Continuité et Dérivabilité

Cours de Terminale S Giorgio Chuck VISCA 30 septembre 2015 Continuité et Dérivabilité 1

Table des matières I la continuité 3 I continuité en un point,sur un intervalle d une fonction 3 I.1 définition................................................... 3 I.2 eemple et théorèmes générau...................................... 3 I.2.1 eemples............................................... 3 I.2.2 théorèmes générau........................................ 4 I.3 la fonction partie entière.......................................... 4 II théorème des valeurs intermédiaires 5 II.1 théorème des valeurs intermédiaires : eistence d au moins une solution.............. 5 II.2 corollaire : eistence et unicité....................................... 5 II la dérivabilité 5 III Dérivabilité d une fonction en un point 6 III.1 définition................................................... 6 III.2 théorème................................................... 6 III.3 vocabulaire et interprétation graphique................................. 6 III.3.1 vocabulaire............................................. 6 III.3.2 interprétation graphique...................................... 6 III.3.3 eemple graphique........................................ 7 IV fonction dérivée, formules de calcul 7 IV.1 définition................................................... 7 IV.2 dérivées des fonctions usuelles...................................... 7 IV.3 opérations sur les fonctions dérivables.................................. 8 IV.4 composée et dérivée............................................ 8 IV.4.1 d autres formules de dérivation................................. 8 IV.4.2 théorème (non eigible)....................................... 8 IV.4.3 Résultats à connaître........................................ 8 IV.4.4 eemples de calculs......................................... 9 V applications de la dérivation et compléments 9 V.1 étude des variations............................................. 9 V.2 compléments................................................. 9 V.2.1 écriture différentielle........................................ 9 V.2.2 dérivées successives........................................ 9

I CONTINUITÉ EN UN POINT,SUR UN INTERVALLE D UNE FONCTION Première partie la continuité I continuité en un point,sur un intervalle d une fonction I.1 définition De façon très naïve, on dit d un fonction qu elle continue sur un intervalle I, lorsque sa courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon de la feuille. Cela signifie en gros que sa courbe ne présente aucun "saut" ou "rupture". Une notion ayant disparue des programmes officiels, permet de définir la continuité en un point a en disant que si tend vers a, f() doit tendre vers f(a)... (à méditer) f(a) f() a fonction continue fonction non continue en un point y y O O I.2 eemple et théorèmes générau I.2.1 eemples 1. La fonction inverse est-elle continue? 2. Tracer le graphe de la fonction f définie sur R par f() = 2 si 0, avecf(0) = 0, puis donner le domaine de continuité de f. On rappelle que = si 0, et que = si 0 3 Giorgio

I.3 la fonction partie entière I CONTINUITÉ EN UN POINT,SUR UN INTERVALLE D UNE FONCTION I.2.2 théorèmes générau Théorèmes Toute fonction polynome est continue surr. Toutes les fonctions circulaires sont continues sur leur ensemble de définition La fonction racine est continue sur [0;+ [. La somme, le produit, la composition de deu fonctions continues est continue. si f etg sont continues et si g ne s annule pas alors f g est continue. En particulier, toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition......................................................................................................... I.3 la fonction partie entière Soit un nombre réel, le plus grand entier inférieur ou égal às appelle la partie entière de, nous le noterons E(). Par eemple, on ae(3.2) = 3,E( 3.2) = 4,E( 2) = 1,... LA COURBE CI-CONTRE REPRÉSENTE LA FONCTION PARTIE ENTIÈRE. ON CONSTATE BIEN LA DISCONTINUITÉ DE LA FONCTION POUR CHAQUE VALEUR ENTIÈRE DE. EN EFFET : PAR EXEMPLE EN 1, LA LI- MITE à gauche VAUT 0, ET LA LIMITE à droite VAUT 1 QUI SONT DEUX VALEURS DISTINCTES. 4 3 2 3 2 1 1 1 1 2 3 EN CONSÉQUENCE LA LIMITE EN1DE LA FONCTION N EXISTE PAS ET N A AUCUNE CHANCE D ÊTRE ÉGALE À f(1). 2 3 4 4 Giorgio

II THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES II II.1 théorème des valeurs intermédiaires théorème des valeurs intermédiaires : eistence d au moins une solution Théorème Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deu éléments de I,pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste au moins un réelccompris entreaet b tel que f(c) = k REMARQUE : f(b) sur le dessin ci-contre, l équation f() = k admet plus d une solution, en l occurence trois, mais ce théorème fourni bien l eistence d au moins une solution...alors pour l unicité regardez donc ce qui ce passe pour le corollaire... k f(a) a c b II.2 corollaire : eistence et unicité Corollaire Soitf une fonction continue sur un intervallei, et a et b deu éléments de I tels que a < b. sif est strictement monotone sur[a,b], alors pour tout réelk appartenant àf([a,b]), l équationf() = k admet une unique solution c dans l intervalle [a,b]. Cas f strictement croissante y f(b) k = f(c) f(a) O a c b 5 Giorgio

III DÉRIVABILITÉ D UNE FONCTION EN UN POINT Deuième partie la dérivabilité III III.1 Dérivabilité d une fonction en un point définition 1 Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. On dit que f est dérivable en a lorsque f() f(a) lim eiste et est finie. On note alors a a f (a) cette limite, et on l appelle nombre dérivé de f en a. Donc si f est dérivable enaon a : lim a f() f(a) a Autre notation = f (a) si f est dérivable enaon a : f(a+h) f(a) lim = f f() f(a) (a) = lim h 0 h a a. f(a) f() a III.2 théorème Théorème On a l implication suivante : f dérivable ena= f continue ena (attention la réciproque est fausse)........................................................................................................ III.3 III.3.1 vocabulaire et interprétation graphique vocabulaire la quantité f() f(a), pour tout a, ou f(a+h) f(a) a h d accroissement def ena, pour tout h 0, est appelée : tau III.3.2 interprétation graphique 6 Giorgio

IV FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL équation de la tangente Sif est dérivable ena, le nombre f (a) désigne alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscissea,il en découle alors l équation de la tangente àc f au point a : y = f (a)( a)+f(a) III.3.3 eemple graphique........................................................................................................... IV IV.1 fonction dérivée, formules de calcul définition On rappelle que f est dérivable sur un intervalle I, lorsqu elle est dérivable en tout point de I. L ensembled où f est dérivable est appelé ensemble de dérivabilité def On défini ensuite sur I la fonction dérivée def notée f. IV.2 dérivées des fonctions usuelles fonction f domaine D f fonction dérivée f domaine D f f() = a R f () = 0 R f() = a+b R f () = a R f() = n, où n est un entier relatif 1 R ou R f () = n n 1 R ou R f() = 1 R 1 2 R f() = 1 n, où n est un entier naturel non nul R f () = n n+1 f() = [0;+ [ f () = 1 2 R ]0; + [ f() = sin R f () = cos R f() = cos R f () = sin R { π } f() = tan R\ 2 +kπ f () = 1 { π } cos 2 = 1+tan2 R\ 2 +kπ 7 Giorgio

IV.3 opérations sur les fonctions dérivables IV FONCTION DÉRIVÉE, FORMULES DE CALCUL IV.3 opérations sur les fonctions dérivables Soient u etv deu fonctions définies et dérivables sur un intervalle I, et soit k un réel quelconque on a : Dérivées et opérations formules de dérivation ensembles de validité (u+v) = u +v ; (ku) = ku suri ( ) 1 = v v v 2 ; (uv) = u v +v u ( u v suri ) = u v v u v 2 sur tout intervalle de I où v 0 IV.4 IV.4.1 composée et dérivée d autres formules de dérivation Résultats importants SOIT u UNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, POUR TOUT ENTIER RELATIF n ON A : (u n ) = nu u n 1...(avec comme condition suplémentaire queune s annule jamais sur I quandnest négatif) SOIT u UNE FONCTION DÉFINIE ET DÉRIVABLE SUR I, ET TELLE QUE u > 0 SUR I, ON A ALORS : ( u) = u 2 u IV.4.2 théorème (non eigible) Dérivée et composée Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervallei, et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle J, telle que u(j) I, alors la fonction h = f u est dérivable sur J et pour tout de J on a : h () = (f u) () = u () f u() en gros (f u) = u f u IV.4.3 Résultats à connaître 8 Giorgio

V APPLICATIONS DE LA DÉRIVATION ET COMPLÉMENTS Résultats à connaître Soit u une fonction dérivable sur une partie D de R. On pose pour tout de R, f() = u(a + b) avec a 0. Alors la fonction f est dérivable pour tout réeltel que a+b D et f () = au (a+b). Il découle de ce résultat, que pour tout réel : La dérivée de sin(a+b) est acos(a+b) La dérivée de cos(a+b) est asin(a+b) IV.4.4 eemples de calculs Calculer la dérivée des fonctions suivantes dérivée ( 1. f() = sin 3+ π ) 6 2. g(t) = 3t 4 +2t 2 +1 3. h() = (2 2 +3 1) 5 4. i() = (sin(3+5)) 6 V applications de la dérivation et compléments V.1 étude des variations Théorème Soitf définie et dérivable sur un intervallei Si pour tout dei on a f () > 0 alorsf est strictement croissante sur I Si pour tout dei on a f () < 0 alorsf est strictement décroissante sur I Si pour tout dei on a f () = 0, alors f est constante sur I. V.2 compléments V.2.1 écriture différentielle notation la notation df d est l écriture différentielle de f ()... par eemple si l on pose (t) = 2t 3 +3t 1, où la variable est ici t et la fonction est, on aura (t) = 6t 2 +3... avec l écriture différentielle on note d dt = 6t2 +3. écrire la dérivée des fonctions suivantes en utilisant l écriture différentielle : 1. f(t) = 3t+1 2t 2 2. (t) = 1 tant 3. f() = sin 4. g(v) = v 3 4v 2 +7v 5 V.2.2 dérivées successives 9 Giorgio