Nous avons Et: Donc: Potentiel électrique en électrodynamique (absence de monopôles magnétiques suggérée par les observations) B A car B B E t B A E ( A) A E + 1 Nécessairement, le champ d un certain champ scalaire: A E + t A E + ϕ A E ϕ t doit dériver (au sens du gradient) En régime statique ou en absence de champ magnétique, la dérivée partielle par rapport au temps disparaît et l on retombe sur la relation électrostatique qui relie le potentiel au champ électrique! 1
Courants de déplacement et de polarisation Nous avons vu que: J + Mais, D ρ (on pose que cette relation statique reste valable en régime dynamique) ρ certain volume) J + D D J + D J + (toujours vrai: c est un bilan de qté de charges dans un Donc: ( ) 3 D autre part, la magnétostatique nous enseigne que: H J Et puisque la divergence d un rotationnel est toujours nulle, on doit avoir: ( H ) J Il y a contradiction flagrante entre: D J + et J Pour se sortir de cette mauvaise passe, Maxwell a donc supposé qu en électrodynamique il faut concevoir un courant total: D Jtot J + t 4
En électrodynamique, le théorème d Ampère doit donc être modifié: Le terme D D H Jtot J + t est appelé courant de déplacement. D ε E + P E P H J ε + + Si l on se rappelle en outre que alors: Courant libre Courant de déplacement électrique Courant de polarisation 5 Dans la matière, on peut en outre avoir un courant de magnétisation volumique et le théorème d Ampère pour l induction magnétique est: Sachant que: B E P J ε + + + M µ B µ H + M ( ) Courant de magnétisation Courant libre Courant de déplacement électrique Courant de polarisation 6 3
Équations de Maxwell En vertu de tout ce qui précède, on postule que tout l électromagnétisme (statique ou non, dans le vide chargé ou dans la matière) est contenu dans les quatre équations de Maxwell suivantes: D ρ D H J + t B E t B 7 Notion de jauge Le champ électrique et le champ d induction magnétique dérivent des potentiels de la manière suivante: A E ϕ t A ϕ B A Mais la connaissance de et n assure pas l unicité des champs électrique et magnétique. En effet, considérons un champ scalaire Λ quelconque. Alors le couple de potentiels suivant redonne les mêmes champs électrique et magnétique, A' A + Λ Λ ϕ ' ϕ t 8 4
B ' A' ( A + Λ) A + Λ A B (le rotationnel d un gradient donne le vecteur nul) 9 A' E ' ϕ ' t Λ ϕ ( A + Λ) Λ A ϕ + Λ A ϕ t Termes égaux si fonction C E ( ) 1 5
Ce qui précède nous apprend donc que pour représenter mathématiquement un champ électrique et un champ magnétique, nous avons une certaine liberté dans le choix du potentiel vecteur et du potentiel électrique. La liberté repose sur la sélection du champ scalaire Λ, pourvu que soient satisfaites les relations, A' A + Λ Λ ϕ ' ϕ t Une telle transformation est appelée transformation de jauge. Le choix d une jauge particulière est généralement motivé par la volonté de simplifier certaines expressions mathématiques. Nous verrons notamment la jauge de Lorenz (et non Lorentz comme on l écrit par erreur dans la plupart des ouvrages!) qui permet de montrer que le champ électromagnétique se propage comme une onde. Remarquons que si le potentiel vecteur est à divergence nulle, il n en est pas nécessairement de même pour le potentiel vecteur ' (cela dépend du laplacien de Λ qui en général est non nul)! 11 A A Équations d évolution des potentiels et jauge de Lorenz Dans le vide chargé les équations de Maxwell deviennent : ρ D ρ E (1) ε D H J + E t B µ J + ε µ B E B t E (3) t B B (4) () 1 6
A On a: E ϕ et B A t Et d après l équation de Maxwell (): E B µ J + ε µ A ( A) µ J + ε µ ϕ ϕ A ( A) A µ J ε µ ε µ A ϕ A ε µ ε µ + A µ J 13 Et d après l équation de Maxwell (1): ρ E ε A ρ ϕ ε ( A) ϕ + ρ ε 14 7
A ϕ A A J Dans l équation d évolution du potentiel vecteur, ε µ ε µ + µ On peut s arranger pour faire disparaître le terme en ϕ. Il suffit de poser: ϕ ε µ + A Cette condition est appelée jauge de Lorenz. Dans la jauge de Lorenz les équations d évolution des potentiels sont donc: ϕ A ϕ ε µ ρ ε A ε µ µ J 15 Dans la jauge de Lorenz on a donc les équations d ondes avec sources: Vide chargé: ϕ A ϕ ε µ ρ ε A ε µ µ J Les potentiels électromagnétiques peuvent même se propager dans le vide car dans le vide les équations précédentes se simplifient en: Vide: ϕ A ϕ ε µ A ε µ 16 8
En considérant les unités des équations d ondes qui précèdent, on peut en déduire la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Par exemple, pour l équation du potentiel électrique: ϕ ϕ ε µ ε µ [ ϕ] L [ ε µ ] [ ] [ ϕ ε µ ] T T L Donc le produit est homogène à l inverse du carré d une vitesse. Il s agit du carré de la vitesse de la lumière: c 1 ε µ 17 Remarques sur les équations d évolution des potentiels Les équations d évolution des potentiels du vide chargé (avec jauge de Lorenz), ϕ A ϕ ε µ ρ ε A ε µ µ peuvent évidemment être résolues avec la notion de potentiels retardés (intimement associée à la fonction de Green de l équation des ondes) et la notion de potentiels de Liénard-Wiechert. Ces équations d évolution prennent une forme similaire dans les milieux simples, i.e. linéaires, homogènes et isotropes (voir diapo suivante). J 18 9
Les équations d évolution des potentiels d un milieu simple chargé, sont : avec la jauge: ϕ ρ ε A εµ µ J ϕ εµ A ϕ εµ + A Dans ce cours, nous nous limiterons à la résolution des équations d évolution du vide non chargé, ou d un milieu simple non chargé pour lequel on a simplement: ϕ A ϕ εµ A εµ 19 Équations d évolution des champs dans le vide non chargé Dans le vide non chargé on a (dans la jauge de Lorenz): D autre part: B A ϕ A ϕ ε µ A ε µ Donc (en prenant le rotationnel de la ème équation): A ( A) ε µ 1
Si le potentiel est C3: A ( A) ε µ ( A) ε µ ( A) B B ε µ Ainsi, chaque composante de l induction magnétique vérifie une équation d évolution semblable à celle du potentiel électrique dans la jauge de Lorenz. 1 D autre part: Avec: Donc: ϕ ε µ A E ϕ t ϕ ϕ ϕ ε µ ϕ ( ϕ ) ε µ ( ϕ ) ε µ ( ϕ ) 11
D autre part: A A ( A) ε µ A ε µ Nous avons donc montré: ( ϕ ) + ε µ ( ϕ ) A A ε µ A A + ε µ Et enfin (par addition des deux dernières équations): E ε µ E 3 Ainsi, chaque composante du champ électrique vérifie aussi une équation d évolution du même type. On peut retrouver ces résultats à partir des équations de Maxwell du vide non chargé elles-mêmes, comme nous allons le vérifier ci-dessous et dans les diapositives suivantes : ρ E ε E B µ J + ε µ B E t B Maxwell (pour le vide chargé) E (1) E B ε µ () B E (3) t B (4) Maxwell (pour le vide non chargé) 4 1
On a: B Et enfin: E B ε µ E ( B) ε µ ( B ) B ε µ ( E) B B ε µ B E B B ε µ t 5 B E t B ( E) ( E ) E ( B) E E ε µ E B ε µ E E ε µ 6 Pour le champ électrique, on part de : E Et enfin: 13
Généralités sur les ondes Notre propos, dans la présente section, est de traiter l aspect ondulatoire de la lumière ou, d une manière générale de toute onde électromagnétique. Pour ce faire, il convient de rappeler quelques notions ou définitions de base, histoire de bien construire notre étude de tels phénomènes ondulatoires; Il y a deux types d ondes: les longitudinales et les transversales (voir figures suivantes). 7 Longitudinale Le long d un ressort, ou des ondes sonores Transversale Ondes électromagnétiques, ou des ondes 8 sur une corde 14
Pour représenter une onde, il est utile d introduire une fonction mathématique qui donne la variation (dans le temps et dans l espace) de l état de perturbation du milieu: ψ ( x, t) f ( x, t) Il faut bien se rappeler que la matière ne se propage pas, elle se contente de bouger relativement à sa position d équilibre. Par contre, la perturbation se propage avec une certaine vitesse ou célérité, c. Si l onde se propage sans changer de profil, alors la dépendance avec le temps et l espace est plus simple (voir aussi figures suivantes): x ψ ( x, t) f ( x ct) F( t ) c 9 ψ ( x, t) f ( x vt) 3 15
La fonction Ψ vérifie une équation différentielle: l équation des ondes Ψ 1 Ψ x c Équation d onde unidimensionnelle (selon l axe des x). La première dérivée partielle est calculée à t constant, la seconde à x constant. Un cas important est celui des ondes harmoniques ou sinusoïdales: [ ] [ ω ] ψ ( x, t) Asin k( x ct) Asin kx t Il est aisé de vérifier que cette fonction vérifie l équation d onde. Les ondes harmoniques sont fondamentales car (d après le théorème de Fourier) toute perturbation périodique est décomposable 31 en somme de fonctions harmoniques. Longueur d onde c λ ct ν Quelques grandeurs importantes: π ν ω k π λ c c 1 κ λ Période Vitesse de phase (ou célérité) Nombre de propagation Nombre d onde Fréquence Phase ω kc Pulsation ou vitesse angulaire π ω πν T k est l analogue spatial de ω. Déphasage ϕ k( x ct) + ε kx ωt + ε 3 16
ϕ k( x ct) + ε kx ωt + ε ϕ x On a alors: k et t ϕ ω x dx dt ϕ ϕ ϕ x x t ω k c (vitesse de phase) L équation des ondes est dite dispersive si c dépend de la fréquence. Dans le cas contraire, elle est dite non dispersive. 33 Principe de superposition La linéarité de l équation d onde fait que si deux fonctions sont solutions, alors toute combinaison linéaire de ces deux fonctions est aussi une solution de l équation d onde : on appelle cette propriété principe de superposition. Si: Ψ1 1 Ψ1 x c Et: 1 Ψ Ψ x c Alors: a, b R : ( aψ 1 + bψ) 1 ( aψ 1 + bψ) x c 34 17
Le principe de superposition nous garantit que la somme de deux ondes ayant le même nombre de propagation est une 3ème onde avec un même nombre de propagation. Mais des déphasages ou des différences d amplitudes font que le profil de l onde finale peut être très différent d une situation à l autre. Dans le cas d), on a une atténuation significative de l amplitude: on appelle ce phénomène interférence. 35 D après le principe de superposition, si deux perturbations distinctes sont des ondes, alors leur somme est aussi une solution. En d autres termes, la perturbation totale est une onde composée de la somme des deux perturbations initiales. Les systèmes physiques pour lesquels le principe de superposition est applicable constituent ce que l on appelle des systèmes linéaires. En pratique, le principe de superposition fonctionne pour des perturbations d amplitudes modérées. Dans le cas des ondes de choc, par exemple, ce principe est inapplicable. 36 18
Solution de l équation des ondes 1D Les solutions sont de la forme (vitesse de phase v): y f ( x vt) ( x vt) y g + On peut le vérifier par substitution directe. Propagation vers la droite x x Propagation vers la gauche 37 En effet, si: y f ( x vt) Posons: u x vt Alors: f f u f v u u f f f f f v v + v u u u ( ) ( ) f f u f f ( v) ( v)( v) + v u u u 38 19
D autre part: f f u f f 1 x u x u u ( u x vt ) f f f f u f x x x x u u x u On a donc montré: Finalement: f f x f + v u f u ( ) f 1 f x v f 1 f v u v u f u f u On procéderait de la même manière pour montrer que y g x + vt est solution de l équation d onde. 39 y Interprétation f ( x vt) Représente une perturbation f se propageant le long de l axe des x avec la vitesse v.. Pour le vérifier, posons: y f ( ) x vt Il s agit de la valeur de la perturbation en x à l instant t 4
Considérons à présent un instant antérieur rieur: t 1 t t Donc: f (x vt ) f (x v(t 1 + t)) f ( x - v t vt 1 ) f ( x 1 - vt 1 ) i.e. la perturbation à x, t est exactement la même que celle qui était présente au point x 1 x - v t, un instant t t plus tôt. 41 Solution par la méthode de D Alembert On a le théorème suivant: La solution générale de l équation d onde, est de la forme: f 1 f x c (, ) ( ) + ( + ) f x t g x ct h x ct Autrement dit, la perturbation la plus générale est la somme de deux perturbations se propageant selon les deux directions de l axe des x. Ci-dessous, on se propose de démontrer ce résultat rigoureusement avec la méthode dite de D Alembert. 4 1
Démonstration avec la méthode de D Alembert: D après l équation des ondes, f 1 f x c f f x, t la perturbation est une fonction de x et t: ( ) Soit le changement de variables: u x ct v x + ct Ce changement de variables fait que l on peut concevoir la perturbation comme une fonction de u et v: (, ) (, ), (, ) f f u v f x u v t u v 43 On a: f f df du + dv u v f f u f v + x u x v x f f f + x u v f f f f + x x x x u v Puis: u x ct v x + ct f u f v f u f v + + + u x u v x v u x v x f f f f + + + u u v v u v 44
D autre part: f f u f v f f + c + c u v u v f f f f c v u f u f v f u f v c + + v u v u u v f f f f c c + c c c + v u v u u v f f f f v u v u u v c + + 45 Nous avons donc montré que: f f f f + + x u u v v f f f f c + v u v u En injectant ces résultats dans l équation des ondes on trouve enfin: f 1 f x c f f f 1 f f f + + c + u u v v c v u v u f u f + + u v f v f v f u v f u + 46 3
Finalement: f u v Autrement dit il existe des fonctions G et H telles que (A et B sont des ctes): f u v f H ( v) + A v f v u f G ( u) + B u 47 Appelons g une primitive de G, et h une primitive de H (A et B sont des ctes; α est une fonction de u, β une fonction de v): f H ( v) + A f ( u, v) h( v) + Av + α( u) + A' v f G ( u) + B f ( u, v) g( u) + Bu + β ( v) + B ' u On constate donc bien que f peut s écrire comme la somme d une fonction de u, et d une fonction de v (plus une éventuelle cte): ( ) ( ) f ( u, v) ϕ u + Ψ v En revenant aux définitions de u et v: ( ) ( ) f ( x, t) ϕ x ct + Ψ x + ct Autrement dit, la perturbation la plus générale est la somme de deux perturbations se propageant selon les deux directions de l axe des x. 48 4
Ondes planes Dans les sections qui précèdent, nous avons parlé des ondes unidimensionnelles, se propageant le long d une seule direction spatiale; Évidemment, les ondes unidimensionnelles ne sont pas les seules à exister et, en général, nous avons au contraire à considérer des ondes tridimensionnelles, se propageant dans toutes les directions de l espace; Vous vous doutez certainement que les expressions mathématiques représentant de telles ondes sont en général très compliquées. Il existe néanmoins un cas d onde tridimensionnelle qui reste facile à aborder, tant conceptuellement que mathématiquement: les ondes planes. 49 Par définition, on a une onde plane lorsque les surfaces (dans l espace) associées à une phase donnée sont des plans. Autrement dit, les surfaces isophases sont des plans. Dans les diapositives suivantes, on précise cette idée. 5 5
r r k (r r ) k k ( x x ) + k ( y y ) + k ( z z ) x y z k x + k y + k z k x + k y + k z x y z x y z k r cte r xi + yj + zk r x i + y j + z k Une onde plane se propageant selon la direction spatiale k. 51 Pour chaque plan on a une phase fixée, k r ±ωt On a donc une onde: Ψ (r, t) Asin( k r ±ωt) Ou, Ψ (r, t) Acos( k r ±ωt) Ou (notation complexe), i( k r ±ωt ) Ψ (r, t) Ae 5 6
Équation des ondes tridimensionnelle En 3 dimensions, l équation différentielle, Se généralise en: Ψ 1 Ψ x v Ψ Ψ Ψ Ψ 1 + + x y z v Ou encore: Ψ 1 v Ψ 53 Ondes sphériques Supposons que ψ ( r, t ) possède une symétrie sphérique relativement à l origine (source des ondes). En coordonnées sphériques, le laplacien s écrit: 1 r r r r + r 1 sinθ + sinθ θ θ r z 1 sin θ ϕ θ r y x φ 54 7
En symétrie sphérique, ψ dépend seulement de r, pas de φ niθ. En conséquence, l équation des ondes devient: 1 ψ 1 ψ r r r r v ou, ψ ψ 1 ψ + r r r v 55 Mais: Donc (puisque r ne dépend pas du temps): ( rψ ) ψ + r r r r ψ ψ + r r r ψ ψ r + r r r r v ψ ( rψ ) 1 ( rψ ) r v ψ 56 8
Mais, r ( rψ ) 1 ( rψ ) v n est rien d autre qu une une équation des ondes dont la solution générale est : Et si on considère seulement l onde qui s éloigne de la source: rψ ψ f 1 r ( kr ωt) + g( kr + ωt) f ( kr ωt) i.e. l amplitude décroît en 1/r! Les fronts d onde sont des sphères! L énergie d une onde étant proportionnelle au carré de l amplitude, l énergie décroît donc en 1/r. 57 Rappels: ondes électromagnétiques Nous avons déjà montré que dans le vide non chargé et dans la jauge de Lorenz on a les équations d évolution des champs: ε µ E B B ε µ o E o Ainsi il est naturel de penser que l information électromagnétique se propage à la manière des ondes, avec une vitesse de phase, c 1 ε µ o 58 9
Dans un milieu simple non chargé on a aussi: E εµ B B εµ E Avec une vitesse de phase, v 1 εµ Avec: ε ε ε ε 1+ χ µ µ µ µ 1+ χ r r e r r m 59 Indice de réfraction dans un milieu non ferromagnétique Par définition, l indice de réfraction n est donné par le rapport (vitesse de phase dans le vide non chargé divisée par la vitesse de phase dans un milieu simple non chargé): On a donc: c n v c 1 n ε ε µ µ v ε µ + ( 1 ) r r εµ ε rµ r ε r χm ε µ Mais dans un milieu non ferromagnétique la susceptibilité magnétique est de l ordre de 1-5. Finalement (et avec une excellente précision): c n v ε r 6 3
Ondes EM planes dans le vide Dans le vide non chargé on a: E (1) E B ε µ () B E (3) t B (4) ( E, B vecteurs constants ) Et les champs vérifient: 1 E E c t 1 B B c t Cherchons les caractéristiques de solutions planes: E(r, t) E cos( k r ± ωt) B(r, t) B cos( k r ± ωt) 61 cos( r ± ) On a: E ( E k ωt ) E E x y Ez + + x y z Ey Ez ( E x cos( kxx + k y y + kzz ± ωt) ) + + x y z Ey Ez E x ( cos( kxx + k y y + kzz ± ωt) ) + + x y z Ey Ez E xkx sin( kxx + k y y + kzz ± ωt) + + y z Ey Ez E xkx sin( k r ± ωt) + + 6 y z 31
Finalement (en traitant de la même manière les autres termes de la divergence): ( ) E xkx + E yk y + E zkz sin( k r ± ωt) E k sin( k r ± ωt) La dernière relation devant être vraie quel que soit l instant ou la position, on a nécessairement : E k et aussi: E k En utilisant le fait que la divergence du champ d induction magnétique est nulle, on montrerait de la même manière que: k B k Puisque le vecteur a pour direction la direction de propagation, nous venons donc de prouver que le champ électromagnétique est transversal. 63 B E Donc: t ± ± D autre part: ( cos( r ) ) ( cos( E k ωt B r ) k ωt ) Pour la composante x de la dernière équation on a donc: E B k ± t x E E z y B x k ± t y z E E z y ± B xω sin( k r ± ωt) y z ( x cos( r ω )) ( cos( r ω )) 64 3
E E z y ± B xω sin( k r ± ωt) y z E k E k sin( k r ± ωt) ± B ω sin( k r ± ωt) ( ) y z z y x E k + E k ± B z y y z x ω De la même manière, on montrerait que: Autrement dit: E k + E k ± B x z z x y E k + E k ± B k E ωb y x x y z k r ωt Remarquons que pour avoir une onde se propageant dans le même sens que il faut prendre une phase de la forme: ω ω k 65 Donc, si le vecteur d onde est dans le sens de la propagation, on a, Et donc aussi: Ainsi les trois vecteurs B E k E +ωb k E ωb k, E, B forment un trièdre direct et vibrent en phase: De plus: k ke ωb ω E ωb c E cb E cb 66 33
Dissipation d énergie par effet Joules v dans un champ électromagnétique Soit une charge q animée d'une vitesse La force agissant sur cette charge est la force de Lorentz: f q E + v B dont le travail pendant une durée dt est: ( ) δ W f vdt qe vdt + q v B vdt ( ) La puissance cédée aux charges par le champ électromagnétique s'écrit donc, pour une charge: δw P f v qe v dt 67 En supposant que tous les porteurs de charge ont la même vitesse dans un volume élémentaire, la puissance cédée aux charges dans ce volume s'écrit: dτ dp nqe vdτ où n est le nombre de porteurs de charge par unité de volume. La puissance fournie à l'ensemble des charges vaut donc: P nqv Ed τ j Ed τ ( V ) ( V ) Donc si on désigne par E c l'énergie cinétique totale des charges soumises au seul champ électromagnétique, on a: ( V ) j Edτ de dt (d'après le théorème de l'énergie cinétique; cf. diapo suivante). c v 68 34
Démonstration du fait que la puissance est la dérivée de l énergie cinétique par rapport au temps. Dans un référentiel galiléen on a : dv P f v ma v m v dt 1 d 1 d P m v v m v dt dt d 1 dec P mv dt dt ( ) ( ) 69 E B µ j ε µ + Ecrivons les équations de Maxwell relatives à l induction et au théorème d Ampère: On peut faire une combinaison linéaire de ces deux équations pour obtenir: Théorème de Poynting B E t 1 ( E ( B) B ( E) ) µ 1 E B E µ j + ε µ B µ E 1 B j E + εe + B µ E 1 B j E + ε + 7 µ 35
Mais: Donc: ( A B) B ( A) A ( B) 1 E 1 B ( E ( B) B ( E) ) j E + ε + µ µ ( B E) E 1 B j E + ε + µ µ Finalement: E 1 B E B j E + ε + + µ µ (identité ou théorème de Poynting) 71 Interprétation du théorème de Poynting Intégrons l identité de Poynting sur un volume V bordé par une surface fermée S. On a: ε + dτ + j Edτ + dτ E 1 B E B V t µ V V µ Le second terme représente (cf. diapo 68)la variation d'énergie cinétique des charges contenues dans le volume considéré. V V E B E B dτ ds µ µ S Par ailleurs, le théorème de la divergence nous dit que: E 1 B dec E B ε + dτ + ds µ dt µ S Et l'identité de Poynting se met sous la forme: 7 36
Afin de pousser plus loin l'interprétation, imaginons une surface telle que U em S E B ds µ L'identité de Poynting se met alors sous la forme: où l on a posé: d U dt ( + E ) em E 1 B ε V + µ c dτ l énergie électromagnétique totale contenue dans le volume V. L équation (1) est une loi de conservation de l'énergie, et elle suggère qu'une partie de l'énergie totale est localisée dans les régions où règne un champ électromagnétique, indépendamment de la présence de charge. (1) 73 d E B ( Uem + Ec ) ds dt µ Si on revient à l'expression générale, on a alors: La variation de l'énergie totale (mécanique + électromagnétique) correspond donc au flux du vecteur dit de Poynting (dirigé comme le vecteur k). Vecteur de Poynting: S E B R E H µ Ce vecteur est donc directement associé à la puissance transportée par le champ électromagnétique. Son flux à travers une surface S donne l'expression de la puissance qui traverse cette surface. Pour une surface fermée, ce flux est positif si la puissance est transportée de l'intérieur vers l'extérieur (diminution de l'énergie électromagnétique à l'intérieur du volume), et négatif dans le cas contraire. 74 37
E B R E H k µ E R B Le vecteur de Poynting a pour direction et sens, la direction et le sens de propagation de l énergie électromagnétique. 75 Irradiance (énergie par unité de volume) Densité d énergie dans un champ électrique Densité d énergie dans un champ magnétique avec 1 ue ε oe u B 1 µ E 1 E 1 J B ub ε E o 3 µ o c m c o B,, J m J m 3 3 76 38
Densité d énergie totale u u E + u B ε E o Mais si E E o sin(ωt+ t+φ) et ω est très s grand on observe une moyenne temporelle de E : sin t+ T 1 1 t + t dt T + ( ω ϕ ) sin ( ω ϕ ) u 1 ε E o o t 77 39