O se plce ds Exercces sur les mrces ( é u eer urel supéreur ou égl à ) So A l mrce défe pr e T l mrce de m défe pr s e so ) Démorer que A T T ) Démorer que T es versble e clculer so verse ) E dédure que A es versble e clculer l verse de A Vérfer So A e B deux mrces crrées d ordre A B Doer le développeme de So A ue mrce recgulre à coeffces ds u corps commuf K compor lges e p coloes ) Que vu le produ AI p? ) Que vu le produ I A? 4 Déermer les mrces rgulres T de O pourr commecer pr regrder les cs e elles que TT T T 5 O pose A Démorer que A es versble e clculer A Vérfer sur l clculrce 6 So E u espce vecorel de dmeso fe e f u edomorphsme de E el que f e f Démorer que x f x f x Écrre l mrce de f ds B Déermer le rg de f B es ue bse de E 7 So m p ros eers urels o uls So A ue mrce de m e B e C deux mrces de p m Démorer que BA A CA A BA CA Idco : O pourr cosdérer l mrce X B C A e clculer X X 8 O pose A ) Clculer A ; e dédure ) So C A I Clculer C pus C pour ) Clculer I pour A A e A pour 9 So u eer urel supéreur ou égl à e u corps commuf ) Démorer que pour ou couple ( ) d eers urels comprs ere e els que o I E GL ) Déermer le commu de GL c es-à-dre l esemble des mrces qu commue vec oues les mrces de GL So A ue mrce de ) Vérfer que l o : A r AA de AI ) Démorer que pour ou eer urel o : A Vec I A ) O suppose que r A So B ue mrce de Démorer que s A B BA lors AB BA So l pplco défe sur pr r I ) Jusfer que es u edomorphsme ) Déermer le oyu de E dédure que es becve ) Déermer l expresso de 4 ) Déermer u polyôme de degré qu ule À l de de ce résul rerouver que es becve e l expresso de So A ue mrce de Démorer que A AA A AA AA O pose B A AA A Clculer BB e e dédure l récproque So f l edomorphsme de do l mrce ds l bse coque es A ) Déermer ue bse de Ker f ) Déermer ue équo de Im f ) Ker f e Im f so-ls supplémeres?
4 So l esemble des mrces crrées d ordre à coeffces réels mu de s srucure coque d espce vecorel O oe S le sous-esemble des mrces symérques de A le sous-esemble des mrces symérques de e R l esemble des mrces de elles que les deux élémes qu e so ps sur l dgole so opposés ) Démorer que S A e R so des sous-espces vecorels de ; déermer ue bse de chcu de ces sous-espces vecorels ) Vérfer que : = S + A = S + R Ces sommes so-elles dreces? Déermer S A e S R 5 O pose A e B O oe E = Vec (A B) ) Démorer que E = ) Déermer les mrces de E qu so versbles 6 So f l edomorphsme de do l mrce ds l bse coque es A Déermer Ker f e Im f Vérfer que Im f Ker f Déermer ue bse de ds lquelle l mrce de f qu u coeffce o ul 7 Déermer les mrces de dgoles 8 O cosdère l mrce A prou lleurs Clculer ( corps commuf de A ; e dédure que A es versble e doer so verse 9 O pose E ( corps commuf ) qu commue vec oues les mrces cosuée de sur l dgole secodre e de ) ) Démorer que pour oue forme lére sur E l exse ue uque mrce f E elle que pour ou X E o : f X r f X ) Déermer les formes léres f sur E elles que pour ou couple (A B) d élémes de E o f AB f BA Résoudre ds l équo So F l esemble des mrces de X X 6 de rce ulle ) Démorer que F es u sous-espce vecorel e déermer s dmeso ) O oe E l mrce do ous les coeffces so uls suf celu sué sur l lge e ds l coloe qu es égl à Pour ou couple ( ) d eers urels els que e o pose : T E e pour ou eer el que o pose : T E E Démorer que l fmlle T T es ue bse de F 4 O pose E e B l bse coque de E So f l edomorphsme de E do l mrce ds l bse B es A ) Démorer que f es becf ) Pour o pose G x ; y ; z E / y z Démorer que G es u sous-espce vecorel de E e doer l dmeso e ue bse ) Déermer el que G f G 5 So u eer urel o ul O oe E l lgèbre des mrces crrées d ordre à coeffces réels l bse coque de E O désge pr E O se propose de démorer de deux fços dfférees que pour oue forme lére f sur E l exse ue uque mrce A de E elle que pour ou X E f X r AX o : ) So f ue forme lére sur E e A ue éveuelle soluo u problème posé Clculer l rce de AE e e dédure les coeffces de A Coclure vec so ) Pour oue mrce A E o oe f A l forme lére sur E défe pr f X r AX pour ou X E e l pplco : E E A f A Vérfer que es ue pplco lére f A à l de des coeffces de A ; e dédure que es ecve Clculer A Coclure A So A ue mrce de ( corps commuf ) de rg r m Démorer que A s écr comme somme de r mrces de rg O pose A Démorer que A es versble e clculer A «à l m» Vérfer à l de de l clculrce
6 So E u espce vecorel sur de dmeso So e e e B ue bse de E Pour ou réel o cosdère l edomorphsme f e f e e e e ) ) Déermer ue bse de Im f b) Démorer qu ue bse de Ker f es e e e ) Écrre l mrce A de f ds B e clculer ) O pose e ' f e ' ) Démorer que e' e' e' e e e e' e B' es ue bse de E f de E déf pr f e e A E dédure ss clcul b) Doer l mrce A' de f ds B' Précser ue relo ere A e A' 7 O pose A 4 Démorer que A es versble e clculer so verse «à l m» Vérfer sur l clculrce 8 So e b deux réels fxés O cosdère l mrce A de ( ) défe pr mpr ) Déermer deux réels e els que A A I ) Déermer les pussces de A 9 So E u espce vecorel de dmeso So e e e O cosdère l fmlle u u u s f es pr e B ue bse de E U de veceurs do l mrce ds l bse B s écr B U m où m es u réel ) Pour quelles vleurs de m U es-elle u bse de E? v ;; ds cee bse? ) Lorsque U es ue bse écrre les coordoées de ) O se plce ds le cs où U es ps ue bse de E Doer ue équo de V= Vec U Le veceur v ;; ppre-l à V? b s es Ds E mu de s srucure coque d espce vecorel o oe F x ; y ; z E / x y z e G l droe vecorelle egedrée pr le veceur ;; u ) Démorer que F e G so des sous-espces vecorels supplémeres ) Déermer l mrce de l proeco p sur F prllèleme à G ds l bse coque Déermer l mrce de l symére ssocée O cosdère l mrce A urels de ; ;; de défe pr x ) So X el que AX x x O lu ssoce le polyôme P X! O pose Q X P Clculer Q Q ' Q ; e dédure les dérvées successves de P e ) Démorer que P es ul e e dédure que A es versble b So A c d d O pose com A b ue mrce de c A com A= com A A de A I pour ou couple ( ) d eers! (mrce de ppelée l comrce de A) e de A d bc ) ) Démorer que l o : b) Démorer que A es versble s e seuleme s de A ; démorer que ds ce cs o : A coma de A : ) O cosdère l pplco A com A ) Démorer que es u edomorphsme d lgèbre b) Écrre B où B désge l bse coque de c) Clculer comcom A ; e dédure Rerouver le résul pr l mrce de rouvée précédemme So E u espce vecorel de dmeso fe sur u corps commuf e u u edomorphsme fxé de E O cosdère l pplco : E E l l u ) Démorer que es u edomorphsme de E ) So B ue bse de E e A l mrce de u ds l bse B Déermer l mrce de ds l bse B e foco de A
4 Edomorphsmes lpoes So E u espce vecorel de dmeso fe So f u edomorphsme de E O d que f es lpoe s l exse el que f S f es lpoe o déf l dce de lpoece de f comme le plus pe eer el que f Le bu de cee premère pre es de démorer que l dce de lpoece es féreure ou égle à l dmeso de E c es-à-dre que ) Jusfer que f ) O oe x u veceur de E el que f x Démorer que l fmlle x f x f x ) Coclure Applco : O pose A es ue fmlle lbre de E Démorer qu l exse ps de mrce crrée d ordre elle que Idco : démorer e uls l premère pre de l exercce que s 5 So E u espce vecorel sur u corps commuf K Pre A A A lors Le bu de cee pre es de déermer les edomorphsmes f de E els que pour ou veceur x de E le sysème x f x so lé So f u edomorphsme de E vérf cee codo ) Démorer que pour ou x E \ l exse u uque x K el que x ) So x e y deux veceurs o uls de E Comprer e x y Idcos : Cosdérer le cs où : x y es lé x y es lbre e cosdérer lors x y ) Coclure Ds oue l sue o suppose que E es de dmeso fe ( ) f x x Pre B So u u edomorphsme o ul de rce ulle ) Jusfer l exsece d u veceur x E el que x e u x so léreme dépeds s que l exsece d u supplémere F de Vec(x) coe le veceur u x ) O désge pr p l proeco sur F prllèleme à Vec(x) Démorer que F es sble pr p u e que l edomorphsme du es de rce ulle ) Démorer qu l exse ue bse de E ds lquelle l mrce de u ous ses élémes dgoux uls (o pourr procéder pr récurrece sur ) Pre C ) So D ue mrce dgole de K Démorer que l pplco : D D es u edomorphsme de K do ous les élémes dgoux so deux à deux dscs ) Déermer Ker ) Démorer que Im es l esemble des mrces do ous les coeffces dgoux so uls A K 4 ) Démorer que s es ue mrce de rce ulle l exse deux mrces B e C de K elles que A BC CB m m 6 So f l edomorphsme de do l mrce ds l bse coque es A m où m m es u réel ) Déermer ue bse de Ker f ) Déermer ue équo de Im f 7 O pose A b b b ue mrce de où es u corps commuf c c c Déermer ros mrces B C D elles que : b b b AB b b b CA b b b e AD b b b b c c c c c c c c c c 8 So u corps commuf So A e B deux mrces de elles que A B AB ) Clculer I AI B ) E dédure que l o : AB BA 9 O pose A 5 l équo X X A Résoudre ds 4 So u corps commuf e u eer urel supéreur ou égl à Démorer qu l exse ps deux mrces A e B de elles que AB BA I
4 O cosdère l mrce A Clculer A pour eer urel quelcoque 4 So A e B deux mrces de de où es u corps commuf A A O cosdère l mrce de A B A ) Démorer que es équvlee à l mrce : B A Déermer le rg de e foco du rg de l mrce A e du rg de l mrce B A ) Déermer ue codo écessre e suffse pour que so versble e clculer ds ce cs C D Idco : chercher l verse sous l forme E F 4 So E u espce vecorel de dmeso So e e e B ue bse de E b c c b O oe f l edomorphsme de E do l mrce ds l bse B s écr A c b c b b c c b ) Clculer le déerm de A À quelle codo f es-l becf? ) O pose u e e e u e e e u e e e ) Démorer que u u u es ue bse de E b) Écrre l mrce de f ds cee bse c) Rerouver s l vleur du déerm de f 44 ) Démorer que pour oue fmlle x x x de réels posfs ou uls els que o : x x x x x x (vec l coveo : x ) ) O pose I ; So A ue mrce de I I I ( ) vérf les codos suves : À ou éléme x x x de o ssoce y y y de Démorer que y x el que y x A y x 45 So A K e B K p p q ) Démorer que s l -ème lge de A es ulle lors l -ème lge de AB es ulle ) Démorer que s l -ème coloe de B es ulle lors l -ème coloe de AB es ulle 46 O pose A Clculer A où es u eer urel (mrce de ) 47 So A ue mrce crrée d ordre à coeffces ds u corps commuf K Démorer que A es versble s e seuleme s A es versble 48 So K u corps commuf E K X où es u eer urel fxé mu de s srucure coque d espce vecorel O pose ) Démorer que l esemble F des edomorphsmes f de E els que pour ou polyôme P de E o deg f P deg P es u sous-espce vecorel de L(E) ) Déermer l dmeso de F P X X 49 So u eer urel Pour ou eer comprs ere e u ses lrge o pose ) Démorer que l fmlle P P P es ue bse de B X X e B P P P ) O pose ' Déermer l mrce de pssge de B ds B ' e l mrce de pssge de B ' ds B 5 So u eer supéreur ou égl à O pose S ; So F u sous-espce vecorel de de dmeso I F ) Démorer que sble pr mulplco mrcelle e el que F V où V es l esemble des mrces sclres ) ) So p l proeco sur V prllèleme à F p ' p p ' Démorer que pour ou couple de mrces ( ) de o : b) Démorer que pour oue mrce de elle que c) So l bse coque de E S Clculer E E l où l so des élémes quelcoques de S d) Démorer que F coe ous les veceurs de l bse coque de e) Coclure ppree à F lors ppre à F 5 So u eer urel quelcoque supéreur ou égl à O oe T l rsposo des mrces crrées d ordre So A B C D des mrces crrées d ordre elles que T A BCD T B CDA T C DAB e T D ABC Démorer que ABCD 5 Ds ou l exercce es u eer urel supéreur ou égl à ABCD
) rce à dgole srceme dome O cosdère l mrce A de O suppose que A vérfe l codo : ; O d que A es à dgole srceme dome x ) O suppose qu l exse X el que X AX ; x x x Abour à ue cordco e cosdér l premère lge du sysème AX x b) O suppose qu l exse X el que X e AX x Abour à ue cordco c) E dédure que A es versble ) L propréé (P) So A ue mrce de O suppose que A vérfe l propréé (P) suve : ; ; ; ) Démorer que A es à dgole srceme dome e e dédure qu elle es versble x b) So X el que l mrce coloe AX ous ses élémes posfs ou uls x ; x Démorer que O pourr cosdérer x m x ; c) O oe b le coeffce e poso ( ) ds l mrce verse de A b b Pour ; que vu A? b d) E dédure que les coeffces de A so ous posfs ou uls e) Exemple : O cosdère l mrce A e o cosdère pour l mrce A A I Démorer que A vérfe l propréé (P) e clculer (A ) 5 So G u groupe mulplcf ds Démorer que oues les mrces A de G o même rg Ar Démorer que oue mrce A de G de rg r es semblble à ue mrce pr blocs où A r GL r e que l mrce de pssge es l même pour oues les mrces de G 54 So E u espce vecorel réel de dmeso e f u edomorphsme de E el que f ) Comprer Ker f e Im f ; e dédure que le rg de f vérfe r E ) O se propose de démorer qu l exse ue bse B de E ds lquelle l mrce de f so égle à : r r I r r So e e e r ue bse de Im f O complèe e ue bse e e er e r e r de Ker f r ) Démorer qu l exse des veceurs u u r de E els que e f u er f ur b) Démorer que e e e e e u u c) Coclure r r r r es ue bse de E 55 Toues les mrces e eu ds ce exercce so cosdérées comme élémes de Ue mrce de es de voluve lorsque c O cosdère l mrce b d éléme de d d bc I ) ) Démorer que : b) E dédure que es versble s e seuleme s d bc c) Ds le cs où d bc écrre e foco seuleme de b c d I où I désge l mrce deé d ordre ) ) Démorer que l mrce I désg u ombre réel es voluve s e seuleme s ou
b) O suppose ds cee queso que I e I Démorer que es voluve s e seuleme s d e d bc 5 4 ) O pose A ) Trouver u ombre réel el que A I B B é ue mrce voluve b) Pour ou eer urel clculer A e foco de I e B c) Démorer que A es versble e vérfer que l formule rouvée u ) b) es ecore vlble pour 56 So l pplco qu à ou réel f correspodre l mrce cos s s cos ) Démorer que ébl u homomorphsme de groupe de ( +) ds GL ( ) cos s ) E dédure s cos de 6 O pose A où es u réel doé ) Clculer A pour eer urel quelcoque ) So P X u polyôme de [X] O pose P A A Démorer que P P P P A P P ' ' '' P 57 So e b deux ombres complexes quelcoques b O pose A de Clculer A 58 So A e B deux mrce de elles que l o : AB BA A Clculer A B BA b b b b ; e doer ue bse 59 O cosdère l esemble E = ) Démorer que E es u sous-espce vecorel de ) Es-ce ue sous-lgèbre? 6 ) So A ue mrce de Démorer que l o : rg A rg AA Idco : cosdérer les sysèmes léres AX e AAX A? ) Cee propréé es-elle vre s S o doer ue propréé logue 6 O pose A Démorer que A es versble e déermer so verse pr l méhode du pvo de Guss 6 Lemme de Hdmrd O cosdère ue mrce A Démorer que A es versble de Idco : o pourr éuder le sysème AX 64 O cosdère les mrces A e B b l (o dope l coveo C s l ) Démorer que A e B so verses l ue de l ure 65 O cosdère l mrce A Démorer que : ) A es de rg s ; ) A es de rg so 66 O oe A l mrce de elle que pour ou eer { } o : de défe pr de défe pr défe pr s e C b C cos où es u réel fxé C s e O pose E X e l o oe T l pplco qu à ou polyôme P E ssoce le polyôme T P P X ) Démorer que T es u edomorphsme de E e que s mrce ds l bse coque de E es A ) Clculer A 67 O doe ombres complexes P X Pour ou eer urel { } o pose L fmlle P P P es-elle lbre ou lée?
68 So u eer urel o ul O pose e A B b défe pr O cosdère les mrces e de Clculer AB ; e dédure que A es versble e clculer so verse 69 So u eer urel o ul O pose e A défe pr O cosdère l mrce de e b ) Clculer A A où A désge l mrce do les coeffces so les cougués de ceux de A ; e dédure que A es versble e clculer so verse ) Clculer A 7 So A ue mrce symérque de e B ue mrce symérque de Clculer l rce de AB 7 So u corps commuf e u eer urel o ul fxé O pose A = ) So A ue mrce de A O oe T A l pplco de A ds défe pr X r AX A T Démorer que T A es ue forme lére ) Démorer que l pplco de A ds A qu à oue mrce A ssoce T A es u somorphsme d espces vecorels 7 O oe E l esemble des polyômes à coeffces réels e de degré féreur ou égl à f P déf pr : O désge pr f l pplco qu à u polyôme P de E ssoce le polyôme f P X P X P X ) Démorer que f es u edomorphsme de E X X X ) O oe B l bse coque de E : B = Déermer l mrce de f ds l bse B ) Démorer que f es becf 4 ) Clculer l mrce de f ds l bse B 5 ) So P u éléme de E déf pr : ) Explcer e foco des réels P X X X X le polyôme Q = f P b) O cosdère pour ou eer urel o ul l somme P Déermer ue expresso smplfée de S à l de de Q e de Q c) Explcer lors l vleur de S e foco de 7 O cosdère l mrce A Clculer A de défe pr 74 Démorer que pour ou couple A ; B de mrces de K r AB r BA e pour ou eer urel o : 75 O oe F l esemble des mrces crrées d ordre de l forme des réels Ue elle mrce es oée ( ) e précser s dmeso ) Démorer que F es u sous-espce vecorel de où so ) So J So ( ) fxé Démorer que s pour ou réel o ul ( ) J es ps versble lors (o pourr ulser l méhode du pvo de Guss) ) E dédure que s E es u sous-espce vecorel de qu coe J e e coe ucue mrce versble lors dm E Idco : o pourr démorer que l somme E F es drece 4 ) Démorer que l églé précédee es l melleure possble 76 So e p deux eers urels supéreurs ou égux à O doe u réel e o cosdère l mrce de p défe pr m cos Déermer le rg de cos s cos O pourr ulser les veceurs C s e S cos s 77 So u eer urel O cosdère l mrce A de défe pr So f l edomorphsme de X Clculer f X e e dédure s ; so do l mrce es A ds l bse A X X 78 Résoudre XY e YX où X e Y so deux mrce crrées d ordre 5 79 So E u espce vecorel de dmeso e e e ue bse de E Démorer que pour ou eer urel comprs ere e u ses lrge e e e e es ue bse de E ) Déermer ous les edomorphsmes de E do l mrce es dgole ds oues les bses de E ) So
8 So A ue mrce crrée d ordre ( ) ) So B l mrce obeue e échge les coloes e de A ( e é deux eers dscs comprs ere e u ses lrge) Démorer que s A es versble lors B es versble e clculer B e foco de A ) So C l mrce obeue e ou deux fos l -ème coloe à l -ème coloe ( e é deux eers dscs comprs ere e u ses lrge) Démorer que s A es versble lors C es versble e clculer e foco de A 8 So A ue mrce de GL e B ue mrce de ) Démorer que I A BA es versble e exprmer so verse b) O pose H { I / [ ] P B P X P } Démorer que H es u sous-groupe commuf de C p elle que B GL 8 So E u espce vecorel sur K ou O oe e O suppose que e que pour ou E Démorer que E ou E 8 So E u espce vecorel sur de dmeso So e e e B ue bse de E Pour ou eer urel ) Démorer que ' ' ' ' o pose e ' deux sous-espces vecorels de E f f o : f f f f E e B e e e es ue bse de E ) Écrre l mrce de pssge P de B à B ' e déermer P 85 Opéreur de Grégory So u eer urel supéreur ou égl à E X O pose So l pplco de E ds E défe pour ou P E pr P P X P X ) Démorer que es u edomorphsme ) Déermer Ker : ) dreceme ; b) e observ que s Ker P P P ) Déermer Im 4 ) O pose G P lors e pour ou eer urel ; ; ; G X G es ue bse de E ) Démorer que l fmlle b) Clculer G G G G c) Démorer que pour ou polyôme P E o : P P G (formule de Grégory)! 84 O cosdère l mrce A Clculer A où es u eer urel quelcoque de
Corrgé Il pourr êre éress de regrder ce qu se psse lorsque l o ue mrce rgulre T A 4 Grouper les exercces 4 e 7 : même clcul des coeffces de AA T Ds le cs géérl l s g des mrces dgoles A TT Coeffce 5 A ) Ker ; rg ) Ker f Vec ;; ) f x y z x z Im ; ; / ) d 6 Ker f = { (x y z) / x + y z = } = { (x y x + y) / (x y) } = { x ( ) + y ( ) / (x y) } = Vec {( ) ( )} e' e' Im f = Vec {( )} B f = (rce vu ) e' e' e' e f e e' e ' 7 Les mrces dgoles 4 A 4 ) ; ; ; ; ; ) 5 ) rae ; f E 7 Cs prculer du ; B e e e A ; B e e e e e u o e e
o e e u e e e ) Formule : x u v w ou mrce de pssge B p ; ; ;; ;; bse de F ; ; ; ; ;; ;; s B ) O pose : I A ' 'I B b) Démoros que p p F F doc p d où O e dédu que F c) So E S l bse coque de p Clculer E E l où l so des élémes quelcoques de S E E E l l d) Démorer que F coe ous les veceurs de l bse coque de F coe ous les veceurs de l bse coque de e) Coclure 6 ) m y m z L x m y z L x y mz L O obe u sysème rgulre e me (L ) comme premère équo (L ) comme deuxème équo m z (L L L ) comme rosème équo O dscue esue suv les vleurs de m 49 ) Idée : ulser l règle pour ue fmlle de polyômes de vluos deux à deux dsces ) Idée : écrre X X X X X X 5 ) ) Ulser p I b) p F sous-espce vecorel de dm F = F sble pr I F ec 5 5 ABCD ABC DAB CDA BCD ABCT C T B T A ABCT ABC ABCD 6 ) dm S = rg A ; dm S' rg AA ) rg A rg AA 65 O oe C c le produ AB Clculer c pour pour < (= ) X 67 X C l 69 C = AB ; c l ) ) So p l proeco sur V prllèleme à F Démoros que pour ou couple de mrces ( ) de o : p ' p p '
7 Exercce spré d u exercce Ecrcome voe Ecoomque ) rce de f ds B : A 4 ) 4 A 4 L mrce es o versble s e seuleme s x Doc e ) L somme E F Or dm E F es drece doc dm E F dm E dm F 4 ) Cosdérer l esemble des mrces qu o leur derère lge ulle (ou leur derère coloe ulle) 78 Impossble : r XY r YX 5 ) ) Q f P X Q X X 4 75 ) dm F ) L L L L L L L L L O obe ue mrce rgulre do les élémes de l dgole supéreure so :
Srucure de p Srucure de Quesos de cours (srucure d espce vecorel) (srucure d eu srucure d lgèbre) Ce eu es-l ègre? rce d ue pplco lére ds des bses Défo e propréés Propréés du produ mrcel Démorer que l ssocvé découle de l ssocvé e de l dsrbuvé de l mulplco ds le corps commuf 4 Défo de l rsposée d ue mrce ; propréés 5 Défo de l rce d ue mrce Propréés pour ou eer urel o : rab = r BA Démorer que s A e B so deux mrces de 6 Démorer que oue mrce de rg r es équvlee à J r 9 So A ue mrce crrée d ordre versble do les coeffces ppree à u corps commuf K Démorer l proposo : Les codos suves so équvlees : () A versble C A C A C A () L fmlle es ue fmlle géérrce de K () L fmlle C A C A C A es ue fmlle lbre de K (v) L fmlle C A C A C A es ue bse de K O démorer e prculer que s A dme u verse à guche B lors A es versble e B es l verse de A Trsposo rces crrées versbles Iverse d ue mrce Esemble des mrces versbles (srucure de groupe) 7 Démorer que le rg d ue mrce es égl u rg de s rsposée 8 Rg d ue mrce Le vec le rg d ue pplco lére 9 Algorhme d verso d ue mrce (lgorhme de Dor Gry) Opéros élémeres sur les mrces Dmeso de l espce des mrces Bse rce d ue pplco lére ds deux bses Formule de chgeme de bses 4 rce de l beco récproque d u somorphsme ds deux bses dfférees 5 rces d ue forme lére ds ue bse e ds l bse dule Le ere les deux mrces 6 Bse dpée à u proeceur rce d u proeceur ds ue bse dpée Le ere l rce d u proeceur e so rg 7 Bse dpée à ue symére vecorelle rce d ue symére ds ue bse dpée 8 rce exre Défo géérle ; exemple(s) ; cs prculers mpors (veceurs coloes e veceurs lges) Ierpréo mrcelle d ue mrce exre
Proch progrmme rces e pplcos léres (rg lgorhme du pvo de Guss sysème) Opéros élémeres sur les mrces rces élémeres ssocées Défos Exemples d cos d opéros élémeres sur ue mrce Les opéros élémeres so réversbles Les opéros élémeres chge-elles le rg? Algorhmes du pvo (lgorhme sec) Fre u orggrmme Préseer l lgorhme de Guss Explquer ce qu es u «pvo prel» e «u pvo ol» Précser les vrbles ulsées e les procédures ulsées Réposes : A p q : vrbles globles p e q représee des eers urels A ppre à p q(k) O ulse les procédures «Pvo» «Neoe» «Permue» Sysème lére Écrure mrcelle ; écrure vecorelle 4 Iéglés sur le rg d ue mrce compre lges e p coloes 5 Rg d ue mrce du ype