ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE MONTRÉAL DÉPARTEMENT DE GÉNIE ÉLECTRIQUE AUTOMNE 20 COURS ELE2700 ANALYSE DES SIGNAUX SÉANCE #3 (TP2) FENÊTRES TEMPORELLES OBJECTIFS Éudier e comparer l effe de différenes fenêres emporelles uilisées pour l analyse specrale de signaux de longues durées. TABLE DES MATIÈRES Théorie de base... 2 2 Programmaion avec MATLAB 2. Fenêres emporelles... 5 2.2 Transformée de Fourier... 5 3 Travail à effecuer... 7 page sur 7
THÉORIE DE BASE Lors de l analyse specrale d un signal de longue durée, nous n avons accès, en praique, qu à une porion limiée de ce signal. Le specre obenu correspond donc au specre du signal à analyser auquel une «fenêre» a éé préalablemen mulipliée. La figure ci-dessous illusre cee opéraion. x() signal à analyser y() = x() f() Y( jω) = X( jω) F( jω) 2π [ ] f() : fenêre Exemple : x() f() 2 y() 2 page 2 sur 7
Comme on peu le consaer, la fenêre f() doi êre elle que le specre Y(jω) puisse êre considéré comme une approximaion accepable de X(jω), le specre du signal comple. Plusieurs éudes on éé effecuées pour déerminer la forme opimale de la fenêre à uiliser. Les principales caracérisiques d une fenêre peuven êre mises en évidence en uilisan, par exemple, un signal x() sinusoïdal de fréquence ω 0. Comme on le sai, le specre X(jω) de la sinusoïde n es formé que deux impulsions de Dirac siuées à ±ω 0 ; le specre Y(ω) sera donc (à un faceur près) F[j(ω+ω 0 )] + F[j(ω-ω 0 )] e nous permera d évaluer la qualié de la fenêre selon les deux crières suivans : 2 ω 0 ω La largeur du lobe cenral déermine la résoluion specrale de la fenêre, c es-à-dire sa capacié de discriminer deux fréquences proches l une de l aure. 2 L ampliude des lobes laéraux déermine l éalemen specral de la fenêre. Un éalemen specral rop grand nuira à la déecion d un signal d ampliude faible en présence d un signal d ampliude élevée. page 3 sur 7
Exemples de fenêres Fenêre recangulaire : f() 0 Fenêre riangulaire : f() 0 ½ Fenêre de Blackman : f() 2π 4π 0.42 + 0.5cos π + 0.08cos 0 ½ Fenêre de Hamming : f() 0.08 2 0.54 0.46cos π + π 0 ½ page 4 sur 7
2 PROGRAMMATION AVEC MATLAB 2. Fenêres emporelles Les commandes riang(n), blackman(n) e hamming(n) produisen direcemen les fenêres voulues selon n poins (en veceurs colonnes). 2.2 Transformée de Fourier Soi Y(jω), la ransformée de Fourier de y(), un signal borné dans le emps enre 0 e. 0 () jω Y( jω) = y e d Lors du ravail praique #2, vous avez réalisé un algorihme permean l évaluaion de coefficiens de séries exponenielles de Fourier. En appliquan ce algorihme à y() selon un inervalle d analyse T >, on obien : Yn 2π n j T = y() e T d 0 Cee expression correspond à l évaluaion de différens poins de Y(jω), la ransformée de Fourier du signal y() : Y( ω) = TY ω = 2π n T On remarque que l échanillonnage du specre Y(jω) es obenu selon des muliples de 2π/T. On peu donc en augmener la précision en augmenan la grandeur de l inervalle d analyse T. Dans ce ravail, nous vous suggérons l inervalle suivan : n 0 T Inervalle [ 0 ] représené par 024 poins Inervalle [ 0 T ] représené par 6384 poins page 5 sur 7
Programme suggéré (à compléer ou modifier) % CONSTRUCTION DU VECTEUR SIGNAL y DE 024 POINTS y= ; % INTERVALLE D ANALYSE T= ; % ÉVALUATION DE LA TRANSFORMÉE DE FOURIER fy=t*ff([y zeros(,5360)])/6384; % AFFICHAGE DU RESULTAT omega= 2*pi*[0:89]/T; plo(omega,abs(fy(:892))) grid ile( TRANSFORMÉE DE FOURIER DE y() ) xlabel( Fréquence angulaire (rad/s) ) ylabel ( Module ) page 6 sur 7
3. TRAVAIL À EFFECTUER Au débu de la séance, deux fenêres vous serons désignées. Vous uiliserez le logiciel MATLAB pour : mere en évidence par une simulaion perinene () la supériorié d une fenêre sur l aure en ce qui a rai à la résoluion specrale, () deux sinusoïdes de fréquences rès proches l une de l aure mere en évidence par une simulaion perinene (2) la supériorié d une fenêre sur l aure en ce qui a rai à l éalemen specral. (2) une sinusoïde d ampliude fore + une sinusoïde de fréquence différene e d ampliude faible Avan la fin de la séance, vous devrez remere : des figures illusran la supériorié d une fenêre sur l aure en ce qui a rai à la résoluion specrale, des figures illusran la supériorié d une fenêre sur l aure en ce qui a rai à l éalemen specral, le lisage commené des commandes MATLAB uilisées. page 7 sur 7