Terminle Résumé de cours de mthémtiques En june, on les théorèmes dont les démonstrtions sont exigiles u BAC. 1 Algère 1.1 Les nomres complexes 1.1.1 Générlités L'ensemle des nomres complexes est noté C il contient R et i tel que i = 1 C est muni d une ddition, d une multipliction (et donc d une soustrction et d une division) qui possèdent les mêmes règles de clcul que dns l ensemle des nomres réels. L'écriture z= i d'un nomre complexe vec et réels est ppelée l forme lgérique de z. =Re z c'est l prtie réelle de z =Im (z) c'est l prtie imginire de z Nomre complexe nul : + i = 0 = 0 et = 0. Deux complexes sont égux ssi ils ont mêmes prties réelle et imginire. z = C'est le crré du module de z z z' = z iz ' z iz ' z= i est le conjugué de z Un complexe est réel ssi il est égl à son conjugué. Un complexe est imginire pur ssi il est égl à l'opposé de son conjugué z z= Re z z z=i Im z (z)= z z z= z z z'=z z' zz '=z z' z z ' = z z' z n =z n 1.1. Forme trigonométrique z=r cos i sin Avec r= z et rg z= mod c'est l'rgument de z Deux nomres complexes non nuls sont égux si et seulement s ils ont même module et même rgument (à π près). rg z = rg z rg z =rg z =rcos =rsin Résumé de cours de mthémtiques 1/14
1.1.3 Propriétés des modules et des rguments zz ' = z z ' rg zz' =rg z rg z' mod z n = z n rg z n =n rg z mod z z ' = z z' rg z z ' =rz z rg z' mod et rg ( 1 z ' 1.1.4 Forme exponentielle e i =cos isin : complexe de module 1 et d'rgument z= z e i r e i r 'e i ' =rr ' e i ' r e i r ' e i '= r r ' ei ' r e i =r e i r e i =r ' e i ' ssi r=r ' et = ' mod Formule de Moivre : e i n =e i n Formules d'euler : cos = 1 ei e i sin = 1 i ei e i )= rg(z ' )+ k π 1.1.5 Eqution du second degré à coefficients réels z z c=0 Si 0, les deux solutions dns C sont : z 1 = i Dns tous les cs z z c= z z 1 z z et z = i 1.1.6 Affixe d'un vecteur L'ffixe du vecteur w de coordonnées ( ;) est le complexe z= i L'ffixe du vecteur AB est z B z A où z B et z A sont les ffixes de B et A Si I est le milieu de [AB] lors z I = z A + z B AB= z B z A u, AB =rg z B z A AB, CD =rg z D z C z B z A Anlyse.1 Fonctions : ites et continuité.1.1 Limites Dire qu'une fonction f pour ite le nomre l en signifie que tout intervlle ouvert de centre l contient toutes les vleurs de f x prises pour tous les x «ssez grnds» R, X D f tel quex X f x ]l ;l [ On dit que l droite d'éqution y=l est symptote en + à l coure de f. Dire qu'une fonction f pour ite en signifie que tout intervlle ouvert ]Y ; [ contient toutes les vleurs de f x prises pour tous les x «ssez grnds» Y R, X D f tel quex X f x Y Résumé de cours de mthémtiques /14
On dit que l droite d'éqution y=l est symptote en à l coure de f. Dire qu'une fonction f pour ite en signifie que tout intervlle ]Y ; [ contient toutes les vleurs de f x prises pour tous les x proches de Y R, R tel quex ] ; [ f x Y On dit que l droite d'éqution x= est symptote verticle à l coure de f. Dire qu'un réel l est ite d'une fonction f lorsque x tend vers signifie que tout intervlle ouvert de centre l contient toutes les vleurs de f x prises pour tous les x proches de y R, x R tel quex ] x ; x [ f x ]l y ;l y [ Pour l ite d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient, on fit l somme, l différence, le produit ou le quotient des ites suf dns les cs d'indétermintion ci-dessous : 0 0 0 L ite à l'infini d'un polynôme est celle de son terme de plus hut degré. L ite à l'infini d'une frction rtionnelle (c'est le quotient de deux polynômes) est l ite du quotient de ses termes de plus hut degré. Limite d'une composée de deux fonctions : si f (x)= et si g x =c lors x x g f x =c x Cel mrche ussi vec l composée d'une fonction et d'une suite f (v n ) De même si u n = f (n), et si f (x)= lors u n = x + x + Théorème des gendrmes : Soit f, g et h trois fonctions définies sur I=] ; [ et l R. Si x I f x g x h x et si f et h ont l même ite l en, lors g ussi cette ite en. Théorèmes de comprison : si f x g x et si l ite de f en est, lors il en est de même pour g si f x g x et si l ite de g en est, lors il en est de même pour f Soient f et g deux fonctions définies u voisinge de α dmettnt chcune une ite finie en α Si pour tout x f (x) g( x) lors f (x) g(x) x α x α Si f x x =0 lors l droite d'éqution y=x+ est symptote olique x.1. Continuité f est continue en ssi f x =f x f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I si f est dérivle en lors elle est continue en (l réciproque est fusse). Résumé de cours de mthémtiques 3/14
L somme, le produit, le quotient et l composée de fonctions usuelles sont continues sur tout intervlle inclus dns leur domine de définition. Théorème : Soit (u n ) une suite définie pr l reltion de récurrence u n+ 1 = f (u n ) Si l suite (u n ) converge vers un réel l et si l fonction f est continue en l, lors l est solution de l'éqution x= f ( x) Th des vleurs intermédiires : si f est continue sur [ ; ] lors pour tout y R compris entre f et f, il existe u moins un réel c compris entre et tel que f c = y Corollire : soit f une fonction continue et strictement monotone sur [ ; ] vec < lors pour tout y R compris entre f et f, il existe un seul réel c compris entre et tel que f c = y Si f dmet une ite commune l en + et en -, lors l fonction définie pr l en et pr f illeurs est continue en. Th : si f est continue et strictement croissnte sur I =[ ; ] l'imge de I pr f est [ f ; f ] pour tout y dns [ f ; f ], l'éqution f x = y une et une seule solution dns I Th de comptiilité vec l'ordre : soit f et g deux fonctions telles que : x, f x g x f x =l x x Alors l m g x =m Si f x = y équivut à x= g y lors f et g sont des fonctions réciproques. L droite d'éqution x= est xe de symétrie de l coure de f si f x =f x ou ien si f h =f h Le point (,) est centre de symétrie de l coure de f si f h f h = f x f x = ou si Si f est continue et si u est une suite de ite L, lors f(u) tend vers f(l).. Dérivtion (fog)'=g ' f ' Og ou écrit utrement si g ( x)= f (u( x)) lors g '(x)=u '(x)f '(u (x )) ( 1 u' )'= n n u u n +1 ( u)'= u ' ( u) Si est est dérivle et strictement monotone sur [ ; ] et que f() et f() sont de signes contrires lors f(x)=0 dmet une seule solution dns l'intervlle [ ; ] Résumé de cours de mthémtiques 4/14
.3 Fonction exponentielle L fonction f(x)=exp(x) est l'unique fonction définie sur R telle que f'=f et f(0)=1 (seule l'unicité est exigile) exp est strictement positive exp est strictement croissnte, continue et dérivle sur R on note exp x =e x e =e e e = 1 e e = e e e n =(e ) n x x + x x e x = e x =0 x e x x =+ n e x 1 x =1 x n e x =0 e =e ssi = e e ssi si u est dérivle, lors e u '=u ' e u si u(x)= lors e u (x) = x x si x si x u (x)= lors x u(x)=l lors x e u (x) =0 e u (x ) =e l.4 Fonctions logrithmes népériens Une fonction f définie sur un intervlle I à vleurs dns un intervlle J est ppelée ijection de I dns J si tout réel de l intervlle J dmet un et un seul ntécédent dns I pr f, = f ( ). Soit f une ijection de l intervlle I dns l intervlle J. On ppelle ijection réciproque de f l fonction g définie sur l intervlle J et à vleurs dns l intervlle I telle que = g ( ) si et seulement si = f ( ). L fonction logrithme népérien, notée ln, est l ijection réciproque de l fonction exponentielle. e x =r ssi x=ln r L fonction ln est définie sur ]0 ; [, elle est strictement croissnte. ln x =0ssi x=1 ln =ln ssi = e ln x =x ln e x =x ln(1)=0 ln( e)=1 Les représenttions grphiques des fonctions logrithme et exponentielle sont Résumé de cours de mthémtiques 5/14
symétriques pr rpport à l droite y=x ln =ln ln ln =ln ln ln( n )=n ln() ln = 1 ln ln x = ln x = x x 0 x ln (x)=0 - ln(x) =0 + x x n x 0 ln ln ssi ln 0ssi 1 ln 0ssi 0 1 x 1 ln x x 1 =1 x 0 ln 1 x =1 x ln ' x = 1 x ln ' u = u' u log x = ln x ln 10 Soient x un réel strictement positif et x=p 10 k l écriture scientifique de ce nomre ( p [ 1;10 [, k Z ). Alors : k = E(log x ) x =p 10 (E(logx)) 10 (E(logx )) (E (log x)+1) x <10 Si x est un nomre entier nturel non nul, le nomre de chiffres de l écriture décimle de x est égl à E(log x ) + 1. Inversement, soit x un nomre entier nturel non nul, lors E(log x ) = n 1 et n 1 log x < n..5 Intégrtion et primitives.5.1 Intégrtion Soit f une fonction continue et positive sur I=[;]. L'intégrle de f entre et est l'ire de l surfce déitée pr l coure de f, l'xe des scisses, et les deux droites d'éqution x= et x=. On l note f (x)d x Si f est négtive, l'intégrle est l'opposé de l'intégrle définie ci-dessus. f x d x=0 Propriété de positivité : si f x 0 sur [;] lors son intégrle ussi. Propriété du respect de l'ordre pr intégrtion : si f x g x sur [;] lors les intégrles sont rngées dns le même ordre. Résumé de cours de mthémtiques 6/14
c c Reltion de Chsles : f x d x f x d x= f x d x Inéglité de l moyenne : si pour tout x dns [;], m f x M lors m f x d x M 1 L vleur moyenne de f sur [;] est f x d x Si f est continue sur [;] lors f dmet une intégrle sur cet intervlle. f x d x= f x d x Propriété de linérité :.5. Primitives f x g x d x= f x d x g x d x Soit f une fonction définie sur I. Une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I F ' x = f x Toute fonction f continue sur I dmet une primitive F sur I. Toutes les utres primitives de f diffèrent de F pr l'ddition d'une constnte. Dns ce cs si pprtient à I, l seule primitive de f qui s'nnule en est : x f t d t. Pr illeurs, f x d x=f F Soit f une fonction continue sur un intervlle I et et deux nomres réels de I. Soit F une des primitives de l fonction f sur I. L différence F ( ) F ( ) ne dépend ps de l primitive choisie. Intégrtion pr prties : soient u et v deux fonctions dérivles sur I dont les dérivées sont continues sur I. Soient et deux réels de I. Alors : u ' x v x d x=[u x v x ] *!_T_!* u x v' x d x Primitives de fonctions composées (vec u dérivle sur I) Fonction Primitive Remrque Ku' Ku I u'+v' u+v I u ' u n u' u u' u u' e u u n 1 n 1 n 1 u u>0 ln u e u U ne s'nnule ps sur I Résumé de cours de mthémtiques 7/14
u' sin u u' cos u cos u sin u.6 Les suites.6.1 Générlités Une démonstrtion pr récurrence est une des méthodes qui permet de montrer qu'une proposition est vrie pour tout entier nturel (prfois seulement à prtir d'un certin rng). On commence pr vérifier qu'elle est vrie u premier rng. Puis on montre que si elle est vrie u rng k, cel implique qu'elle est vrie u rng k+1..6. Limites de suites Dire qu'un réel l est ite d'une suite u n signifie que tout intervlle ouvert de centre l contient tous les termes de l suite à prtir d'un certin indice. Dire qu'une suite u n pour ite signifie que tout intervlle ouvert de l forme ] A ; [ contient tous les termes de l suite à prtir d'un certin indice. Si une suite converge lors s ite est unique. Suite géométrique u n =q n : si 1 q 1, q n =0 n si q=1 lors u 0 q n =u 0 n si q>1 lors q n = n si q 1, l suite n' ps de ite Pour l ite d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient, on fit l somme, l différence, le produit ou le quotient des ites suf dns les cs d'indétermintion ci-dessous : 0 0 0 Si u n converge vers l et si v n converge vers L et si à prtir d'un certin rng u n v n lors l L. Si deux suites convergent vers une même ite L encdrent une troisième suite, lors cette dernière converge ussi vers cette même ite. Si u n tend vers et si à prtir d'une certin rng u n v n lors v n converge ussi vers Si v n tend vers et si à prtir d'une certin rng u n v n lors u n converge ussi vers Une suite croissnte non mjorée pour ite + Une suite décroissnte non minorée pour ite Résumé de cours de mthémtiques 8/14
Une suite croissnte et mjorée converge. Une suite décroissnte et minorée converge. Si l suite u n est définie pr u n =f n vec f définie sur [0; [ si f une ite en, lors u n l même ite. Deux suites sont djcentes si l'une est croissnte, l'utre décroissnte, et si l ite de leur différence est nulle. Deux suites djcentes sont convergentes et ont même ite. 3 Géométrie plne 3.1 Trigonométrie cos x =cos x sin x = sin x cos x = cos x sin x =sin x cos x cos x sin x = sin x cos x =sin x sin x =cos x cos x =sin x sin x =cos x Pour résoudre dns R une éqution de l forme cos (x) = ou sin (x) = il fut d ord vérifier si 1 1. Si ce n est ps le cs, l éqution n ps de solution. Si c est le cs, il y des solutions. Pour les trouver toutes, on cherche d ord une solution prticulière α. L éqution peut lors s écrire : cos ( x ) = cos ( α ) ou sin ( x ) = sin ( α )et l on : cos ( x ) = cos ( α ) x = α + k π ou x = α + k π ; sin ( x ) = sin ( α ) x = α + k π ou x = π α + k π. cos =cos cos sin sin cos =cos cos sin sin sin =sin cos cos sin sin =sin cos cos sin cos =cos sin sin = sin cos Les fonctions sin et cos sont π périodiques, comprises entre -1 et 1 L fonction sin est impire, l fonction cos est pire. x 0 x 0 (sin(x)) =1 x (cos(x) 1) =0 x Résumé de cours de mthémtiques 9/14
4 Géométrie dns l'espce 4.1 Géométrie vectorielle AB et CD sont colinéires ssi (AB) et (CD) sont prllèles On dit que les vecteurs non nuls u et v sont colinéires dès qu'il existe un réel k tel que u=k v A, B et C sont lignés ssi AB et AC sont colinéires. L droite (AB) est l'ensemle des points M tels que AM et AB sont colinéires. Trois vecteurs OA OB et OC sont coplnires ssi les points O, A, B et C le sont. Si u et v ne sont ps colinéires, u v et w sont coplnires ssi on peut trouver des réels et tels que w = u + v A, B et C sont trois points tels que AB et AC ne sont ps colinéires. Le pln (ABC) est l'ensemle des points M tels que AM=x AB y AC Soit d l droite pssnt pr A(x A ;y A ;z A ) et de vecteur directeur u(;;c). M(x,y,z) pprtient à d ssi AM et u sont colinéires ssi il existe un réel t tel que (x=x A +t ; y=y A +t;z=z A +tc). Ceci est un système prmétrique de d. Avec t dns [0 ;1], on le segment. Avec t dns [0 ; [, on l demi-droite. On prmètre de l même mnière un pln. AM =t u + s v Un repère de l'espce est donné pr un point O et pr trois vecteurs non coplnires i j et k. Pour tout point M de l'espce, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tels que OM =x i +y j +z k. Ces trois réels sont les coordonnées de M et de OM. Soient trois vecteurs non coplnires. Tout vecteur de l'espce s'écrit sous l forme d'une cominison linéire unique de ces trois vecteurs. Le vecteur AB pour coordonnées (xb -x A ;y B -y A ;z B -z A ). Le vecteur k v pour coordonnées(x'=kx ; y'=ky;z'=kz) Le milieu du segment [AB] pour coordonnées x A +x B Le vecteur u + v pour coordonnées(x'+x ; y'+y;z'+z) AB= AB = (x B x A ) +( y B y A ) +(z B z A ) 4. Le produit sclire dns l'espce y A + y B z A +z B Le produit sclire de deux vecteurs est : u v= 1 [ u v u v ] Si dns un repère orthonorml O; i, j, k, u x ; y ; z et v x' ; y' ;z ' lors u v=xx' yy ' zz' Pr illeurs : u v= u v cos u; v Th : pour clculer le produit sclire AB CD, on peut remplcer CD pr son projeté orthogonl sur un pln contennt (AB) u v= v u u v w = u v u w u v = u v u x; y et v x' ; y' sont orthogonux ssi u v= 0 ssi xx ' yy' zz '=0 u u= u = u Résumé de cours de mthémtiques 10/14
u = (x + y + z ) (si i j et k sont orthogonux) ; c'est l norme de u Un vecteur norml à un pln est un vecteur non nul dont l direction est orthogonle à tout vecteur du pln. Le pln qui psse pr A et de vecteur norml n est l'ensemle des points M tels que : AM. n=0 Dns un repère orthonorml, si le pln P pour vecteur norml ( ; ;c) lors P une éqution crtésienne de l forme x y cz d=0 Réciproquement, l'ensemle des point M tels que x y cz d=0 est un pln de vecteur norml : ( ; ;c) Pour qu'une droite et un pln soient perpendiculires, il suffit que l droite soit orthogonle à deux droites sécntes du pln. Deux plns sont perpendiculires ssi le produit sclire de deux de leurs vecteurs normux est nul. 5 Sttistiques et proilités 5.1 Sttistiques 5. Proilité conditionnelle A et B sont deux événements d'une même expérience létoire vec p A 0. L proilité que B se rélise schnt que A est rélisé est p A (B)= p(a B) p(a) p A (B)=1 p A (B) Formule des proilités totles : si l'univers d'une expérience létoire est l réunion d'événements A i deux à deux incomptiles, lors pour tout événement B, i=n p B = i=1 i =n p B A i = i=1 p A i p Ai B Loi des noeuds : l somme des proilités inscrites sur les rnches issues d'un même noeud est égle à 1. L proilité de l'événement représenté pr un chemin est égle u produit des proilités inscrites sur les rnches de ce chemin. Si un événement B est l réunion des événements A i incomptiles entre eux lors s proilité est l somme de leurs proilités. Dns un rre pondéré, l proilité d'un événement E est donc l somme des proilités des chemins qui outissent à E. Soit deux événements A et B tels que P ( A ) 0 et P ( B ) 0. P B (A)=P(A) P A (B)=P(B). Deux événements sont indépendnts ssi p A B =p A p B (cel veut dire que p A B =p B et que p B A =p A Si A et B sont indépendnts, lors les couples suivnts le sont ussi : A et B A et B A et B Résumé de cours de mthémtiques 11/14
5..1 Lois de proilités continues Une vrile létoire X est continue (ou solument continue) s'il existe une fonction f définie sur R, continue sur R suf peut-être en quelques points, positive, et telle que, quel que soit l'intervlle I de R P X I est égle à l'intégrle de f sur I. L fonction f est ppelé densité de proilité de l vrile létoire X. Si I=[ ;], P(X I)= f(x)d x P(X=)=0 L'espérnce mthémtique d'une vrile létoire X dont l densité de proilité f est définie su [;] est : E(X)= 5..1.1 Loi uniforme x.f (x)d x Une vrile létoire X suit une loi uniforme sur [ ;] lorsque s densité f est l fonction définie sur R pr f x = 1 si x f x =0 sinon longueur de J Pour tout intervlle J I, p X J = E( X )= + 5..1. Loi exponentielle longueur de I Une vrile létoire suit une loi exponentielle de prmètre lorsque s densité est l fonction : f x = e x si x 0 f x =0 sinon P(X )=1 e λ P(X>)=e λ P( X )=e λ e λ Définition : E( X)= x.f (x)d x + 0 Théorème : E( X )= 1 λ Une vrile létoire X est sns mémoire lorsque pour tous t 0 et h 0, P X t h/x t =P X h Une vrile létoire X qui suit une loi exponentielle est sns mémoire. Réciproquement, si X est sns mémoire, lors s loi est exponentielle. 5..1.3 Lois normles On dit qu une vrile létoire est centrée et réduite lorsque son espérnce est nulle et son écrt-type égl à 1. On ppelle fonction de Lplce-Guss l fonction ϕ :ϕ (x)= 1 x π e Résumé de cours de mthémtiques 1/14
L'ire totle sous s coure vut 1. Dire qu'une vrile Z suit une loi normle stndrd (ou centrée réduite) signifie qu'elle dmet pour densité de proilité l fonction ϕ Z étnt une vrile létoire qui suit l loi normle stndrd, on pose pour tout nomre x : Φ(x)=P (Z x) Si une vrile létoire Z suit l loi normle stndrd, lors pour tous nomres et tels que P( Z )=Φ() Φ() Φ( x)=1 Φ(x) Si une vrile létoire Z suit l loi normle stndrd lors son espérnce est 0 et s vrince est 1 Si une vrile létoire Z suit l loi normle stndrd et si 0<α<1, lors il existe un seul nomre strictement positif u α tel que P( u α <Z<u α )=1 α μ désigne un nomre et σ un nomre strictement positif. Dire que l vrile létoire X suit l loi normle de prmètre μ et σ signifie que l vrile létoire X μ suit l loi σ normle stndrd. Son espérnce est μ et s vrince σ P ( μ σ X μ + σ ) 0,68 (à 10 près) ; P ( μ σ X μ + σ ) 0,95 (à 10 près) ; P ( μ 3 σ X μ + 3 σ ) 0,997 (à 10 3 près). Théorème de Moivre-Lplce : Soit X une vrile létoire B(n, p), et Z= X E(X ) = X np σ ( X) (np(1 p)) Alors pour tous nomres et tels que P( Z )= ϕ(t)dt n + Autrement dit, qund n est grnd (n 30, np 5et n(1 p) 5), l loi inomile converge vers l loi normle. 5.. Loi de l fréquence de succès F n Soit X n qui suit B(n, p) Soit F n = X n n l fréquence de succès lors des n épreuves. P ( F n = k n ) =P(X n =k)=(n p ) pk (1 p) n k E( F n )=p σ (F n )= ( p(1 p)) (n) 5..3 Prise de décision 5..3.1 Intervlle de fluctution symptotique u seuil 1 α Théorème : Pour tout nomre α de ]0;1[, on pose I n =[ p u ( p(1 p)) ( p(1 p)) α ; p+u α n n ] Résumé de cours de mthémtiques 13/14
Alors P(F n I n ) tend vers 1 α qund n tend vers l'infini. I n est ppelé intervlle de fluctution symptotique de F n u seuil 1 α 5..3. Intervlle de fluctution symptotique u seuil de 95 % Supposons une popultion dont une prtie A est en proportion connue : p (on peut ussi dire que, si l on tire u hsrd un individu dns l popultion, l proilité d otenir un individu de A est p ). Considérons les échntillons de tille n. On peut étlir que dns 95% de ces échntillons de tille n, l fréquence des individus de A dns l échntillon est dns l intervlle J =[ p 1 n ; p+ 1 n ] Ce résultt n est en fit vlle que si 0, p 0,8 et si n>5 I n =[ p 1,96 ( p(1 p)) n ( p(1 p)) ; p+1,96 n ] 5..3.3 Règle de prise de décision L règle de décision doptée est l suivnte : si l fréquence oservée f dns un échntillon pprtient à un intervlle de fluctution symptotique u seuil de 95 %, on considère que l échntillon est comptile vec le modèle ; sinon, on considère que l échntillon n est ps comptile vec le modèle. 5..4 Estimtion pr intervlles de confince. Si p est inconnu, P ( F n 1 (n) p F n+ (n)) 1 =0,95 L'intervlle de confince de p u seuil de 95 % (ou fourchette de sondge) est [F os 1 (n) ; F + 1 os (n) ] On utilise cet intervlle pour estimer p u seuil de confince de 95 % Résumé de cours de mthémtiques 14/14