Géométrie BAC MATHS δmaths M. Ezeddine ABDA DeltaMaths
Nombres complexes * +. Si, alors il existe un unique couple tel que. est la forme algébrique du nombre complexe. : la partie réelle de. : la partie imaginaire de. : le conjugué de. Propriétés : Le plan complexe est muni d un repère ( ) et un point d affixe, ( ) ( ). /, - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). /, -, -, - Si alors, - Si alors, - Pour tous nombres complexes et et tout entier on a :, ou. ou. Forme trigonométrique : Soit un nombre complexe non nul. Posons, - et. Tél : 92 378 266 Page 2
Alors : ; c est l écriture trigonométrique de. Remarques : Soit un nombre complexe non nul tel que. Alors : Soient et deux nombres complexes tels que :, - et, -. Alors :, -, -, -, -, - [ ], -, - Forme exponentiel : Pour tout réel, on note le nombre complexe. Soit un nombre complexe non nul. Posons, - et. Alors : ; c est l écriture exponentiel de. Propriétés : Formule de Moivre : Pour tout réel et pour tout entier, on a :. Formule d Euler : Équation :, - L équation admet dans solutions distinctes définis par * +., Les solutions sont appelées racines nièmes de l unité. Les racines nièmes de l unité sont les sommets d un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Tél : 92 378 266 Page 3
Exemple :, * +. Soit tel que. L équation admet dans deux solutions opposées : L équation admet deux solutions dans. On a alors : où et est une racine carré de. Soit des nombres complexes tels que, et Si est un zéro de, alors : avec Formule de binôme de Newton : Soient et deux nombres complexes. Alors : Tél : 92 378 266 Page 4
Série n 1 : Nombres complexes Exercice 1 : QCM On considère le nombre complexe. 1. La forme algébrique de est : a. b. c. ( ) d. 2. s écrit sous forme exponentielle : a. b. c. d. 3. s écrit sous forme exponentielle : a. b. c. d. 4. et sont les cosinus et les sinus de : a. b. c. d. Exercice 2 : QCM 1. On considère le nombre complexe. a. b. c. d. 2. On considère le nombre complexe a., - b., - c. Le point d affixe est sur le cercle de centre, de rayon. 3. vérifie ; l écriture algébrique de est : d. Le point d affixe est sur l axe des ordonnés. a. b. c. d. 4. Dans le plan complexe, on donne les points, et d affixes respectives, et. Le triangle est : a. Rectangle et non isocèle. b. Isocèle et non rectangle. c. Rectangle et isocèle. d. Ni rectangle ni isocèle. 5. À tout nombre complexe on associe le nombre défini par :. L ensemble des points d affixe tel que est : a. Une droite. b. Une droite privée d un point. c. Un cercle de rayon 1. d. Un cercle privé d un point. Tél : 92 378 266 Page 5
6. Les notations sont les mêmes qu à la question 5. L ensemble des points d affixe tel que est un réel est : a. Une droite. b. Un cercle. c. Une droite privée d un point. d. Un cercle privé d un point. 7. Dans le plan complexe, on donne le point d affixe. L écriture complexe de la rotation de centre et d angle est : a.. / b.. / c.. / d.. / Exercice 3 : Vrai-Faux 1. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( ). On considère les points,, et d affixes respectives ; ; et. a. est un parallélogramme. b. Le point, image de par la rotation de centre et d angle, est un point de l axe des abscisses. c. Soient et le point d affixe. Le triangle est rectangle et isocèle en. d. Soient et le point d affixe. Le triangle est rectangle et isocèle en. 2. Le nombre complexe est imaginaire pure. 3. Le nombre complexe est de module et l un de ses arguments est. 4. est le point d affixe dans un repère orthonormé. L ensemble des points d affixe vérifiant est le cercle de centre et de rayon. 5., et sont des points d affixes respectives, et telles que :, alors :. /. 6. On considère le nombre complexe a. On a :. b. Le réel est un argument de.. c. On a :. 7. On considère les nombres complexes et. Alors : a.. b. Il existe au moins un tel que soit réel. c. Il existe au moins un tel que soit imaginaire pur. d. Il existe au moins un tel que. e. Il existe au moins un tel que et soient réels. Tél : 92 378 266 Page 6
8. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( ). On considère les points d affixe et d affixe tels que et soient les solutions de l équation :. a.. b. est un nombre réel. c. Le milieu de, - est sur l axe des abscisses. d. La droite est parallèle à l axe des ordonnées. e. et appartiennent au cercle de centre et de rayon. Exercice 4 : Soit un nombre complexe de module, d argument et soit son conjugué. Calculer en fonction de et le produit suivant : Exercice 5 : Calculer les racines carrées de : ; ; ; ; ;. Exercice 6 : Montrer que les solutions de avec, et réels, sont réels ou conjuguées. Exercice 7 : Résoudre dans les équations suivantes : 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7.. 8.. 9.. 10.. 11.. Exercice 8 : 1. Résoudre et montrer que les racines s écrivent,,. Calculer et en déduire les racines de. Tél : 92 378 266 Page 7
2. a. Résoudre et montrer que les racines s écrivent,,,,. b. En déduire les racines de. c. Calculer, pour, Exercice 9 :. 1. Soient, et trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer et en fonction de. 2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans de :. Indication : calculer. Exercice 10 : Déterminer l ensemble des nombres complexes tels que : 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6.. 7., -. 8. Le point d affixe est situé sur le cercle de centre et de rayon. Exercice 11 : 1. Soit, et trois points du plan complexe dont les affixes sont respectivement, et. On suppose que ; montrer que est un triangle équilatéral. avec. la réciproque est-elle vraie? 2. étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles équilatéraux directs et, ce qui détermine les points et. a. Quelle est la nature du quadrilatère? b. Comparer les triangles, et. Exercice 12 : Comment construire un pentagone régulier? Soit un pentagone régulier. On note son centre et on choisit un repère orthonormé ( ) avec, qui nous permet d identifier le plan avec l ensemble des nombres complexes. 1. a. Donner les affixes,,, et des points et. Tél : 92 378 266 Page 8
b. Montrer que pour * +. c. Montrer que. 2. En déduire que. / est l une des solutions de l équation. En déduire la valeur de. /. 3. On considère le point d affixe. Calculer en fonction de puis de. Indication :. /. 4. On considère le point d affixe, le cercle de centre de rayon et enfin le point d intersection de avec le demi-droite, ). Calculer puis calculer. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer. Exercice 13 : 1. Calculer et en fonction de et. 2. Résoudre dans l équation. Exercice 14 : 1. a. Montrer que si,,, alors,, et sont solutions de l équation. b. Trouver,, et si on suppose et. 2. Résoudre le système : { Exercice 15 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé. L unité graphique est. Soit un nombre complexe non nul et différent de. On définit, pour tout entier naturel, la suite de nombres complexes par : { On note le point d affixe. 1. Calcul de en fonction de et. a. Vérifier les égalités : ; ;. b. Démontrer que, pour tout entier :. 2. Étude du cas. Tél : 92 378 266 Page 9
a. Montrer que. b. Pour tout entier naturel, exprimer en fonction de. c. Montrer que est l image de par une rotation dont on précisera le centre et l angle. d. Représenter les points,,, et dans le repère. 3. Caractérisation de certaines suites. a. On suppose qu il existe un entier naturel tel que. Démontrer que, pour tout entier naturel, on a l égalité :. b. Réciproquement, montrer que s il existe un entier naturel tel que, pour tout entier naturel on ait l égalité alors. Exercice 16 : On considère l équation où est un nombre complexe. 1. Montrer que si le nombre complexe est solution de l équation alors les nombres complexes et sont aussi solutions de. 2. On considère le nombre complexe. a. Écrire le nombre complexe sous forme exponentielle. b. Vérifier que est solution de l équation. 3. Résoudre dans l équation. Exercice 17 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ). Soit l application qui à tout point de d affixe non nulle associe le point d affixe :. 1. Soit le point d affixe. Calculer l affixe du point, image de par. 2. Déterminer l ensemble des points invariants par. 3. On note et les points d affixes respectives et. Soit un point distinct des points, et. a. Montrer que, pour tout nombre complexe différent de, et on a : b. En déduire une expression de en fonction de puis une expression de l angle. / en fonction de l angle. /. 4. Soit la médiatrice du segment, -. Montrer que si est un point de distinct du point, alors appartient à. 5. Soit le cercle de diamètre, -. a. Montrer que si le point appartient à alors le point appartient à la droite. b. Tout point de la droite a-t-il un antécédent par? Tél : 92 378 266 Page 10
Exercice 18 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ). Les questions suivantes sont indépendantes. 1. Résoudre, dans, l équation :. 2. On considère le point d affixe. Déterminer la forme algébrique de l affixe du point tel que soit un triangle équilatéral de sens direct. 3. Soit le point d affixe. a. Représenter l ensemble des points d affixes tel que : b. Représenter l ensemble des points d affixes. 4. À tout point d affixe, on associe le point d affixe telle que. Déterminer l ensemble des points tels que. Exercice 19 : orthog.alignement Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On considère les points et d affixes respectives et avec. 1. Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux si et seulement si. 2. Montrer que les points et sont alignés si et seulement si. 3. est le point d affixe. Quel est l ensemble des points tels que les vecteurs et soient orthogonaux. 4. On suppose que non nul. est le point d affixe. On recherche l ensemble des points d affixes tels que les points et soient alignés. a. Montrer que : b. Conclure sur l ensemble recherché. Exercice 20 : rotation. / 1. Démontrer que la rotation d angle et de centre d affixe est la transformation du plan qui à tout point d affixe associe le point d affixe tel que :. : et. /. /, -. Application : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On considère les points,, et d affixes respectives,, et. Tél : 92 378 266 Page 11
2. a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombre complexes,, et. b. Placer les points,, et. c. Quelle est la nature de quadrilatère? 3. On considère la rotation de centre et d angle. Soient et les points du plan définis par :,. a. Placer les points et. b. Donner l écriture complexe de la rotation. c. Déterminer les affixes des points et. Exercice 21 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). 1. Résoudre, dans, l équation :. 2. On considère les points et d affixes respectives et. a. Écrire et sous forme exponentielle. b. Calculer les distances, et. En déduire la nature de. 3. On désigne par le point d affixe et son image par la rotation de centre et d angle. Déterminer l affixe du point. 4. On appelle le barycentre des trois points pondérés, et. a. Justifier l existence de et montrer que ce point a pour affixe. b. Placer les points,,, et sur une figure. c. Montrer que les points, et sont alignés. d. Montrer que le quadrilatère est parallélogramme. Exercice 22 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On considère le point d affixe et le cercle de centre et de rayon. 1. Déterminer les affixes des points d intersection de et l axe des abscisses. 2. On désigne par et les points d affixes respectives et. Déterminer l affixe du point diamétralement opposé au point sur le cercle. 3. Soit le point d affixe. a. Calculer. b. Interpréter géométriquement un argument du nombre. En déduire que le point appartient au cercle. 4. On note le cercle de diamètre, -. La droite recoupe en un point. a. Montrer que les droites et sont parallèles. b. Déterminer l affixe du point. 5. On désigne par l image de par la rotation de centre et d angle. Déterminer l affixe du. En déduire que. Tél : 92 378 266 Page 12
Exercice 23 : projection Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). À tout point d affixe on associe le point d affixe par l application qui admet pour écriture complexe :. 1. On considère les points,, d affixes respectives, et. Déterminer les affixes des points,, images respectives par. Placer les points,,,, et. 2. On pose avec. Déterminer et en fonction de et. 3. Montrer que l ensemble des points invariants par est la droite. Tracer la droite. Quelle remarque peut-on faire? 4. Soit un point quelconque du plan et son image par. Montrer que appartient à la droite. 5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe :. b. Déduire que, si, les droites et sont parallèles. 6. Un point quelconque étant donné, comment construire son image? (on étudiera deux cas suivant que appartient ou non à.) Exercice 24 : triangles et spirale Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( ). On pose et, pour tout entier naturel,. On note le point du plan d affixe. 1. Calculer,, et. Placer les points,,, et. 2. Pour tout entier naturel, on pose. Justifier que est une suite géométrique puis déterminer son terme général en fonction de. 3. À partir de quel rang, tous les points appartiennent-ils au disque de centre et de rayon? Indication :. / 4. a. Établir que, pour tout entier,. En déduire la nature de. b. Pour tout entier naturel, on note la longueur de la ligne brisée. Exprimer en fonction de. Quelle est la limite de la suite. Tél : 92 378 266 Page 13