[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés Intégrales doubles Calculs d intégrales doubles Exercice [ 947 ] [Correction] avec Exercice [ 949 ] [Correction] x = { (x, R x, et x + } où = { (x, R x, et x }. Exercice 3 [ 95 ] [Correction] où est l intérieur de l ellipse d équation Exercice 4 [ 3373 ] [Correction] x x x a + b = (a onner les coordonnées des foers F et F de l ellipse E d équation (avec < b < a (b où désigne l intérieur de l ellipse x a + b = (MF + MF Exercice 5 [ 3746 ] [Correction] avec = { (x, R x }. Exercice 6 [ 85 ] [Correction] où = { (x, R x, et x + π }. Exercice 7 [ 86 ] [Correction] où = { (x, R x, et x }. Exercice 8 [ 96 ] [Correction] avec = ( + x ( + sin(x + x (x 3 } {(x, R x,, x a + b On pourra utiliser le changement de variable x = au cos θ et = bu sin θ. Exercice 9 [ 94 ] [Correction] Soit éterminer la limite de I n quand n +. I n = [;] + x n + n iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés Exercice [ 3365 ] [Correction] où Exercice [ 385 ] [Correction] où (x + + z dz = { (x,, z R 3, x,, z, x + + z } (x + = { (x, (R + + x } Exercice [ 564 ] [Correction] essiner = { (x, R, x, x, x 4 } Montrer que φ(x, = (x, x est un C difféomorphisme sur ] ; + [. Expliciter φ(. f (x, où f (x, = x(x + x Étudier les extrema de f. Calculs d intégrales doubles en coordonnées polaires Exercice 3 [ 95 ] [Correction] où est le disque de centre O et de raon R. cos(x + Exercice 5 [ 953 ] [Correction] x + x + x + où est le quart de disque unité inclus dans R + R +. Exercice 6 [ 954 ] [Correction] x où désigne le domaine borné délimité par la cardioïde d équation polaire ρ = + cos θ. Exercice 7 [ 957 ] [Correction] où = { (x, R x + x }. Exercice 8 [ 3396 ] [Correction] x ( + x où désigne le disque fermé de centre O et de raon. Exercice 9 [ 89 ] [Correction] x où est l intérieur de la boucle de la lemniscate d équation polaire r = cos θ obtenue pour θ [ π/4 ; π/4]. Exercice 4 [ 95 ] [Correction] sin(x + où désigne le disque de centre O et de raon π. Exercice [ 9 ] [Correction] (x + où = { (x, R x + x, x +, }. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés 3 Exercice [ 95 ] [Correction] où est donné par x x +. ( + x + Exercice [ 3 ] [Correction] désigne le demi-disque supérieur de centre (, et de raon. + x + Applications du calcul d intégrales doubles Exercice 3 [ 93 ] [Correction] Soit R >. On note On pose A R = [ ; R] [ ; R] et B R = { (x, R x, et x + R } f (R = exp( (x + et g(r = exp( (x + A R B R (a Montrer que g(r f (R g(r. (b En déduire la valeur de e t dt Exercice 4 [ 546 ] [Correction] Soit C(R le quart de disque x,, x + R, R >. (a Montrer que est compris entre C(R ( R e t dt e x et C(R e x (b (c En déduire la valeur de Exercice 5 [ 97 ] [Correction] (a Justifier la convergence de C(R e x e t dt cos(u du et + sin(u du (b Soit f : [ ; π/] R + une application continue. Pour t > on pose t = {(r cos θ, r sin θ/θ [ ; π ], r [ ; t f (θ]} et on introduit ϕ(t = sin(x + et ψ(t = cos(x + t t éterminer les limites, quand T tend vers + de T ϕ et T ψ T T (c On choisit f pour que = [ ; ]. On pose C(t = t cos(u du et S (t = Montrer que ϕ(t = C(tS (t et ψ(t = C(t S (t. (d En déduire les valeurs des intégrales de Fresnel cos(u du et + t sin(u du sin(u du iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés 4 Exercice 6 [ 355 ] [Correction] sin t t en utilisant l intégrale double J(u = sin(x e x [;u] Exercice 7 [ 9 ] [Correction] Soient < a < b. En calculant de deux manières déterminer Exercice 8 [ 9 ] [Correction] Observer que pour tout x [ ; ], En déduire la valeur de π b π a ln( + x = dt x cos t dt ln b cos t a cos t dt Formule de Green Riemann x d + x ln( + x + x Exercice 9 [ 3363 ] [Correction] Soit (a, b R, a >, b >. On note Γ l ellipse d équation et la partie de R définie par x a + b = x a + b (a l intégrale double (on posera x = ar cos θ et = br sin θ Γ (x + (b l intégrale curviligne J = ( 3 x 3 d (c Quelle relation existe-t-il entre I etj? Exercice 3 [ 69 ] [Correction] Soit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d intersection, de la droite d équation = x et de la parabole d équation = x. (a ( + x (b En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale. Exercice 3 [ 8 ] [Correction] On considère f : R R de classe C vérifiant : Soit ϕ: R + R définie par ϕ(r = Γ f x + f = π (a Montrer que la fonction ϕ est dérivable. f (r cos θ, r sin θ dθ (b ϕ et en déduire une expression ϕ. On pourra interpréter rϕ (r comme la circulation d une forme différentielle sur un contour simple. (c Soit le disque de centre et de raon R. Quelle est la valeur de f (x,? iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés 5 Calcul d aires Exercice 3 [ ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l ellipse donnée par { x(t = a cos t (avec a, b > (t = b sin t Exercice 33 [ 79 ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l astroïde donnée par { x(t = a cos 3 t (t = a sin 3 (avec a > t Exercice 34 [ 66 ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par l arche de la ccloïde { x(t = t sin t (t = cos t obtenue pour t [ ; π] et l axe des abscisses. Exercice 35 [ 46 ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe définie par { x(t = cos t (t = ( + sin t cos t Exercice 38 [ 6 ] [Correction] l aire de la boucle de la strophoïde droite d équation polaire r = cos θ cos θ Exercice 39 [ ] [Correction] [Inégalité isopérimétrique] Soit γ une application de classe C et π-périodique de R vers C telle que s R, γ (s = On note S l aire orientée délimitée par γ [;π]. (a Exprimer S à l aide des coefficients de Fourier exponentiels de γ. (b Montrer S π et préciser le cas d égalité. Exercice 4 [ 3769 ] [Correction] On considère la courbe paramétrée du plan donnée par { x(t = t +t 4 avec t R (t = t3 +t 4 (a éterminer centre de smétrie et axe de smétrie. Indice : calculer x(/t et (/t. (b Voici l allure de la courbe sur R. l aire intérieure délimitée par cette courbe. Exercice 36 [ ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d équation polaire r = + cos θ Exercice 37 [ 69 ] [Correction] l aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d équation polaire r = cos θ iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés 6 Intégrales doubles sur un produit d intervalles Exercice 4 [ 99 ] [Correction] [;+ [ ( + x + (a Justifier l existence de I et établir ( x= u= (b En déduire la valeur de e t dt x e (+u x du Exercice 4 [ 98 ] [Correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de ];] x t ln t dt Exercice 46 [ ] [Correction] Que dire de l intégrale double où = ] ; ] [ ; ]? x (x + 3 Exercice 43 [ 99 ] [Correction] En calculant de deux façons déterminer la valeur de Exercice 44 [ ] [Correction] En calculant de deux façons [;π] [;[ π + cos x ln( + cos t cos t dt [;+ [ e (x + déterminer la valeur de e t dt Exercice 45 [ ] [Correction] On pose e (x + ];+ [ Exercice 47 [ 5 ] [Correction] En déduire π/ R + R + ln(tan θ cos θ ( + x ( + dθ et ln t t dt Exercice 48 [ 7 ] [Correction] Soit A M (R une matrice smétrique définie positive. exp( t XAX R ou X désigne le vecteur de coordonnées (x,. Exercice 49 [ 354 ] [Correction] et en déduire la valeur de l intégrale ];[ ];π/[ π/ + (x tan tan d iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Enoncés 7 Exercice 5 [ 369 ] [Correction] Existence et calcul de ];] min(x, max(x, Exercice 5 [ 557 ] [Correction] (a omaine de définition des fonctions B(x, = u x ( u du et de Γ(x = u x e u du (b Montrer que x ] ; + [, Γ(x = u x e u du (c Écrire Γ(xΓ( sous forme d une intégrale double. (d À l aide des coordonnées polaires, montrer que B(x, = Γ(xΓ( Γ(x + (e Montrer que x R +, Γ(x + = xγ(x et en déduire B(m, n pour m, n N. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 8 Corrections Exercice : [énoncé] Puisque = { (x, R x et x } on peut calculer l intégrale ( x Exercice : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l intégrale étudiée Exercice 3 : [énoncé] x = a a = b a = b a x d = x( x = 4 = { (x, R x et x } a x π/ π/ a3 b sin t cos t dt = a3 bπ 4. Exercice 4 : [énoncé] x x d = (a F(c, et F ( c, avec c = a b. x 5/ = 7 a x x d = a a b a x a x = (b L intérieur de l ellipse est la réunion des courbes E λ : MF + MF = λ pour λ [c ; a]. Procédons alors au changement de variable { x = λ cos t = λ c sin t qui donne l intérieur de l ellipse pour (λ, t parcourant [c ; a] [ ; π]. Le jacobien de ce changement de variable est (x, (λ, t = cos t λ sin t λ sin t λ c cos t = λ c cos t + λ c et on obtient d où Après calculs a ( π c π λ λ c cos t + a Exercice 5 : [énoncé] On peut décrire la partie sous la forme On peut alors réexprimer l intégrale double et donc c λ λ c + π 3 (3a b b λ 3 λ c sin t dt dλ λ 3 λ c dλ = { (x, R x et x } Exercice 6 : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l intégrale étudiée x d + x + [ ] arctan x + x = (arctan x = π 3 = { (x, R x π et π x } π x= π x = sin(x + d = π x= cos(x + = π λ λ c sin t iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 9 Exercice 7 : [énoncé] On peut décrire sous la forme et ainsi exprimer l intégrale étudiée = { (x, R x et x } x x d = x3 = 8 Exercice 8 : [énoncé] Φ: (u, θ (au cos θ, bu sin θ réalise une bijection de [ ; ] [ ; π/] vers de jacobien : abu. Par changement de variable π/ ( (x 3 = (a 3 u 3 cos 3 θ bu sin θabu du dθ = 5 ab ( a 3 5b Exercice 9 : [énoncé] [;] x n + n I n = + x n (x n + n = + n [;] n + donc I n. Exercice : [énoncé] 3 ( x x= = (x + + z dz = (x + 3 d = 3 x= ( x ( x ( 4 Exercice : [énoncé] = { (x, R x et x } donc Après calculs (x + = = z= ( x (x + = 3 4 (x + + z dz d x 4 = 3 (x + d ( 4 + = Exercice : [énoncé] La condition x donne une portion du plan comprise entre deux hperboles. ans le repère (O; u π/4, v π/4, la condition x 4 devient XY 4 ce qui conduit encore à une portion de plan comprise entre hperboles. Pour x,, X, Y >, on obtient { x = X x = Y x = X Y +4X Y Y = + 4X Y Cela permet de justifier que φ est une bijection de ] ; + [ vers lui-même. φ est évidemment de classe C et Jacφ(x, = x x = (x + donc, par le théorème d inversion globale, φ est un C difféomorphisme. On aurait pu aussi observer que φ est de classe C ce qui est immédiat car le sstème précédent permet d exprimer φ. On a φ( = [ ; ] [ ; 4]. Par le changement de variable induit par φ, L application f est de classe C. Après résolution du sstème on obtient (, seul point critique. En passant en polaires, qui change de signe. f n a pas d extremum locaux. f (x, = Exercice 3 : [énoncé] En passant aux coordonnées polaires π R θ= ρ= [;] [;4] X Y dx dy = 3 ln f (x, = x f (x, = r cos θ sin θ cos θ sin θ = r tan θ r cos(r dr dθ = π [ ] R sin r = π sin R iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections Exercice 4 : [énoncé] En coordonnées polaires sin(x + = Exercice 5 : [énoncé] En passant aux coordonnées polaires π/ Exercice 6 : [énoncé] En coordonnées polaires Sachant et on obtient x = π π π π θ= r π/ r dr dθ = r cos θ + r π θ= π +cos θ ρ= cos 4 θ dθ = π π 3 ρ= ρ cos θ dρ dθ = 3 π cos θ dθ = π π cos θ dθ 4 Exercice 7 : [énoncé] On peut décrire en coordonnées polaires x = 5π 4 ρ sin ρ dρ dθ = π cos θ + dθ = t=tan θ/ π π π π dt 3 = 3 cos θ( + cos θ 3 dθ sin θ dθ = 3π 4 Exercice 8 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π r + r 3 cos θ sin θ dr dθ = π Le résultat se comprend car les aires positives, compensant les négatives, on a x = Exercice 9 : [énoncé] En passant en coordonnées polaires π/4 θ= π/4 cos θ r= r 5 cos θ sin θ dr dθ = π/4 π/4 4 sin θ cos 3 θ dθ = 8 Exercice : [énoncé] On peut décrire le domaine d intégration en coordonnées polaires sous la forme = {M(r cos θ, r sin θ/θ [ ; π/4] sin θ r cos θ} En passant aux coordonnées polaires donc (x + = 4 (x + = π/4 π/4 ( cos θ sin θ r 3 (cos θ + sin θ dr dθ (cos 4 θ sin 4 θ(cos θ + sin θ dθ = 4 π/4 cos θ( + sin θ dθ = 3 On a alors = {(r cos θ, r sin θ/θ [ π/ ; π ], r cos θ} x = π/ cos θ π/ π/ r cos θr dr dθ = cos 4 θ dθ = π 3 π/ 8 Exercice : [énoncé] En visualisant le domaine comme le complémentaire de la réunion de deux cercles dans le cercle unité et par des considérations de smétrie, on obtient en passant aux coordonnées polaires ( + x + = 4 π/ ( cos θ r π/ ( + r dr dθ = + cos θ dθ iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections Or via le changement de variable t = tan θ donc π/ dθ + + cos θ = dt t + = π ( + x + = π π = ( π Exercice : [énoncé] Le cercle délimitant le disque étudié a pour équation polaire En passant en coordonnées polaires On obtient donc π/ θ= r = cos θ π/ cos θ θ= π/ θ= r= cos θ sin θ dθ r sin θ r dr dθ + r sin θ [r arctan r] cos θ r= dθ π/ sin θ arctan( cos θ dθ La première intégrale est immédiate et la seconde s obtient par changement de variable puis intégration par parties Exercice 3 : [énoncé] arctan x = arctan + 4 ln 5 (a B R A R B R et la fonction intégrée est continue et positive sur R donc (b En passant aux coordonnées polaires g(r = π/ R g(r f (R g(r r e r dr dθ = π 4 ( π e R R + 4 Par encadrement, on obtient Or et e t dt donc Exercice 4 : [énoncé] (a On a ( R f (R = ( R ( R e dt t = π f (R R + 4 ( e dt t e t dt R + e t dt = π ( R e x e d = x e [;R] Or la fonction (x, e x est positive et on a l inclusion des domaines d intégration C(R [ ; R] C(R On a donc C(R (b En passant en coordonnées polaires C(R ( R e x e dt t e x = π/ R C(R re r dr dθ = π 4 e x ( e R (c La fonction f : t e t est définie et continue par morceaux sur [ ; + [. Puisque e t = o ( /t quand t +, on peut affirmer que f est intégrable et il a donc convergence de l intégrale e t dt En passant à la limite quand R + l encadrement obtenu à la première question, on obtient ( e t dt = π 4 iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections puis sachant l intégrale positive. Exercice 5 : [énoncé] (a Pour A R + A Par intégration par parties : A cos(u du = e t dt = π cos(u du + A cos(u du [ ] A u u cos(u du = u sin(u + A sin(u du l R u A + On procède de même pour + sin(u du. (b En passant aux coordonnées polaires ϕ(t = sin(x + = t donc puis ϕ(t = π/ θ= T ϕ(t dt = π T 4 T π/ ( t f (θ θ= r= ( cos(t f (θ dθ π/ ( T r sin(r dr dθ cos(t f (θ dt dθ Par changement de variable affine, sachant f (θ >, on a T cos( f (θt dt = f (θt cos(u du f (θ Or A A cos(u du est continue sur R + et admet une limite finie en + donc elle est bornée par un certain M. On a alors π/ puis ( T cos(t f π/ (θ dt dθ T π/ ( T T cos(t f π/ (θ dt dθ cos(t f (θ dt dθ M dθ = Cte f (θ Finalement T ϕ(t dt π T 4 e manière semblable, on obtient (c On a or En séparant, puis e même ϕ(t = t ϕ(t = T t x= T ψ(t dt ( t sin(x + d = sin(x + = sin(x cos( + sin( cos(x sin(x t cos( d + t ϕ(t = S (tc(t ψ(t = C(t S (t sin( d t cos(x (d Lorsqu une fonction g: [ ; + [ R continue tend vers l en + il est connu que On a donc en notant C = T T g(t dt T + l ϕ(t t + CS et ψ(t t + C S cos(u du et S = sin(u du On en déduit C = S et CS = π/. Il ne reste plus qu à déterminer les signes de C et S pour conclure leur valeur. avec I n = (n+π nπ cos(u du = cos(u du = (n+π nπ + I n n= cos t dt = ( n t π cos s s + nπ ds iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 3 On a alors I n = ( n I n, ( I n n décroissante et I n donc le critère spécial s applique et assure que la somme + n= I n est du signe de son premier terme, à savoir I >. Ainsi C >. e plus CS > donc S > puis π C = S = Exercice 6 : [énoncé] La fonction f définie sur R par f (x, = sin(x e x est continue donc pour tout u ; u ( u J(u = sin(x e x = une part avec et d autre part On en déduit u u u ( u sin(x e x d ( u ( e sin(x e x = Im e ( ix ( iu = Im i ( e ( iu ( Im = cos(u e u sin(u e u i + sin x x ce qui se réorganise en avec et u u sin x x = u ( e xu = u u cos(u + sin(u + sin(x e x d = sin x x u ( e xu ( cos(u e u sin(u e u d + d u + + sin x u e xu cos(u + sin(u e u d x + sin x x e xu u e u d e xu = u u + + + e u d e u d u + On en déduit u sin x u d lim = lim u + x u + + = π ce qui donne la convergence et la valeur de l intégrale définissant I. Exercice 7 : [énoncé] une part autre part et On en déduit π π π b a π b a dt x cos t ln b cos t b a cos t dt = a x cos t dt = x cos t dt = = u=tan t Exercice 8 : [énoncé] Par simple détermination de primitive On a Or donc puis π b π a ln b cos t a cos t dt dt x cos t du ( + xu + x = π x π x = π [ argchx ] b a = π ln b + b a + a x d + x = [ ln( + x ] = ln( + x ln( + x + x = x d ( + x( + x x ( + x( + x = a + x + bx + c + x avec a = +, b = +, c = + ( + x( + + x + = I+ ( + x ( + = ( + ( + x ( + d x + ( + x ( + + x = π ln 8 iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 4 Exercice 9 : [énoncé] (a Le changement de variables proposé a pour jacobien (x, (r, θ = a cos θ ar sin θ b sin θ br cos θ = abr Ce changement de variable donne et donc π (b Par le paramétrage direct on obtient puis au terme des calculs (c On observe r= ( a r cos θ + b r sin θ abr dr dθ { x(t = a cos t (t = b sin t J = π πab(a + b 4 avec t [ ; π] ab 3 sin 4 θ + a 3 b cos 4 θ dθ J = 3πab(a + b 4 J = 3I ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque avec Exercice 3 : [énoncé] 3 x 3 d = P(x, + Q(x, d Q P (x, x (x, = 3(x + (a En paramétrant les deux courbes constituant Γ x + x 3 x + x = 4 (b Par la formule de Green-Riemann avec = { (x, R x, x x }. On en déduit ( x ( + x d = Exercice 3 : [énoncé] x ( + x ( + x(x x = 4 (a g: (r, t f (r cos t, r sin t est C donc g et g r sont continues sur R [ ; π] et ϕ est C sur R. (b La fonction (r, θ f (r cos θ, r sin θ admet une dérivée partielle en la variable r et celle-ci est continue sur R [ ; π]. Par intégration sur un segment, ϕ est dérivable et ϕ (r = π cos θ f f (r cos θ, r sin θ + sin θ (r cos θ, r sin θ dθ x En notant Γ le cercle de centre O et de raon r parcouru dans le sens direct et le disque correspondant, rϕ f f f (r = (x, d (x, = x x (x, + f (x, = Γ On en déduit ϕ (r = pour r, puis par continuité pour tout r R. Par suite la fonction ϕ est constante égale à (c En passant aux coordonnées polaires R f (x, = ϕ( = π f (, π f (r cos θ, r sin θr dθ dr = πr f (, Exercice 3 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π ab cos t dt = πab iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 5 Exercice 33 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π 3a cos 4 t sin t dt = 3π 8 a Exercice 34 : [énoncé] On calcule l aire étudiée par l intégrale curviligne A = x d le long d un pourtour direct du domaine limité. Le pourtour est ici formé par la réunion de deux arcs, l arche de ccloïde (parcouru dans le sens indirect et un segment de l axe (Ox. On obtient A = π (t sin t sin t dt + π dt = 3π Exercice 35 : [énoncé] La courbe étudiée est intégralement obtenue pour t [ ; π] et le domaine limité est parcouru dans le sens direct. On peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = x d On obtient A = π cos 4 t cos t( + sin t sin t dt = π Exercice 36 : [énoncé] Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par l intégrale curviligne A = r dθ On obtient A = π π ( + cos θ + cos θ dθ = 3π Exercice 37 : [énoncé] L aire voulue se calcule par une intégrale curviligne le long d un pourtour direct du domaine A = r dθ Pour θ variant de π/4 à π/4, on parcourt une boucle de lemniscate dans le sens direct, on obtient par considération de smétrie A = π/4 π/4 cos θ dθ = Exercice 38 : [énoncé] La boucle de la courbe considérée est obtenue pour θ [ π/4 ; π/4] et elle est parcourue dans le sens direct. L aire voulue se calcule par l intégrale curviligne A = r dθ On obtient par considération de smétrie Exercice 39 : [énoncé] A = π/4 (a Posons x = Re(γ, = Im(γ. S = (x d = donc γ S = 4 cos θ 4 + cos θ dθ = π π π ( x(s (s (xx (s ds Im( γ(sγ (s ds = π Im ( γ γ en notant (.. le produit scalaire usuel. Par la formule polarisée de Parseval ( γ γ = c n (γc n (γ = car c n (γ = inc n (γ et donc n Z in c n (γ n Z S = n c n (γ n Z iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 6 (b Par la formule de Parseval on a : donc puis n inc n = π π n c n = n γ (s ds = S = π n c n π n c n π n Z avec égalité si, et seulement si, c n = pour tout n Z tel que n >. On a alors γ(s = c + c e is avec c = car γ (s =. γ est un paramétrage direct d un cercle de diamètre. n Z Pour x, f (x, est intégrable sur R + car quand +. (+x + 3 [ ( + x + d = ] + = + x + ( + x e plus x f (x, d est intégrable sur R + car (+x quand x +. x + x = π 4 Puisque f est positive, on en déduit que f est intégrable sur [ ; + [ et par le théorème de Fubini, [;+ [ = ( + x + ( = ( + x + d = π 4 Exercice 4 : [énoncé] (a La courbe est définie pour t parcourant R. Puisque x( t = x(t et ( t = (t, le point M( t est le smétrique du point M(t par rapport à l origine. Pour t, x(/t = (t et (/t = x(t donc M(/t est le smétrique du point M(t par rapport à la droite d équation = x. (b On peut calculer l aire par une intégrale curviligne «généralisée» (par un changement de paramétrage du tpe s = arctan t, on se ramène à un paramétrage sur ] π/ ; π/[ que l on prolonge à [ π/ ; π/] en adjoignant le point limite origine et cela nous ramène au contexte usuel.... La formule la plus pratique ici est A = x d Pour des raisons de sens de parcours, on va calculer le double de l aire d une boucle et l on obtient t 3 A = ( + t 4 dt = Exercice 4 : [énoncé] Considérons f : (x, f est définie et continue sur [ ; + [. ( + x + Exercice 4 : [énoncé] Soit f (x, = x continue et positive sur ] ; [. une part autre part = ( x= x= ( x = = = d = ln + x x d = x= ln x avec x x ln x intégrable sur ] ; [. Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc t ln t dt = ln Exercice 43 : [énoncé] Soit f (x, = + cos x continue et positive sur [ ; π] [ ; [. une part : π ( d π ln( + cos x = + cos x cos x et cette intégrale est bien définie. autre part : π + cos x = t=tan x dt ( + + ( t = π iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 7 et ( π d = + cos x π d = π Par le théorème de Fubini (avec ici f, ces deux intégrales sont égales et donc Exercice 44 : [énoncé] Sous réserve d intégrabilité on a : ( x= = π ln( + cos t cos t e (x + d = dt = π π/ ( θ= r= r e r dr dθ une part, la fonction e (x + est intégrable sur R + et la fonction x + d = C e = e (x x est intégrable sur R +. autre part, la fonction r r e r est intégrable sur R + et la fonction θ est intégrable sur [ ; π/]. La relation précédente est donc valide. une part, en séparant les variables : autre part, On peut conclure Exercice 45 : [énoncé] ( x= = π/ ( θ= r= ( e (x + d = e t dt r e r dr dθ = π [ ] + = π e r r= 4 e t dt = (a Pour tout x ] ; + [, e (x + est intégrable sur ] ; + [ et l application x + = e (x d = C e x est continue et intégrable sur ] ; + [ donc (x, e (x + est intégrable sur ] ; + [ et ( e (x + d x= = π r e r dr Réalisons le changement de variable = ux puis = e (x + d = ( x= u= u= x e x (+u du x e (+u x du (b Compte tenu des calculs précédents (x, u x e (+u x est intégrable sur ] ; + [ et donc (+u x x e du ];+ [ Puisque x x e (+u x est intégrable sur ] ; + [ et que u x e (+u x = est intégrable sur ] ; + [ on a aussi +u ( x e (+u x du du = + u = π u= x= Or par séparation des variables ( x= = ( e (x + d = e t dt t= donc π e t dt = car cette dernière intégrale est positive. Exercice 46 : [énoncé] L intégrale a la même nature que sur ] ; ]. x est intégrable sur ] ; ] et x (x+ 3 est intégrable sur ] ; ] et (+ Ainsi x = (x+ 3. x (x + = 3 ( + d ( + = iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 8 Par une démarche smétrique On peut donc dire que la fonction (x, Exercice 47 : [énoncé] Posons f : R + R + R définie par R + R + f (x, = x (x + 3 d = x (x+ 3 n est pas intégrable sur. ( + x ( + La fonction f est continue et positive. Pour R +, la fonction x f (x, est intégrable sur R + et f (x, = est intégrable sur R +. On en déduit que f est intégrable sur R + R + et + ( ( + x ( + = d = π ( + x ( + 4 Posons g: R + ] ; π/[ R définie par r g(r, θ = f (r cos θ, r sin θr = ( + r cos θ( + r sin θ La fonction g est continue et positive. Pour θ ] ; π/[, la fonction r g(r, θ est intégrable sur R + et Pour θ π/4, et on en déduit puis g(r, θ dr = u=r ( + u cos θ( + u sin θ = cos θ du ( + u cos θ( + u sin θ = cos θ du ( + u cos θ( + u sin θ ln tan θ g(r, θ dr = cos θ ( = ln tan θ cos θ cos θ + u cos θ sin θ + u sin θ [ ln + u ] + cos θ ln tan θ = + u sin θ cos θ π (+ e plus, pour [a ; b] ] ; π/[, on a g(r, θ r ( + r cos b( + r sin a = ϕ(r avec ϕ intégrable sur [ ; + [ donc, par domination sur tout segment, on peut affirmer que θ g(r, θ dθ est continue sur ] ; π/[. Par cet argument, il n est pas nécessaire de calculer l intégrale pour θ = π/4. La fonction h: θ g(r, θ dθ est intégrable sur ] ; π/4] car quand θ +, θh(θ = θ ln(tan θ cos θ θ ln θ e plus, h(π/ θ = h(θ donc h est aussi intégrable sur [π/4 ; π/[. Par le théorème d intégration en coordonnées polaires, on a alors π/ ( f (x, = g(r, θ dr dθ R + R + d où l on tire π/ En posant t = tan θ, on a dt = ( + t dθ et et on obtient Exercice 48 : [énoncé] Commençons par le cas où On étudie alors Posons f : R R définie par A = ln tan θ cos θ dθ = π 4 cos θ = t + t ln t π dt = t 4 ( λ avec λ, µ > µ exp ( (λx + µ R f (x, = exp ( (λx + µ La fonction f est définie, continue et positive sur R. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections 9 Pour x R, la fonction f (x, est intégrable sur R et f (x, d = e λx e µ d = C te e λx R La fonction x f (x, d est intégrable sur R et par conséquent f est intégrable sur R R avec ( ( ( f (x, d = e λx e µ d R R Sachant e t dt = π on obtient par un changement de variable affine π λµ = π det A Passons au cas général. Notons λ, µ > les deux valeurs propres de la matrice A. Il existe une base orthonormée ( e, e telle que si X = u e + v e alors t XAX = λu + µv Considérons alors l application ϕ: R R qui à (x, associe (u, v de sorte que (x, = u e + v e ϕ est une isométrie de l espace vectoriel R, la valeur absolue de son jacobien vaut et ϕ transforme le disque (, R = { (x, R x + R } en lui-même. Par le changement de variable (u, v = ϕ(x, exp( t XAX = exp ( (λu + µv du dv (,R (,R Quand R +, l étude d intégrabilité du cas initial donne exp ( (λu + µv du dv exp ( (λu + µv du dv = (,R R On en déduit (,R exp( t XAX R + π λµ π λµ Tout pavé [a ; b] [c ; d] étant inclus dans un disque (, R pour R assez grand et inversement tout disque (, R étant inclus dans un pavé assez grand, on peut affirmer que la fonction continue positive (x, exp( t XAX est intégrable sur R et sup [a;b] [c;d] R [a;b] [c;d] exp( t XAX = lim R + Exercice 49 : [énoncé] La fonction f définie sur ] ; [ ] ; π/[ par f (x, = + (x tan (,R exp( t XAX = est continue et positive. Pour x ] ; [, la fonction f (x, est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ avec π/ d + = + (x tan t=tan Par décomposition en éléments simples et donc π/ dt ( + t ( + x t x ( + t ( + x t = x + t + x + x t d + (x tan = t=tan ( π x + x = π x x + La fonction x π ln(x + est continue par morceaux et intégrable sur ] ; [. On en déduit que la fonction f est intégrable sur ] ; [ ] ; π/[ et puis finalement ];[ ];π/[ ];[ [;π/[ + (x tan = ( π/ d + (x tan + (x tan = π x + = π ln π λµ = Aussi, pour ] ; π/[, la fonction x f (x, est continue par morceaux et intégrable sur ] ; [ avec [ + (x tan = arctan (x tan tan ] = tan π det A iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections e plus la fonction /tan est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ donc on aussi π/ ( + (x tan = d + (x tan ce qui donne ];[ ];π/[ ];[ ];π/[ On en déduit π/ Exercice 5 : [énoncé] Posons f : ] ; ] R la fonction définie par π/ + (x tan = tan d tan d = π ln f (x, = La fonction f est positive, continue et vérifie min(x, max(x, (x, ] ; ], f (x, ce qui assure son intégrabilité. L intégrale étudiée est donc bien définie. Pour x ] ; ] fixé, la fonction f (x, est intégrable sur ] ; ] car est continue par morceaux, positive et majorée par. On a f (x, d = x x d + x x d = x x ln x La fonction x f (x, d est intégrable sur ] ; ] car est continue par morceaux et prolongeable par continuité en. On retrouve ainsi que f est intégrable sur ] ; ] mais aussi a-t-on Exercice 5 : [énoncé] ( f (x, d = x x ln x = (a La fonction b: u u x ( u est définie et continue par morceaux sur ] ; [. On a u x ( u u ux et u x ( u + u ( uu donc la fonction b est intégrable sur ] ; [ si, et seulement si, x > et >. La fonction b étant positive, son intégrabilité équivaut à la convergence de l intégrale définissant B. La fonction B est donc définie sur R + R +. Une étude semblable donne que la fonction Γ est définie sur ] ; + [ car u x e u u ux et u x e u = o ( /u + u + (b Le changement de variable u = t qui est de classe C strictement monotone donne (c On a donc Γ(x = t x e t dt ( + ( 4 Γ(xΓ( = u x e u du v e v dv 4 Γ(xΓ( = ( u x v e (u +v dv du Considérons la fonction f : (u, v u x v e (u +v. Cette fonction est positive. Pour chaque u >, la fonction v f (u, v est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. La fonction u f (u, v dv = ux e u Γ( est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. On peut donc affirmer que f est intégrable sur R + R + et R + R + ce qui fournit exactement R + R + f (u, v du dv = ( f (u, v dv du u x v e (u +v du dv = 4 Γ(xΓ( (d Introduisons la fonction déduite d un passage en polaire g: (r, θ = f (r cos θ, r sin θr = (cos θ x (sin θ r (x+ e r La fonction g est positive Pour chaque θ ] ; π/[, la fonction r g(r, θ est continue par morceaux et intégrable sur ] ; + [. iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d
[http://mp.cpgedupudelome.fr] édité le 4 septembre 6 Corrections La fonction θ g(r, θ dr = (cos θx (sin θ Γ(x + est continue par morceaux et intégrable sur ] ; π/[ car x, > et (sin θ θ θ, (cos θ x θ π/ On peut donc passer en coordonnées polaires et affirmer ce qui donne R + R + f (u, v du dv = Γ(xΓ( = Γ(x + π/ π/ ( ( π θ x g(r, θ dr dθ (cos θ x (sin θ dθ Par le changement de variable C strictement monotone u = cos θ pour lequel du = cos θ sin θ dθ on obtient et finalement π/ (cos θ x (sin θ dθ = Γ(xΓ( = B(x, Γ(x + u x ( u du (e Par intégration par parties A Quand ε et A +, on obtient ε u x e u du = [ u x e u] A A ε + x u x e u du Γ(x + = xγ(x Puisque Γ( =, une récurrence facile donne Γ(n = (n! pour tout n N. On en déduit (n!(m! B(n, m = (n + m! ce qui aurait aussi pu se démontrer directement par une succession d intégrations par parties. ε iffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - d