7 Chapitre Calcul littéral Théorie.1 RAPPEL DE 8 e : DÉVELOPPER UN PRODUIT Le calcul littéral consiste à calculer avec des variables (c est-à-dire avec des lettres) comme on le ferait avec des nombres. On peut donc utiliser toutesles propriétés résumées au Chapitre 1 (paragraphe 1.5). Rappelons en particulier la règle de distributivité: a (b + c)=a b + a c. Lorsqu on passe de l écriture a (b + c) }} produit de deux facteurs à l écriture a } b + a } c somme de deux termes on dit qu on développe le produit a (b + c) en utilisant la distributivité. On peut écrire la règle de distributivité d une autre manière: a (b c)=a b a c. La règle de distributivité est une identité: l égalité a (b+c)=a b+a c est vraie, quelles que soient les valeurs qu on donne aux variables a, b et c.. LES SIMPLIFICATIONS D ÉCRITURE Les deux règles suivantes permettent de supprimer certaines parenthèses: 1) Si une parenthèse est précédée du signe + on garde les mêmes signes. Par exemple, a +(b c + d)=a + b c + d
8 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL et x +( y + z)=x y + z. ) Si une parenthèse est précédée du signe - on change les signes des termes dans la parenthèse. Par exemple, et a (b c + d)=a b + c d x ( y + z)=x + y z.. MONÔMES ET POLYNÔMES..1 LES MONÔMES Les expressions suivantes sont des monômes: 1 x z 1 xy x yz 0,a b Un monôme est un nombre, ou une variable, ou le produit d un nombre et de certaines variables. Dans un monôme, le nombre s appelle le cœfficient le produit des variables s appelle la partie littérale. x yz cœfficient partie littérale Dans la partie littérale d un monôme, l exposant de chacune des variables est un entier positif. (Une expression comme x n est pas un monôme.) Remarques 1) Le monôme xy a pour coefficient 1. En effet, on peut écrire xy = 1 xy. ) Le monôme x a pour coefficient -1. En effet, on peut écrire x =( 1) x. ) Lorsqu on a une expression littérale, on essaie de l écrire le plus simplement possible. On dit alors qu on réduit cette expression.
.. MONÔMES ET POLYNÔMES 9 En particulier, on écrira généralement un monôme sous une forme aussi simple que possible. Par exemple, On dit que les monômes sont réduits. x x x y y s écrit plus simplement x y (x ) """ x 6 x + x """ x x x """ x a b ( 5)b """ 10ab x y ; x 6 ; x; x; 10ab.. OPÉRATIONS AVEC DES MONÔMES Monômes semblables On dit que deux monômes sont semblables s ils ont la même partie littérale. Par exemple, a b et 1 a b sont des monômes semblables. L addition de monômes On peut additionner des monômes semblables. Pour cela, on additionne leurs cœfficients; on garde la même partie littérale. Par exemple, 5a b et a b sont des monômes semblables et on a: Voici deux autres exemples: 5a b + a b = 8a b (car 5 + = 8). 6xy +( xy )+xy = 4xy (car 6 +( )+1 = 4) 1 cd + 1 4 cd = 1 ( 4 cd car 1 + 1 ) 4 = 1 4 Attention si les monômes ne sont pas semblables! Exemple (+x )+(+x )=x + x Cette somme ne peut pas être réduite! C est un POLYNÔME.
40 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL La soustraction de monômes On peut soustraire un monôme d un autre s ils sont semblables. Pour cela, on calcule la différence de leurs cœfficients; on garde la même partie littérale. Par exemple, x y et 6x y sont des monômes semblables, et on a: x y 6x y = x y (car 6 = ). Remarque Une suite d additions et de soustractions s effectue en combinant les règles ci-dessus. Par exemple, x 1 x +( x )= 1 ( x car 1 +( 1)=4 1 = 1 ). Exercices 87 à 91 La multiplication de monômes Pour multiplier des monômes, on multiplie leurs cœfficients, et on multiplie leurs parties littérales. On écrit le résultat sous forme réduite. Par exemple, ( 1 ) ( ) ( 1 a b ab = 1 ) ( ) 1 a b ab = 1 6 a a b b = 1 6 a b 4 Voici deux autres exemples: Exercices 7 à 76 a 4 5a = 15a 5 ( a b) ( 5ac) = 10a bc Puissance d un monôme On calcule une puissance d un monôme en le multipliant plusieurs fois par lui-même. Par exemple, (xy) 4 =(xy) (xy) (xy) (xy) = 4 x 4 y 4 = 16x 4 y 4
.. MONÔMES ET POLYNÔMES 41 Donnons encore deux exemples: (x ) =(x ) (x ) (x )=8x 9 ( 1 ( b) a = 1 ) ( a b 1 ) a b = 1 4 a4 b Exercices 77 à 8 Quotient de monômes On s efforcera d écrire un quotient de monômes aussi simplement que possible. Par exemple, x y 4xy = x x y x y = x. Dans cet exemple, le résultat est un monôme. Mais un quotient de monômes n est pas forcément un monôme. Par exemple, x n est pas un monôme. y Remarques Si, dans un quotient de monômes, on remplace les variables par des nombres, il ne faut pas que le dénominateur devienne égal à zéro. Exercices 8 à 86.. LES POLYNÔMES Un polynôme est une somme de monômes. Ces monômes s appellent les termes du polynôme. Par exemple, x + 4x + 5 est un polynôme qui a termes. 4a + ab est un polynôme qui a termes. 9x y est un polynôme qui a 1 terme. (un polynôme qui a un seul terme est un monôme). Remarques On écrira généralement un polynôme sous forme réduite, c est-à-dire sans termes semblables. Par exemple, x 4x + 5x x + 1 est un polynôme. Mais on peut réduire cette expression: x 4x + 5x x + 1 = 8x 6x + 1...4 OPÉRATIONS AVEC DES POLYNÔMES On peut additionner deux polynômes, soustraire l un de l autre, ou les multiplier. Le résultat est encore un polynôme.
4 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL L addition de polynômes Pour additionner deux polynômes, on simplifie d abord l écriture en supprimant les parenthèses. Puis on réduit l expression ainsi obtenue. Exemples 1) (a + a 1)+(a + a)= a + a 1 + a + a = a + a + a + a 1 = a + 5a 1 (simplification d écriture) (regroupement des termes semblables) (réduction) ) (x + x + )+( x 4x 1)= x + x + x 4x 1 = x x + x 4x + 1 = x x x + 1 (simplification d écriture) (regroupement des termes semblables) (réduction) La soustraction de polynômes On supprime d abord les parenthèses, en changeant les signes dans la parenthèse précédée du signe «moins». Puis on réduit l expression ainsi obtenue. Par exemple, (x y + xy ) (5x y xy )= x y + xy 5x y + xy + = x y 5x y + xy + xy + = x y + 5xy + (simplification d écriture) (regroupement des termes semblables) (réduction) Exercices 9 à 104 La multiplication de polynômes Pour multiplier deux polynômes, on applique la règle de distributivité. a) Produit d un monôme et d un polynôme. On applique la règle de distributivité, en multipliant chaque terme du polynôme par le monôme. Voici deux exemples: a (a + 4a a 5)=6a 5 + 1a 4 6a 15a Exercices 105 à 1 ( x y + xy ) 5x y = 15x 5 y + 5x 4 y
.. MONÔMES ET POLYNÔMES 4 b) Produit de deux polynômes. Considérons le produit (a + b) (c + d). Appliquons plusieurs fois la distributivité: (a + b) = a + b On a donc : (a + b) (c + d) =a (c + d) +b (c + d) = a (c + d)+b (c + d) =(a c + a d)+(b c + b d) = ac + ad + bc + bd (a + b) (c + d)=ac + ad + bc + bd. On peut se représenter ce calcul géométriquement, si a, b, c et d sont des nombres positifs. Soit le produit (a + b) (c + d). Géométriquement, ce produit représente l aire d un rectangle. On peut calculer cette aire de deux manières : Chaque facteur représente une dimension du rectangle : On peut partager ce rectangle en quatre rectangles : d a d b d c + d c a c b c a + b a b Pour calculer l aire du rectangle, on effectue le produit de ses dimensions: longueur largeur (a + b) (c + d) Pour calculer l aire du rectangle, on calcule l aire de chacun des quatre rectangles et on effectue la somme: a c + a d + b c + b d En comparant les deux résultats, on voit que: (a + b) (c + d)=a c + a d + b c + b d Exemples 1) (x + y) (x + y)=x (x + y)+y (x + y) =(x + 6xy)+(xy + y ) = x + 6xy + xy + y = x + 7xy + y
44 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL ) (a b) (4a + b)=a (4a + b) b (4a + b) =(8a + ab) (1ab + b ) = 8a + ab 1ab b = 8a 10ab b Exercices 14 à 147 Exemples récapitulatifs 1) x x + x + x x = x + x + x = x + x ) a a (b 4)=a (ab 4a) = a ab + 4a = 7a ab ) a [ b (a b)] = a [ b a + b] = a + b + a b = 4a + b 4) (x + x) =(4x) = 64x 5) (x + y) =(x + y) (x + y) = 9x + xy + xy + y = 9x + 6xy + y 6) x (x ) (x )=(x 4x) (x ) = x 4x 4x + 8x = x 8x + 8x 7) a + b (4a b)= a + b (4a b) a + b (1a b) = a + b 1a + b = 11a + 4b = 8) (a b) (a + b) (4a + b) ( a b)=(a + ab ab b ) ( 4a 4ab ab b ) =(a + ab b ) ( 4a 5ab b ) = a + ab b + 4a + 5ab + b Exercices 47 à 54 = 6a + 6ab
.4. LES IDENTITÉS REMARQUABLES 45.4 LES IDENTITÉS REMARQUABLES Considérons le produit (a + b) (a + b). Géométriquement, ce produit représente l aire d un carré (si a > 0etb > 0). On peut calculer l aire du carré de deux manières : Chaque facteur représente la longueur du côté du carré : On peut partager ce carré en carrés et rectangles : a + b b a b b a a b a a + b Pour calculer l aire du carré, on élève au carré la longueur de son côté: (a + b) a Pour calculer l aire du carré, on calcule l aire des carrés, l aire des rectangles, et on effectue la somme : b a + a b + b a + b En comparant les deux résultats, on voit que: (a + b) = a + ab + b Remarques Le terme ab s appelle le double produit. Géométriquement, il représentelasomme des aires des deux rectangles dans la figure de droite. Dans ce raisonnement géométrique, les lettres a et b représentent des longueurs, donc des nombres positifs. Mais l identité (a + b) = a + ab + b est vraie pour n importe quels nombres a et b (positifs, négatifs, ou nuls). On peut le voir par un calcul qui emploie la distributivité : (a + b) =(a + b) (a + b) = a (a + b)+b (a + b) = a a + a b + b a + b = a + ab + ab + b = a + ab + b Voici encore trois identités importantes :
46 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL 1) (a b) =(a b) (a b) = a (a b) b (a b) = a a a b b a + b = a ab ab + b = a ab + b ) (a + b) (a b)=a (a b)+b (a b) = a a a b + b a + b = a b = a b ) (x + a) (x + b)=x (x + b)+a (x + b) = x x + x b + a x + a b = a + bx + ax + ab = a +(a + b)x + ab Résumé (a + b) = a + ab + b (1) (a b) = a ab + b () (a + b) (a b) = a b () (x + a) (x + b) = x +(a + b)x + ab (4) Ces égalités sont des identités: elles sont vraies quelles que soient les valeurs qu on donne aux variables a, b et x. On les appelle des identités remarquables, ou aussi des produits remarquables. Exercices 148 à 190 Exemples récapitulatifs 1) (x + 4y) =(x ) + (x ) (4y)+(4y) = 4x 6 + 16x y + 16y ) ( a b) =( (a + b)) =(a + b) =(a) + a b + b = 4a + 4ab + b ) ( x 1 ) ( ) ( ) 1 1 xy =(x ) (x ) xy + xy = 4x 4 x y + 1 4 x y 4) (7t + u) (7t u)=(7t) (u) = 49t 9u
.5. LA FACTORISATION 47 5) ( 0,1a + b) (b + 0,1a)=(b 0,1a) (b + 0,1a) =(b) (0,1a) = 4b 0,01a 6) (x + 7) (x + 5)=x +(7 + 5)x + 7 5 = x + 1x + 5 7) (x + 0,4) (x 1)=x +(0,4 1)x + 0,4 ( 1) = x 0,6x 0,4 8) (x 10) (x 5)=(x ) +( 10 5) x +( 10) ( 5) = 4x 6 0x + 50.5 LA FACTORISATION Factoriser un polynôme, c est l écrire sous la forme d un produit de polynômes. La factorisation transforme une somme en un produit. On a vu en 8 e des exemples comme celui-ci: 6x + 15x = x(x + 5). On dit : on a factorisé le polynôme 6x + 15x en mettant en évidence le monôme x. Cette factorisation remplace la somme 6x + 15x par le produit x(x + 5). Pour factoriser un polynôme, on commence, si c est possible, par mettre en évidence un monôme. Exemples x y 6xy 1x y }} somme de trois termes = xy (x y 4xy) }} produit de deux facteurs a } bc 4a b c + abc } = abc (ac a b + 1) }} somme de trois termes produit de deux facteurs Parfois, après cette mise en évidence, on peut factoriser encore en utilisant les identités remarquables. Voici trois exemples: 1) Calculs Indications a b = somme de deux termes (a b )= produit de deux facteurs le facteur (a b ) est à son tour décomposable (a + b) (a b) produit de trois facteurs
48 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL ) Calculs Indications x + xy + y = somme de trois termes on ne peut mettre en évidence aucun monôme; mais on peut utiliser une identité remarquable (x + y) produit de deux facteurs ) Calculs Indications x 5x + 6 = somme de trois termes (x ) (x ) produit de deux facteurs Marche à suivre pour factoriser un polynôme : 1. Mettre en évidence le plus possible de facteurs communs.. Voir si on peut factoriser davantage à l aide des identités remarquables. Exercices 191 à 18.6 LES FRACTIONS RATIONNELLES Considérons les quotients suivants: x y x + y a 1 a x + x + 1. x Les numérateurs et les dénominateurs sont des monômes ou des polynômes. Un quotient de polynômes s appelle une fraction rationnelle. Remarques Si on remplace les variables par des nombres, il ne faut pas que le dénominateur devienne égal à zéro..6.1 SIMPLIFICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES Marche à suivre pour factoriser une fraction rationnelle : 1. FACTORISER le numérateur et le dénominateur.. SIMPLIFIER les facteurs communs. Exemples 1) ) 9x y 1x y = x x x y 7 x x y y = x 7y a + a a = a ( + a) a = + a
.6. LES FRACTIONS RATIONNELLES 49 Remarques Exemple ) a b a + b = (a + b) (a b) (a + b) = a b 4) x xy 4x 4x y = x (x y ) x (x + y) (x y) 4x = (x y) x x (x y) = x + y x Exercices 19 à b a = (a b) En effet : b a = a + b b a = (a b) x 4 16 x = x 4 (4 x) (4 + x) = (4 x) (4 x) (4 + x) = 1 4 + x = 1 4 + x.6. MULTIPLICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES Exemple Exercices 4 à 40 Marche à suivre pour multiplier deux fractions rationnelles : 1. FACTORISER les numérateurs et les dénominateurs.. MULTIPLIER les numérateurs.. MULTIPLIER les dénominateurs. 4. SIMPLIFIER les facteurs communs. x y ax ay a (x + y) (x y) a a x = + xy + y a (x y) (x + y) = a x + y.6. DIVISION DE FRACTIONS RATIONNELLES Marche à suivre pour diviser une fraction rationnelle par une autre : 1. MULTIPLIER la fraction dividende par l inverse de la fraction diviseur.. FACTORISER les numérateurs et les dénominateurs.. MULTIPLIER les dénominateurs. 4. SIMPLIFIER les facteurs communs.
50 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL Exemples 1) a x 4 : 5a 6x 7 = a x 4 6x7 5a = 9x 5a ) a b 4a : a ab + b a Exercices 41 à 46 a b a = 4a a ab + b (a b) a = 4 a (a b) (a b) = a a b.7 LES FRACTIONS RATIONNELLES (Section S - NA).7.1 FRACTIONS RATIONNELLES ÉGALES Deux fractions rationnelles sont égales, si l une s obtient de l autre en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même polynôme. Par exemple, les fractions rationnelles a + b a et a + ab a sont égales, car a + b a = a (a + b) a a = a + ab a..7. DÉNOMINATEURS COMMUNS Les fractions rationnelles x et n ont pas le même dénominateur. Mais on peut les remplacer chacune par une fraction rationnelle qui lui soit égale, de telle sorte que les nouvelles fractions aient le même dénominateur. Par exemple, on a 4 x x = x x x = x x et 4 x = 4 x = 1 x. On dit : x est un dénominateur commun des fractions rationnelles x et 4 x. On dit aussi: on a mis les deux fractions rationnelles x et 4 à un dénominateur commun (qui est x x ).
.7. LES FRACTIONS RATIONNELLES (SECTION S - NA) 51 Pour trouver un dénominateur commun de deux fractions rationnelles, on factorise leurs dénominateurs. Par exemple, considérons les fractions x + x + x et 1 x +. Factorisons les dénominateurs: x + x + x = x + x(x + 1) et 1 x + = 1 (x + 1). Si on multiplie le dénominateur x(x + 1) par, on trouve 6x(x + 1). Si on multiplie le dénominateur (x + 1) par x, on trouve 6x(x + 1). On dit: 6x(x + 1) est un dénominateur commun des deux fractions rationnelles. On peut donc mettre ces deux fractions rationnelles au même dénominateur : x + x + x = x + (x + ) (x + ) = = x(x + 1) x(x + 1) 6x(x + 1) et 1 x + = 1 (x + 1) = x 1 x (x + 1) = x 6x(x + 1)..7. ADDITION ET SOUSTRACTION DE FRACTIONS RATIONNELLES Fractions de même dénominateur Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on additionne leurs numérateurs. On garde le même dénominateur. Par exemple, x + x + 1 + x 4 x + 1 = x 1 x + 1. Fractions de dénominateurs différents Si les fractions qu on veut additionner ont des dénominateurs différents, on commence par les mettre au même dénominateur. Ensuite, on additionne comme ci-dessus. Par exemple, reprenons x + x + x et 1 x +. On a: x + x + x + 1 (x + ) = x + 6x(x + 1) + x 6x(x + 1) = 5x + 9 6x(x + 1).
5 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL Marche à suivre pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles : 1. SIMPLIFIER les fractions. Exemple 1 Effectuer les opérations suivantes :. Rechercher un DÉNOMINATEUR COMMUN.. Mettre les fractions au MÊME DÉNOMINATEUR. 4. EFFECTUER les calculs et SIMPLIFIER le résultat. 6a b ab + 5a a b 4ab 6a 4 b 5 Simplifions les fractions a b + 5 ab a b 4 Recherchons un dénominateur commun b = b b a a a b b b b = 6a b 4 ab = a b b est un dénominateur commun a b 4 = a a a b b b b Mettons les fractions au même dénominateur et effectuons 6a b 6a b a b + a b a b Exemple Effectuer les opérations suivantes: Simplifions les fractions 5 ab a b 4 = 1a4 b + 15a b 4 6a b 4 a b a ab + b + a + b a + ab + b a b a b a b (a b) (a b) + a + b (a + b) (a + b) a b (a + b) (a b) Recherchons un dénominateur commun a b (a b) (a + b) (a + b) est un dénominateur commun (a + b) (a b) Mettons les fractions au même dénominateur = 1 a b + 1 a + b a b (a + b) (a b)
.7. LES FRACTIONS RATIONNELLES (SECTION S - NA) 5 (a + b) (a + b) Effectuons les calculs 1 (a b) + (a b) (a b) a + b + a b a + b (a + b) (a b) Exemple Effectuer les opérations suivantes: Ces fractions sont déjà simplifiées. x x + y + 1 (a + b) a b (a + b) (a b) = (a + b)+(a b) (a b) = (a + b) (a b) b (a + b) (a b) = b a b y x y 4xy x 4y Recherchons un dénominateur commun x + y (x y) (x + y) x y est un dénominateur commun x 4y =(x y) (x + y) Mettons les fractions au même dénominateur (x y) (x y) Effectuons les calculs Simplifions Exercices 58 à 68 x (x + y) + (x + y) (x + y) x xy + xy + 4y 4xy (x + y) (x y) y (x y) 4xy (x y) (x + y) = (x xy)+(xy + 4y ) 4xy (x + y) (x y) = x + 4y 4xy (x + y) (x y) (x y) (x y) (x + y) (x y) = x y x + y
54 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 68 Exprimer à l aide d un monôme: 1) l aire d un rectangle de dimensions x et y; Exercices écrits ) l aire d un carré de côté a; ) l aire d un triangle de base b et de hauteur h; 4) le volume d un cube d arête a; 5) le volume d un parallélépipède rectangle de dimensions x, y et z; 6) l aire totale des faces d un cube d arête z. EXERCICE 69 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) a a a b b 4) 4w + 5w w ) (a ) 5) (a ) a a 5 ) y xy 6) x x + x EXERCICE 70 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) x + x 4) 5x x (x + ) ) x + x x + x 5) a ( a + a ) a ) a ( a + b) 6) x y 4xy EXERCICE 71 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) (x y) xy : (x y) 4) (x + x 5x) ) 5a ( a + 1)+a 5) a a a + a b b ) a b c a b abc 6) 0,x (x + x)+(x + 5x) 0,1x EXERCICE 7 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) a ab 4) a ( a ) ( ab) ) a ( ab) 5) 5a a ( a ) ) 4a 5a b 6) 7xy x
.7. EXERCICES ÉCRITS 55 EXERCICE 7 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) x 4x y 4) ( a ) ab ( b) ) 4a ( ab ) 5) 4x 4 x x ( x) ) x y 5x 6) a b a b EXERCICE 74 Réduire chacune des expressions suivantes: 1) a 4 5ab 4) (+x ) ( xy) (+y) ) x ( 4x y) 5) ( a b) a b ( ab) ) a b 4ab 6) xy x y ( xy) EXERCICE 75 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat: 1) ( x ) (7x) 4) 8 9 xyz ( xy ) ) ( ) ( x y 7 ) 5 ( 4 x ) 15 x 1 y ) ( 6 ) 1x 5 EXERCICE 76 Dans chaque cas, quel est le monôme M manquant? 1) M x = x 4) xy 4x y M = 16x 4 y ) x M = 15x 5 5) 10a b M = a 4 b 4 ) 5a M = a 6 6) 7xy z M = 56x y z ( 5) 1 ) ( a b 4 ) 5 ab c ( 5 ) a7 ( 6) ( abc) + 1 ) 7 a4 b 9a 4 b 1 EXERCICE 77 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat: 1) (a b) ) ( a bc) 5) (w z) 4 ) ( 7x y) 4) ( 5ab ) 0 6) ( x 4 ) 6 ; EXERCICE 78 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat: 1) (5xy ) ) ( x yz) 5) ( x y 4 ) 0 ) ( 6a 4 b) 4) (4a b) 4 6) ( x 8 ) 8 ;
56 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 79 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat: 1) (a b ) ) ( a 4 b c) 4 5) (+a b) ) ( 4xy ) 4) ( 15xy z ) 0 6) ( xy ) 5 EXERCICE 80 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat: 1) (0,xy) ) ( ( x y) ) 5) ( x y ) ) ( a b) 4 4) ( ) 1 ab 6) 1 (a4 b ) EXERCICE 81 Effectuer les calculs suivants; réduire le résultat : 1) (0,x) ) 0,4 (a b) 5) ( ( a 7 b) ) ) ( 1 a ) 4) ( 0,1x y) 4 6) (ab 5 ) EXERCICE 8 Dans chaque cas, quel est le monôme M manquant? Donner toutes les possibilités. 1) M = 8x 6 4) M 11 = a b 11 ) M = 0,01a b 4 5) (M ) = 1 64 t1 u 18 ) M = 7 8 x9 y 6 z 15 6) M = 6x 6 EXERCICE 8 Écrire le plus simplement possible chacun de ces quotients de monômes : 1) 7a a ) 14x 7x 5) a 4 b 1ab 4 ) ab 11ab 4) 8x 5 16x 6) x 1 1x Dans les exercices 84 à 86, écrire le plus simplement possible chacun des quotients de monômes : EXERCICE 84 1) 5x4 5x 8 ) 77a 7 b 11a 5 b 5) a b ba ) 1a5 4a 4) x 9x 6) 55x10 5,5x
.7. EXERCICES ÉCRITS 57 EXERCICE 85 4a b 7 1) 0,04a b 7 ) ) 909a4 b 5 c 6 9a b 4 c 5 4) EXERCICE 86 4x 4 y z 1) 40xy 4 z ) ) a b c 1a 4 b c 5) 0,5x y 10x y 18a 5 b 4a b 7 6) 0x8 y z 4 0,5x y 6 z x y z 0,x y z 5) 0,x y x y 81a 6 b 9a b 4 4) 4a5 bc 6a 6 b c 4 6) 5 x 8 y 6 z 5x 4 y z EXERCICE 87 Donner, pour chacun des monômes suivants, trois monômes qui lui sont semblables : 1) a b ) x7 y ) x7 y 4 4 EXERCICE 88 Réduire chacune de ces expressons: 1) a + 5a + a + 7a 4) ( 1 x y)+( 1 6 x y) ) ( x)+(+7x)+( x) 5) ( 5a b)+(+a b)+( 1 a b) ) + 1 ab + 1 4 ab + ab 6) ( 1abc)+( 1 1 abc) EXERCICE 89 Réduire les expressions suivantes: 1) 7x x + 4x x 4) 0,1w ( w )+( 5,1w ) ) ( 4ab ) ( ab )+( 5ab ) 5) ( 1 ab)+( 1 7 ab) (+ 1 1 ab) ) ( 1 x y) + (+ 1 x y) ( x y) EXERCICE 90 Réduire les expressions suivantes: 6) a a b a b ( 5a ab) 1) ( 5x) +( y) +( 4x) ( 7y) ) ( 5 a) (+1 4 b) ( a)+(+1 b) ) ( 5x y)+(+x y) (+xy ) 7xy y 4) 1 a +(+ 1 ab) ( 1 9 ab)+a 5) ( w ) ( w )+ (+ 14 ) w (+ ) w
58 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL 6) 1 + 1 a 1 a EXERCICE 91 Réduire les expressions suivantes: 1) a + ab 1 a ( ab) 4) x + x ( 1 ) ( x) + ) a ( + b ) ( a)+b 5) ) 5x x ( 5 ( x ) + x ) 10 EXERCICE 9 Exprimer à l aide d un polynôme : (+ 1 x) ( 1 + 1 ) a ( 16 ) a + 1 a 6) m + m m 1) le périmètre d un rectangle de dimensions a et b; ) l aire totale des faces d un parallélépipède rectangle de dimensions x, y et z; ) le périmètre d un trapèze rectangle de bases a et b, de hauteur h et de côté oblique de longueur l; 4) la somme des aires de deux disques, l un de rayon a, l autre de rayon b; 5) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x, y et z; 6) l aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x, respectivement y (avec y > x). EXERCICE 9 Exprimer à l aide d un monôme ou d un polynôme : 1) le volume total d un corps formé de deux cubes, l un d arête x et l autre d arête y ; ) le périmètre d un triangle équilatéral de côté x ; ) l aire d un carré de diagonale d ; 4) l aire d un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite. Dans les exercices 94 à 97, développer puis réduire chacune des expressions : EXERCICE 94 1) ( x + 4y)+(x + 5y) ) (a b + c)+(a 5b 4c) ) (y 5y + )+(5y + y 4) 4) ( 4a a + )+( a + 7a 5)
.7. EXERCICES ÉCRITS 59 5) (5xy x y + xy)+(5xy xy + x y) 6) (a b + ab)+( 5a b + ab)+( 4a b ab) EXERCICE 95 1) (a + 5b) (7a + b) ) (x 4y + z)+(x y + z) ) (4a 7a + ) ( a + a ) 4) (4x x + 4)+( 4x 7x + 1) 5) (4ab 5a b) (ab + a b) 6) (a b ) (7a + b )+(a b ) EXERCICE 96 1) (5a b) (a + 7b) ) (x y + z)+(5x + y z) ) (5a + a 1) ( a + 7a ) 4) (x x + y)+(4x x y) 5) (4a b ab + ab) (4ab ab + ab) 6) (x 4y )+(x y ) (y + 4x ) EXERCICE 97 1) (x 7x + )+( 4x + 5x ) ) (7a a b + b )+( 4a + a b 7b ) ) x y + 7xy ( x y + xy ) 7x y + 10xy 4) (4a + a a + ) ( 7a + a 4a + )+(a a a 1) 5) (7w + z y) (4w z + y)+(w + z 5y) 6) (0,a 0,1a + a 4) ( 0,8a + 0,9a 1,a + 4) EXERCICE 98 Quel polynôme faut-il additionner au polynôme x 4x + 1 pour obtenir x +? EXERCICE 99 Quel polynôme faut-il soustraire du polynôme x x + 1 pour obtenir x 7 x + 5? EXERCICE 100 Quel polynôme faut-il soustraire du polynôme x 6x + pour obtenir x 11x + 1? EXERCICE 101 Quel polynôme faut-il additionner au polynôme 1 x + 1 pour obtenir 5 x + x + 1?
60 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 10 Quel polynôme faut-il soustraire du polynôme x + 9 pour obtenir x + 1? Dans les exercices 10 à 105, développer puis réduire chacune des expressions : EXERCICE 10 1) ( x) ( ( x + x)) ) 4a (b ( a + b) b) ) 5x ( y ( x (x y) y)+4x) y 4) w (w t) ( w (w +t)+w) t 5) a + 5 (a +(5 ( + a)) + 7a) 6) ( x + ( 7x + 4 (10 x )+x ) + 15 ) EXERCICE 104 1) a (( a + 5a) ( a)) a ) ( ( a + b) 4a) ( b) ) ( 5x y) (x ((x y) (x + y)) x) 4) 7a ( a ( 4a b) 5b ) b 5) ( ( ( 7a) 1) 1) 1 6) 7a b ( a b ( ab + a b ( ab ) ) + a b ) EXERCICE 105 1) a (ab + b ) 4) (7ab a ) ab ) a (5a b) 5) (4a b 7ab ) a ) 4x (5xy x ) 6) (a b) 7ab EXERCICE 106 Développer chacune de ces expressions: 1) xy (x y + x) 4) (ab 4ab ) a b ) 5y (y x y + 1) 5) (a a b 1) 4ab ) xy ( xy + x y x) 6) a (a b ab b ) b
.7. EXERCICES ÉCRITS 61 EXERCICE 107 Développer chacune de ces expressions: 1) x (xy + x) 4) ( 4a b) ( 4a + a b b ) ) (a b b) ab 5) (x y xy + y ) ( x ) ) x y (xy xy 1) 6) ab (a ab + b ) a Dans les exercices 108 à 110, développer puis réduire chacune des expressions : EXERCICE 108 1) (x + 5) (x 4) ) 4 (a + b)+ (4a b) ) 7 (x 4 + y 4 ) (x 4 + y 4 ) 4) 10 (ab bc) 5 (ab + bc) 5) 4 (5a b)+4 (a 5b) 6) (5a b + c)+ (a b + c) EXERCICE 109 1) (x 5) (x + 7) ) 5 (x y)+ (x + y) ) 4 (a + b ) (a b ) 4) 5 (xy y) 4 (xy y) 5) 4 (a b ac)+ (a b ac) 6) (x 4y 4) (x + y 1) 4 EXERCICE 110 1) a (a b) a (4a b) ) 7xy (x xy)+x (y y) ) z (z x) 4z (z x) 4) 5a b (a b + 4b ) 7b (a 4 a b) 5) x (y xy) xy (5x 4x ) 6) z w (z zw + 1)+zw (z zw 1) Dans les exercices 111 à 11, développer puis réduire chacune des expressions :
6 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 111 1) ab (ab 1)+( b + 5ab ) ab ) y ( y + 4x y) (x ) y ) ( w ) (w wz 1) ( wz + w) w 4) a ( b + 4a)+ 4 b (a 8 b) 5) 1 5 xy (5x + xy ) 5 x (10xy y ) 6) ( ab 4 b 1 ) ( 8 a 9 a + 4 ) ab 4 b EXERCICE 11 1) (a + b) 5 (a + b) ) ( x y) x x (x y) ) ( a + b) a a (a + b) 4) (w + t) w (4w + t) w 5) w + t w 4w + t w 6) (a b + c) 4 1 (a + b c) EXERCICE 11 1) (a b + a) a + a (a + b b) ) 1 ab 1 b b b (a b) ) (7x + x 10) x + 7x (x + ) 4) 4 (a b) a a (a + ab) 5) (7w y) w + 4w (w + 5y) 6) abc +(a + b + c) EXERCICE 114 Par quel monôme faut-il multiplier le polynôme 5x x 1 pour obtenir 15x 6x x? Dans les exercices 115 à 119, réduire chacune des expressions : EXERCICE 115 1) x 5 + x 6 ) 7x 4 ) x + x 4) x 4 + x x 1 5x x 5) 7x 4 4x 6) x ( x + x 9 )
.7. EXERCICES ÉCRITS 6 EXERCICE 116 1) 4x 5x 6 ) x 5 ) x 7 x + x 4) x 4 x + x 6 5) x ( 5x 9 6 + x ) 4 ( x 6) 5 x ) + x 15 EXERCICE 117 1) x + 4 4 + x ) x 4 x 5 ) x + 1 x 4) x 5 x + 1 + 5 4x 10 5) x 1 x + x + 1 6 6) x + 6 1x 4 4 + 6x + 9 7 EXERCICE 118 1) x + 5 x 5 ) x 4 ) 4x 4 4) x x 1 x 5) x 8 1 x 6) 4x + 8 8 + + 11x 6 x + 10 10 6x + 9 18 5 x 5 + 15 5x 0 EXERCICE 119 1) x + 5 + x 4) 4x y 7 ) 4a b + 5a + b 6 5) ab a ) 1 (a b) 1 (4a + b) 6) 4x + x + y 5a + ab 5 + 7x + 4 7 Dans les exercices 10 à 1, réduire chacune des expressions : EXERCICE 10 1) 4w z 7w 5 ) 4a a + b ) x y x 4) 4abc 7ab 5) 4w z 14 1ab 4 w z 7 6) x y 4x y + xy 9
64 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 11 1) 4w4 z 4 ) 5a b ) 4a 5c 5 z + w4 8 a + b 4 + a c 10 4) 4a b + 5) a + b 6) x4 y 4 5 a b 7 4a b 6 x4 + 1y 4 15 EXERCICE 1 x 5y x y 1) 4 ) ) 4) 7a b 14 x y + z 5 w v 8 5) x 7y 4 b 4a 7 w + v 6 + 5x y 6 + y + x 7z 10 + + y x 1b 5a + w 5v 4 7x + y 6 y z + x 0 6) 1 (a b)+4 5 (10a + b) 1 ( a + b) 5 Dans les exercices 1 à 18, développer chacune des expressions puis réduire le résultat : EXERCICE 1 1) 1 (a ab + b ) 7 4 (a 5ab + 1b ) ) 1 (x 4)+ 4 (x 8)+1 (x 6) 4x y ) ( x + y) 5 4) 1 ( ) a b a b + ( ) a + b 4 8 5) a + 1 4 (a 1) 5 ( ) a 6) x 1 1 ( ) x 5 + 1 (x ) 6 EXERCICE 14 1) (a + 1) (a + ) 4) (x + 4) (x + ) ) (x + y) (x + y) 5) (a + 1) ( + 4a) ) (a ) (a + 4) 6) (5s + 4) (5 + s)
.7. EXERCICES ÉCRITS 65 EXERCICE 15 1) (a b) (5a + b) 4) (a b) (5a + 4b) ) (a 4b) ( a + b) 5) (4a 5) (a + 1) ) (x 4) ( y + x) 6) (7c d) (d + c) EXERCICE 16 1) (a b) (a + b) 4) (7x y) (x + 5y) ) (5x y) ( x + y) 5) (a 7) (5a + 9) ) (4a b) ( b + a) 6) (9x y) (y + 5x) EXERCICE 17 1) (x 5) (x + 1) 4) (a b + a) (a b a) ) (5ab b) (ab 4b) 5) (y 5x) (x + 5y ) ) (x x) ( 4x + 5x ) 6) ( x 5y) ( x 4y ) EXERCICE 18 1) (1b ) (0,1b + 0,) ) (5a + b c) a 7a (1a + b) ) (a 7b) ( 7a + b ) 4) (5abc ab) (1ab 15abc) 5) (5ab + a b) ( 0,4a b + ab ) 6) ( 0,a b 7ab ) ( a b + ab ) EXERCICE 19 Soient les polynômes A = x + B = x C = 1 x + 1 Former les polynômes: 1) A 5B + 4C ) A (B + A) ) (A B) (A B)+AB ( B ( B A)) EXERCICE 10 Soient les polynômes A = x + 4 B = x 4 C = x 8x + 8 Former les polynômes 1) A B
66 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL ) B A ) A + 1 C EXERCICE 11 Soient les polynômes X = + 1 a Y = 5 a 4 Z = 4 a + 1 Former les polynômes 1) X ( Y ) ) X ( (X Y ) ( 4X Y )) + Y ) (X Y ) Z EXERCICE 1 Soient les polynômes A = x 5 B = x + 5 Former les polynômes 1) (A B) (A B) ) A ( B +(A + B)) ) AB +(A B) (A B) EXERCICE 1 Soient les polynômes 1) X = 1 a + a ) Y = a 1 4 a + 1 ) Z = a 1 Former les polynômes 1) Z Z ) Z + XY ) (X +Y ) (X +Y ) Z (X Y ) (X +Y ) Dans les exercices 14 à 17, développer chacune des expressions puis réduire le résultat : EXERCICE 14 1) (a 7b) (a + b 1) ) ( 4x + y z) (x y) ) ( 10a + b ) 4a 4 + b 4 + 7b ( b )
.7. EXERCICES ÉCRITS 67 4) (a 4 7a + a 1) (4a 4 a + a ) 5) ( 4x 7x + x) ( x + ) 7x (x x 4) 6) (1abc 7ab) ( 4abc + 1ab) ( 4a b c + 1a b ) EXERCICE 15 1) (x + x + 1) (x 1) 4) (x ) (x + x 1) ) (x + ) (x 4x + 4) 5) (a + b + 1) (a b) ) (a + ) (a + a 1) 6) (x y + 4) (x + y) EXERCICE 16 1) (x + 1) 4) (x y + 1) ) (x + y) 5) (x y 1) ) (a + b 4) 6) (a + b + c) EXERCICE 17 1) x (x ) (x + ) ) (x 1) (x + ) (x + ) ) (x + 1) (x 1) (x + ) 4) (x + ) (x ) 5) (x + 1) 6) (a + ) EXERCICE 18 Exprimer l aire de ce losange par une formule. x Dans les exercices 19 à 147, on supposera que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité. x + EXERCICE 19 Exprimer l aire et le périmètre de cette figure par des formules. 5 x y
68 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 140 Exprimer l aire et le périmètre de cette figure par des formules. y x EXERCICE 141 Exprimer par des formules l aire et le périmètre de la figure ombrée. x y EXERCICE 14 Exprimer par des formules l aire et le périmètre de la figure ombrée. x EXERCICE 14 Exprimer par une formule l aire et le périmètre de l étiquette recouvrant latéralement cette boîte de conserve. x x EXERCICE 144 Exprimer par une formule l aire de la surface ombrée. y y b EXERCICE 145 Un terrain rectangulaire est bordé par un chemin de largeur x et d aire A. a
.7. EXERCICES ÉCRITS 69 b a x On appelle L la longueur de la ligne pointillée qui suit le milieu du chemin. Montrer que EXERCICE 146 Exprimer l aire de cette figure par une formule. x A = L x. x x + a EXERCICE 147 Exprimer par une formule l aire de la surface ombrée. b F E D a ACDF est un parallélogramme BCEF est un carré EXERCICE 148 Calculer à l aide des produits remarquables: A B a C 1) 101 99 ) 69 5) 01 199 ) 49 51 4) 71 6) 7 68 EXERCICE 149 Calculer à l aide des produits remarquables: 1) 9 41 ) 19 5) 01 ) 1 4) 61 59 6) 18 EXERCICE 150 Calculer à l aide des produits remarquables: 1) 41 9 ) 5 47 5) 105 95 ) 41 4) 47 6) 105 Dans les exercices 151 à 15, développer chaque expression à l aide d une identité remarquable :
70 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 151 1) (x + 4) ) ( + b) 5) (x + y) ) (7a + b) 4) (b + x) 6) (x + 5y) EXERCICE 15 1) (x + 4y) ) (5x + 5y ) 5) (0,x + y) ) (a + 10b) 4) (ab + b ) 6) (5x + xy) EXERCICE 15 1) ( 1 a + b) 4) (a + 7) (a + 7) ) ( ) 1 5 x + 10y 5) ) (0,xy + 10x ) 6) (7a + 7 b) ( ) 1 x + y (y + 1 x ) Dans les exercices 154 à 159, développer chaque expression en utilisant une identité remarquable : EXERCICE 154 1) (w 4) ) (1 c) 5) (4b d) ) (6x y) 4) (t 4u) 6) (e 5d) EXERCICE 155 1) (4u 5v) ) (6a 6b ) 5) (0,1u 4t) ) (x 15y) 4) (ab 4b ) 6) (7d d) EXERCICE 156 1) ( 1 u v) 4) (1a 5) (1a 5) ) ( 1 4 x 1 ) y 5) ) (0,ab 10b ) 6) ( ) 1 4 a b ( 1 16 x 8xy 4 ( b + 14 ) a EXERCICE 157 1) (x y) (x + y) 4) (v 4t) (v + 4t) ) (x 4) (x + 4) 5) (10x + y) (10x y) ) (u + ) (u ) 6) (5z + 5) (5z 5) )
.7. EXERCICES ÉCRITS 71 EXERCICE 158 1) ( 1 a + b) (b 1 a) 4) (w +t) (t w ) ) (0,1x + y) ( 0,1x + y) 5) (8a + b) (8a b) ) (x + xy ) (x xy ) 6) (x 4 + y 6 ) ( y 6 + x 4 ) EXERCICE 159 1) (x + ) ) (x + y) 5) (y + 5) ) (x ) (x + ) 4) (a ) (a + ) 6) ( y) Dans les exercices 160 à 166, développer chaque expression en utilisant une des identités remarquables : EXERCICE 160 1) (a + ) ) (x + 5) 5) (a + 1) ) (y x) 4) (x 7) (x + 7) 6) (x + y) EXERCICE 161 1) (x ) 4) (x y) (x + y) ) (a b) (a + b) 5) (y ) ) (7x + 1) 6) (y + 5x) EXERCICE 16 1) (a b) 4) (7a b) (7a + b) ) (a + b) 5) (x 4y) (x + 4y) ) (x y) 6) (7w v) EXERCICE 16 1) (7x y) 4) (4a b) ) (a + b) 5) (7x 1y) ) (b 7c) 6) (x 7y) (x + 7y)
7 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 164 1) (a b) 4) ( b) ) (6a + b) 5) (x z) (x + z) ) (4a 7) 6) (10a 7b) EXERCICE 165 1) (a + b) 4) (x y ) (x + y ) ) (x + y) 5) (a b ) ) (x + y ) 6) (a b ) EXERCICE 166 1) (6a 4b ) 4) (y + x) ) (a 5 + 1) 5) (6x + 1) (6x 1) ) (x + y ) (x y ) 6) (x y ) Dans les exercices 167 à 17, développer chaque expression en utilisant une des identités remarquables : EXERCICE 167 1) (x + y ) (x y ) 4) (a 5 + b 5 ) ) (8a b ) 5) (x 4 + 1) (x 4 1) ) (10x + 1) 6) (x 4 y 4 ) EXERCICE 168 1) (0,1a b) 4) ( 4 5 xy 5 ) 4 ) ( 1 a + b) 5) ( 11 10 a 4 11 b) ) ( 1 b + a) (1 b a) 6) (7 0,7b) EXERCICE 169 1) ( 1 x y) 4) ( x 4 ) y ( x 4 ) + y ) (x + 1 ) 5) ( x 5 1) ) ( 7 x 4 y) ( 7 x + 4 y) 6) (1 4 a + 4 5 b)
.7. EXERCICES ÉCRITS 7 EXERCICE 170 1) (0,4a b) 4) ( x 1) (x + 1) ) (6x + 0,1) 5) (0,x + 0,4y) ) ( 5 x + 1 ) 6) (0,x 0,6y) (0,x + 0,6y) 4 EXERCICE 171 1) (x + 4) (x ) ) (x + ) (x 4) 5) (x 4) (x 40) ) (x 5) (x + 7) 4) (x 1) (x 1) 6) (x + ) (x ) EXERCICE 17 1) (x + 1) (x ) ) (x 9) (x ) 5) (x + 8) (x + ) ) (x + 7) (x 6) 4) (x + 5) (x + ) 6) (x 4) (x + 1) Dans les exercices 17 à 176, développer chaque expression en utilisant une des identités remarquables : EXERCICE 17 1) (x 5) (x + ) 4) (x + 100) (x + ) ) (x + 50) (x 10) 5) (x + 1) (x 11) ) (x 100) (x + 1) 6) (x + 15) (x 40) EXERCICE 174 1) (a x ax ) 4) (a b ) ) (x 5xy 4 ) 5) ( ) ( 1 a x 7a 7a + 1 ) a x ) (5a b + 7ab ) 6) (a 4 ab 4 ) ( ab 4 + a 4 ) EXERCICE 175 1) (x 4 y yx 4 ) 4) (4abc 7ab) ) (7a b a b ) 5) (ax 7bx) (ax 7bx) ) (a a ) 6) (a + b ) (b + a )
74 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 176 1) (4a b a b ) 4) (1a 4 11ab) (11ab + 1a 4 ) ) (x 4 y 1 xy4 ) 5) (x 4 y xy 4 ) ) (7a 1 7 ab ) 6) (a b ab ) EXERCICE 177 Effectuer les produits suivants: 1) (x + a) (x a) (x a ) ) (a 1) (a + 1) (4a + 1) ) (x 1) (x + 1) (x + 1) 4) (x + ) (x ) (x 4 + 16) (x + 4) 5) (x 1) (x + 1) (x 4 8) 6) (4a 4 + ) (a + 1) (a 1) EXERCICE 178 Effectuer les produits suivants: 1) (x + y) (x y) (4x + y ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ) a + b a b 4 a b ) (0,1w +t) (0,1w t) (0,01w +t ) 4) (a + 1) (a 1) (a + 1) (a 4 1) 5) (x + 6) (x 6) (x 10) 6) (x ) (4x + 10) (x + ) EXERCICE 179 Effectuer les produits suivants 1) (a + ) (a ) (9a 4) ( 1 ) x + y) ( 1 ) 9 x4 + y ( 1 x y) ) (x + 1) (x 1) (x + 1) (x 4 + 5) 4) (a + 1 b) ( 1 b a) ( 9a + 1 4 b ) 5) (x 6) (x + 6) (9x + 6) 6) (a 1) (a 1) (a + 1) (a + 1)
.7. EXERCICES ÉCRITS 75 EXERCICE 180 Soient les polynômes A = x + 1 B = x 1 Former les polynômes suivants 1) (A + B) AB B ) (A + B) (A + B) (A B) B ) 4 (A B) EXERCICE 181 Soient les polynômes X = b + a Y = a b Former les polynômes suivants 1) (X +Y ) (X Y ) ) X Y ) XY (X Y ) +(X +Y ) (X Y ) EXERCICE 18 Soient les polynômes 1) X = a ab ) Y = a + ab ) Z = a 4 + 9a b Former les polynômes suivants: 1) X X +Y ) XY Z ) 1 ( (X +Y ) (X Y ) ) 4 Dans les exercices 18 à 185, on supposera que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité. EXERCICE 18 ABCD est un trapèze isocèle. Exprimer son aire par une formule. x A, x + 1 B C
76 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 184 Exprimer par des formules l aire et le périmètre de cette couronne. x EXERCICE 185 Exprimer par des formules l aire et le périmètre de la figure ombrée. x EXERCICE 186 ABCD est un carré. Exprimer par une formule l aire de la surface ombrée. B A y x C y D EXERCICE 187 ABCD est un carré. Exprimer par une formule l aire de la surface ombrée. y x B A C x y D EXERCICE 188 ABCD et EFGH sont des carrés. Exprimer par une formulel airedelasurfaceombrée.
.7. EXERCICES ÉCRITS 77 B A F E k G H C ym ym D EXERCICE 189 Un terrain circulaire est bordé par un chemin de largeur x et d aire A. On appelle L la longueur du cercle pointillé qui suit le milieu du chemin. Montrer que A = L x O r x EXERCICE 190 ABCD est un carré. Exprimer par une formule l aire de la surface ombrée. B A x y C x y D Dans les exercices 191 à 195, utiliser la mise en évidence pour factoriser aussi complètement que possible : EXERCICE 191 1) x 4xy ) 4a 16ab 5) a 9ab ) a a 4) 5x y 15xy 6) 14ab 7ab EXERCICE 19 1) v 4 6vw ) 7x y 14xy 4 5) a 4 8a ) 4a b 8ab 4) 15a 4 5a 6) 44x xy 4
78 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 19 1) 8x yz 16x y z ) a 7a 4 5) x z x y ) 1a 4 4a 4 b 4) x 4 6xy 6) a 14b EXERCICE 194 1) a b 4ab + 8ab 4) ab 16a b + 4a b ) a 4 b 1a b + 9ab 4 5) 5t u 10tu + 15t u ) 7x 4 y 14x y 4 + 1xy 5 6) 1x 4 y 5 6x y + 169x 4 y 4 EXERCICE 195 1) 4a 7a + a 4) 0,4y 4 0,y + 0,6xy 5 ) 1 x 1 4 x + x 5) a7 b + a 1 b 4 7a 4 b 5 ) 7a b 14ab + 1a b 6) x 4 y 5 11x 6 y 14 + 1x 5 y 0 EXERCICE 196 Utiliser la mise en évidence pour factoriser aussi complètement que possible: 1) x 7 y 8 x 5 y 7 + x 11 y 4 x 6 y 1 4) 15a b 6a b + a 7 b ) 0,5a 4 b + 1 4 a5 b 6 b 7 5) 1 ab 1 9 a b ) x 4 10x 4 y + 15x y 6) 6a 5 b 48a 4 b + 1a b EXERCICE 197 Utiliser la mise en évidence pour factoriser aussi complètement que possible: 1) abc 7ab + a ac 4) am + 6a m 1am + 9a m 4 ) a 4 b + 6a 4 b 4 + ab 5 a 4 5) 4v z 16v z + 8vz 4 16vz ) 7x 14x y + 1x 4 6) 7a b c 14a b c + 8ab c EXERCICE 198 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) x + xy + y ) x 4 + x y + y 4 5) 9a 4 6a b + b 6 ) 4a + b + 4ab 4) 4a 4ax + x 6) x 8 x 4 y + y 6 EXERCICE 199 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) 4a 4ab + b ) a 4 + b a b 5) 9x 1xy + 4y ) 9a + 1ab + b 4) a + ab + b 6 6) 4x + 5y + 0xy
.7. EXERCICES ÉCRITS 79 EXERCICE 00 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) 9x 0xy + 5y 4 4) 9x 8 4x 4 y + 49y ) 49a 4 4a b + 9b 5) 4a 4 44a b + 11b ) 4a 6 16a b + 16b 4 6) 16x 8 + 81y 4 7x 4 y EXERCICE 01 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) a 1 ) a 6 4 5) x 4 5 ) 169 b 4) a b + 1 6) 144 + b 8 EXERCICE 0 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) 4x 9 ) w 1 4 5) 11 + x 4 ) 1 4 w 4) 5x 8 6) x 16 16 EXERCICE 0 Trouver deux nombres dont 1) le produit vaut 6 et la somme 5 ) le produit vaut 1 et la somme 7 ) le produit vaut 1 et la somme 8 4) le produit vaut 1 et la somme 1 5) le produit vaut 1 et la somme -7 6) le produit vaut -5 et la somme +4 EXERCICE 04 Trouver deux nombres dont 1) le produit vaut +10 et la somme -7 ) le produit vaut -9 et la somme +8 ) le produit vaut -8 et la somme - 4) le produit vaut +15 et la somme -8 5) le produit vaut +48 et la somme +14 6) le produit vaut +4 et la somme +11
80 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 05 Trouver deux nombres dont 1) le produit vaut +7 et la somme +8 ) le produit vaut -0 et la somme -8 ) le produit vaut -0 et la somme +1 4) le produit vaut +6 et la somme +1 5) le produit vaut -40 et la somme + 6) le produit vaut +8 et la somme -11 EXERCICE 06 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) x + 7x + 1 ) x 9x + 14 5) x 0x 1 ) x 4x 5 4) x 4x 1 6) x 10x 4 EXERCICE 07 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) x + 9x + 0 ) x x 0 5) x + 1x + 0 ) x + x 0 4) x 9x + 0 6) x 11x + 0 EXERCICE 08 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) x + 10x 4 ) x x 4 5) x 4x ) x 5x 4 4) x + x 4 6) 4a 4a 15 EXERCICE 09 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) 9a 4 16b 4) 9a 4b ) x + x 0 5) 0,01x 0,6xy + 9y ) 1 4 a + ab + 4b 6) x + 6x 16 EXERCICE 10 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) x + 4x 1 4) 9a + 6ab + b ) 1 4 a + 16b + 4ab 5) 9x 8 49y ) x + 4 6) 1 49 a6 7 a b + b
.7. EXERCICES ÉCRITS 81 EXERCICE 11 Factoriser à l aide des produits remarquables: 1) 100w + 10wt + 1 4 t 4) x 5 ) x + 5x 50 5) x 9x ) 64 + x 6) 9x 4 + 1 16 y x y EXERCICE 1 Factoriser aussi complètement que possible: 1) 4a + 8ab + 4b ) 1 4 a + ac + c 5) 4a 16ab + 16b 6 ) 16a 8ab + b 4) 5x + 10xy + 5y 6) 49a + 4ab + 9b EXERCICE 1 Factoriser aussi complètement que possible: 1) x x ) 18x 50y 5) x 10 x y 8 ) 45a 4 5b 4 4) a 5 ab 4 6) a 4 b 6 a 6 b 4 Dans les exercices 14 à 18, factoriser chaque expression aussi complètement que possible : EXERCICE 14 1) x 4x 16 4) x + x 8 ) x 16 5) 1 4 a6 49a 4 ) 9a 49 6) 0,01a 0,06ab 4 + 0,09b 8 EXERCICE 15 1) x 6x 40 ) x 5x 84 5) x 65 ) x 7 4) x 15x + 6 6) x 8 1 EXERCICE 16 1) 49a 5 8a 4 b + 4a b 4) 81a 4 x 16b 4 x ) 9a + 6a 8 + 6a 5 5) 16x 5 x ) x + 10x 168x 6) 4x y + 4x y 80xy
8 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 17 1) 4x 4 + 16y 4 4) 16x 4 18x + 56 ) 49x 9xy + 4x y 5) x 1x 54x ) 48x + 48x 1x 6) 1 4 x + 1 9 xy + 1 x y EXERCICE 18 1) 60x y + 50x + 18xy 4) x y 4xy + 6y ) 8x y + 6xy 84x y 5) 6x + 16 + x 4 ) 5x y + 0y 6) x 5 y 5 8xy EXERCICE 19 Simplifier autant que possible les fractions rationnelles suivantes: 1) ) x 15x ) 5x 5xy 7a xy 8ax y 5) 5a c 4 y 5a 7 c 6 y 4 4) 7x7 y 4 z 64x 5 y 5 z 4 6) 4a b 1 a 7 b 5 EXERCICE 0 Simplifier autant que possible les fractions rationnelles suivantes: 1) ax abx ) 4a bx 48a 5 b x 4 5) ax 6a ) 55x y 5xy 4) 0a7 b 4 0,a 10 b 5 6) 7a5 x 1 y 0 14a 4 xy 1 EXERCICE 1 Simplifier autant que possible les fractions rationnelles suivantes: 4a 5 1) 16a 4 ) a bx 6 x 6a b x 5) 15amx 5bmx ) 7abx 49a b x 4) 9a bc 7a bc 6) 57m n 19n Dans les exercices à 4, factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs : EXERCICE ax + ay 1) a ) 5 10 5x 5) x4 y + x y 4 x 4 y + x y ) x 9x 6x 4) x 4x 6xy 6) x + 6xy 6x y y
.7. EXERCICES ÉCRITS 8 EXERCICE 1) b x + a x bx ) ax a x ax 5) x + xy 4x y + 4xy ) x y y x x y 4) 4x7 y + x 6 y 4x y 6) x y 6 x y 6 x 4 y + x 5 y EXERCICE 4 1) x4 x y xy ) a x 6ay 9axy ) x ax + bx 4 5) 6a b a b 6a b 6a b 4) x4 + x y 4xy + 6y 6) x + y 6xy Dans les exercices 5 à 8, factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs : EXERCICE 5 1) x + y y + x ) a b b a EXERCICE 6 (a + b) 1) 6 (a b) (a + b) ) 6 x x ) xy + x y + y 4) 5) 4ax y + bx y 8ax + 4bx (a b) (a b) 6) x + xy xy y ) 9x 18x y x 5 6x 4 y 4) a b + a ab a b 6) 5) a + b (a + b) x 4 y 8x y 5 x 5 y 1x y 4 EXERCICE 7 a b 1) 4b 4a ) ) a (x + y) (y + x) (y + x) a ax + 4bx 6ay + by 4) xy 6x y 1xy 6y 5) 8x y 4x y 4 8x 4 y + 16x 5 y 6) 4ax + 8ax 4ax 6ax + 1ax 6a EXERCICE 8 x y 1) x + y ) a b b a ) x y + xy x + xy + y 5) x 4x + 4 x + x 6 4) a ab + b a b 6) a + ab + b a ab + b Dans les exercices 9 à, factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs :
84 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 9 1) a b ab a 1 ) x 1 x + x 1 ) 4) y 4a y + 4a + 4ay axy + ax x 4 + x y + y 4 6) 5) x 5x + 6 x 9 a 8a + 1 a 1a + 6 EXERCICE 0 4x 9y 1) 1x y + 18xy ) ) y 7 9 y 1 4a 4a 4a + 1 4) 4x 4x + 1 x 4x 6) 5) x y + 9 6xy x y 4xy + x 7x + 1 x + 8x 16 EXERCICE 1 1) x 7 x 6 ) 14a + 1b 4a + 9b + 1ab 4) ax + 8ax + 6ax 4x 4 + 4x + 6x 5) ) 4a x 16x 8ax 16x 6) abx abx + ab (x 1) a +(x 1) b 4a x a y ay 4axy + 4ax EXERCICE 1) 10x 10 5x + 5 4) ) x 6xy + y 9x 9y 5) ) a 4 14a + 0a a 4 x 10a x + 5a x 4x 6 x + 1x 18 4a + 1ab 6a 54ab 6) (x 1) (x4 + 6x + 9) x 4 + x EXERCICE Factoriser le numérateur ou le dénominateur puis simplifier les facteurs communs: 1) a + a a 4 + a 9a a 4) (a + 1) (4 a 4 ) ) x 16x + 8 x ) 8x y 18xy 1xy 8x y 6) 5) 4x4 y + 4x y + x y 4x y xy 4 x 4 + 6x + 4 x 4 (x + 1) 4 (x + 1) Dans les exercices 4 à 6, effectuer les produits et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible :
.7. EXERCICES ÉCRITS 85 EXERCICE 4 1) 4a b 8 ) x yz y xz z xy ) 4) 1x4 y z 4a bc 5) ( 4x ) a b 7x y z ( 7x 15y 5a b 7b xy 14xy 6) ( 4 ) a5 b 7 ) ( a1 x 4 ) ( y ) ( x y a 7 b 5 ) EXERCICE 5 ( ) xy 1) ( x y) 6x y ) 15ab 7a b 8a c 0ac 5) ) 7xyz 5ab 10a b 1y z ( 6) EXERCICE 6 1) 49xy 6ab 18a b 14x y ) 18x y 4 z 8,1a b 4 c,7a bc 4,5xy z 4) 4) 0,x4 y 1 10x 4 y 7 0a b 4 9a 4 x 7 1,u 4 v 5 0,4u 1 v 7 8u 4,8v 5 6) (xy) z 5ab ab xy 15z ( ) x ) ( 7x ) ( y 14yz ) y z x 4 5x y ab 5a y bx 4a x b Dans les exercices 7 à 9, effectuer les produits et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible : EXERCICE 7 1) x + y x y x y x + y ) a b 5a b b a ) x y z u z u x + y 4) b bc 0c 5b 4 10b 5) a b x y x xy + y a + b 6) x + 10x + 5 x 5 x x 5 EXERCICE 8 1) x 4y xy + y ) xy + 6y y 5) a ab + b a + ab + b y 4xy x ) x + 8x + 7 5x + 5 y y 9 x 4) x x + 8x x 8x + 16 ( ) a b 6) a b ab 6 a b a b ab 9 x 1 x + x + 1 x 4x x + 4 a b 4 a b + 4ab + 4
86 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 9 1) x 8xy 5x 10x x 6x y ) x + 4x + x x x x x x 5) 5x xy 5x xy y 5x y 10x x y y ) x y 5 16a a 4a + a xy + 5 4) x x 4 x x 4 x 4x + 4 6) 5b 10b 15b ab a 5ab b 6b + 9 Dans les exercices 40 à 4, effectuer les opérations et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible : EXERCICE 40 1) x y 16 a + a a 9a xy + 4 ) x x 4x 16 x + 4x x + x + x 5) b + b b b4 b b + 1 b 1 b + b + ) x + 4x + x x 4) x x + x (a b) ab + b a b + ab a b 4) 8x 8x + x 4x 4x + 8 x 4 4x (x x) EXERCICE 41 1) 1 x : 1 y ) 1 xy : xy ) x y : x 4) 7a b c 6 : 1ab c 5) a b c 6) bx 5ay : ab c : 6b a x EXERCICE 4 1) 8a :4a 4) b ) xy5 81 ) : 4y x 1a b 49x yz : 8ay 1b x 6) ( 64xyz ) : 8x y z 60abc 15a b 5) 8a bx 5x y 4x y 5ab : ab xy : 5a b y 0xy EXERCICE 4 Effectuer les divisions suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible 1) 1a4 b 4 7x 4 y 7 : 169a7 b 6 49x 1 y 4 4) 1,u4 v 5 (,4w 5 : 0,4u7 v 1 ) 1,7w 10 z ) 0,4a5 bc 7 6x 4 y 7 c 5 : 48a 1 b 4 4x 7 y 1 b 7 5) a b 5 ( 4x 7 y 9 : 6a6 b 10 ) 0,x 1 ) 7a5 b 4 ( x y 5 : 7a5 b 4 ) 9x y 7 6) 7a b 4 x 9 y 5 : b 7 49a7 9x 1 y 4 EXERCICE 44 Effectuer les divisions suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible
.7. EXERCICES ÉCRITS 87 1) (x y ) : x y x + y ) a ab x y ) 1 a a : 4) a 16 a + 6 : a a 8 a + 4 a x y 5) 4x 1 4x 1 : 1 x 16x 1 : a + a + 1 a + 6) xy + y 14x 7y : x 8y 16x 4y EXERCICE 45 Effectuer les divisions suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible 1) a b (ab) : a + b a ) 9x y 4 a ab : x + y a b a 4 4) 5) 6x 1 + 5b : 1a x 4a 5b 4 ) a + 1 a 1 : a + a + 1 a a + 1 a + a a + a 15 : a + 7a + 10 a + 10a + 5 4) x 1x y + 6xy x 1x y x 5xy : x 10xy + 5y EXERCICE 46 Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous une forme aussi simple que possible ( x ) x 0 1) x + x + 1 x x x 4x 5 x : + x 1 x x 10 ( x 6 x ) ) x + 6x + 9 : 4x x + 4x + 4 x 4x 1 x 9x ( xy y ) 1 : x xy x4 + x y x + y ) xy x 4 y 4
88 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 47 Réduire: Exercices récapitulatifs 1) 4 x y ( xy ) ) a (b ( 5 + a) 4) a ) (x y) ( x + y) 4) x + y x ( x + 4xy) 5) (x y) (x y) (x y) (5x + y) 6) 4x y (x )+x (5 + y) EXERCICE 48 Réduire: 1) z ( z ( 1 z ) ) z + z 4) a b a ba ) (x z) (x 1) (xz x 4 z ) 5) x ) (a b) a ba 6) EXERCICE 49 Réduire: 1) b (5a + ab (4a ab) 9b) ) (x 4 x + ) ( x + ) ) x (x x + 1) (x x) ( a 4) + 1 ) ( (a ) a 1 ) (a + 1 4 ) 5) x ((x ) (x )) 6) (x y) (x y)+(x y) x x + 14 x 7 9 x EXERCICE 50 Réduire: 1) 5x y (9x y 4 + 6) ) 4a (6a a )+a ) a (a + ) (a 1) 4) a + 1 a + a 1 5) a (a + 1) (a + 5a) a + a 6) x ( 4 5 y) ( 4 xy)+ x y
.7. EXERCICES RÉCAPITULATIFS 89 EXERCICE 51 Réduire: 1) ( 0,x 4 y) ) a ( 5a + b ( a (a b) a)) + b ) (a b) 4 5 (5a b) 4) (x y) (x y) ( x + y) (x y) 5) x y 7x (xy y ) xy 6) a b 5a + b 4 EXERCICE 5 Réduire: (a b) (5a b) 1) 4) (x ) (x ) (x + ) 5 ) ( a4 b c 0 ) 5) x (x 1) (x + 1) 4 ) 1 c (c ( 1 ) c + ) c 6) ( 4 x y 5 xy4 10 ) 1 x y EXERCICE 5 Réduire: 1) ( ) x y ( 6 ) 1x 5 ) 7x 14 x + 7 ( 7 ) 1 y 4) a (a 4 ) 7a 7 + 4a 5) (x + ) (x + 5) ) (x) (x ) 6) (x + x) EXERCICE 54 Réduire: 1) v (4t v) 6t ) a a (a + 5) ) a (b + a (b + a) b) a 4) (a + 4a + 8a + 16) (a 6) ( ) 5) (4a 4 5a b + b 6 ) ( 5a b 5 ) 6) (ab c d 5 ) (a b 5 c 4 d) ( 4a b c d) ( 7a 4 bc d ) EXERCICE 55 Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes 1) ( x) (7x)
90 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL ) a (b a (c a) b)+a ) (x + 4) (x 4) (9x 16) 4) (4x + ) (4x 4) (8x ) 5) a6 a 5 c 4 c c c a 5 a 4 6) x100 x 99 x 99 EXERCICE 56 Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes: 1) (b + b + b b b + b b) 4) (x ) (x + 1) (x 4) ) (a 7a ) : ( 1 a a) 5) x y 1 (x y + 1) ) a a 4x : 1 x a 6) x x 6x + 5 x 5 4x EXERCICE 57 Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes: 1) x x 4 ( ) 1 ) 4 ab (6x + 1 a) ) x 10x + 9 x 18x + 81 : x x 81 4) x + x x 1 x + x + 1 x + x ) (x 1) (x + x) 4) 1 (x 5)+1 5 ( x + 1) 1 (4x 6) 9
.7. EXERCICES POUR LES SCIENTIFIQUES 91 Exercices pour les scientifiques EXERCICE 58 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: 1) 1 x + y ) x y + y 5) x x y + y x ) 1 x + 1 y 4) xy x + xy y 6) x yz + y xz + z xy EXERCICE 59 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: 1) ) 1 x + 1 y x y + y x ) x x + y y 5) 1 x 1 x + x 4) b a ab 6) 5x xy + y x y y EXERCICE 60 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: 1) x + y x ) a + b a + x + y y b a b ) y x xz y x yz 4) a + b a 5) x 1 x 6) a b ab + a b ab x x 1 + b c bc + c a ac EXERCICE 61 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: 1) x y x y x 4y 4) x + y xy y + x xy ) a + b a ) a c 4ac b a b b c bc 5) 1 xy x y y + x y x 6) 4x 1 x 8x 10 5x 5 EXERCICE 6 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: x 1) x + y + y x 4) x + y x y y y x xy x y ) ) x x y y x y a a b b b a 5) 5x + y x + y + y x x + y 6) x 1 x 4x + x 1 + x x
9 CHAPITRE. CALCUL LITTÉRAL EXERCICE 6 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: y 1) x + y x x + 4x 4) x + y x x + 6 4 x x 6 ) b + a a + b + a b b + a ) 4x y y 5x x y y x y x x y 5) b + b (a b) 6) x 1 x + 5 x x 5 + x x 4 x 5 EXERCICE 64 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: x 1) x y x 4) a a + b b b a ) ) 1 a b 1 a + b 4 x 6 x 5) 6) 1 x 1 1 x + 1 + 1 1 x + 1 + x x + 1 EXERCICE 65 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: a 1) a b ab 1 a b 4) x y 1 x xy ) ) 1 x + y + y x y 5) a x a + a a x 6) x x + xy + y 5a a x a a + x y y x ax a x EXERCICE 66 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: a 1) x x + + a 4a x 4) 1 a 1 1 a a + 1 ) ) 4xy 4x y + x x + y x 1 + 8x 4x 1 x + 1 5) 6) y x y + x y + x 6xy 9x y 1 (x ) 16 (x 4) + 1 (x + ) EXERCICE 67 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu: 1) a 4 a + 6 a 6 a + 4 ) x + x + x x ) x + x + x + 1 x 4) x x + + x + x 5) x x x 15 x 9 6) 1 x + 5x + 6 + x + 1 x +
.7. EXERCICES POUR LES SCIENTIFIQUES 9 EXERCICE 68 Effectuer les opérations suivantes; simplifier le résultat s il y a lieu 1) x 1 x + x x 4) x + 1 x 5 1 x + 10 ) 1 4x 1 + 4x + 1 + 4x 4x 1 ) x 1 x 4 x + 1 x + 5) 6) x 4x 1 + x 4x + x + x + 8x x x x x 9 x 4x 6x