éléments de cours à découper et à coller dns le chier. Les exercices sont soit dns le document, soit dns ton livre d exercices Actimthàl infini2. Les ciseux t invitent à couper l feuille à cet endroit et à coller cel dns ton chier fin d y poursuivre le trvil. Z - Les nomres Entiers rppels, révisions et compléments Les nomres entiers nissent d un ntgonisme, expriment une rivlité de sitution, de mesurge, etc. Exemples de situtions concrètes où ils s utilisent. Notons quelques exemples de situtions à dénomrements ntgonistes : Nomres entiers opposés : des nomres opposés sont de somme nulle : x et y sont opposés Exemples : x y ( y) x égle l opposé de y x + y = 0 = y +.x (est équivlent à) ( ) y x x y égle l opposé de x 0 0 0 Vleur solue d un nomre entier L vleur solue d un nomre est un nomre nturel qui exprime l mesure de ce nomre, s grndeur ; peu importe le signe, l couleur, etc. L vleur solue ne se préoccupe ps du signe : 2 2, 2 2, 2 2 se note prfois ussi 2 2 (Olympides mth pr exemple) Oservons que ce code mthémtique est utilisé en géométrie pour exprimer les mesures (longueurs, mplitudes, etc.) Addition et soustrction des entiers Somme de deux nomres entiers De même signe : somme des vleurs solues signe commun De signes différents : différence entre les vleurs solues signe du nomre ynt l plus grnde vleur solue L somme de deux entiers de signes différents est une tille entre nomres ntgonistes, entre équipes dversires, le plus fort l emporte et impose son signe Propriétés de l ddition des entiers L ddition des entiers est commuttive : (on peut permuter les termes) L ddition des entiers est ssocitive : ( c) ( ) c c (on peut effectuer des sommes prtielles sns modifier le résultt) 0 est le neutre de l ddition des entiers : 0 0 (jouter 0 est une ction neutre) L ddition des entiers est symétrisle : 0 (les opposés se neutrlisent) Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
Somme de plusieurs nomres entiers Neutrliser les opposés Additionner les négtifs entre eux Additionner les positifs entre eux Additionner les deux nomres otenus (= tille finle ) Exemple : -6 + (-3) + 7 + 3 + 0 + (-9) = -5 + 7 = -8 Lngge et code mthémtique - Ecris le clcul correspondnt u texte, clcule ensuite : ) L somme de 5 et de l opposé de 7 2) L somme de l opposé de -8 et de l opposé de 5 3) L somme de l opposé de -8 et de 5 4) L somme des opposés de -8 et de 5 5) L somme de l vleur solue de -8 et de l vleur solue de 5 6) L opposé de l somme de -8 et de 5 7) L somme de l vleur solue de -5 et de l opposé de 7 8) L somme de l opposé de 5 et de l vleur solue de 7 L lgère pour prticulrité de considérer l soustrction comme une somme : Soustrire un entier = jouter l opposé de cet entier - f est donc l somme de et de -f, mentlement + (-f) -2-6 est donc une somme de deux négtifs : l somme de -2 et de -6! Propriétés de l soustrction des entiers L soustrction des entiers n est ps commuttive : (permuter les termes modifie le résultt) L soustrction des entiers n est ps ssocitive : ( ) c ( c) c (des différences prtielles modifient le résultt) 0 n est que prtiellement neutre de l soustrction des entiers : 0 0 Exercices : voir Actimth2 p.28 Exercice L opposé d une somme = l sommes des opposés Lngge et code mthémtique - Ecris le clcul correspondnt u texte, clcule ensuite : ) L somme de -7 et de l opposé de l somme de 6 et de -2 2) L somme de l opposé de -8 et de l somme de -5 et de 3 3) L somme de l opposé de l somme de 6 et de -9 et de -5 4) L somme des opposés de -8 et de l somme de -5 et de 7 5) L somme de l opposé de l somme de 4 et de 2 et de l somme de -5 et de l opposé de - Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 2 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
Addition Soustrction d une somme lgérique : Règle des prenthèses +(+c)= ++c cr l ddition est ssocitive prenthèse précédée d un + : chque terme grde son signe -(+c)= --c cr ( c) c c c soustrire une somme = jouter l opposé de cette somme = jouter l somme des opposés prenthèse précédée d un - : chque terme chnge de signe Clcule lors de deux mnières différentes, en utilisnt les deux outils de clculs : respect des prenthèses ou leur suppression prélle. Ecris chque mnière sur une ligne différente les résultts seront identiques ) -2 - (2-5) = 2) 5 + (7-5) = 3) 2 - (-9-5) = 4) 4 - (-2 + 7) + 28 = 5) 4 + (-8-2) - (-6-2) = 6) 2 - (-3 4) - 5= 7) -2 - (5 + 2) + (7 + 5) = 8) -8 + (6-9) - (5-3) = 9) -(5-7) + (-8 + ) = Multipliction des entiers Produit de deux entiers Effectuer le produit des vleurs solues Signe déterminé pr l règle des signes : signes identiques résultt + ou positif / signes différents résultt - ou négtif Propriétés de l multipliction des entiers L multipliction des entiers est commuttive : (on peut permuter les fcteurs) L multipliction des entiers est ssocitive : ( c) ( ) c c (on peut effectuer des produits prtiels sns modifier le résultt) est le neutre de l multipliction des entiers : (multiplier pr est une ction neutre) 0 est sornt de l multipliction des entiers : 0 0 0 (multiplier pr 0 nnule le résultt) L multipliction des entiers est symétrisle : (les inverses se neutrlisent) (voir plus trd dns le cours) Remrque : ( ) ( ) (multiplier pr - pour résultt l opposé) Produit de plusieurs fcteurs Effectuer le produit des vleurs solues (utiliser les propriétés de l multipliction) Signe : on regrde le nomre de fcteurs négtifs pir : + ou positif et impir : - ou négtif Exemple : ( 8) ( 7) 4 ( 5) ( 25) ( 2) 45................................... Exercices : voir Actimth2 p.28 Exercice 2 Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 3 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
Rppel : Priorités des opértions (P E M D A S) Prenthèses Exposnts (Puissnces) Multiplictions & Divisions Additions & Soustrctions Exercices : voir Actimth2 p.28 Exercice 5 séries ) et ) Propriété de l ddition et de l multipliction : distriutivité et mise en évidence Distriutivité Mise en évidence ( c) c c ( c) ( ) ( c d) c d c d c d c d ( ) ( c d) (+trd ) Illustrons les distriutivités pr les ires des rectngles Clculons lors de deux mnières différentes, en utilisnt les deux outils de clculs : respect des priorités ou utilistion de l distriutivité/mise en évidence. Ecrivons chque mnière sur une ligne différente les résultts seront identiques ) -2.(- 5 + 3) = 2) -24.7 + 6.7 = 3) -24.(5-25) = 4) -2.(-3) - 2.(-7) = 5) -2.(-3-4) = 6) -4.(3 + 9) + 9(2-8) = 7) (7 +5)(8-3) = 8) 5.0,6-0,6.0 = 9) (- - 2)(-8 + 5) = 0) 2.0,02-0,02.7 = propriété de l multipliction des entiers : les nomres inverses x et y sont inverses x y x égle l inverse de y x y y x Exemples : 0,2 - = 5 cr 0,2.5 = ---- 0 - = 0, 0,.0 = Exercices Noter en lngge mthémtique et clculer ensuite l inverse de : ) 0,08 2) 0,05 3) -20 4) 0,4 5) 0,25 6) -25 7) 80 8) 0,000 00 9) -0 000 0) 2,5 Attention, ne confondons ps opposés, dns le cdre de l ddition et inverses, dns le cdre de l multipliction! y x y égle l inverse de x Mîtrisons le lngge mthémtique - Ecrire le clcul, clculer ensuite : ) L somme de l opposé de 0,25 et de l inverse de 4 2) Le produit de l inverse de 2 pr l somme de l opposé de 5 et de 5 3) Le produit de l opposé de 2 pr l inverse de l somme de 5 et de 5 4) L somme du produit de 0,5 pr 0,7 et de l inverse de 2 Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 4 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
Division des entiers Toute division est liée à un produit, on peut insi oserver le signe d un quotient : 8 : 2 = 4 cr 8 = 4.2-8 : 2 = -4 cr -8 = -4.2 8 : (-2) = -4 cr 8 = -4.(-2) -8 : (-2) = 4 cr -8 = 4.(-2) On oserve que l règle des signes de l multipliction s pplique ussi à l division Quotient de deux entiers Effectuer le quotient des vleurs solues Signe déterminé pr l règle des signes (voir multipliction) Notes et remrques concernnt l division des entiers Diviser un entier pr = opértion neutre Diviser pr un entier = otenir l inverse de cet entier Diviser un entier pr - = otenir l opposé de cet entier Diviser - pr un entier = otenir l opposé de l inverse de cet entier Diviser 0 pr un entier = otenir 0 ; 0 est sornt à guche Diviser un entier pr 0 = opértion impossile : : : ( ) ( ) : 0 0 : 0 :0 impossile 0 Exemples pour illustrer le rôle de 0 dns l division : Diviser pr un nomre = multiplier pr l inverse de ce nomre : exemples : -8 : 2 = -8. 0,5 = -4 ** -5 : 0, = -5. 0 = -50 ** 7 : 0,25 = 7. 4 = 28 Exercices : D Clculer (frction = division ): ) 2 : (-7)= 3) 42 : (-6) = 5 5) = 6) 2) 35 : (-5) = 4) -36 : 9 = 5 5 = 7) 32 3 8 = 8) 72 9 = 9) 5 = 0) 0,5 4 = 0,25 D2 Clculer en respectnt les priorités des opértions : ) -4. 5 + 2 : (-3) = 4) -3. (-5-8) + 2: (-4) = 2) 5 + 5 : 3-2. 7 = 5) 25 : (-5) + 5. 0 - (-5) = 3) -2 - (-5 + 5) - 5 : 5 = 6) -7. 3. (-2 : 3) + 30 = 7) 225: (-5) - 9.(-3) + 2: (-) = 8) -(-2 + 27):(-5) - 20: 4 = 9) -5. (-5-2) + 4:(-7) - 8.(-) = D3 Ecrire le clcul correspondnt, clculer ensuite ) Le quotient de 36 pr l somme de 6 et de -24; 2) Le quotient de l somme de 45 et de 5 pr leur différence ; 3) Le quotient de l'opposé de 20 pr l somme des opposés de 6 et de 4; 4) L somme du produit de 0 pr 25 et du quotient de 0 pr -2. 5) Le produit de l somme de 8 et de l opposé de 7 pr le quotient de 34 pr l opposé de 2 D4 Clculer l vleur numérique des expressions suivntes si = -3; = -; c = 4 ; d = -2 et e = 0 : ) 2 :( c d) 2) 2 c c 3) 3e d 2d 2 5 4) 5) 3cd cd e 6) 2e c d 7) c d 3( e ) 8) cd 3 e 9) ( c) d 0) 3 2 2d c Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 5 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
Puissnces entières Nos connissnces de première les définissent comme un produit de fcteurs identiques, insi n égle le produit de n fcteurs égux à : (dns cette écriture est ppelé l se et n l exposnt) n......... n. fcteurs Le signe de l puissnce d un entier se déduit du signe d un produit de plusieurs fcteurs : - Toute puissnce d un nomre positif = un nomre positif - Toute puissnce d un nomre négtif = un nomre positif si l exposnt est pir - Toute puissnce d un nomre négtif = un nomre négtif si l exposnt est impir Exemples : (-2) 2 =. (-2) 3 =. (-2) 4 =. (-2) 5 =. -2 2 =... -2 3 =... -2 4 =... -2 5 =... Exercices niveu CED : voir Actimth2 : Activité n 3 p. et Activité 2 pge 2-3 Mis l définition ci-dessus est incomplète, cr elle ne permet de définir que des puissnces dont l exposnt est supérieur ou égl à 2! Qu en est-il des exposnts inférieurs à 2? Et des exposnts négtifs? Un petit dessin, plutôt un grphe v nous y ider : Pour visuliser les différentes puissnces d un nomre, utilisons une fresque exponentielle : Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 6 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm
De nos oservtions, nous pouvons tirer une définition plus lrge de l puissnce d un nomre entier : Puissnces à exposnts entiers: Pour n 2 : n égle le produit de n fcteurs égux à : Pour n : n = = Pour n 0 : n = 0 = = le neutre de l multipliction Pour n : n = - = = l inverse de Pour n 2 : -n égle le produit de -n fcteurs égux à : -n est un nomre nturel puisque n est un entier négtif! n......... n. fcteurs......... n. fcteurs Mémorisons quelques puissnces utiles. C est comme les tles de multipliction - qui servent ussi dns les divisions - on crée des utomtismes ien utiles plus trd, pour clculer rpidement et dns erreurs, pour les rcines crrées en troisième! nomre 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 20 crré 4 9 6 25 36 49 64 8 00 2 44 69 96 225 400 cue 8 27 64 25 26 343 52 729 000 expos. 4 6 8 256 625 0 000 Exercices niveu CED : petits prolèmes voir Actimth2 Activité 4 pges 4-5 n, 2 et 4 En complément, plus loin qu Actimth, vec tous les exposnts et l division P. Clculer ) ( 2) 4 ( 3 ) ( 5) 0 2) ( 5) ( 2).( 7) 2 2 3) ( 2) : ( 4 2 ) 4) 5) 6) 2 2 ( 2 ( 3).2) : 0,5 ( 2).( 5) 5 ( 3) 0 7 6 2 5 ( 2) 0.( 5) 2 : ( ) 7) 8) 9) 2 0 ( 2.3 ) : ( 7 7 ) ( 3) 5 ( 6 ) ( 2) 3 ( 5) 6 ( 2) P2. Clculer l vleur numérique des expressions suivntes si = -2, = -, c = 5, d = 0 : 2 0 ) 2 3 0 c 2) c 3) : (2 c) 2 2 3 4) c 5) c P3. Ecrire le clcul correspondnt, clculer ensuite ) L somme du cue de 6 et du crré de l opposé de 2 2) L somme des crrés des opposés de 3 et de 4 3) L opposé de l somme des crrés des opposés de 3 et de 4 4) L somme du doule du cue de -2 et du triple du crré de -3 5) Le triple du quotient du crré de 2 pr le cue de -2 6) Le tiers du quotient de 44 pr le cue de -2 7) Le produit du crré de -2 pr l somme des crrés de 2 et de 4 8) L inverse du crré de l somme de -6 et de -4 9) Le produit de l somme des crrés de 2 et de 4 pr l opposé du crré de 2 0) Le quotient du doule du cue de - 6 pr le crré de l somme de - 4 et de - 8 Retour à Actimth pour les ctivités 5 à 3 : les propriétés des puissnces d un même nomre, l nottion scientifique. Entiers: révisions, opposés, inverses, division et puissnces - Pge 7 sur 7 - à téléchrger sur http://www.cspu.e/derouwerm/index.htm