Primitives de Foctios Clcul Itégrl Site MthsTICE de Adm Troré Lcée Techique Bmko I Primitives d ue foctio umérique : - Activité : Soit l foctio f : + 3 ; Clculer l dérivée de chcue des foctios F ; G ; H défiies pr : 3 F ( = + 3 + ; G ( = + 3 7 ; ( = + + H Que remrque-t-o? Pour tout de Df, F ( = f ( ; G (= f ( ; H ( = f ( O dit que F ; G ; H sot des primitives de f sur Df - Défiitio : Soit f ue foctio défiie sur ue prtie o vide [ ; ] de R O ppelle foctio primitive de f sur [ ; ], toute foctio F telle que : ε [ ; ], F ( = f ( pour Dérivée 3- Nottios: Pr im f = F ou f ( d = F( [ ; ] [ Prim f = F ] [ ε [ ; ], F ( = f ( ] ; f f Ʌ - Remrques : Si f est cotiue sur [ ; ] lors s primitive F est cotiue sur [ ; ] ( cr F est dérivle sur [ ; ] Les foctios qui à F( + C (CεR sot ppelées les primitives de f sur [ ; ] 5- Théorème (dmis : Si F est ue primitive de f sur [ ; ], toute utre primitive G de f sur [ ; ] est de l forme : G( = F( + C Si f dmet de primitives sur [ ; ], il e eiste ue et ue seule pret u poit doé ue vleur doée Eemple : Soit l foctio f défiie pr f(= cos Trouver l primitive F de f 3 qui s ule pour = et celle qui pred l vleur pour = 6- Propriétés : Soiet f et g deu foctios défiies sur [ ; ] ; F et G leurs primitives respectives sur [ ; ] Prim (f+g = Prim (f + Prim (g = F + G + C ste Soit α u réel, Prim (α f = α Prim (f c Prim (f g = [ f g ] Prim (f g (ppelée Formule de primitivtio pr prties Eemple : Trouver les primitives de f défiie pr f( = si pour Primitive Cours Primitives Clcul Itégrl Pge sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
7- Clcul de Primitives : Primitives de foctios usuelles: Soiet f ; u et v des foctios umériques Foctios f défiies pr Foctios Primitives F f( = F( = c f( = F( = + c f( = + f( = f( = r f( = f( = ( m ; m - F( = ( + ; - f( = f( = f( = ( v( f( = u (u ( F( + F ( = + c r + F( r + F ( = + c m+ ( F( m + + ( + F( ( + ' u ( F ( = l u ( + c ; u ( u( u '( F ( = u ( + c ; u ( f u ( u '( v( v' ( u( f( = ( u '( u( u ( F ( ; v( v ( + U ( F( + ( ( u( ; F ( Primitives de foctio circulires : Primitive Si Dérivée NB : Cette ouvelle techique que je mets à votre dispositio vous permettr de reteir le plus simplemet possile l dérivée et l primitive des foctios Sius et Cosius cos cos O Si Cours Primitives Clcul Itégrl Pge sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
Foctio f défiies pr f ( = cos f ( = cos ( + f ( = si f ( = si ( + f ( = f ( = f ( = f ( = cos = cos + tg ( + = + ctg si si ( + Foctios Primitives F F( = si + c F( = si ( + + c F( = F( = cos + c cos ( + + c F( = tg + c F( = tg ( + + c F( = cotg + c F( = cot g( + + c c Cs divers : Détermier les primitives des foctios suivtes : f( = cossi3 ; h( = cos ; f( = (Méthodes utilisées: liéristio, trsformtios trigoométriques cos + si cos si f ( = = = + = + t d où cos cos cos cos cos cos 3 F ( = t + t + c 3 p d Primitives de si cos où et p sot des etiers turels o uls : 5 8 Si ou p est impire : f cos si (predre l puissce impire cos 5 = coscos ; d où f(= cossi 8 cossi +cossi et o F( = si 9 9 3 si + si + c 3 ( = Si et p sot pires : (utiliser les reltios suivtes cos cos + cos = ; si cos = ; si = si cos Eemples : f ( = cos si ; h( = si cos Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 3 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
II Clcul Itégrl : - Défiitio : Soit F ue primitive d ue foctio f sur [ ; ] O ppelle itégrle défiie de f sur [ ; ] le réel oté : f ( t dt = [ t ] F = F( F( ( - Théorèmes : o dmettr les théorèmes suivts Théorème : Toute foctio cotiue sur [ ; ] est itégrle sur [ ; ] Théorème : Toute foctio mootoe et orée sur [ ; ] est itégrle sur [ ; ] 3- Propriétés : f t dt + f ( t dt = t dt = c ( f ( t dt ; f ( ; c t dt = f ( f ( t dt ; d + g( t dt = f ( t dt + ( f g( t dt ; e ( t dt = λ λ f f ( t dt ; f Si f sur [ ; ] ; lors t dt c f ( ; g Si f g sur [ ; ] ; lors t dt h f '( t dt = [ f ( t ] = f ( f ( f ( g( t dt ; - Défiitio : O ppelle moee de l itégrle sur [ ; ] le omre : m f ( t dt = 5- Itégrtio pr prties : Soiet u et v deu foctios dérivles doc cotiues sur [ ; ] (u v = u v v u Prim(u v= [uv] Prim(uv doc pour tout ε [ ; ], o : L formule d itégrtio pr prties [ U ( V ( ] U ( V '( d = U '( V ( d Eemples : Soiet = I = t cos t dt et J si d Cours Primitives Clcul Itégrl Pge sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
III Applictios du Clcul Itégrl : Clcul d ires : Si f est itégrle et positive sur [ ; ], f ( d doe l ire A du domie D compris etre l e des scisses, l droite d équtio = ; = et l coure (Cf de f sur [ ; ] Cf D A f ( d = o - Coséqueces : Les cofigurtios ci-dessous ous doet les ires des domies D o D Cf = A f ( d o + c A f ( d f ( d = c c Cg c D C f = [ f ( g( ] A d O Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 5 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
Eemple : Soit l foctio f défiie sur [ ;] pr f ( = + Soit (Cf s coure représettive ds u repère orthogol d uités grphiques cm sur l e des scisses et cm sur l e des ordoées Détermier l ire A du domie limité pr l e des scisses les droites d équtios = ; = et pr l coure (C f de f C f 3 f est positive sur [ ; ] et sur [ ; ] ; f est égtive sur [ ;] ; O : f d f ( d + A = ( f ( d = 5u 3- Uité d ire : L ire d u domie est mesurée e uité d ire (U L uité d ire u = cm L uité d ire u = 3 cm = 6 cm j j O i O i 3 Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 6 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
- Volume d u solide de révolutio : Théorème 3 : Le volume egedré pr ue ire ple limitée pr l e ( o, les droites d équtios = ; = ( < et l rc de coure d équtio = f( est doé l formule : V = [ f ( ] d Eemple : Le volume limité pr l rc de siusoïde d équtio = si, ε [ ; ] tourt utour de l e (o V cos = si d = d = si = = IV Chgemet de vrile ffie : Soiet f et g deu foctios où g est ue foctio ffie défiie pr g( = + + L itégrle de l forme : f ( + d = m f ( u du m+ E effet e post : u = + lors du = d et d = du Cherchos les ouvelles ores Eemple ; u = + = d = u Soit à clculer I + = u Si = m Si = lors lors u = m + u = + O pose u = + du = d et d = du Doc cherchos les ouvelles ores : Si Si = = lors lors u = u = 3 pr suite o otiet I = 3 Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 7 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
V Vleur pprochée d ue itégrle (méthode des rectgles : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I et [ ; ] I Supposos que f e possède ps de primitives coues Cherchos ue vleur pprochée de K f ( t dt Activité : Prtgeos [ ; ] e itervlles de même mplitude = h = (ou sudivisios égles Détermier les ores : ; ; ; ; de ces itervlles Réposes: = ; = + ( ; = + ( ; ; i = + i ( ; = + = Activité : f est doée pr s représettio grphique ci-dessous f ( 5 f ( (C f Costruire ds le pl les rectgles de côtés ( i i et f ( i ds le cs ( = 5 sudivisios * Comprez ds le pl l somme K des ires de ces rectgles et l ire que représete K Doez l epressio de K 3 5 ( f ( i i= i= Réposes : K K et K = i i f ( i = Posos j = i pour i=, j= = K pour i=, j= j= des vr iles muettes f ( j = K f ( i cr i= i et j sot Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 8 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
même questios pour les rectgles de côtés ( i i et f ( i f ( (C 5 f f ( = 3 5 = K K K ; ( = i i f ( i = f ( i K = f ( i i= i= i= c Doer u ecdremet de K f ( i i i= i= K K K f ( f ( t dt O dit que K et K sot deu vleurs pprochées de K oteues pr l méthode des rectgles Remrque : Si f est mootoe sur [ ; ] ces deu vleurs pprochées réliset u ecdremet de K Pr cotre si f est ps mootoe ce est plus le cs(o e ps préciser lquelle des deu vleurs K ou K est l meilleur vleur pprochée de K Ceci ous mèe à étudier l erreur commise e remplçt K pr l ue de ces vleurs pprochées ( L erreur e commise est telle que : e M, où M est u mjort de f Ʌ( sur [ ; ] et le omre de sudivisios Eemple : Soit à clculer K = d Doer u ecdremet de K puis + ue vleur pprochée de K e utilist l méthode des rectgles pour = sudivisios ---- ---- Posos f ( = ; f ( f ( doc f est décroisste sur [ ; ] et o : + Cours Primitives Clcul Itégrl Pge 9 sur Adm Troré Professeur Lcée Techique
K K K Pour = o : f ( i f ( d Posos d (f( i = pproimtio décimle d ordre pr défut de f( i Et e (f( i = pproimtio décimle d ordre pr ecès de f( i i= i 3 5 6 7 8 9 Totu i / / 3/ / 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ d (f( i,99,96,9,86,8,73,67,6,55,5 7,57 e (f( i,97,9,87,8,7,68,6,56 8,6 K = 7,57 =,757 ; K = 8,6 =,86 D où l ecdremet de K est :,757 K,86 i= f ( i Doc ue vleur pprochée de K est : K K = + K =,7865 ; K,79 à ---- ---- près ( rrodi d' ordre = K d ; posos = tα d = ( + t α dα + = t α + = + t α Nouvelles ores : = tα si Si = = lors lors D où K = d = dα = dα = [ α] tα = tα = α = α = ( + t α = =,785, 79 + ( + t α VI Mjortio de l itégrle d ue foctio cotiue : Théorème : Supposos < et f ue foctio cotiue sur [ ; ] Alors o : t dt f ( f ( t dt Preuve E effet ous vos : f (t f (t f (t d où pr croissce de l itégrle f ( t dt f ( t dt f ( t dt or t dt = t dt f ( t dt f f ( t dt ( d où t dt f ( f ( t dt f f ( t dt ( doc Iéglité de l moee : Propriété : Soit f ue foctio cotiue sur u itervlle I, m et M des omres réels, et des élémets de I - Si m f M sur I et si lors m( f ( t dt M( ; - Si f M sur I lors f ( t dt M ( Cours Primitives Clcul Itégrl Pge sur Adm Troré Professeur Lcée Techique