Cpitr 6 Prsptiv vlièr Un rprésnttion n prsptiv un soli l sp (à trois imnsions) sur un pln (ux imnsions) n st ps évint. Il xist plusiurs typs rprésnttions n prsptiv. Dns l suit, nous étuirons l prsptiv vlièr, résultt un projtion u soli sur un pln suivnt un irtion onné. L ritt Jqus Anrouët u Cru (1510-1589) st l un s prmirs à mployr l prsptiv vlièr mnièr métoiqu. Dns ss rprésnttions, l fç u âtimnt st rprésnté à l éll. L prsptiv vlièr tullmnt utilisé n rittur st ll û à Auust Coisy (1841-1909). Dns tt prsptiv, sont ls plns orizontux qui sont rprésntés à l éll. L vnt st qu l pln u âtimnt n st ps éformé : suls ls lins vrtils sont réuits. L oriin l xprssion prsptiv vlièr n st ps onnu v rtitu. Dux xplitions sont ommunémnt miss : un oriin srit qu un vlir rrnt u ut son vl un ojt posé u sol l voit qusimnt n prsptiv prllèl ; un utr oriin tint u mot vlir qui, n voulir s fortifitions, st un ut montiul trr ; insi un osrvtur situé sur vlir un vu sur l mpn nvironnnt pro un rprésnttion n prsptiv vlièr. 6.1 Prmir xmpl On pl un u ns l sp, f à un érn vrtil. Un sour luminus élir l érn puis l rrièr u u ; tous ls ryons luminux étnt prllèls ls uns pr rpport ux utrs. L u st plé sort qu ux ss fs soint prllèls à l érn t qu ux utrs soint orizontls. Si ls ryons l sour luminus n sont ps prpniulirs à l érn, on otint sur t érn un rprésnttion n prsptiv vlièr u u. Si ls ryons sont prpniulirs à l érn, on prl prsptiv ortoonl. Dns l suit, on onsièrr qu on n st ps ns tt sitution. Prsptiv vlièr : Lorsqu on rprésnt un soli n prptiv vlièr, l fiur otnu n st ps uniqu. En fft ll épn l position u u t l sour lumièr pr rpport à l érn. Ainsi,
46 Prsptiv vlièr un mêm u put voir plusiurs rprésnttions n prsptiv : En fit, un rprésnttion n prsptiv vlièr st l omr l ojt sur un érn. 6.2 Voulir l point vu : st l position l osrvtur. Pour qu l rprésnttion onn un imprssion volum, il fut qu l point vu soit élé orizontlmnt t vrtilmnt pr rpport à l ojt : un mêm u puis ifférnts points vu. ls fs frontls : sont ls fs prllèls à l érn. Cs fs sont rprésntés «à l éll» ; st à ir qu ls rpports lonuurs t ls msurs s nls sont onsrvés ; un fuynt : st un roit ortoonl à l érn ; ls fs fuynts : sont ls fs ltérls ou supériurs : lls qui sont ortoonls à l érn. 6.3 Consrvtions Dns l suit ours, on notr pr s lttrs mjusuls ls sommts s solis t pr ls mêms lttrs minusuls ls sommts orrsponnts sur l rprésnttion n prsptiv vlièr. Ainsi, si SABCD st un pyrmi à s rré, l nom s rprésnttion n prsptiv vlièr st s.
6.3 Consrvtions 47 Voii qulqus fiurs qui prmttnt illustrr ls propriétés onsrvtions l rprésnttion n prsptiv vlièr : Sur ls fs frontls, ls propriétés éométriqus sont onsrvés : nls, rpports lonuur, prllèlism, ortoonlité,... Sur ls fs fuynts, n st ps l s l rl insrit ns l f supériur u u n st ps un rl sur l rprésnttion n prsptiv : Qulqus propriétés sont toujours onsrvés ns un rprésnttion n prptiv vlièr n prtiulir : l linmnt : trois points linés sur l soli sont ussi linés sur l rprésnttion n prsptiv vlièr ; Ainsi, si A, B t C sont linés lors, t l sont ussi ; l prllèlism : ux roits prllèls sur l soli l sont ussi sur l rprésnttion n prsptiv vlièr ; Ainsi, si (AB)//(CD) lors ()//() ; ls rpports lonuurs ux smnts prllèls : si (AB) t (CD) sont ux roits prllèls un soli lors : AB =. Ls miliux sont on onsrvés : si M st l miliu CD [AB] lors m st l miliu []. Illustrtions : On rmrqu sur s fiurs, l présrvtion l linmnt, u prllélism t u miliu.
48 Prsptiv vlièr 6.4 Rèls ssin Un rprésnttion n prsptiv vlièr st rtérisé pr un rpport r t un nl it fuit α. L nomr r st l rpport sur l rprésnttion n prsptiv l lonuur un smnt prllèl u pln projtion (l érn) pr ll un smnt mêm lonuur mis ortoonl u pln projtion. C st ussi l rpport l lonuur l rprésnttion un smnt pr l lonuur smnt si lui-i st sur un lin fuit ( st-à-ir ortoonl ux plns frontux). L nl fuit α st l nl formé sur l rprésnttion n prsptiv pr un prllèl t un prpniulir ux plns frontux. Sur l fiur i-ssous à u, on tré n prsptiv vlièr un u n utilisnt α = 30 t r = 1. (CG) t (DH) sont s fuynts. 2 L AFNOR (Assoition frnçis normlistion) rommn utilisr l prsptiv vlièr ( 1, 2 45 ), qu ll ppll projtion vlièr ournt. Son inonvénint mjur st qu ls fuynts t ls ionls u rré l f frontl sont onfonus. On rprésnté i-ssous à roit un u n prsptiv vlièr ournt. f f frontl α r= = CG frontl α r= = CG Rmrqu 6.1 Lin ntr α t l point vu l osrvtur : si α = 90, l prsptiv st ortoonl ; si α ]0 ; 90[, l point vu st à roit t u ssus l ojt ; si α ]90 ; 180[, l point vu st à u t u ssus l ojt ; mêm, si α < 0, l point vu st sous l ojt. Sur ls rprésnttions i-ssous, on rprésnté un u n prsptiv vlièr v α = 120 t r = 0,35 à u t v α = 120 t r = 0,35 à roit : f 120 f 120
6.5 Surpriss! 49 6.5 Surpriss! Attntion, rtins rprésnttions n prsptivs sont surprnnts : Un spèr n st ps rprésnté pr un isqu : Dux roits non-prllèls puvnt êtr rprésntés prllèls : 6.6 Qulqus xmpls Cérémoni toïst pr Jio Bin Zn, 1689-1726