L assurance dåpendance Estimation des matrices de transition ModÅlisation

L assurance dåpendance Estimation des matrices de transition ModÅlisation Massonnet Bruno AS-Consultant 105 bis, avenue Maurice Thorez 94200 Ivry sur Seine TÅl : +33 (0) 1 48 86 15 01 Fax : +33 (0) 1 48 86 15 02 b.massonnet@as-consultant.com RÅsumÅ : Ce papier pråsente une approche du risque dåpendance menåe É partir de l enquñte HID - Handicaps, IncapacitÅs, DÅpendance - en France. Le modöle d analyse d un contrat d assurance reposera sur un modöle de risque, un modöle de gestion et un modöle assurance. Le modöle de gestion prend en compte les diffårences entre l Åtat råel de perte d autonomie d une personne et la connaissance qu en a l assureur. Les simulations mettent en Åvidence les effets de diffårents types de gestion sur le tarif, sur les provisions de sinistres et sur l Åconomie d ensemble d une gånåration de production du contrat. Mots-clÅs : HID, dåpendance, long term care, transitions, modålisation, projections, provisions 1/20

SOMMAIRE 1. Introduction 2. L enquñte HID (Handicaps, IncapacitÅs, DÅpendance) 3. Mesure de la dåpendance 4. ModÅliser la dåpendance en assurance 5. Les lois du risque dåpendance : des matrices de transitions 6. Application du modöle Risque-Gestion-Assurance 7. Conclusion 1. INTRODUCTION La France dispose d un sytöme public d aide sociale en faveur des personnes dåpendantes depuis 1997 (Prestation SpÅcifique DÅpendance), amåliorå et Åtendu en 2002 (Allocation PersonnalisÅe d Autonomie). L INSEE a råaliså une grande enquñte intitulåe Handicaps, IncapacitÅs DÅpendance entre 1998 et 2001, qui donne de nombreux enseignements. Ce papier pråsente des råsultats issus d un travail menå depuis 2 ans sur la dåpendance É travers l enquñte HID. Les sections 2 et 3 seront consacrås É une pråsentation de l enquñte HID et de son utilitå pour l assurance, et aux caractåristiques d un indicateur de dåpendance. La section 4 posera les bases d une modålisation de la dåpendance dans le cadre de l assurance, reposant sur un modöle risque gestion assurance. Le modöle de gestion tente de prendre en compte la diffårence pouvant exister entre l Åtat råel d une personne dåpendante et la connaissance qu en a l assureur (ou le gestionnaire de l aide sociale). La section 5 pråsentera l estimation des lois du risque dåpendance sur l enquñte HID, tandis que la derniöre section pråsentera quelques applications du modöle complet, et les effets de la prise en compte du modöle de gestion sur le tarif, les provisions de sinistres et les flux financiers du contrat. 2. L ENQUÜTE HANDICAPS, INCAPACITáS, DáPENDANCE 2.1 L enquñte HID (Handicaps, IncapacitÅs, DÅpendance) Cette enquñte avait comme objectif de combler le retard franàais en matiöre d information statistique sur le handicap. Elle a ÅtÅ råalisåe en quatre vagues : un premier passage en institutions (1998) et É domicile (1999), puis un second passage 2 ans aprös (respectivement 2/20

en 2000 et 2001). Environ 35 000 personnes ont ÅtÅ interrogåes lors des premiers passages. Le second passage a permis de les råinterroger, pour mesurer leur Åvolution en deux ans. Les dåcös entre les deux passages ont ÅtÅ collectås dans les registres d Åtat civil (exhaustifs). L INSEE diffuse les fichiers complets de l enquñte, qui ont ÅtÅ utilisås pour cette Åtude. 2.2 Une enquñte utilisable pour donner des bases statistiques É l assurance dåpendance Les donnåes de l enquñte HID ont les caractåristiques suivantes : - une grande richesse d information (plus de 400 variables et leur Åvolution en 2 ans) ; - É chaque individu est associå un â poids de redressement ä issu du plan de sondage, qui permet des estimations de pråvalence ou de flux sur la population nationale ou sur une souspopulation particuliöre ; - elles mesurent aussi bien la pråvalence de la dåpendance (1er passage) que son Åvolution en 2 ans (transitions). Aucun fichier d assurance ne peut atteindre les deux premiers points. L information y sera nåcessairement moins complöte, les assurås d un contrat ne seront repråsentatifs que d un portefeuille, et du ou des modes de distribution du produit lors de sa commercialisation. L examen du contenu de l enquñte et ses conditions de råalisation, et parallölement du mode de construction des principaux indicateurs de dåpendance, permet de conclure favorablement É une utilisation de l enquñte HID pour donner des bases techniques É l assurance. On notera en particulier : - la duråe suffisante des interviews (de l ordre de 45 minutes) ; - les questions sur l autonomie inspiråes des grilles d Åvaluation de la dåpendance ; - la validation d un certain nombre de råponses (reformulation, demandes de pråcisions ), L enquñte HID n est toutefois pas une enquñte mådico-sociale visant É Åvaluer un degrå d autonomie ou É accorder des droits ou avantages et ceci peut Ñtre source de biais. Il est donc nåcessaire de cadrer les estimations sur HID d un indicateur de dåpendance 1 É l aide de råfårences externes 2. Sous ces pråcautions, plusieurs indicateurs de dåpendance peuvent Ñtre estimås, notamment les ADL, Activities of Daily Living, la grille AGGIR, ou encore les principaux IADL (Instrumental Activities of Daily Living). 3/20

La grille AGGIR (Autonomie GÅrontologique Groupe Iso-Ressources) est l indicateur de dåpendance retenue par la France depuis 1997 comme outil d Åvaluation de la perte d autonomie. Elle dåfinit 6 groupes GIR, homogönes en terme de volumes d aide nåcessaire), allant du GIR 6 (Åtat autonome) jusqu au GIR 1 (dåpendance totale physique et psychique). Les GIR 1 et 2 constituent gånåralement la dåpendance totale dans les produits d assurance, le GIR 3 (et parfois le GIR 4) les Åtats de dåpendance partielle. Outre les activitås physiques, la grille AGGIR prend en compte explicitement les troubles de l orientation et de la cohårence, ce qui reflöte une conception actuelle de la dåpendance. La grille AGGIR a ÅtÅ retenue de 1997 É 2001 pour l attribution de la PSD prestation spåcifique dåpendance, et depuis dåbut 2002 comme critöre d ÅligibilitÅ au systöme public de l APA - allocation personnalisåe É l autonomie. L APA verse des rentes du GIR 1 au GIR 4 É environ 911 000 bånåficiaires au 30 septembre 2005). Pour l assurance, les apports de l enquñte HID, complåtås É une råflexion sur la nature de la dåpendance, seront nombreux, plus particuliörement en termes : - de choix d un critöre de dåpendance pour les populations couvertes ; - d une information statistique trös riche, sur les personnes et leur environnement ; - Åvaluation des lois du risque, y compris sur des populations spåcifiques ; - d affinage des rögles de gestion d un contrat d assurance ; - de modalitås de sålection, test d un questionnaire mådical 3. MESURE DE LA DáPENDANCE Les indicateurs de dåpendance classent l ensemble de la population, de la personne autonome É la plus dåpendante. Ces indicateurs, construits par des gårontologues, ont pour objectif de caractåriser un Åtat de perte d autonomie. Une conception råflåchie de la dåpendance leur est donc sous-jacente. Les grands indicateurs ont aussi une visåe statistique : leur conception permet une Åvaluation par des personnels, formås, de compåtences assez variåes (pas uniquement du personnel mådical, mais aussi des travailleurs sociaux). Ils ont en particulier fait l objet de tests pour vårifier la stabilitå des Åvaluations dans le temps ou entre deux Åvaluateurs, et dåfinir un protocole de passation. Certains font partie de recommandations en matiöre de statistiques de santå publiques (sous l impulsion de l OMS) ou se retrouvent au cœur du systöme statistique national (AGGIR en France). Ceci garantit une bonne 4/20

disponibilitå statistique et rend possible le suivi (stabilitå des dåfinitions, Åvolutions des effectifs dåpendants ). Le marchå franàais utilise principalement les ADL 3 (en 6 actes, ou 4 aprös regroupements), et É la grille AGGIR, parfois combinås ou avec des complåments de dåfinition. 4. MODáLISER LA DáPENDANCE EN ASSURANCE La modålisation pråsentåe repose sur l enchaçnement de trois sous-modöles complåmentaires. Le premier sous-modöle est un modöle de risque, indåpendant du produit d assurance, qui dåcrit les Åvolutions des personnes assuråes. Le deuxiöme est un modöle de gestion, dont la prise en compte s avörera particuliörement instructive s agissant de dåpendance. Enfin le troisiöme est un modöle assurance. 4.1 Le sous-modöle de risque : matrices de transition L estimation devait råpondre É des objectifs bien dåfinis : - ne pas se limiter É 3 Åtats : dåcös, dåpendance, valide (ou 4 avec dåpendance partielle). - apporter une råponse satisfaisante É la question de la dåpendance partielle - respecter les caractåristiques du risque, en particulier ses perspectives d Åvolutions : dågradations mais aussi amåliorations 4, mortalitå propre É chaque niveau de dåpendance. Le modöle de risque sera fondå sur les â grands indicateurs ä (section 2) de dåpendance. Ils offrent en effet une cohårence statistique et une homogånåitå que n ont pas des dåfinitions â conventionnelles ä de dåpendance totale ou partielle 5. Disposer d un tel modöle de risque apporte un appråciable gain de cohårence actuarielle dans l Ålaboration d un produit d assurance dåpendance (qui råsultera de taténnements successifs entre plusieurs formules de garantie), mais aussi un avantage råel pour le pilotage futur du produit, grèce É la disponibilitå de råfårences dans la statistique publique. Nous avons construit des modöles de risques fondås sur les GIR ou les ADL. 4.2 Le sous-modöle de gestion Un indicateur de dåpendance Åvalue le degrå d autonomie d un individu, É partir d une sårie de questions concernant sa vie quotidienne. Le modöle de risque en fournit une estimation des lois que nous appellerons â physiques ä. Le modöle de gestion vise É rendre compte d un Åventuel Åcart entre cet Åtat â physique ä et la connaissance qu en a l assureur (ou le gestionnaire de l aide sociale). 5/20

Dans tous les cas, on suppose que l assureur est informå des dågradations de l Åtat d un assurå en sinistre, ou de son dåcös. Trois niveaux de gestion 6 ont ÅtÅ dåfinis : - gestion â parfaite ä, l assureur connaçt É tout moment l Åtat råel de l assurå ; - gestion â laxiste ä, il n est informå que du dåcös de l assurå ; - le niveau intermådiaire, dit gestion â correcte ä, suppose que l assureur est informå des amåliorations â sensibles ä (amålioration de plus d un niveau de l indicateur de dåpendance). Le schåma suivant illustre la vision du sinistre par l assureur : Date N N+1 N+2 N+3 N+5 Åtat "physique" GIR 3 GIR 4 GIR 4 GIR 5 dåcös Rente servie gestion parfaite R 0 0 0 0 par gestion correcte R R R 0 0 l'assureur gestion laxiste R R R R 0 produit garantissant une rente R aux GIR1, 2 ou 3. pas de prestation en GIR 4 Ä 6. Lecture gestion parfaite : l'assureur cesse de verser la rente dås que l'individu devient GIR 4 gestion correcte : l'assureur ne constate l'amçlioration que lorsque l'individu devient GIR 5 (amçlioration de deux niveaux de l'indicateur de dçpendance). Il a donc continuç Ä verser la rente dans les annçes N+1 et N+2. gestion laxiste : l'assureur verse la rente dçpendance jusqu'au dçcås de l'assurç. Il n'observe pas les amçliorations survenues depuis N, annçe d'ouverture du sinistre. D un point de vue pratique, la gestion â parfaite ä paraçt irråalisable. Un Åvaluateur ayant connu un an auparavant une personne dåpendante aura lågitimement quelques freins É constater une amålioration (lågöre), qui pourrait faire perdre le bånåfice d une aide sociale 7. Cette â humanitå de l expertise ä est nåcessaire dans le contexte sensible de la dåpendance, dont on sait qu elle n est pas Ågale tous les jours (la personne connaçt â des hauts et des bas ä), et qu elle touche des individus souvent trös ègås et toujours fragilisås. A l opposå la gestion â laxiste ä ne cherche pas de confirmation de l Åtat de dåpendance, audelé de la premiöre acceptation É l ouverture du sinistre. Une certaine måconnaissance des chances d amålioration 8, et des produits initialement limitås É la dåpendance totale (ce qui råduit les chances d amåliorations, mais sans les interdire) explique que la gestion s est parfois limitåe É vårifier que le bånåficiaire Åtait en vie. L objectif d une gestion rigoureuse, mais humaine et en mñme temps Åquitable, se situe probablement entre la gestion parfaite et la gestion correcte : parmi les amåliorations råelles 6/20

d un niveau de l Åtat de dåpendance, la nouvelle Åvaluation reconnaçtrait seulement les amåliorations les plus franches et resterait inchangåe pour les Åvolutions plus modåråes. Commentaire : l Åvaluation des matrices de transition É partir HID, qui sera pråsentåe en section 5, a ÅtÅ faite sur les 1 er et 2 Öme passages É partir des seules råponses aux questions de l enquñte. Ceci correspond au contexte de gestion parfaite (obtention des lois â physiques ä). Le risque, vu par l aide sociale ou un assureur, repose sur un modöle de gestion â non parfaite ä de l appråciation de la dåpendance. 4.3 Le sous-modöle assurance : les avantages du stochastique Un modöle dåterministe (raisonnement en espårances ou valeurs probables), qui permettait de traiter la plupart des schåmas de garanties, avait initialement ÅtÅ envisagå. Un modöle stochastique a ensuite ÅtÅ retenu pour sa meilleure aptitude É traiter une garantie capital Åquipement (payåe une seule fois), quand les lois de risque n excluent pas l amålioration de l Åtat de l assurå. On y retrouve les atouts classiques des modöles stochastiques : visualisation des alåas du contrat et possibilitå de confronter l expårience råelle du contrat aux projections (intervalle de confiance) compte tenu du nombre d assurås. En fonction de l Åtat des personnes dåcrit par les modöles de risque et de gestion, le modöle assurance applique le dispositif de garantie (prestations, paiement ou exonåration des primes). 4.4 Input / output du modöle Les input du modöle sont : - population : par sexe et èges, et selon son Åtat initial au regard de la dåpendance. Pour les nouveaux adhårents d un contrat, on considårera que la population est principalement composåe de personnes du groupe le plus autonome. Quelques personnes lågörement moins autonomes 9 peuvent faire partie des assurås. On peut ainsi faire intervenir l efficacitå de la sålection. Pour les provisions de sinistre, le modöle partira d un assurå initialement dans un Åtat de dåpendance garanti. - caractåristiques du produit d assurance : garanties, paiement des cotisations - Åvaluation de la gestion : repose sur l examen des procådures de gestion concernant l information sur l Åtat de dåpendance des assurås bånåficiaires d une prestation. L output est constituå des projections annåe aprös annåe des flux et stocks de population, en fonction de leur Åtat d autonomie, et les flux financiers du contrat d assurance. 7/20

5. LES LOIS DU RISQUE DáPENDANCE : DES MATRICES DE TRANSITIONS 5.1 Transitions sur deux ans L enquñte HID permet de disposer d environ 30 000 individus interrogåes lors d un premier passage, råinterrogåes deux ans aprös lorsque c Åtait possible. On dispose donc d un ensemble d individus dont on connaçt : - diverses caractåristiques gånårales : ège, sexe, etc. - l Åtat de dåpendance / autonomie au premier passage de l enquñte ; - l Åtat deux ans aprös (ou le dåcös dans l intervalle). Table 1 EVOLUTION EN DEUX ANS - GRILLE AGGIR a) Echantillon - plus de 60 ans GIR aprås 2 ans GIR nd däcås GIR 1 GIR 2 GIR 3 GIR 4 GIR 5 GIR 6 Total nd 295 1 296 GIR 1 23 402 177 84 1 687 GIR 2 117 894 194 651 72 24 22 15 1 989 GIR 3 108 369 63 252 210 62 28 25 1 117 GIR 4 96 196 13 102 95 158 67 45 772 GIR 5 151 218 5 98 100 120 205 189 1 086 GIR 6 1 751 848 33 203 190 219 408 6 305 9 957 Total 2 541 2 927 485 1 390 668 584 730 6 579 15 904 b) Effectif national "plus de 60 ans" estimå sur HID, compte tenu du poids de redressement (milliers) GIR aprås 2 ans GIR nd däcås GIR 1 GIR 2 GIR 3 GIR 4 GIR 5 GIR 6 Total nd 24.2 0.1 24.2 GIR 1 4.4 38.6 19.3 6.8 0.1 69.3 GIR 2 28.6 105.4 20.8 80.6 8.3 4.7 4.3 9.2 261.9 GIR 3 33.5 56.7 6.8 34.7 42.2 16.3 6.8 4.5 201.5 GIR 4 44.2 60.5 3.1 23.2 31.4 65.5 22.6 14.1 264.6 GIR 5 121.4 64.3 0.3 15.5 22.0 40.7 73.4 92.5 430.2 GIR 6 1 392.9 470.7 5.0 50.5 59.1 90.8 249.1 8 452.5 10 770.0 Total 1 649.2 796.2 55.4 211.5 163.1 218.0 356.1 8 572.8 12 020.0 Lecture : a) sur 687 individus GIR 1 de plus de 60 ans au premier passage, 402 Çtaient dçcçdçs deux ans aprås, 177 Çtaient encore ÇvaluÇs GIR 1, 84 Çtaient GIR 2, et 1 en GIR 3. b) ces 687 individus de l'çchantillon sont reprçsentatifs de 69 300 individus, 38 600 sont dçcçdçs deux ans aprås... Les plus de 60 ans reprçsentaient 12 020 000 franéais au premier passage, 796 200 sont dçcçdçs deux ans aprås. 8/20

On notera que ce tableau n exclut pas des amåliorations de l Åtat (GIR de niveau plus ÅlevÅ aprös deux ans : par exemple 72 individus classås initialement GIR 2 sont devenus GIR 3). En ajoutant une analyse par ège, on vårifie Ågalement la progression sensible de la mortalitå avec le degrå de dåpendance, y compris dans les Åtats lågers (GIR 5). 5.2 Estimation des transitions sur deux ans : la rågression logistique gånåralisåe La måthode utilisåe est la rågression logistique gånåralisåe, qui permet d estimer simultanåment l ensemble des lois recherchåes (c est-é-dire l ensemble des transitions sur deux ans d un Åtat donnå de dåpendance ou d autonomie vers le dåcös ou tout Åtat). Le ModÖle logistique simple Soit une variable qualitative Y (dite variable råponse) É deux modalitås (Y=0 ou Y=1), et les variables explicatives X 1, X 2, X n. Le modöle linåaire ne s appliquant pas aux variables binaires, on cherche É expliquer la probabilitå que la variable Y prenne la valeur 1 (ou 0). P( Y 1), ou 1 P( Y 0) L idåe est d utiliser une transformation par une fonction råelle monotone g de [0,1] dans, et de chercher un modöle linåaire de la forme : g( ) X i ' i Le modöle logit repose sur la fonction g dåfinie par : i g( i ) logit( i ) ln, oñ ln est le logarithme nåpårien 1 i 1 avec g ( x) x e 1 e x Variables explicatives Les variables explicatives peuvent Ñtre qualitatives (par exemple l ège de la personne) ou quantitatives (le sexe, la CSP) avec 2 ou plusieurs modalitås chacune 10. ModÖle logistique gånåraliså Le modöle logistique se gånåralise au cas oê Y est une variable pouvant prendre plus de 2 valeurs. L une des modalitås sera prise comme råfårence. 9/20

La fonction g est ici dåfinie par : ' i g( i ) ln X, oñ ln est le logarithme nåpårien 1 i k 1 pour i (1,2,...k+1) oê k+1 est le nombre de modalitås de la variable råponse. Les modalitås de Y seront les diffårents Åtats au regard de l indicateur de dåpendance (auxquels on ajoute un Åtat correspondant au dåcös). L estimation a ÅtÅ faite par sexe et pour chaque Åtat initial de dåpendance (un modöle par sexe et Åtat initial). La dåpendance Åtant peu fråquente avant 60 ans, et recouvrant des situations distinctes de la dåpendance des personnes ègåes, la modålisation a gånåralement ÅtÅ faite en deux parties (par exemple une sur les 20-60 ans, l autre sur les 60 ans et plus). 5.3 Correction de la mortalitå des autonomes La mortalitå du groupe des autonomes n est pas estimåe de maniöre satisfaisante. Ce n est pas un effet du modöle d estimation, le constat peut Ñtre fait sur les donnåes brutes de l enquñte. En appliquant É la population des 20 ans et + : - la mortalitå estimåe par groupe (de GIR 1 É 6) É partir des modöles dåcrits plus haut ; - la mortalitå gånårale nationale (tables INSEE 1999-2001, par sexe) Table 2 : nombre de dçcås estimç (20 ans et +) GIR 1 É 5 GIR 6 (autonomes) TOTAL modöles de l Åtude 336 322 647 185 983 507 INSEE 99-2001 160 583 680 537 841 120 Table 3 : taille de l Çchantillon et reprçsentativitç (20 ans et +) GIR 1 É 5 GIR 6 (autonomes) TOTAL Effectif (råpondants) 8 156 (30 %) 18 965 27 121 ReprÅsentatifs de 1 671 117 (3.9 %) 41 543 751 43 214 868 10/20

On considårera que la mortalitå des groupes dåpendants est bien estimåe (le taux de sondage y est dix fois plus ÅlevÅ dans l Åchantillon HID avec 30 % des råponses pour moins de 4 % de la population totale adulte). Leur nette surmortalitå par rapport É la mortalitå gånårale ne surprend pas. La mortalitå des autonomes devrait Ñtre sensiblement infårieure É la mortalitå nationale (un individu est soit dåpendant, soit autonome au sens d un indicateur), pour aboutir É un total Åquivalent par les deux måthodes. Ce groupe est moins bien repråsentå dans le plan de sondage (19 000 individus pour 41,5 millions d adultes), conformåment aux objectifs de l enquñte. L excådent global de mortalitå (142 387) a ÅtÅ retirå de l estimation faite pour le groupe GIR 6, autonome, soit en moyenne 22 % de correction de la mortalitå estimåe par le modöle (en pratique, la correction a ÅtÅ appliquåe såparåment par sexe et tranches d èges quinquennales). Ces corrections sont justifiåes par le manque de donnåes de dåcös dans la population autonome de l enquñte HID, notamment avant 50 ans (èges de faible mortalitå). HID n est pas destinåe É estimer la mortalitå des jeunes valides (il aurait pour cela fallu au contraire surpondårer les èges jeunes). Les corrections apportåes aux èges ÅlevÅs sont plus faibles, cette population Åtant mieux repråsentåe dans l Åchantillon. 5.4 Passage É des transitions annuelles p66 p60 Soit : M x, x2, la matrice de transition sur deux ans de l'ège x p06 p 00 oê p est la probabilitå pour un individu d'ège x initialement classå en GIR i, appartienne ij au GIR "j" 2 ans aprös (quand il aura l'ège x+2). Pour d'autres indicateurs de dåpendance, il suffira d'adapter la taille de la matrice nombre de niveaux de dåpendance + 1 pour le dåcös) La somme des lignes est toujours Ågale É 1 : S = 1 Pour le groupe 0 (dåcös), on a p p p... p 0 et p 1. Cet Åtat est dit i 6 j=0 06 05 04 01 00 "absorbant" (pas de retour possible vers un autre Åtat). Un individu d'un groupe i donnå, sera 2 ans aprös : soit dans un des groupes GIR 1 É 6, soit dåcådå (groupe 0). p ij On va considårer que cette matrice de transition est le produit de deux transitions annuelles successives, et que l Åvolution d une påriode dåpend seulement du dernier Åtat (Markov). 11/20

M M M x, x2 x, x1 x1, x2 On fait dans un premier temps l'hypothöse que les transitions annuelles sont constantes entre x et x+2, soit : M M M M oñ M 2 x, x2 x x1 x0.5 x0.5 de x+0.5 É x+1.5 (au centre de l'intervalle de x É x+2). (avec un seul indice) est une transition sur 1 an, L'Åquation, Åcrite au rang suivant donne : M x x M x M x M x 2 1, 3 1 2 1.5 Le problöme sera råsolu si l'on peut extraire une "racine carråe" de toutes les matrices de transition en 2 ans. La solution existe si la matrice est diagonalisable, mais la condition n'est pas toujours vårifiåe ici. Il a donc fallu retenir une approche numårique permettant de relècher cette contrainte (voir encadrå sur expm et logm). Dans ce cas, on retiendra comme matrice de transition É l'ège x, une moyenne des solutions trouvåes É chacune des deux Åquations. M x1 M M 2 x0.5 x1.5 moyenne de deux matrices successives 1/ 2 ( { M x0.5 M x1.5} pour de faibles dåformations du risque É des èges proches). On pose : M expm G, oê expm est l'exponentielle matricielle. x0.5 x0.5 D ' oñ : M expm 2 G x, x2 x0.5 M 2 x, x2 Alors : Gx0.5 logm, oê logm dåsigne le logarithme matriciel. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME MATRICIELS Ces deux fonctions sont calculables É l'aide des dåveloppements limitås. expm M 1! 2! 3! k! 2 3 k M M M k M In 1 om 2 3 k M In 1 M In 1 k 1 M In 1 et logm M M In 1 1 o M In 2 3 k 1 0 oê In 1 est la matrice unitå de dimension n+1 (n Åtats de dåpendance + dåcös) 0 1 L'expression des dåveloppements limitås est identique É celle des fonctions råelles. k On notera cependant qu'il s'agit de produits matriciels : M M M M (k fois). 1 k Ce traitement numårique n exclut pas que certains coefficients de la matrice prennent une valeur (faiblement) någative, non interpråtable en termes de transitions. Ces valeurs ont ÅtÅ corrigåes (par annulation et report au prorata sur les autres transitions depuis le mñme Åtat d origine). On a ensuite vårifiå que la matrice corrigåe, É nouveau ÅlevÅe au carrå, Åtait trös proche de la matrice d origine. 12/20

5.5 Lissage aux grands èges La mortalitå aux grands èges a ÅtÅ lissåe par la måthode proposåe par Kannisto. On rappellera seulement ici qu il s agit d un cas particulier de lissage logistique, qui offre un prolongement cohårent avec le modöle logistique gånåraliså utiliså. Le mñme lissage a ÅtÅ appliquå aux lois de transition de dåpendance aux èges ÅlevÅs. 6. APPLICATION DU MODëLE RISQUE-GESTION-ASSURANCE 6.1 Le cas ÅtudiÅ Le produit ÅtudiÅ couvre les Åtats de dåpendance de GIR 1 É GIR 3. Il pråvoit le versement d une rente mensuelle de 1000 en GIR 1 et GIR 2, de 500 en GIR 3, et d un capital Åquipement de 3000 lors de l entråe en dåpendance. Les assurås percevant une rente sont exonårås du paiement des cotisations. L analyse sera faite hors chargements, au taux technique de 2.5 %, É partir de 20 000 simulations du contrat pour chaque ège, sexe et niveau de dåpendance initial. Nous exploiterons ici le profil moyen råsultant de ces simulations, en testant les 3 types de gestion dåcrites dans la section 4. Nous allons mettre en Åvidence les effets du type de gestion sur le tarif, les provisions techniques de sinistre et le profil des flux financiers. 6.2 Tarification Exemple de tarif annuel, pour ège É l adhåsion de 60, 65 et 70 ans - 60 % femmes (adhårents uniquement issus du groupe le plus autonome, GIR 6 initialement). Table 4 : tarif et effet de la gestion ModÖle de gestion Prime pure 60 ans Prime pure 65 ans Prime pure 70 ans parfaite 482 594 746 correcte 511 soit + 6% 624 soit + 5% 780 soit + 5% laxiste 666 soit + 38% 784 soit + 32% 941 soit + 26% L Åcart de tarif entre les diffårentes gestions est propre É la dåfinition du produit d assurance et É la relation entre les prestations offertes, capital ou rente, en dåpendance totale et partielle. 6.3 Provision de sinistre Logiquement, le mode de gestion a des consåquences sur le provisonnement nåcessaire, plus ÅlevÅ quand la gestion est moins rigoureuse. En effet, l assureur n est pas bien informå des 13/20

amåliorations de l Åtat des bånåficiaires d une prestation, et peut continuer É verser une rente pour une dåpendance plus forte que la situation effective de l assurå. La figure 1 illustre les cas d un homme en GIR 2 et d une femme en GIR 3. Figure 1 : Provision de sinistre et mode de gestion Homme GIR 2 Femme GIR 3 La provision est toujours plus faible en gestion parfaite, plus ÅlevÅe en gestion laxiste. Les chances d amåliorations diminuant avec l ège, l Åcart entre les provisions se råduit. 14/20

Il est intåressant de noter que les provisions calculåes ne recouvrent toutefois pas exactement la mñme notion. En gestion parfaite, un dossier peut cesser d Ñtre indemniså aprös une amålioration et redevenir quelques annåes aprös É nouveau dåpendant. Ce â nouveau sinistre ä ne sera pas observå en gestion â laxiste ä, oê la rente est versåe jusqu au dåcös. Exemple : AssurÅ garanti pour une rente dåpendance totale de R en GIR 1 É 3 annåe N N+1 N+2 N+3 N+4 Åtat physique GIR 3 GIR 3 GIR 4 GIR 4 GIR 3 PRESTATIONS selon gestion parfaite sinistre nì 1 R R clos sinistre nì 2 R correcte sinistre nì 1 R R R R R Dans un cadre de gestion parfaite, l assureur aura observå deux sinistres sur la påriode, lé oê une gestion correcte n en verrait qu un seul. La provision É l annåe N en gestion correcte est donc supårieure É la provision en gestion parfaite pour deux raisons s ajoutant : - elle couvre les paiements des annåes d amåliorations non dåtectåes (ici, Åtats GIR 4), alors qu une gestion parfaite aurait cloturå le sinistre. - elle doit prendre en charge Ågalement ce qui serait un deuxiöme sinistre distinct en gestion parfaite. L Åconomie du contrat, ainsi que les statistiques de sinistralitå sur un portefeuille (nombre de nouveaux sinistres, de sinistres en cours, röglements et provisions ) sont donc trös directement affectåes par cette dimension gestion. 6.4 Profil des flux financiers du contrat Le modöle dåcrit le profil des primes et des röglements du contrat jusqu É l extinction de la gånåration. Le tarif est celui obtenu É partir du risque en gestion parfaite (746, cf. 5.2). Lorsque l assureur ne peràoit pas l amålioration de l Åtat d un assurå, ce dernier ne paie pas ses cotisations (exonåration) et reàoit É tort une rente. 15/20

Les profils des primes et des sinistres sont tous deux affectås par le type de gestion. L effet sur les primes (indåpendamment de la tarification) est cependant faible (et se distingue mal sur les graphiques ci-dessous), alors que le profil des sinistres est sensiblement affectå. Figure 2 : Primes et sinistres Primes Sinistres råglås / lax S / correcte S / parfaite Lecture : A l Åchelle du graphique, les 3 courbes de prime sont voisines. Les röglements de sinistres augmentent quand la gestion est moins fine. 6.5 Solde cumulå Le solde prime - röglements de sinistres a ÅtÅ capitaliså au taux technique (2.5 %) dans le graphique suivant (ège É l adhåsion 70 ans, 60 % de femmes). Il met en Åvidence qu une tarification fondå sur un risque â parfait ä, c est-é-dire sans intågrer le mode de gestion des Åvaluations de la dåpendance, peut conduire É un dåsåquilibre sensible du contrat. Le solde cumulå et capitaliså devient dåficitaire aprös 20 É 25 ans dans les deux schåmas de gestion s Åcartant de l hypothöse de tarification. 16/20

Figure 3 : Primes, sinistres et Solde cumulç Solde (gest. parfaite) primes RÖglements de sinistres Solde (gestion laxiste) Solde (gest. correcte) Lecture : La figure 3 ajoute É la figure 2 le solde de tråsorerie du contrat (cumulå au taux technique de 2.5 %). En gestion parfaite, le solde final est nul (situation d Åquilibre du tarif), en gestion correcte et surtout laxiste, le contrat est dåsåquilibrå. Le compte de råsultat d un assureur ne se limite pas aux flux de primes et de röglements, et comprend Ågalement des charges de provisions de sinistre et de provisions pour risques croissants pour dåfinir le råsultat 11. Les pertes mises en Åvidence ici devraient donc apparaçtre un peu plus tét. Nous avons cependant montrå en 5.3 que les provisions de sinistres dåpendent du modöle de gestion, et il en sera de mñme pour les formules de provisions pour risques croissants, qui dåcouleront des flux examinås ici et d un baröme de provisonnement des sinistres ; le compte råel ne permettra donc pas nåcessairement une lecture directe et fidöle de l Åquilibre du contrat. Ce constat est classique quand les bases de provisionnement s Åcartent de l expårience du risque (des boni, par exemple provenant d un baröme röglementaire prudent, ou des mali syståmatiques retardent la perception du S/P råel). Il aura une importance accrue en assurance dåpendance avec un horizon de risque assez ÅloignÅ, et un provisionnement pour risque croissant pouvant atteindre plusieurs annåes de cotisations. 17/20

7. CONCLUSION L Åtude de la dåpendance nous a conduit É nous intåresser simultanåmement : - É l Åvaluation de l Åtat â physique ä d une population au regard de la dåpendance ; les lois du risque peuvent Ñtre estimåes sur une enquñte du type HID ou É partir d enquñtes mådicales sur Åchantillon (en s efforàant notamment de savoir de quoi l Åchantillon est-il repråsentatif) ; - É la diffårence pouvant exister entre cet Åtat â physique ä et l Åtat reconnu (ou connu) par l assureur ou par le dispositif d aide sociale. Une partie de cette diffårence paraçt inåvitable, et est mñme sans doute souhaitable s agissant de la dåpendance, compte tenu des grilles d Åvaluation existantes et des enjeux humains et sociaux Åconomiques. Les amåliorations de l Åtat d un dåpendant pourraient ainsi n Ñtre constatåes qu avec une certaine prudence, pour Åviter le risque d une Åvaluation faite â dans un particuliörement bon jour ä qui ne reflöterait pas l Åtat ordinaire des besoins d aide de la personne. Cet effet sera par exemple pråsent dans les statistiques d un systöme d Åvaluation publique (l APA en France), mais concernerait aussi bien une Åvaluation autonome par un expert d assurance. Une autre partie est liåe aux choix (ou É la pratique) de gestion du produit d assurance, et peut Ñtre råduite en demandant la confirmation annuelle de l Åtat du bånåficiaire d une prestation. Le modöle proposå dans cet article a mis en Åvidence les effets de cette gestion de l information sur la tarification, les provisions techniques et les flux financiers d un contrat. La seule prise en compte d un modöle purement â physique ä du risque 12, sans la dimension gestion de gestion d information, conduirait É sous-estimer les projections d un systöme d aide sociale ou d un portefeuille d assurance. 18/20

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3 Il existe plusieurs dåfinitions des ADL (indicateur utiliså depuis plus de 30 ans, francisås par AVQ, actes de la vie quotidienne). L actuaire devra donc soigneusement vårifier l adåquation entre ses bases statistiques et l indicateur retenu. De mñme les appellations dåpendance totale ou partielle sont des conventions. 4 Par exemple aprös certains accidents vasculaires cåråbraux ou cancers 5 DÅfinir un seul Åtat dåpendance conduit É un groupe trös håtårogöne, målange de populations aux perspectives d Åvolutions trös diverses. 6 Les qualificatifs â parfait ä, â correct ä ou â laxiste ä sont naturellement des raccourcis de langage qui ne dåcrivent pas l ensemble de la gestion administrative d un sinistre et du röglement des prestations. Le mot â gestion ä est ici employå en råfårence É la gestion de l information sur l Åtat du sinistre. 7 La question se pose dans les mñmes termes pour un expert mandatå par un assureur que pour un professionnel de l aide sociale. Un Åcart relöve donc d une diffårence d appråciation d un Åtat, et non d abus ou fraudes que l on peut rencontrer dans des garanties invaliditå (plus facilement objectivables). 8 Souvent någligåes dans les travaux actuariels 9 Ceci prend son sens en utilisant un indicateur offrant un dåcoupage assez fin des Åtats de l autonomie É la dåpendance et ne pourrait Ñtre pris en compte par un modöle É 3 Åtats : autonomie, dåpendance, dåcös. Un produit d assurance avec sålection, assurera des autonomes mais aussi quelques â presque autonomes ä. 10 La rågression logistique (gånåralisåe) permet de retenir des variables explicatives quantitatives ou qualitatives. Le modöle peut ainsi tenter d expliquer les transitions de dåpendance par d autres variables (non pråsentå ici). 11 Dans les hypothöses du risque â parfait ä, le â solde cumulå ä É la date N Åquivaut É la somme des provisions (sinistres et risques croissants) et du råsultat (nul par construction). 12 Les projections du risque â physique ä doivent s appuyer sur des scånarios du type compression de la morbiditå ou Åvolution de l espårance de vie sans incapacitå. 20/20