BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série : ES DURÉE DE L ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 7 Ce sujet comporte 7 pages umérotées de 1 à 7 Ce sujet écessite l utilisatio d ue feuille de papier millimétré L utilisatio d ue calculatrice est autorisée Le cadidat doit traiter tous les exercices Il est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies 12MASEAG1 Page : 1/7
Exercice 1 (5 poits) Commu à tous les cadidats O doe le prix moye e euros d u litre de gasoil e Frace, etre 1998 et 2007: Aée 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Rag x i de l aée 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Prix moye y i du litre 0,77 0,81 0,73 0,79 0,8 0,85 0,99 1,06 1,1 1,11 de gasoil (e euros) Source : Auaire Statistique de la Frace 1) Calculer le pourcetage d évolutio, arrodi à 1% près, du prix moye d u litre de gasoil e euros etre 1998 et 2007 2) a) Représeter le uage de poits ( ; ) M x y, avec i compris etre 0 et 9, associé à cette i i i série statistique, das le pla rapporté à u repère orthogoal O choisira les uités graphiques suivates : 1cm pour 1 aée sur l axe des abscisses 1 cm pour 10 cetimes d euro sur l axe des ordoées b) Calculer les coordoées du poit moye G de cette série et le placer das le repère précédet 3) O modélise l évolutio du prix moye d u litre de gasoil e euros à l aide d u ajustemet affie, obteu par la méthode des moidres carrés Doer l équatio de la droite de régressio de y e x aisi obteue, e arrodissat les coefficiets au millième Tracer cette droite das le repère défii à la questio 2) 4) Avec ce modèle, calculer l estimatio du prix moye d u litre de gasoil e euros e 2010 Arrodir le résultat au cetime d euro 5) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio E supposat que le modèle reste valable durablemet, à partir de quelle aée le prix moye du litre de gasoil aura-t-il augmeté de 30% par rapport au prix moye de l aée 2007? 12MASEAG1 Page : 2/7
Exercice 2 (5 poits) Pour les cadidats ayat suivi l'eseigemet de spécialité Das ue grade etreprise, tous les agets commerciaux ot ue voiture de foctio, qu ils doivet choisir etre deux marques A et B Le parc de véhicules (e locatio) est reouvelé tous les as O suppose que le ombre d agets commerciaux de l etreprise e varie pas, et que les deux marques A et B restet les seules possibilités pour les voitures de foctio proposées das l etreprise O a costaté que, chaque aée : 5% des agets commerciaux utilisat u véhicule de marque A chaget l aée suivate pour B ; 15% des agets commerciaux utilisat u véhicule de marque B chaget l aée suivate pour A ; les autres agets poursuivet l aée suivate avec u véhicule de même marque O appelle a la probabilité qu u aget commercial choisi au hasard utilise u véhicule de marque A au début de l aée 2010 +, et b la probabilité qu il utilise u véhicule de marque B au début de cette même aée O ote ( a b ) P = la matrice correspodat à l'état probabiliste de l'aée 2010 + E 2010, la moitié des agets commerciaux possédaiet u véhicule de marque A ; aisi : P 0 = ( 0,5 0,5) 1) Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B, et doer la matrice de trasitio M (o cosidèrera les sommets du graphe das l ordre alphabétique) 2) Justifier que P 1 = ( 0,55 0, 45) et doer ue iterprétatio cocrète des coefficiets de cette matrice 3) Détermier l état probabiliste stable du système et iterpréter les résultats obteus 4) a) Que vaut, pour tout etier aturel, la somme a + b? b) O sait, pour tout etier aturel, que: P +1 = P M ; démotrer, pour tout etier aturel, que: a + 1 = 0,8a + 0, 15 5) Pour tout etier aturel, o pose : u = a 0, 75 a) Démotrer que la suite ( u ) est ue suite géométrique de raiso 0,8 dot o précisera le premier terme b) Exprimer u e foctio de puis démotrer que pour tout etier aturel, a = 0, 25 0,8 + 0, 75 c) Détermier la limite de la suite a ) Quel résultat retrouve-t-o aisi? ( 12MASEAG1 Page : 3/7
Exercice 3 (4 poits) Commu à tous les cadidats O doe la courbe représetative d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 2;2], et sa tagete e so poit A d abscisse 1 ; cette tagete passe par le poit de coordoées (0 ; 2) O ote la foctio dérivée de f sur l itervalle [ 2;2] Pour chacue des questios suivates, ue seule répose est exacte ; préciser laquelle sur la copie Aucue justificatio est demadée Ue boe répose rapporte 1 poit, ue répose fausse ou l'absece de répose e rapporte i elève aucu poit 1) Le ombre dérivé ote (1) est égal à : 1 a) 1 b) c) 1 d) 3 3 2) La foctio u telle que u ( x) = l[ f ( x)] est défiie sur : a) [ 2;0] b) ] 2;0[ c) ] 0;2[ d) [0;2] 12MASEAG1 Page : 4/7
3) O cosidère F ue primitive de f sur l itervalle [ 2;2] La foctio F est décroissate sur : a) [ 2;0] b) [ 2;2] c) [ 0;2] d) [ 1;1] 4) Soit 0 I = f( x) dx O a : 1 a) <0 b) 0 1 c) 1< <3 d) 3 12MASEAG1 Page : 5/7
Exercice 4 : (6 poits) Commu à tous les cadidats O a représeté ci-dessous la courbe C d ue foctio g défiie et dérivable sur [ 0; + [ aisi que la tagete T à cette courbe e so poit de coordoées (0 ; 7) O admet que l'axe des abscisses est asymptote horizotale à la courbe C au voisiage de + O désige par g' la foctio dérivée de la foctio g 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T Partie A 1) Préciser la valeur du réel g (0) 2) O admet que la tagete T passe par le poit de coordoées (4 ; 2,8) Justifier que la valeur exacte de g '(0) est 2, 45 3) Préciser la valeur de la limite de la foctio g e + 4) O admet que la foctio g est défiie sur l itervalle [ 0; + [ par : où a et b sot des ombres réels g ( x) = bx a e + 1 12MASEAG1 Page : 6/7
bx abe a) Démotrer que pour tout réel x de [ 0; + [, o a : g '( x) = bx 2 ( e + 1) b) E utilisat les résultats des questios 1) et 2), détermier les valeurs des réels a et b Partie B O cosidère u objet maufacturé dot le prix uitaire est x, e cetaies d'euros D'après ue étude de marché, l'offre f (x) et la demade g (x) pour cet objet, e cetaies d'uités, sot défiies pour tout x positif ou ul par : = gx ( ) = e 0,7 f( x) e x 1 et 0,7x 14 + 1 1) Si le prix de vete uitaire de l objet est 300, combie d objets (à l uité près) les cosommateurs sot-ils prêts à acheter? 2) Calculer le prix de vete uitaire de l objet, arrodi à l'euro près, pour que la demade soit de 350 objets 3) a) Détermier l uique solutio de l équatio f ( x) = g( x), et doer ue valeur approchée au cetième de cette solutio O appelle «prix d équilibre» le prix permettat l égalité etre l offre et la demade Quel est le prix d équilibre, arrodi à l euro près? b) Au prix d équilibre, quelle est la valeur commue de l offre et de la demade, arrodie à l uité près? Quel est le chiffre d affaire gééré par les vetes au prix d équilibre? 12MASEAG1 Page : 7/7