Intégrale de Riemann

Intégrale de Riemann Exercice 1. Primitives de fraction rationnelles Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) 1 x 1 ) 1 (x 1) ) 1 x (1 + x ) 4) x + x + 1 (x 1) 5) 1 1 + x 4 6) x 1 + x 4 7) x (x 4 + 1) 8) x + x + 1 x x 4 9) x 4 x 6 x 4 + x 1) 1 x 1 11) 1 (x a) n (x b) Exercice. Primitives de fonctions trigonométriques Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) 1 ) tan x sin x sin 4x 1 + tan x 5) 1 cos x cos x 6) 1 sin x sin x(1 + sin x) ) cos x cos x 4) 1 sin x + sin x 7) a sin x cos x cos x a sin x Exercice. Primitives de radicaux Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) x + 1 ) 4x ) 1 x x + 4x + 1x 5 x x + 4) 1 x x + 1 + x + x 5) + x + 1 + 6) x + a x + 4 + x 7) (x + a + x ) n 8) 1 1 + x Exercice 4. Primitives diverses Déterminer une primitive pour chacune des fonctions suivantes : 1) x k ln x ) ln(1 + x ) ) x + a (1 x + 1 arctan x 4) 1 ) e 1/x x 5) x cos x 6) 1 ex 1 7) arctan x + 1 x + 9) e arcsin x 1) x(cos x)e x 11) (x + x + 1)e x cos x 8) arcsin x x + 1 Exercice 5. Intégrales définies Calculer les intégrales suivantes : 1) π/ cos4 t dt ) π/ t= π/ sin t cos t dt ) π/ t cos t dt 4) π/ t= π/ t sin t cos t dt 5) π/ sin t 1 + cos t dt 6) π/ dt 1 + sin t 7) π/ sin t sin t + cos t dt 8) π/ sin t dt 9) 1 t ln t dt 1 a sin t 1) 1 arcsin t dt 11) 1) ln et 1 dt 14) 9 t=4 16) 1 ln(1 a t ) t dt 17) 1 19) 1 t= 1 1 + t dt t (1 + t )( + t ) dt 1) 1 dt 15) 1 t 1 dt + 1 t 18) 1 t= 1 t arctan t 1 + t dt te t et + 1 dt dt t + t + 1 Exercice 6. Densité des fonctions en escalier Soit f : [a, b] R continue telle que pour toute fonction g : [a, b] R en escalier, b Démontrer que f =. f(t)g(t) dt =. Exercice 7. Zéros Soit f : [a, b] R continue non identiquement nulle, telle que : k {, 1,..., n 1}, b tk f(t) dt =. Démontrer que f s annule au moins n fois sur ]a, b[ (raisonner par l absurde). int-riemann.tex jeudi 4 août 16

Exercice 8. Formule de la moyenne généralisée Soient f, g : [a, b] R continues, f positive. 1) Démontrer qu il existe c [a, b] tel que b f(t)g(t) dt = g(c) b f(t) dt. ) Si f ne s annule pas, montrer qu il existe un tel c ]a, b[. ) Application : Soit f continue au voisinage de. Déterminer lim x ( 1 x x tf(t) dt). Exercice 9. Inégalité de Jensen Soit f : [a, b] R( continue et g : R R continue convexe. ) 1 b Démontrer que g b a f(t) dt 1 b b a g(f(t)) dt. Exercice 1. 1 + f Soit f : [, 1] R continue positive. On pose A = 1 f(t) dt. Montrer que 1 + A 1 1 + f (t) dt 1 + A. Exercice 11. Calcul ( de limite ) x cos t ln(1 + t ) Chercher lim x + sin dt. t sh t t=x Exercice 1. Calcul de limite Pour < a < b, déterminez lim x + Exercice 1. f + f 1 ( bx x 1 cos u u Soit f : [a, b] [c, d] continue, bijective, strictement croissante. Calculer b f(t) dt + d u=c f 1 (u) du (faire un dessin, et commencer par le cas où f est de classe C 1 ). Exercice 14. Sommes de Riemann 1) Trouver lim 1 n n + 1 + 1 n + +... + 1 pour k entier supérieur ou égal à fixé. kn ) Trouver lim 1 n n ( 1(n 1) + (n ) +... + (n 1)1). ( ) Trouver lim n n 1 + 1 )( 1 + ) (... 1 + n ). n n n ( ) 4) Trouver lim n ln 1 + π n 1 1 k= n + cos(kπ/n). 5) Donner un équivalent pour n de n k=1 k. 6) Soit A 1... A n un polygone ( régulier inscrit dans un cercle de rayon 1. Chercher lim 1 n n n k= A ) 1A k. Exercice 15. Calcul de limite Soit f : [, 1] R continue. Chercher lim n ( 1 n 1 i<j n f( i n )f( j n ) ). Exercice 16. Moyenne géométrique Soit f : [, 1] R continue. Montrer que (1 + 1 n f( 1 n ))(1 + 1 n f( n ))... (1 + 1 n f( n n )) exp( 1 f(t) dt). n On pourra utiliser : x 1, x x ln(1 + x) x. Exercice 17. 1) Montrer que : x, x 1 x ln(1 + x) x. ( ) n n ) Trouver lim n k=1 1 + 1 k + n. du ). int-riemann.tex page

Exercice 18. Maximum-minimum Soient a, b R. Étudier la convergence des suites (a n ), (b n ) définies par : a = a, b = b, a n+1 = 1 1 x= 1 min(x, b n ) dx, b n+1 = 1 1 x= 1 max(x, a n ) dx. Exercice 19. Intégrale de ln x e it Pour x R, x ±1, on pose I = π ln x eit dt. En utilisant les sommes de Riemann, calculer I. Exercice. Intégrale de f Soit f : [a, b] R continue. Pour n N, on pose I n = n 1 k= a k+1 k f(t) dt où a k = a + k b a n. b Montrer que I n f(t) dt. n Exercice 1. Usage de symétrie Soit I = π t sin t 1 + cos dt. Effectuer dans I le changement de variable u = π t, et en déduire la valeur t de I. Exercice. Usage de symétrie Calculer I = π t 1 + sin t dt. Exercice. Usage de symétrie Calculer π/4 ln(1 + tan t) dt. On remarquera que cos t + sin t = cos( π 4 t). Exercice 4. DSF de 1/( cos x) On note I n = π cos nx cos x dx, J n = π/ cos nx cos x dx, K n = π/ cos nx + cos x dx. Montrer que pour tout n N, on a I n = J n + ( 1) n K n et I n+1 = 4I n I n 1. En déduire I n en fonction de n. Exercice 5. Calcul d intégrale Calculer pour tout n N : I n = π dx x= 1 + cos (nx). Exercice 6. arcsin et arccos Simplifier sin x arcsin t dt + cos x arccos t dt. Exercice 7. Approximation des rectangles pour une fonction lipchitzienne Soit f : [a, b] R, K-lipchitzienne. Montrer que b f(t) dt b a n k=1 (a n f + k b a ) K(b a). n n Exercice 8. Approximation des tangentes Soit f : [a, b] R de classe C. On fixe n N et on note : a k = a + k b a Soit I n = b a n 1 k= n f(a k+ 1 ). 1) Donner une interprétation géométrique de I n. ) Montrer que b f(t) dt I n M (b a) 4n où M = sup f. [a,b] n, a k+ 1 = a k + a k+1. int-riemann.tex page

Exercice 9. Approximation des trapèzes Soit f : [a, b] R de classe C. 1) Montrer que b + f(b) f(t) dt = (b a)f(a) + b (t a)(t b) f (t) dt. ) Application : Soit f : [a, b] R, I = b f(t) dt, et I n la valeur approchée de I obtenue par la méthode des trapèzes avec n intervalles. Démontrer que I I n sup f (b a) 1n. Exercice. Calcul de limite Étudiez la limite de la suite définie par u n = n n n k=1 (n + k). Exercice 1. Aire sous une corde Soit f : [a, b] R de classe C 1 telle que f(a) = f(b) =. On pose M = f. 1) En majorant f par une fonction affine par morceaux, démontrer que b f(t) dt M (b a). 4 ) Quand y a-t-il égalité? Exercice. Échange de décimales 1) Soit f : [, 1] [, 1] définie par f(, a 1 a a...) =, a a 1 a... (échange des deux 1 ères décimales) et f(1) = 1. Montrer que f est continue par morceaux et calculer 1 f(t) dt. ) Soit g : [, 1] [, 1] définie par g(, a 1 a a a 4...) =, a a 1 a 4 a... (échange des décimales deux à deux) et g(1) = 1. Montrer que g est Riemann-intégrable et calculer 1 g(t) dt. ) Soit h : [, 1] [, 1] définie par h(, a 1 a a...) =, a σ(1) a σ() a σ()... et h(1) = 1 où σ : N N est une permutation donnée de N. Montrer que h est Riemann-intégrable et calculer 1 h(t) dt. Exercice. f(t) cos(t) dt Soit f : [, π] R convexe de classe C. Quel est le signe de I = π f(t) cos t dt? Exercice 4. Convexité Soit f : R R convexe et g(x) = x+1 f(t) dt. Montrer que g est convexe. t=x 1 Exercice 5. Primitive seconde Soit f : [a, b] R continue et g(x) = x x(1 t)f(t) dt + b t=x t(1 x)f(t) dt. Justifier g = f. Exercice 6. Expression d une primitive n-ème de f Soit f : [a, b] R continue et g(x) = x (x t) n 1 f(t) dt. Montrer que g (n) = f. (n 1)! Exercice 7. Thm de division Soit f : R R de classe C n+p telle que f() = f () =... = f (n 1) () =. On pose g(x) = f(x)/x n pour x et g() = f (n) ()/n!. 1) Écrire g(x) sous forme d une intégrale. ) En déduire que g est de classe C p et g (p) p! (x) (p + n)! sup{ f (n+p) (tx) tq t 1}. Exercice 8. Fonction absolument monotone Soit f : [, a[ R de classe C telle que ( f et toutes ses dérivées sont positives sur ) [, a[. 1) Montrer que la fonction g n : x 1 x n f(x) f()... xn 1 (n 1)! f (n 1) () est croissante. ) On fixe r ], a[. Montrer que la série de Taylor de f converge vers f sur [, r[. int-riemann.tex page 4

Exercice 9. Deuxième formule de la moyenne Soient f, g : [a, b] R continues, f positive décroissante. On note G(x) = x g(t) dt, M = sup{g(x), x [a, b]} et m = inf{g(x), x [a, b]}. 1) On suppose ici que f est de classe C 1. Démontrer que mf(a) b f(t)g(t) dt Mf(a). ) Démontrer la même inégalité si f est seulement continue, en admettant qu elle est limite uniforme de fonctions de classe C 1 décroissantes. ) Démontrer enfin qu il existe c [a, b] tel que b f(t)g(t) dt = f(a) c g(t) dt. Exercice 4. Inégalité de la moyenne Soient f, g : [a, b] R continues, f décroissante, et g 1. On note G(x) = a + x g(t) dt. Démontrer que b fg(t) dt G(b) f(t) dt. Exercice 41. Une inégalité Soit f : [a, b] R de classe C 1 telle que f(a) = et t [a, b], f (t) 1. Comparer b f (t) dt et ( ) b. f(t) dt x On introduira les fonctions : F (x) = f(t) dt, G(x) = x f (t) dt, et H = F G. Exercice 4. Intégrales de Wallis On note I n = π/ cosn t dt. 1) Comparer I n et π/ sinn t dt. ) Démontrer que I n. n ) Chercher une relation de récurrence entre I n et I n+. En déduire I k et I k+1 en fonction de k. 4) Démontrer que ni n I n 1 = π. 5) Démontrer que I n I n 1 et en déduire un équivalent simple de I n puis de ( ) n n pour n. Exercice 4. Norme L Soit f : [a, b] R + continue non identiquement nulle. On pose I n = b f n (t) dt et u n = n I n. Soit M = max{f(x) tq a x b} et c [a, b] tel que f(c) = M. 1) Comparer M et u n. ) En utilisant la continuité de f en c, démontrer que : ε ], M[ il existe δ > tel que I n δ(m ε) n. ) En déduire lim n u n. Exercice 44. Lemme de Lebesgue Soit f : [a, b] R continue. Montrer que b f(t) cos(nt) dt,... n 1) si f est de classe C 1. ) si f est en escalier. ) si f est continue. Exercice 45. Plus grande fonction convexe minorant f 1) Soit (f i ) une famille de fonctions convexes sur un intervalle I. On suppose que : x I, f(x) = sup(f i (x)) existe. Montrer que f est convexe. ) Soit f : I R minorée. Montrer qu il existe une plus grande fonction convexe minorant f. On la note f. ) Soit f : [, 1] R + croissante. Montrer que 1 f(t)dt 1 1 f(t)dt (commencer par le cas où f est en escalier). Exercice 46. Centrale PC 1998 Soit f : [a, b] R + continue. 1) Montrer qu il existe une subdivision de [a, b] : a = x < x 1 <... < x n = b telle que : k [[, n 1]], x k+1 t=x k f(t) dt = 1 n ) Étudier lim n ( 1 n 1 n k= f(x k)). b f(t) dt. Exercice 47. Mines MP Soit f : R C de classe C 1, π périodique, ne s annulant pas. Montrer que I(f) = 1 entier. πi π f /f est un int-riemann.tex page 5

Exercice 48. Fonctions affines Soit E = C([a, b], R), et F = {f C ([a, b], R) tq f(a) = f (a) = f(b) = f (b) = }. 1) Soit f E. Montrer qu il existe g F vérifiant g = f si et seulement si b x=a f(x) dx et b xf(x) dx x=a sont nuls. ) Soit f E telle que b x=a f(x)g (x) dx = pour toute fonction g F. Montrer que f est affine. Exercice 49. Mines MP 1 Soit a < < b et f continue sur [, 1], à valeurs dans [a, b] telle que 1 f =. Montrer que 1 f ab. Exercice 5. Mines MP Montrer que pour tout x réel, il existe a(x) unique tel que a(x) t=x et dt = 1. Montrez que a est indéfiniment dérivable, et que son graphe est symétrique par rapport à la deuxième bissectrice. Exercice 51. Soit f : [, 1] R continue telle que 1 f =. Montrer qu il existe x ], 1[ tel que x tf(t) dt =. Exercice 5. Centrale 14 1) Rappeler l énoncé du théorème de Stone-Weierstrass polynomial. ) Soit P n (x) = x n+1 (1 x) et f continue de [, 1] dans R, telle que n 1, 1 a) Montrer qu il existe a, b R tels que pour g(x) = f(x) ax b on ait 1 b) Montrer que que n N, 1 xn g = et conclure. fp n =. g = 1 xg =. ) Montrer que si f vérifie 1 fg = pour toute fonction g de classe C nulle avec g et g en et en 1 alors f est affine. 4) Montrer que si f vérifie 1 fg = pour toute fonction g de classe C nulle aux voisinages de et de 1 alors f est affine. int-riemann.tex page 6

solutions Exercice 1. 1) 1 ln x 1 1 6 ln(x + x + 1) 1 ) arctan( x + 1 ) 9 ln x 1 + 1 9 ln(x + x + 1) + ( ) arctan x + 1 x (x 1) ) 1 x + 1 [ 6 ln x ] x + 1 (x + 1) 1 arctan [ x 1 ] 4) 4(x 1) 1 4(x + 1) [ 5) 1 4 ln 1 + x + x ] 1 x + x + 1 [ ] arctan(1 + x ) arctan(1 x ) 6) 1 4 [ ln 1 x + x 1 + x ] + x + 1 [ ] arctan(1 + x ) arctan(1 x ) 7) arctan x + x 4 4(x 4 + 1) 8) 7 1 ln x + ln(x + x + ) 1 arctan(x + 1) 1 9) 4 x + x (x 1) + 11 4 ln x 1 x + 1 1) 1 [ 9 1 k=1 1 cos kα ln(x x cos kα + 1) sin kα arctan ( x cos kα ) ] + 1 sin kα ln x 1, α = π x + 1 1 11) 1 (b a) n ln x b + n 1 1 k=1 x a k(b a) n k (x a) k Exercice. 1) 1 4 sin x + 1 8 ln 1 sin x 1 1 + sin x ln 1 sin x 1 + sin x ) x 1 ln cos x + sin x ) sin x cos x + 1 arcsin( sin x) 4) 1 6 ln(1 cos x) + 1 ln(1 + cos x) ln 1 + cos x 5) argth( sin x) argth(sin x) 6) 1 sin x sin x + arctan 1 sin x sin x ) 7) arctan( cos x a sin x a (poser u = 1/ sin x) int-riemann.tex page 7

Exercice. 1) x x + + 5 ln x + x x + ) 4x + 1x 5 + arcsin(x /) ) 1 x x x 1 4) 1 + x ) x arcsin( x 1 (poser x = 1 + cos ϕ) 5) ( x + + 4)( x + 4 ) 4 ln(1 + x + 4 ) + ln( x + + x + 4) 6) (x + a + x ) 4 7) (x + a + x ) n+1 (n + 1) + a ln(x + a + x ) + a (x + a + x ) n 1 (n 1) (n 1) 8) 1 [ 6 ln u ] + u + 1 (u 1) 1 arctan u + 1, u = 1 + 1/x poser v = 1/x ) Exercice 4. ( 1) xk+1 ln x 1 ) k + 1 k + 1 ) x ln(1 + x ) x + arctan x ) 1 ( (x + (a 1) arctan x) arctan x ln(1 + x ) ) 4) xe 1/x 5) x tan x + ln cos x 6) arctan e x 1 7) (x + ) arctan x + 1 x + ln( x + 1 + x + ) 8) x arcsin x x + 1 x + arctan x 9) x + 1 x e arcsin x 1) e x (( 5x) cos x + (4 + 1x) sin x 5(x + 1)) 5 11) ( x 5 + 4x 5 + 9 15 )ex cos x + ( x 5 x 5 + 7 15 )ex sin x int-riemann.tex page 8

Exercice 5. 1) π 16 ) 4 15 ) π 4 4) 5) π 4 6) 1 7) 1 ln( 1) 8) 4( (a + ) 1 a) a 9) 1 4 1) π 1 11) 1 ln 5 1) π 4 π ln 1) π 14) + ln 15) 4 [ ] e + 1 + 4 ln e + 1 + 1 + 1 16) a ln 1 a 1 + a ln(1 a ) 17) π 6 ( 4 ) 18) ln(1 + ) + 19) ln(1 + ) + Exercice 8. ) 1 f(). Exercice 1. DL de 1 cos u lim = 1 ln(b/a). Exercice 14. 1) ln k. ) π 8. ) 4 e. 4) 1 π 5) 4 n n. 6) 4 π. Exercice 17. ) exp( π 4 ). dt + cos t = π dt + cos t = π. Exercice 18. { { bn si b n < 1 si an < 1 a n+1 = (b n 1) /4 si 1 b n 1 b n+1 = (a n + 1) /4 si 1 a n 1 si b n > 1, a n si a n > 1. Donc a n+1 = f(a n 1 ), b n+1 = g(b n 1 ). Point fixe : a n 8, b n 8. int-riemann.tex page 9

Exercice 1. π 4. Exercice. u = π t I = π π Exercice 4. I n = π ( ) n. 1 1 + sin t dt = π π/ t= π/ 1 dt = π. 1 + cos t Exercice 5. Couper en intervalles de longueur π/n. On obtient I n = π pour tout n 1. Exercice 6. f est paire, π-périodique. f (x) = pour x π f(x) = f(π/4) = π 4. Exercice. Comparaison entre 1 dt et son approximation des trapèzes. Découper et intégrer deux fois par (1 + t) parties, u n n 8. Exercice [. I = f (t)(1 + cos t) ] π Exercice 8. 1) formule de Taylor-intégrale. + π f (t)(1 + cos t) dt. Exercice 41. H = f(f f ) = fk et K = f(1 f ) donc H est croissante et positive. Exercice 46. ) Soit F (x) = x f(t) dt et G = F 1. Alors 1 n 1 k= n f(x k) = 1 n n 1 k= f G( k n ) n / b f b (t) dt f(t) dt. Exercice 47. On a f = e g avec g de classe C 1 g(π) g() par le thm. de relèvement d où I(f) = Z. iπ Exercice 48. 1) Il existe toujours une unique fonction g de classe C telle que g = f, g(a) = g (a) = : g(x) = x (x t)f(t) dt (Taylor-Intégral). ) Soient λ, µ R tels que f 1 : x f(x) λ µx vérifie b x=a f 1(x) dx = b x=a xf 1(x) dx =. On trouve (b a)λ + b a b µ = f(x) dx, x=a b a λ + b a b µ = xf(x) dx x=a et ce système a pour déterminant (b a) 4 /1 donc λ, µ existent et sont uniques. Soit g 1 F telle que g 1 = f 1 : b x=a g 1 (x)g (x) dx = pour tout g F, en particulier pour g = g 1 donc g 1 = f 1 = et f(x) = λ + µx. Exercice 49. Soit g = f a. On a g b a et 1 g = a d où 1 g (b a) 1 g = a(b a) et 1 f = 1 g + a 1 g + a ab. Exercice 5. Si l on pose F (x) = x et dt, on constate que a(x) = F 1 (1 + F (x)) ce qui prouve l existence, l unicité et le caractère C de a. Pour la symétrie, il faut montrer que a( a(x)) = x soit x t= a(x) et dt = 1 ce qui est immédiat. int-riemann.tex page 1

Exercice 51. On pose F (x) = x tf(t) dt = x f()/ + o(x ). En intégrant par parties, il vient = 1 f = F (1) + 1 F (t) dt/t, ce qui empêche F d être de signe constant sur ], 1[. Exercice 5. ) a) On a un système linéaire en (a, b) de matrice b) La famille (1, X, P 1, P que 1 gp ( 1 ) 1 1 1 inversible.,...) est de degrés étagés ; c est une base de R[X] donc il suffit de prouver n = ce qui résulte de la même propriété pour f en se débarrassant de a, b par parties. Donc par linéarité, 1 P g = pour tout polynôme P. En prenant une suite de polynômes convergeant uniformément vers g on obtient 1 g = soit g = et f est une fonction affine. ) En prenant Q n (x) = x n+ (1 x) et a, b, c, d tels que pour h(x) = f(x) a bx cx dx on ait 1 h = 1 xh = 1 x h = 1 x h =, on trouve comme précédemment h = et donc f(x) = a + bx + cx + dx. Avec Maple, = 1 fq = 14 d + 1 7 c et = 1 fq 1 = 1 84 d + 1 14c, d où c = d =. 4) Le problème consiste à approcher une fonction g du type précédent par une fonction nulle aux voisinages de et 1. On traite seulement le problème en pour prouver à l interrogateur qu on a des idées. Soit g de classe C telle que g() = g () = g () = et soit ϕ : R + [, 1] de classe C, nulle sur [, 1] et constante égale à 1 sur [, + [. On pose g n (x) = g(x)ϕ(nx) : fonction nulle sur [, 1/n] et coïncidant avec g sur [/n, 1]. Il s agit de prouver que g g n, donc de majorer uniformément n g (x) g n(x) si x /n. On a g n(x) = g (x)ϕ(nx) + ng (x)ϕ (nx) + n g(x)ϕ (nx) avec ϕ, ϕ, ϕ bornées. Soit ε > et n suffisament grand pour que x /n g (x) ε (continuité de g en ). Par intégration on obtient g (x) εx ε/n et g(x) εx / ε/n d où g (x) g n(x) cste ε pour x /n et aussi pour x /n. int-riemann.tex page 11