Termnale S Nombres Complexes Exercces Dvers,QCM, France 00-5 ponts QCM, se 009, 4 ponts QCM, ntlles 009, 5 ponts 4 4 QCM, Polynése rempl 005 - ponts 5 QCM, N Calédone nov 007-4 ponts 4 5 6 QCM d après des sujets de concours GEIPI 6 7 QCM, La Réunon 009, 4 ponts 6 8 Vra-Faux, Centres étrangers 009, 4 ponts 7 9 Basque, ntlles 007-5 ponts 7 0 Basque, ntlles 006-5 ponts 8 Basque, N Calédone 009 8 Basque, La Réunon 008 8 nd degré et barycentre, ntlles 00 9 4 nd degré, Polynése 996 9 5 nd degré, Inde, 996 0 6 Petts exos de base 7 Cours, C étrangers 006-4 ponts 8 Basque, STL France, Jun 006-5 ponts 9 Basque, m du Sud /008 0 Equaton, STL, France, Jun 006-6 ponts 4 Equaton, STL, France, jun 005-5 ponts 4 p/, STL, France, jun 005-5 ponts 4 Equaton, STL, France, sept 004-5 ponts 5 4 Rotatons, STL, France, sept 004-5 ponts 5 5 Classque, La Réunon 006-5 ponts 5 6 Système, STL, France, jun 004-5 ponts 6 7 Smltude, STL, France, jun 004-5 ponts 6 8 Transformaton? 6 9 Equaton 7 0 Cercles 7 Rotaton Carrés, rotatons et algnement 7 8 ROC+Equaton+Rotaton, Polynése 00, 5 pts 8 4 Système+parallélog ntlles 09/007, 5 pts 9 5 Barycentre, lgne de nveau 9 6 Barycentre + lgne de nveau, Polynése 004 0 7 Lgne de nveau, Centres étrangers 008 8 Lgne nveau+rotaton, Polynése 008 0 9 ème degré, barycentre, lgne de nveau 40 ème degré, rotaton, Pondcherry 00 4 ème degré+rotaton, France 007-5 ponts 4 Orthocentre, C étrangers 007-5 ponts 4 Produt scalare 44 Forme algébrque & trgo de p/ - 45 Forme algébrque & trgo de p/ - 4 46 Forme algébrque & trgo de p/ - 4 47 p/ 4, France remplt 007-5 ponts 4 48 Trgo, France 00, 5 pts 4 49 Equaton du second degré - 6 50 Equaton du second degré - 6 5 Médatrce - 6 5 Médatrce - 6 5 Sute géométrque 7 54 Sute arthmétco-géométrque, se 007-5 pts 7 55 Sute de carrés, se 000-5 ponts 8 Termnale S F Laroche 56 Inverson 8 57 Inverson, ntlles 005-5 ponts 9 58 Inverson, m du Sud 005 59 Inverson 4, se 06/008 9 9 60 Homographe, m du Nord 00 5 ponts 6 Homographe, France 009, 5 ponts 0 0 6 Homographe, Polynése sept 006-4 ponts 6 Homographe+ROC, se 006-4 ponts 64 Homographe 65 Homographe 66 Homographe, N Calédone 996 67 Homographe 4, mérque du Sud 00 68 Homographe 5, Centres étrangers 00 69 Homog+constructon, France et La Réunon 09/008 4 70 Homographe+cercles, France 00-5 ponts 7 Homographe, La Réunon 004-5 ponts 4 5 7 Carré 5 7 ROC+trangles, ntlles-guyane 5 ponts 6 74 Rotaton et sute, La Réunon sept 00, 5 pts 6 75 Rotaton, France, sept 00, 5 pts 6 76 Rotaton, se 009 7 77 Rotatons, m du Nord 009 7 78 Rotaton+Cercle, Pondcherry 009 8 79 ROC + Smltude, Polynése 009, 5 ponts 9 80 Homothéte+rotaton, Polynése, nov 00, 5 pts 9 8 Rotaton et homothéte 40 8 Homothétes 40 8 Rotaton-translaton 4 84 Rotatons, Pars 996 4 85 Vargnon, N Calédone 004-4 ponts 4 86 ème degré+hyperbole, m Nord 004-5 pts 4 87 Conjugué, Centres étrangers 004-4 pts 88 ROC+homographe, La Réunon 00, 5 pts 4 4 89 Transf + ROC, Pondcherry 007, 5 pts 4 90 Transf+médatrce, C étrangers 005-5 pts 9 Foncton complexe, France 009, 5 ponts 44 44 9 Transf non lnéare, Lban 007-5 pts 45 9 Transformaton, ntlles 008 46 94 Foncton carré, Lban 009, 5 ponts 47 95 f()=²+, N Calédone 00-5 pts 48 96 f()=², Polynése 004-5 pts 48 97 Napoléon, ntlles 004-5 pts 49 98 f()=² 4+6, Polynése 004 49 99 Projecton orthogonale, m du Sud 00 00 f(m)=mmb, ntlles 00 50 50 0 Hyperbole+rotaton, Polynése 09/005-7 pts 5 0 Conque 5 0 Sprale 5 04 Courbe paramétrée+conque (prog 985) 5 05 Hyperbole et complexes 5 06 Bssectrce (recherche) 07 Brapport 5 5 08 Trangles équlatéraux, m du Sud 99 54 09 Somme de dstances, se 00, 5 ponts 55 http://larochelyceefreefr
0 Produt de dstances, C étrangers 99 55 Logarthme complexe, EFREI 00 55 Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
Dvers,QCM, France 00-5 ponts Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère les ponts et Ω d affxes respectves : a= + + et ω = + On appelle r la rotaton de centre Ω et d angle et h l homothéte de centre Ω et de rapport Placer sur une fgure les ponts et Ω, l mage B du pont par r, l mage C du pont B par r et l mage D du pont par h On note b, c et d les affxes respectves des ponts B, C et D Le tableau c-dessous content une sute de 8 affrmatons, dont chacune débute dans la premère colonne et s achève sur la même lgne colonne, colonne ou colonne 4 Le canddat dot se prononcer sur chacune de ces affrmatons Pour cela l dot remplr le tableau de la feulle annexe, en fasant fgurer dans chacune des cases la menton VRI ou FUX (en toutes lettres) a ω = 4 arg( a ω ) = Ω = ( v, C) arg 5 6 4 ω = ( ) 5 b d = a d 6 Le pont D est : ( ω ) ( ) 47 6 6 v, CΩ a+ b+ c a+ b+ c b l mage de Ω par la translaton de vecteur Ω l mage de Ω par l homothéte de centre et de rapport l mage de Ω par la rotaton de centre B et d angle 6 Réponses Réponses Réponses 4 Réponses 5 Réponses 6 Réponses nnexe QCM, se 009, 4 ponts L exercce comporte quatre questons ndépendantes Pour chacune d entre elles, tros réponses sont proposées dont une seule est exacte Il s agt de détermner la bonne réponse et de justfer le chox ans effectué Un chox non justfé ne rapporte aucun pont Toutefos, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Queston La soluton f de l équaton dfférentelle y + y = 6 qu vérfe la condton ntale f(0) = est défne sur l ensemble R des nombres réels par : x Réponse (): f ( x) e x = + Réponse (): f ( x) = e + Réponse (): f ( x) e Termnale S F Laroche = http://larochelyceefreefr x
Queston On consdère un trangle BC et on note I le pont tel que IB+ IC = 0 Les ponts G, I et sont algnés lorsque G est le barycentre du système : Réponse () : {(, ), (C, )} Réponse () : {(, ), (B, ), (C, )} Réponse () : {(, ), (B, ), (C, )} Queston Dans l espace mun d un repère orthonormal ( O;, j, k ), on consdère le plan P d équaton cartésenne : x y+ = 5 et le pont ( ; ; ) Le projeté orthogonal du pont sur le plan P est le pont : Réponse () : H ( ; ; 4) Réponse () : H (4 ; ; 4) Réponse () : H ( ; 0 ; ) Queston 4 La valeur moyenne de la foncton f défne sur l ntervalle [0 ; ] par ( ) Réponse () : QCM, ntlles 009, 5 ponts Réponse () : 4 f x = est égale à : + x Réponse () : Dans chacun des cas suvants, ndquer s l affrmaton proposée est vrae ou fausse et justfer la réponse Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) Sot le pont d affxe, le pont B d affxe 4 et l ensemble E des ponts M d affxe tels que = + 4 ffrmaton : E est la médatrce du segment [B] Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) c a On consdère tros ponts, B et C deux à deux dstncts, d affxes respectves a, b et c, tels que = b a ffrmaton : appartent au cercle de damètre [BC] e On consdère le nombre = 7 ffrmaton : 009 est un nombre réel postf 4 On consdère tros ponts, B et C non algnés de l espace Le pont G est le centre de gravté du trangle BC On note F l ensemble des ponts M vérfant M+ MB+ MC = 6 ffrmaton :F est la sphère de centre de G et de rayon 5 L espace est mun d un repère orthonormal ( O;, j, k ) S est la sphère d équaton x + y 5 = 0 ffrmaton : Le plan P coupe la sphère S suvant un cercle 4 QCM, Polynése rempl 005 - ponts x + y + = 5 P est le plan Pour chacune des questons, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Dans tout l exercce, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Le pont M est stué sur le cercle de centre ( ; 5) et de rayon Son affxe vérfe : a + 5 = ; b + 5 = ; c + 5 = Termnale S 4 F Laroche http://larochelyceefreefr
On consdère tros ponts, B et C d affxes respectves a, b et c, deux à deux dstncts et tels que le trangle BC n est pas équlatéral Le pont M est un pont dont l affxe est telle que les nombres complexes b et c sont magnares purs c a b a a M est le centre du cercle crconscrt au trangle BC ; b M appartent aux cercles de damètres respectfs [C] et [D] ; c M est l orthocentre du trangle BC Sot et B les ponts d affxes respectves + et 5 + 4, et C un pont du cercle de damètre [B] On appelle G l sobarycentre des ponts, B et C et on note G son affxe a G 5,5 = ; b 6 5 QCM, N Calédone nov 007-4 ponts G ( + ) = (4+ ) ; c G (+,5 ) = (4+ ) Pour chaque queston, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte 0,5 pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect d orgne O Une soluton de l équaton + = 9+ est : a b c + Sot un nombre complexe ; + est égal à : a + b c + + Sot un nombre complexe non nul d argument θ Un argument de est : a + θ b + θ c θ 4 Sot n un enter naturel Le complexe ( ) n + est un magnare pur s et seulement s : a n = b n = 6k +, avec k relatf c n = 6k avec k relatf 5 Soent et B deux ponts d affxe respectve et l ensemble des ponts M d affxe vérfant = + est : a la drote (B) b le cercle de damètre [B] 6 Sot le pont d affxe c la drote perpendculare à (B) passant par O L ensemble des ponts M d affxe = x+ y vérfant + = 4 a pour équaton : a y = x+ x + y = 5 c = + 5e θ avec θ réel b ( ) 7 Soent et B les ponts d affxes respectves 4 et L affxe du pont C tel que le trangle BC sot socèle avec ( B, C ) = est : a 4 b 8 L ensemble des solutons dans C de l équaton = est : c 7 + 4 a { } b L ensemble vde c { ;+ } Termnale S 5 F Laroche http://larochelyceefreefr
6 QCM d après des sujets de concours GEIPI Dans chaque queston sont proposées pluseurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vrae ou fausse Il n y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque queston Donner pour chaque queston les réponses vraes et les réponses fausses Chaque résultat exact rapportera des ponts, chaque résultat nexact entraînera une pénalté Une absence de réponse ne sera pas consdérée comme un résultat nexact S le total des ponts, pour une queston est négatf, ce total sera ramené à 0 Pour tous nombres complexes et non nuls, on a : a + b S = alors c S = ' alors = ou = d + ' = + ' On consdère les complexes a= et b= + a Re( ) = ab= e b Il exste un enter n non nul tel que a n est un réel c Il exste un enter n non nul tel que a n et b n sont tous deux des enters d Le pont d affxe a est l mage du pont B d affxe b par une rotaton de centre O e θ Pour tout réel θ de [0 ; [ on pose Z( θ ) = + lors : a Z( ) = e b Pour tout θ de [0 ; [, Z ( θ ) = Z ( θ ) c Pour tout θ de [0 ; [, Z( θ ) e est réel θ d L ensemble des ponts Mθ ( ) d affxe Zθ ( ) est un cercle de rayon 4 Sot a un réel de ] ; e[ et (E) l équaton d nconnue : e dont les affxes sont les solutons de (E) lors : a Les ponts M et N sont symétrques par rapport à l axe des abscsses b Les ponts M et N sont stués sur le cercle de centre O et de rayon c Il n exste aucune valeur de a telle que M et N sont symétrques par rapport à O d S est le pont d affxe, on a M < 7 QCM, La Réunon 009, 4 ponts lna+ = 0 On appelle M et N les ponts Cet exercce est un questonnare à chox multple (QCM) Pour chaque queston une seule des propostons est exacte Le canddat portera sur la cope, sans justfcaton, la lettre correspondant à la réponse chose Il est attrbué un pont s la réponse est exacte, aucun pont n est enlevé pour une réponse nexacte ou une absence de réponse Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Sot (E) l ensemble des ponts M d affxe vérfant : = + e θ, θ étant un nombre réel a (E) est une drote passant par le pont d affxe b (E) est le cercle de centre d affxe + et de rayon c (E) est le cercle de centre d affxe et de rayon d (E) est le cercle de centre d affxe et de rayon 5 Sot f l applcaton du plan qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' = a f est une homothéte b Le pont d affxe est un antécédent du pont d affxe c f est la rotaton de centre le pont d affxe + et d angle Termnale S 6 F Laroche http://larochelyceefreefr
d f est la rotaton de centre le pont d affxe et d angle Sot (F) l ensemble des ponts M d affxe vérfant + = + + Soent les ponts, B et C d affxes respectves, + et a C est un pont de (F) b (F) est la médatrce du segment [B] c (F) est la médatrce du segment [C] d (F) est le cercle de damètre [B] 4 On consdère dans l ensemble des nombres complexes l équaton + = 7+ Cette équaton admet : a Deux solutons dstnctes qu ont pour parte magnare b Une soluton réelle c Deux solutons dont une seule a pour parte magnare d Une soluton qu a pour parte magnare 8 Vra-Faux, Centres étrangers 009, 4 ponts Pour chacune des propostons suvantes, ndquer s elle est vrae ou fausse et justfer la réponse chose Dans le cas d'une proposton fausse, on pourra donner un contre-exemple ( ) Pour tout complexe, Re( ) Re( ) = Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Pour tout nombre complexe non nul, les ponts M d'afîïxe, N d'affxe et P d'affxe appartennent à un même cercle de centre O Pour tout nombre complexe, s + = alors la parte magnare de est nulle 4 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Quels que soent les nombres complexes et non nuls, d'mages respectves M et M' dans le plan complexe, s et vérfent l'égalté + ' = ', alors les drotes (OM) et (OM ) sont perpendculares 9 Basque, ntlles 007-5 ponts ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe Sot le pont d affxe + = + u pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que ' ( ) On pose = x+ y et ' = x' + y' avec x, y, x et y réels a Démontrer les égaltés suvantes : x' = ( x+ y) et y' ( x y) à la drote (O) = + En dédure que le pont M appartent b Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que M =M c Démontrer que pour tout pont M du plan les vecteurs MM' et O sont orthogonaux Sot r la rotaton de centre O et d angle M est le pont d affxe mage de M par r, M le pont d affxe =, M le pont d affxe tel que le quadrlatère OM M M sot un parallélogramme a Dans cette queston unquement M a pour affxe 4 +, placer les ponts M, M, M, M b Exprmer en foncton de, pus en foncton de c OM M M est-l un losange? Justfer d Vérfer que ' = En dédure que MM' = OM Démontrer que les ponts M, M, M et M appartennent à un même cercle de centre O s et seulement s MM' = OM Termnale S 7 F Laroche http://larochelyceefreefr
Donner alors la mesure en radans de l angle géométrque M' OM 0 Basque, ntlles 006-5 ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère les ponts d affxe a, a R ; B d affxe b +, b R ; C mage de B dans la rotaton de centre et d angle a Détermner une relaton entre a et b pour que le pont C appartenne à l axe ( O; v ) b Exprmer alors l affxe du pont C en foncton de a Dans cette queston, on pose a= et b = 0 On consdère les ponts C d affxe c = et D d affxe d = + a Quelle est la nature du trangle BC? b Calculer le quotent d a ; que peut-on en dédure pour le trangle CD? c a c Détermner l affxe du pont E mage de D dans la rotaton de centre et d angle d Détermner l affxe du pont F mage de D dans la translaton de vecteur C e Détermner la nature du trangle BEF Basque, N Calédone 009 4 ponts Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) Termnale S 8 F Laroche drect d unté graphque cm On consdère les ponts et B d affxes respectves = et B = + 4 Sot C et D les ponts d affxes respectves C = + ( ) et D ( ) = + + L objet de l exercce est de proposer une constructon géométrque des ponts D et C a Montrer que l mage du pont B par la rotaton de centre et d angle est le pont D b En dédure que les ponts B et D sont sur un cercle (C) de centre dont on détermnera le rayon Sot F, l mage du pont par l homothéte de centre B et de rapport a Montrer que l affxe F du pont F est b Montrer que le pont F est le mleu du segment [CD] C F c Montrer que = En dédure la forme exponentelle de F précédentes que la drote (F) est la médatrce du segment [CD] C F F Dédure des questons Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, sera prse en compte dans l évaluaton Proposer un programme de constructon pour les ponts D et C à partr des ponts, B et F et réalser la fgure Basque, La Réunon 008 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Sot (C) le cercle de centre O et de rayon On consdère le pont de (C) d'affxe = e http://larochelyceefreefr
Détermner l'affxe B du pont B mage de par la rotaton de centre O et d'angle Détermner l'affxe C du pont C mage de B par la rotaton de centre O et d'angle a Justfer que (C) est le cercle crconscrt au trangle BC Construre les ponts, B et C sur la feulle de paper mllmétré b Quelle est la nature du trangle BC? Justfer Sot h l'homothéte de centre O et de rapport a Compléter la fgure en plaçant les ponts P, Q et R mages respectves des ponts, B et C par h b Quelle est la nature du trangle PQR? Justfer 4 Dans cette queston le canddat est nvté à porter sur sa cope les étapes de sa démarche même s elle n'aboutt pas a Donner l écrture complexe de h b Calculer + B + C En dédure que est le mleu du segment [QR] c Que peut-on dre de la drote (QR) par rapport au cercle (C)? nd degré et barycentre, ntlles 00 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton d nconnue : + 8 + 64= 0 On consdère les ponts et B qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a= 4 4 et b= 4 + 4 Calculer les dstances O, OB et B En dédure la nature du trangle OB On désgne par C le pont d affxe c= + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe d du pont D 4 On appelle G le barycentre des ponts pondérés (O ; ), (D ; ) et (B ; ) a Montrer que le pont G a pour affxe g = 4 + 6 b Placer les ponts, B, C, D et G sur une fgure (unté graphque : cm) c Démontrer que le quadrlatère OBGD est un parallélogramme 5 a Justfer l égalté c g = + a g b En dédure une mesure en radans de l angle ( G, GC ) Que peut-on en dédure concernant la nature du trangle GC? 4 nd degré, Polynése 996 Parte Sot P le polynôme défn sur C par: Résoudre dans C l'équaton P() = 0 GC, ans que la valeur du rapport G P( ) = + + 4 Écrre les solutons sous forme trgonométrque Parte B Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect (unté 4 cm) Soent, B et C les ponts d'affxes respectves a =, b = + et c= Placer les ponts, B et C sur une fgure Sot a b Z= c b Termnale S 9 F Laroche http://larochelyceefreefr
a Interpréter géométrquement le module et un argument de Z b Écrre Z sous forme algébrque et sous forme trgonométrque c En dédure la nature du trangle BC ans qu'une mesure, en radans, de l'angle ( BC, B) Calculer l'are du trangle BC en centmètres carrés 5 nd degré, Inde, 996 a Démonstraton de cours : étuder la résoluton dans C de l équaton réels avec a non nul b Résoudre l équaton postve a + b+ c= 0, a, b, c étant tros + 4= 0 On appellera et les solutons, ayant sa parte magnare c Donner la forme exponentelle de et pus celle de Dans le plan complexe mun d un repère othonormal ( O, u, v) d affxe ( + ), M d affxe ( ) et d affxe = d unté cm, on consdère les ponts M a Détermner l affxe du pont M mage de M par l homothéte h de centre et de rapport b Détermner l affxe 4 du pont M 4 mage de M par la rotaton r de centre O et d angle c Représenter les ponts O,, M, M, M, M 4 d Calculer Que peut-on en conclure? 4 Termnale S 0 F Laroche http://larochelyceefreefr
6 Petts exos de base j O Sur la fgure c-dessus placer les ponts suvants : Termnale S F Laroche 4 ( + ), B( ), C(+ ), D( ), E(+ ), F( + ), G( ), H( e ), K( e ) 4 4 Lre sur la fgure le module et l argument de chacun des complexes correspondants Fare le calcul pour B, D, G, H 4 Détermner la forme algébrque et la forme exponentelle des conjugués de B, D, G, H 5 Calculer ( ) ( ) ( ) 5 6 C,,( ) ( ) 4 E K H 6 Calculer les complexes E et B E ; détermner leurs modules Calculer B module et son argument, en dédure l angle des vecteurs E et EB E E, détermner son 7 On fat une rotaton de centre O et d angle sur les ponts E, et B S E, et B sont leurs mages, ' quelles sont les affxes de ces tros ponts Que vaut alors 8 On veut construre un trangle rectangle socèle BM dont l hypothénuse est [B] Lre sur la fgure les affxes possbles des ponts M Donner une méthode pour trouver les ponts M, l applquer B' E' E'? http://larochelyceefreefr
9 Soent =, = et =, calculer,,,,,, a = + et b = ( ) 0 Sot f la transformaton du plan qu à M d affxe assoce M d affxe tel que : = 4 + 6 Détermner l unque pont nvarant de f et en dédure la nature et les éléments caractérstque de f Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) Dans chacun des cas suvants, détermner l ensemble des ponts M d affxe tels que : a + = + b ( )( + ) = Sot le complexe Z= + a Ecrre Z sous forme exponentelle b Reprendre la forme ntale de Z pour détermner sa forme algébrque c Dédure des questons précédentes les valeurs exactes de 5 5 cos et sn α et β sont des réels fxés Mettre chacun des complexes suvants sous forme trgonométrque : cosα + snα ; snβ cosβ 4 Mettre le complexe suvant sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque : (+ ) 5 Utlser une formule d Euler pour exprmer sn x en foncton de snx et snx 6 Dre, sans justfer s chacune des affrmatons a), b), c) est vrae ou fausse Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) On consdère les ponts, B et C d affxes respectves : = +, B= + et C = cos + sn a On a arg( C ) = b L écrture algébrque de B est + + c L écrture trgonométrque de est cos sn + B 7 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) On consdère les ponts ( ), B (), C(+ ) et D( + ) a Précser les affxes des mleux des segments [ C ] et [ BD ] Que peut-on en dédure pour le quadrlatère BCD? b Interpréter géométrquement le module et un argument de C D B Calculer c Dédure du b les proprétés vérfées par les dagonales de BCD Quelle est la nature de BCD? 7 Cours, C étrangers 006-4 ponts Parte : resttuton organsée de connassances Prérequs : On rappelle les deux résultats suvants : () S est un nombre complexe non nul, on a l équvalence suvante : ( cosθ snθ ) = r = r + arg = θ à près r 0 C D B 5 Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
Termnale S F Laroche ( ) ( ) cos a+ b = cosacosb snasnb () Pour tous nombres réels a et b : sn a+ b = snacosb+ snbcosa Soent et deux nombres complexes non nuls Démontrer les relatons : = et arg( ) = arg( ) + arg( ) à près Parte B Pour chaque proposton, ndquer s elle est vrae ou fausse et proposer une démonstraton pour la réponse ndquée Dans le cas d une proposton fausse, la démonstraton consstera à fournr un contre-exemple Une réponse sans démonstraton ne rapporte pas de pont On rappelle que s est un nombre complexe, désgne le conjugué de et désgne le module de S = +, alors 4 est un nombre réel S + = 0, alors = 0 S + = 0, alors = ou = 4 S = et s + =, alors = 0 8 Basque, STL France, Jun 006-5 ponts Parte Pour tout nombre complexe, on note ( ) P = 4 + 8 8 Calculer P() Vérfer que, pour tout nombre complexe, P() peut s écrre sous la forme ( ) ( )( 4) P = + Résoudre, dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton + 4= 0 En dédure les solutons, dans l ensemble C des nombres complexes, de l équaton P() = 0 Parte B Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque : cm) On consdère les ponts, B et C d affxes respectves : a =, b = +, c= a Placer les ponts, B et C dans le plan complexe b Démontrer que les ponts, B et C sont sur un même cercle Γ de centre O c Construre le cercle Γ Détermner un argument du nombre complexe b En dédure une mesure de l angle ( O, OB) est la nature du trangle OB? 9 Basque, m du Sud /008 Quelle 5 ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), on consdère les ponts, B, C d affxes respectves a = +, b = +, c = 4 Montrer que le trangle BC est socèle en Sot I le mleu de [BC] et I son affxe a Quel est l ensemble des ponts M du plan dstncts de dont l affxe est telle que x I b Détermner l unque réel x tel que sot un réel x c Sot l affxe du vecteur I I ; donner une forme trgonométrque de I I sot un réel? http://larochelyceefreefr
a Sot G le pont d affxe Montrer qu l exste deux rotatons de centre G, dont on détermnera les angles, telles que les mages de et I par ces rotatons soent toutes deux sur l axe des réels b Sot r la rotaton de centre G et d angle de mesure Termnale S 4 F Laroche Détermner l écrture complexe de r 4 4 Sot, B et C les mages respectves de, B, et C par la rotaton r ; soent a, b et c leurs affxes Quelle est l mage par r de l axe de symétre du trangle BC? En dédure que b' = c' 0 Equaton, STL, France, Jun 006-6 ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque cm) On consdère un polynôme P défn par ( ) P = + 6 où est une varable complexe a Détermner les nombres réels a, b et c tels que P( ) ( )( a b c) b Résoudre dans C l équaton P() = 0 = + + + On consdère les ponts et B d affxes respectves : = et B = + a Écrre sous forme trgonométrque pus sous forme exponentelle les nombres et B b Placer dans le plan P les ponts et B c Quelle est la nature du trangle OB? On consdère la transformaton T du plan P dans lu-même qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' = e a Caractérser géométrquement la transformaton T b Détermner sous forme trgonométrque et sous forme algébrque l affxe du pont mage de par la transformaton T c En dédure les valeurs exactes de cos et sn Equaton, STL, France, jun 005-5 ponts On désgne par le nombre complexe de module et d argument Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante, en donnant les solutons sous forme algébrque : + + = 0 On consdère les nombres complexes : = + et = a Écrre sous forme trgonométrque b Construre avec précson dans le repère ( O; u, v) lassera apparents les trats de constructon 7 On appelle D le pont d affxe = et K le pont d affxe 4 = a Montrer que les ponts, B et D appartennent à un cercle C de centre K les ponts et B d affxes respectves et On b Montrer que le pont K est le mleu du segment [D] c Dans le repère ( O; u, v) placer les ponts K et D et tracer le cercle C Détermner la nature du trangle BD p/, STL, France, jun 005-5 ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque 4cm a Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton solutons sous forme algébrque et sous forme trgonométrque + 4 = 0 Donner les http://larochelyceefreefr
b Représenter dans le plan P les ponts d affxe et B d affxe + c Démontrer que le trangle OB est équlatéral On consdère l applcaton R de P dans P qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que ' = e 4 a Caractérser géométrquement l applcaton R b Placer le pont mage du pont par R c Calculer sous forme trgonométrque pus sous forme algébrque l affxe du pont d En dédure les valeurs exactes de cos et sn Equaton, STL, France, sept 004-5 ponts Résoudre dans C l équaton 4 + 6 = 0 Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) d unté graphque cm Sot les ponts, B et C du plan complexe d affxes respectves = + ; = et = 6 a Calculer le module et un argument de et B b Construre les ponts, B et C c Calculer B d Quelle est la nature du trangle OB? (justfer la réponse) a Écrre C sous forme algébrque b Montrer que C est le mleu du segment [O] 4 Quelle est la nature du trangle BC? (justfer la réponse) 4 Rotatons, STL, France, sept 004-5 ponts Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm On note le nombre complexe de module et d argument Dans P, les ponts et B ont pour affxes respectves 8 et 8 On appelle D l mage de par la rotaton R de centre O et d angle R de centre O et d angle B C e et C l mage de B par la rotaton a Quelles sont les fonctons f et f de C dans C assocées respectvement aux rotatons R et R b Calculer les affxes des ponts C et D a Montrer que les ponts, B, C et D appartennent à un même cercle C dont on précsera le centre et le rayon Tracer le cercle C dans le plan P et représenter les ponts, B, C et D b Quelle est la nature du trangle OCD? On note a l affxe du vecteur D et b celle du vecteur BC Montrer que b = a En dédure que le quadrlatère BCD est un trapèe 5 Classque, La Réunon 006-5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), l unté graphque est cm On désgne par le nombre complexe de module et d argument complétera au fur et à mesure des questons + On réalsera une fgure que l on Termnale S 5 F Laroche http://larochelyceefreefr
Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton algébrque Résoudre dans C l équaton Termnale S 6 F Laroche 4 = Écrre la soluton sous forme + 4= 0 Écrre les solutons sous forme exponentelle Soent, B, et D les ponts du plan complexe d affxes respectves : a =, b = 4, a = et d = + Quelle est la nature du trangle ODB? 4 Soent E et F les ponts d affxes respectves e= et f = + Quelle est la nature du quadrlatère OEF? 5 Sot C le cercle de centre et de rayon Sot C le cercle de centre et de rayon Sot r la rotaton de centre O et d angle + a On désgne par E l mage par la rotaton r du pont E Calculer l affxe e du pont E b Démontrer que le pont E est un pont du cercle C c Vérfer que : e d ( )( e d) = + En dédure que les ponts E, E et D sont algnés 6 Sot D l mage du pont D par la rotaton r Démontrer que le trangle EE D est rectangle 6 Système, STL, France, jun 004-5 ponts + ' = Résoudre le système suvant d nconnues complexes et : ' = + On donnera les solutons sous forme algébrque Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm a Placer dans le plan les ponts, B et C d affxes respectves =, B = et C = + b Calculer les modules des nombres complexes : B C et B Donner une nterprétaton géométrque de ces résultats c On note I le mleu du segment [C] Précser l affxe du pont I pus calculer la dstance BI d Détermner l are en cm du trangle BC 7 Smltude, STL, France, jun 004-5 ponts Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), unte graphque cm désgne le nombre complexe de module et dont un argument est À tout pont M d affxe du plan complexe, on fat correspondre le pont M d affxe tel que ( ) Determner le nombre complexe tel que = ' = + On consdère les ponts et B d affxes respectves = et B = + a Détermner les affxes des ponts et B Que peut-on dre du pont? b Placer les ponts, B et B dans le repère( O; u, v) c Démontrer que le trangle BB est un trangle rectangle et socèle a Vérfer l égalté : ' ( ) = + b Sot C le pont d affxe C = + Interpréter géométrquement et ( ) + c Dédure des questons précédentes l ensemble (D) des ponts M d affxe vérfant ' = et tracer (D) dans le repère précédent 8 Transformaton? tout nombre complexe on assoce le nombre complexe égal à f( ) = (( + 4) + 5 ) 6 http://larochelyceefreefr
Calculer f(), f() et f( 4) f( ) Exprmer ' = à l ade de et de + En dédure que est réel pour tout complexe 9 Equaton Sot (E) l équaton complexe : 0 + = Démontrer que = x + y avec x et y réels est soluton de (E) s et seulement s : x x y + = 0 (x ) y= 0 En dédure la résoluton de l équaton (E) dans C 0 Cercles Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque 4 cm, on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves a, b, et c telles que : a =, b = +, c = + = a On note Γ le cercle de damètre [B] a Placer sur une fgure les ponts, B, C et le cercle Γ b Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trgonométrque c Sot r la rotaton de centre O telle que r () = B Détermner l'angle de r et le pont r (B), mage de B par r d Détermner l'mage Γ du cercle Γ par r ; placer Γ' sur la fgure On consdère un nombre θ dans ]0 ; [ dstnct de ; on note M le pont d'affxe = + e θ On désgne par M' l'mage de M par r, et on appelle ' l'affxe de M' a Montrer que M est un pont de Γ dstnct de et de B b Exprmer ' en foncton de Calculer en foncton de θ les affxes u et u' des vecteurs BM et θ c Etablr la relaton u= u'tan Termnale S 7 F Laroche BM' d Prouver que les ponts B, M et M' sont algnés Placer sur la fgure un pont M et son transformé M' Rotaton Dans le plan complexe P mun d'un repère orthonormal ( O; u, v), (unté graphque : cm), on note B et C les ponts d'affxes respectves et Sot R la transformaton du plan P qu, à tout pont M d'affxe, assoce le pont M d'affxe telle que ' = e Placer les ponts B et C dans le plan P et donner l'écrture de leurs affxes respectves sous la forme exponentelle ( re θ ) Précser la nature et les éléments caractérstques de la transformaton R Détermner, sous la forme exponentelle, les affxes des mages respectves B et C par la transformaton R des ponts B et C Placer B et C dans le plan P Que peut-on dre du pont B? Que peut-on dre des ponts B et C relatvement à l'axe des abscsses? 4 a En utlsant les ponts B et C, détermner et construre l'ensemble D des ponts M d'affxe telle que + = b Détermner l'mage D par la transformaton R de l'ensemble D http://larochelyceefreefr
Carrés, rotatons et algnement Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) On consdère tros ponts dstncts, B et C d'affxes respectves a, b et c a Interpréter géométrquement l'argument du quotent c a b a b Montrer que, B et C sont algnés s et seulement s c a est un nombre réel b a Placer sur une fgure (unté graphque : cm) les ponts, B et C d'affxes respectves a =, b =, c = 4+ Montrer, à l'ade de la proprété précédente, que les ponts, B et C sont algnés On consdère les ponts, B, C,, B, C tels que les quadrlatères O, OB B B, OC C C soent des carrés drects a Tracer les carrés O, OB B B, OC C C b Donner les affxes a et b des ponts et B pus les affxes a et b des ponts et B c À l'ade de la rotaton de centre O et d'angle, calculer l'affxe c de C à l'ade de c d En dédure que les ponts, B et C sont algnés 4 a Détermner le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C, ), (C, )} sot C (Rappel : le barycentre G du système (, α ),(B, β ), est tel que αg+ βbg+ = 0 ) b Calculer l'affxe c de C c Montrer que les ponts, B, C sont algnés ROC+Equaton+Rotaton, Polynése 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Parte - Resttuton organsée de connassances Prérequs Sot un nombre complexe tel que = a + b où a et b sont deux nombre réels On note le nombre complexe défn par = a b Questons a Démontrer que, pour tous nombres complexes et, ' = ' n b Démontrer que, pour tout enter naturel n non nul, et tout nombre complexe, ( ) n Parte B On consdère l équaton (E) : 4 = 4 où est un nombre complexe = Montrer que s le nombre complexe est soluton de l équaton (E) alors les nombres complexes et sont auss solutons de l équaton (E) On consdère le nombre complexe 0 = + a Écrre le nombre complexe 0 sous forme exponentelle b Vérfer que 0 est soluton de l équaton (E) Dédure des deux questons précédentes tros autres solutons de l équaton (E) Parte C Soent, B, C et D les ponts d affxes respectves : = + ; = + ; = et = B C D Termnale S 8 F Laroche http://larochelyceefreefr
Sot r la rotaton du plan de centre C et d angle de mesure celle du pont D par r Détermner l écrture complexe de la rotaton r a Démontrer que l affxe du pont E, notée E, est égale à + b Détermner l affxe F du pont F c Démontrer que le quotent Termnale S 9 F Laroche E F est un nombre réel d Que peut-on en dédure pour les ponts, E et F? 4 Système+parallélog ntlles 09/007, 5 pts Parte ( ) α + = + Détermner le complexe α tel que α = 4+ On appelle E l mage du pont B par r et F Pour tout nombre complexe, on pose f ( ) = ( + ) + ( 4+ ) Montrer que ( ) la forme ( α )( α ) En dédure les solutons (sous forme algébrque) de l équaton ( ) 0 Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O; u, v), unté graphque 5 cm f s écrt sous f = On consdère les ponts et B d affxes respectves a= + et b= + Placer et B dans le repère et compléter la fgure au fur et à mesure Montrer que b= a, en dédure que le trangle OB est un trangle socèle rectangle tel que ( O, OB) = On consdère le pont C d affxe un trangle socèle rectangle tel que ( OC, OD) c= + Détermner l affxe du pont D tel que le trangle OCD sot = On pourra conjecturer l affxe de D à l ade de la fgure pour trater la queston suvante Sot M le mleu du segment [BC] On appelle D Prouver que OM = D 4 Donner une mesure en radans de ( D, OM) 5 Prouver que OM = D OM et et les affxes respectves des vecteurs OM D 6 On appelle J, K et L les mleux respectfs des segments [CD], [D] et [B] On admet que le quadrlatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que c est un carré 5 Barycentre, lgne de nveau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect (O; u, v), unté graphque cm a Donner l écrture algébrque du nombre complexe de module et dont un argument est b Résoudre dans C l équaton = 4 On donnera la soluton sous forme algébrque On désgne par I, et B les ponts d affxe respectves, et + a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Calculer l affxe Z C du pont C mage par de la symétre de centre I http://larochelyceefreefr
c Ecrre sous forme algébrque le nombre complexe nombre ; ans qu une nterprétaton géométrque C B B En dédure le module et un argument de ce d Sot D le pont d affxe Z D telle que D C = B, montrer que BCD est un carré Pour tout pont M du plan, on consdère le vecteur M+ MB+ MC+ MD a Exprmer le vecteur M+ MB+ MC+ MD en foncton du vecteur MI b Montrer que le pont K défn park+ KB+ KC + KD= B est le mleu du segment [D] c Détermner l ensemble Γ des ponts M du plan tel que : M+ MB+ MC+ MD = B Construre Γ 6 Barycentre + lgne de nveau, Polynése 004 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), unté graphque : cm On désgne par, B et I les ponts d affxes respectves : = +, B = et I = a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Écrre sous forme algébrque le nombre complexe trangle IB? I Z = I B Que peut-on en dédure sur la nature du c Calculer l affxe C du pont C mage de I par l homothéte de centre et de rapport d Sot D le barycentre du système {(, ) ; (B, ) ; (C, )} ; calculer l affxe D du pont D e Montrer que BCD est un carré Détermner et construre l ensemble Γ des ponts M tels que M MB+ MC = M+ MC On consdère l ensemble Γ des ponts M du plan tels que : M MB+ MC = 4 5 a Montrer que B appartent à Γ b Détermner et construre l ensemble Γ 7 Lgne de nveau, Centres étrangers 008 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) ; l'unté graphque est cm Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équaton sous forme algébrque, pus sous forme trgonométrque + 4+ 8 = 0 On donnera les solutons On note et B les ponts du plan d'affxes respectves : a= et b = a Placer ces ponts sur un graphque qu sera complété au fl de l'exercce a Détermner l'affxe c du pont C, mage du pont B par la rotaton de centre O et d'angle b On note D l'mage de C par la rotaton de centre et d'angle ; démontrer que l affxe d du pont D est d = 6 c Placer les ponts C et D sur le graphque Quelle est la nature du quadrlatère BCD? α étant un nombre réel non nul, on désgne par G α le barycentre du système : {(, );( B, );( C, α )} a Exprmer le vecteur CG α en foncton du vecteur B Termnale S 0 F Laroche http://larochelyceefreefr
b En dédure l'ensemble des ponts G α lorsque α décrt l'ensemble des réels non nuls Construre cet ensemble c Pour quelle valeur de α a-t-on G D α =? 4 On suppose dans cette queston que α = Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d'ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Détermner et construre l'ensemble des ponts M du plan tels que M MB+ MC = 4 8 Lgne nveau+rotaton, Polynése 008 4 ponts Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l équaton 6+ = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d'unté graphque cm On consdère les ponts, B, C d'affxes respectves a=, b= +, c= 4 Fare une fgure et placer les ponts, B, C Montrer que OBC est un parallélogramme 4 Détermner l'affïxe du pont Ω, centre du parallélogramme OBC 5 Détermner et tracer l'ensemble des ponts M du plan tels que MO+ M+ MB+ MC = 6 Sot M un pont de la drote (B) On désgne par β la parte magnare de l'affxe du pont M On note N l'mage du pont M par la rotaton de centre D et d'angle a Montrer que N a pour affxe 5 5 β + b Comment chosr β pour que N appartenne à la drote (BC)? 9 ème degré, barycentre, lgne de nveau On consdère dans C l'équaton d'nconnue Z : (E) a Vérfer que 8 est soluton de cette équaton Z Z + 48Z 8= 0 Détermner les nombres réels α, β, γ tels que, pour tout complexe Z, Z Z + 48Z 8 = ( Z 8)( αz + βz+ γ) b Résoudre l'équaton (E) ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan orenté, l'unté graphque est cm On consdère les ponts, B, C d'affxes respectves a =, b= +, c= 8 a Calculer le module de a (noté a ) et son argument θ Placer les tros ponts, B et C b Calculer le complexe trangle BC a c q=, détermner son module et son argument θ En dédure la nature du b c c Détermner le barycentre D des ponts pondérés (, a ), (B, b ), (C, c ) Placer D d Détermner l'ensemble E des ponts M du plan tels que M+ MB+ MC = M+ MB MC Tracer E 40 ème degré, rotaton, Pondcherry 00 Premère parte On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante : (E) + 6 = 0 Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
Montrer que est soluton de (E), pus que (E) peut s écrre sous la forme : ( )(a + b + c) = 0, où a, b et c sont tros réels que l on détermnera En dédure les solutons de l équaton (E) sous forme algébrque, pus sous forme exponentelle Deuxème parte Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O;, j) Placer les ponts, B et D d affxes respectves =, B = et D = + Calculer l affxe C du pont C tel que BCD sot un parallélogramme Placer C Sot E l mage de C par la rotaton de centre B et d angle D et d angle a Calculer les affxes des ponts E et F, notées E et F b Placer les ponts E et F 4 a Vérfer que : F E = b En dédure la nature du trangle EF et F l mage de C par la rotaton de centre 5 Sot I le mleu de [EF] Détermner l mage du trangle EB par la rotaton de centre I et d angle 4 ème degré+rotaton, France 007-5 ponts Parte On consdère l équaton : (E) ( ) ( ) 4+ + + 4 = 0 où est un nombre complexe Démontrer que le nombre complexe est soluton de cette équaton Détermner les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe on at : En dédure les solutons de l équaton (E) ( 4 ) ( 4 ) ( )( ) + + + = a + b+ c Parte B Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), on désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, + et Sot r la rotaton de centre B et d angle 4 Détermner l affxe du pont, mage du pont par la rotaton r Démontrer que les ponts, B et C sont algnés et détermner l écrture complexe de l homothéte de centre B qu transforme C en 4 Orthocentre, C étrangers 007-5 ponts I Resttuton organsée de connassances Démontrer qu un nombre complexe est magnare pur s et seulement s = Démontrer qu un nombre complexe est réel s et seulement s = Démontrer que pour tout nombre complexe, on a l égalté : = Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé drect ( O; u, v) orthonormé drect On se propose de démontrer, à l ade des nombres complexes, que tout trangle de sommets, B, C, deux à deux dstncts, d affxes respectve a, b, c, et dont le centre du cercle crconscrt est stué à l orgne O, a pour orthocentre le pont H d affxe a +b +c II Étude d un cas partculer Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
On pose : a = +, b = +, c= 5 5 Vérfer que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC Placer les ponts, B, C et le pont H d affxe a + b + c, pus vérfer graphquement que le pont H est l orthocentre du trangle BC III Étude du cas general BC est un trangle dont O est le centre du cercle crconscrt, et a, b, c sont les affxes respectves des ponts, B, C Justfer le fat que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC s et seulement s : aa = bb = cc On pose w = bc bc a En utlsant la caractérsaton d un nombre magnare pur étable dans le I, démontrer que w est magnare pur b Verfer l égalté : ( b c)( b c ) b+ c w + = w et justfer que : = b c b c c En dédure que le nombre complexe b + c est magnare pur b c Sot H le pont d affxe a + b + c a Exprmer en foncton de a, b et c les affxes des vecteurs H et CB b Prouver que ( CB, H ) = + k, k Z (On admet de même que ( C, BH ) = + k, k Z c Que représente le pont H pour le trangle BC? 4 Produt scalare Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) et sont deux nombres complexes et on pose : ϕ (, ') = ' + ' et ' désgnent les conjugués respectfs de et 6 Calculer : ϕ (, ) ; ϕ ( +, + ), ϕ ( +, + ), ϕ e, e Montrer que pour tout couple (, ) le nombre ϕ (, ) est réel a On pose = x + y et = x + y ; x, y, x, y réels Calculer ϕ (, ) en foncton de x, x, y, y b Détermner l'ensemble D des ponts M d'affxe tels que ϕ (, + ) = Dessner D a On pose et cos(θ θ ) re θ = et b Exprmer ϕ (, ') en foncton de r ' ' = r' e θ ; θ et θ réels, r et r réels postfs Calculer ϕ (, ) en foncton de r, r c Détermner l'ensemble C des ponts M d'affxe tels que ϕ (, ') = d Dessner C dans le repère( O; u, v) Que peut-on dre de la poston relatve de C et D? Justfer la réponse 44 Forme algébrque & trgo de p/ - Dans le plan rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves : Z 6 =, ZB =, Z a Écrre Z C sous forme algébrque C Z = Z B b Détermner le module et un argument de Z et de Z B c Écrre Z C sous forme trgonométrque ; en dédure les valeurs exactes de cos et de sn Termnale S F Laroche http://larochelyceefreefr
Sot I le pont d'affxe Z I = a Quelle est la nature du trangle OIB? b Détermner les mages de I et B dans la rotaton de centre O et d'angle En dédure la nature du trangle OC 45 Forme algébrque & trgo de p/ - 6 Sot les nombres complexes : = et = a Mettre sous forme trgonométrque, et Termnale S 4 F Laroche Z = 6 + 6 b En dédure que cos = et sn = 4 4 c On consdère l équaton d nconnue réelle x : ( ) x ( ) 6 + cos + 6 snx= Résoudre cette équaton dans R et placer les ponts mages des solutons sur le cercle trgonométrque 46 Forme algébrque & trgo de p/ - Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal ( O ;, j ) et C d'affxes respectves = +, = et = (+ ) + a Calculer le module et un argument du nombre complexe W = b En dédure la nature du trangle BC a Écrre le nombre complexe B B C sous forme algébrque On consdère dans P les ponts, B b Écrre les nombres et B sous forme trgonométrque En dédure la forme trgonométrque de c À l'ade des deux questons précédentes donner les valeurs exactes de cos et sn 47 p/ 4, France remplt 007-5 ponts Sot les nombres complexes : = + 6, = + et Écrre Z sous forme algébrque Donner les modules et arguments de, et Z En dédure cos et sn Z = 4 Le plan est mun d un repère orthonormal ; on prendra cm comme unté graphque On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, et Z Placer le pont B, pus placer les ponts et C en utlsant la règle et le compas (on lassera les trats de constructon apparents) 5 Écrre sous forme algébrque le nombre complexe 007 Z 48 Trgo, France 00, 5 pts Dans le plan complexe mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère le pont d affxe et le cercle C de centre O passant par Dans tout l exercce on note α le nombre complexe α = + et α le nombre complexe conjugué du nombre complexe α C B B http://larochelyceefreefr B
a Démontrer que α 4α = α 8 b Démontrer que les ponts B et C d affxes respectves α et α appartennent au cercle C Sot D un pont du cercle C d affxe e θ où θ est un nombre réel de l ntervalle ] ; ] + a Construre sur la fgure donnée c-dessous le pont E mage du pont D par la rotaton r de centre O et d angle b Justfer que le pont E a pour affxe E e θ = α Soent F et G les mleux respectfs des segments [BD] et [CE] a Justfer que le pont F a pour affxe F b On admet que le pont G a pour affxe α = + e θ queston a En dédure que le trangle FG est équlatéral G θ αe + α = Démontrer que G F α = On pourra utlser la 4 Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton À l ade d un logcel de géométre dynamque, on conjecture qu l exste une poston du pont D, défn à la queston, pour laquelle la longueur du coté F du trangle FG est mnmale On admet que F = 4 cosθ + snθ f x = x+ x Le tableau c- On consdère la foncton f défne sur l ntervalle [ ; + ] par ( ) 4 cos sn dessous donne les varatons de la foncton f sur l ntervalle [ ; + ] Permet-l de valder la conjecture? Justfer Compléter ce tableau de varatons Termnale S 5 F Laroche http://larochelyceefreefr
x 6 5 6 f 49 Equaton du second degré - On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : Termnale S 6 F Laroche + 4= 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres,, Ecrre sous forme algébrque et On consdère dans le plan les ponts (+ ), B( ), C( + ) et D( ) a Représenter les ponts, B, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère BCD? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, B et C d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de BCD? c Quelles sont les affxes des vecteurs B et C? Montrer que les drotes (B) et (C) sont perpendculares 50 Equaton du second degré - α étant un nombre réel appartenant à l'ntervalle [0 ; ] et un nombre complexe, on consdère le polynôme P(), défn par : P( ) = ( sn α) + ( sn α) a Calculer P() b En dédure l'exstence de tros réels a, b, c tels que P( ) = ( )( a + b+ c ) Détermner a, b et c c Résoudre, dans C, l'équaton P() = 0 On consdère tros nombres complexes : = ; = snα + cosα ; = snα cosα Détermner le module et un argument de chacun de ces nombres complexes, et 5 Médatrce - Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal( O; u, v) Sot (D) l'ensemble des ponts M de (P) d'affxe vérfant () : = + En écrvant = x + y, montrer par le calcul que (D) est une drote dont on donnera une équaton On se propose dans cette queston de vérfer le résultat du Sot le pont d'affxe et B le pont d'affxe + a Placer et B dans le repère ( O; u, v) b En nterprétant géométrquement la relaton () à l'ade des ponts et B, re-démontrer que (D) est une drote Tracer (D) c Retrouver alors par le calcul l'équaton de (D) obtenue au 5 Médatrce - Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v ), unté graphque : cm Placer les ponts B et D d'affxes respectves B = +, D = On complètera la fgure dans les questons suvantes Montrer que le trangle ODB est un trangle équlatéral, http://larochelyceefreefr