Chapitre 14. Produit scalaire dans l espace. Orthogonalité

Chapitre 14. Produit scalaire dans l espace. Orthogonalité I. Produit scalaire dans le plan. Rappels de 1ère S 1) Les différentes expressions du produit scalaire dans le plan On rappelle ici sans démonstrations les principaux résultats sur le produit scalaire dans le plan établi en classe de première S. a) avec le cosinus Soient u et v deux vecteurs du plan. Si u 0 et v 0, le produit scalaire de u et v est Si u= 0 ou v = 0, le produit scalaire de u et v est v = u v cos( u, v). v =0. b) en projetant orthogonalement Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Soit O un point du plan. Soient et les points du plan tels que u= O et v = O. Soient est le projeté orthogonal de sur la droite(o) et K est le projeté orthogonal de sur la droite(o). K O u Le produit scalaire des vecteurs u et v est v = O. O= O. O= OK. O. e plus, si le vecteur O est nul, O. O=0 et si le vecteur O n est pas nul, O. O=O O si les vecteurs O et O sont de mêmes sens et O. O= O O si les vecteurs O et O sont de sens contraires. insi, dans le cas où les vecteurs u et v ne sont pas nuls ou encore dans le cas où les points et sont distincts du point O, v v v O u O= u O u v = O O v =0 v =O O On note que le produit scalaire de u et de v est strictement positif si l angle non orienté entre les vecteurs u et v est aigu, est strictement négatif si l angle non orienté entre les vecteurs u et v est obtus et est nul si l angle non orienté entre les vecteurs u et v est droit. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr

c) avec des coordonnées en repère orthonormé Soit(O, i, j)un repère orthonormé du plan. Soient u et v deux vecteurs du plan. On suppose que le vecteur u a pour coordonnées(x,y) dans le repère orthonormé(o, i, j)et que le vecteur v a pour coordonnées(x,y ) dans le repère orthonormé(o, i, j). lors v =xx +yy. d) avec des carrés de normes ou des carrés de distances Soient u et v deux vecteurs du plan. ou aussi v = 1 2 ( u+ v 2 u 2 v 2 ), 1 v = 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ), Si on pose u= et v = C, on obtient 2) Carré scalaire. Norme d un vecteur v =. C= 1 2 (2 +C 2 C 2 ). Si u est un vecteur du plan, le carré scalaire de u est aussi le carré de la norme de u : u 2 = u= u 2. Si(O, i, j)est un repère orthonormé du plan et si u a pour coordonnées(x,y) dans ce repère et donc aussi 3) Vecteurs orthogonaux u 2 = u= u 2 =x 2 +y 2, u = u. u= x2 +y 2. Soient u et v deux vecteurs du plan. u et v sont orthogonaux si et seulement si v =0. Si u= 0 ou v = 0, on a v =0. Mais il est possible d avoir u 0 et v 0 et v =0. On redit que l égalité v =0 est équivalente au fait que les vecteurs u et v sont orthogonaux. 4) Propriétés algébriques du produit scalaire dans le plan Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k, on a : v = v. u, (k u). v = (k v)=k( v) ( v+ w)= v+ w, et par suite, on a les identités remarquables ( u+ v) 2 = u 2 +2 v+ v 2, ( u v) 2 = u 2 2 v+ v 2, ( u+ v).( u v)= u 2 v 2. 5) Relations métriques dans le triangle c  b a Ĉ C Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr

Formule d l-kashi : a 2 =b 2 +c 2 2bccosÂ. ire du triangle C : S= 1 2 bcsinâ= 1 2 absin = 1 2 acsinĉ. Formule des sinus : a b sinâ= sin = c abc sinĉ= 2S II. Produit scalaire dans l espace 1) éfinition du produit scalaire dans l espace =2R, où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle C. éfinition 1. Soient u et v deux vecteurs de l espace. Soient, et C trois points de l espace tels que : u= et v = C. Il existe au moins un plan P contenant les points, et C. L unité de longueur dans P étant la même que celle choisie dans l espace, on pose : v =. C et u = u 2 =. Commentaire 1. Le plan P est uniquement défini si les points, et C ne sont pas alignés. Commentaire 2. La valeur de v dans la définition ci-dessus ne dépend pas du choix des points, et C. En effet, si on choisit trois autres poins, et C tels que u= et v = C, on a :. C = 1 2 ( 2 + C 2 C 2 ) = 1 2 (2 +C 2 C 2 )=. C= v. Commentaire 3. Comme dans le plan, le carré de la norme de u est aussi le produit scalaire de u par lui-même et le produit scalaire de u par lui-même est appelé le «carré scalaire de u» et se note u 2 : pour tout vecteur u, u= u 2 = u 2. 2) Orthogonalité de deux vecteurs dans l espace On généralise à l espace la notion de vecteurs orthogonaux : éfinition 2. Soient u, v deux vecteurs. u et v sont orthogonaux v =0. 3) Propriétés algébriques du produit scalaire dans l espace Théorème 1. Pour tous vecteurs u, v et w et tout réel k, on a : v = v. u, (k u). v = (k v)=k( v). ( v+ w)= v+ w. Commentaire. Les deux premières propriétés sont immédiates car on peut penser les deux vecteurs u et v dans un plan. On admettra la troisième propriété c est-à-dire la possibilité de distribuer. Puisqu on a le droit de distribuer, comme dans le plan, on a les identités remarquables : Théorème 2. Pour tous vecteurs u et v, on a : u+ v 2 =( u+ v) 2 = u 2 +2 v+ v 2 = u 2 +2 v+ v 2. u v 2 =( u v) 2 = u 2 2 v+ v 2 = u 2 2 v+ v 2. ( u+ v).( u v)= u 2 v 2 = u 2 v 2. 4) ifférentes expressions du produit scalaire dans l espace On peut maintenant donner les différentes expressions du produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : a) Expression du produit scalaire avec des coordonnées éfinition 3. Soit(O, i, j, k) un repère de l espace. (O, i, j, k) est un repère orthonormal (ou orthonormé) de l espace si et seulement si les vecteurs i, j et k sont de norme 1 et deux à deux orthogonaux. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr

Théorème 3. Si les vecteurs u et v ont respectivement pour coordonnées(x,y,z) et(x,y,z ) dans un repère orthonormal de l espace, alors v =xx +yy +zz. u 2 = u 2 =x 2 +y 2 +z 2 et aussi u = x 2 +y 2 +z 2. émonstration. Soit(O, i, j, k) un repère orthonormal. Par définition, et après le théorème 1, on a alors i. j = i. k= j. k=0, i. i = i 2 =1= j. j = k. k. v =(x i +y j +z k).(x i +y j +z k) =xx i. i +xy i. j +xz i. k+yx j. i +yy j. j +yz j. k+zx k. i +zy k. j +zz k. k =xx +yy +zz. En particulier, quand u= v, on obtient u 2 =x 2 +y 2 +z 2. Exemple. Si u et v ont pour coordonnées respectives(2, 1,3) et(0,4,5) dans un certain repère orthonormal de l espace, alors et v =2 0+( 1) 4+3 5=11, u 2 = 2 2 +( 1) 2 +3 2 = 14. b) Expression du produit scalaire avec un cosinus Théorème 4. Soient u et v deux vecteurs de l espace. Si u= 0 ou v = 0, v =0. Si u 0 et v 0, v = u v cos( u, v) où( u, v) désigne l angle non orienté entre u et v. Exercice 1. L espace est rapporté à un repère orthonormé(o, i, j, k). On considère les points (2,1,0) et ( 1,1,3). Calculer une valeur approchée à 10 1 près de l angle ÂO. Solution. On a cosâo=cos O. O ( O, O)= O O. Les vecteurs O et O ont pour coordonnées respectives(2, 1, 0) et( 1, 1, 3). O. O=2 ( 1)+1 1+0 3= 1. O= 2 2 +1 2 +0 2 = 5 et O= ( 1) 2 +1 2 +3 2 = 11. onc, cosâo= 1 5 11 = 1 55. La calculatrice fournit alors ÂO=97,7 à 10 1 près. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 4 http ://www.maths-france.fr

c) Expression du produit scalaire avec des projetés orthogonaux Soient u et v deux vecteurs non nuls. Comme dans le plan, si on pose u= O, v = O et si on note le projeté orthogonal de sur(o) et K le projeté orthogonal de sur(o),le produit scalaire des vecteurs u et v est avec de plus : v = O. O= O. O= OK. O, angle obtus v <0 v v angle droit v =0 v angle aigu v >0 O u O= u O u v = O O v =0 v =O O d) Expression du produit scalaire avec des carrés de normes ou des carrés de distances Théorème 5. Soient u et v deux vecteurs de l espace. v = 1 2 ( u+ v 2 u 2 v 2 )= 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ). Si on pose u= et v = C, alors v = 1 2 (2 +C 2 C 2 ). III. Orthogonalité 1) Orthogonalité de deux droites de l espace On connaît déjà la notion de droites perpendiculaires : éfinition 4. Soient et deux droites de l espace. et sont perpendiculaires dans l espace si et seulement si et sont coplanaires et perpendiculaires dans un plan les contenant. On généralise cette notion : éfinition 5. Soient et deux droites de l espace. et sont orthogonales si et seulement si des parallèles à chacune de ces deux droites passant par un point donné de l espace sont perpendiculaires. Remarque. eux droites perpendiculaires sont orthogonales mais deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires ou encore deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Exemple. ans le cube CEF G ci-dessous, les doites(c) et(e) sont orthogonales. En effet, la parallèle à la droite(e) passant par est la droite(). La droite() et la droite(c) sont coplanaires et dans le plan C contenant ces deux droites, les droites() et(c) sont perpendiculaires. Par suite, les parallèles aux droites(e) et(c) passant par sont perpendiculaires et donc les droites(c) et(e) sont orthogonales. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 5 http ://www.maths-france.fr

G E F C Théorème 6. Soient et deux droites de l espace de vecteurs directeurs respectifs u et u. et sont orthogonales si et seulement si u =0. insi, deux droites de l espace sont orthogonales si et seulement si des vecteurs directeurs de ces droites sont orthogonaux. Ce résultat fournit un outil très pratique pour établir l orthogonalité de deux droites. On va le constater par exemple dans la démonstration du théorème suivant : Théorème 7. Soient, et trois droites de l espace. Si est parallèle à et si est orthogonale à alors est orthogonale à. émonstration. Soient et deux droites parallèles. Soient u et u des vecteurs directeurs de et respectivement. Puisque les droites et sont parallèles, les vecteurs u et u sont colinéaires. Par suite, il existe un réel non nul k tels que u =k u. Soit une droite orthogonale à. Soit u un vecteur directeur de. Puisque les droites et sont orthogonales, on a u =0. Mais alors u. u =(k u). u =k u =0. insi, les vecteurs u et u sont orthogonaux ou encore les droites et sont orthogonales. Exercice 2. L espace est rapporté à un repère orthonormé(o, i, j, k). On considère les droites et de représentations paramétriques respectives x= 1+2t x= 1 4t y=3 t, t R, et y=4+t, t R. z=1+3t z= 8+3t 1) Montrer que les droites et sont orthogonales. 2) Les droites et sont-elles perpendiculaires? Solution. 1) Un vecteur directeur de la droite est le vecteur u(2, 1,3) et un vecteur directeur de la droite est le vecteur u ( 4,1,3). u =2 ( 4)+( 1) 1+3 3= 8 1+9=0. Les vecteurs u et u sont orthogonaux et donc les droites et sont orthogonales. 2) Puisque les droites et sont orthogonales, les droites et sont perpendiculaires si et seulement si les droites et ont un point commun. Etudions donc l intersection des droites et. Soient M( 1+2t,3 t,1+3t), t R, un point de et M ( 1 4t,4+t, 8+3t ), t R, un point de. M=M 1+2t= 1 4t 3 t=4+t 1+3t= 8+3t { t= 2 t =1. t = 1 t 1+2t= 1 4( 1 t) 1+3t= 8+3( 1 t) 2t=4 6t= 12 t = 1 t t= 2 t= 2 t =1 Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 6 http ://www.maths-france.fr

Les droites et ont donc un point commun obtenu pour t= 2 dans la représentation paramétrique de ou t =1 dans la représentation paramétrique de : c est le point ( 5,5, 5). On a montré que Les droites et sont perpendiculaires en le point ( 5,5, 5). Exercice 3. On considère le cube CEFG de côté 1 ci-dessous. On note I le mileu de[fg] et J le milieu de[e]. G J I E F C Les droites(i) et(j) sont-elles orthogonales? Solution. I. J=( + F+ FI).( + E+ EJ) =. +. E+. EJ+ F. + F. E+ F. EJ+ FI. + FI. E+ FI. EJ. G E J F I C. =. = 2 = 1.. E=0 car la face FE est un carré et donc() (E).. EJ= EF.( 1 E)= 1 EF. E=0 car la face EFG est un carré et donc(ef) (E). 2 2 F. =0 car la face FE est un carré et donc(f) (). E. E=E 2 =1. F. E= F. EJ= E.( 1 E)= 1 E. E=0 car la face E est un carré et donc(e) (E). 2 2 FI. =( 1 FG). FE= 1 FG. FE=0 car la face EFG est un carré et donc(fe) (FG). 2 2 FI. E=( 1 FG). F= 1 FG. F=0 car la face CGF est un carré et donc(f) (FG). 2 2 FI. EJ=( 1 FG).( 1 E)= 1 FG. E= 1 FG. FG= 1 2 2 4 4 4 FG2 = 1 4. insi, En particulier, I. J 0 et donc I. J= 1+0+0+0+1+0+0+ 1 4 = 1 4. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 7 http ://www.maths-france.fr

les droites(i) et(j) ne sont pas orthogonales. 2) Orthogonalité d une droite et d un plan de l espace a) éfinition et caractérisation de l orthogonalité d une droite et d un plan de l espace éfinition 7. Soient une droite de l espace et P un plan de l espace. est orthogonale à P si et seulement si est orthogonale à toute droite du plan P. est orthogonale à toute droite du plan P. P Remarque. Une droite orthogonale à un plan est nécessairement sécante à ce plan et on peut également dire que la droite est perpendiculaire au plan. Il ne suffit pas que la droite soit orthogonale à une droite du plan P pour que la droite soit orthogonale au plan P comme le montre l exemple ci-dessous : est orthogonale à une droite de P mais n est pas orthogonale à P. P Théorème 8. Soient une droite de l espace et P un plan de l espace. est orthogonale à P si et seulement si est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. émonstration. Si est orthogonale à P, alors est orthogonale à toute droite du plan P et en particulier, est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Réciproquement, supposons que est orthogonale à deux droites sécantes et du plan P. Notons u un vecteur directeur de et u un vecteur directeur de. Notons encore v un vecteur directeur de. Puisque et sont deux droites contenues dans P, les vecteurs u et u sont deux vecteurs du plan P. Puisque les droites et ne sont pas parallèles, les vecteurs u et u ne sont pas colinéaires. En résumé, les vecteurs u et u sont deux vecteurs non colinéaires du plan P. Soit alors une droite contenue dans P et soit u un vecteur directeur de. après la théorème 13 du chapitre 13, il existe deux réels α et β tels que u =α u+β u. On a u. v =(α u+β u ). v =α( v)+β( u. v)=0+0=0. Ceci montre que la droite est est orthogonale à la droite. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 8 http ://www.maths-france.fr

Exemple. ans le cube CEFG ci-dessous, G E F C la droite(e) est perpendiculaire aux droites(ef) et(e) qui sont deux droites sécantes du plan EF. La droite(e) est donc perpendiculaire au plan EF. On en déduit que la droite(e) est orthogonale à toute droite du plan EF comme les droites(f) et(fg) par exemple. On peut encore démontrer (mais nous ne le ferons pas) le théorème suivant : Théorème 9. 1) Soient une droite de l espace et P et P deux plans de l espace. Si est orthogonale à P et si P est parallèle à P, alors est orthogonale à P. 2) Soient et deux droites de l espace et P un plan de l espace. Si est parallèle à et si est orthogonale à P, alors est orthogonale à P. b) Vecteur normal à un plan éfinition 8. Soit P un plan de l espace. Un vecteur normal au plan P est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur du plan P. Commentaire. n P Un vecteur normal à un plan peut être pensé comme un vecteur directeur d une droite orthogonale à ce plan. On admet le théorème suivant : Théorème 10. Soit P un plan de l espace. eux vecteurs normaux à P sont nécessairement colinéaires. On peut réexprimer le théorème 8 en terme de vecteur normal : Théorème 11. Soient P un plan de l espace et n un vecteur non nul de l espace. Le vecteur n est normal à P si et seulement si le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P. c) Retour sur la position relative d une droite et d un plan de l espace La notion de vecteur normal permet de réexprimer agréablement le parallélisme ou l orthogonalité d une droite et d un plan : Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 9 http ://www.maths-france.fr

Théorème 12. Soient P un plan de vecteur normal n et une droite de vecteur directeur u. 1) est parallèle à P si et seulement si u est orthogonal à n. 2) est perpendiculaire à P si et seulement si u est colinéaire à n. Exercice 4. On considère le cube CEFG de côté 1 ci-dessous. G E F C Les droites(ce) est-elle orthogonale au plan(g)? Solution. G E F C Calculons EC. G. EC. G=( EF+ FC). G= EF. G+ EF+ FC. G. La droite(ef) est perpendiculaire à la droite(f) car la face FE est un carré. La droite(ef) est perpendiculaire à la droite(fg) car la face EFG est un carré. insi, la droite(ef) est orthogonale aux droites(f) et(fg) qui sont deux droites sécantes du plan(cf). Par suite, la droite(ef) est orthogonale au plan(cf). On en déduit que la droite(ef) est orthogonale à toute droite du plan(cf) comme la droite(g) par exemple et donc EF. G=0. Les segments[fc] et[g] sont les diagonales du carré CGF. On sait que ces diagonales sont perpendiculaires et donc FC. G=0. Finalement, EF. G= FC. G=0 et donc EC. G= EF. G+ FC. G=0+0=0. insi, la droite(ec) est orthogonale à la droite(g). Par symétrie des rôles de et, la droite(ec) est également orthogonale à la droite(g). Les droites(g) et(g) sont sécantes en G. En effet, si ces droites ne sont pas sécantes, puisque ces droites ont déjà le point G en commun, ces droites sont confondues et donc le point appartient à la droite(g). En particulier, le point appartient à la face CGF ce qui n est pas. On a donc montré que la droite(ec) est orthogonale aux droites(g) et(g) qui sont deux droites sécantes du plan(g). On en déduit que la droite(ec) est orthogonale au plan(g). Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 10 http ://www.maths-france.fr

3) Retour sur les positions relatives de deux plans. Plans perpendiculaires a) Retour sur les positions relatives de deux plans Comme dans les paragraphes précédents, la position relative de deux plans se réénonce agréablement en termes de position relative de vecteurs normaux à ces plans : Théorème 13. Soient P un plan de vecteur normal n et P un plan de vecteur normal n. P et P sont parallèles si et seulement si n et n sont colinéaires. n P n b) Plans perpendiculaires P éfinition 9. Soient P et P deux plans de l espace. P est perpendiculaire à P si et seulement si P contient une droite perpendiculaire à P. P P e même, que pour le parallélisme de deux plans, les vecteurs normaux sont pratiques pour caractériser la perpendicularité de deux plans : Théorème 14. Soient P un plan de vecteur normal n et P un plan de vecteur normal n. P et P sont perpendiculaires si et seulement si n et n sont orthogonaux. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 11 http ://www.maths-france.fr

P n n P IV. Equation cartésienne d un plan défini par un point et un vecteur normal On munit l espace d un repère orthonormal(o, i, j, k). Soit P un plan de l espace. On suppose connus un point de P de coordonnées(x,y,z ) et un vecteur normal n de coordonnées(a,b,c) ( n est donc non nul ou encore l un au moins des trois réels a ou b ou c n est pas nul). Soit M(x, y, z) un point de l espace. On cherche une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées(x, y, z) de M pour que le point M appartienne au plan P. On l obtient de la façon suivante : M P le vecteur M est orthogonal au vecteur n M. n=0 a(x x )+b(y y )+c(z z )=0. L équation obtenue, à savoir a(x x )+b(y y )+c(z z )=0, est une équation cartésienne du plan P. Théorème 15. Soit(O, i, j, k) un repère orthonormé de l espace. Soit P un plan de l espace. Soient (x,y,z ) un point de P et n(a,b,c) un vecteur normal au plan P. Une équation cartésienne du plan P est : a(x x )+b(y y )+c(z z )=0. Exemple. Soient le point de coordonnées( 3,1,2) et n le vecteur de coordonnées(1,0, 2) (dans un certain repère orthonormé de l espace). Une équation cartésienne du plan P est ou encore x 2z+7=0. 1 (x+3)+0 (y 1) 2(z 2)=0 On étudie maintenant la réciproque du théorème précédent. Quand on développe puis réduit le premier membre de l équation a(x x )+b(y y )+c(z z )=0, on obtient une équation du type ax+by+cz+d=0 où l un au moins des trois réels a ou b ou c n est pas nul. Inversement, soient a, b, c et d quatre réels tels que l un au moins des trois réels a ou b ou c n est pas nul puis E l ensemble d équation ax+by+cz+d=0. Tout d abord, l ensemble E n est pas vide. En effet, si par exemple a 0, le point ( d,0,0) appartient à E car a ax +by +cz +d=a ( d a )+b 0+c 0+d= d+d=0. Soit donc (x,y,z ) un point de E. On note n le vecteur de coordonnées(a,b,c) ( n est un vecteur non nul). Soit M(x,y,z) un point de l espace. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 12 http ://www.maths-france.fr

On a ainsi montré que Théorème 16. M E ax+by+cz+d=0 ax+by+cz ax by cz =0(car E et doncax +by +cz +d=0) a(x x )+b(y y )+c(z z )=0 M. n=0 M appartient au plan passant parde vecteur normal n. Soit(O, i, j, k) un repère orthonormé de l espace. Soient a, b, c et d quatre réels tels que a 0 ou b 0 ou c 0. L ensemble d équation ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal le vecteur n(a,b,c). Exercice 5. (étermination du projeté orthogonal d un point sur un plan) L espace est rapporté au repère orthonormal(o, i, j, k). On considère le plan P d équation 2x y+z+3=0 et le point de coordonnées( 2,3,5). 1) éterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire à P et passant par. 2) En déduire les coordonnées du point, projeté orthogonal du point sur le plan P. 3) (Calcul de la distance du point au plan P) a) Montrer que pour tout point M de P, M avec égalité si et seulement si M=. b) Calculer la distance. Cette distance est par définition la distance du point au plan P. Solution. 1) Puisque le repère(o, i, j, k) est orthonormal et qu une équation cartésienne du plan P est 2x y+z+3=0, un vecteur normal au plan P est le vecteur n de coordonnées(2, 1,1). La droite est la droite passant par( 2,3,5) et de vecteur directeur n(2, 1,1). Une représentation paramétrique de est donc x= 2+2t y=3 t z=5+t, t R. 2) Le point est le point d intersection de la droite et du plan P. Soit M( 2+2t,3 t,5+t), t R, un point de la droite. M P 2( 2+2t) (3 t)+(5+t)+3=0 6t+1=0 t= 1 6. Quand t= 1, on obtient les coordonnées du point : 6 le point a pour coordonnées( 7 3, 19 6, 29 6 ). 3) a) Soit M un point du plan P. P M après le théorème de Pythagore, M 2 = 2 +M 2 ou encore M= 2 +M 2. e plus, 2 +M 2 2 avec égalité si et seulement si M 2 =0 ou encore M=. onc, M 2 = avec égalité si et seulement si M=. Ceci montre que la distance est la plus courte distance de à un point de P. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 13 http ://www.maths-france.fr

b) = (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 = = ( 1 2 3 ) = 1 6. +( 1 2 6 ) +( 1 2 1 6 ) = 9 + 1 36 + 1 6 36 = 36 ( 7 2 3 +2) +( 19 2 6 3) +( 29 6 5) 2 = 1 6. Exercice 6. (Plan médiateur d un segment). 1) Soient et deux points distincts de l espace. Montrer que l ensemble des points à égale distance de et est le plan passant par le milieu I du segment[] et perpendiculaire au segment[] (ce plan s appelle le plan médiateur du segment[]). 2) L espace est rapporté à un repère orthonormal(o, i, j, k). On donne les points et de coordonnées repsectives(1,1, 2) et(3, 1,2). éterminer une équation cartésienne du plan médiateur du segment[]. Solution. 1) Soit M un point de l espace. M=M M 2 =M 2 M 2 M 2 =0 ( M+ M).( M M)=0 ( I+ IM+ I+ IM).( M+ M)=0 (2 IM). =0(carI est le milieu de[]) 2 IM. =0 IM. =0. insi, l ensemble des points M tels que M=M est encore l ensemble des points M tels que IM. =0. Il s agit du plan passant par I et de vecteur normal ou encore du plan passant par I et perpendiculaire au segment[]. 2) Soit M(x, y, z) un point de l espace. M=M M 2 =M 2 (x 1) 2 +(y 1) 2 +(z+2) 2 =(x 3) 2 +(y+1) 2 +(z 2) 2 x 2 2x+1+y 2 2y+1+z 2 +4z+4=x 2 6x+9+y 2 +2y+1+z 2 4z+4 4x 4y+8z 8=0 x y+2z 2=0. Une équation du plan médiateur du segment[] est x y + 2z 2 = 0. Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 14 http ://www.maths-france.fr