U Année universiaire 2-2 Travaux Dirigés numéro 4 SERIES TEMPORELLES 1 Exercice 1 Nous avons simulé les séries suivanes, où es un brui aléaoire, s une série d effes saisonniers, une endance linéaire e a une consane posiive : a s s a a s a Associer à chaque série sa représenaion graphique, en jusifian. 8 7 6 5 4 3 2 1-1 8 7 6 5 4 3 2 1 12 8 4-4 -8 5 4 3 2 1-1 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Graphique 1 Graphique 2 4 3 2 1-1 -2-3 -4 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Graphique 3 Graphique 4 24 2 16 12 8 4-12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1986 1988 199 1992 1994 1996 1998 2 Graphique 5 Graphique 6 1
2 Exercice 2 : Uilisaion des moennes mobiles cenrées sur une endance linéaire Soi deux séries chronologiques X e Y, comprenan une endance linéaire, définies de la manière suivane : x = 2 + 1 = 3 + 2 =1...,16 1. Calculer les moennes mobiles de longueur 3 e de longueur 4 sur les séries X e Y, noées mm 3 (X), mm 4 (X), mm 3 (Y ) e mm 4 (Y ). 2. Comparer la série X aux deux moennes mobiles mm 3 (X) e mm 4 (X). Commener les résulas. 3. Soi la série Z la somme des deux séries chronologiques X e Y. 3.1. Calculer les moennes mobiles de longueur 3 e de longueur 4 sur la série Z, noées mm 3 (Z) e mm 4 (Z). 3.2. Calculer les sommes mm 3 (X)+mm 3 (Y ) e mm 4 (X)+mm 4 (Y ). Comparer ces résulas à ceux de la quesion précédene. Que peu-on consaer? Séries X Y Z 1 12 23 35 2 14 26 31 3 16 29 315 4 18 212 32 5 11 215 325 6 112 218 33 7 114 221 335 8 116 224 34 9 118 227 345 1 12 23 35 11 122 233 355 12 124 236 36 13 126 239 365 14 128 242 37 15 13 245 375 16 132 248 38 Tab. 1 Valeurs des séries chronologiques X, Y e Z 2
3 Exercice 3 : Lissage par moenne mobile simple e désaisonnalisaion Nous donnons au ableau 2 la série des indices rimesriels de la producion indusrielle (base 1 en 197) de 1963 à 1982 : Année Trimesre 1 Trimesre 2 Trimesre 3 Trimesre 4 197 1 14 87 11 1971 17 18 92 117 1972 114 115 96 123 1973 122 122 13 13 1974 129 129 18 126 1975 117 117 97 125 1976 127 127 18 134 1977 133 13 17 132 1978 133 134 11 14 1979 138 136 118 146 198 145 138 115 141 Tab. 2 indice rimesriel de la producion indusrielle 1. A quoi cela ser-il de désaisonnaliser la chronique éudiée? A quel pe de quesions cherche--on à répondre lorsque l on décompose une chronique? 2. Au vu du graphique, quel modèle de décomposiion proposez-vous pour cee série? 3. Nous allons adoper un schéma de décomposiion addiif pour cee série : = f + s + ε, où f es la endance de la série, s le coefficien saisonnier e ε la perurbaion erraique. Rappelez la significaion e les hpohèses habiuelles faies pour ces différenes composanes. En pariculier, rappelez le principe de conservaion des aires pour les coefficiens saisonniers. Pourquoi cee conraine de renormalisaion es-elle nécessaire? 4. Esimaion de la endance par une moenne mobile simple cenrée sur 4 poins 15 14 13 12 11 1 9 8 7 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 Serie brue Serie cvs Moenne mobile Fig. 1 Indice rimesriel de la producion indusrielle 4.1. Rappelez le principe de la moenne mobile simple cenrée sur 4 poins. 4.2. Calculez les valeurs manquanes du ableau 3 (année 1975). 4.3. Calculez les valeurs manquanes du ableau 4 donnan des esimaions provisoires des coefficiens saisonniers (année 1979). 4.4. Compléez le ableau 5 donnan les esimaions provisoires e finale des coefficiens saisonniers e commenez les valeurs rouvées : 3
Année Trimesre 1 Trimesre 2 Trimesre 3 Trimesre 4 197 11,125 12,5 1971 13,625 15,125 16,875 18,625 1972 11, 111,25 113, 114,875 1973 116,625 118,375 12,125 121,875 1974 123,375 123,5 121,5 118,5 1975 1976 12,375 122,875 124,75 125,875 1977 126,125 125,75 125,5 126, 1978 126,875 128,25 129,875 13,75 1979 132, 133,75 135,375 136,5 198 136,375 135,375 Tab. 3 Moenne mobile simple cenrée sur 4 poins Année Trimesre 1 Trimesre 2 Trimesre 3 Trimesre 4 197-14,125 7,5 1971 3,375 2,875-14,875 8,375 1972 4, 3,75-17, 8,125 1973 5,375 3,625-17,125 8,125 1974 5,625 5,5-13,5 7,5 1975 1,375 2,875-18,25 7,25 1976 6,625 4,125-16,75 8,125 1977 6,875 4,25-18,5 6, 1978 6,125 5,75-19,875 9,25 1979 198 8,625 2,625 Tab. 4 Première esimaion des coefficiens saisonniers Esimaion 1er rim 2eme rim 3eme rim 4eme rim provisoire -16,738 finale 3,663 7,875 Tab. 5 Esimaion finale des coefficiens saisonniers 4.5. Calculez les valeurs manquanes (année 1974) de la série corrigée des variaions saisonnières (ableau 6). Année Trimesre 1 Trimesre 2 Trimesre 3 Trimesre 4 197 94,7 1,338 13,838 12,125 1971 11,7 14,338 18,838 19,125 1972 18,7 111,338 112,838 115,125 1973 116,7 118,338 119,838 122,125 1974 1975 111,7 113,338 113,838 117,125 1976 121,7 123,338 124,838 126,125 1977 127,7 126,338 123,838 124,125 1978 127,7 13,338 126,838 132,125 1979 132,7 132,338 134,838 138,125 198 139,7 134,338 131,838 133,125 Tab. 6 Série corrigée des variaions saisonnières 4
4 Exercice 4 : Un modèle muliplicaif sur une série mensuelle Une compagnie aérienne régionale désire connaîre la srucure du rafic aérien d une de ses lignes. Pour cela, elle fourni la série mensuelle du nombre de passagers enre 2 e 24. Mois 2 21 22 23 24 janvier 713 8 9 192 17 février 63 7 82 1 13 mars 94 13 119 138 144 avril 14 128 145 17 172 mai 72 84 88 96 16 juin 126 152 173 195 22 juille 812 11 134 123 119 aoû 38 51 59 66 73 sepembre 87 16 123 1282 1278 ocobre 112 128 15 16 176 novembre 12 135 155 17 194 décembre 91 1 114 116 132 Tab. 7 Trafic mensuel d une ligne aérienne en nombre de passagers 24 2 16 12 8 4 2 21 22 23 24 Fig. 2 Trafic mensuel d une ligne aérienne en nombre de passagers 1. Au vue du graphique, quel pe de modèle fau-il appliquer? 2. Après avoir jusifié la longueur de la moenne mobile à emploer, calculer la série Y des moennes mobiles. 3. Calculer les coefficiens saisonniers e donner la série Z corrigée des variaions saisonnières. Vérifier que ces coefficiens vérifien les hpohèses de dépar. 5
5 Exercice 5 : Prévision par régression Nous nous inéressons à la consommaion C de vin en France (en millions d hecolires) de = 1967 à 1994. 6 56 52 48 44 4 36 68 7 72 74 76 78 8 82 84 86 88 9 92 94 Année T C Année T C Année T C Année T C 1967 58,561 1974 7 54,317 1981 14 49,1 1988 21 41,5 1968 1 58,413 1975 8 54,427 1982 15 49,755 1989 22 41,6 1969 2 57,463 1976 9 53,58 1983 16 46,3 199 23 41,157 197 3 55,634 1977 1 53,479 1984 17 43,96 1991 24 38,19 1971 4 54,389 1978 11 52,48 1985 18 43,55 1992 25 36,93 1972 5 56,632 1979 12 49,268 1986 19 42,42 1993 26 37,354 1973 6 56,469 198 13 49,1 1987 2 41,9 1994 27 36,663 On donne : T =13, 5, C =48, 295, Cov(C, T) = 56, 747, V(T )=65, 25, V(C) =5, 741. On choisi de modéliser la chronique par : où a e b son des paramères à esimer. 1. Inerpréez les coefficiens a e b. C = a + b, 2. Calculez les esimaions des moindres carrés â e b de a e b. Donnez le coefficien de déerminaion de la régression e l écar-pe des résidus. 3. Afin d éliminer la endance linéaire, on inrodui la chronique z = C C 1 pour >1967. 3.1. Monrez que lorsque C saisfai (1), la chronique z es elle que pour ou >1967, z = a. 3.2. Donnez une relaion enre z, C 1967 e C 1994. 4. On désire prévoir la consommaion de vin. Commen faire des prévisions en uilisan le modèle de régression esimé précédemmen? 6