Espaces vectoriels F G

Exercices 12 Espaces vectoriels On étudie la théorie des espaces vectoriels de dimension finie et on donne des exemples d espaces de dimension infinie (espaces fonctionnels). F G F G 0 12 Espaces vectoriels..................................................................... 1 1 Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels.......................................... 2 1.1 Généralités.................................................................. 2 1.2 The R n experience........................................................... 3 1.3 Espaces fonctionnels......................................................... 4 2 Familles de vecteurs............................................................... 6 2.1 Généralités.................................................................. 6 2.2 The R n experience........................................................... 7 2.3 Espaces fonctionnels......................................................... 7 3 Bases et dimension................................................................ 8 3.1 Théorie de la dimension...................................................... 8 3.2 The R n experience........................................................... 9 3.3 Espaces fonctionnels......................................................... 11 4 Indications........................................................................ 13

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et. Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée. Les exercices notés et sont particulièrement délicats. 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1.1. Généralités 1. [ Le complémentaire d un sous-espace ] ( ind ) Soient E un K-espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. 1. E F est-il un sous-espace vectoriel de E? 2. Montrer que x F, y E F, x + y E F. 3. En déduire que lorsque F E, Vect ( E F ) = E. 2. [ Des espaces affines ] ( ind ) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d un K-ev E et x 0, y 0 E. Montrer que x 0 + F = y 0 si et seulement si F = G et y 0 x 0 F. On précise que, pour tout z E et tout sev H de E, z + H := { z + h h H}. + G 3. [ À propos de +& ] ( ind ) Soient U,V,W trois sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E tel que U V. 1. Montrer que U + (V W) = (U + V) (U + W). 2. Montrer que ce résultat peut être faux lorsque U V. 4. [ Vector therapy ] ( ind ) Soient F,G et H trois sous-espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E tels que F + H = G + H, F H = G H et F G. Prouver que F = G. 5. [ Réunions de sev ] ( ind ) Soit E un K-espace vectoriel. 1. Soit (X n ) une suite filtrante de sous-espaces vectoriels de E, ie telle que n N, m N, k m, X n X k Montrer que n 0X n est un sous-espace vectoriel de E. 2. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F G ou G F. 3. Soit (F i ) 1 i p une famille de sous-espaces de E dont la réunion est égale à E. Montrer qu il existe i 0 1, p tel que F i0 = E. LLG PCSI 2 Exercices 12 2

6. [ Comparaison de deux sous-espaces ] ( ind ) 1.2. The R n experience Dans R 3 on pose F = Vect ((2,3, 1),(1, 1, 2)) et G = Vect ((3,7,0),(5,0, 7)). A-t-on F = G? 7. [ Plongement de R m dans R n pour m n ] ( ind ) Que pensez-vous de la proposition suivante : si m n alors R m est un sous-espace vectoriel de R n? Corrigez-la. 8. [ Supplémentaires? ] ( ind ) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur α R pour que les sev U et V suivants de E = R 3 soient supplémentaires dans E : 1. U = Vect((1,2,α)) et V = { (x, y, z); x + y + 2z = 0 } ; 2. U = Vect((1,1,0),(1,2,α)) et V = { (x, y, z); x + 3y + 2z = x + y + 10z = 0 }. 9. [ Un peu de géométrie en dimension trois ] ( ind ) Soient E = R 3, F = { (α + β,4α 2β,α β); (α,β) R 2 } et G m = ((1,1,m),(1,m,1),(m,1,1)) où m R et G m = Vect (G m ). 1. Étude de F. a. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. b. Donner une base F de F et vérifier que F est un plan vectoriel. c. Donner une équation cartésienne de F. d. Trouver un supplémentaire F de F dans E. 2. Étude de G m. a. Déterminer le rang de la famille G m en fonction du réel m. b. Donner une base de G m. 3. Dans cette question, on considère le sous-espace vectoriel G = G 2 de E. a. Montrer que G est un plan vectoriel distinct de F. Donner une équation cartésienne de G. b. Déterminer F G, en donner une base. c. Déterminer F + G. d. F et G sont-ils supplémentaires dans E? LLG PCSI 2 Exercices 12 3

10. [ Somme de deux plans ] ( ind ) Soient E = R 3, F = { (x, y, z); x + y z = 0 et G = { (a b, a + b, a 3b) (a,b) R 2 }. 1. Établir que F et G sont des sev de E. 2. Déterminer F G. 3. Prouver que F + G = E. La somme est-elle directe? 11. [ Une projection ] ( ind ) Soient E = R 3 et F = { (x, y, z); x + z = 0 } et G = { (x, y, z) x = 2y = z }. 1. Etablir que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. 2. Calculer le projeté du vecteur X = (x, y, z) de E sur F parallélement à G. 12. [ Calculs de projections ] ( ind ) Soient E = R 4, G = { (x, y, z, t); z = t = 0 }, et F = A B où A = { (x, y, z, t); x y + z t = 0 }, B = { (x, y, z, t); 2x y + 3z 4t = 0 } 1. Prouver que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l espace E. 2. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Trouver une base de E adaptée à cette décomposition en somme directe. 3. Calculer le projeté sur F parallélement à G d un vecteur (x, y, z, t) de E. Même question en permutant F et G. 13. [ Quizz ] ( ind ) 1.3. Espaces fonctionnels Parmi les sous-ensembles suivants de l espace vectoriel F (R, R) lesquels en sont des sous-espaces vectoriels? 1. L ensemble des fonctions dérivables en 0 ; 2. L ensemble des fonctions monotones sur R ; 3. L ensemble des fonctions prenant la valeur 1 en 0 ; 4. L ensemble des fonctions prenant la valeur 0 en 1 ; 5. L ensemble des fonctions de classe C 1 ; 6. L ensemble des fonctions f telles que : x R, f (x) = 0 ; 7. L ensemble des fonctions nulles sur [ 1,1] ; 8. L ensemble des fonctions admettant une période rationnelle ; 9. L ensemble des fonctions ayant une limite dans R ± en +. LLG PCSI 2 Exercices 12 4

14. [ Suites presque nulles ] ( ind ) Étant donné une suite (u n ) d éléments de K, notons Supp(u n ) son support, ie {n N;u n 0}. Une suite est dite presque nulle si son support est une partie majorée de N. Montrer que l ensemble K (N) des suites presque nulles de K est un espace vectoriel sur K. 15. [ Différences de suites croissantes ] ( ind ) Soit C l ensemble des fonctions croissantes de R dans R et V l ensemble des éléments de R R qui peuvent s écrire comme différence de deux éléments de C. Montrer que V est un R-espace vectoriel. 16. [ Posé à l X ] ( ind ) Soit E = C N n. Montrer que F := {(u n ) E ; sup un < + } est un sous-espace vectoriel de E. n N 17. [ Un petit pas vers Lagrange ] ( ind ) Soient E = C 0 ([0,1],R), C l ensemble des fonctions constantes sur [0,1], et A l ensemble des éléments de E s annulant en 1. 1. Montrer que C et A sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. 2. Montrer que C est également un supplémentaire dans E du sous-espace suivant { 1 } N = f E ; f (t)dt = 0 0 3. Calculer les projetés sur C parallélement à A puis à N d une fonction f E. 4. Donner d autres exemples de supplémentaires de C dans E. 18. [ Espaces de suites ] ( ind ) Dans l espace vectoriel réel S = R N des suites rélles, on note E l ensemble des suites (x n ) vérifiant pour tout n positif, x n+3 x n+2 x n+1 + x n = 0, et on pose, E 1 = {(x n ); n N, x n+1 + x n = 0} E 2 l ensemble des suites (x n ) vérifiant pour tout n positif, x n+2 2x n+1 + x n = 0. 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de S. 2. Vérifier que E 1 et E 2 sont deux sous-espaces vectoriels de E. 3. Prouver que E 1 est une droite vectorielle. Déterminer un vecteur u engendrant cette droite. 4. Soient v = (1) et w = (n). Montrer par double inclusion que E 2 = Vect(v, w). 5. Soit (x n ) E. On pose pour tout n positif, y n = x n+2 2x n+1 + x n. a. Vérifier que (y n ) E 1 et (4x n y n ) E 2. b. En déduire que E = E 1 E 2 puis que E = Vect(u, v, w). LLG PCSI 2 Exercices 12 5

19. [ Fonctions s annulant en un nombre fini de points ] ( ind ) Soit E le R-espace vectoriel C 0 ([0,1],R) et p réels (a i ) i 1,p deux à deux distincts dans [0,1]. On pose : F = { f E ; i 1, p, f (a i ) = 0 } 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. 2. Déterminer un supplémentaire de F. 2. Familles de vecteurs 2.1. Généralités 20. [ Révisons nos combinaisons linéaires ] ( ind ) Soient E un R-espace vectoriel, x, y, z trois vecteurs de E et α,β,γ des scalaires tels que αβ 0 et αx + βy + γz = 0. Prouver que Vect(x, z) = Vect(y, z). 21. [ Technik für Liebhaber ] ( ind ) Soient E un K-espace vectoriel et (x k ) 1 k n une famille de vecteurs de E. Pour tout entier naturel k n, on pose, k y k = x l l=1 Prouver que la famille (x k ) 1 k n est libre si et seulement si (y k ) 1 k n est libre. 22. [ Une famille à paramètre ] ( ind ) Soient n N, E un K-ev, (x i ) 1 i n une famille libre de E et (α 1,...,α n ) R n. On pose n y = α k x k k=1 Donner une condition nécessaire et suffisante sur les α i pour que (y + x i ) 1 i n soit une famille libre. LLG PCSI 2 Exercices 12 6

23. [ C magnifique ] ( ind ) 2.2. The R n experience On considère C muni de sa structure canonique d espace vectoriel sur R. Donner une condition nécessaire et suffisante sur θ R pour que la famille (1,e iθ ) soit libre. 24. [ Enfin libre! ] ( ind ) Soient m R. Donner une condition nécessaire et suffisante sur m pour que la famille (m,1,1), (2m, 1,m) et (1,5,2) soit libre dans R 3. 25. [ Etude d une famille de R 4 ] ( ind ) On considère les quatre vecteurs suivants de R 4 : u 1 = (1,0,1,0), u 2 = (0,1,0,1), u 3 = (1,0, 1,0), u 4 = (a,b,c,d) Donner une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c et d pour que la famille (u 1,u 2,u 3,u 4 ) soit libre. 26. [ Algebrist s corner ] ( ind ) 2.3. Espaces fonctionnels On note f la fonction sin : R R. Prouver que la famille (f, f f, f f f ) est libre dans E = R R. 27. [ Etude d une famille de fonctions ] ( ind ) On note E = R R +. Prouver que, pour tout n N, la famille (f k ) 0 k n est libre dans les cas suivants : 1. f k : x e kx ; 2. f k : x x k e kx ; 3. f k : x x n ; 4. f k : x 1 x k + 1. 28. [ Fourier avant l heure ] ( ind ) Soit E = R R l espace vectoriel sur R des applications de R dans R. Pour tout n positif et non nul, on pose f n : x sin(nx). 1. Calculer, pour tous entiers m et n non nuls, π 0 sin(mt)sin(nt)dt. 2. En déduire que pour entier naturel n, la famille (f k ) 1 k n est libre dans E. LLG PCSI 2 Exercices 12 7

29. [ Le retour de Tchebychev ] ( ind ) Soit E = R R. Pour tout n N, on pose f n : x cos n (x) et g n : x cos(nx). Montrer que pour tout n positif, Vect(f 0,..., f n ) = Vect(g 0,..., g n ) 30. [ Rang d une réunion ] ( ind ) 3. Bases et dimension 3.1. Théorie de la dimension Soient F 1 et F 2 deux familles finies de vecteurs d un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que : max ( rg (F 1 ),rg (F 2 ) ) rg (F 1 F 2 ) rg (F 1 ) + rg (F 2 ) 31. [ Positions relatives de sev de R 3 ] ( ind ) Soient F et G, deux sous-espaces vectoriels non nuls de R 3. En discutant sur les dimensions des sousespaces F, G, F + G et F G, décrire les différentes configurations possibles. 32. [ B.A.BA ] ( ind ) Soient x 1,..., x n, y 1,..., y n des vecteurs d un K-ev E. On suppose que la famille (x 1 + y 1,..., x n + y n ) est libre. Démontrer que le rang de la famille (x 1,..., x n, y 1,..., y n ) est au moins égal à n. 33. [ Un problème stérique ] ( ind ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dim(f) + dim(g) > n. Prouver que F G {0}. 34. [ Pont aux ânes ] ( ind ) Soient E un K-espace vectoriel. 1. Soient P 1 et P 2 deux plans vectoriels de E. Que pensez-vous de la proposition suivante : P 1 P 2 = {0} implique dim(e) 4. 2. Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels de E. Que pensez-vous de la proposition suivante : si F G = G H = F H = {0}, alors dim(f + G + H) = dim(f) + dim(g) + dim(h). 35. [ Sur le nombre de supplémentaires d un sous-espace vectoriel non trivial ] ( ind ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n 2. On considère un sous-espace vectoriel F de dimension p, avec 0 < p < n et G un supplémentaire de F. 1) Soit a F et (e i ) i 1,r une base de G. a) Montrer que la famille (a + e i ) i 1,r est libre. b) Montrer que le sous-espace G a engendré par (a + e i ) i 1,r est un supplémentaire de F dans E. 2) En déduire que F admet une infinité de supplémentaires dans E. LLG PCSI 2 Exercices 12 8

36. [ Tricotage de rangs ] ( ind ) Soient E un K-ev et S un système de n vecteurs de rang s. On extrait de S un système S de r vecteurs de rang s. Établir que s r + s n. 37. [ Dimension d une intersection ] ( ind ) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. 1. Soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives p et q. Montrer que p + q n dim(f G) inf(p, q) 2. Plus généralement, si (F i ) 1 i p sont p sous-espaces vectoriels de E de dimensions n i, établir que ( ) p p n i n(p 1) dim F i inf (n i ) i=1 1 i p i=1 38. [ Supplémentaire commun ] ( ind ) Soient E un K-ev, F et G deux sev de E. Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun dans E si et seulement si dim(f) = dim(g). 3.2. The R n experience 39. [ Coordonnées relativement à une base ] ( ind ) On pose a = (1, 1,1), b = (2,1, 1) et c = ( 1,3,1). 1. Montrer que la famille B = (a,b,c) est une base de R 3. 2. Soit X = (x, y, z) R 3. Calculer les coordonnées de X dans la base B. 40. [ Calculs dans R 4 ] ( ind ) Soient F = Vect(a, b, c) et G = Vect(u, v) avec a = (0,1, 1,2), b = (1,3,0, 2), c = (2,1, 3,4), u = (0,0,2,1), v = ( 1,1,0,3) Calculer les dimensions des sous-espaces vectoriels F,G,F + G et F G. 41. [ Extraire une base d une famille génératrice ] ( ind ) Dans R 4, on considère la famille de vecteurs suivante : u 1 = (1,2, 1,3), u 2 = (2,3, 3,2,), u 3 = (0,1,1,4), u 4 = (1,0, 3, 5) Déterminer le rang de cette famille, préciser les relations de liaison entre ces vecteurs et donner une base de Vect(u 1,u 2,u 3,u 4 ). LLG PCSI 2 Exercices 12 9

42. [ B.A.BA ] ( ind ) Soit F = { (x, y, z, t) R 4 ; 2x y = z 3t }. 1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R 4. 2. Déterminer une base de F et en déduire la dimension de F. 3. Soient b 1 = (1, 1,0, 1), b 2 = (1,1,4,1) et b 3 = (2,2,5,1). Montrer que B = (b 1,b 2,b 3 ) est une base de F. 4. Prouver que v = (1,1,7,2) est dans F. Quelles sont ses coordonnées dans B? 43. [ Rang d une famille paramétrée ] ( ind ) Discuter en fonction de (α,β) R 2 le rang des familles définies par : u 1 = (α,1,β,1) u 1 = (α, α,β, β) u 2 = (1,α,β,α) u 2 = (α,α,β,β) 1. u 3 = (α,β,α,1) ; 2. u 3 = (β,β,α,α). u 4 = (α,β,α,β) u 4 = (β, β,α,α) u 5 = (1,α,1,β) u 5 = (1,1,1,1) 44. [ Matrices magiques ] ( ind ) Une matrice carrée réelle est dite magique si dans chaque ligne et chaque colonne la somme des éléments donne toujours le même résultat. On note C n l espace de carrés magiques de type n n. Montrer que C 2 est un sous-espace vectoriel de R 4. Quelle est sa dimension? 45. [ Représentations paramétriques et cartésiennes d un sous-espace vectoriel ] ( ind ) Tout sous-espace vectoriel de R n peut être défini sous l une des deux formes suivantes : comme espace de solutions d un système linéaire homogène ; comme sev engendré par un famille de vecteurs. 1. On note F R 5 l espace de solutions du système { x 3y 2z + s 2t = 0 Trouver une base de F. 2x + 5y + z s + 5t = 0 2. On note F = Vect(v 1, v 2 ) où v 1 = ( 1,3,4,0,2) et v 2 = (0,1,2, 1,0). Trouver un système linéaire homogène dont F est l espace des solutions. 3. Soit A M m,n (R). Montrer que F = {X ; AX = 0} est un sous-espace vectoriel de R n de dimension n rg(a). 4. Soit F un sous-espace vectoriel de R n de dimension p, montrer qu il existe A M n p,n (R) de rang n p tel que F = {X ; AX = 0}. LLG PCSI 2 Exercices 12 10

46. [ Suites périodiques ] ( ind ) 3.3. Espaces fonctionnels Pour p N, on note E p l ensemble des suites réelles p-périodiques. 1. Montrer que E p est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel R N. Déterminer sa dimension. 2. Justifier que E 2 est un sous-espace vectoriel de E 4. 3. On note F l ensemble des suites u R N telles que pour tout n N, u n+2 +u n = 0. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E 4. 4. Montrer que F est un supplémentaire de E 2 dans E 4. 5. Que peut-on en déduire quant à la dimension de F? 6. On définit deux suites x, y R N par x n = cos ( n π 2 ) et yn = sin ( n π 2 ) pour tout n N. Montrer que (x, y) est une base de F. 47. [ Trigo ] ( ind ) Déterminer le rang dans R R de la famille (f i ) 1 i 5 définie par : f 1 : x 1, f 2 : sin(x), f 3 : x sin 2 (x), f 4 : x cos 2 (x), f 5 : x cos(2x) 48. [ Sweet trigo ] ( ind ) Soient E = R R et (f 1, f 2,..., f n ) la famille de vecteurs de E définie par i 1,n et f i : x sin(i + x). 1. Calculer le rang de la famille (f 1, f 2, f 3 ). 2. Calculer le rang de la famille (f 1, f 2,..., f n ). 49. [ EDL et espaces vectoriels ] ( ind ) 1. Déterminer une base de l espace vectoriel S = { y C 2 (R,C); y + y + y = 0 }. 2. Déterminer une base sur R de S. 3. Donner une base du sous-espace vectoriel S de C (R,R) défini par f + 4f = 0, f (π) = 0. 50. [ Une équation différentielle ] ( ind ) Soit E = C 2 (R,R) l espace vectoriel des fonctions réelles de classe C 2 sur R. On considère l ensemble F des applications Φ de E qui vérifient la relation x R, Φ (x) = ( 1 + x 2) Φ(x). 1. Montrer que F est un R-espace vectoriel. 2. Montrer que si v et w appartiennent à F, alors la fonction v w v w est constante sur R. 3. Soient f et g les applications définies par Montrer que f et g appartiennent à F. x R, f (x) = e x2 /2, g (x) = e x2 /2 x 0 e t 2 dt LLG PCSI 2 Exercices 12 11

4. Soit h un élément de F. a. Montrer qu il existe (α,β) R 2 tel que h = αf + βg. (On pourra dériver de h/f.) b. En déduire la dimension de F. 51. [ Fonctions affines par morceaux ] ( ind ) Soit 0 = x 0 < x 1 < < x n = 1 une subdivision de [0,1] et F l ensemble des fonctions de [0,1] dans R dont la restriction à chaque intervalle [x i, x i+1 ] est affine. Donner la dimension de F ainsi qu une base. 52. [ Suites récurrentes linéaires ] ( ind ) Soient p N et (a 0,..., a p 1 ) R p. 1. Donner la dimension de l espace E des suites (u n ) à termes réels vérifiant la relation de récurrence p 1 n, u n+p = a i u n+i 2. Donner une base de cet espace dans le cas où p = 3 et (a 0, a 1, a 2 ) = ( 2,1,2). i=0 53. [ Splines cubiques ] ( ind ) On donne un entier k tel que 0 k 3 et une suite a = (a i ) 1 i n strictement croissante de n + 1 réels. On associe à a l espace E k (a) des applications de C k ([a 0, a n ],R) dont la restriction à chaque segment [a i 1, a i ], est polynomiale de degré au plus 3. Calculer la dimension d n (k) du R-espace vectoriel E k (a). LLG PCSI 2 Exercices 12 12

4. Indications 1. [ Le complémentaire d un sous-espace ] La réponse au a) est non. Le c) ne repose que sur le b). 2. [ Des espaces affines ] Raisonner en deux temps sans oublier que F et G contiennent 0. 3. [ À propos de +& ] Raisonner par double inclusion au a). Rechercher un contre-exemple dans le plan au b). 4. [ Vector therapy ] Prouver par double inclusion l égalité F = G. 5. [ Réunions de sev ] On raisonnera par l absurde au b) en supposant l existence de deux éléments x 0 F \ G et y 0 G \ F et on prouvera que F G n est pas un sev de E en considérant l élément x 0 + y 0. 6. [ Comparaison de deux sous-espaces ] Yes. 7. [ Plongement de R m dans R n pour m n ] R m n est pas inclu dans R n pour m < n. 8. [ Supplémentaires? ] Pivoter! 9. [ Un peu de géométrie en dimension trois ] Si m {1, 2}, (G m est une base de G m ; Si m = 1, ((1,1,1)) est une base de G m ; Si m = 2, (( 2,1,1),(0, 1,1)) est une base de G m. 10. [ Somme de deux plans ] F et G sont des plans, F G une droite. LLG PCSI 2 Exercices 12 13

11. [ Une projection ] Passer par les dimensions au a). 12. [ Calculs de projections ] C est une routine dès que l on réussit à écrire A B sous forme paramétrique. 13. [ Quizz ] Seuls b), c), f) et i) ne sont pas des sev. 14. [ Suites presque nulles ] Montrer que c est un sous-espace vectoriel de K N. 15. [ Différences de suites croissantes ] Montrer que c est un sous-espace vectoriel de R R en prouvant séparément la stabilité pour l addition et l action des scalaires. 16. [ Posé à l X ] On appliquera correctement l inégalité triangulaire. 17. [ Un petit pas vers Lagrange ] Procéder à une Analyse-Synthèse. 18. [ Espaces de suites ] E 1 est le sev des suites géométriques de raison 1. 19. [ Fonctions s annulant en un nombre fini de points ] Penser à des fonctions polynomiales. 20. [ Révisons nos combinaisons linéaires ] Montrer que Vect(x, y) est contenu dans un sev F de E revient à prouver que x et y F. On procédera par double inclusion. 21. [ Technik für Liebhaber ] Revenir à la définition. LLG PCSI 2 Exercices 12 14

22. [ Une famille à paramètre ] n La CNS recherchée est α k 1. k=1 23. [ C magnifique ] La CNS est θ 0[π]. 24. [ Enfin libre! ] Se ramener à un système. 25. [ Etude d une famille de R 4 ] Se ramener à discuter le rang d un système linéaire. 26. [ Algebrist s corner ] Vérifier que la famille est libre en écrivant des DL(0) afin d obtenir un système linéaire sur les coefficients. 27. [ Etude d une famille de fonctions ] Utiliser les croissances comparées. 28. [ Fourier avant l heure ] Linéariser au a). 29. [ Le retour de Tchebychev ] Utiliser la linéarisation, les nombres complexes... 30. [ Rang d une réunion ] Se souvenir, par exemple, que rg (F 1 F 2 ) = dim (Vect(F 1 ) + Vect(F 2 )). 31. [ Positions relatives de sev de R 3 ] Raisonnez sur des droites et des plans. 32. [ B.A.BA ] Le sous-espace vectoriel Vect(x 1,..., x n, y 1,..., y n ) contient une famille de rang n. LLG PCSI 2 Exercices 12 15

33. [ Un problème stérique ] Exploiter l inégalité (à justifier!) suivante, dim(f + G) n. 34. [ Pont aux ânes ] Le a) est vrai, le b) est faux. 35. [ Sur le nombre de supplémentaires d un sous-espace vectoriel non trivial ] Il suffit de vérifier que (e i ) i 1,r est libre. 36. [ Tricotage de rangs ] Compléter les r vecteurs de S par les n r autres vecteurs de S. Que dire du rang de la famille ainsi obtenue? 37. [ Dimension d une intersection ] Le a) découle des inclusions F G F, F G G et F + G E. Raisonner par récurrence au b). 38. [ Supplémentaire commun ] Raisonner par récurrence (descendante) sur la dimension commune de F et G. 39. [ Coordonnées relativement à une base ] Se ramener à un système linéaire. 40. [ Calculs dans R 4 ] F est de dimension trois et G de dimension deux. 41. [ Extraire une base d une famille génératrice ] Le rang vaut 2. 42. [ B.A.BA ] Se ramener à des systèmes. 43. [ Rang d une famille paramétrée ] Attention aux opérations de pivots illicites! 44. [ Matrices magiques ] On trouve que dim(c 2 ) = 2. LLG PCSI 2 Exercices 12 16

45. [ Représentations paramétriques et cartésiennes d un sous-espace vectoriel ] Pour le b) : (x, y, z, t,u) Vect(v 1, v 2 ) si et seulement si le système linéaire x 1 v 1 + x 2 v 2 = (x, y, z, t,u) d inconnue (x 1, x 2 ) admet au moins une solution. 46. [ Suites périodiques ] La famille (u 0,u 1,...,u p 1 ) est une base de E p avec, pour 0 k p 1, { n N, un k = 1 si n = k[p] 0 sinon 47. [ Trigo ] Réviser votre formulaire préféré. 48. [ Sweet trigo ] Le rang vaut deux pour tout n 2. 49. [ EDL et espaces vectoriels ] S est de dimension deux et S de dimension un. 50. [ Une équation différentielle ] Utiliser la dérivation au b). 51. [ Fonctions affines par morceaux ] De quels paramètres simples dépendent une fonction f de F? 52. [ Suites récurrentes linéaires ] Considérer f : E R p qui à une suite u = (u n ) associe (u 0,...,u p 1 ). 53. [ Splines cubiques ] Examiner le système dont les inconnues sont les coefficients des fonctions polynomiales f [ai,a i+1 ]. LLG PCSI 2 Exercices 12 17