5 Séries etières «U mathématicie qui est pas aussi quelque peu poète e sera jamais u mathématicie complet.» Extrait d ue lettre de Karl Weierstrass à Sophie Kowalevski (883) Pla de cours I Rayo de covergece d ue série etière............................ 2 A Défiitio et propriétés..................................... 2 B Détermiatio pratique du rayo de covergece..................... 4 C Opératios sur les séries etières............................... 6 II Propriétés de la somme d ue série etière d ue variable réelle............. 8 III Développemets e série etière.................................. 9 A Gééralités............................................ 9 B Développemets e série etière usuels............................ C Méthode pratique pour obteir u développemet e série etière.......... 3 Itroductio Cosidéros l équatio différetielle suivate : y (x) = y(x) (E) Nous savos que l esemble des solutios sur de cette équatio différetielle liéaire du er ordre sas secod membre costitue ue droite vectorielle. Les solutios sot doc toutes de la forme x λ f (x) où f représete ue solutio o triviale quelcoque de cette équatio (c est-à-dire ue solutio o ulle). Recherchos das u premier temps ue solutio f sous forme polyomiale. Posos pour cela : f (x) = N a x Iutile cepedat d effectuer le moidre calcul! L égalité f (x) = f (x) motre, pour des questios de degré, que seul le polyôme ul coviet. Recherchos maiteat des solutios de la forme f (x) = a x. Attetio, rie e dit qu ue telle somme existe, autremet dit que la série associée coverge. Supposos pour os besois qu il e est aisi et permettos-ous même de dériver cette somme terme à terme (terrai glissat!). E ijectat le résultat das l équatio (E), il viet : f (x) = f (x) = a x = a x ( + )a + x = Par raisoemet aalogue à celui qu o a l habitude d effectuer sur des polyômes (c est-à-dire par idetificatio), o obtiet : ( + )a + = a Ce qui coduit rapidemet à a = a 0 pour tout. Aisi, si toutes les opératios effectuées sot! licites, e preat arbitrairemet a 0 =, apparaît comme ue solutio de l équatio (E).. Pourquoi diatre se limiter à des sommes fiies... f (x) = x! a x
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES L équatio (E) est cepedat pas très mystérieuse, ous savos que ses solutios sot de la forme x λe x. Comme la foctio expoetielle est l uique solutio de (E) qui vérifie la coditio iitiale y(0) =, o trouve alors : x exp(x) = Ce premier exemple soulève de ombreuses questios auxquelles ous allos essayer de répodre à travers ce chapitre, à savoir : À quelle(s) coditio(s) sur (a ) et sur x la série a x coverge-t-elle? Peut-o dériver la somme d ue telle série? Peut-o idetifier les coefficiets? Toute foctio (comme la foctio expoetielle) peut-elle s écrire comme la somme d ue telle série? x! I Rayo de covergece d ue série etière désigera ou. A Défiitio et propriétés Défiitio 5. : Série etière Ue série etière à variable réelle ou complexe z est ue série de la forme a z avec a. Les termes de la suite (a ) sot appelés coefficiets de la série etière. La foctio z a z est défiie e z 0 lorsque la série a z 0 coverge. O l appelle foctio somme ou plus simplemet somme de la série. Défiitio 5.2 : Domaie de covergece O appelle domaie de covergece l esemble de défiitio de la foctio z a z. Exercice Détermier le domaie de covergece des deux séries etières suivates : z ; (πx) 3 + 2 O remarquera qu u polyôme est u cas très particulier de série etière. Lemme 5.3 : Lemme d Abel Si la suite (a z 0 ) est borée, alors, pour tout ombre complexe z tel que z < z 0, la série a z est absolumet covergete. 2
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Démostratio Supposos z 0 o ul et l existece u réel M tel que : a z 0 M Alors, pour tout etier aturel, 0 a z = z a z 0 M z Comme z < z 0, la série de terme gééral z 0 z 0 z z 0 est géométrique de raiso (e module) strictemet iférieur à. Aisi, la série coverge, et par comparaiso de séries à termes positifs, la série a z est absolumet covergete. Défiitio 5.4 : Rayo de covergece O appelle rayo de covergece de la série etière a z l élémet de R + (c est-à-dire R 0 ou R = + ) défii par : R = sup {r 0 (a r ) est borée} D après le lemme d Abel, si z < R alors la série a z coverge absolumet (doc coverge). s z a pour rayo de covergece R =. (πx) 3 + 2 a pour rayo de covergece R = π. Théorème 5.5 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Si z < R alors a z coverge absolumet. Si z > R alors a z diverge grossièremet. Si z = R alors o e peut rie dire. Démostratio Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Rappelos que par défiitio, R = sup {r 0 (a r ) est borée} Soit z. Si z < R alors il existe r + tel que z < r < R. Comme (a r ) est borée, d après le lemme d Abel, a z est absolumet covergete. Si z > R alors la suite (a z ) est pas borée doc e coverge pas vers 0. Aisi, la série a z diverge grossièremet. 3
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES Ce théorème motre que R = sup{r 0 a r coverge absolumet} et ous doe directemet la «forme» du domaie de covergece :?? CONV. ABSOLUE DIV. GROSSIÈRE R 0 R DIV. GROSSIÈRE Le domaie de covergece est das le cas réel u itervalle de la forme ] R, R[, ] R, R], [ R, R[ ou bie [ R, R]. i DIV. GROSSIÈRE CONV. ABSOLUE? Le domaie de covergece est das le cas complexe costitué du disque ouvert de covergece et de poits situés sur le cercle de covergece. Défiitio 5.6 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Si =, ] R, R[ est appelé itervalle ouvert de covergece. Si =, D(0, R) = {z z < R} est appelé disque ouvert de covergece. x Étudier la covergece de la série pour x. Si x <, 0 x x doc par comparaiso, la série coverge absolumet. Si x >, x + doc la série diverge grossièremet. + Si x =, o retrouve la série harmoique qui diverge. Si x =, o retrouve la série harmoique alterée qui coverge. 4
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* B Détermiatio pratique du rayo de covergece Ecadremet du rayo de covergece Si l o coaît la ature de a z 0 pour u z 0 doé, o peut e déduire des iformatios sur le rayo de covergece de la série etière a z. Propositio 5.7 : Ecadremet du rayo de covergece Soiet a z ue série etière de rayo de covergece R et z 0. Si a z 0 coverge, alors z 0 R Si a z 0 diverge, alors z 0 R. Si a z 0 est semi-covergete, alors z 0 = R. O est sur le cercle de covergece. ( ) O a motré das le chapitre précédet que est semi-covergete. x O e déduit que le rayo de covergece de la série est. 2 Comparaiso de séries etières Propositio 5.8 : Comparaiso Soiet a z et b z deux séries etières de rayo de covergece respectif R a et R b. O suppose que a b à partir d u certai rag. Alors, R a R b. Démostratio Par comparaiso de séries à termes positifs, si Aisi, si z < R b alors z < R a. D où R a R b. b z coverge, il e va de même pour a z. Exercice 2 Que peut-o dire du rayo de covergece de la série etière si()x? 3 Séries etières de termes gééraux équivalets Propositio 5.9 : Équivalet Soiet a z et b z deux séries etières telles que a Alors elles ot même rayo de covergece. b. + Démostratio Même pricipe, o applique la règle des équivalets aux séries à termes positifs Exercice 3 Que vaut le rayo de covergece de la série etière π 2 arcta() x? a z et b z. 5
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES 4 Utilisatio de la règle de d Alembert La règle de d Alembert relative aux séries umériques à termes strictemet positifs ous permet la plupart du temps de détermier le rayo de covergece d ue série etière. Observos les exemples suivats. x Cosidéros la série etière et posos u = x. Pour x 0, appliquos la règle de d Alembert pour étudier la covergece absolue de la série. u + = x + + x = x + x = l + u Si l <, c est-à-dire si x <, alors la série coverge absolumet. Si l >, c est-à-dire si x >, alors la série e coverge pas absolumet. O a doc immédiatemet R =. 2 x 2 Cosidéros la série etière 2. Remarquos qu il s agit bie d ue série etière. Notos u so terme gééral et étudios pour x 0 la covergece absolue de u à l aide de la règle de d Alembert : u + = x 2+2 2 2+ x = x 2 2 2 x 2 + 2 = l u Si l <, c est-à-dire si x < 2, alors la série coverge absolumet. Si l > alors la série e coverge pas absolumet. O e déduit que le rayo de covergece de la série vaut 2. Le lecteur aura bie oté que das ce cas, l utilisatio de la règle de d Alembert est totalemet farfelue : la série étudiée est ue série géométrique de raiso x 2 /2... 5 Rayo de a z Propositio 5.0 Les séries a z et a z ot même rayo de covergece. Démostratio Notos respectivemet R et R les rayos de covergece des séries a z et a z. Remarquos que si (a z ) est borée, il e va de même pour (a z ). Aisi, R R. Itroduisos maiteat z tel que z < R. Motros que z < R e cosidérat u réel r tel que z < r < R : a z z = a r M a r car z r r 0 + Comme a r coverge absolumet, il e va de même pour a z. Aisi, z < R. O a bie motré que R = R. O peut aisémet gééraliser la preuve précédete et motrer que pour tout réel α, les séries a z et α a z ot même rayo de covergece. x O retrouve facilemet le rayo de covergece de la série etière. 6
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Exercice 4 x Quel est le rayo de covergece de? 206 C Opératios sur les séries etières Propositio 5. : Somme de séries etières et multiplicatio par u scalaire Soiet a z et b z deux séries etières de rayo de covergece respectif R a et R b. (i) (a + b )z est ue série etière de rayo de covergece R avec R = mi(r a, R b ) si R a R b ou R R a si R a = R b. (ii) λa z est ue série etière de rayo de covergece R a si λ 0 ou + si λ = 0. Démostratio Démotros seulemet le premier poit. Illustros d abord le résultat. CONV. ABSOLUE DES DEUX SÉRIES R b R a 0 R a R b DIV. D UNE DES DEUX SÉRIES Supposos sas perte de gééralité que R a < R b. Pour tout z tel que z < R a, a z et b z coverget doc (a + b )z coverge. Aisi, R R a. Si R a < z < R b, a z diverge et b z coverge doc (a + b )z diverge. Aisi, R R a. Fialemet, R = R a. Supposos que R a = R b. Pour tout z tel que z < R a, a z et b z coverget doc (a + b )z coverge. Aisi, R R a. Pour z > R a = R b, les deux séries diverget doc o e peut rie dire sur la somme. Propositio 5.2 : Produit de Cauchy de deux séries etières Soiet a z et b z deux séries etières de rayo de covergece respectif R a et R b. Alors le produit de Cauchy des deux séries est ue série etière de la forme c z avec c = et so rayo de covergece R vérifie R mi(r a, R b ). De plus, pour z < mi(r a, R b ), c z = a z b z a k b k 7
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES Démostratio Le produit de Cauchy ous doe bie ue série etière : c z = a k z k b k z k Si z < mi(r a, R b ) alors les deux séries a z et b z sot absolumet covergetes. O e déduit, par produit de Cauchy, que la série c z est absolumet covergete et que : c z = a z b z Ceci prouve bie que R mi(r a, R b ). Nous avios vu lors du derier chapitre que : 2 ( z) = 2 z z = z = k z = ( + )z Das ce cas, le rayo de covergece vaut précisémet = mi(r a, R ) mais l iégalité peut être stricte. Exercice 5 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Notos f la foctio somme associée. Détermier ue expressio de a k z k e foctio de f (z) pour tout z tel que z <. II Propriétés de la somme d ue série etière d ue variable réelle O s itéresse ici uiquemet aux séries etières à variable réelle. Soit a x ue série etière réelle de rayo de covergece R > 0. Rappelos que f : x a x est défiie sur ] R, R[, ] R, R], [ R, R[ ou [ R, R]. Que dire de la régularité de f sur so domaie de déf. (i.e. sur le domaie de covergece de la série)? Soit f : x x. Détermios le domaie de défiitio de f. D après la règle de d Alembert, R =. De plus, diverge et ( ) coverge doc D f = [, [. Les démostratios des théorèmes suivats sot hors programme. Théorème 5.3 : Cotiuité La somme d ue série etière réelle est cotiue sur l itervalle ouvert de covergece. Ce théorème ous garatit doc la cotiuité de f sur ] R, R[. O peut même motrer que la foctio f est cotiue sur le domaie de covergece de la série mais cette propriété e figure pas au programme. f : x x est cotiue sur ], [. 8
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* Théorème 5.4 : Dérivatio terme à terme Soit a x ue série etière réelle de rayo de covergece R. O ote f : x a x sa somme. f est dérivable sur ] R, R[, a x est ue série etière de rayo de covergece R et : x ] R, R[, f (x) = = a x. Ce théorème ous permet de calculer très facilemet la dérivée de la somme d ue série etière. O sait que f est au mois dérivable sur ] R, R[ mais o e peut rie dire e R ou e R même si f y est défiie! Corollaire 5.5 La somme d ue série etière est de classe sur l itervalle ouvert de covergece. Quel est le rayo de covergece et que vaut la somme de x? x ], [ f (x) = f (x) = = x = x (R = ) x = ( x) 2 Doc, pour tout x ], [, x f (x) = = x = Théorème 5.6 : Itégratio terme à terme x ( x) 2. Soit a x ue série etière réelle de rayo de covergece R. O ote f : x a a x sa somme et F ue primitive de f. + x + est ue série etière de rayo de covergece R et : a x ] R, R[, F(x) = F(0) + + x +. x Calculos la somme de pour x [, [. x ], [ x = x. D où, pour tout x ], [, F(x) = l( x) = l + Or = ( ) x + + = x = coverge, doc f est défiie et cotiue e et f ( ) = Ne pas oublier la costate d itégratio! 9 lim l( x) = l 2. x +
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES III Développemets e série etière A Gééralités Rappelos d abord des résultats fodametaux du cours d aalyse de première aée. Théorème 5.7 : Formules de Taylor Soit f ue foctio de classe sur I et a, b I. Formule de Taylor avec reste itégral (b a) k f (b) = f (k) (a) + k! b a (b t) f () (t) dt ( )! Iégalité de Taylor-Lagrage f (b) (b a) k f (k) (a) k! M (b a)! avec M = sup f () [a,b] Formule de Taylor-Youg (b a) k f (b) = f (k) (a) + o((b a) ) k! Défiitio 5.8 : Foctio développable e série etière Ue applicatio est développable e série etière (au voisiage de 0) sur ] r, r[ s il existe ue série etière a x de rayo de covergece R avec R r telle que : x ] r, r[, f (x) = a x. Quelles propriétés doit vérifier ue foctio pour être développable e série etière au voisiage de 0? Théorème 5.9 : Coditio écessaire Si f admet u développemet e série etière sur ] r, r[ alors f est de classe sur ] r, r[, so f () (0) développemet e série etière est uique et est doé par sa série de Taylor : x.! Démostratio Soiet (a ) et r + tels que x ] r, r[ f (x) = a x. Le fait que f soit de classe découle du théorème de dérivatio terme à terme de la somme d ue série etière. Par récurrece, f est de classe sur ] r, r[. De plus, f (0) = a 0, f (0) = a, f (0) = 2a 2,..., f () (0) =!a. Exercice 6 Motrer que si f (x) = a x alors f (x) = a k x k + o(x ). 0
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* La réciproque du théorème est fausse : toute foctio de classe est pas développable e série etière. Exercice 7 Soit f la foctio défiie sur par : f (x) = e /x2 si x 0 0 si x = 0 Motrer que f est de classe puis prouver que pour tout, f () (0) = 0. Coclure. INDICATION : O pourra motrer que pour et x, f () (x) = P (x) 2 x 3 e /x. Corollaire 5.20 : Uicité du développemet e série etière Soit r > 0 quelcoque. Si pour tout x ] r, r[, a x = b x alors o a :, a = b Les propriétés suivates peuvet s avérer utiles : Si f est paire, f est impaire. Si f est paire (resp. impaire), so développemet e série etière e cotiedra que des puissaces paires (resp. impaires). B Développemets e série etière usuels Foctio expoetielle Commeços par motrer que e x = Lagrage à f : x e x. x, x! pour tout réel x e appliquat l iégalité de Taylor- f (x) f (k) (0) x k sup f (+) x 0 + k! [0,x] ( + )! Comme pour tout, f () (0) =, f (x) x k k! max(e0, e x ) x + ( + )! Doc pour tout réel x, e x = x!. + 0 O aurait aussi pu utiliser le fait que exp est l uique solutio du problème de Cauchy O peut alors détermier les déveleppomets e série etière des foctios ch et sh. Qu e est-il de l expoetielle complexe? D après le cours de ère aée, e z = e x+i y = e x (cos y + i si y) avec (x, y) 2. O admet que pour tout z, e z z =!. y = y y(0) =
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES Propositio 5.2 Pour tous ombres complexes z et z, e z+z = e z e z Démostratio Cosidéros le produit de Cauchy des deux séries z! et z! qui ot toutes les deux pour rayo de covergece +. La série etière produit est doc absolumet covergete pour tout (z, z ) 2 et o a : exp(z) exp(z z z z k ) = =! k! z k ( k)! = =!!! k!( k)! zk z k (z + z ) = exp(z + z )! =! O peut alors détermier les développemets e série etière des foctios cos et si. z k z k k 2 Autres développemets usuels Voici la liste des développemets usuels à coaître par cœur : R = + e x = R = + chx = R = + cos x = R = + shx = R = + si x = x! x 2 (2)! ( ) x 2 (2)! x 2+ (2 + )! ( ) x 2+ (2 + )! R = ], [ ( + x) α α(α )... (α + ) = + x! = R = ], [ + x = ( ) x R = ], ] l( + x) = R = + e z z =! = ( ) + x (α \ ) De toute la liste, il e reste qu à détermier le développemet e série etière de ( + x) α. Soit f : x ( + x) α avec α. Détermier so développemet e série etière. x >, f (x) = α( + x) α. f est doc solutio de l équatio différetielle ( + x)y = α y. 2
Mickaël PROST Lycée Chaptal PT* C est même l uique solutio de l équatio vérifiat la coditio iitiale y(0) = par uicité au problème de Cauchy. Soit y ue solutio de l équatio développable e série etière. O a y(x) = E ijectat das l équatio o trouve : a + = α + a a x. Si α, les a sot tous uls à partir d u certai rag. R = +. Supposos maiteat que α \. α(α )... (α + ) Ue simple récurrece ous fourit : a = pour.! Pour a 0 =, y est solutio de l équatio et vérifie y(0) =. Par uicité, y = f. O a obteu le développemet e série etière souhaité. Il reste maiteat à détermier le rayo de covergece de la série etière à l aide de la règle de d Alembert : a + a = α +. + Doc R =. Exercice 8 Détermier le développemet e série etière de la foctio arcta. C Méthode pratique pour obteir u développemet e série etière ➊ Utilisatio des développemets usuels et des opératios sur les séries etières (somme et produit). Détermier le développemet e série etière de f : x x l( x) + 2e x. f (x) = 2 + 2x + + 2 x.! =2 ➋ Dérivatio et itégratio terme à terme. x l( x). ➌ Utilisatio de l iégalité de Taylor-Lagrage. x exp(x). ➍ Décompositio e élémets simples d ue fractio ratioelle (das ou ). x ] a, a[, x a = a x = a a (x a) = d = 2 dx x a a x a x a a Détermier le développemet e série etière de x x 2 5x + 6. x 2 5x + 6 = x 2 + x 3 = 2 x. + 3 + 3
CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES ➎ Utilisatio d ue équatio différetielle. Soit g : x e x2 /2 x 0 e t2 /2 dt. Détermier so développemet e série etière. g est de classe sur et vérifie l équatio différetielle y = x y. E cherchat ue solutio sous forme de série etière, o trouve ue relatio liat les coefficiets a de la série : a + ( + ) + a = 0 et a = Par uicité de la solutio au problème de Cauchy, e preat a 0 = 0, o trouve a 2 = 0 et : g(x) = ( ) + 2! x 2+ (2 + )! Quel est le rayo de covergece de cette série etière? 4