Chapire 1 Inroducion aux produis dérivés de crédi Le risque de crédi signifie les risques financiers liés aux incapaciés d un agen (un pariculier, une enreprise ou un éa souverain) de payer un engagemen de remboursemen. C es un risque qui exise universellemen pour les invesisseurs même avan la créaion des marchés financiers. Le cas exrême es la faillie ou le défau de l agen. Un événemen de défau se produi raremen, mais il indui en général des grandes quaniés de pere. Concernan un prê ou une obligaion, le risque de crédi es souven mesuré par un spread, c-à-d, une différence de aux d inérê par rappor au aux sans risque. Plus le risque es elevé, plus le spread es grand pour le recompenser, en effe, cee différence de aux perme aux invesisseurs de gerer les risques de crédi associées. Quand il s agi d une obligaion corporae ou souveraine, le spread de crédi peu êre évalué par une agence de noaion, comme Moody s ou Sandard & Poor s, où une noe de crédi es aribué semesriellemen ou annuellemen suivan l éa financier de l agen, avec laquelle les risques peuven évenuellemen mesurés quaniaivemen, souven par des méhodes saisiques. Les marchés de dérivés de crédi son crées dans les années 1990, qui on eu ensuie un développemen rès rapide. Un dérivé de crédi es un produi financier don les paiemens son liés aux événemens de crédi d un agen sous-jacen, don le bu es de gerer, ransferer e couvrir les risques de crédi liés à ce dernière. Les composans caracérisique d un dérivé de crédi incluen le nom sous-jacen, l événemen de crédi (par exemple, défau de l agen ou défau d un paiemen d une obligaion ec.), la dae de défau e de maurié, les paiemens au cas de défau ou sans défau. Le produi le plus populaire es credi defaul swap (CDS), il exise aussi des produis porefeuille de crédi où les correlaions de défaus enre les noms sous-jacen joue un rôle imporan. 1
1.1 Produis avec un seul sous-jacen 1.1.1 Credi defaul swap (CDS) Les credi defaul swaps (CDS) son des produis de base sur le marché dérivé de crédi e y joue un rôle fondamenal. Un CDS conien un seul nom sous-jacen, il perme aux invesisseurs du marché de gerer le risque de défau du sous-jacen de façon dynamique. Par ailleurs, par rappor au noe de crédi aribué par les agences de noaion, les prix de CDS comme un indicaeur quoidien sur la qualié de crédi de son sous-jacen. Suggéré par son nom, un CDS resemble à un swap de aux d inérê dans le sens qu il exise une échange de flux de paiemens fixes e paeimens floans enre son acheeur e son vendeur. Un CDS pore aussi la caracérisique d un produi d assurance qui fourni à son acheeur la proecion conre le risque de défau du sous-jacen. L acheeur de proecion paie un monan fixe s, appelé le spread du CDS, à des dae régulières e prefixés jusqu à la dae de défau τ si le défau du sous-jacen a lieu avan la maurié T, au cas conraire, il va payer ce monan jusqu à T. La parie floane payée par le vendeur de proecion dépend de l éa de défau-ou-non du sous-jacen avan la maurié. Dans le cas de défau, le vendeur de proecion va rembourser l acheer une proporion de son nominal qui dépend du aux de recouvremen R du sous-jacen, dans le cas sans défau, le vendeur ne paie rien. Le aux de recouvremen es une quanié qui ne se révèle qu au momen de défau e il es en général difficile d esimer sa valeur qui peu varier largemen d une enreprise à l aure. Le prix d un CDS, ou son spread, es déerminé à la dae iniialle el que l espérance de ces deux flux son égale. On inrodui quelques noaions. Soien τ la dae de défau du sous-jacen e R son aux de recouvremen qui es un processus F-prévisible à valeur dans [0, 1]. On désigne par s le spread du CDS. Soien T 0 = 0 la dae de signaure du CDS e T sa maurié. Les daes de paiemen de l acheeur son {T 1,, T n = T } où T = T i T i 1 son égaux pour ou i = 1, n. On inrodu une indice β() à valeur dans {1,, n} el que [T β() 1, T β() ). Soi r le aux cour e D(, T ) = exp( T r s ds). Pour le vendeur du CDS, le flux fuur qu il va recevoir vu à une dae < T τ es donné par { s (T β() )D(, T β() )1 {τ>tβ() }+ n i=β()+1 qui peu êre approximé par un flux coninu Le flux payé par le vendeur es T τ T D(, T i ) 1 {τ>ti }+(τ T β(τ) 1 )D(, τ)1 {τ T } }, sd(, u)du. 1 {τ T } D(, τ)(1 R). 2
Quand = 0, on obien en prenan l espérance la valeur du spread s = E [ Q 1{τ T } (1 R)D(0, τ) ] E Q [ T 1 {τ>u} D(, u)du] (1.1) où Q es une probabilié risque-neure. Pour obenir la valeur explicie de s par (1.1), nous avons besoin d un modèle pour le emps de défau τ que nous présenerons plus ard. 1.1.2 Formulaion générale De façon gńéral, un produi dérivé de crédi ou un produi financier sensiive au risque de défau peu êre représené (voir par exemple Bielecki e Rukowski (2002)) par un riple (C,G,Z), où C es une variable aléaoire qui représene le paiemen à la maurié T s il n y pas de défau avan T, G es un processus de variaion finie avec G 0 = 0 qui représene le paiemen de coupon (coninue) e Z signifie le paiemen du recouvremen à la dae de défau τ si le défau a lieu avan la maurié T. Par exemple, un zero-coupon défauable (sans recouvremen) es un produi qui garanie à son acheeur 1 euro à la maurié T si le sous-jacen n a pas fai faillie avan T e 0 sinon, donc C = 1 e G = Z = 0. Pour un CDS, on a C = 0, Z = 1 R e G = s avec s le spread du CDS. Un dérivé de crédi arrive à son erme après le défau du sous-jacen, donc pour le problème de pricing, on s inéresse à sa valeur (acualisée) à une dae < τ T qui es donnée par T ] V = 1 {τ>} E Q [CD(, T )1 {τ>t } + 1 {τ>u} D(, u)dg u + ZD(, τ)1 {τ T } G (1.2) où Q désigne une probabilié risque-neure, D(, T ) = exp( T r s ds) es le faceur d acualisaion e G représene l informaion globale du marché à la dae que l on précisera plus ard. 1.2 Produis avec muliple sous-jacens 1.2.1 Baske defaul swap Un baske defaul swap ou un k h -o-defaul (kd) swap es similaire à un CDS sauf que le produi es écri sur un porefeuille de plusieurs sous-jacens. Ce ype de produis permeen aux invesisseurs de gérer les risques de plusieurs noms de façon globale avec un coû rédui e fourni à son acheeur la proecion conre le kème défau passé du porefeuille. Le plus imporan e plus liquide es le Firs-o-defaul (FD) swap. 3
Soien τ 1,, τ n une famille de emps aléaoires qui répresenen les emps de défau de n noms sous-jacen. En praique, n = 3 à 7. On inrodui l ensemble à l ordre croissan de cee famille, c-à-d, une permuaion {τ (1), τ (n) } de {τ 1, τ n } elle que τ (1) τ (n). L acheur de proecion paie un monan préfixé, appelé le spread du kd, à des daes régulières jusqu à la dae τ (k) si celle-ci es avan la maurié T, au cas où il y a moins de k défaus avan T, alors le paiemen coninue jusqu à T. Au momen τ (k), le vendeur de proecion rembourse une proporion de nominal (1 R (k) ), où R (k) es le aux de recouvremen du kème défau. Similaire que pour un CDS, le flux reçu par le vendeur d un kd à la dae < T τ (k) es donné par T s k 1 {τ(k) >u}d(, u)du où s k es le spread du kd, le flux qu il va payer au cas de défau es 1 {τ(k) T }D(, τ (k) )(1 R (k) ). On obien donc une formule similaire que (1.1) pour le spread du kd s k = E [ Q 1{τ(k) T }(1 R (k) )D(0, τ (k) ) ] E Q [. (1.3) T 1 {τ(k) >u}d(, u)du] Pour evaluer (1.3), la srucure de correlaion enre les défaus τ 1,, τ n es essenielle. Similaire que (4.1), la valeur du kd à la dae < T τ (k) vue par le vendeur es V = 1 {τ(k) >}E Q [ T τ (k) s k D(, u)du 1 {τ(k) T }D(, τ (k) )(1 R (k) τ ) G (n) ]. Ici, l informaion globale G (n) défau jusqu à la dae. doi conenir les observaions de ous les événemens de 1.2.2 CDO Collaeralized deb obligaion (CDO) es un produi financier qui perme aux insiuions financiers de ransferer e réaribuer les risques liés à leurs dees e de diminuer les fonds propres associés, il propose égalemen des choix flexibles d invesissemen aux invesisseurs qui on de différenes préférences de risque. Une CDO s agi d une ransacion spéciale enre des invesisseurs e des émeeurs de dees par inermédiaire d un organisme appelé special purposed vehicle (SPV). Le sousjacen d une CDO es un porefeuille de dees (obligaions, prês, ec.) deenu par un insiuion financier comme par exemple une banque, le porefeuille suppore les risques de défau de chaque nom. La mission de SPV consise à reorganiser ces dees sous forme des ranches de CDO e les revendre aux invesisseurs du marché, ce procedure es appelé la irisaion. Les invesisseurs, au lieu d acheer direcemen les obligaions individuelles, 4
invesi sur ces ranches de CDO suivan leurs goûs de risque. Il exise pour une CDO une ranche equiy, un ranche junior, une ou plusieurs ranches mezzanine e une ranche senior. Chaque ranche de CDO a pour caracérisque d une obligaion : un invesisseur paie un monan à la dae iniiale e reçoi des coupons prefixés pour la ranche correspondane à des daes régulières. Les remboursemen des coupons respecen un principe de hiérarchisaion : la ranche senior qui reçoi un coupon moins élevé es remboursé en premier, les ranches mezzanines e junior son remboursés ensuie, la ranche senior qui pore un coupon excessif es remboursé à la fin. Par ce ordre de subordinaion, les ranches suupérieurs son proégés par les ranches inferieurs conre le risque de défau du porefeuille sous-jacen. On consider un porefeuille de aille n. On désigne par τ i (i = 1,, n) les emps de défau de chaque nom sous-jacen e par N i son nominal. Soi N = n i=1 N i. Le poid du ième nom es ω i = N i /N. Soi R i le aux de recouvremen de τ i. Le erme clé à calculer es la pere oale du porefeuille à la dae 0 définie par L = n N i (1 R i )1 {τi } i=1 e la pere pourcenage es l = L /N = i=1 ω i (1 R i )1 {τi }. Evidemmen, 0 l 1. Une CDO es srucurée par différenes ranches. On decompose l inervalle ]0, 1] par des unions disjoines ]α j 1, α j ] où 0 = α 0 < α 1 < < α k = 1. L inervalle ]α j 1, α j ] correspond au jème ranche e α j 1 e α j son les barrières inférieure e supérieur, appelées aachemen poin e deachemen poin. Les premiers défaus induisen d abord des peres sur la ranche equiy, le monan nominal de la ranche es rédui par la quanié de pere qui va égalemen causer une pere de coupons. Quand la pere oale es inférieur au nominal de la ranche equiy, i.e., si l α 1, les aures ranches son proégées par celle-ci, quand l > α 1, alors la ranche équiy es complèemen perdue e c es la ranche junior qui commence à subir la pere. Ainsi, la pere pourcenage de la jème ranche à la dae es donnée par un call spread, i.e., En d aure ermes, l (j) l (j) = (l α j 1 ) + (l α j ) + = 0, if l α j 1 l α j 1, if l ]α j 1, α j ], if l > α j. es l inersecion de ]α j 1, α j ] e [0, l ]. On a en effe l = k j=1 l(j). Les flux de cash d une ranche CDO ranche es comme la suie. L acheeur de la jème ranche paie à la dae iniiale 0 = 0 un monan nomial, e reçoi à des daes régulières 5
{ 1,, M = T } les coupons qui son proporionels par rappor au rese du monan principal de la ranche, c-à-d, s j (1 l (j) ) u, u = 1,, M où s j es le spread de la ranche. Quand la pere oale es inférieur à la barrière basse α j 1 de la ranche, l acheeur reçoi la quanié complèe de coupon. Dès que l aein α j 1, l acheeur commence à souffrir d une pere due à la pere de la valeur principalede la ranche. Si la pere oale es supérieur à la barrière haue α j de la ranche, la ranche es oalemen perdue e les paiemens de coupon son arrêés. Sinon, à la maurié T, l acheeur va recevoir le dernier coupon e le res du principal 1 l (j) T. Ainsi, les ranche supérieures son proégée par les ranches inférieures. Le flux de cash (acualisés à la dae 0) vu par le vendeur de la jème ranche es donnés par N( ) [1 M s j u=1 ( D(0, u ) 1 l (j) ) ( u D(0, T ) 1 d où vien le spread s j obenu par le pricing risque-neure E Q [1 D(0, T ) (1 l(j) T s j = [ M E Q u=1 D(0, u) (1 l(j) α j α j 1 )] )] u α j α j 1 l (j) )] T Si on suppose que les aux d inérê e ainsi les faceurs d acualisaion son déerminiss, alors les ermes clés à calculer pour obenir s j son E Q [(l k) + ], 0 T, 0 k 1 (1.4) qui es une opion Call écrie sur le processus de pere. A cause de sa aille (n = 100 à 125), la modélisaion de la corrélaion de défaus pour un CDO es rès différene par rappor à celle pour les baske defaul swaps, e les méhods numériques son nécessaires pour obenir la valeur explicie de spread. Les marchés des dérivés de crédi on eu de nouveaux developpemens ces dernières années, comme par exemple la créaion des indices de crédi (TracX, iboxx). Ces indices réflecen le risque moyenne de crédi du marché. Par exemple, TracX es une indice proposée par JP Morgan e Morgan Sanley en 2003, qui conien 100 noms regroupés géographiquemen comme TracX US, Europe ou Asie, où chaque nom correspond à une 6
grande enreprise répresenaive don les CDSs son raiés liquidemen sur le marché e occupe un poid equivalen dans le porefeuille de référence. Les porefeuilles composans de ces indices son uilisés comme des porefeuilles sousjacen pour des CDOs synhéique, qui coniennen des CDSs au lieu de dees physiques. Les ranches des CDOs synhéique son sandardisées comme ]0, 3%], ]3%, 6%], ]6%, 9%], ]9%, 12%], ]12%, 100%] (ou ]12%, 22%] e ]22%, 100%]). Par rappor à une CDO classique où le porefeuille sous-jacen conien des dees specifiques d une banque, l avanage d une CDO synhéhique es d avoir plus de ransparence sur la qualié de produi. Par ailleurs, la ransacion d une seule ranche devien possible. 7