TS Les omres complexes () Chptre d lgère I Itroducto ) ref hstorque Nomres mpossles omres mgres (Descrtes) omres complexes ) Esemles de omres x 7 0 x 7 0 x 0 L équto x ps de soluto ds ( x ou x ) x chque fos que l o gge quelque chose, o perd quelque chose (c est souvet vr ds d utres cotextes) Pr exemple, qud o psse de à, o perd l relto d ordre 3 ) Prolème Costrure u esemle de omres qu v coter ds lequel l équto x 0 dmette des solutos et prologer les opértos coues ds à ce ouvel esemle de omres de telle mère qu elles et les mêmes règles de clcul que ds II Esemle des complexes ) Défto Nous dmettros qu l exste u esemle oté qu vérfe les codtos précédetes Les élémets de cet esemle sot ppelés omres complexes ) Opértos L esemle des omres complexes est mu des opértos d ddto et de multplcto vec les mêmes proprétés que ds 3 ) Nomre Nous dmettros ss démostrto l exstece d u «omre mgre» oté tel que 4 ) Comprso des esemles de omres 0 III Écrture lgérque des omres complexes ) Proprété (dmse ss démostrto) Tout omre complexe s écrt de mère uque sous l forme ) Exemples 3 ( = 3 ; = ) 5 ( = 5 ; = 0) 4 ( = 0 ; = 4) 3 ( = 3 ; = ) 5 7 ( = 5 ; = 7) 3 ) Voculre + est l forme lgérque du omre complexe est ppelé l prte réelle de ; o écrt Re est ppelé l prte mgre de ; o écrt L prte mgre est et o ; c est u réel 4 ) Cs prtculers Im S = 0 (c est-à-dre Im () = 0), lors = ; est u réel S = 0 (c est-à-dre Re () = 0), lors = ; est u mgre pur U mgre pur est u omre qu s écrt sous l forme où est u réel L esemle des mgres purs est oté N 0 est le seul omre complexe à l fos réel et mgre pur et sot deux sous-esemles de 5 ) Exemple 3 5 Re Im ; vec Re 3 Im 5
6 ) Églté de deux omres complexes ; ullté = + ( ; ) y M = + (' ; ' ) ' ' ' v O u x (Deux omres complexes sot égux s et seulemet s ls ot l même prte réelle et l même prte mgre) 0 0 0 (U omre complexe est ul s et seulemet s s prte réelle est ulle et s prte mgre est ulle) 7 ) Récptultf ; ) ( Re Im = x + y est l ffxe de M ) Notto M() ou M(x + y) O lt le «pot M d ffxe» 3 ) Exercce Le pl oreté est mu d u repère orthoormé drect O, u, v Plcer : le pot d ffxe = 5 + 3 le pot d ffxe = le pot C d ffxe C = 4 Im 0 Re 0 (mgre pur) C(4) 3 xe des mgres purs (5+3) IV Iterprétto géométrque (XIX e sècle rgd-cuchy-guss) ) Défto Le pl oreté est mu d u repère orthoormé drect O, u, v M(x ; y) est u pot quelcoque du pl v O u () 5 xe des réels O ppelle ffxe de M le omre complexe x + y Le pot M est ppelé l mge du omre complexe = x + y 4 ) Voculre Le pl oreté rpporté à u repère orthoormé drect O, u, v est ppelé pl complexe L xe de repère O, u est ppelé l xe des réels L xe de repère O, v est ppelé l xe des mgres purs 3 4
V Clculs ds Cuchy (789-857) ) Prcpe O peut effectuer les mêmes opértos que ds (ddto, multplcto, dvso) vec les mêmes proprétés que ds (e prtculer, tout omre complexe o ul dmet u verse pour l multplcto) O tedr compte ds les clculs que ) Exemples Clculos (o pourr repsser les e rouge ds chque expresso) : 3 5 3 8 35 5 5 3 3 5 3 5 9 0 6 5 6 4 3 9 4 5 5 3 3 5 3 3 3 5 9 4 3 5 9 4 3 5 3 3 5 3 3 N : Ue écrture lgérque e dot ps coter de u déomteur O peut vérfer les résultts à l de de l clcultrce (modèle TI 8 Stts ou TI-83 Plus) ou d u logcel de clcul formel sur ordteur Idettés remrqules 4 ) Pussces de Cyclcté d ordre 4 0 3 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 Somme ' ' ' Produt ' ' ' ' ' Iverse 0 v 3 ) Quelques formules de clcul ; ) ( O u ' ' ' ' ; ' ) ( 5 009? 6
009 4 50 009 450 50 009 4 009 50 009 Z 3 Z x y x y 3 Z x x y y x y 3 Z x y x y x 3 O e dédut que O regroupe les et les «o» U résultt mportt : VI Clcul lttérl ; équtos ds ) Exemple Résoudre ds l équto () () 3 5 3 S 5 Re Z x y x 3 Im Z y x 4 ) Exemple 4 (très mportt) 3 Pour tout omre complexe, o pose Z O pose = x + y, x et y étt deux réels tels que (x ; y) (0 ; ) Exprmer Re Z et Im Z e focto de x et de y ère étpe : o écrt le umérteur et le déomteur sous forme lgérque y y y x 3 Z x x 3 y Z (forme lgérque : expresso de l forme +) x e étpe : o multple le umérteur et le déomteur pr l qutté cojuguée du déomteur x 3 y x y x y x y Z 3 e étpe : o effectue tellgemmet les clculs u umérteur et u déomteur ) Exemple Fctorser ds stuce : (Idetté remrqule) Z Z 3 3 x y x x y y x y yx x y x y x y 3 3 6 x y Développemet à 4 fcteurs ' ' ' ' ' ' Idetté remrqule : 3 ) Exemple 3 Pour tout omre complexe ; x y x y, o pose Écrre Z sous forme lgérque e focto de x et y Z 3 7 Re Z x y 3x y x y x 3y 6 Im Z x y 8
VII Cojugué d u omre complexe ) Défto Le cojugué d u omre complexe = + vec ; ) Imge ds le pl complexe est le omre complexe ' ' 6 ) Cojugué d u produt Proprété, ' ' ' Le cojugué d u produt est égl u produt des cojugués M Démostrto (ROC) ; ) ( v O u M ' ' ' ' ' ; ' ) ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' M ' S M Ox 3 ) Proprété mmédte : cojugué d u cojugué 4 ) Exemples 3 3 5 5 7 7 5 ) Cojugué d ue somme Proprété, ' ' ' Le cojugué d ue somme est égl à l somme des cojugués Démostrto (ROC) ; ) ( ' ' ' ' ; ' ) ( ' ' Géérlsto Le cojugué d u produt d u omre quelcoque de fcteurs est égl u produt des cojugués 7 ) Cojugué d ue pussce Proprété * Démostrto (ROC) fcteurs O pplque le résultt sur le produt ' ' ' ' ' ' ' ' ' 9 0
8 ) Cojugué d u verse Proprété 0 ) Expressos des prtes réelle et mgre d u omre complexe à l de du cojugué Proprété * Démostrto (ROC) Re Im 0 doc 0 9 ) Cojugué d u quotet Proprété Démostrto (ROC) O pose : ; ) ( doc doc ) Crctérsto des réels et des mgres purs à l de du cojugué Proprété *, ' ' ' Démostrto (ROC) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Démostrto (ROC) Im = 0 0 0 Re = 0 0 0 Utlsto O se sert de cette proprété pour démotrer qu u omre complexe est réel ou mgre pur (vor exercces)
VIII Équtos du secod degré ds ) Exemple : omres complexes de crré doé (Cs prtculer) Résoudre ds l équto 9 () () 9 0 3 0 3 3 0 3 ou 3 (Cs géérl) Résoudre ds l équto ( réel fxé) er cs : 0 e cs : 0 3 e cs : 0 S ; S 0 ) Démostrto ds le cs géérl,, c sot tros réels tels que 0 Résoudre ds l équto c 0 (E) (E) c 0 c 0 c 0 4c 0 4 O pose : 4c (E) 4 4 0 : ( 0) S ; N : 0 er cs : 0 (E) e cs : 0 ou ou (E) 0 0 3 e cs : 0 (E) ou ou 3 4
3 ) Règle 3 0,, c, 0 c 4c er cs : 0 L équto dmet rces réelles dstctes : et e cs : 0 L équto dmet rce réelle doule : 0 3 e cs : 0 L équto dmet rces complexes cojuguées : et 4 ) Exercce Résoudre ds l équto Cosdéros le polyôme Recesemet des coeffcets : ; ; c Clcul du dscrmt 4c 4 3 0 O : 0 doc le polyôme dmet rces complexes dstctes cojuguées : 3 3 3 S ; 5 ) Fctorsto d u polyôme du secod degré 3 f c,, c, 0 O ote et les rces dstctes ou cofodues f 3 6 ) Somme et produt des rces c IX Premères pplctos géométrques des omres complexes ) Remrque prélmre Ds tout le prgrphe, o se plce ds le pl complexe mu d u repère orthoormé drect O, u, v ) Défto de l ffxe d u vecteur tout vecteur w de coordoées crtésees (x ; y) o ft correspodre so ffxe x y w x ; y w x u y v 3 ) Proprété : églté de vecteurs w et w ' sot deux vecteurs quelcoques w w' w w' 4 ) Proprété : ffxe d u vecteur déf pr deux pots Éocé et sot deux pots quelcoques de P Le vecteur pour ffxe Démostrto x x x y y y x y x x y y x y x y w 5 6
5 ) Proprété 3 : règles de clcul sur les ffxes w et w' ' sot deux vecteurs quelcoques Le vecteur w w' pour ffxe ' Le vecteur w pour ffxe w w' w w' w w 6 ) Proprété 4 : ffxe du mleu d u segmet Éocé et sot deux pots quelcoques de P Le mleu M du segmet [] pour ffxe M Démostrto M mleu de [] M M 0 M M 0 M 0 M Géérlsto - Pour tros pots G : ( ; ), ( ; ), (C ; c) c 0 G c c C - Pour pots ( 0 ) G : ;, ;,, ; G X pplctos du pl complexe ) Défto Ue pplcto du pl complexe est ue «focto» de P (ou d ue prte de P) ds lu-même qu à tout pot M () ssoce u pot M ( ) Lorsque f est ue jecto, o dt que f est ue trsformto du pl complexe ) Exemples 7 ) Proprété 5 : ffxe d u rycetre Éocé f : P M() P M ( ) vec ' et sot deux pots quelcoques de P et sot deux réels tels que 0 Le rycetre G des pots podérés ( ; ) et ( ; ) pour ffxe G Démostrto G rycetre des pots podérés ( ; ) et ( ; ) G G 0 G G 0 G G 0 G G Imges de (3) et (+)? ' 3 9 doc (9) ' doc () 3 ) Voculre M est ppelé l mge de M pr f O écrt f (M) = M L expresso de e focto de est ppelée l «expresso complexe» de f Les técédets d u pot pr f sot les pots qu ot pour mge pr f 7 8