisatin par interrupteurs 3
T9 est le traitement cmplémentaire de T8, c est la fnctin OU NON (nr). Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Équatin R Schématisatin par interrupteurs T7 est un traitement qui prduit un résultat égal à 1 si X = 1 OU si Y = 1 mais pas si X = 1 OU si Y = 1. C est la fnctin lgique OUexclusif (xr). Symbles Symble anglsaxn Symble eurpéen 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Équatin Schématisatin par interrupteurs Le OU exclusif peut s exprimer par une équatin lgique exprimant la réunin des deux lignes de la table de vérité qui nt un résultat au niveau lgique 1 sit : 4
T10 est le traitement cmplémentaire de T7, cette fnctin est à un lrsque les variables d entrée snt identiques, c est la fnctin Identité. Symbles Symble angl-saxn Symble eurpéen 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Équatin Schématisatin par interrupteurs L identité peut aussi s exprimer par une équatin lgique exprimant la réunin des deux lignes de la table de vérité qui nt un résultat au niveau lgique 1 sit : T 3 et T 5 : pératin d inhibitin. T 3 est l inhibitin de X par Y, R= X si Y = 0, R = 0 si Y = 1 Équatin R = X. T 5 est l inhibitin de Y par X. R= Y si X = 0, R = 0 si X = 1 : Équatin R = Y. T 12 et T 14 : pératin d implicatin. T 12 est l implicatin de Y par X R = 1 si X Y T 14 est l implicatin de X par Y. R = 1 si Y X. Pstulats X = 0 = X 5
Règles de De Mrgan X + Y X. Y Fnctins lgiques Une fnctin lgique u fnctin bléenne est une grandeur qui ne peut prendre que les valeurs 0 u 1. La valeur de la fnctin dépend de celles des variables binaires. On écrit F = f(x 1, x 2, x 3,..., x n ) pur représenter la cmbinaisn de n variables binaires reliées entre elles par les symbles des pératins lgiques définies précédemment. exemple : sit L une lampe qui peut être «allumée» u «éteinte» et X et Y les interrupteurs à deux psitins (X 0 - X 1, Y 0 - Y 1 ). Le fnctinnement de la lampe est défini de la manière suivante X Y L X 0 Y 0 éteinte X 0 Y 1 allumée X 1 Y 0 allumée X 1 Y 1 éteinte La lampe est allumée si X 0. Y 1 u si X 1. Y 0. La fnctin lgique qui caractérise le fnctinnement de la lampe L s écrira en fnctin de l état des interrupteurs : L = f ( X, Y ) = X 0.Y 1 + X 1.Y 0 Lgigramme : le lgigramme est une représentatin de la fnctin lgique réalisée qui utilise les symbles nrmalisés. Pur la fnctin précédente, le lgigramme est le suivant : (avec et ) Frmes canniques des fnctins bléennes. Sit la table de vérité suivante : X 2 X 1 X 0 S 0 0 0 0 X 0.X1 0 0 1 0 X 0. X1 0 1 0 0 X 0. X1 0 1 1 1 X 0. X1 1 0 0 0 X 0. X1 1 0 1 1 X 0. X1 1 1 0 1 X 0.X1 1 1 1 1 X 0.X1 6
Les huit cmbinaisns des variables binaires X 0, X 1, X 2, classées dans l rdre binaire naturel, mntrent que la fnctin de srtie S prend, pur certaines cmbinaisns des variables la valeur 1, pur d autres, la valeur 0. La réunin des intersectins pur lesquelles la fnctin S est égale à 1 cnstitue la première frme cannique de S. Il vient : S = 0. X1 X + X 0. X1. X 2 La première frme cannique est une expressin qui réunie tus les 1 de la fnctin, chaque 1 crrespnd à l intersectin de tutes les variables. L expressin de S est dans ce cas simplifiable, en effet : S = 0. X1 S = 0.X1 S = X.X1.( ) S =.X.( ) X + X 0. X1. X 2 X. X 2 + X 0. X1. X 2. X 2 0 + X0..(X1 ) + X 1..(X0 + X0 ) X0 1 1 + X0..(1)..(1) S = 0. X1 X + X 0 Psns = X0. X1 + X0. X1 + X En utilisant le thérème de De Mrgan il vient : S 0.X1 + X0. X1 S =(X0 X1 ).(X0 X1 ).(X0 X1 ).(X0 X1 ) Cette expressin cnstruite en utilisant les intersectins de réunins est la deuxième frme cannique. Si dans la table de vérité de la fnctin S nus réunissns les 0, nus abutissns à la définitin de S =X0.X1.X 2 + X0.X1.X 2 + X0.X1. + X0.X1. S = X0.X1. + X0.X1. + X0.X1. + X0.X1. S =(X0.X1. ).(X 0.X1. ).(X 0.X1. ).(X 0.X1.) La deuxième frme cannique de la fnctin S est dnc : S=(X0 + ).(X 0 + ).(X0 + ).(X0 + ) Cette deuxième frme cannique se présente sus la frme d intersectins de réunins. Expressin numérique des fnctins bléennes. Dans un but de simplificatin de l écriture d une fnctin bléenne nus puvns asscier à chaque intersectin cnstituant la fnctin asscier à chaque nmbre binaire cnstitué par ces intersectins sa valeur décimale. Cette écriture n est pssible qu après avir défini le pids de chacune des variables. 2 2 2 1 2 0 équivalent décimal X 2 X 1 X 0 S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 1 1 1 3 1 0 0 0 4 1 0 1 1 5 1 1 0 1 6 1 1 1 1 7 7
On peut écrire : S = Réunin (.X1 +.X1 +.X1 + X 2.X1. X0 ) Ou S = Réunin (011, 101, 110, 111) u S = R (011, 101, 110, 111) Et en remplaçant les valeurs binaires par leur équivalent décimal : S = R ( 3, 5, 6, 7 ). Matrice des cmbinaisns u table de Karnaugh. La table de Karnaugh permet une écriture plus cndensée de la table de vérité, c est en fait une table de vérité dans laquelle les variables snt réparties en lignes et en clnnes. Exemple : sit F = R (1, 3, 5, 6, 7, 12, 14, 15) la table de Karnaugh assciée à cette fnctin s écrit : X 1 X 0 X 3 X 2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 3 2 0 1 1 0 0 1 4 5 7 6 0 1 1 1 1 1 12 13 15 14 1 0 1 1 1 0 8 9 11 10 0 0 0 0 Remarque : les lignes et les clnnes de la table de Karnaugh snt écrites dans l rdre binaire réfléchi. Ce mde d écriture permet la simplificatin des fnctins lgiques, les différentes cmbinaisns des variables étant adjacentes. Simplificatin des fnctins bléennes. Méthde de simplificatin par table de Karnaugh. a) simplificatin d une fnctin cmplète Une fnctin bléenne est cmplète si tutes les cmbinaisns des variables cnduisent à la définitin pur la srtie d un 1 u d un 0. L rganisatin de la table de Karnaugh seln un cde binaire réfléchi permet de mettre en évidence les prpriétés suivantes : deux cases adjacentes ne diffèrent que d une seule variable. Cette variable apparaît cmplémentée pur une case, nn cmplémentée pur l autre. On a dnc une case de la table repérée par un terme X 0. X 1..... X i..... X n et l autre case par X 0. X 1..... X..... X n. Ces deux termes dnnent un terme réduit X 0. X 1..... X i-1. X I+1..... X n. ( X i + X i ), ù ( X i + X i ) = 1 sit X 0. X 1..... X i-1. X I+1..... X n. i de même quatre cases adjacentes cnduisent à un terme réduit dans lequel deux variables snt enlevées et en généralisant 2 p cases adjacentes dnnent un seul terme réduit dans lequel p variables snt enlevées. Il est dnc pssible de regruper 2, 4, 8, 16,,2 n cellules adjacentes, ces cellules se regrupent en ligne, en clnne, en lignes et en clnnes 8
Exemple : fnctin de tris variables X 0, X 1, X 2. F = X 2.X1 +.X1 +.X1 +.X1. X0 X 1 X 0 X 2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 3 2 0 0 1 1 1 4 5 7 6 0 1 1 0.X1 X1 X 2. X 0 La fnctin F (X 0, X 1, X 2 ) est la réunin des tris grupes de 1 c est à dire : F = X 1 +.X1 +. X0 On remarque que le grupe X 1, X 2 est cntenu dans les deux autres regrupements, il est pssible de «prendre» tus les uns en utilisant deux regrupements. X1 et X 2. X0 9
Exercices : 1. Une lampe L cmmandée par deux butns pussirs A et B ne fnctinne pas si A est au travail u si B est au reps et seulement dans ces cas. Déterminer l équatin du fnctinnement de la lampe. Tracer le lgigramme de fnctinnement. 2. Une lampe L cmmandée par deux butns pussirs A et B ne fnctinne pas si A est au travail et si B est au reps et seulement dans ces cas. Déterminer l équatin du fnctinnement de la lampe. Tracer le lgigramme de fnctinnement 3. Une lampe L cmmandée par tris butns pussirs A, B et C ne fnctinne pas si : B et C snt au reps u si A est au reps et B au travail u si B est au travail et C au reps et seulement dans ces cas. Déterminer l équatin du fnctinnement de la lampe. Tracer le lgigramme de fnctinnement 4. Écrire l équatin du fnctinnement de la lampe L. A B C D A C L Écrire l équatin du fnctinnement des lampes L1 et L2. A B D L1 B C E D A C E L2 5. Vérifier en utilisant les pstulats de l algèbre de Ble, puis les tables de Karnaugh : a.( a b) a a a. b a b a.( a b) a. b a. b a. c b. c a. b a. c ( a b).( a c) ( c a. b. d b. d a. b).( c a. b b. d) b.( a c).( a c) d.( b c) 6. En utilisant le thérème de De Mrgan, simplifier, en les réduisant à un seul niveau de cmplémentatin les expressins suivantes : a. b c. d a. b a. b b. c ; ( a. b c. d a. b).( a. b b. c) ; a b c d e 10
7. En utilisant le thérème de De Mrgan, truver le cmplément de fnctins suivantes : F ( a b. c. d).( a. b e.( c. d a. f )) F ( a. b. d e).( a b d) a. b. c Vérifier les résultats en faisant F. F (le résultat dit être nul) u en faisant F F (le résultat est alrs égal à 1). 8. On pse a b a. b et a / b a b mntrer que : ( a b) ( c d) ( a b).( c d) ( a / b) /( c / d) a. b c. d (Utilisatin du thérème de De Mrgan puis tables de Karnaugh) EQUATIONS LOGIQUES (VIGIPARK) Vigipark est un dispsitif qui permet la réservatin d une place de parking pur une persnne handicapée. On dnne la table de vérité des fnctins Mnter et Descendre. La présence d un véhicule (1) est détectée par un capteur infraruge. L actin sur le butn pussir de la télécmmande UHF est assciée a un niveau lgique 1. Le bras en psitin haute entraine une infrmatin HAUT = 1, Bas = 0, le bras en psitin basse cnduit à HAUT = 0, BAS = 1. Lrsqu une cmbinaisn est impssible, elle est ntée X Véhicule UHF HAUT BAS Mnter Descendre 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 X X 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 X X 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 X X 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 X X Pur la fnctin Mnter écrire l équatin sus la frme cannique d une réunin d intersectins, Simplifier cette équatin et écrire le lgigramme. Mêmes questins pur Descendre. Après câblage des lgigrammes dans Isis de Prtéus, vérifier la cnfrmité du fnctinnement. Cnclusin (le système Vigipark ne pssède qu un seul mteur qui assure la mnté et la descente). 11